capitolul 5_cuadrice reduse
TRANSCRIPT
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
1/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 65
CC AA PP II TT OO LL UU LL 55
CCUUAADDRRIICCEE PPEE EECCUUAAIIII RREEDDUUSSEE
Se consider n spaiu un sistem de coordonate de axe , ,Ox Oy Oz raportat la versorii
, ,i j k
.
CUADRICE NEDEGENERATE
ELIPSOIDUL
Definiia 5.1.Elipsoidul (real) este mulimea punctelor din spaiu care satisfac ecuaia
cartezian, numit ecuaia canonic (redus) a elipsoidului:
( )2 2 2
2 2 2: 1 0,x y z
Ea b c
+ + = unde , , 0a b c > . (1)
Pentru elipsoidul ( )E avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 1):
, ,a b c sunt semiaxele elipsoidului. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0, 0 , , 0, 0 , 0, , 0 , 0, , 0 , 0, 0, , 0, 0,A a A a B b B b C c C c sunt
vrfurile elipsoidului.
( )0,0,0O este centru de simetrie numit centrul elipsoidului; Ox, Oy, Oz sunt axe desimetrie numite axele elipsoidului; , ,Oxy Oxz Oyz sunt plane de simetrie numite planele
principale pentru elipsoid.
Figura 1: Elipsoidul real
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
2/59
66 CAPITOLUL 5
Remarca 5.2. Cuadrica descris prin ecuaia2 2 2
2 2 21 0, , , 0
x y za b c
a b c+ + + = > se
numete elipsoid imaginar.
Remarca5.3. Elipsoidul ( )E este o mulime mrginiti nchis, deci compact, con-
inut n interiorul paralelipipedului , ,x a y b z c .
Dac dou dintre semiaxele elipsoidului sunt egale, de exemplu a b= , atunci elipsoidul
2 2 2
2 2 21 0
x y z
a a c+ + = se numete de rotaie n jurul axei Oz i se obine prin rotaia n jurul
axei Oz a elipsei
2 2
2 2 1 0
0
y za c
x
+ =
=
.
Dac semiaxele sunt egale, a b c= = , atunci elipsoidul este o sfer de raz a .
Ecuaiile parametrice ale elipsoidului:
cos sin
sin sin
cos
x a u v
y b u v
z c v
=
= =
, [ ] [ ]0, 2 , 0,u v . (2)
Intersecia unui elipsoid cu o dreapt
O dreapt intersecteaz elipsoidul n cel mult dou puncte, ale cror coordonate se
gsesc rezolvnd sistemul format din ecuaia elipsoidului i ecuaiile dreptei.
Observaia 5.4. O dreapt cu vectorul director v l i m j nk = + +
este tangent ntr-un
punct ( ) ( )0 0 0, ,M x y z E la elipsoid dac0 0 02 2 2
0lx my nz
a b c+ + = .
Intersecia unei elipsoid cu un plan
1.Planele de simetrie Oxy, Oxz, Oyz intersecteaz elipsoidul dup elipse reale.Intersecia elipsoidului cu planul Oxy este o elips situat n planul Oxy de ecuaii:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 21 0 1 0
0 0
x y z x y
a b c a b
z z
+ + = + =
= =
.
Analog se arat c intersecia elipsoidului cu planul Oxz este elipsa
2 2
2 21 0
0
x z
a cy
+ =
=
, iar
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
3/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 67
intersecia cu planul Oyz este elipsa
2 2
2 21 0
0
y z
b c
x
+ =
=
.
2.Planele paralele cu planele de coordonate intersecteaz elipsoidul dup elipse.Intersecia elipsoidului cu planul z = este o elips de ecuaii:
2 22 2 2
2 22 22 2 2
2 2
1 01 0
1 1
x yx y z
a ba b cc c
zz
+ =
+ + =
= =
.
Observaia 5.5. Dac c < , atunci elipsa este o elips real situat n planul z = ,
cu semiaxele2
1 21a a
c
= i
2
1 21b b
c
= (cea mai mare elips este cea din planul Oxy,
elipsele devenind din ce n ce mai mici pe msur ce crete); dac c= , atunci elipsa se
reduce la vrfurile ( ) ( )0, 0, , 0, 0,C c C c ; dac c > , atunci elipsa este imaginar (adic
planul nu intersecteaz elipsoidul).
