capitolo 6 equazioni dello strato limite stazionario 2d · f. auteri e l. quartapelle:...

F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 6 – pagina 207 colore nero Settembre 30, 2004

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CAPITOLO 6

Equazioni dello stratolimite stazionario 2DIntroduzione In questo capitolo presentiamo i concetti della teoria dello stratolimite di Prandtl per lo studio dei flussi incomprimibili viscosi ad alti numeri diReynolds. Deriviamo le equazioni di Prandtl per il caso di flussi stazionari in duedimensioni seguendo inizialmente il procedimento originario basato sull’analisidell’importanza relativa dei vari termini presenti nell’equazione della quantita dimoto quando una corrente stazionaria investe una lastra piana semi-infinita o uncorpo molto sottile disposti parallelamente alla direzione della velocita incidente.Sotto queste condizioni si ottiene un sistema contenente solo due equazioni per lecomponenti cartesiane della velocita mentre la pressione e stabilita dalla legge diBernoulli valida nella regione in cui il flusso puo essere considerato non viscoso.Ricerchiamo poi soluzioni di tipo similare delle equazioni di Prandtl. Nel caso par-ticolare di corrente uniforme a grande distanza dal corpo si scopre che la soluzionesimilare soddisfa un’equazione differenziale ordinaria del terzo ordine, la celebreequazione di Blasius. Tale equazione e ricavata sia direttamente dalle equazioni diPrandtl per le variabili velocita e pressione sia partendo da una rappresentazionedel problema in termini della funzione di corrente.

In una seconda fase, le equazioni della teoria dello strato limite sono dedotteseguendo un procedimento diverso, piu rigoroso, in cui il problema matematicoe decomposto in una doppia serie di problemi accoppiati fra loro: una serie ecostituita da problemi per una corrente viscosa (problemi interni) mentre la secondaserie e costituita da problemi per una corrente non viscosa (problemi esterni). Iproblemi delle due serie devono essere risolti in successione e la condizione daimporre sul contorno esterno in ogni problema interno e stabilita dai valori dellasoluzione del problema esterno corrispondente. Questo procedimento e noto conil nome di metodo delle espansioni asintotiche raccordate. Prima di applicarloalle equazioni dei flussi viscosi piani, illustreremo i concetti e il procedimento delmetodo analizzando un problema modello costituito da un’equazione differenzialeordinaria lineare del secondo ordine.

6.1 Valori tipici delle grandezze in uno strato limite


208 CAPITOLO 6 Equazioni dello strato limite stazionario 2D

6.2 Teoria dello strato limite di Prandtl

Le equazioni dello strato limite di Prandtl possono essere derivate dalle equazionidi Navier–Stokes sia mediante un argomento euristico basato sul consideriazionifisiche sia mediante una procedura di limite per Re → ∞. In questo paragrafoseguiamo la prima via, dovuta originariamente a Prandtl, in cui si analizzano gliordini di grandezza dei vari termini delle equazioni di Navier–Stokes.

Ipotesi della teoria dello strato limiteLe ipotesi alla base della teoria dello strato limite di Prandtl sono le seguenti:

• flusso incomprimibile e fluido di densita uniforme;

• flusso stazionario e bidimensionale;

• lastra piana semi-infinita o corpo sottile allineati con il flusso esterno;

• effetti viscosi importanti solo in uno strato sottile vicino al corpo.

Impostiamo inizialmente il problema scrivendo le equazioni che governano il flussocon caratteristiche che derivano dalle prime tre ipotesi. Cio significa ridurre leequazioni di Navier–Stokes incomprimibili al caso di flusso stazionario in duedimensioni e specificare le condizioni al contorno appropriate alla geometria diuna lastra sottile. Successivamente si analizzano invece le conseguenze della quartaipotesi che e la parte piu complessa da formulare per ricavare le equazioni di Prandtl.

Consideriamo una lastra semi-infinita, investita da una corrente la cui velocitaa grande distanza e parallela al piano della lastra e perpendicolare al suo bordodi attacco. Si suppone che il flusso sia piano, per cui si introduce un sistema dicoordinate cartesiane (x, y). La meta positiva dell’asse x coincide con la sezionetrasversale della lastra e l’origine delle coordinate corrisponde allo spigolo di attaccodella lastra. La corrente esterna ha la stessa direzione e lo stesso verso dell’asse x .

Le equazioni che governano il flusso incomprimibile di un fluido avente densitauniforme, ρ = ρ, e viscosita costante, µ = µ, nel caso di moto stazionario siottengono eliminando il termine di derivata temporale dalle equazioni di Navier–Stokes introdotte nel paragrafo 5.4

(u � �)u− ν � 2u+

�P

ρ= 0,

� � u = 0,

dove ν = µ/ρ. Se consideriamo ora un problema di flusso bidimensionale pianoe scriviamo tutti i termini esprimendoli mediante le coordinate cartesiane x-y, le


PARAGRAFO 6.2: Teoria dello strato limite di Prandtl 209

equazioni di Navier–Stokes precedenti assumono la forma

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− ν

(∂2u

∂x2+ ∂

2u

∂y2

)+ 1

ρ

∂P

∂x= 0,

u∂v

∂x+ v ∂v

∂y− ν

(∂2v

∂x2+ ∂

2v

∂y2

)+ 1

ρ

∂P

∂y= 0,

∂u

∂x+ ∂v∂y= 0.

Il campo di moto deve essere determinato in tutto il piano x-y tranne lungo lasemiretta x > 0, y = 0, che rappresenta una sezione della lastra. Notiamo che,a causa della natura incomprimibile del flusso, la presenza del corpo influisce sulcampo di moto anche nella regione a monte, x < 0. Tuttavia, queste perturbazionisi attenuano allontandosi dal corpo e quindi a grande distanza il flusso si puo ritenerenoto e sara caratterizzato tramite l’assegnazione delle condizioni al contorno.

Le condizioni al contorno necessarie per il problema della lastra piana semi-infinita disposta come il semipiano (y = 0, x > 0) comprendono la velocita nullasu tutta la superficie della lastra:

u(x, 0) = 0 e v(x, 0) = 0 per x > 0,

la specificazione della corrente esterna a grande distanza sopra la lastra, ovvero

u(x,∞) = uest(x) e v(x,∞) = vest(x) per x > 0,

dove (uest(x), vest(x)) e una distribuzione nota della velocita, e infine la specifi-cazione della corrente a monte della lastra

u(−∞, y) = umonte(y) e v(−∞, y) = vmonte(y) ∀y,

dove (umonte(y), vmonte(y)) e la distribuzione nota della velocita a grande distanzaa monte della lastra. L’andamento della velocita della corrente a valle della lastra,ovvero per x →∞, non e invece specificato.

Supponiamo ora di restringere l’attenzione a condizioni al contorno per le qualiil campo di moto sia simmetrico rispetto al piano orizzontale y = 0. Un esempioe il caso di corrente esterna uniforme parallela alla lastra. Se si consideranosoluzioni simmetriche, e sufficiente risolvere il problema nel semipiano superiore,



y > 0. Allora, l’insieme delle condizioni al contorno da imporre su ciascuna dellecomponenti della velocia comprende

u(x, 0) = 0 e u(x,∞) = uest(x), x > 0,

u(−∞, y) = umonte(y), y > 0,

v(x, 0) = 0 e v(x,∞) = vest(x), x > 0,

v(−∞, y) = vmonte(y), y > 0.

A queste si devono aggiungere le condizioni al contorno di simmetria sullasemiretta x < 0, y = 0, che assumono la forma seguente

∂u(x, 0)

∂y= 0, x < 0,

v(x, 0) = 0, x < 0.

In altre parole, la componente v della velocita normale all’asse di simmetria deveannullarsi su di esso, mentre la componente u tangente all’asse deve avere derivatanormale nulla e quindi potra assumere valori diversi da zero.

Figura 6.1 Struttura dello stratolimite su una lastra piana semi-infinita

y

x

δx

x

Analisi degli ordini di grandezzaLa figura 6.1 mostra una tipica configurazione di strato limite su una lastra pianasemi-infinita investita da una corrente uniforme parallela al piano della lastra. Inquesto problema non esiste alcuna scala spaziale di riferimento definita, per cui sipotra considerare solo la distanza x dal bordo di attacco della lastra come lunghezzautile per procedere alla formulazione adimensionale del problema.



Indichiamo poi con δx la distanza verticale y = δx dalla lastra del punto incui il valore della velocita raggiunge approssimativamente il valore della correnteesterna. La grandezza δx rappresenta quindi una stima della spessore dello stratolimite in corrispondenza del punto x sulla lastra. Si suppone che agli alti numeridi Reynolds la struttura del campo di moto sia tale che l’andamento di δx e comemostrato nella figura 6.1. Questo significa che, tranne nella zona vicina al bordodi attacco dove δx ∼ x , lo spessore dello strato limite e supposto essere piccolorispetto alla distanza x , ovvero δx � x .

La componente u della velocita del campo di moto sara di ordine � , dove �rappresenta un valore caratteristico tipico della componente x della velocita delflusso esterno, ad esempio, nel caso di velocita esterna uniforme U sara � = U .Indichiamo poi con � un valore tipico della componente verticale della velocita,che stimeremo fra un momento. Su questa base e possibile fornire una stima delvalore delle derivate spaziali delle variabili incognite, che saranno:

∂u

∂x∼ �

xe

∂v

∂y∼ �δx.

Notiamo che nelle relazioni di questo tipo contenenti stime di vari termini il segnodelle quantita non ha alcuna importanza e le relazioni devono sempre essere intesefra i valori assoluti delle grandezze considerate.

La condizione di incomprimibilita del flusso in due dimensioni permette diricavare subito che

�x∼ �δx

⇒ � ∼ � δx

x.

Pertanto la condizione sulla piccolezza dello spessore dello strato limite δx � ximplica anche

� � �

il che significa che il moto del fluido nello strato limite e quasi parallelo alla lastra.

Procedendo nella nostra analisi degli ordini di grandezza, consideriamo l’equa-zione della componente orizzontale della velocita

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− ν

(∂2u

∂x2+ ∂

2u

∂y2

)+ 1

ρ

∂P

∂x= 0

La stima di tutte le derivate di u che compaiono nell’equazione permette di scrivere

� �x+ � �

δx+ ν

( �x2+ �δ2

x

)+ 1

ρ

∂P

∂x∼ 0.



