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8/16/2019 Cap 05 Deformaciones Transversales.pdf

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RESISTENCIA DEMATERIALES I

Primera Edición

Resistencia de

Materiales I

CAPÍTULO

Autor:

Víctor Vidal Barrena

Universidad

Nacional de Ingeniería

© 2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

Deformaciones

Transversales


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RESISTENCIA DE MATERIALES IP r i m er a

E d i ci ó n


DEFORMACIONES

Capítulo 05: Deformaciones Transversales

©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada 2 - 2

TRANSVERSALES


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E d i ci ó n


Deformaciones Transversales

5.1 RELACIÓN DE POISSON. Siempre que un cuerpo se le somete a laacción de una fuerza, se deformará en la

dirección de la fuerza aplicada y se producirán

también deformaciones laterales. La figura

5.1 muestra la deformación total de un cuerpo

durante la carga y que la carga P está dirigida

a lo largo del eje X.


0

HookedeLeyla pory barra.ladeansversalsección tr laesAdonde

0

≠==

===

z y x

x

z y x A

P

ε ε σ

ε

σ σ σ

Se tiene que:

Fig. 5.1 Deformación transversal

de una barra


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E d i ci ó n



5.1 RELACIÓN DE POISSON.

)1.5(axialnDeformació

lateralnDeformació

x

z

x

y

ε

ε

ε

ε µ −=−==

La deformación lateral tiene una relación

constante con la deformación transversal

(axial, a esta constante se le denomina el

Módulo de Poisson (µ)


Fig. 5.1 Deformación transversal

de una barra

Se ha asumido que el material es homogéneo e

isotrópico.

1. Homogéneo: Las diferentes propiedadesmecánicas son independientes del puntoseleccionado.

2. Isotrópico: que sus propiedades son

iguales en cualquier dirección.

Para la mayoría de los materiales: 0.25 ≤ µ ≤ 0.35


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E d i ci ó n



Del capítulo, utilizamos la ecuación (2.2):

0)1( === z y x

x E

σ σ σ

ε

)3(

)2(

x z

x y

µε ε

µε ε

−=

−=De la ecuación (5.1):


El signo negativo se usa aquí, ya que un

alargamiento longitudinal (deformación unitaria

positiva) ocasiona una contracción lateral

(deformación unitaria negativa).

Igualando (2) y (3) se obtiene que: εy = εzFig. 5.2 Deformación de una barra.

Sustituyendo (1) en (2) y (3) se obtiene:

E

x z

x y

σ µ ε

σ µ ε

−=

−=(5.3)


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E d i ci ó n



Se considerarán ahora elementos estructurales

sometidos a fuerzas que actúan en las

direcciones de los tres ejes coordenados

produciendo los esfuerzos σσσσx, σy y σσσσz; todosdiferentes de cero. Esta condición se denomina

carga multiaxial.

5.2 ESTADOS DE DEFORMACIÓN BIAXIAL Y TRIAXIAL.


E E E

E E E

E E E

z y x z

z y x

y

z y x x

σ νσ νσ ε

νσ σ νσ ε

νσ νσ σ ε

+−−=

−+−=

−−+=

Fig. 5.3 Deformación multiaxial.

(5.4)


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E d i ci ó n



5.3 DILATACIÓN. MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD.

En su estado no esforzado es un cubo de volumen unitario, y

bajo los esfuerzos σσσσx, σy y σσσσz se transforma en un paralelepípedo rectangular de volumen:

v = 1 + εx + εy + εz (5.5)

Llamando e el cambio de olumen del elemento, se escribe:


Sustituyendo εx + εy + εz de las ecuaciones (5.4) en la

ecuación (5.6),

e = v – 1 =1 + εx + εy + εz – 1

e = εx + εy + εz (5.6)

Fig. 5.3 Deformación multi axial.


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E d i ci ó n



5.3 DILATACIÓN. MÓDULO DE COMPRESIBILIDAD.

( ) ( ) 111111

z y x

z y x z y x

e

e

ε ε ε

ε ε ε ε ε ε

++=

+++−=+++−=

Como el elemento tenía un volumen original unitario, la

cantidad e representa el cambio de volumen y se le llama

dilatación del material.


