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F. Auteri e L. Quartapelle: Fluidodinamica. Capitolo 2 – pagina 25 colore nero Gennaio 6, 2005

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CAPITOLO 2

Equazioni delladinamica dei fluidiIntroduzione In questo capitolo presenteremo il problema del moto di un fluido.In particolare mostreremo come le leggi fondamentali della dinamica dei fluidi pos-sono essere formulate in forma matematica utilizzando i concetti e gli strumenti delcalcolo differenziale vettoriale. Il nostro scopo è di fornire una breve introduzionealla fluidodinamica ricavando le equazioni che governano il moto dei fluidi. Intro-durremo inoltre alcune restrizioni sulle caratteristiche del flusso e sulle proprietàdel fluido che conducono a regimi di moto di grande interesse per le applicazioni.

2.1 Rappresentazione del moto di un fluidoSupponiamo che una regione dello spazio tridimensionale sia riempita da un fluido,un liquido o un gas, il quale è in movimento. Tale moto può essere descritto in duemodi diversi. Si potrebbe tentare di determinare la posizione R = R(a, b, c, t) inogni istante di tempo t di una “particella” del fluido che si trovava nel punto (a, b, c)all’istante iniziale t = 0. Questo è il punto di vista lagrangiano. In alternativa, sipotrebbe tentare di determinare la velocità u(r, t), la densità ρ(r, t) e altre variabilifisiche come la pressione P(r, t), in ogni istante t e in ogni punto r = (x, y, z)della regione occupata dal fluido. Questo è il punto di vista euleriano.

Noi considereremo il secondo metodo e descriveremo pertanto il moto delfluido mediante la funzione (vettoriale)

u = u(r, t)che fornisce la velocità del fluido in ogni punto r = (x, y, z) della regione.

Il campo della velocità u(r, t) ci dice quindi come si muovono tutte le particelledel fluido in ogni istante. Di solito la determinazione di questo campo è il nostroobbiettivo principale, che in generale risulta essere alquanto difficile. Nel sistemadi coordinate cartesiane xyz le componenti della velocità u saranno indicate conu, v, w, ovvero u = u x̂+ v ŷ+ w ẑ, per cui l’espressione precedente è una formacompatta per rappresentare le tre relazioni seguenti

u = u(x, y, z, t), v = v(x, y, z, t), w = w(x, y, z, t).


26 CAPITOLO 2 Equazioni della dinamica dei fluidi

Flussi di tipo particolareEsistono alcune classi di flussi con caratteristiche particolari, che sono più semplicidel caso generale fin qui considerato.

Un flusso è chiamato stazionario se risulta

∂u(r, t)∂ t

= 0

per cui u dipende solo da r, ovvero

u = u(r).In altre parole, fissato un punto qualsiasi dello spazio, la velocità è costante sia inmodulo sia in direzione.

Un flusso è chiamato bidimensionale se il campo della velocità è della forma

u = [u(x, y, t), v(x, y, t), 0],ovvero se u è indipendente da una coordinata spaziale (qui la coordinata z) e nonha componente in quella direzione.

Infine un flusso è stazionario e bidimensionale se è della forma

u = [u(x, y), v(x, y), 0].

Esempio 1 Campo di velocità della rotazione rigida

Come semplice esempio di moto stazionario consideriamo un fluido in moto conuna velocità di rotazione angolare costante Ω attorno all’asse z. Se il moto dirotatorio è come quello di un solido in rotazione, allora il campo della velocità delfluido rotante con velocità angolare

� = Ω ẑ sarà

u(r) = �� r = u(x, y) = −Ωy x̂+Ωx ŷ.

Siccome la velocità è la stessa in tutti i piani normali all’asse z e la componente zdella velocità è nulla, il campo u può essere considerato come un campo vettorialepiano. Alcuni vettori di questo campo sono mostrati nella figura 2.1.

Tutti gli esempi mostrati sono idealizzazioni. Nessun flusso reale può essere esat-temente bidimensionale o perfettamente stazionario. Tuttavia, considerando adesempio il flusso attorno a un’ala di grande apertura e sezione trasversale uni-forme, potremo ritenere che esso sia approssimato in modo adeguato da un flussobidimensionale attorno alla sezione tranne che in prossimità delle estremità alari.


PARAGRAFO 2.1: Rappresentazione del moto di un fluido 27

Figura 2.1

Campo della velocità del moto dirotazione rigida attorno all’asse z

y

x

Esempio 2 Velocità della rotazione rigida in coordinate cilindriche

A causa della sua “struttura cilindrica” il campo di velocità della rotazione rigidaconsiderato nell’esempio 1 è descritto in modo naturale utilizzando le coordinatecilindriche (R, θ, z), dove R indica la distanza del punto r dall’asse di rotazione z.In queste coordinate un generico vettore v è espresso mediante la relazione

v = vR R̂+ vθ ˆ� + vz ẑ.

Il campo della velocità della rotazione rigida sarà allora dato da

u(r) = uθ(r) ˆ� = uθ (R) ˆ� = ΩR ˆ� ,

dove si deve ricordare che il versore ˆ� (come pure R̂) non è costante poiché la suadirezione dipende dall’angolo θ , ovvero ˆ� = ˆ� (θ).