Si ricorda che i segni non sono significativi nelle relazioni riguardanti le stime deitermini. Se usiamo ora la stima di � appena ottenuta, si vede che i due termini nonlineari hanno lo stesso ordine di grandezza, poiche

� �x+ � �

δx∼ � 2

x+ � δx

x

�δx∼ � 2

x+ � 2

x.

Inoltre e evidente che, dei due termini viscosi, quello relativo alla derivata lungo lalastra e molto minore di quello relativo alla derivata normale. Di conseguenza lastima dei termini dell’equazione permette di scrivere

� 2

x+ ν �

δ2x

+ 1

ρ

∂P

∂x∼ 0.

Come discusso nel paragrafo precedente, lo strato limite e per definizione la zonanella quale gli effetti del termine viscoso sono dello stesso ordine di quelli deitermini non lineare. Imponiamo quindi questa condizione scrivendo la seguenterelazione

� 2

x∼ ν �

δ2x

da cui δ2x ∼

νx

� .

In altre parole, dalle ipotesi di Prandtl segue che lo spessore δx dello strato limitedipende dalla distanza x dal bordo di attacco secondo la relazione

δx ∼√νx

� o in forma adimensionaleδx

x∼√ν

� x.

Se ora introduciamo un numero di Reynolds locale basato sulla distanza x dal bordodi attacco della lastra

Rex = � x

ν,

lo spessore adimensionale dello strato limite avra la seguente dipendenza da Rex

δx

x∼ 1√

Rex.

Nell’ambito dell’approssimazione δx � x , il termine viscoso associato alla derivatalungo la parete potra essere trascurato e l’equazione della componente x dellavelocita si ridurra a

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− ν ∂

2u

∂y2+ 1

ρ

∂P

∂x= 0.



Consideriamo ora l’equazione relativa alla componente della velocita normalealla parete

u∂v

∂x+ v ∂v

∂y− ν

(∂2v

∂x2+ ∂

2v

∂y2

)+ 1

ρ

∂P

∂y= 0

e applichiamo a essa la stessa analisi degli ordini di grandezza. Abbiamo

� �x+ � �

δx+ ν

( �x2+ �δ2

x

)+ 1

ρ

∂P

∂y∼ 0.

Anche in questo caso i due termini non lineari hanno lo stesso ordine di grandezzain quanto, per la stima derivante dalla condizione di incomprimibilita, risulta

� �x+ � �

δx∼ � x

δx

�x+ � 2

δx∼ � 2

δx+ � 2

δx,

e la derivata seconda rispetto a x e trascurabile rispetto a quella rispetto a y, per cuivale la stima

� 2

δx+ ν �

δ2x

+ 1

ρ

∂P

∂y∼ 0.

Utilizzando la stima di � , questa relazione e equivalente a

� 2δx

x2+ ν �

xδx+ 1

ρ

∂P

∂y∼ 0,

per cui, esprimendo ν in termini del numero di Reynolds locale, ν = � x/Rex , si haanche

� 2 δx

x2+ 1

Rex

� 2

δx+ 1

ρ

∂P

∂y∼ 0.

Questa relazione mostra che per δx � x e Rex � 1 i primi due termini hanno lostesso ordine di grandezza. Ne consegue necessariamente che il terzo termine avrao lo stesso ordine di grandezza o sara piu piccolo. Tale termine, confrontato conl’ordine di grandezza dell’equazione della componente x , risulta piccolo e quindi,seguendo Prandtl, assumiamo

∂P

∂y= 0.



Pertanto la pressione nello strato limite variera solo con la coordinata x lungo laparete e non dipendera dalla distanza dalla parete, ovvero avremo P = P(x). Laforma corretta dell’equazione per la componente x della velocita appena ricavatasara allora

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− ν ∂

2u

∂y2+ 1

ρ

d P

dx= 0,

dove la derivata parziale di P e stata sostituita dalla derivata ordinaria in quanto lapressione dentro lo strato limite e funzione della sola variabile x .

Il sistema di equazioni da soddisfare per determinare il campo di moto dellacorrente attorno alla lastra sara quindi

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− ν ∂

2u

∂y2+ 1

ρ

d P

dx= 0,

∂u

∂x+ ∂v∂y= 0.

Abbiamo pertanto un sistema di due equazioni nelle tre incognite u(x, y), v(x, y)e P(x), che richiede quindi di essere completato opportunamente per potere avereuna soluzione unica.

Corrente non viscosaE a questo punto che interviene l’elemento piu delicato della teoria di Prandtl. Lon-tano dalla lastra gli effetti della viscosita del fluido sono trascurabili e la correntee descritta con buona approssimazione dalle equazioni di Eulero per flussi incom-primibili piani stazionari. Di conseguenza sara possibile determinare il campo dipressione del flusso inviscido a una certa distanza dalla lastra risolvendo in questazona le equazioni di Eulero con le relative condizioni al contorno. Sappiamo checon queste equazioni e permesso imporre solo la condizione al contorno per la com-ponente normale della valocita. Se indichiamo con ue(x, y) e Pe(x, y) le variabiliincognite delle nostre equazioni di Eulero da risolvere nel semipiano y > 0, avremole seguenti condizioni al contorno:

ue(−∞, y) = umonte(y), y > 0,

ve(x, 0) = 0 e ve(x,∞) = vest(x), x > 0,

dove umonte(y) e la distribuzione della componente orizzontale della velocita amonte, a grande distanza dalla lastra, mentre vest(x) e la distribuzione della com-ponente verticale della velocita esterna imposta a grande distanza dalla lastra.



Supponendo ora di avere determinato il campo di pressione P e(x, y) del flussoinviscido, possiamo valutare il suo andamento sulla superficie della lastra e as-sumerlo come pressione nota internamente allo strato limite. In altre parole, lapressione del flusso inviscido valutata sulla lastra costituisce la pressione lontanadalla parete per le equazioni dello strato limite. In termini matematici porremoquindi

P(x) = Pe(x, 0),

il che significa che la variabile incognita P(x) vista in precedenza e determinatadalla funzione Pe(x, 0) calcolata risolvendo le equazioni di Eulero incomprimibili.

Con questa assunzione l’equazione della componente orizzontale della velocitaassumera la seguente forma

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− ν ∂

2u

∂y2= − 1

ρ

∂Pe(x, 0)

∂x,

in cui appare un termine noto.

Equazioni dello strato limite di PrandtlL’ultimo passo per la costruzione delle equazioni dello strato limite nel caso delflusso attorno alla lastra piana semi-infinita deriva dal supporre che il flusso a montesia uniforme, ovvero dal scegliere la condizione al contorno particolare

ue(−∞, y) = U, y > 0,

dove U > 0, mentre si permette ancora una distribuzione della velocita esternaverticale vest(x) di tipo generale. La condizione a monte implica che il flusso eirrotazionale per cui il flusso inviscido soddisfera (la versione irrotazionale de) ilteorema di Bernoulli, ossia,

Pe(x, y)

ρ+ 1

2|ue(x, y)|2 = C,

dove C una costante arbitraria. Valutando questa relazione sulla lastra, ossia pery = 0, e risolvendo rispetto alla pressione, abbiamo

Pe(x, 0)

ρ= −1

2[ue(x, 0)]2 + C.



dove abbiamo sfruttato la condizione al contorno ve(x, 0) = 0 nell’esprimere ilmodulo della velocita sulla lastra. A questo punto e conveniente definire la seguentefunzione della sola variabile x

U e(x) ≡ ue(x, 0)

che rappresenta la velocita (gia determinata) del flusso inviscido sulla superficiedella lastra. In termini di questa funzione e immediato derivare

1

ρ

∂Pe(x, 0)

∂x= −U e(x)

dU e(x)

dx,

e quindi l’equazione della componente orizzontale della velocita assume la forma

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− ν ∂

2u

∂y2= U e(x)

dU e(x)

dx.

Combinando questa equazione con la condizione di incomprimibilita si ottiene ilseguente sistema

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− ν ∂

2u

∂y2= U e(x)

dU e(x)

dx,

∂u

∂x+ ∂v∂y= 0.

con due equazioni differenziali alle derivate parziali nelle due incognite u(x, y) ev(x, y). Questo sistema e noto con il nome di equazioni di Prandtl della teoriadello strato limite. Si noti che la funzione U e(x) e conosciuta e quindi il terminedel membro di destra della prima equazione e proprio il suo termine noto.

Il dominio in cui risolviamo queste equazioni e costituito dal primo quadrantex > 0, y > 0.

Per quanto riguarda le condizioni al contorno, sulla lastra si impone l’annulla-mento della velocita. Inoltre, sulla retta verticale x = 0, y > 0, si impone che lacomponente orizzontale della velocita sia uniforme, ovvero, u(0, y) = U . Infine,a grande distanza dalla lastra si impone sempre, sulla componente orizzontale ladistribuzione della velocita U e(x) fornita dalla soluzione delle equazioni di Eulerovalutata sulla superficie della lastra. Naturalmente si suppone che sia soddisfatta lacondizione di compatibilita U e(0) = U .

L’insieme delle condizioni al contorno da imporre nella risoluzione delleequazioni di Prandtl e



u(x, 0) = 0 e u(x,∞) = U e(x), x > 0,

u(0, y) = U, y > 0,

v(x, 0) = 0, x > 0.

Si puo notare che, mentre la variabile incognita u ha condizioni al contorno siasulla lastra y = 0 sia per y →∞, il valore al contorno della variabile incognita ve prescritto solo sulla lastra. Cio e conforme alla natura delle equazioni di Prandtlnelle quali la sola derivata seconda presente e ∂2u/∂y2 mentre l’unica derivata div presente e la derivata prima rispetto a y. Inoltre, riguardo la derivata rispetto ax , compare solo quella della variabile u, ∂u/∂x , per cui sulla semiretta verticalepassante per x = 0 si puo imporre la condizione al contorno solo per u.