( ) )7.5(21 z y x E

e σ σ σ ν ++−=

Para un cuerpo sometido a presión hidrostática uniforme p.,

( )

( ) lidadcompresibidemódulo

213

213

=−

=

−=−−=

ν

ν

E k

k

p

E pe

Fig. 5.3 Deformación multi axial.


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E d i ci ó n


Problema Nº 5.1:

Una barra de 500mm de

longitud y 16mm de

diámetro, hecha de un

material homogéneo eisotrópico, se alarga 300

m su diámetro decrece


en 2.4µm al ser sometidaa una fuerza axial de 12

kN. Halle el módulo de

elasticidad y la relaciónde Poisson del material.


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E d i ci ó n


Problema Nº 5.1: Solución

a) Transformando medidas

m xmmd

m xm

m xm

m xmm L

y

x

3

6

6

3

101616

104.24.2

10300300

10500500

−

−

−

−

→=−→−=

→=→=

µ δ

µ δ


( ) 26232 1006.201108 m xm xr A −− === π π b.1) Hallamos el esfuerzo en el eje x

MPa

m xm x

N x

A

P

x

x

68.59

1068.591006.201

1012 2626

3

=

=== −−

σ

σ


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E d i ci ó n


Problema Nº 5.1: Solución.

c) Hallamos las deformaciones

en los ejes x, y

66

63

6

10150104.2

106001050010300

−−

−

−−

−

−=−

===

===

xm x

xm xm x

L

y y

x x

δ δ ε

δ ε

De la ecuación 5.1 hallamos larelación de Poisson del material.

m x

x

x

y

25.010600

101506

6

=−

−=

==

−

−

ν

ε

ε

ν


m x yAplicamos la Ley de Hooke parahallar la elasticidad

GPa

x x

x E

E E x

x x x

46.99

1046.9910600

1068.59 96

6

=

==

=⇒=

−

−ε

σ ε σ


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E d i ci ó n


Una barra de acero A – 36 tiene las dimensiones mostradas en la figura

5.1. Si se aplica una fuerza axial P = 100 kN a la barra, determinar el

cambio en su longitud y el cambio en las dimensiones de su sección

transversal después de aplicada la carga. El material se comportaelásticamente. Considere Eac= 200 Gpa, µ = 0.32.

Problema 5.2:



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E d i ci ó n


Deformación Longitudinal de la barra

Utilizamos la ecuación 5.4

)1...( E

L

A

P x

x

x x

=δ

Reem lazamos valores en 1

Problema 5.2: Solución.


N P x310100 ×= mmmm A x 50100 ×= m L x 5.1=

µmmm

m xm

N x E 15010

110200 26

2

2

9

==


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E d i ci ó n


Deformación transversal de la barra:

b1) Eje Y: Utilizamos la ecuación 5.5:

)2...( E

L P v

y x

y

−=δ

Problema 5.2:


Reemplazamos valores en (2)

N P x310100 ×= mmmm A x 50100 ×=

32.0102002

9 == um

N x E

m L y 5.0=


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E d i ci ó n


( )( )

µm

mm

m x

m

N x

m

mm xmm

N xY 6.1

10

110200

05.0

10050

1010032.0

26

2

2

9

3

−=

−=δ

b2) Eje Z: Utilizamos la ecuación 5.6: )3...( E

Lz

Ax

Pxv Z

−=δ

Problema 5.2:


eemp azamos va ores en

m L z 10.0=

32.0102002

9 == um

N x E

N P x310100 ×= mmmm A x 50100 ×=

( )( )

µm

mm

m x

m

N x

m

mm x

N x z 2.3

10

110200

10.0

10050

1010032.0

26

2

2

92

3

=

−=δ


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E d i ci ó n


Una barra de plástico acrílico mostrado en la figura 5.3, tiene

una longitud de 200mm y un diámetro de 15mm. Si se le aplica

una carga axial de 300 N, determine el cambio en su longitud y

en su diámetro. Considere Ep = 2.70 Gpa, µ = 0.4

Problema 5.3:



