polo mg_09 encontro 7 – polinômios prof. luciano
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POLO MG_09
Encontro 7 – Polinômios
Prof. Luciano
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Polinômios
nnnn axaxaxaxP ...2
21
10
DefiniçãoDefiniçãoSoma de monômiosSoma de monômios
naaaa ,... , , , 210Números ComplexosNúmeros Complexos
CoeficientesCoeficientes
... ,2 ,1 , nnn Expoentes Expoentes Números NaturaisNúmeros Naturais
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nnnn axaxaxaxP ...2
21
10
Variável Pode assumir valores Pode assumir valores ComplexosComplexos
na Termo independente de xTermo independente de x
x
Polinômios
DefiniçãoDefiniçãoSoma de monômiosSoma de monômios
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78 510 xxxP
52
353 78 xxxxP
22
354 23 xixxxP
Polinômios
São PolinômiosSão Polinômios
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25 2 xxxxF
12
1523
xxxxF
54321234
xxxxxF
Polinômios
Não são PolinômiosNão são Polinômios
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254 23 xxxxPValor NuméricoValor Numérico
?2 P
2225242 23 P
2245842 P 2220322 P 562 P
Polinômios
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1P Fornece o valor da soma dos Fornece o valor da soma dos coeficientes do polinômio P(x).coeficientes do polinômio P(x).
0P Fornece o valor do termo Fornece o valor do termo independente de x.independente de x.
Polinômios
Valor NuméricoValor Numérico
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234 16164 xxxxP
16164 Soma
36Soma
22 42 xxxP Qual a soma dos Qual a soma dos
coeficientes do polinômio coeficientes do polinômio P(x).P(x).
Polinômios
Valor NuméricoValor Numérico
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22 14121 P
2421 P
3661 2 P Soma dos Soma dos coeficientescoeficientes
22 42 xxxP
Polinômios
Valor NuméricoValor NuméricoQual a soma dos Qual a soma dos
coeficientes do polinômio coeficientes do polinômio P(x).P(x).
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352 xxP
125
125150608 23 xxxxP
Qual o valor do Qual o valor do termo independente termo independente
de x.de x.
Termo independente de xTermo independente de x
Polinômios
Valor NuméricoValor Numérico
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35020 P
3500 P
350 P
1250 P
Termo Termo independente de xindependente de x
Polinômios
Valor NuméricoValor Numérico
352 xxPQual o valor do Qual o valor do
termo independente termo independente de x.de x.
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0P
654 xxxP
62522 4 P
610162 P
02 P
Raiz de um polinômioRaiz de um polinômio
é raiz do polinômio é raiz do polinômio P(x).P(x).
2 é raiz do 2 é raiz do polinômio P(x)polinômio P(x)
Polinômios
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422 2 iiP
442 2 iiP
02 iP
4142 iP
0P é raiz do polinômio é raiz do polinômio P(x).P(x).
42 xxP
2i é raiz do 2i é raiz do polinômio P(x)polinômio P(x)
Raiz de um polinômioRaiz de um polinômio
Polinômios
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0...000 21 nnn xxxxP
Não se define grau para Não se define grau para um polinômio nuloum polinômio nulo
Polinômio NuloPolinômio Nulo
Polinômios
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nnnn axaxaxaxP ...2
21
10
00 a
nPgr
Grau de um Polinômio Grau de um Polinômio
Polinômios
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1536 234 xxxxxP
124 xxP
12xP
4Pgr
1Pgr
0Pgr
Grau de um Polinômio Grau de um Polinômio
Polinômios
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yx2623yx
x7
5Pgr
Observação:Observação:Monômio de grau 3: (2 + 1)Monômio de grau 3: (2 + 1)
Monômio de grau 5: (3 + 2)Monômio de grau 5: (3 + 2)
Monômio de grau 1Monômio de grau 1
xyxyxxP 76 232
Grau de um Polinômio Grau de um Polinômio
Polinômios
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xA
xBxA IdênticosIdênticos
xB
, BA C
Identidade polinomialIdentidade polinomial
Polinômios
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115204 323452 xnxxxxmxP
1752512 2345 xxxxqxxB
1) Se e 1) Se e 1 152 4 32352 xnxxxmxP
qenm ,
1752512 2345 xxxxqxxBsão polinômiossão polinômios idênticos, então a soma dos valores idênticos, então a soma dos valores positivos de é:positivos de é:
Polinômios
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0571
1243
2
qn
m 1242 m162 m4m
4m
713 n83 n
2n
05 q
5q
524 qnm
11 qnm
Polinômios
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Operações com Monômios e Polinômios
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Adição de MonômiosAdição de Monômios Devemos efetuar a soma ou subtração dos coeficientes numéricos entre os monômios semelhantes.
