capitolo 8 teoria della linea portante per ali di apertura ... · f. auteri e l. quartapelle:...

F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 8 – pagina 279 colore nero Settembre 30, 2004

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CAPITOLO 8

Teoria della linea portanteper ali di apertura finitaIntroduzione Nel capitolo precedente abbiamo sviluppato la teoria dei profilialari considerando l’ala come un cilindro di lunghezza infinita, avente la sezioneperpendicolare al suo asse con la forma di profilo alare e posto perpendicolarmentealla corrente esterna uniforme. La geometria del problema e le condizioni alcontorno hanno permesso di affrontarlo considerando un flusso bidimensionale inun piano normale all’asse dell’ala infinita. In realta ogni superficie portante deivelivoli e di lunghezza finita e quindi il flusso attorno a essa e necessariamentetridimensionale. Di conseguenza dobbiamo analizzare se e in quale modo la teoriadei profili sottili sviluppata nel capitolo precedente puo essere modificata per tenereconto di questo aspetto. L’analisi che presentiamo costituisce un adattamentopiu o meno fedele dei paragrafi iniziali del capitolo 5 del classico testo di John D.Anderson: Fundamentals of Aerodynamics, third edition, McGraw-Hill, New York,2001.

8.1 Descrizione delle ali di apertura finita

La descrizione geometrica di un’ala di apertura finita e molto complicata in quantorichiede di specificare le sue due superfici, superiore e inferiore, in modo univoco.Tuttavia, per delle ragioni che saranno indicate fra un momento, ai fini della teoriadella linea portante la forma dell’ala puo essere caratterizzata indicando solo trefunzioni della coordinata z che percorre l’ala nel senso della sua apertura. Sup-poniamo di indicare con b l’apertura dell’ala e di porre l’origine degli assi nelsuo centro per cui avremo − b

2 ≤ z ≤ b2 . Allora, la pianta dell’ala sara data dalla

funzione, ovviamente simmetrica,

c = c(z), |z| ≤ b/2,

che specifica la lunghezza della corda dei profili nelle varie sezioni, in funzionedella coordinata z.

Le ali possono poi avere uno svergolamento geometrico consistente in unavariazione dell’angolo di incidenzaα(z) della corda del profilo nelle diverse sezioni:


280 CAPITOLO 8 Teoria della linea portante per ali di apertura finita

questa caratteristica e indicata dalla funzione

α = α(z), |z| ≤ b/2.

Naturalmente, anche questa funzione e sempre simmetrica (sola eccezione il boomerang).Per un’ala completamente piatta si avra α(z) = 0.

Infine, le ali di molti aeroplani moderni hanno sezioni con profili alari diversi equesto provoca valori diversi di α`=0. Questa circostanza e descritta con il nome disvergolamento aerodinamico dell’ala e sara rappresentato da una terza funzione,sempre simmetrica,

α`=0 = α`=0(z), |z| ≤ b/2.

Strettamente parlando, questa terza funzione non costituisce un’informazione dinatura puramente geometrica ma e una conseguenza diretta e calcolabile dellaforma della profili di tutte le sezioni dell’ala.

L’utilita di queste tre funzioni nell’ambito della teoria della linea portante chequi ci interessa sta nel fatto che esse sono sufficienti per elaborare una nuovaequazione che descrive gli aspetti fondamentali del flusso 3D attorno all’ala diapertura finita. Piu in particolare, la nuova equazione riguarda un’incognita lungola terza dimensione in direzione perpendicolare alle sezioni dei profili. In altreparole le tre funzioni considerate permettono di analizzare il flusso tridimensionalemediante una scomposizione delle direzioni introdotta genialmente da Prandtl:prima si risolvono i problemi 2D nelle varie sezioni dell’ala e poi si scrive unproblema nella direzione trasversale al piano delle sezioni. La funzione α`=0(z)contiene la sola informazione delle soluzioni della teoria dei profili sottili che enecessaria per la teoria della linea portante.

Come ultima osservazione notiamo che si dovrebbe specificare anche la po-sizione del punto medio della corda, al variare di z, nel piano x-z dell’ala. Laposizione di tale punto potrebbe essere data da una funzione x = x(z) per descri-vere ali con maggiore o minore freccia. Noi supporremo di considerare solo ali confreccia nulla.

8.2 Vortici di estremita

Per determinare in funzionamento dell’ala, ricordiamo per prima cosa che la gener-azione della portanza su un profilo alare e stata spiegata come effetto della differenzadi pressione fra la superfici del dorso e quella del ventre del profilo stesso: il dorso e


PARAGRAFO 8.2: Vortici di estremita 281

in depressione rispetto al ventre, con la conseguente generazione di una forza direttaverso l’alto. Nel caso di un’ala di apertura infinita, la zona di sovrapressione ela zona in depressione sono separate completamente dalla presenza della superficiedel corpo portante. Diversamente, nel caso di un’ala di apertura finita, in cor-rispondenza delle estremita alari la separazione si interrompe e quindi in questeregioni il fluido tende a muoversi dalla parte inferiore verso quella superiore a causadei valori diversi della pressione, come mostrato nella figura 8.1 accanto. Pertantoalle estremita dell’ala tende a formarsi un movimento vorticoso del fluido, che vadal ventre al dorso girando all’esterno e che provoca una scia a valle delle dueestremita dell’ala. Si comprende allora che il modello di flusso bidimensionale, chee alla base della teoria dei profili sottili, non e in grado di rappresentare la correntetridimensionale effettivamente presente attorno a un’ala reale.