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E d i ci ó n


( ) MPa

mm

Nt

A

F

x

x x 69.1

4/15

30022

===π

σ

y x L

E d

−=

σ µ 1 Lz E

d x

−=

σ µ 2

Problema 5.3: Solución


x

x

x x x L

E x

EA L P

== σ σ Tracción:

Luego: ( ) mmmmGP

MP d

à

a

x

125.020070.2

69.1=

= mmd x 125.0=

( )mmGPa

MPad d y z 15

70.2

69.14.0

−== mmd d y z 0375.0−==


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E d i ci ó n


Un bloque cilíndrico corto de aluminio 2014201420142014----TTTT6666, mostrado en la figura, quetiene inicialmente un diámetro de 15151515mmmmmmmm y una longitud de 50505050mmmmmmmm, se sitúaentre las mordazas lisas de un tornillo de banco y se comprime hasta quela carga axial aplicada sea 4444KNKNKNKN. Determine la disminución en su longitud y

su nuevo diámetro. Considere el modulo de elasticidad del aluminio de75757575GPaGPaGPaGPa y la relación de Poisson ====0000....30303030.

Problema 5.4.

©2010 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada


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E d i ci ó n


m z

m x xm N x

m x N x

A Ex

L P

x

x

x

x x x

5

223

2

9

33

10509.1

4)1015)(1075(

)1050)(104(

))((

))((

−

−

−

=

=

=

δ

π δ

δ a)Deformación Longitudinal:



)1....( x

z

x

y

ε ε

ε ε µ ==

4

3

5

10018.3

1050

10509.1

−

−

−

=

⇒=

x

m x

m x

L

x

x

x x

ε

δ ε

b) Deformación Transversal

Entonces:


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E d i ci ó n


4

4

109054.0

3.010018.3

−

−

−=

−=

−=

x

x x

y

y

x

y

ε

ε

ε

ε µ

δ

Reemplazando en (1) u=0.3



.... y

y Lε =

31015 −=== x D L L cilindro Z Y

Dato:

Reemplazando en (2):

m x

x x

y

y

6

3

4

1036.1

1015109054.0

−

−−

−=

=−

δ

δ


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E d i ci ó n


Un eje macizo mostrado en la figura 5.9, de 80mm de diámetro seintroduce concéntricamente dentro de un tubo de acero. Determinarel diámetro interior del tubo de manera que no exista presión decontacto entre el eje y el tubo, aunque el aluminio soporte una

fuerza axial de 400KN .considerar para el aluminio=70GPa, u=1/3

Problema 5.5.


P E


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RESISTENCIA DE MATERIALES IPr i m er a

E d i ci ó n



3/170

400800

====

uGPa E

KN P mm DDatos:

a) Cálculo del esfuerzo producido y la deformación unitaria longitudinal:

3 9

2 2 22 2 2 2

6 2

400 400 10 4 400 10

80(80) (80) ( )

4 4 10

P KN x N x x N

m x mmm mm

mm

σ π π π

= = = =


9

6

3

.

:

79.57 79.57 10

70 70 10

1.136 10 /

longitud

longitud longitud

longitud

a

Hallando la

MPa x E

E GPa x

x mm mm

σ

ε

σ σ ε

ε

ε

−

=

= ⇒ = = =

=

P E


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RESISTENCIA DE MATERIALES IPr i m er a

E d i ci ó n



b) Hallando el diámetro interior del tubo de acero:

D x xu xu

D

xuu

al lon itudinlateral lateral

al lon itudin

lateral lateral al longitudinlateral

al longitudin

lateral

;

;

0

0

==⇒

==⇒=

ε δ δ

ε

δ ε ε ε

ε

ε


mmmmmm D D

mmmm x x x

valoresemplazando

lateral f

lateral

03029.8003029.080

03029.080)10136.1(3

1

:Re

0

3

0

=+=+=

== −

δ

δ

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