Ex:
= 12x2 – 2ay3
5x2 – 3ay3 + 7x2 + ay3 5x2 + 7x2 – 3ay3 + ay3
Monômios semelhantes Monômios semelhantes
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Multiplicação de Monômios
O produto de monômios é obtido da seguinte forma:
• em seguida, multiplicam-se as partes literais.
Ex: (4ax2) . (–13a3x5) =(4) . (–13) . (a1 . a3) . (x2 . x5) =– 52a4x7
• primeiro, multiplicam-se os coeficientes numéricos;
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Lembrando...
Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes.
am.an = am+n
Ex: x4.x9 = x4+9 = x13
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Divisão de Monômios
A divisão de monômios é obtida da seguinte forma:
• primeiro, dividem-se os coeficientes numéricos; • em seguida, dividem-se as partes literais.
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Lembrando...
Um quociente de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e subtraímos os expoentes.
am:an = am–n
Ex: x12 : x8 = x12–8 = x4 *com a ≠ 0
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Adição de Polinômios
Efetue a soma algébrica dos monômios semelhantes. Ex: (4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) – (2x2 – x + 6) = = 4x2 – 7x + 2 + 3x2 + 2x + 3 – 2x2 + x – 6 =
eliminando os parênteses
= 4x2 + 3x2 – 2x2 – 7x + 2x + x + 2 + 3 – 6 =
agrupando os termos semelhantes
= 5x2 – 4x – 1 forma reduzida * Não esqueça da regra de sinais!
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Multiplicação de Monômiopor Polinômio
A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio.
= 8x5y3 – 20x3y7
Ex:4x2y3 . (2x3 – 5xy4) == 4x2y3 . 2x3 + 4x2y3 . (–
5xy4 ) * Não esqueça da regra de sinais!
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A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro e, sempre que possível, reduzindo os termos semelhantes. Ex:
(a + b) . (c + d) =
ac + ad + bc + bd
Multiplicação de Monômiopor Polinômio
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Divisão de Polinômio por Monômio
Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.
Ex:(18x3 – 12x2 + 3x) : (3x) = = (18x3 : 3x) – (12x2 : 3x) + (3x : 3x) = 6x2 – 4x + 1
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Valor Numérico de uma
Após obtida a expressão algébrica, basta substituir cada incógnita pelo valor estabelecido pelo exercício. Ex:
3x2 – 2x + 7y + 3x – 17y
3x2 + x – 10y
Determine o valor numérico da expressão abaixo para x = 2 e y = 3
1º reduzimos os termos semelhantes
Expressão Algébrica
2º substituímos os valores de x = 2 e y = 33.22 + 2 – 10.3 3.4 + 2 – 3012 + 2 – 30 = - 16
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Equações polinomiaisEquações polinomiais
0...22
110
nnnn axaxaxa
0PRaízes de uma equaçãoRaízes de uma equação
raizé
Teorema da decomposiçãoTeorema da decomposição n
nnn axaxaxaxP ...22
110
nrxrxrxaxP ...210
Polinômios
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Propriedades:Propriedades:
2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por 2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b . x - b .
3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , 3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .então o conjugado a - bi também será raiz .
1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente 1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .n raízes .
2x2x44 +x³ + 6x² + 2x – 1 = 0+x³ + 6x² + 2x – 1 = 0Grau da equação ( Representa o número de raízes)Grau da equação ( Representa o número de raízes)
Polinômios
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4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m 4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .multiplicidade k .
Exemplo: xExemplo: x22 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x11 = x = x22 = 4). = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois. Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.
Propriedades:Propriedades:
Polinômios
![Page 35: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/35.jpg)
Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d a.x³ + bx² + cx + d = 0= 05) Se a = 5) Se a = 1 1 não há raízes fracionárias. não há raízes fracionárias.
6) Se d = 0 6) Se d = 0 x x1 1 = 0 (Lembre a quantidade de = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) expoente da incógnita.) Ex: 2xEx: 2x77+3x+3x44 + 2x² = 0 + 2x² = 0
Polinômios
![Page 36: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/36.jpg)
Há duas raízes nulas
7) Se a + b + c + d = 0 7) Se a + b + c + d = 0 x x11 = 1 é raiz. = 1 é raiz.
Polinômios
Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d a.x³ + bx² + cx + d = 0= 05) Se a = 5) Se a = 1 1 não há raízes fracionárias. não há raízes fracionárias.