Linee di correntePer descrivere i flussi è utile introdurre il concetto di linea di corrente. Una lineadi corrente di un campo di velocità u(r, t) è una curva avente la stessa direzionedel vettore u in ogni punto r del fluido in un istante di tempo determinato t . In altreparole, le linee di corrente sono semplicemente le linee del campo vettoriale nelcaso particolare del campo di velocità istantaneo u(r, t). Allora, dal punto di vistamatematico una linea di corrente S(s) = [X (s), Y (s), Z(s)] del campo di velocità



u(r, t) può essere ottenuta risolvendo l’equazione differenziale ordinaria

dSds= λ(s) u(S, t)

nella funzione incognita S(s), dove λ(s) è una funzione arbitraria la cui formadetermina la scelta della parametrizzazione della curva. Questa equazione vettorialeesprime la condizione che la curva S = S(s) sia parallela in ogni punto al campodi velocità u(r, t). Esplicitando le componenti cartesiane, si hanno le seguenti treequazioni scalari

d X

ds= λ(s) u(X, Y, Z , t),

dY

ds= λ(s) v(X, Y, Z , t),

d Z

ds= λ(s) w(X, Y, Z , t),

che sono accoppiate fra loro. Una scelta possibile del parametro per descrivere lacurva è prendere come variabile indipendente del sistema differenziale una delletre coordinate, ad esempio x , supponendo che sia u 6= 0. In questo modo si puòeliminare la funzione arbitraria λ(s) dal problema dividendo fra loro le equazioni eottenendo il seguente sistema di due equazioni

dY

dx= v(x, Y, Z , t)

u(x, Y, Z , t),

d Z

dx= w(x, Y, Z , t)

u(x, Y, Z , t),

nelle due incognite Y = Y (x) e Z = Z(x). La risoluzione di questo sistema in undeterminato istante t fornisce le linee di corrente in quell’istante.

Nel caso di campo di velocità stazionario u = u(r) le linee di corrente nondipendono dal tempo e sono anche chiamate curve integrali del campo vettoriale.Esse sono definite dal sistema

dSds= λ(s) u(S)

che, espanso nelle componenti cartesiane, assume la forma

d X

ds= λ(s) u(X, Y, Z), dY

ds= λ(s) v(X, Y, Z), d Z

ds= λ(s) w(X, Y, Z).



Nel caso di flussi in due dimensioni con u(r, t) = u(x, y, t) x̂+ v(x, y, t) ŷ (prob-lemi piani) le linee di corrente sono definite da S(s) = [X (s), Y (s)] e si ottengonorisolvendo il sistema di due equazioni

d X

ds= λ(s) u(X, Y, t), dY

ds= λ(s) v(X, Y, t).

L’eliminazione della funzione arbitraria λ(s) legata alla parametrizzazione conducea una singola equazione differerenziale:

dY

dx= v(x, Y, t)

u(x, Y, t).

nella sola funzione incognita Y = Y (x). Nel caso di flusso stazionario u = u(r) =u(x, y) x̂+ v(x, y) ŷ questa equazione si semplifica in

dY

dx= v(x, Y )

u(x, Y ).

Un esempio delle linee di corrente (di una sezione) del campo di velocità del ventoche soffia in modo stazionario sopra una collina è mostrato nella figura 2.2.

Figura 2.2 Il campo di velocità delvento che soffia sopra una collina



Esempio 3 Linee di corrente del campo di velocità di rotazione

Determinare le linee del campo di velocità della rotazione rigida u = Ω(−y x̂+x ŷ)dell’esempio 1.

Soluzione Le linee del campo soddisfano l’equazione differenziale

dY

dx= v(x, Y )

u(x, Y )= Ωx−ΩY = −

x

Y.

Possiamo separare le variabili di questa equazione per ottenere Y dY = −x dx .L’integrazione allora fornisce Y 2/2 = −x2/2 + C , ossia Y 2 + x2 = 2C . Quindile linee del campo sono dei cerchi con centro nell’origine nel piano xy, comesi vede chiaramente dal disegno del campo dei vettori nella figura 2.1 e come èmostrato nella figura 2.3. Se si considera u come campo vettoriale nello spaziotridimensionale, le linee del campo sono circonferenze nei piani orizzontali concentro sull’asse z:

x2 + y2 = C1, z = C2.

Figura 2.3 Linee di corrente delcampo di moto della rotazione rigida

y

x

TraiettorieUn modo semplice di seguire i flussi non stazionari consiste nel marcare unaparticella del fluido in modo da poterla riconoscere da tutte le altre e seguirepoi il suo moto registrando la sua posizione negli istanti successivi. Esistono



diversi modi per realizzare la marcatura ma ciò che rende utile questa tecnica èla possibilità di registrare agevolmente la posizione della particella marcata, adesempio mediante una macchina fotografica o addirittura una videocamera. Dalpunto di vista matematico le posizioni successive della particella costituiscono lasua traiettoria R = R(t) che si ottiene risolvendo il seguente problema del moto

dRdt= u(R, t),

R(0) = R0,con la velocità della particella data dal campo di velocità u(r, t) del fluido. Nelcaso di flusso non stazionario, le traiettorie delle varie particelle p = 1, 2, 3, . . .che passano nello stesso punto R0 in istanti diversi t1 < t2 < t3 . . . sono differentiin quanto le funzioni Rp(t) corrispondenti soddisfano la medesima equazione dif-ferenziale dRp/dt = u(Rp, t) ma la loro condizione iniziale è specificata in istantidi tempo diversi: R1(t1) = R0, R2(t2) = R0, R3(t3) = R0, . . . .