Osservazione Il problema di Prandtl cosı formulato presenta una singolarita incorrispondenza del bordo di attacco della lastra, ovvero nell’origine delle coordinatecartesiane. Infatti in questo punto la componente orizzontale della velocita deveessere nulla, in quanto esiste la condizione di non scivolamento sulla lastra, madeve anche essere uguale a U , in virtu della condizione di velocita sulla semirettaverticale, u(0, y=0) = U . Essendo U necessariamente diverso da zero, il dato alcontorno della componente u della velocita e allora discontinuo nel vertice in bassoa sinistra (0, 0) del dominio. Questa discontinuita dei dati al contorno di u implicauna singolarita della soluzione. Come vedremo, tale singolarita gioca un ruoloimportante nel ricavare soluzioni di tipo similare del problema della lastra piana.

Rappresentazione della funzione di correnteUna forma conveniente delle equazioni di Prandtl si ottiene utilizzando la funzionedi corrente ψ che permette di rappresentare il campo di velocita incomprimibile in

La funzione di corrente ψ e stataintrodotta nel paragrafo 3.9.

due dimensioni mediante le relazioni

u = ∂ψ

∂ye v = −∂ψ

∂x.

In questo modo risulta soddisfatto il vincolo di incomprimibilita e la prima equazionedi Prandtl assume la forma

(∂ψ

∂y

)∂2ψ

∂x ∂y−(∂ψ

∂x

)∂2ψ

∂y2− ν ∂

3ψ

∂y3= U e(x)

dU e(x)

dx.

Abbiamo una sola equazione differenziale alle derivate parziali del terzo ordine inuna sola incognita,ψ . Le condizioni al contorno per la nuova variabileψ si derivano



dal quelle originarie per u e v. Consideriamo per prima la condizione di non pen-etrazione sulla lastra: v(x, 0) = 0. In termini di ψ essa diventa ∂ψ(x, 0)/∂x = 0,relazione che, una volta integrata lungo l’asse x , puo essere scritta piu semplice-mente come

ψ(x, 0) = costante = 0, x > 0.

E lecito prendere uguale a zero il valore della costante in quanto la funzione dicorrente e definita a meno di una costante arbitraria. Anche la condizione sullasemiretta verticale x = 0 y > 0, cioe ∂ψ(0, y)/∂y = U , puo essere integrata econduce alla semplice condizione

ψ(0, y) =∫ y

0U d y = U y, y > 0.

Le altre due condizioni al contorno si riscrivono direttamente come condizioni sulladerivata rispetto alla coordinata y normale alla lastra:

∂ψ(x, 0)

∂y= 0,

∂ψ(x,∞)∂y

= U e(x), x > 0.

Il problema completo dello strato limite nella rappresentazione della funzione dicorrente consiste quindi: nell’equazione per ψ , che scriviamo con le derivate diordine piu elevato scritte per prime, e nelle condizioni al contorno appena ricavate:

ν∂3ψ

∂y3+(∂ψ

∂x

)∂2ψ

∂y2−(∂ψ

∂y

)∂2ψ

∂x ∂y= −U e(x)

dU e(x)

dx,

ψ(x, 0) = 0,∂ψ(x, 0)

∂y= 0,

∂ψ(x,∞)∂y

= U e(x), x > 0,

ψ(0, y) = U y, y > 0.

In questa formulazione il problema dello strato limite rivela la natura matematicadelle semplificazioni conseguenti alle ipotesi poste da Prandtl a fondamento dellateoria dello strato limite: l’equazione della funzione di corrente, che nel casogenerale di flusso piano incomprimibile di tipo Navier–Stokes e del quarto ordine,si riduce a un’equazione del terzo ordine. Corrispondentemente sul “contornoorizzontale lontano” y →∞ la nuova variabile incognitaψ ha una sola condizioneal contorno invece di due. Per quanto riguarda le condizioni al contorno sui lativerticali, c’e una sola condizione in conformita con la sparizione di tutte le derivaterispetto a x di ordine superiore al primo.


PARAGRAFO 6.3: Corrente esterna uniforme: profilo di Blasius 219

6.3 Corrente esterna uniforme: profilo di Blasius

Un caso particolarmente importante di strato limite sulla lastra semi-infinita sipresenta quando la corrente esterna e uniforme e parallela alla lastra, con velocitaU assegnata. In questo caso ue(x, y) = U , per cui anche U e(x) = ue(x, 0) = U .Le equazioni di Prandtl per le componenti della velocita si riducono allora a

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− ν ∂

2u

∂y2= 0,

∂u

∂x+ ∂v∂y= 0,

e devono essere risolte con le corrispondenti condizioni al contorno

u(x, 0) = 0 e u(x,∞) = U, x > 0,

u(0, y) = U, y > 0,

v(x, 0) = 0, x > 0.

Nel caso di corrente esterna e a monte uniforme il valore al contorno di u risultaquindi essere necessariamente discontinuo: infatti per la condizione sulla lastra siha u(0, 0) = 0, mentre la condizione sulla semiretta verticale x = 0, y > 0, implicau(0, 0) = U 6= 0.

Procediamo alla risoluzione del problema osservando che, data la mancanzadi una scala spaziale di riferimento nel problema considerato, si puo immaginareche l’andamento del profilo della velocita orizzontale u nello strato limite “nondipenda” dalla coordinata x , nel senso che al variare di x si abbia soltanto uncambiamento della scala di questa variabile. In termini matematici, questo richiedeche la dipendenza di u dalle due variabili x e y si verifichi attraverso una variabilesingola (di similarita) che scriveremo, senza perdita di generalita, nella forma

η = η(x, y) = y

g(x),

dove g(x) e una funzione da determinare. Al posto della incognita u(x, y) intro-durremo allora la nuova incognita adimensionale h, funzione della sola variabile η,definita da

u(x, y) = Uh(η(x, y)) = Uh( y

g(x)

).



Se esiste una soluzione u(x, y) di questo tipo, il profilo di velocita ad ogni distanzax dal bordo di attacco sara semplicemente una versione dilatata (o compressa) dellavelocita a qualunque altra distanza. Notiamo che questa ricerca di una soluzionesimilare e un po’ piu generale di quelle del capitolo 5 in quanto non stiamo tentandodi immaginare in anticipo una forma determinata della funzione g(x) ma lasciamoche essa emerga in modo razionale nel corso del procedimento di calcolo.

Analizziamo inizialmente che cosa comporta la condizione di incoprimibilitaper la struttura della seconda variabile incognita v(x, y) del problema originario. Ilvincolo di incomprimibilita permette di scrivere:

∂v

∂y= −∂u

∂x= − ∂

∂x

[Uh( y

g(x)

)]

= −Uh′(η)∂

∂x

[y

g(x)

]= −Uh′(η)

[− g′(x)y

[g(x)]2

]

= Ug′(x)g(x)

ηh′(η).

Si noti in questa relazione come in tutte le prossime l’apice indica la derivata rispettoalla variabile indipendente di ogni funzione di una sola variabile, qualunque essasia. Per trovare la forma esplicita di v(x, y), integriamo1 questa equazione rispettoa y:

v(x, y) = Ug′(x)g(x)

∫ y

0η(x, y) h′(η(x, y)) dy,

dove, per determinare la costante di integrazione, si e utilizzata la condizioneal contorno di non penetrazione sulla lastra, v(x, 0) = 0, per ogni x > 0. Ilcambiamento di variabile y = g(x) η implica dy = g(x) dη, per cui l’integralediventa

v(x, y) = Ug′(x)∫ η(x,y)

0ηh′(η) dη.

In base all’identita [ηh(η)]′ = h(η)+ ηh′(η), si ottiene

v(x, y) = Ug′(x)[ηh(η)−

∫ η

0h(η) dη

].

1 L’uso dello stesso simbolo y sia come variabile di integrazione sia come estremo dell’integrale

non dovrebbe provocare confusione.



Se ora indichiamo con f (η) una funzione primitiva di h(η), ovvero,

f (η) =∫

h(η) dη,

per cui f ′(η) = h(η), la rappresentazione delle componenti della velocita dellasoluzione similare sara

u(x, y) = U f ′(η),

v(x, y) = Ug′(x)[η f ′(η)− f (η)

],

dove, naturalmente, η = η(x, y). Siccome dobbiamo risolvere l’equazione diPrandtl

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− ν ∂

2u

∂y2= 0,

e necessario determinare le tre derivate che compaiono in essa. Abbiamo

∂u(x, y)

∂x= ∂

∂x

[U f ′(η)

] = U f ′′(η)∂η

∂x

= U f ′′(η){− g′(x)y

[g(x)]2

}= −Ug′(x)

g(x)η f ′′(η).

D’altra parte

∂u(x, y)

∂y= ∂

∂y

[U f ′(η)

] = U f ′′(η)∂η

∂y= U

g(x)f ′′(η),

∂2u(x, y)

∂y2= ∂

∂y

[U

g(x)f ′′(η)

]= U

g(x)f ′′′(η)

∂η

∂y= U

[g(x)]2f ′′′(η),

dove si intende sempre η = η(x, y). Sostituendo le espressioni di u e v e di tutte lederivate di u nell’equazione di Prandtl si ottiene,

−ν U

g2f ′′′ +U f ′

[−Ug′

gη f ′′

]+Ug′

[η f ′ − f

]U

gf ′′ = 0,

dove abbiamo scritto g e g′ al posto di g(x) e g′(x) poiche anche la funzione g(x)non e nota e quindi rappresenta una ulteriore incognita del problema. Semplificandol’equazione si ottiene

νU

g2f ′′′ + U 2g′

gf f ′′ = 0,

ovverosia, dopo aver diviso per νU/g2,

f ′′′ + Ugg′

νf f ′′ = 0.



Ricerca della variabile di similaritaAffinche questa equazione possa diventare un’equazione differenziale ordinaria enecessario che il coefficiente contenente la funzione g(x) sia costante. In altreparole la funzione g(x) che permette di determinare una soluzione similare delproblema risulta essere determinata come soluzione dell’equazione

Ugg′

ν= 1

2,

dove si e scelta uguale a 12 la costante senza alcuna perdita di generalita, per

convenienza successiva. Pertanto la funzione g(x) e definita come soluzione dellasemplice equazione differenziale ordinaria del primo ordine

gg′ = ν

2U⇒ 1

2

d

dxg2 = ν

2U,

che integrata fornisce immediatamente

[g(x)]2 = K + νx

U,

dove K e la costante d’integrazione. Il valore della costante e scelto in mododa localizzare la singolarita della soluzione in x = 0. Scegliamo infatti comecondizione “iniziale” g(x) = 0, cosı che il cambiamento di scala indotto dalcambiamento di variabile η = y/g(x) diventi degenere per x = 0. Con questascelta, si ha K = 0 e quindi

g(x) =√νx

U.