6) Se d = 0 6) Se d = 0 x x1 1 = 0 (Lembre a quantidade de = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) expoente da incógnita.) Ex: 2xEx: 2x77+3x+3x44 + 2x² = 0 + 2x² = 0
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Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 admite, pelo menos, uma raiz complexa.admite, pelo menos, uma raiz complexa.Teorema das raízes complexas ( PRRI)Teorema das raízes complexas ( PRRI)
06²4³ xxx
Polinômios
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11 11 ––44 11 66 11 ––33 -2-2 Resto Resto 0 0x =1 não é raiz. x =1 não é raiz. 44
Divisores do termo independente: 1, 2, 3, 6-1-1
11 ––55 66 Resto = 0 Resto = 0 x x1 1 = -1 é raiz= -1 é raiz00
Grau n – 1Grau n – 1
0652 xx 22 x 33 x
Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 Toda equação algébrica P(x) = 0 de grau n ≥ 1 admite, pelo menos, uma raiz complexa.admite, pelo menos, uma raiz complexa.Teorema das raízes complexas ( PRRI)Teorema das raízes complexas ( PRRI)
06²4³ xxx
Polinômios
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Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas
010144 234 xxxx 11 x
––11 11 ––44 ––11 1414 11 ––55 44 00 RestoResto
Grau n – 2 Grau n – 2
01062 xx
101012 x
1010––11
11 ––66 1010 00 RestoResto
Polinômios
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010144 234 xxxx 11 x
01062 xx12 x
acb 42 4036
4
abx
2
246
x
226 ix
ix 3
ix 33
ix 34
Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas
Polinômios
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Teorema das raízes complexas ( PRRF)Teorema das raízes complexas ( PRRF)
18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0
Polinômios
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Divisores do termo independente: 1
Teorema das raízes complexas ( PRRF)Teorema das raízes complexas ( PRRF)
18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0
Polinômios
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Divisores do coeficiente da incógnita de maior expoente: 1, 2, 3, 6, 9, 18PRRF:PRRF: 1/2, 1/3, 1/6, 1/9, 1/18
––1/21/2 1818 99 -2-2 -1-1 1818 00 -2-2 00 Resto Resto x x11 = -1/2 = -1/2
18x² +0x -2 = 0x² = 1/9
3/12 x 3/13 x
Divisores do termo independente: 1
Teorema das raízes complexas ( PRRF)Teorema das raízes complexas ( PRRF)
18 x3 + 9x2 - 2x -1 = 0
Polinômios
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Relações de GirardRelações de Girard
02 cbxax
abxx 21
acxx 21
Polinômios
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023 dcxbxax
abxxx 321
acxxxxxx 323121
adxxx 321
Relações de GirardRelações de Girard
Polinômios
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0...22
110
nnnn axaxaxa
0
1321 ...
aaxxxx n
0
21413121 ...
aaxxxxxxxx nn
0
312421321 ...
aaxxxxxxxxx nnn
0
321 1...aaxxxx nn
n
Relações de GirardRelações de Girard
Polinômios
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Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)
P(x)P(x) ax + bax + bQ(x)Q(x)
RRP(x) = (ax + b) P(x) = (ax + b) · Q(x) + R · Q(x) + R
Raiz do divisorRaiz do divisorabx 1
RxQabP
0
RabP
Polinômios
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P(x)P(x) ax + bax + bQ(x)Q(x)
RR0R
RabP
Condição necessária para que Condição necessária para que P(x) seja divisível por ax + b.P(x) seja divisível por ax + b.
0
abP
Teorema de D’alembertTeorema de D’alembert
Polinômios
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O resto da divisão do polinômioO resto da divisão do polinômio pelo binômio pelo binômio
Teorema do restoTeorema do resto 111122 23 xxxxP
111122 23 xxxxP 5xxD é:é:
1511512525 23 P
1511251212525 P
1553002505 P
3013055 P 45 P
RP 5
Polinômios
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P(x)P(x) ax + bax + bQ(x)Q(x)
RR
Grau nGrau nGrau 1Grau 1
Grau n – 1Grau n – 1RestoResto
......
......