Nel caso di flusso stazionario, l’equazione della traiettoria è soluzione delproblema

dRdt= u(R),

R(0) = R0,e quindi, fissato il punto di partenza R0, la stessa funzione R(t) caratterizza lasola traiettoria passante per R0, indipendentemente dall’istante di tempo inizialescelto per la sua rappresentazione parametrica. Si noti che la direzione tangentealla curva R(t) è parallela alla direzione della velocità in ogni punto, per cui neiflussi stazionari le traiettorie coincidono con le linee di corrente.

Curve di emissione (streakline)Un terzo modo utile per descrivere il moto dei fluidi consiste nel marcare in istantidi tempo successivi le particelle del fluido che passano per un unico punto fissore, chiamato punto di emissione. Il rilevamento delle loro diverse posizioni è poieseguito collettivamente a uno stesso istante di tempo. La descrizione matematicadi questo procedimento è la seguente.

Supponiamo di marcare in vari istanti di tempo successivi t1, t2, . . . , tk leparticelle di fluido che passano per uno stesso punto re. Nel caso di un flussonon stazionario, le particelle marcate si muoveranno percorrendo ciascuna unatraiettoria diversa. Indicando le traiettorie delle varie particelle con le funzioni



R1(t), R2(t), . . . Rk(t), queste saranno soluzione dei seguenti problemi ai valoriiniziali

dR1dt= u(R1, t),

R1(t1) = re;

dR2dt= u(R2, t),

R2(t2) = re;. . .

dRkdt= u(Rk, t),

Rk(tk) = re;La curva di emissione, chiamata in inglese streakline, è la curva formata dallaposizione delle particelle in un determinato istante di tempo t > tk che è lo stessoper tutte le particelle. Quindi la curva di emissione all’istante t è data dall’insiemedelle posizioni

{Rk(t),Rk−1(t), . . . ,R2(t),R1(t)

}

Nel caso di flussi stazionari, le particelle marcate nel punto re si muoverannotutte sulla medesima traiettoria. Infatti, indicando sempre con R1(t), R2(t), . . . Rk(t)le traiettorie delle varie particelle marcate nel punto re negli istanti di tempo suc-cessivi, queste funzioni saranno soluzione dei seguenti problemi ai valori iniziali,per p = 1, 2, . . . , k,

dRpdt= u(Rp), Rp(tp) = re.

Siccome il campo di velocità u(r) non dipende dal tempo, tutte le soluzioni possonoessere ricavate dalla prima R1(t) mediante un semplice cambiamento dell’originedel tempo e avremo

R2(t) = R1(t − (t2 − t1))R3(t) = R1(t − (t3 − t1))· · ·

Rk−1(t) = R1(t − (tk−1 − t1))Rk(t) = R1(t − (tk − t1))

Di conseguenza la curva di emissione del flusso stazionario sarà data da{R1(t−(tk−t1)),R1(t−(tk−1−t1)), . . . ,R1(t−(t3−t1)),R1(t−(t2−t1)),R1(t)

}

ovvero{R1((t−tk)+t1),R1((t−tk−1)+t1), . . . ,R1((t−t3)+t1),R1((t−t2)+t1),R1(t)

}

Queste posizioni sono semplicemente i punti in istanti di tempo successivi dellatraiettoria passante per re al tempo t1. Pertanto nei flussi stazionari le linee diemissione coincidono con le traiettorie e quindi anche con le linee di corrente.


PARAGRAFO 2.2: Equazione di conservazione della massa 33

2.2 Equazione di conservazione della massaMostriamo ora come alcune leggi fisiche fondamentali relative al moto di un fluidopossano essere tradotte in equazioni matematiche equivalenti per mezzo del teo-rema della divergenza. In tutta la nostra analisi supporremo che la velocità u, ladensità ρ e la pressione P siano funzione della posizione r e del tempo t , ovvero,u = u(r, t), ρ = ρ(r, t), etc., e che dipendano con regolarità da tutte le loro vari-abili. Supporremo che il fluido sia costituito da una sola sostanza caratterizzata daproprietà definite, nel senso che escludiamo dalla nostra analisi miscele di fluididiversi e fluidi nei quali si possono verificare reazioni chimiche.

Consideriamo una superficie chiusa immaginaria S dentro il fluido e che de-limita una determinata regione V dello spazio, come mostrato nella figura 2.4. Lasuperfice S è detta “immaginaria” in quanto non costituisce in nessun modo unabarriera al movimento del fluido. Tale superficie è fissa nello spazio e non si muovecon il fluido. Il moto del fluido è in generale instazionario per cui il campo divelocità u(r, t ′) all’istante t ′ > t , mostrato nella figura 2.5 sarà in generale diversoda quello all’istante t , u(r, t), mostrato nella precedente figura 2.4.

Figura 2.4 Volume di controllo lelinee istantanee di corrente del moto delfluido al tempo t

La legge di conservazione della massa afferma che un fluido non può esserené creato né distrutto da nessuna parte, ovvero che non esistono né sorgenti né pozziper la massa del fluido. In termini quantitativi tale legge potrà allora essere espressanel modo seguente: la rapidità di variazione della massa di fluido contenuta nellaregione V è uguale alla rapidità con cui il fluido entra in V attraverso S. Per fluidoentrante intendiamo la quantità netta di fluido che entra in V .

