cálculo numérico - clase n° 1
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Clase I
El desarrollo de técnicas de análisis y de algoritmos que
sirven para obtener soluciones numéricas de problemas
matemáticos o bien obtener información de tipo
matemática cuando estas soluciones no son posibles.
Desarrollar algoritmos
ejecutables, económicos y eficaces que
permitan encontrar resultados aproximados de
diferentes tipos de problemas.
Un modelo matemático es una relación entre ciertos
objetos matemáticos y sus conexiones por un lado, y
por el otro, una situación o fenómeno de naturaleza
no matemática.
Una familia de vacaciones maneja 1180 kilómetros
en 12 horas.
La velocidad promedio para este viaje puede ser
calculada dividiendo la distancia total por el tiempo
transcurrido (98 km/h) . Tal cálculo puede ser
percibido como un modelo matemático.
Existe un proceso de modelización detrás de todo
modelo matemático.
Esto significa que alguien de manera implícita o
explícita ha recorrido un proceso de establecer una
relación entre alguna idea matemática y una situación
real.
Analíticamente es posible describir un proceso de
modelización matemática consistente en los siguientes
seis sub-procesos (Blomhøj y Højgaard Jensen, 2003).
(a) Formulación del problema: formulación de una tarea (más o menos
explícita) que guíe la identificación de las características de la realidad
percibida que será modelizada.
(b) Sistematización: selección de los objetos relevantes, relaciones, etc.
Del dominio de investigación resultante e idealización de las mismas para
hacer posible una representación matemática.
(c) Traducción de esos objetos y relaciones al lenguaje matemático.
(d) Uso de métodos matemáticos para arribar a resultados matemáticos y
conclusiones.
(e) Interpretación de los resultados y conclusiones considerando el
dominio de investigación inicial.
(f) Evaluación de la validez del modelo por comparación con datos
(observados o predichos) y/o con el conocimiento teórico o por
experiencia personal o compartida.
Mundo
Real
(a) Formulación del problema
Dominio de
Investigación
(b) Sistematización
Sistema
(c) Matematización
Sistema Matemático
(d) Análisis del Sistema Matemático
(e) Interpretación/Evaluación
(f) Validación
Acción/Insight
Modelo – Resultados
Teoría
Datos
formulación de una tarea (más o menos
explícita) que guíe la identificación de las
características de la realidad percibida
que será modelizada.
Mundo
Real
(a) Formulación del problema
Dominio de
Investigación
(b) Sistematización
Sistema
(c) Matematización
Sistema Matemático
(d) Análisis del Sistema Matemático
(e) Interpretación/Evaluación
(f) Validación
Acción/Insight
Modelo – Resultados
Teoría
Datos
selección de los objetos relevantes,
relaciones, etc. Del dominio de
investigación resultante e idealización de
las mismas para hacer posible una
representación matemática.
Mundo
Real
(a) Formulación del problema
Dominio de
Investigación
(b) Sistematización
Sistema
(c) Matematización
Sistema Matemático
(d) Análisis del Sistema Matemático
(e) Interpretación/Evaluación
(f) Validación
Acción/Insight
Modelo – Resultados
Teoría
Datos
Traducción de esos objetos y relaciones al
lenguaje matemático.
Mundo
Real
(a) Formulación del problema
Dominio de
Investigación
(b) Sistematización
Sistema
(c) Matematización
Sistema Matemático
(d) Análisis del Sistema Matemático
(e) Interpretación/Evaluación
(f) Validación
Acción/Insight
Modelo – Resultados
Teoría
Datos
Uso de métodos matemáticos para arribar
a resultados matemáticos y conclusiones.
Mundo
Real
(a) Formulación del problema
Dominio de
Investigación
(b) Sistematización
Sistema
(c) Matematización
Sistema Matemático
(d) Análisis del Sistema Matemático
(e) Interpretación/Evaluación
(f) Validación
Acción/Insight
Modelo – Resultados
Teoría
Datos
Interpretación de los resultados y
conclusiones considerando el dominio de
investigación inicial.
Mundo
Real
(a) Formulación del problema
Dominio de
Investigación
(b) Sistematización
Sistema
(c) Matematización
Sistema Matemático
(d) Análisis del Sistema Matemático
(e) Interpretación/Evaluación
(f) Validación
Acción/Insight
Modelo – Resultados
Teoría
Datos
Evaluación de la validez del modelo por
comparación con datos (observados o
predichos) y/o con el conocimiento
teórico o por experiencia personal o
compartida.