+++++++−−−−−−−

Figura 8.1

Formazione dei vortici di estremita

Il moto del fluido generato alle estremita modifichera la corrente principale nelsenso che la direzione della velocita sul dorso sara deviata verso la radice dell’ala(ossia verso l’interno) mentre sul ventre sara deviata verso l’esterno, come mostratonella figura 8.2.

Figura 8.2 Direzione della velocitaa valle delle estremita alari

Questo tipo di differenza nella direzione della velocita, ma non nel suo modulo,e compatibile con la condizione di Kutta–Joukowski, per cui si intuisce che, apartire del bordo di uscita dell’ala, puo formarsi una superficie di discontinuita perla velocita, cioe una scia vorticosa orizzontale, che e chiamata scia di Prandtl.Un’eventuale sezione di questa superficie, eseguita con un piano perpendicolarealla velocita asintotica, metterebbe in evidenza una linea di discontinuita dellacomponente z della velocita fra la zona superire e quella inferiore del fluido. Lapresenza di questa scia influisce su tutto il campo di moto,modificando le prestazionidell’ala rispetto alla situazione dell’ala di apertura infinita. Per cercare di descriverein maniera quantitativa e non solo qualitativa il comportamento dell’ala occorre peropartire da un’analisi piu approfondita del flusso tridimensionale in presenza di unvortice uscente da una superficie.



Legge di Biot–SavartIncominciamo a studiare il campo di velocita associato alla presenza di un vorticerettilineo. A tale fine, assumiamo, senza dimostrarla, la relazione che descrive ilcontributo al campo di velocita associato a un tratto infinitesimo di lunghezza dl diun filamento vorticoso di circolazione Γ . Questa relazione e analoga a quella chedescrive il contributo al campo magnetico statico dovuto a un elemento di correnteelettrica stazionaria, nota come legge di Biot–Savart. Nel caso fluidodinamico talelegge dice che il contributo du alla velocita indotta e dato da

du = Γ

4π

dl � r|r|3 ,

dove r e il vettore che va dall’elemento dl al punto P in cui si calcola la velocita,come mostrato nella prossima figura 8.3 in margine.

Incominciamo col verificare che, nel caso di una distribuzione rettilinea diVedi paragrafo 3.7. elementi vorticosi, la legge di Biot–Savart conduce allo stesso campo di velocita

del vortice rettilineo studiato nel capitolo 3. Consideriamo allora la somma di tutti icontributi di velocita indotta nel punto P da parte di tutti gli elementi del filamentovorticoso rettilineo mostrato nella figura 8.3.

La formula del contributo alla velocita indotta contiene il prodotto vettoriale percui la velocita risultante u sara perpendicolare al piano contenente la retta del vorticee il punto r e il suo verso sara ottenuto applicando la regola della mano destra. Perdeterminare il modulo di u, indichiamo con R la distanza del punto P dal vorticee sia θ l’angolo compreso fra r e la retta del vortice. Allora, |r| = R/ sin θ e|dl � r| = (R/ sin θ) dl sin θ = R dl. Prendendo poi come origine della variabiledi integrazione l la proiezione del punto P in cui si calcola la velocita sulla rettadel vortice, si ha l = R tanφ = R tan

(θ − π

2

) = −R cot θ , per cui dl = R dθsin2 θ

. Ilmodulo della velocita risultante sara quindi dato dall’integrale

r

φ

dl

Γ

R

lθ

Figura 8.3 Contributo elementare diun vortice rettilineo al campo di velocita

|u(P)| = Γ

4π

∫ π

0

sin3 θ

R3

R2 dθ

sin2 θ= Γ

4πR

∫ π

0sin θ dθ = Γ

2πR.

Questo risultato, unitamente alla direzione di u, corrisponde al campo di moto delVedi esempio 5 del paragrafo 3.7. vortice rettilineo infinito, espresso in coordinate cilindriche, con l’asse z coincidente

con la sua retta.

Teoremi dei vortici di Kelvin e HelmholtzPer giungere a valutazioni quantitative occorre caratterizzare in maniera piu precisail comportamento della scia. Per questo sono utili altre due proprieta dei vortici, for-mulate tramite due teoremi di Kelvin e Helmholtz. Il primo afferma che l’intensita,cioe la circolazione, di un vortice che non si divide mai in piu filamenti e costante.


PARAGRAFO 8.3: Velocita indotta dai vortici di estremita 283

Bla Bla

E utile osservare che, se considerassimo solo la velocita indotta da una meta1

di un vortice rettilineo, come risultato si otterrebbe la meta del valore precedente,ossia,

|u(P)| = Γ

4πR(vortice rettilineo semi−infinito).

8.3 Velocita indotta dai vortici di estremita

Una volta dimostrati i teoremi di Kelvin–Helmholtz, abbiamo gli strumenti percomprendere il funzionamento di un’ala di apertura finita. Prendiamo un’ala chegeneri una portanza e consideriamo le sue sezioni mediante piani parelleli fra loroe normali all’asse z dell’ala, come mostrato nella figura 8.4.

Figura 8.4

Sezione di un’ala di apertura finita

x

y

z

Γ

1 A rigore, il contributo che compare nella legge di Biot–Savart appena scritto non puo

essere interpretato come diretta conseguenza fisica del termine elementare di vorticita Γ dl.Un’interpretazione fisica corretta della legge di Biot–Savart richiede di considerare l’integrale su

un intero vortice. Il considerare la meta di un vortice rettilineo rappresenta quindi piu un artificio

euristico per ricavare la soluzione che non un ragionamento suscettibile di un’interpretazione

dotata di fondamento fisico.