La variabile similare η e allora definita da

η(x, y) = y

√U

νx= y

x

√U x

ν= y

x

√Rex ,

dove Rex = U x/ν. La presenza del fattore√

x nel denominatore della definizionedi η significa che la dilatazione della scala dell’asse y per un dato x e proporzionalea 1/√

x . In altri termini l’intervallo dei valori di y in cui la soluzione varia inmodo apprezzabile cresce proporzionalmente con

√x e di conseguenza la regione

in cui si estende lo strato limite ha un forma parabolica, con l’asse della parabolacoincidente con l’asse x , come mostrato nella figura 6.1.



Ad esempio, se η ? e il punto che corrisponde a un valore della velocita ugualeal 95 per cento della velocita U , cioe al valore u = 0.95 U , allora lo spessoreδ 0.95 (x) dello strato limite definito da questo valore sara dato dalla relazione

δ 95% (x)

x= η ?

√ν

U x= η ?√

Rex,

ovverosia

δ 95% (x) = η ?√νx

U.

Equazione di BlasiusL’equazione similare ricercata per il flusso attorno alla lastra piana semi-infinita inuna corrente uniforme parallela al suo piano risulta essere:

f ′′′ + 12 f f ′′ = 0,

e si chiama equazione di Blasius. Le condizioni al contorno per f che completanol’equazione sono ottenute da quelle per u. Siccome u(x, y) = Uh(η) = U f ′(η),le due condizioni u(x, 0) = 0 e u(x,∞) = U diventano rispettivamente f ′(0) =0 e f ′(∞) = 1. Inoltre, siccome v = Ug′(x)[η f ′(η) − f (η)], la condizionev(x, 0) = 0 diventa f (0) = 0. Notiamo che la condizione della corrente a monte,u(0, y) = U , e soddisfatta in virtu di f ′(∞) = 1 poiche per x → 0 si ha η→∞.

Pertanto, la corrente similare attorno alla lastra semi-infinita investita da unacorrente uniforme parallela al suo piano si ottiene risolvendo il problema

f ′′′ + 12 f f ′′ = 0,

f (0) = 0, f ′(0) = 0, f ′(∞) = 1.

Abbiamo quindi un’equazione differenziale ordinaria del terzo ordine con tre con-dizioni al contorno di cui due corrispondono alla superficie della lastra e una agrande distanza da essa.

Soluzione del campo di motoUna volta determinata la soluzione f (η) e f ′(η) = u(η) dell’equazione di Blasius,il campo di velocita della corrente attorno alla lastra puo essere calcolato sfruttandola relazione del cambiamento di variabile indipendente. E immediato ricavare chele componenti cartesiane della velocita sono date dalle due relazioni:



u(x, y) = U f ′(η(x, y)) = U f ′(

y√

Uνx

),

v(x, y) = 1

2

√Uν

x

[η f ′(η)− f (η)

]

= U

2

[y

xf ′(

y√

Uνx

)−√

νU x f

(y√

Uνx

)].

Esempio 1 Problema di Blasius formulato come sistema del primo ordine

Il problema differenziale ordinario associato all’equazione di Blasius puo essererisolto in modo numerico mediante un metodo che si basa sulla riduzione dell’ordinedell’equazione differenziale.

Introducendo le incognite ausiliarie u = f ′ e ζ = u′ = f ′′, l’equazionedi Blasius puo essere riscritta come un sistema di tre equazioni del primo ordineaccoppiate fra loro. Risulta infatti

ζ ′ + 12 f ζ = 0,

u′ = ζ,f ′ = u,

Le condizioni al contorno per ψ possono essere scritte come tre condizioni per u ef :

f (0) = 0, u(0) = 0, u(∞) = 1.

Mettendo le condizioni di fianco all’equazione della variabile corrispondente, ilproblema completo puo essere riscritto come

ζ ′ = − 12 f ζ,

u′ = ζ, u(0) = 0 e u(∞) = 1,

f ′ = u, f (0) = 0.

Notiamo che la seconda variabile ausiliaria (u) e soggetta a due condizioni alcontorno mentre non esiste alcuna condizione al contorno per la prima variabile(ζ ). In realta, le due condizioni per u implicano una ben definita condizione per ζin quanto, in virtu del teorema fondamentale del calcolo differenziale, si ha



∫ ∞

0

du(η)

dηdη = u(∞)− u(0) = 1− 0 = 1,

e quindi la variabile ζ e soggetta alla seguente condizione integrale

∫ ∞

0ζ(η) dη = 1.

Ne consegue che il sistema del primo ordine potra anche essere scritto nella forma

ζ ′ = − 12 f ζ,

∫∞0 ζ(η) dη = 1,

u′ = ζ, u(0) = 0 o u(∞) = 1,

f ′ = u, f (0) = 0.

Se si impone la condizione integrale su ζ , si puo scegliere liberamente una qualunquedelle due condizioni disponibili per u: l’altra condizione sara comunque soddisfattaesattamente in virtu della prima e dall’avere imposto la condizione integrale sullaprima componente incognita ζ .



Esempio 2 Soluzione numerica del problema di Blasius

Il sistema del primo ordine con le condizioni agli estremi dell’intervallo di inte-grazione e/o condizioni di tipo integrale e un sistema non lineare di tre equazionidifferenziali accoppiate e deve pertanto essere risolto numericamente. Il problemapuo essere riscritto in forma compatta come

dydη= F(y),

dove

y =( y1

y2

y3

)=(ζ

uf

)e F(y) =

( F1(y)F2(y)F3(y)

)=(− 1

2 f ζζ

u

),

e dove si sottintende la presenza delle equazioni che impongono le condizioni delsistema. Questa equazione puo essere discretizzata su un intervallo finito, di dimen-sione sufficientemente grande da rendere trascurabile l’errore causato dall’imporrea una distanza finita la condizione per η → ∞. La discretizzazione produrra unsistema di equazioni algebriche non lineari per la cui risoluzione si potra impiegareun metodo iterativo, ad esempio il metodo di Newton. La formulazione di questometodo nel caso considerato richiedera di caloclare lo la matrice jacobiana:

∂F(y)∂y=(∂Fi(y)∂yj

)=(− 1

2 f 0 − 12ζ

1 0 00 1 0

).

La soluzione mostrata nella figura 6.2 e stata calcolata per mezzo di un metodonumerico che rispetta in modo esatto, a livello del problema discretizzato, il teoremafondamentale del calcolo differenziale.



Figura 6.2 Profilo di velocita dellasoluzione dell’equazione di Blasius

0 1 2 3 4 50

1

eta

u

numerical

0 1 2 3 4 50

1



Esempio 3 Distribuzione dello sforzo di taglio sulla lastra

Determiniamo il vettore di sforzo sulla superficie della lastra semi-infinita investitadalla corrente esterna uniforme. Come descritto nel paragrafo 5.9, il vettore dellosforzo agente sulla superficie superiore della lastra, con normale uscente y, e datodalla relazione

sy = µ[2(y � �

)u+ y ��

� u].

Essendo il flusso piano, la vorticita ha solo la componente z per cui avremo

sy = µ[

2∂u∂y+ y �

( ∂v∂x− ∂u

∂y

)z]

= µ[

2∂u

∂yx+ 2

∂v

∂yy+

( ∂v∂x− ∂u

∂y

)x]

= µ[(∂u

∂y+ ∂v∂x

)x+ 2

∂v

∂yy].

Calcolando questo vettore sulla lastra, ossia per y = 0, dove si e imposta lacondizione al contorno v(x, 0) = 0, si ottiene

sy(x, 0) = µ[∂u(x, 0)

∂yx+ 2

∂v(x, 0)

∂yy].

D’altra parte, la componente y dello sforzo sulla parte superiore della lastra sarapoi bilanciata da una componente uguale e contraria agente sulla parte inferiore,per cui interessa solamente la componente x del vettore sforzo e quindi avremo

sy; x(x, 0) = µ ∂u(x, 0)

∂y.

Per calcolare la derivata di u si considera la relazione u(x, y) = U f ′(

y√

Uνx

)per

cui risulta

∂u(x, y)

∂y= U

√Uνx f ′′

(y√

Uνx

).

Sostituendo nella relazione per la componente x del vettore sforzo si ottiene

sy; x(x, 0) = µU√

Uνx f ′′(0),



e considerando il valore f ′′(0) = 0.332 della soluzione dell’equazione di Blasius:

sy; x(x, 0) = 0.332µU√

Uνx .



Esempio 4 Forza di resistenza viscosa sulla lastra piana di larghezza finita

Se la lastra piana e di larghezza finita uguale a `, si puo valutare la forza agente suuna tale lastra a causa della corrente viscosa utilizzando la soluzione dell’equazionedi Blasius. Questo calcolo fornira tuttavia solo una valutazione approssimata dellaforza reale in quanto il comportamento della corrente sara diverso in prossimita delbordo di uscita della lastra e dopo di essa.

Tenendo conto che la resistenza risulta dal frenamento agente su entrambe lesuperfici superiore e inferiore della lastra, la forza resistente (drag in inglese) agentesu un tratto di lunghezza unitaria (in apertura) della lastra, di larghezza `, sara datadall’integrale seguente

D` = 2∫ `

0sy; x(x, 0) dx = 2µ

∫ `

0

∂u(x, 0)

∂ydx .

Sostituendo l’espressione di ∂u/∂y basata sulla soluzione dell’equazione di Blasiussi ottiene

D` = 2µ∫ `

0f ′′(0)U

√Uνx dx = 2 f ′′(0) µU

√Uν

∫ `

0

dx√x

= 2 f ′′(0) µU√

Uν

2√

x∣∣`0,= 4 f ′′(0) µU

√U`ν

e quindi, essendo µ/ρ = ν,

D` = 4 f ′′(0) ρ U√

U`ν.

Pertanto D` e proporzionale a√` invece che a ` poiche i gradienti della velocita

sulla lastra diminuiscono con x in conseguenza dell’ispessimento dello strato limite.Inoltre D` e proporzionale a

√ν e si annulla per ν → 0.