La massa di fluido in un elemento di volume dV nella posizione r = (x, y, z)al tempo t è ρ(x, y, z, t) dV = ρ(r, t) dV , dove ρ è la densità (di massa), ovverola massa per unità di volume. Allora la massa contenuta in V al tempo t è data da

MV (t) =∫∫∫

Vρ(r, t) dV .

Se l’integrale è calcolato in coordinate cartesiane, naturalmente risulta ρ(r, t) dV =

Figura 2.5 Volume di controllo eandamento delle linee di correnteistantanee in un altro istante di tempot ′ 6= t

ρ(x, y, z, t) dx dy dz. L’integrale sul volume V è un integrale triplo, ma la presenzadei tre simboli per indicare tale integrazione rende l’espressione precedente piuttostopesante. Può essere quindi conveniente semplificare la notazione utilizzando un solosimbolo di integrazione per cui scriveremo

∫∫∫

VdV −→

∫

VdV .



L’integrazione su un volume V di una funzione di r significa scomporre V intanti piccoli volumi elementari ∆V1, ∆V2, . . . , posti rispettivamente nei puntir1, r2, . . . , in ognuno dei quali la densità al tempo t può avere valor diversi, adesempio ρ1 = ρ(r1, t), ρ2 = ρ(r2, t), . . . , come mostrato nella figura 2.6. In altreparole, l’integrale sulla regione V significa calcolare la somma di tutte le masseelementari ρ(r1, t)∆V1+ρ(r2, t)∆V2+ . . . . Notiamo che solo nel caso particolaredi densità uniforme, indipendente dalla posizione (e per semplicità anche dal tempo)ρ(r, t) = ρ, la funzione integranda ρ può uscire dal segno di integrale e quindirisulta MV =

∫V ρ(r, t) dV =

∫V ρ dV = ρ V , dove V indica il volume della

regione V .

Figura 2.6 Corrente di un fluido lacui densità ρ(r) è non uniforme, mapuò dipendere dalla posizione

r1 ρ1 r2ρ2

r3ρ3

Introduciamo ora una convenzione per semplificare l’espressione degli integrali cherisulterà molto comoda nel seguito, dove dovremo considerare integrali di funzionialquanto complicate. Stabiliamo di scrivere gli integrali omettendo l’elementodi integrazione infinitesimo a condizione di indicare esplicitamente il dominio diintegrazione come pedice del simbolo di integrale stesso. Useremo pertanto laulteriore semplificazione notazionale

∫∫∫

VdV −→

∫

VdV −→

∫

V.

Ricorrendo a questa notazione, la massa di fluido contenuta nel dominio V al tempot sarà scritta nella forma sintetica

MV (t) =∫

Vρ(r, t).


PARAGRAFO 2.2: Equazione di conservazione della massa 35

È importante ricordare che l’eliminazione del volume infinitesimo di integrazioneè solo un espediente per scrivere delle espressioni più semplici. In ogni caso,siccome il dominio di integrazione V compare di fianco al simbolo di’integrale,la presenza di dV a moltiplicare la funzione integranda è comunque sottintesa.Questo presenza sottintesa è ovviamente richiesta per potere garantire anche lacorrettezza dimensionale della relazione. Ad esempio, il primo membro dellarelazione precedente è una massa e il secondo membro sembra essere una densità(massa per unità di volume) solo se dimentichiamo che è sottintesa la presenzadell’elemento di volume infinitesimo dV di fianco alla funzione integranda ρ(r, t).

La massa contenuta nella regione fissa V considerata cambia con una rapiditàche è espressa dalla sua derivata rispetto al tempo, cioè,

d MV (t)

dt= d

dt

∫

Vρ(r, t) =

∫

V

∂ρ(r, t)∂ t

.

Si noti che la derivata ordinaria rispetto a t , passando sotto il segno d’integrale,diventa parziale perché la massa MV (t) contenuta nel volume V è dipende solo daltempo t , mentre la funzione integranda ρ(r, t) dipende anche della posizione r.

Il volume netto di fluido uscente da V attraverso l’elemento di area dS, nellaposizione r, nell’intervallo di tempo da t a t + dt , è dato da u(r, t) � n̂(r) dS dt ,dove n̂(r) è la normale unitaria in r su S uscente da V (vedi figura 2.7).

Figura 2.7 Il fluido che attraversad S nell’intervallo di tempo dt riempieil volume del tubo disegnato

x

y

z

θ

n̂u dt

S

Pd S



Di conseguenza la massa che attraversa dS, andando verso l’esterno, nell’intervallodi tempo considerato è ρ(r, t) u(r, t) � n̂(r) dS dt e la rapidità con cui la massa esceda V attraverso S al tempo t è

∫©∫

Sρ(r, t) u(r, t) � n̂(r) dS.

Il cerchio sul simbolo di integrale doppio significa che la superfice S considerata èchiusa nel senso che essa è il contorno di un volume V contenuto in una regionelimitata. Anche il simbolo dell’integrale doppio può essere scritto in modo sem-plificato utilizzando un solo segno di integrale, ovvero l’integrale su una superficiechiusa può essere indicato anche nel modo più semplice

∫©∫

Sn̂(r) dS −→

∮

Sn̂(r) dS.