Ciascun profilo ottenuto da ogni sezione sara caratterizzato da una determinataportanza `(z) per unita di apertura che, una volta integrata lungo tutta l’apertura,fornira la portanza totale L. Alla portanza locale `(z) corrispondera, in base alteorema di Kutta–Joukowski, una circolazione locale Γ (z) = − `(z)

ρU anch’essafunzione della distanza z dalla radice dell’ala.

Supponiamo per il momento che Γ (z) sia costante: questo vuole dire che l’alapuo essere schematizzata con un tratto di vortice rettilineo disposto lungo l’aperturae di intensita Γ . Dato che il secondo teorema di Kelvin–Helmholtz stabilisce cheun vortice filamentoso (o un tubo di vorticita) puo solo estendersi fino al contorno(parete solida o all’infinito) del campo di moto o richiudersi su se stesso, e legittimodomandarsi che cosa accade a tale vortice agli estremi dell’ala. D’altra parte,come abbiamo visto in precedenza analizzando qualitativamente la corrente attornoall’ala vicino alle sue estremita, in queste due zone si osserva la formazione di duevortici rettilinei semi-infiniti allineati con la direzione della velocita esterna, checontribuiscono a formare una scia vorticosa dietro l’ala. Siccome questi due vorticiruotano in versi opposti ma sono entrambi coerenti con il verso della vorticita Γ (z)associata all’ala, si puo descrivere l’insieme come un unico vortice a forma di U oa ferro di cavallo costituito da tre tratti di vortici rettilinei di cui due semi-infiniti euno di lunghezza finita compreso fra gli altri due, come mostrato nella figura 8.5.

z

y

x

U

b

Figura 8.5 Vortice a ferro di cavalloe sistema di riferimento

Questa ipotesi riguardo la struttura della corrente alle estremita dell’ala sembraplausibile considerando la natura convettiva dell’equazione della vorticita studiatanella prima parte.

Consideriamo adesso il campo di moto associato ai due filamenti vorticosi checostituiscono la scia. Chiameremo questo campo di velocita, abusando un po’ deltermine, velocita indotta. In particolare siamo interessati a calcolare la velocitaindotta in corrispondenza del vortice di lunghezza finita che schematizza l’ala,che chiameremo in seguito vortice portante. Utilizzando la relazione ricavatain precedenza per il tratto di vortice rettilineo semi-infinito, siamo in grado diesprimere la velocita indotta in funzione della posizione sull’ala. Introduciamoallora un sistema di riferimento cartesiano in cui l’asse x sia orientato come lavelocita all’infinito U e l’asse z sia diretto come il vortice portante, ossia comel’asse dell’ala, verso il lato sinistro, per un osservatore che guardi nel verso negativodell’asse x . L’asse y sara preso in modo da formare una terna destra e sara quindirivolto verso l’alto, vedi figura 8.5.

Se i vortici della scia sono posizionati rispettivamente in − 12 b e 1

2 b, le cor-rispondenti velocita indotte, calcolate in un punto del vortice portante di coordinata


PARAGRAFO 8.4: Resistenza indotta 285

z, saranno dirette come l’asse z e saranno date da

v+ind(z) = −Γ

4π(z − b/2), |z| ≤ b

2,

per quanto riguarda il vortice in z = b/2 e

v−ind(z) =Γ

4π(z + b/2), |z| ≤ b

2,

per l’altro. Se l’ala e effettivamente portante, la circolazione Γ sara negativa, altri-menti essa sara positiva. La velocita indotta dai due vortici sara data semplicementedalla somma delle velocita appena calcolate

vind(z) = −Γ

4π

b

z2 − b2/4, |z| ≤ b

2.

In corrispondenza del vortice portante la velocita indotta dalla scia va a sommarsicon la velocita della corrente indisturbata,modificando sia la direzione sia l’intensitadella velocita incidente sull’ala. La velocita risultante sara data quindi dalla sommavettoriale delle due: u(z) = U x+ vind(z) z.

Considerando il triangolo delle velocita riportato nella figura 8.6, si deduce che,se per una determinata stazione in apertura la velocita indotta e positiva, l’angolo diincidenza a cui lavora il relativo profilo aumenta di un angolo αind(z). Quest’angoloviene detto angolo di incidenza indotta ed e quindi definito da:

U

α

ααind

U

uvind

Figura 8.6 Triangolo delle velocitae angolo di incidenza indotta

αind(z) = tan−1

(vind(z)

U

), |z| ≤ b

2.

Possiamo, sempre considerando la stessa figura, determinare l’ampiezza di taleangolo nonche il modulo della velocita che incide effettivamente sul vortice portante.L’angolo di incidenza effettivo, αeff(z), e definito da

αeff(z) = α(z)+ αind(z),

mentre il modulo della velocita u(z) lungo l’ala e dato da

|u(z)| = u(z) =√

U 2 + v2ind(z),

essendo entrambe le funzioni definite per |x | ≤ b/2. [Porre attenzione al fatto chein questa analisi u(z) indica il modulo del vettore u(z) e non la sua componente x .]Notiamo che mentre α(z) rappresenta una funzione nota, le due funzioni αind(z) evind(z) sono da determinare.



8.4 Resistenza indotta

La variazione nella direzione della velocita incidente in corrispondenza del profilonelle varie sezioni dell’ala ricavata nel paragrafo precedente produce effetti digrande importanza sul funzionamento di un’ala di apertura finita.