E poi utile definire il coefficiente adimensionale di resistenza della lastrafinita mediante la relazione

CD = D`/`12ρU 2

per cui risulta

CD =4 f ′′(0) µU

√Uν`

12ρU 2

.



Ricordando ancora che µ/ρ = ν, otteniamo

CD = 8 f ′′(0)√ν

Ù= 8 f ′′(0)√

Re`,

ovvero, considerando il valore f ′′(0) = 0.332 della soluzione di Blasius,

CD = 2.656

√ν

Ù= 2.656√

Re`.

Esempio 5 Spessore dello strato limite al bordo d’uscita di una lastra piana

Una lastra piana di larghezza finita ` = 1 m e lunghezza molto maggiore di ` eimmersa in una corrente d’aria di velocita uniforme U = 5 m/s, parallela al pianodella lastra e perpendicoltare alla sua lunghezza. La viscosita dinamica dell’aria allatemperatura di T = 20 ◦C e alla pressione atmosferica eµ = 17.6×10−6 kg/(m ·s)e la sua densita ρ = 1.20 kg/m3. Determinare lo spessore δ` dello strato limite albordo di uscita della lastra.

Il valore del numero di Reynolds locale calcolato al bordo di uscita della lastrae

Re` = ρÙ

µ= 1.20× 1× 5

17.6× 10−6= 3.42× 105.

Questo valore e inferiore al valore del numero di Reynolds critico per il qualeil flusso diviene turbolento: per una lastra piana semi-infinita la corrente restalaminare fino a Recrit ' 5 × 105. Di conseguenza lo strato limite all’uscita dellalastra e ancora laminare e il suo spessore si puo stimare dalla relazione che derivadalla soluzione delle equazioni della teoria dello strato limite

δ` = 5`√Re`= 5× 1√

34.2× 104= 8.5× 10−3 m

Lo spessore δ` e quindi di circa 8 mm.

L’accordo fra la teoria dello strato limite e gli esperimenti e molto buono, siariguardo il profilo della velocita sia riguardo il valore della resistenza. Questoaccordo viene meno, tuttavia, quando il numero di Reynolds e molto alto poiche



lo strato limite diventa instabile e inizia la turbolenza. Il valore critico al quale ciosi verifica puo trovarsi fra 105 e 3 × 106, a seconda del livello delle perturbazionipresenti nella corrente incidente.

Rappresentazione della funzione di correntePer completare l’analisi della corrente intorno alla lastra piana semi-infinita inun flusso uniforme ristudiamo il problema da capo ricorrendo alla formulazionedelle equazioni dello strato limite in termini della funzione di corrente, che e stataintrodotta alla fine nel paragrafo 6.2. Nel caso in cui la velocita orizzontale U e(x)per y → ∞ e uniforme il problema della teoria dello strato limite di Prandtl perl’incognita ψ assume la forma seguente

ν∂3ψ

∂y3+(∂ψ

∂x

)∂2ψ

∂y2−(∂ψ

∂y

)∂2ψ

∂x ∂y= 0,

ψ(x, 0) = 0,∂ψ(x, 0)

∂y= 0,

∂ψ(x,∞)∂y

= U, x > 0,

ψ(0, y) = U y, y > 0,

per cui l’equazione alle derivate parziali e omogenea. In completa analogia conl’analisi delle equazioni di Prandtl per le componenti della velocita, ricerchiamo unasoluzione similare del problema per la funzione di corrente. Come in precedenza,si suppone che, data la mancanza di una scala spaziale di riferimento, l’andamentodella velocita orizzontale u possa dipendere dalle due variabili x e y solo attraversouna variabile di similarita

η = η(x, y) = y

g(x),

dove g(x) e una funzione da determinare, e sia esprimibile tramite una funzione diuna sola variabile nel modo seguente

u(x, y) = Uh(η(x, y)) = Uh( y

g(x)

).

in cui h(η) dovrebbe essere l’incognita del problema similare ricercato. Essendou = ∂ψ/∂y, integriamo la relazione precedente rispetto a y per determinare laforma similare attesa relativa alla nostra incognita ψ :

ψ(x, y) = U∫ y

0h( y

g(x)

)d y + C(x).



Imponendo la prima condizione al contorno ψ(x, 0) = 0 (la lastra e una linea dicorrente) si vede subito che la “funzione d’integrazione” C(x) e nulla, per cui

ψ(x, y) = U∫ y

0h( y

g(x)

)d y.

Effettuando il cambiamento di variabile y → η = y/g(x), per cui dy = g(x) dη,si ottiene

ψ(x, y) = Ug(x)∫ y/g(x)

0h(η) dη.

Introducendo ora una primitiva f (η) della funzione h(η), f (η) = ∫h(η) dη,

avremo

ψ(x, y) = Ug(x) f (η(x, y)) = Ug(x) f( y

g(x)

).

Possiamo ora calcolare tutte le derivate della funzione di corrente che compaiononell’equazione di terzo ordine per ψ . Le derivate rispetto a y sono:

∂ψ(x, y)

∂y= Ug(x) f ′(η)

∂η

∂y= U f ′(η)

∂2ψ(x, y)

∂y2= U f ′′(η)

∂η

∂y= U

g(x)f ′′(η),

∂3ψ(x, y)

∂y3= U

g(x)f ′′′(η)

∂η

∂y= U

[g(x)]2f ′′′(η),

dove si intende sempre η = η(x, y). La derivata rispetto a x e un po’ piu complicata

∂ψ(x, y)

∂x= Ug′(x) f (η)+Ug(x) f ′(η)

∂η

∂x

= Ug′(x) f (η)+Ug(x) f ′(η)[− g′(x)y

[g(x)]2

]

= Ug′(x) f (η)− Ug′(x)yg(x)

f ′(η)

= Ug′(x)[

f (η)− η f ′(η)].



Infine dobbiamo calcolare la derivata seconda mista e possiamo procedere in duemaniere equivalenti. Il calcolo di ∂ 2ψ/∂y ∂x fornisce

∂2ψ(x, y)

∂y ∂x= Ug′(x)

∂

∂y

[f (η)− η f ′(η)

]

= Ug′(x)[

f ′(η)∂η

∂y− ∂η∂y

f ′(η)− η f ′′(η)∂η

∂y

]

= −Ug′(x)η f ′′(η)1

g(x)= −Ug′(x)

g(x)η f ′′(η).

Alternativamente, il calcolo di ∂2ψ/∂x ∂y fornisce

∂2ψ(x, y)

∂x ∂y= ∂

∂x

[U f ′(η)

] = U f ′′(η)∂η

∂x

= U f ′′(η)[− g′(x)y

[g(x)]2

]

= −Ug′(x)g(x)

η f ′′(η),

che coincide necessariamente con il risultato precedente. Sostituendo tutte lederivate di ψ nell’equazione di terzo ordine ottiene,

νU

g2f ′′′ +Ug′

[f − η f ′

]U

gf ′′ − U f ′

[−Ug′

gη f ′′

]= 0,

dove abbiamo scritto g e g′ al posto di g(x) e g′(x) poiche anche la funzione grappresenta un’incognita del problema. Semplificando l’equazione e dividendo perνU/g2, si ottiene

f ′′′ + Ugg′

νf f ′′ = 0.

Questa equazione coincide con quella ricavata risolvendo le equazioni dello stratolimite per le componenti della velocita. Non ripeteremo quindi tutte le deduzionisuccessive, che si applicano senza nessuna variazione anche in questa dimostrazionealternativa.


PARAGRAFO 6.4: Metodo delle espansioni asintotiche raccordate 235

6.4 Metodo delle espansioni asintotiche raccordate

Problema modelloGli elementi essenziali del metodo delle espansioni asintotiche raccordate possonoessere illustrati considerando un modello matematico semplice che consiste in unaequazione differenziale ordinaria lineare. Il modello, proposto originalmente daFriedrichs e ripreso da Van Dyke in Perturbation Methods in Fluid Mechanics,Parabolic Press, 1975, descrive la situazione, tipica nell’ambito della teoria dellostrato limite, della perdita del termine con la derivata di ordine piu elevato ed e datodal seguente problema:1

εd2u

dx2+ du

dx= a, u(0) = 0, u(1) = 1

dove ε e un parametro che tende a zero e a e una costante nota. La seconda con-dizione al contorno mostra che sia la coordinata x sia la variabile incognita u sonoadimensionali per cui anche i parametri ε e a dell’equazione sono privi di dimen-sioni. Sarebbe comunque possibile considerare la condizione al contorno u(L) = Ue modificare corrispondentemente l’equazione onde ottenere un problema in formadimensionale.

Si tratta di un’equazione del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti e nonomogenea, la cui soluzione e quindi somma della soluzione generale dell’equazioneomogenea associata, ovvero us.g.e.o.(x) = A+ Be−x/ε , e della soluzione particolaredell’equazione completa, ovvero us.p.e.c.(x) = ax . Imponendo le condizioni alcontorno sulla soluzione u(x) = A + Be−x/ε + ax si ottiene A = −B e A =(1− a)/(1− e−1/ε), per cui la soluzione esatta e

u(x; ε) = 1− a

1− e−1/ε

(1− e−x/ε )+ ax

che e mostrata nella figura 6.3 nel caso di ε = 0.05 e a = 0.6.

1 In questo paragrafo, la coordinata spaziale inerente il problema dello strato limite e indicata

con x , che e la variabile indipendente usuale nello studio delle equazioni differenziali ordinarie. La

semplice sostituzione di x con y rende la presente analisi leggibile per l’applicazione al problema

della corrente attorno alla lastra.



Figura 6.3 Soluzione esatta delproblema modello per ε = 0.05 ea = 0.6

u

x

u

0.5

1.0

x0.5 1.0

soluzione esatta

Dal grafico si osserva che la soluzione ha un andamento molto vicino a quello cheavrebbe la soluzione dell’equazione senza il termine di secondo ordine, chiamatotermine di perturbazione singolare, tranne in un intorno di spessore≈ 1/ε vicinoall’origine dove rapidamente soddisfa la prima condizione al contorno del problemaoriginario. Questa zona prossima a x = 0 e caratterizzata dal fatto che il terminecon la derivata seconda risulta dello stesso ordine di grandezza degli altri terminidell’equazione e viene chiamata zona interna, mentre nella restante parte deldominio, chiamata zona esterna, il termine della derivata seconda e trascurabile.