Infine, sempre per ridurre la complessità delle espressioni, proprio come nel casodell’integrale di volume,si adotta la convenzione di omettere l’elemento di superficieinfinitesimo dS, a condizione che la superficie di integrazione S sia esplicitamenteindicata ponendo questo simbolo come pedice dell’integrale, ovvero si adotta laseguente notazione semplificata

∫©∫

Sn̂(r) dS −→

∮

Sn̂(r) dS −→

∮

Sn̂(r).

Ricorrendo a questa notazione, la rapidità con cui la massa esce da V attraverso Sal tempo t sarà indicata più semplicemente con

∮

Sρ(r, t) u(r, t) � n̂(r).

La rapidità con cui la massa entra in V è l’opposto della rapidità appena scritta datoche la direzione del versore n̂(r) normale a qualunque superficie chiusa S è, perconvenzione, sempre uscente dal volume V contenuto in S.

L’espressione matematica della legge di conservazione della massa relativa-mente al volume V è quindi che l’aumento per unità di tempo della massa contenutain V deve essere uguale alla massa che nell’unità di tempo entra in V attraverso lasua frontiera S, ovverosia

∫

V

∂ρ(r, t)∂ t

= −∮

Sρ(r, t) u(r, t) � n̂(r).


PARAGRAFO 2.3: Equazione della quantità di moto 37

Possiamo riscrivere la legge di conservazione della massa in una forma più facileda leggere eliminando le variabili indipendenti r e t dalle funzioni che si integrano,e quindi scriveremo:∫

V

∂ρ

∂ t= −

∮

Sρu � n̂.

Si dovrebbe comunque essere sempre in grado di ricostruire la presenza dellevariabili da cui dipendono le varie funzioni in base agli operatori differenzialipresenti nella relazione e ai domini di integrazione indicati.

Utilizziamo ora il teorema della divergenza per sostituire l’integrale di superfi-cie del secondo membro con un integrale di volume:∫

V

∂ρ

∂ t= −

∫

V

�� (ρu).

Quindi risulta∫

V

[∂ρ

∂ t+ � � (ρu)

]= 0.

Questa equazione deve valere per qualunque dominio V nel fluido.

D’altra parte, come già visto nel capitolo 1 per la forma locale e la forma globaledella condizione di equilibrio, se una funzione continua f soddisfa

∫V f (r) = 0

per qualunque dominio V , allora f (r) = 0 in tutti i punti r, in quanto, se esistesseun punto r0 tale che f (r0) 6= 0, ad esempio f (r0) > 0, allora, per la continuitàdella funzione f , essa sarebbe positiva in tutti i punti appartenenti a una palla Bcon centro in r0 sufficientemente piccola ma con raggio positivo, per cui

∫B f (r)

sarebbe maggiore di zero. Applicando questo principio, si deve avere

∂ρ

∂ t+ � � (ρu) = 0

in tutto il fluido. Questa è chiamata equazione di continuità del fluido. Essaesprime la conservazione della massa in forma locale.

2.3 Equazione della quantità di motoEsaminiamo ora l’equazione del moto del fluido il cui movimento è governato dallaseconda legge di Newton. Supponiamo che il fluido sia non viscoso. Tale ipotesinon è soddisfatta dai fluidi reali,per cui in questo paragrafo consideriamo un modellomatematico semplificato che descrive solo approssimativamente il comportamentoosservato nei fenomeni reali.



La seconda legge di Newton, detta anche legge fondamentale della dinamicaafferma che in qualunque sistema di riferimento inerziale la rapidità di variazionedella quantità di moto (chiamata nei testi inglesi momento lineare o anche piùsemplicemente momento) di una particella è uguale alla somma delle forze agentisu di essa. L’applicazione diretta di tale legge a una determinata porzione di fluidoin movimento è un po’ complicata poiché tale quantità di moto è data da un integralesu un volume mobile: di conseguenza il calcolo della rapidità di variazione dellaquantità di moto della porzione di fluido considerata richiede di sapere calcolare laderivata di un integrale su un volume in movimento nello spazio. Questo argomentosarà affrontato solo nel paragrafo 9.1; in particolare nel paragrafo 9.4 la secondalegge di Newton sarà utilizzata in modo diretto per ricavare l’equazione del motodel fluido.

In questo paragrafo seguiamo un procedimento diverso considerando invece ilfluido contenuto in un volume V fisso nello spazio. In ogni istante t la quantità dimoto del fluido contenuto in V è

PV (t) =∫

Vρ(r, t) u(r, t) =

∫

Vρu.

La quantità di moto del fluido contenuto nella regione V varia con una rapidità

dPV (t)dt

= ddt

∫

Vρu =

∫

V

∂

∂ t(ρu).

Siccome il fluido contenuto in V è costituito da porzioni di fluido sempre diverse,la rapidità di variazione di PV (t) è causata in parte dalla quantità di moto che entrain V o esce da V attraverso la sua superficie S (la quantità di moto del fluido cheattraversa S), e in parte da tutte le forze agenti sul fluido contenuto in V . Questeforze comprendono: le forze di superficie agenti sul fluido in V attraverso lasuperficie S le quali, essendo il fluido non viscoso, sono dovute all’azione della solapressione, e tutte le forze di volume esterne (come la forza gravitazionale o quellaelettromagnetica) agenti sul fluido. Esaminiamo separatamente ciascuna di questecause di variazione di PV (t).