Innanzitutto, poiche l’angolo di incidenza effettivo a cui e sottoposto ogniprofilo dipende dalla sua posizione z lungo l’ala, si crea un legame inscindibile frala distribuzione di portanza sull’ala e la distribuzione di circolazione nella scia.

Inoltre, poiche il vortice portante e investito da una velocita ‘ruotata’ dell’angolodi incidenza indotta, anche la direzione della forza portante risultera ruotata dellostesso angolo, in virtu del teorema della portanza di Kutta–Joukowsky che affermache la forza generata da un profilo alare, nelle ipotesi di flusso incomprimibile eirrotazionale, e diretta normalmente alla velocita incidente sul profilo.

Sia allora `(z) la portanza per unita si apertura generata dal profilo in cor-rispondenza della sezione z, come mostrato nella figura 8.7. Per il teorema diKutta–Joukowsky la portanza per unita di apertura e

`(z) = −ρu(z)Γ (z).

La forza corrispondente e normale al vettore velocita u(z), somma vettoriale dellavelocita del campo lontano e della velocita indotta, per cui la portanza `(z) puoessere scomposta nelle due direzioni x e y, rispettivamente parallela e normale allavelocita asintotica U:

U

`

αindx

y

Figura 8.7 Scomposizione dellaportanza lungo le coordinate cartesiane

`x(z) = −`(z) sinαind(z) e `y(z) = `(z) cosαind(z).

Si puo mostrare facilmente che la forza in direzione dell’asse x e sempre positivae costituisce dunque una resistenza, alla quale si da il nome di resistenza indotta.Per fissare le idee, consideriamo la relazione per il vortice a ferro di cavallo ricavatain precedenza. Essa afferma che, quando Γ (z) e positiva, la velocita indotta sulvortice portante e positiva e quindi αind(z) e positivo, dove −b/2 ≤ z ≤ b/2. Inquesto caso il teorema di Kutta–Joukowsky ci assicura inoltre che ` e negativa,quindi `x deve essere positiva ed essere dunque una forza che si oppone al moto.

La presenza di una componente `x(z) non nulla nel flusso attorno all’ala diapertura finita mostra che questo flusso incomprimibile inviscido non soddisfa lecondizioni per potere applicare il paradosso di D’Alembert. Infatti, a causa dellapresenza della scia a valle dell’ala e del suo estendersi all’infinito, la corrente nondiventa uniforme allontanandosi dal corpo in tutte le direzioni dello spazio.


PARAGRAFO 8.5: Teoria della linea portante 287

8.5 Teoria della linea portante

Riprendiamo ora il ragionamento sul vortice a forma di U. Si puo vedere, anal-izzandone la formula, che la velocita indotta tende all’infinito in prossimita delleestremita del vortice portante. Questo, oltre a essere fisicamente inammissibile,dato che per un’ala portante Γ < 0 e αind < 0, produrrebbe anche un’incidenzaindotta negativa tale da rendere i profili vicini alle estremita alari deportanti e quindicaratterizzati da circolazione positiva. Questo contraddice chiaramente le ipotesi diΓ costante e negativa!

Questo ragionamento ci porta a concludere che lo schema del vortice a U condistribuzione di Γ (z) uniforme lungo tutta l’ala e troppo grossolano per descriverein maniera adeguata il comportamento di un’ala reale. D’altronde, fin dall’inizio,avevamo osservato che, a causa della discontinuita al bordo d’uscita fra la velocitadell’aria proveniente dal dorso e la velocita dell’aria proveniente dal ventre, sigenerava una superficie di discontinuita uscente dal bordo d’uscita. Proviamodunque a delineare un modello piu accurato che tenga conto di questa osservazione.

Incominciamo con l’osservare che l’ipotesi fatta di circolazione costante lungoil vortice portante puo essere rilassata se supponiamo che le variazioni di circo-lazione al suo interno si ritrovino nella scia. Quindi esistera un legame fra lacircolazione Γ (z) e la circolazione per unita di apertura presente nella scia, γ (z).

Determiniamo ora un legame fra le due in modo tale che i teoremi sui vorticifilamentosi siano soddisfatti. Consideriamo due punti vicini sul vortice portante, dicoordinate z e z+ dz rispettivamente. La circolazione nei due punti sara rispettiva-mente Γ (z) e Γ (z + dz). Per il teorema sulla conservazione della circolazione neitubi vorticosi alla variazione di circolazione nel vortice portante Γ (z + dz)−Γ (z)deve corrispondere una medesima circolazione nella scia. Essa sara costituita, peril nostro modello, da una circolazione per unita di apertura γ (z) distribuita sullavariazione di apertura dz nella scia e sara quindi data da γ (z) dz. Supponiamo γ (z)positiva se il vettore che la rappresenta ha il verso dell’asse x , negativa altrimenti.Come mostrato in figura 8.8, una diminuzione della circolazione all’aumentare di z

+++++++−−−−−−−

Figura 8.8 Relazione fra lacircolazione sul vortice portante equella nella scia

determina una circolazione positiva nella scia, a un aumento lungo l’apertura dellacircolazione sul vortice portante corrispondera invece una circolazione negativanella scia. Questo ci porta a concludere che la relazione cercata e

Γ (z + dz)− Γ (z) = −γ (z) dz,

da cui si ricava, dividendo per dz e passando al limite per dz → 0,

dΓ

dz= −γ (z).