La tecnica utilizzata per ottenere equazioni valide nelle diverse zone e notacon il nome di metodo delle espansioni asintotiche raccordate e consiste nelloscrivere due espansioni in serie del parametro ε per le soluzioni nelle due zonee nell’imporre poi che esse si raccordino nella zona di interfaccia. L’espansioneasintotica esterna consiste nel considerare le equazioni (o l’equazione) nella zona incui il termine di perturbazione singolare diventa piccolo. Nell’espansione interna siconsidera invece la zona sottile in cui il termine di perturbazione singolare diventaimportante e si formula un problema introducendo un cambiamento delle coordinatenella direzione della variazione rapida della soluzione.

Problema esternoPonendo ε = 0, l’equazione diventa del primo ordine e quindi non e piu possibilesoddisfare entrambe le condizioni al contorno. L’andamento della soluzione esattaindica che si deve abbandonare la condizione per x = 0. Pertanto, per ε piccolosi considera il seguente problema differenziale del primo ordine, detto problema



esterno, ottenuto ponendo ε = 0 nell’equazione di u(x),

due

dx= a, ue(1) = 1.

La soluzione ue(x) di questo problema e

ue(x) = 1− a + ax,

che rappresenta una buona approssimazione della soluzione esatta u(x)del problemainiziale tranne nello “strato limite”, in cui x = O(ε). Si nota inoltre la condizioneal contorno per x = 0 non e soddisfatta: ue(0) = 1− a 6= 0, dato che in generalea 6= 1; in altri termini, la condizione per x = 0 sara soddisfatta solo accidentalmentenel caso particolare a = 1.

Problema interno ed espansione internaPer formulare il problema nella zona dello strato limite, che costituisce il problemainterno, introduciamo allora una coordinata dilatata X adatta a descrivere lasoluzione in questa regione ponendo:

X = x

ε, U(X; ε) = u(x; ε) = u(εX; ε),

e trasformiamo il problema originale per l’incognita u(x; ε) nel suo corrispettivoper la nuova incognita U(X; ε), indicata con la lettera maiuscola per ricordare chee funzione della variabile indipendente dilatata X . Notiamo ora che, per il teoremadi derivazone delle funzioni composte, abbiamo:

du(x; ε)dx

= dU(x/ε; ε)dx

= dU(x/ε; ε)d X

d X

dx= 1

ε

dU(X; ε)d X

e analogamente

d2u(x; ε)dx2

= 1

ε2

d2U(X; ε)d X2

.

Il problema originale e allora del tutto equivalente al seguente problema

d2U

d X2+ dU

d X= εa, U(0; ε) = 0, U

(1ε; ε) = 1.



Ovviamente la soluzione esatta di questo problema e la versione trasformata dellasoluzione del problema originale, ovvero:

U(X; ε) = 1− a

1− e−1/ε

(1− e−X

)+ εaX.

Ma il nostro obbiettivo e di risolvere, nel limite ε → 0, un’equazione piu semplicenella regione x = O(ε), ovvero quando X = O(1). Consideriamo allora laseguente espansione della soluzione U(X; ε) in serie di potenze di ε:

U(X; ε) ∼ U0(X)+ εU1(X)+ 12ε

2U2(X)+ . . . ,

dove i coefficienti U0(X),U1(X),U2(X), . . . , sono delle funzioni incognite dadeterminare. Questa serie e sostituita nell’equazione trasformata e si ottiene unaserie di termini in potenze di ε e si potranno annullare i coefficienti di ogni terminesuccessivamente

d2U0

d X2+ ε d2U1

d X2+ ε

2

2

d2U2

d X2+ . . .

+ dU0

d X+ ε dU1

d X+ ε

2

2

dU2

d X+ . . . = εa

Ad esempio, considerando il primo termine, che e quello relativo alla potenza ε0,si ottiene l’equazione

d2U0

d X2+ dU0

d X= 0

che differisce da quella di U(X) per l’assenza del termine noto. Questa nuovaequazione e ancora del secondo ordine e quindi ha bisogno di due condizioni alcontorno. Tuttavia, mentre la condizione al contorno per X = 0 rimane la stessa,U0(0) = 0, la condizione al contorno esterna deve essere cambiata. Infatti se siimponesse U0(1/ε) = 1, la soluzione del problema sarebbe

U0(X) = 1− e−X

1− e−1/ε→ 1− e−X per ε → 0,

e l’andamento della soluzione per X piccolo sarebbe scorretto a causa dell’assenzadel coefficiente moltiplicativo (1− a).



Condizione di raccordoQuesto significa che la condizione al contorno esterna del problema originario deveessere abbandonata nel problema interno per U0(X), proprio come non e statopossibile imporre la condizione interna nel problema esterno per ue(x). La correttacondizione esterna del problema interno e espressa richiedendo che la soluzioneU(X) e la soluzione ue(x) si raccordino con continuita in una zona intermediaappartenente al dominio di validita di entrambe. Un teorema dovuto a Kaplun ciassicura che una zona di questo tipo esiste, in questo caso. Introduciamo dunqueallo scopo una nuova coordinata dilatata, � mediante la definizione

� = x

b(ε)

dove b(ε) e una funzione che deve soddisfare le condizioni dette, ovverosia, perε → 0, b(ε) deve essere grande rispetto a ε e piccola rispetto a 1. Possiamo scriverequeste condizioni nella forma rigorosa seguente

limε→0

ε

b(ε)= 0 e lim

ε→0

b(ε)

1= 0.

Una scelta che soddisfa queste condizioni e

b(ε) = εβ

con 0 < β < 1, e questa scelta conduce alla nuova coordinata

� β = x

εβ.

La condizione di raccordo all’interfaccia consiste allora nell’imporre che, perε che tende a zero, la differenza fra la soluzione esterna e la soluzione interna siannulli nella zona intermedia. Quindi per � β fissato, la differenza deve tendere azero come ε0, ε1, ..., per tutti gli ordini inclusi nell’espansione delle due soluzioni.Scriviamo queste condizioni in forma sintetica come

limε→0�β = cost.

U(

xε; ε)− ue(x)

ε i= 0, i = 0, 1, . . . .

Sostituendo x = εβ � β in modo da soddisfare esplicitamente la condizione � β =costante, la condizione di raccordo di Kaplun si scrive nella forma

limε→0

U(εβ−1 � β; ε

)− ue(εβ � β

)

ε i= 0, i = 0, 1, . . . .



In questo caso, per i = 0, sostituendo l’espansione di U(X; ε) la condizione diraccordo fra le due soluzioni assume la forma

U0(∞) = ue(0) = 1− a,

poiche i termini di ordine superiore in ε vanno a zero e dove si e usata lasoluzione ue(x). In conclusione, il problema completo per la prima funzioneU0(X) dell’espansione della soluzione del problema interno e

d2U0

d X2+ dU0

d X= 0, U0(0) = 0, U0(∞) = 1− a.

La soluzione (esatta) che soddisfa le due condizioni al contorno stabilite e allora

U0(X) = (1− a)(1− e−X ).

Soluzione composita di ordine 0Pertanto, l’approssimazione di ordine 0 della soluzione in tutto il dominio assumerala forma seguente, per ε → 0

u(x; ε) ∼{

ue(x) = 1− a + ax con x > 0 fissato

U0(

xε

) = (1− a)(1− e−x/ε ) con x

εfissato

Figura 6.4 Costruzione dellasoluzione composita di ordine zero delproblema modello per ε = 0.05 ea = 0.6

u

x

u

0.5

1.0

x0.5 1.0

soluzione interna

1− asoluzione composita

soluzione esterna



Come mostrato in figura 6.4, le due soluzioni, esterna ue(x) e interna U0(x/ε),non si raccordano in senso puntuale nella zona di transizione. Questo disaccordoe comunque eliminato introducendo il concetto si soluzione composita. Infatti ildisaccordo nasce dal fatto che la costruzione richiede di sommare le due soluzioni,in quanto esse approssimano la soluzione esatta in due zone diverse. La semplicesomma dei due contributi deve tuttavia essere corretta sottraendo la parte comunealle due soluzioni nella zona di interfaccia, per evitare che essa sia tenuta in contodue volte. In altre parole, la soluzione composita e definita da

ucomp0 (x) = U0

(xε

)+ ue(x)− (1− a),

poiche il termine (1− a) e presente in entrambe le soluzioni. Utilizzando la formatrovata delle soluzioni interna ed esterna, la soluzione composita di ordine zero delproblema modello risulta essere

ucomp0 (x) = (1− a)

(1− e−x/ε)+ ax per 0 ≤ x ≤ 1,

ed e mostrata nella figura 6.4. Questa soluzione approssimata differisce da quellaesatta del problema originario solo per quantita che si annullano esponenzialmente,come si vede confrontando le due espressioni analitiche.

Soluzione composita di ordine 1Dopo avere determinato la soluzione di ordine zero, si deve considerare l’approssi-mazione di ordine 1, ovvero di ordine ε. A tale scopo e necessario espandereanche la soluzione del problema esterno come una serie di potenze di ε, ovvero siconsidera l’espansione

ue(x; ε) ∼ ue0(x)+ εue

1(x)+ 12ε

2ue2(x)+ . . . ,

dove ue0(x) e nient’altro che la soluzione esterna ue(x) = 1 − a + ax calcolata

in precedenza. La sostituzione dell’espansione esterna nell’equazione originariafornisce

ε

(d2ue

0

dx2+ ε d2ue

1

dx2+ ε

2

2

d2ue2

dx2+ . . .

)

+ due0

dx+ ε due

1

dx+ ε

2

2

due2

dx+ . . . = a,

ovvero, sviluppando la parentesi e riordinando i termini,

due0

dx+(

d2ue0

dx2+ due

1

dx

)ε +

(d2ue

1

dx2+ 1

2

due2

dx

)ε2 + O

(ε3) = a,



che costituisce la base per ottenere le equazioni ai vari ordini relative ai coefficientidell’espansione esterna.

La condizione di raccordo fra le due espansioni assume allora la forma

limε→0

U(εβ−1 � β; ε

)− ue(εβ � β

)

ε i= 0, i = 0, 1 . . . .