Coeficientes de P(x)Coeficientes de P(x)
Raiz do Raiz do divisordivisor
ab
Coeficientes do Coeficientes do polinômio a polinômio a · Q(x)· Q(x)
RestoResto
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
Polinômios
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5673 23 xxxxP 2 xxD
22 33 – – 77 66 55
21 x
33
Polinômios
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
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22 33
33 ++ ==
––11
– – 77 66 55
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
![Page 53: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/53.jpg)
22 33
33 ++ ==
––11 44
– – 77 66 55
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
![Page 54: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/54.jpg)
22 33
33 ++ ==––11 44 1313
– – 77 66 55
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
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22 33
33 ––11 44 1313 RestoResto
Coeficientes do Coeficientes do polinômio a polinômio a · Q(x)· Q(x)
– – 77 66 55
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
![Page 56: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/56.jpg)
22 33 – – 77 66 55 33 ––11 44 1313 RestoResto
Coeficientes do Coeficientes do polinômio a polinômio a · Q(x)· Q(x)
Grau do polinômio Grau do polinômio Q(x) é uma unidade Q(x) é uma unidade menor que o grau do polinômio P(x)menor que o grau do polinômio P(x)
xQaquociente 431 2 xxxQ
43 2 xxxQ13 Rresto
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-RuffiniDispositivo Briot-Ruffini
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Equações polinomiaisEquações polinomiais
0...22
110
nnnn axaxaxa
0PRaízes de uma equaçãoRaízes de uma equação
raizé Teorema da decomposiçãoTeorema da decomposição
nnnn axaxaxaxP ...2
21
10
nrxrxrxaxP ...210
Polinômios
![Page 58: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/58.jpg)
Seja p um polinômio de grau seis, cujos coeficientes Seja p um polinômio de grau seis, cujos coeficientes de termo de maior grau é igual a 2. As raízes deste de termo de maior grau é igual a 2. As raízes deste polinômio são c, 2 e 0, com multiplicidades 3, 2 e 1 polinômio são c, 2 e 0, com multiplicidades 3, 2 e 1 respectivamente. Considerando p(1) = 16, o valor da respectivamente. Considerando p(1) = 16, o valor da raiz c é igual a:raiz c é igual a:a) –1.a) –1.b) .b) .c) –7.c) –7.d) 7.d) 7.e) 15. e) 15.
3 221
Polinômios
![Page 59: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/59.jpg)
Sobre todas as raízes da equaçãoSobre todas as raízes da equação afirma-se que essa equação possui:afirma-se que essa equação possui:04423 xxx
01412 xxx04423 xxx
0142 xx
042 x 01 x42 x
4xix 2
1x
iiS 2,2,1 uma raiz real e duas complexas.uma raiz real e duas complexas.
Polinômios
![Page 60: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/60.jpg)
Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas
010144 234 xxxx 11 x
––11 11 ––44 ––11 1414 11 ––55 44 00 RestoResto
Grau n – 2 Grau n – 2
01062 xx
101012 x
1010––11
11 ––66 1010 00 RestoResto
Polinômios
![Page 61: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/61.jpg)
01062 xxacb 42
4036 4
abx
2
246
x
226 ix
ix 3
ix 33
ix 34
Polinômios
Teorema das raízes complexasTeorema das raízes complexas
010144 234 xxxx 11 x12 x
![Page 62: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/62.jpg)
Seja P(x) um polinômio de terceiro grau, cujo gráfico Seja P(x) um polinômio de terceiro grau, cujo gráfico está representado na figura abaixo: está representado na figura abaixo:
22
2211––11 xx
yy Então o resto da divisão de P(x) Então o resto da divisão de P(x) pelo monômio x + 2 é:pelo monômio x + 2 é:
Polinômios
![Page 63: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/63.jpg)
Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é:
EXER
CÍCI
OS
ESSE
NCI
AIS
RESPOSTA:
![Page 64: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/64.jpg)
![Page 65: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/65.jpg)
Mais alguns...
Uma das raízes de 2x3 – (m +3)x2 + 11x – m = 0 é 1. Quais são as outras raízes dessa equação?
![Page 66: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/66.jpg)
Mais alguns...
A equação 2x³ - 5x² + x + 2 = 0 tem três raízes reais. Uma delas é 1.
Encontre as outras duas.
![Page 67: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/67.jpg)
Mais alguns...
Uma das raízes do polinômio P(x) = 3x3 + 2x2 – 7x + 2 é – 2. Então, a soma das outras raízes desse polinômio é:a) 2/3b) -1c) 4/3 d) -3/4e) 1
![Page 68: POLO MG_09 Encontro 7 – Polinômios Prof. Luciano](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022062411/5706386a1a28abb82390453f/html5/thumbnails/68.jpg)
Só mais um... (ou não)
Resolver a equação x3 – 6x2 + 3x + 10 = 0, sabendo que a soma de duas raízes é 1.