Per comprendere meglio la presenza del segno negativo nell’equazione precedentepossiamo ragionare utilizzando dei vortci a U. Supponiamo di affiancare due vorticia U di diversa intensita, rispettivamente Γ1 e Γ2, i cui vortici portanti siano dispostisull’asse z, come rappresentato nella figura 8.9. Il verso positivo della circolazione

+++++++−−−−−−−

Figura 8.9 Vortici a Ue rappresentato dalle frecce. Supponiamo che Γ1 > Γ2 > 0 e avviciniamo i duevortici fino a far coincidere il vortice di scia sinistro del primo, che ha intensita Γ1

positiva perche il suo verso e concorde con quello dell’asse x , con il vortice di sciadestro del secondo vortice, di intensita −Γ2 nella convenzione di segno adottata.Questa operazione ci porta ad avere un unico vortice portante con circolazione cheaumenta bruscamente daΓ1 aΓ2. In corrispondenza dell’aumento della circolazionedel vortice portante abbiamo un vortice di scia di intensita−Γ2+Γ1, ottenuto dallasomma algebrica dei vortici di scia dei due vortici a U considerati, che e negativoper le ipotesi fatte.

8.6 Equazione della linea portante (integro-differenziale)

Una volta ottenuta una relazione che leghi la distribuzione di circolazione lungol’apertura del vortice portante con la distribuzione di circolazione per unita diapertura nella scia possiamo passare a ricercare un’equazione che ci permetta diricavare la distribuzione di circolazione una volta assegnata la geometria dell’ala,l’incidenza geometrica e la velocita della corrente lontano da essa.

Per far questo introduciamo delle ipotesi semplificative. Innanzitutto supponi-amo che sia applicabile la teoria dei profili sottili in ogni sezione dell’ala. In questocaso il coefficiente di portanza del profilo relativo alla sezione z sara dato dallarelazione

C` (z) = 2π[αeff(z)− α`=0(z)

].

Il coefficiente di portanza e stato scritto come funzione dell’angolo di incidenzaefficace, poiche questo e l’angolo di incidenza cui e sottoposto il profilo.

D’altra parte, ricordando il teorema di Kutta–Joukowsky il coefficiente adi-mensionale di portanza e definito da

C` (z) =−ρu(z)Γ (z)12ρu2(z)c(z)

= − 2Γ (z)

u(z)c(z).

Pertanto, eguagliando le due ultime espressioni si trova il legame fra la circolazionee l’angolo di incidenza, che risulta essere della forma

Γ (z)

πu(z)c(z)= −αeff(z)+ α`=0(z).


PARAGRAFO 8.6: Equazione della linea portante (integro-differenziale) 289

Possiamo a questo punto sostituire all’angolo di incidenza efficace αeff(z) la suaespressione ricavata in precedenza, αeff(z) = α(z)+ αind(z), ottenendo

Γ (z)

πu(z)c(z)+ αind(z) = −α(z)+ α`=0(z),

dove, come gia visto, αind(z) = tan−1(vind(z)/U

).

Avendo supposto valida la teoria dei profili sottili l’angolo di incidenza geo-metrica e l’angolo di incidenza indotta devono essere piccoli. Questo ci consentedi approssimare la tangente e il seno di un angolo con l’angolo stesso, per cuiscriviamo

αind(z) ' vind(z)/U

e anche di considerare la velocita indotta vind(z) piccola rispetto a quella asintotica,per cui

u(z) ' U.

Di conseguenza la relazione contenente l’incognita Γ (z) diventa

Γ (z)

πUc(z)+ vind(z)

U= −α(z)+ α`=0(z).

Rimane ora il problema di determinare la velocita vind(z) indotta dalla scia diPrandtl. Per fare questo possiamo utilizzare le relazioni viste in precedenza per ivortici rettilinei semi-infiniti. In questo caso un tratto di apertura infinitesima dζdella scia, in corrispondenza della coordinata z = ζ , si comportera come un vorticerettilineo semi-infinito, e dara un contributo alla velocita indotta

dvind = −γ (ζ ) dζ

4π

1

z − ζ ,

che, introducendo la relazione fra la derivata della circolazione sul vortice portantee la circolazione per unita di apertura nella scia, diventa

dvind =1

4π

dΓ (ζ )

dζ

dζ

z − ζ .

Integrando sull’apertura, si ottiene

vind(z) =1

4π

∫ b/2

−b/2

dΓ (ζ )

dζ

dζ

z − ζ ,



che puo essere sostituita nella precedente equazione contenente Γ (z) per ottenereun’equazione in questa sola incognita

Γ (z)

πUc(z)+ 1

4πU

∫ b/2

−b/2

dΓ (ζ )

dζ

dζ

z − ζ = −α(z)+ α`=0(z).

Questa equazione e nota come equazione della teoria della linea portante.Essa consiste in un legame che deve essere soddisfatto, per ogni valore di znell’intervallo [−b/2, b/2], dalla funzione Γ (z) da determinare nello stesso in-tervallo. L’equazione e integro-differenziale in quanto l’incognita Γ (z) comparesia sotto il segno d’integrale sia come derivata. Le tre funzioni c = c(z), α = α(z)e α`=0 = α`=0(z), definite per − b

2 ≤ z ≤ b2 , sono note e insieme definiscono in

modo completo le caratteristiche geometriche dell’ala.

Caratteristiche aerodinamiche dell’alaLa soluzione Γ (z) dell’equazione della linea portante permette di determinare lecaratteristiche aerodinamiche dell’ala di apertura finita. Per prima cosa abbiamol’angolo di incidenza indotto

αind(z) =vind(z)

U= 1

4πU

∫ b/2

−b/2

dΓ (ζ )

dζ

dζ

z − ζ .