La quantità di moto entra in V attraverso S con una rapidità

−∮

Sρu (u � n̂).

La pressione agente sul fluido contenuto in V si esercita attraverso S nella direzionedella normale interna −n̂. Quindi questa parte della forza agente sul fluido nonviscoso contenuto in V è

−∮

SP n̂.


PARAGRAFO 2.3: Equazione della quantità di moto 39

Le forze di volume dovute a campi esterni (ad esempio il campo di gravità) sonoespresse in termini della forza specifica g, che è la forza per unità di massa. Laforza di volume totale agente sul fluido contenuto in V è pertanto

∫

Vρg.

La seconda legge di Newton implica che∫

V

∂

∂ t(ρu) = −

∮

Sρu (u � n̂)−

∮

SP n̂+

∫

Vρg.

Anche in questo caso desideriamo trasformare gli integrali di superficie (doppi) inintegrali sul volume V (tripli). Il teorema del gradiente fornisce immediatamente

∮

SP n̂ =

∫

V

�P.

Più complicata è invece la trasformazione dell’integrale contenente ρu (u � n̂). Inquesto caso si deve applicare il teorema della divergenza per ciascuna compo-nente cartesiana della quantità vettoriale ρu (u � n̂). Considerando ad esempio lacomponente x , ovvero ρu (u � n̂), il teorema della divergenza implica

∮

Sρu (u � n̂) =

∫

V

�� (ρu u) =

∫

V

�� (u ρu)

=∫

V

[ρu �

�u + u � � (ρu)].

Sommiamo ora vettorialmente le relazioni relative alle tre componenti cartesianedella velocità u, v e w, e otteniamo

∮

Sρu (u � n̂) =

∫

V

[(ρu �

�u + u � � (ρu)) x̂

+ (ρu � � v + v � � (ρu)) ŷ+ (ρu � � w +w � � (ρu)) ẑ]

=∫

V

[ρu �

�u x̂+ ρu � � v ŷ+ ρu � � w ẑ

+ u x̂ � � (ρu)+ v ŷ � � (ρu)+w ẑ � � (ρu)].Abbiamo pertanto

∮

Sρu (u � n̂) =

∫

V

[ρ(u �

�)u+ u � � (ρu)].



La trasformazione dei due integrali di superficie in integrali di volume conduce allarelazione

∫

V

[∂

∂ t(ρu)+ u � � (ρu)+ ρ(u � � )u+ � P − ρg

]= 0.

Sviluppando la derivata temporale del prodotto ρu si ottiene

∫

V

[ρ∂u∂ t+ u∂ρ

∂ t+ u � � (ρu)+ ρ(u � � )u+ � P − ρg

]= 0,

che permette di eliminare il secondo e il terzo termine dell’integrando in virtùdell’equazione di continuità, per cui abbiamo

∫

V

[ρ∂u∂ t+ ρ(u � � )u+ � P − ρg

]= 0.

Poiché la regione V è completamente arbitraria, dobbiamo allora avere

ρ∂u∂ t+ ρ(u � � )u+ � P = ρg.

Dividendo questa relazione per ρ si ottiene infine

∂u∂ t+ (u � � )u+

�P

ρ= g.

Questa è l’equazione di moto di un fluido non viscoso, detta anche equazione dellaquantità di moto. Si osservi che essa è un’equazione differenziale alle derivateparziali non lineare: il secondo termine del membro di sinistra è non lineare in u eil termine (

�P)/ρ è non lineare a causa della presenza della variabile incognita ρ

a denominatore.

2.4 Equazioni della dinamica dei fluidi non viscosiLe due equazioni esprimenti la conservazione della massa e la legge della dinamicadevono essere risolte contemporaneamente, per cui sono combinate assieme nelsistema seguente che riguarda un fluido comprimibile ma non viscoso:


PARAGRAFO 2.5: Equazioni per flussi incomprimibili di un fluido non viscoso 41

∂ρ

∂ t+ � � (ρu) = 0,

∂u∂ t+ (u � � )u+

�P

ρ= g.

Le incognite del sistema sono la densità ρ(r, t), la pressione P(r, t) e la velocitàu(r, t), ma il sistema è costituito da due sole equazioni, una scalare e una vettoriale.Pertanto manca una seconda equazione scalare per avere un uguale numero diequazioni e di incognite.

Conservazione dell’energia e relazioni termodinamicheIn realtà il sistema richiede di includere un’altra equazione scalare che esprimein forma matematica la legge di conservazione dell’energia. Inoltre, nel casodi un fluido reale si deve includere nell’equazione della quantità di moto la forzainterna dovuta alla viscosità del fluido. È comunque da osservare che l’equazionedell’energia contiene, oltre alle incognite ρ, P e u, altre due variabili incognite,l’energia specifica e (energia per unità di massa) e la temperatura T . Di conseguenza,considerando per esempio il caso di un sistema costituito da un fluido con una solacomponente chimica stabile, è necessario includere anche due equazioni di statoche legano fra loro le variabili termodinamiche, ad esempio, la coppia di equazioni

P = P(e, ρ),T = T (e, ρ).

Naturalmente la forma delle equazioni di stato dipende dalle proprietà termodi-namiche del fluido (liquido o gas) considerato. Si noti infine che nel caso generaledi fluidi comprimibili viscosi l’equazione di conservazione dell’energia è piut-tosto complicata a causa della complessità dei termini che descrivono l’aumentodell’energia interna del fluido per effetto dell’attrito viscoso.