Il soddisfacimento di questa condizione ai vari ordini delle potenze in ε conducealle seguenti condizioni al contorno esterne per i coefficienti dell’espansione interna

limε→0

[U(εβ−1 � β; ε

)− ue(εβ � β

)] = 0,

limε→0

[U1(εβ−1 � β)− ue

1

(εβ � β)

] = − limε→0

U0(εβ−1 � β

)− ue0

(εβ � β

)

ε,

Queste condizioni possono essere riscritte nella forma seguente

U0(∞) = ue0(0),

U1(∞) = ue1(0)− lim

ε→0

U0(εβ−1 � β)− ue

0(εβ � β)

ε.

La successione di problemi da risolvere e allora la seguente. Per primo si risolve ilproblema di ordine 0 dell’espansione della soluzione esterna:

due0

dx= a, ue

0(1) = 1.

Poi si risolve il problema di ordine 0 dell’espansione della soluzione interna

d2U0

d X2+ dU0

d X= 0, U0(0) = 0, U0(∞) = ue

0(0),

dove si usa il valore per x = 0 della soluzione ue0(x) appena trovata. A questo punto

si risolve il problema di ordine 1 dell’espansione esterna, ovvero:

due1

dx= −d2ue

0(x)

dx2, ue

1(1) = 0.

La soluzione ue1(x) serve per potere determinare la condizione di raccordo con la

soluzione del problema di ordine 1 dell’espansione interna; infatti questo problemaha la seguente forma:

d2U1

d X2+ dU1

d X= a, U1(0) = 0,

U1(∞) = ue1(0)− lim

ε→0

U0(εβ−1 � β

)− ue0

(εβ � β

)

ε,



e cosı via.

Nel caso del problema modello considerato, il problema esterno di ordine 0 perue

0(x) ha la soluzione

ue0(x) = 1− a + ax .

Allora, la condizione al contorno a destra relativa al problema di ordine 0 dell’espan-sione interna per l’incognita U0(X) e U0(∞) = ue

0(0) = 1− a, per cui la soluzionee

U0(X) = (1− a)(1− e−X ).

A questo punto si considera il problema di ordine 1 per ue1(x) dell’espansione

esterna. In virtu della soluzione di ordine zero trovata ue0(x) = 1 − a + ax , il

problema e totalmente omogeneo, ovvero,

due1

dx= 0, ue

1(1) = 0,

e ha quindi la soluzione triviale

ue1(x) = 0.

Questa soluzione serve comunque per potere costruire la condizione di raccordo conla soluzione del problema di ordine 1 dell’espansione interna. Infatti si ricava chela condizione al contorno a destra, esprimente il raccordo all’interfaccia all’ordine1, assume la forma seguente

U1(X)→ aX, per X →∞.

Un calcolo diretto mostra che la soluzione del problema ottenuto e

U1(X) = aX.

La soluzione composita di ordine 1 e infine determinata combinando le due soluzioniapprossimate d’ordine 1, che scriviamo

U(X) = U0(X)+ εU1(X) = (1− a)(1− e−X )+ εaX,

ue(x) = ue0(x)+ εue

1(x) = 1− a + ax .



La soluzione composita di ordine 1 e data allora dalla seguente “somma”

ucomp(1) (x) = U

(xε

)+ ue(x)− [(1− a)+ ax],

in cui e stata sottratta la parte comune, che fornisce immediatamente

ucomp(1) (x) = (1− a)

(1− e−x/ε)+ ax, per 0 ≤ x ≤ 1.

Si vede quindi che la seconda approssimazione composita e coincidente con laprima. E facile verificare che, nel problema modello considerato, tutti i problemi diordine maggiore o uguale a 2 hanno soluzione identicamente nulla. Di conseguenzain questo caso il metodo delle espansioni raccordate converge con solo due terminia una soluzione approssimata che differisce da quella esatta del problema originariosolo per quantita che si annullano esponenzialmente.

6.5 Deduzione rigorosa delle equazioni di Prandtl

Nel paragrafo 6.2 la derivazione delle equazioni dello strato limite e stata impostatasu basi euristiche, ricorrendo all’analisi degli ordini di grandezza dei termini delleequazioni di Navier–Stokes. Occorre dire che tale procedimento dovuto a Prandtlnon e matematicamente del tutto soddisfacente come potrebbe sembrare a un primosguardo. Un procedimento piu rigoroso di quello seguito sin qui e possibile uti-lizzando il metodo delle espansioni asintotiche raccordate, che e stato illustratonel paragrafo precedente nel caso di un problema modello unidimensionale lin-eare. In questo paragrafo applichiamo questo metodo per derivare le equazionidello strato limite di Prandtl. I vantaggi dell’adozione del procedimento rigororsosono molteplici. Innanzitutto consentono di ricavare in un quadro unitario sia leequazioni per il campo di moto vicino alla parete, dove l’effetto della viscositae importante, sia quelle per il campo di moto lontano da essa, dove la correntee essenzialmente inviscida. Inoltre esso consente di determinare senza ambiguitale condizioni che devono essere imposte sulle soluzioni nella zona intermedia, diinterfaccia, dove i due campi di moto si raccordano. Infine consente di determinarele equazioni per i termini correttivi di ordine superiore.

Per prima cosa riscriviamo le equazioni di Navier–Stokes stazionarie in formaadimensionale per un flusso incomprimibile con densita costante:

(u � �)u− 1

Re� 2u+ �

p = 0,

� � u = 0


PARAGRAFO 6.5: Deduzione rigorosa delle equazioni di Prandtl 245

dove p = P/(ρU 2) e la pressione adimensionale. Il numero di Reynolds Re edefinito da

Re = LU

ν,

dove L e la lunghezza della lastra, nel caso di lastra di dimensione finita, oppureuna lunghezza di riferimento arbitraria nel caso di lastra semi-infinita, ad esempiola distanza dal bordo di attacco della lastra di una riga rossa dipinta sulla lastra!(Van Dyke, pag. 124).

Quando il numero di Reynolds diventa molto grande, come nel problema cuisiamo ora interessati, il termine 1

Re diventa molto piccolo. Osserviamo tuttavia che,nonostante la presenza del fattore 1

Re , il termine � 2u relativo alla forza viscosanon puo essere trascurato completamente in tutta la regione del fluido. Esso infatticostituisce il termine con ordine di derivazione piu elevato dell’equazione, la cuieliminazione comporterebbe anche l’impossibilita di imporre una condizione alcontorno essenziale sulla lastra. Infatti, come ben noto, mentre per le equazionidi Navier–Stokes la velocita deve soddisfare anche la condizione di adesione sullepareti solide, nelle equazioni di Eulero si puo imporre una sola condizione alcontorno sulla componente normale della velocita alla parete.

Nella realta, come gia accennato, quando Re diventa molto grande si formauno strato sottile sulle pareti, lo strato limite appunto, nel quale si ha una rapidavariazione della velocita che consente di soddisfare la condizione al contorno diperfetta adesione. Problemi di questo tipo sono detti di perturbazione singolaree possono essere affrontati mediante il metodo delle espansioni asintotiche raccor-date. Esso consiste nello scrivere due diverse espressioni della soluzione in duediverse regioni del campo di moto e nell’imporre che tali soluzioni si raccordinoopportunamente nella zona di interfaccia tra le due regioni. Le due espressionivengono dette rispettivamente soluzione del problema interno quella in prossimitadella parete e soluzione del problema esterno quella valida nella regione lontanadalla parete e sono ora analizzate con riferimento alla versione bidimensionale delleequazioni di Navier–Stokes, ovvero,

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− 1

Re

(∂2u

∂x2+ ∂

2u

∂y2

)+ ∂p

∂x= 0,

u∂v

∂x+ v ∂v

∂y− 1

Re

(∂2v

∂x2+ ∂

2v

∂y2

)+ ∂p

∂y= 0,

∂u

∂x+ ∂v∂y= 0.



Espansione del problema internoIncominciamo allora scrivendo l’espansione interna. La zona interna e quella in cuila variazione di u e tale da rendere il termine viscoso non trascurabile ovvero dellostesso ordine degli altri termini. Per evidenziare questa proprieta procediamo a unatrasformazione della coordinata normale alla parete:

y → Y = y/ε ovvero y = εY,

dove ε e un parametro (adimensionale) piccolo di cui si vuole scoprire la dipendenzada Re:

ε = ε(Re).

Accanto alle variabili dipendenti del problema originario u e p, possiamo ora intro-durre le variabili trasformate funzioni delle coordinate dilatate x-Y , che indicheremocon lettere maiuscole. La componente verticale della velocita inoltre deve subire,per consistenza, la medesima trasformazione di dilatazione subita da y. Abbiamopercio

u(x, y;Re) → U(x, Y ;Re) = u(x, εY ;Re)

v(x, y;Re) → V (x, Y ;Re) = v(x, εY ;Re)/ε

p(x, y;Re) → P(x, Y ;Re) = p(x, εY ;Re),

Si noti che, siccome le equazioni di Navier–Stokes contengono Re come parametro,la soluzione del problema e stata scritta come funzione, oltre che delle coordinatespaziali, anche del numero di Reynolds.

A seguito della trasformazione della coordinata normale alla parete abbiamoallora

∂

∂y= 1

ε

∂

∂Ye

∂2

∂y2= 1

ε2

∂2

∂Y 2.

Introducendo le trasformazioni delle variabili (indipendente e dipendenti) nelleequazioni di Navier–Stokes abbiamo

U∂U

∂x+ V

∂U

∂Y− 1

Re

(∂2U

∂x2+ 1

ε2

∂2U

∂Y 2

)+ ∂P

∂x= 0,

ε U∂V

∂x+ ε V

∂V

∂Y− 1

Re

(ε∂2V

∂x2+ 1

ε

∂2V

∂Y 2

)+ 1

ε

∂P

∂Y= 0,

∂U

∂x+ ∂V

∂Y= 0.



La scelta di ε che rende i termini viscosi con derivata rispetto a Y dello stesso ordinedi grandezza di quelli non lineari e

ε2 ≈ 1

Re⇒ ε ≈ 1√

Re.

Senza perdere di generalita, per convenzione si puo prendere esattamente

ε = 1√Re

,

giacche una scelta diversa, ad esempio ε = 2/√

Re , comporterebbe solo la presenzadi determinati coefficienti numerici nelle equazioni. In base a questa assunzione, leequazioni diventano

U∂U

∂x+ V

∂U

∂Y− ∂

2U

∂Y 2− ε2 ∂

2U

∂x2+ ∂P

∂x= 0,

ε U∂V

∂x+ ε V

∂V

∂Y− ε ∂

2V

∂Y 2− ε3 ∂

2V

∂x2+ 1

ε

∂P

∂Y= 0,

∂U

∂x+ ∂V

∂Y= 0.