Inoltre si potranno calcolare le seguenti quantita aerodinamiche nella loro versionelocale e globale:

1. La distribuzione della portanza locale per unita di apertura in base al teoremadella portanza di Kutta–Joukowski

`y(z) = `(z) cosαind(z)

' `(z) = −ρUΓ (z).

Per indicare la portanza usiamo la lettera `, che e molto diffusa nella letteraturaaeronautica per aderenza al termine inglese lift.

2. La portanza totale dell’ala, ottenuta integrando la relazione precedente,

L ≡∫ b/2

−b/2`y(z) dz = −ρU

∫ b/2

−b/2Γ (z) dz.

Da questa quantita si ricava il coefficiente di portanza dell’ala finita

CL ≡ L12ρU 2S

= − 2

U S

∫ b/2

−b/2Γ (z) dz.


PARAGRAFO 8.7: Distribuzione ellittica della portanza 291

3. La resistenza indotta locale per unita di apertura:

dind(z) = −`(z) sinαind(z)

' −`(z) αind(z) = ρUΓ (z) αind(z).

Per indicare la resistenza usiamo la lettera d, che e assai diffusa nella letteraturaaeronautica per aderenza al termine inglese drag.

4. La resistenza indotta totale dell’ala. Questa quantita si ottiene integrandodind(z) lungo tutta l’apertura dell’ala, ottenendo

Dind ≡∫ b/2

−b/2dind(z) dz = ρU

∫ b/2

−b/2Γ (z) αind(z) dz.

Da questa quantita si ottiene la sua versione adimensionale, chiamata coeffi-ciente di resistenza indotta

CDind ≡Dind

12ρU 2S

= 2

U S

∫ b/2

−b/2Γ (z) αind(z) dz.

8.7 Distribuzione ellittica della portanza

Consideriamo una distribuzione della circolazione nelle vari sezioni dell’ala cheabbia il seguente andamento

Γ (z) = Γ0

√1− ( 2z

b

)2,

dove Γ0 e il valore della circolazione in corrispondenza della sezione centrale(z = 0) dell’ala. Notiamo che questo valore non e un dato ma solo un elementodella soluzione dell’equazione integro-differenziale e quindi e determinato dalle trefunzioni note presenti nell’equazione stessa.

Si vede che la circolazione varia in modo ellittico con la distanza z lungol’apertura: ha il valore massimo Γ (0) = Γ0 al centro dell’ala e si annulla alle dueestremita per z = ±b/2. Per questo motivo essa e chiamata distribuzione ellitticadella circolazione. Dato che, in base alla legge della portanza di Kutta–Joukowski,` = −ρUΓ , la portanza locale della distribuzione ellittica di Γ (z) e data da

`(z) = −ρUΓ0

√1− ( 2z

b

)2



e quindi anche la distribuzione della portanza e ellittica.

La distribuzione ellittica non e stata ricavata come soluzione dell’equazioneintegro-differenziale ma abbiamo soltanto supposto che tale distribuzione potesseessere soluzione del problema. Verifichiamo ora quali potrebbero essere le proprietaaerodinamiche di un’ala con distribuzione ellittica della portanza.

Per prima cosa determiniamo la velocita verticale indotta. Calcoliamo laderivata della funzione Γ (z)

dΓ (z)

dz= −4Γ0

b2

z√1− ( 2z

b

)2.

Sostituendo la derivata nella definizione della velocita verticale indotta abbiamo

v(z) = − Γ0

πb2

∫ b/2

−b/2

ζ dζ

(z − ζ )√

1− ( 2ζb

)2.

Per calcolare l’integrale e utile considerare il cambiamento di variabile

z = −b

2cos θ,

e quindi introdurre la funzione v(θ) che esprime la velocita verticale indotta infunzione della nuova variabile, essendo definita da

v(θ) = v(z(θ)) = v( cos−1 (− 2zb

)).

Se la nuova variabile che corrisponde alla variabile di integrazione ζ e indicata conϑ , per cui

ζ = −b

2cosϑ e dζ = b

2sinϑ dϑ,

l’integrale precedente diventa

v(θ) = Γ0

2πb

∫ π

0

cosϑ

cosϑ − cos θdϑ.

Questo integrale corrisponde al caso particolare n = 1 della formula standard degliintegrali definiti incontrati nello studio del flusso attorno a un profilo sottile piattoe che e ricavata nell’appendice G. Per comodita riportiamo tale formula

∫ π

0

cos(nϑ)

cosϑ − cos θdϑ = π sin(nθ)

sin θ, n = 0, 1, 2, 3, . . .


PARAGRAFO 8.8: Distribuzione generica della portanza 293

Per n = 1 l’integrale vale quindi π e pertanto si ottiene v(θ) = Γ02b , ovvero

v = Γ0

2bper |z| ≤ b

2,

e la velocita verticale indotta in un’ala con una portanza ellittica e uniforme lungotutta l’apertura dell’ala (sara pero nulla al suo esterno). A sua volta, l’angolo diincidenza indotto e dato da

αind =v

U= Γ0

2Ubper |z| ≤ b

2,

e quindi anche l’angolo di incidenza indotto di un’ala con una portanza ellittica euniforme lungo la sua apertura.