Nei prossimi capitoli vedremo che per i flussi incomprimibili le due equazionidella conservazione della massa e della quantità di moto, anche in presenza delleforze viscose, permettono di formulare un problema matematico completo. Nel casogenerale di flussi comprimibili è invece necessaria anche l’equazione dell’energiae l’insieme completo di equazioni per flussi di questo tipo sarà introdotto nei dueultimi capitoli 9 e 10, dedicati rispettivamente ai fluidi non viscosi e viscosi.



2.5 Equazioni per flussi incomprimibili di un fluido non viscosoSupponiamo ora che si possa assumere che il flusso sia incomprimibile, nel sensoche la densità ρ del fluido può essere supposta costante, indipendente sia dal temposia dalla posizione spaziale, ovvero ρ(r, t) = ρ = costante, dove ρ è una costantepositiva. In questo caso risulta

∂ρ

∂ t= ∂ρ∂ t= 0

come pure

�� (ρu) = � � (ρu) = ρ � � u.

Pertanto per un flusso incomprimibile l’equazione di continuità diventa semplice-mente

�� u = 0.

Questa equazione è chiamata condizione di incomprimibilità e costituisce un vin-colo che il campo di velocità deve soddisfare nella fluidodinamica incomprimibile.Questo vincolo impone che il campo di velocità u sia a divergenza nulla ovverosiasolenoidale in ogni istante.

Di conseguenza il sistema di due equazioni esprimenti la legge della dinamicadi Newton e la conservazione della massa nel caso di un flusso incomprimibile diun fluido di densità uniforme e non viscoso diventa

∂u∂ t+ (u � � )u+

�P

ρ= g,

�� u = 0.

Questo sistema è noto con il nome di equazioni di Eulero per i flussi incompri-mibili.

È importante notare che in questo caso abbiamo due equazioni, la prima vet-toriale e la seconda scalare, nelle due funzioni incognite u(r, t) e P(r, t), essendoρ una costante nota. Pertanto il sistema ha tante equazioni quante incognite e puòessere risolto senza fare intervenire in alcun modo le equazioni di stato che definis-cono le proprietà termodinamiche del fluido—sparizione della termodinamica. Ineffetti, nel caso di flusso incomprimibile la variabile pressione P che compare


PARAGRAFO 2.7: Equazioni per flussi incomprimibili di un fluido viscoso 43

nell’equazione dinamica della velocità è presente per permettere di soddisfare ilvincolo di incomprimibilità per la velocità. In altre parole, il campo della velocitànon può soddisfare da solo contemporaneamente le quattro equazioni comprendentil’equazione della quantità di moto e la condizione di incomprimibilità, perché u hasoltanto tre componenti: la pressione allora fornisce i gradi di libertà necessari perpermettere che anche la quarta equazione scalare del sistema sia rispettata.

2.6 Equazioni per flussi incomprimibili non viscosi irrotazionaliUn caso particolare di flussi incomprimibili non viscosi è rappresentato dai flussiirrotazionali. Un campo di velocità u(r, t) è detto irrotazionale se il suo rotore

� �u è nullo in ogni suo punto e in ogni istante di tempo:

� �u = 0.

Sotto questa condizione l’equazione della quantità di moto si semplifica notevol-mente poiché il termine non lineare (u �

�)u è un semplice gradiente. Infatti, in

virtù dell’identità vettoriale (u ��)u = ( � � u) � u+ 12

� (|u|2), quando � � u = 0avremo

(u ��)u = 12

� (|u|2) [ � � u = 0].

Quindi per flussi incomprimibili irrotazionali l’equazione dinamica della velocitàassumerà la forma

∂u∂ t+ �

(P

ρ+ |u|

2

2

)= g.

Il sistema di equazioni che governano allora i flussi incomprimibili irrotazionali diun fluido non viscoso di densità uniforme è allora dato da

∂u∂ t+ �

(P

ρ+ |u|

2

2

)= g,

� �u = 0, � � u = 0.

Mostreremo nel capitolo 4 che le equazioni di questo sistema possono essere risoltedisaccoppiando il calcolo del campo di velocità da quello del campo di pressione.



2.7 Equazioni per flussi incomprimibili di un fluido viscosoLe precedenti equazioni sono state derivate supponendo nulla la viscosità del flu-ido. Queste equazioni possono essere modificate per tenere conto dell’effetto dellaeventuale viscosità del fluido. Per qualunque fluido reale esiste una grandezza dettaviscosità dinamica e indicata con µ che è il coefficiente di proporzionalità frala derivata spaziale del campo della velocità e la forza viscosa agente sulle parti-celle del fluido. Nel caso particolare di flussi incomprimibili questa grandezza èsufficiente a rappresentare le forze interne di attrito viscoso.

La viscosità provoca su ogni particella di fluido una forza a causa della presenzadel fluido circostante quando il campo della velocità ha determinate variazionispaziali. Nel caso più semplice la forza viscosa risulta essere proporzionale algradiente della velocità e questa condizione caratterizza i fluidi detti newtoniani.Più precisamente la forza viscosa per unità di volume agente in un punto di un flussoincomprimibile di un fluido con viscosità dinamica costante, µ = µ, è data da

ρ fvisc = µ � 2u, (fluido incomprimibile)

dove � 2 rappresenta l’operatore laplaciano. Dividendo questa espressione per ladensità ρ si ottiene la forza per unità di massa fvisc = ν � 2u, dove il coefficiente(costante)

ν = µρ

è chiamato viscosità cinematica.