Possiamo a questo punto espandere la soluzione del problema interno nel modoseguente

U(x, Y ; ε) ∼{ [

U0(x, Y )+ εU1(x, Y )+ 12 ε

2U2(x, Y )+ . . . ] x

+[V0(x, Y )+ εV1(x, Y )+ 12ε

2V2(x, Y )+ . . . ] y

dove la dipendenza da Re della soluzione U e ora indicata con ε = 1√Re

peruniformita di notazione. Un’espansione analoga vale per la pressione soluzione delproblema interno, ovvero:

P(x, Y ; ε) ∼ P0(x, Y )+ εP1(x, Y )+ 12ε

2 P2(x, Y )+ . . .

A questo punto, sostituendo le espansioni considerate nel sistema del problemainterno e uguagliando i termini di pari grado in ε, in virtu del principio di identia deipolinomi, abbiamo che per il termine in ε−1 l’equazione della componente verticaledella quantita di moto fornisce immediatamente:

∂P0

∂Y= 0 ⇒ P0(x, Y ) = P0(x).



Procedendo, per il termine di ordine ε0 la prima e la terza equazione forniscono

U0∂U0

∂x+ V0

∂U0

∂Y− ∂

2U0

∂Y 2+ d Pe

0 (x)

dx= 0,

∂U0

∂x+ ∂V0

∂Y= 0,

e cosı via per le equazioni associate a termini di ordine superiore.

I sistemi differenziali ottenuti devono essere completati chiaramente con lerelative condizioni al contorno. Per quanto riguarda la parete, le condizioni sonoquelle del problema originario di Navier–Stokes: le condizioni di perfetta adesionee di non penetrazione sulla lastra:

U0(x, 0) = 0, V0(x, 0) = 0, x > 0,

unitamente a una condizione a monte sulla semiretta verticale x = 0, Y > 0, per lasola componente orizzontale della velocita

U0(0, Y ) = umonte(Y ), Y > 0.

Lontano dalla parete invece non siamo ancora in grado di dire nulla, occorre infattiprima introdurre il problema esterno.

Espansione del problema esternoPer quanto riguarda il problema esterno consideriamo la zona del campo di motodistante dalla parete. In questa zona ci aspettiamo che l’effetto dei termini viscosisia trascurabile. Per ricavare le equazioni del problema esterno introduciamo subitol’espansione esterna della soluzione. Utilizzando una notazione analoga a quantofatto per il problema modello monodimensionale nel precedente paragrafo 6.4,indichiamo le incognite del problema esterno con i simboli

ue(x, y; ε) ∼ ue0(x, y)+ εue

1(x, y)+ 12ε

2 ue2(x, y)+ . . .

pe(x, y; ε) ∼ pe0(x, y)+ εpe

1(x, y)+ 12ε

2 pe2(x, y)+ . . .

Anche in questo caso possiamo introdurre l’espansione esterna nelle equazioni dipartenza,

((ue

0 + εue1 + . . .) � � )

(ue0 + εue

1 + . . .)− ε2 � 2(ue

0 + εue1 + . . .)+

�(pe

0 + εpe1 + . . .) = 0,

� � (ue0 + εue

1 + . . .) = 0,



dove e stata utilizzata l’identita ε = 1/√

Re . Isolando i termini dei diversi ordiniin ε otteniamo le equazioni per le funzioni incognite che costituiscono i coefficientidell’espansione, ue

0(x, y), ue1(x, y), . . . e pe

0(x, y), pe1(x, y), . . .. Ad esempio per

l’ordine ε0 abbiamo

(ue0

� �)ue

0 +�

pe0 = 0,

� � ue0 = 0,

e analogamente per gli ordini piu elevati. Come si vede la prima equazione delproblema esterno non contiene il termine viscoso e quindi il sistema e costituitodalle equazioni di Eulero per un flusso incomprimibile stazionario.

Per quanto riguarda le condizioni al contorno, i problemi esterni ereditano dalproblema originario le condizioni al contorno lontano dalla parete. Siccome perol’ordine di derivazione delle equazioni e diminuito di uno, occorre imporre solo ilvalore della componente normale

lim|r|→∞

ue0(x, y) � r = U � r.

Per quanto riguarda invece le condizioni al contorno vicino alla parete, esse vengonodettate dalle condizioni di interfaccia con la soluzione del problema interno.

Condizioni di interfaccia fra i problemi interno ed esternoPer determinare le condizioni al contorno mancanti sia per il problema interno,sia per il problema esterno occorre imporre le condizioni di interfaccia fra le duesoluzioni. Come visto per il problema modello con queste condizioni si imponeche, quando il parametro ε tende all’infinito, la soluzione interna e la soluzioneesterna si raccordino con continuita in una zona del campo di moto intermedia frala zona interna e la zona esterna.

Come visto in precedenza e possibile dare una connotazione precisa a questa“zona intermedia” introducendo una variabile dilatata � tale che risulti

limε→0

Y

� = 0 e limε→0

�y= 0.

A questo punto imponiamo le condizioni di interfaccia imponendo che, al tendere azero di εmantenendo pero costante � , le funzioni incognite ue(x, y; ε) e U(x, Y ; ε),nonche pe(x, y; ε) e P(x, Y ; ε), tendano allo stesso valore e che lo facciano conun ordine di convergenza almeno pari all’ordine massimo dello sviluppo in serie



utilizzato per le variabili. Imporremo quindi che

limε→0, � =cost.

ue(x, y; ε)− U(x, Y ; ε)εk

= 0 ∀k = 0, 1, . . .

limε→0, � =cost.

pe(x, y; ε)− P(x, Y ; ε)εk

= 0 ∀k = 0, 1, . . .

Per esempio arrestando lo sviluppo della soluzione al solo primo termine, comefatto fin’ora, otteniamo le condizioni di interfaccia

limY→∞

U0(x, Y ) = ue0(x, 0) e lim

Y→∞P0(x, Y ) = pe

0(x, 0)

poiche, per ε che tende a zero a � costante, y tende a zero mentre Y tende a infinito.Si noti poi che la seconda delle due condizioni, poiche come abbiamo visto P0

dipende solamente da X , comporta direttamente che P0(x) = pe0(x, 0).

Una volta scritte le condizioni di interfaccia fra il problema esterno e quellointerno siamo in grado di scrivere le condizioni al contorno complete che devonosoddisfare i due problemi.

Condizioni al contorno del problema esternoLe condizioni del problema esterno corrispondono dunque date all’infinito allecondizioni del problema originario,eliminando pero la condizione sulla componentetangente della velocita che non possiamo imporre in un problema non viscosa,mentre si ricavano a partire dalle condizioni di interfaccia per quanto riguarda lazona prossima a parete.

Poiche sappiamo che per le equazioni di Eulero occorre assegnare la compo-nente della velocita normale al corpo, si capisce immediatamente che delle con-dizioni di interfaccia quella applicabile al problema esterno sara la condizione

ve0(x, 0) = lim

ε→0, � =cost.

V0(x, Y )

ε= 0

poiche, come ricordiamo, V0 e la velocita normale dilatata dividendo la velocitanon dilatata per ε: V (x, Y ; ε) = v(x, y; ε)/ε, e quindi tende a zero al tendere di εall’infinito.

Ricapitolando, abbiamo che il problema esterno al primo ordine puo esserescritto nel modo seguente

(ue0

� �)ue

0 +�

pe0 = 0,

� � ue0 = 0,



con le condizioni al contorno

v0(x, 0) = 0

lim|r|→∞

ue0(x, y) � r = U � r

Condizioni al contorno del problema internoPer quanto riguarda le condizioni al contorno per il problema interno otteniamo ilquadro completo delle condizioni al contorno utilizzando le condizioni del prob-lema originario in corrispondenza della parete unite alle condizioni di interfacciasufficientemente lontano da essa.

Il problema interno di ordine zero diviene quindi

U0∂U0

∂x+ V0

∂U0

∂Y− ∂

2U0

∂Y 2= −∂pe

0(x, 0)

∂x,

∂U0

∂x+ ∂V0

∂Y= 0.

dove si e tenuto conto della condizione di interfaccia per la pressione e del fatto cheP0(x) e dato dalla distribuzione della pressione pe

0(x, 0) del flusso esterno valutatasulla lastra. Le condizioni al contorno per le equazioni di Prandtl sono

U0(0, Y ) = umonte(Y ), Y > 0,

U0(x, 0) = 0, x > 0,

V0(x, 0) = 0, x > 0,

U0(x,∞) = ue0(x, 0), x > 0.

Poiche nel problema interno sono presenti la pressione e la componente longitu-dinale della velocita soluzione del problema esterno quest’ultimo va risolto perprimo.

Le equazioni trovate per il problema interno sono una versione delle equazionidi Prandtl dello teoria dello strato limite. Infatti, consideriamo il cambiamento divariabile

Y = y√

Re

e introduciamo le funzioni u e v legate alla soluzione U0 e V0 da un tale cambiamento



della coordinata normale alla parete, ovvero,

U0(x, Y ) = u(x, y) = u(x, Y/√

Re)

V0(x, Y ) = √Re v(x, y) = √Re v(x, Y/√

Re).

Risulta ovviamente

∂

∂Y= 1√

Re

∂

∂y

per cui, esprimendo le variabili incognite U0 e V0 in funzione delle nuove varibili ue v, si ottiene

u∂u

∂x+√Re v

1√Re

∂u

∂y−(

1√Re

)2∂2u

∂y2= −∂pe

0(x, 0)

∂x,

∂u

∂x+√Re

1√Re

∂v

∂y= 0,

e quindi, semplificando,

u∂u

∂x+ v ∂u

∂y− 1

Re

∂2u

∂y2= −∂pe

0(x, 0)

∂x,

∂u

∂x+ ∂v∂y= 0.

Queste sono proprio le equazioni di Prandtl scritte in forma adimensionale, con ledue coordinate spaziali rese adimensionali nello stesso modo.

capitolo 6 equazioni dello strato limite stazionario 2d · f. auteri e l. quartapelle:...

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