8.8 Distribuzione generica della portanza

Cambiamento di variabili ed equazione trasformataConsideriamo ora il caso di un’ala le cui caratteristiche geometriche siano note macomunque arbitrarie. Ricorriamo ancora allo stesso cambiamento di variabile

z = −b

2cos θ

adottato nel caso di andamento ellittico della portanza e introduciamo quindil’incognita trasformata, ovvero Γ (θ), funzione della nuova variable θ , definitada

Γ (θ) = Γ (z(θ)) = Γ ( cos−1 (− 2zb

)).

Riscriviamo l’equazione integro-differenziale della teoria della linea portante intermini delle nuove variabili introducendo la nuova variabile d’integrazioneϑ legataa quella, ζ , dell’equazione originaria tramite lo stesso cambiamento di variabili:

ζ = −b

2cosϑ.

Il cambiamento di variabili considerato conduce pertanto all’equazione



Γ (θ)

πUc(θ)+ 1

2πUb

∫ π

0

dΓ (ϑ)

dϑ

dϑ

cosϑ − cos θ= −α(θ)+ α`=0(θ),

dove sono state introdotte le seguenti funzioni trasformate dei dati

c(θ) = c(z(θ)) = c(

cos−1(− 2z

b

)),

α(θ) = α(z(θ)) = α( cos−1 (− 2zb

)),

α`=0(θ) = α`=0(z(θ)) = α`=0

(cos−1 (− 2z

b

)).

L’equazione integro-differenziale appena scritta deve essere soddisfatta per ogniθ nell’intervallo [0, π] e la sua soluzione Γ (θ) e definita nello stesso intervallo.Notare la lettera greca ϑ usata come variabile d’integrazione, che e diversa dallanormale lettera θ con cui si indica invece la variabile libera dell’equazione integro-differenziale.

Rappresentazione in serie di Fourier della soluzioneLa soluzione del caso ellittico, cioe Γ ell(θ) = Γ0 sin θ , suggerisce che la soluzionedel caso generale potrebbe avere la forma di una serie di Fourier di soli seni,ovverosia:

Γ (θ) = 2Ub∞∑

m=1

Bm sin(mθ),

dove il coefficiente 2Ub e stato introdotto affinche i coefficienti Bm , m = 1, 2, . . . ,della serie siano adimensionali. I coefficienti Bm , m = 1, 2, . . . , sono incognite dadeterminate imponendo che la serie soddisfi l’equazione di Prandtl della teoria dellalinea portante. Calcoliamo allora la derivata della funzione Γ (θ) per poi sostituirenell’equazione integro-differenziale. Si ha

dΓ (θ)

dθ= 2Ub

∞∑

m=1

m Bm cos(mθ).

Sostituendo nell’equazione della linea portante si ottiene

2b

π c(θ)

∞∑

m=1

Bm sin(mθ)+ 1

π

∫ π

0

∑∞m=1 m Bm cos(mϑ)

cosϑ − cos θdϑ = −α(θ)+α`=0(θ),



ovverosia, scambiando fra loro l’ordine di integrazione e di sommatoria,

2b

π c(θ)

∞∑

m=1

Bm sin(mθ)+ 1

π

∞∑

m=1

m Bm

∫ π

0

cos(mϑ)

cosϑ − cos θdϑ

= −α(θ)+ α`=0(θ).

Ma gli integrali definiti sono proprio quelli della formula appena riportata per cuil’equazione precedente diventa

2b

π c(θ)

∞∑

m=1

Bm sin(mθ)+∞∑

m=1

m Bmsin(mθ)

sin θ= −α(θ)+ α`=0(θ),

ovverosia, scrivendo un’unica sommatoria,

∞∑

m=1

{[2b

π c(θ)+ m

sin θ

]sin(mθ) Bm

}= −α(θ)+ α`=0(θ).

Questa equazione deve essere soddisfatta in tutti i punti θ dell’intervallo [0, π]essendo note le tre funzioni c(θ), α(θ) e α`=0(θ) sullo stesso intervallo. Gli infiniticoefficienti Bm , m = 1, 2, . . . , sono le incognite del problema. Esse compaionolinearmente nell’equazione per cui il problema puo essere riguardato come unsistema lineare di infinite equazioni, una per ogni valore di θ ∈ [0, π], nelle infiniteincognite Bm , m = 1, 2, . . . .

Approssimazione e discretizzazione del problemaLa risoluzione del problema lineare di “ordine infinito” appena formulato puoessere affrontata in modo approssimato troncando la serie della soluzione a unnumero finito M di termini, ovvero scrivendo

Γ (θ) = 2UbM∑

m=1

Bm sin(mθ),

e soddisfacendo l’equazione lineare soltanto in M punti dell’intervallo [0, π].La scelta dei punti non e ovvia anche perche il coefficiente fra parentesi quadrenell’equazione contiene le due funzioni 1

c(θ) e msin θ che divergono agli estremi

dell’intervallo [0, π]. Per controllare piu agevolmente questo comportamentodell’equazione discretizzata, conviene moltiplicare entrambi i suoi membri perc(θ) sin θ , e scrivere l’equazione troncata nella forma seguente

M∑

m=1

{[2b

πsin θ + mc(θ)

]sin(mθ) Bm

}= [− α(θ)+ α`=0(θ)

]c(θ) sin θ.