De manera esquemática podríamos decir que la solución
de un problema real cualquiera sea su naturaleza técnica,
científica, económica, etc., pasa por distintas fases o
etapas.
En primer lugar se elabora un modelo teórico teniendo en
cuenta el ámbito científico al que se refiere el problema,
sobre la base de una serie de teorizaciones relacionadas con
el mismo. Para ello se efectúan medidas y se aplican
técnicas de cuantificación, observando cuáles son los
parámetros o variables mas importantes que intervienen en
el problema.
De manera esquemática podríamos decir que la solución
de un problema real cualquiera sea su naturaleza técnica,
científica, económica, etc., pasa por distintas fases o
etapas.
Es la materialización del modelo teórico. Con el modelo
teórico validado se hace una formulación simbólica o
matemática de las distintas variables o parámetros del
problema. Esta formulación matemática o modelo
matemático esta representado por un conjunto de relaciones
o ecuaciones entre las variables o parámetros significativos
del problema.
En muchos casos, los modelos matemáticos que
representan problemas se formulan mediante ecuaciones
diferenciales, integrales, etc. Lo que hace muy engorrosa
su solución y a lo mejor es suficiente una solución tan
aproximada como se quiera, discretizando el modelo
continuo con tal de que los errores se mantengan dentro
de ciertos limites preestablecidos. Con este objeto se
discretizan los modelos matemáticos continuos,
discretizando el comportamiento de las variables que
intervienen en la formulación del modelo.
Como ya expresamos una computadora es
una máquina que procesa la información.
La Unidad Central de Proceso (CPU, por Central
Processing Unit), también llamada
microprocesador o simplemente procesador, es el
circuito principal de la computadora.
La CPU es considerada como el “cerebro” de la
computadora. Su función es ejecutar programas
almacenados en la memoria central tomando sus
instrucciones, examinándolas y ejecutándolas una
tras otra, todo esto de acuerdo con los datos
introducidos por el usuario.
La Unidad de Control –o CU, del inglés Control Unit–
interpreta instrucciones, genera órdenes a periféricos,
coordina y controla las actividades de la computadora y
determina qué operaciones se deben realizar y en qué orden.
La Unidad Aritmética Lógica –o ALU de
Arithmetic Logic Unit– realiza operaciones de
tipo aritmético y operaciones de tipo lógico.
En primer lugar el cálculo numérico es una disciplina
estrictamente matemática con conceptos y métodos
propios que no solo desarrolla algoritmos para resolver
problemas, sino que también analiza el grado de
aproximación de los resultados para mejorar el
procedimiento algorítmico.
En segundo lugar, podríamos decir que el cálculo
numérico es impensable sin las computadoras o
calculadora digitales, por la agilidad del cálculo, no es
menos cierto que el desarrollo de hardware y software
han sido influidos y orientados por las necesidades del
cálculo numérico.
Al cálculo numérico le corresponde la
discretización de funciones, el desarrollo de
algoritmos numéricos, el estudio de errores,
etc.
A la informática le corresponde la
programación, la explotación de los
programas, etc.
El cálculo numérico como método de
procesamiento de información:
Información de
Entrada
Procedimiento de
cálculo
Información de
Salida
El cálculo numérico como método de
procesamiento de información:
Información de
Entrada
Procedimiento de
cálculo
Información de
Salida
Que son los datos
del problemaQue es el algoritmo
Que son los
resultados
El cálculo numérico como método de
procesamiento de información:
Información de
Entrada
Procedimiento de
cálculo
Información de
Salida
El cálculo numérico como método de
procesamiento de información:
Información de
Entrada
Procedimiento de
cálculo
Información de
Salida
Inf. De Entrada
45 x 17
Algoritmo
45
x 17
315
45 .
765
Inf. De Salida
765
Se aplica para la investigación y obtención de los
mejores resultados en dos tipos de problemas:
Problema matemático, en el cual los datos de entrada
son perfectamente conocidos pero debido a la
complejidad de los métodos matemáticos
convencionales, se recurre al cálculo numérico para
encontrar una solución aproximada tan exacta como se
quiera.
Problemas físico, en este caso los datos de entrada se
obtienen a través de mediciones que se efectúan y lo que
hace el cálculo numérico es definir el algoritmo para
encontrar una solución lo mas adecuada y aproximada
posible del problema.