Includendo la forza viscosa per unità di massa ν � 2u nell’equazione dinamicadella velocità, il sistema delle due equazioni che governano il flusso incomprimibiledi un fluido viscoso (newtoniano) assume la forma seguente

∂u∂ t+ (u � � )u+

�P

ρ= ν � 2u+ g,

�� u = 0.

Questo sistema è noto con il nome di equazioni di Navier–Stokes per i flussiincomprimibili. Anche nel caso viscoso la pressione è presente nel sistema ondefornire i gradi di libertà necessari per potere imporre la condizione di incomprimi-bilità sul campo della velocità. Tecnicamente si esprime questo fatto dicendo cheP(r, t) costituisce il moltiplicatore di Lagrange associato al vincolo

�� u = 0

che deve essere soddisfatto dalla velocità u(r, t) in ogni punto r e in ogni istante t .


PARAGRAFO 2.9: Equazioni per i fluidi comprimibili viscosi 45

2.8 Equazioni per i fluidi comprimibili non viscosiUna modello di carattere più generale di quello incomprimibile è rappresentato dalfluido le cui particelle possono subire una dilatazione o una contrazione (e quindipossono variare il proprio volume) a causa dell’azione delle forze agenti su di loro.I fluidi di questo tipo sono detti comprimibili e per il loro studio è necessarioconsiderare le equazioni di stato termodinamiche del fluido, che costituiranno unelemento essenziale del modello matematico complessivo per potere determinare ilmoto del fluido. Nel capitolo 9 dedurremo il sistema di equazioni dinamiche peril caso di un fluido comprimibile, considerando inizialmente il caso semplificato incui la viscosità e la conducibilità termica possono essere considerate nulle. Questosistema è noto come equazioni di Eulero comprimibili o anche di equazioni dellagasdinamica. Una forma possibile di queste equazioni è

∂ρ

∂ t+ � � (ρu) = 0,

∂(ρu)∂ t+ � � (ρu⊗ u)+ � P = ρg,

∂(ρe)

∂ t+ � � (ρeu)+ P � � u = 0,

P = P(e, ρ), T = T (e, ρ).

2.9 Equazioni per i fluidi comprimibili viscosiSe poi si considera il caso generale, descritto nel capitolo 10, di un fluido comprimi-bile con le due viscosità µ e λ e la conducibilita termica κ diverse da zero, allora ilmoto del fluido è governato dalle equazioni di Navier–Stokes comprimibili:

∂ρ

∂ t+ � � (ρu) = 0,

∂(ρu)∂ t+ � � (ρu⊗ u)+ � P = � �� (u)+ ρg,

∂(ρe)

∂ t+ � � (ρeu)+ P � � u = � � (κ � T )+ � (u) : � (u),

P = P(e, ρ), T = T (e, ρ).



In queste equazioni, oltre al tensore densità di corrente della quantità di moto,ρu⊗u, compaiono due altri tensori. Il primo è il tensore simmetrico dei “gradientidella velocità”, � (u), definito da

� (u)→ ei, j (u) = 12[êi � (êj �

�)u+ êj � (êi � � )u

], i, j = 1, 2, 3,

dove êi , i = 1, 2, 3, sono i versori delle coordinate ortogonali utilizzate. Il secondoè il tensore degli sforzi viscosi, � (u)che, per un fluido viscoso di tipo newtonianoè definito da

� (u)= 2µ � (u)+ λ ( � � u) � ,

dove � indica il tensore identità dello spazio a tre dimensioni.

Esercizi 2

1. Disegnare il campo di velocità stazionario piano dato dellarelazione

u(x, y) = U ex x̂+U e−x ŷ

e determinare le sue linee di corrente.

2. Un campo di velocità u(r) piano e stazionario ha le seguenticomponenti cartesiane lungo gli assi x e y

u(x, y) = By, v(x, y) = Bx.

Determinare le linee di corrente del flusso.

3. La legge di conservazione della massa in forma locale èespressa dall’equazione di continuità

∂ρ

∂t+ �� (ρu) = 0.

Ricavare l’equazione che governa la variabile volumespecifico v = 1/ρ, che rappresenta il volume per unità dimassa in un punto del fluido. Che cosa si può dire delvolume specifico v delle particelle di un fluido con volumespecifico in generale non costante, v = v(r, t), nel caso incui il campo di velocità sia solenoidale, ovvero �� u = 0?

4. Dimostrare che l’equazione di conservazione della massa el’equazione della quantità di moto implicano la validità dellaseguente equazione

√ρ∂(√ρ u)

∂t+ (ρu �� )u+ u

2�� (ρu)+ � P = ρg.

Questa forma dell’equazione della quantità di moto èimportante per lo sviluppo dei metodi di risoluzione delleequazioni per i flussi incomprimibili mediante gli elementifiniti. Nel caso di densità uniforme, ρ = ρ, l’equazionediventa

∂u∂t+ (u �� )u+ u

2�� u+ � P

ρ= g.

capitolo 2 equazioni della dinamica dei ﬂuidi · capitolo 2 – pagina 25 colore nero gennaio 6,...

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