A questo punto possiamo considerare una distribuzione uniforme di punti, ad es-empio, θm = (m − 1)π/(M − 1), con m = 1, 2, . . . ,M , che include gli estremidell’intervallo. Imporremo infine che l’equazione sia soddisfatta in ognuno di essi,per cui avremo M equazioni lineari in M incognite

M∑

m=1

{[2b

πsin θn + mc(θn)

]sin(mθn) Bm

}= [−α(θn)+α`=0(θn)

]c(θn) sin θn,

per n = 1, 2, . . . ,M . Naturalmente, aumentando l’ordine M di questo sistemalineare si dovrebbe ottenere una soluzione del problema sempre piu accurata. Glielementi della matrice A del sistema lineare sono dati da

A → an,m =[

2b

πsin θn + mc(θn)

]sin(mθn)

e quindi il sistema e non simmetrico.

Proprieta aerodinamiche dell’alaUna volta che Γ (θ) e stato calcolato, il coefficiente di portanza dell’ala e determinatomediante la seguente relazione

CL = L12ρU 2S

= 2

ρU 2 S

∫ b/2

−b/2`(z) dz

= 2

ρU 2S

[−ρU

∫ b/2

−b/2Γ (z) dz

]

= 2

U S

b

2

∫ π

0Γ (θ) sin θ dθ.

Sostituendo l’espansione in serie della soluzione Γ (θ) si ottiene

CL = b

U S

∫ π

02Ub

∞∑

m=1

Bm sin(mθ) sin θ dθ

= 2b2

S

∞∑

m=1

Bm

∫ π

0sin(mθ) sin θ dθ.

Ma per la nota relazione di ortogonalita∫ π

0sin(mθ) sin θ dθ =

{π/2 per m = 1,

0 per m 6= 1,



di tutti i termini della sommatoria rimane solo il primo e quindi risulta

CL = πb2

SB1 = π All. B1,

dove si e anche introdotto il rapporto di forma o allungamento All. = b2/Sdell’ala. Notiamo che, anche se CL dipende solo dal primo coefficiente della seriedi Γ (θ), la sua determinazione richiede di risolvere il sistema lineare relativo a tuttii coefficienti Bm , per m = 1, 2, . . . ,M .

Il calcolo del coefficiente di resistenza indotta e un po’ piu complicato. Perdefinzione abbiamo:

CDind =Dind

12ρU 2S

= 2

ρU 2S

∫ b/2

−b/2`(z) αind(z) dz

= 2

ρU 2S

[−ρU

∫ b/2

−b/2Γ (z) αind(z) dz

]

= b

U S

∫ π

0Γ (θ) αind(θ) sin θ dθ.

Il calcolo dell’integrale richiede di sostituire la serie della soluzione Γ (θ) comepure l’espressione corrispondente della funzione αind(θ). Quest’ultima, utilizzandoil consueto cambiamento di variabili, e definita da

αind(θ) =1

4πU

2

b

∫ π

0

dΓ (ϑ)

dϑ

dϑ

cosϑ − cos θ

= 1

2πUb

∫ π

0

2Ub∑∞

m=1 m Bm cos(mϑ)

cosϑ − cos θdϑ

= 1

π

∞∑

m=1

m Bm

∫ π

0

cos(mϑ) dϑ

cosϑ − cos θ

=∞∑

m=1

m Bmsin(mθ)

sin θ.

Sostituendo le due serie nell’espressione di CDind si ha

CDind =b

U S

∫ π

0

[2Ub

∞∑

m=1

Bm sin(mθ)][ ∞∑

m′=1

m ′Bm′ sin(m ′θ)]

dθ

= 2b2

S

∞∑

m=1

∞∑

m′=1

Bmm ′Bm′

∫ π

0sin(mθ) sin(m ′θ) dθ.



Ricorriamo ora alla relazione di ortogonalita

∫ π

0sin(mθ) sin(m ′θ) dθ =

{π/2 per m = m ′,

0 per m 6= m ′,

per cui le due sommatorie si riducono a una sola:

CDind =πb2

S

∞∑

m=1

m B2m = π All.

∞∑

m=1

m B2m .

dove si e introdotto il rapporto di forma dell’ala, All. = b2/S. Questo risultato siscrive anche in una forma leggermente diversa separando il contributo del primotermine della serie da tutti i successivi

CDind = π All. B21

(1+

∞∑

m=2

mB2

m

B21

),

ovverosia, introducendo il parametro adimensionale δ =∑∞m=2 m B2m/B2

1 ,

CDind = π All. (1+ δ)B21 .


PARAGRAFO 8.9: Ruolo del rapporto di forma 299

Tabella 1. Soluzione dell’equazione integro-differenziale della teoria della lineaportante di Prandtl–Lanchester: θ = θ(z) = cos−1

(− 2zb

)SEGNI

ANCORA DA CONTROLLARE.

ala di forma ellittica ala di forma arbitraria

Γ (z) Γ0

√1− ( 2z

b

)22Ub

∑∞m=1 Bm sin[mθ(z)]

`(z) −ρUΓ0

√1− ( 2z

b

)2 −2ρU 2b∑∞

m=1 Bm sin[mθ(z)]

L −π4 ρUΓ0b π

2 ρU 2b2 B1

CL −π2Γ0bU S π All. B1

vind(z)Γ02b

αind(z)vU = Γ0

2Ub = CLπ All.

∑∞m=1 m Bm

sin[mθ(z)]sin θ(z)

CDindπ2Γ0bU S αind = C2

Lπ All.

C2L

πAll. (1+ δ)

All. ≡ b2

S δ ≡∑∞m=2 m( Bm

B1

)2

8.9 Ruolo del rapporto di forma

capitolo 8 teoria della linea portante per ali di apertura ... · f. auteri e l. quartapelle:...

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