Interseciile cu plane paralele cu celelalte dou plane de simetrie sunt tot elipse reale
sau imaginare i se studiaz n mod analog.
Plan tangent la elipsoid
Ecuaia planului tangent la elipsoid ntr-un punct ( )0 0 0, ,M x y z de pe elipsoidul ( )E
(adic2 2 2
0 0 02 2 2
1 0x y z
a b c+ + = ):
0 0 02 2 2 1 0
xx yy zz
a b c+ + =
. (3)
Observaia 5.6. Ecuaia planului tangent ntr-un punct al elipsoidului se obine prin
dedublarea ecuaiei acestuia.
Ecuaiile planelor tangente la elipsoidul ( )E paralele cu un plan dat de ecuaie
( ) : 0Ax By Cz D + + + = :
2 2 2 2 2 2 0Ax By Cz a A b B c C + + + + = . (4)
Plan polar. Pol
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
4/59
68 CAPITOLUL 5
Ecuaia planului polar al unui punct ( )0 0 0, ,M x y z care nu aparine elipsoidului ( )E
(adic
2 2 20 0 0
2 2 2 1 0
x y z
a b c+ +
) n raport cu elipsoidul:
0 0 02 2 2
1 0xx yy zz
a b c+ + = . (5)
Punctul ( )0 0 0, ,M x y z se numetepolul planului (5) n raport cu elipsoidul.
Observaia 5.7. Dac punctul ( ) ( )0 0 0, ,M x y z E (adic2 2 2
0 0 02 2 2
1 0x y z
a b c+ + = ),
atunci planul polar al punctuluiM n raport cu elipsoidul este planul tangent n punctulM la
elipsoid (planul tangent este planul polar al punctului de contact cu elipsoidul).
HIPERBOLOIZI
Definiia 5.8. Hiperboloidul cu o pnz cu axa netransversal Oz este mulimea
punctelor din spaiu care satisfac ecuaia, numit ecuaia canonic (redus):
( )2 2 2
1 2 2 2: 1 0,x y z
Ha b c
+ = unde , , 0a b c > .. (6)
Pentru hiperboloidul ( )1H avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 2) :
, ,a b c sunt semiaxele hiperboloidului. ( ) ( ) ( ) ( ), 0, 0 , , 0, 0 , 0, , 0 , 0, , 0A a A a B b B b sunt vrfurile hiperboloidului. ( )0,0,0O este centru de simetrie, Ox, Oy, Oz sunt axe de simetrie i planele de
coordonate , ,Oxy Oxz Oyz suntplane de simetrie pentru hiperboloid.
Axa Oz nu intersecteaz suprafaa hiperboloidului.
Figura 2: Hiperboloidul cu o pnz
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
5/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 69
Remarca5.9. Cuadricele descrise prin ecuaiile ( )2 2 2
1 2 2 2: 1 0
x y zH
a b c
+ + = , respectiv
( )2 2 2
1 2 2 2: 1 0x y z
Ha b c
+ = definesc tot un hiperboloid cu o pnz cu ax netransversalOx,
respectiv Oy.
Remarca5.10. Hiperboloidul cu o pnz ( )1H este o mulime nemrginiti nchis.
Dac dou dintre semiaxe sunt egale, de exemplu a b= , atunci hiperboliodul cu o
pnz se numete de rotaie n jurul axei Oz.
Ecuaiile parametrice ale hiperboloidului cu o pnz:
cos chsin ch
sh
x a u v
y b u v
z c v
=
= =
, [ ]0, 2 ,u v . (7)
Intersecia unui hiperboloid cu o pnz cu o dreapt
O dreapt intersecteaz hiperboloidul cu o pnz n cel mult dou puncte, ale cror
coordonate se gsesc rezolvnd sistemul format din ecuaia hiperboloidului i ecuaiile
dreptei.
Dac o dreapt are n comun cu hiperboloidul cu o pnz mai mult de dou puncte,atunci dreapta aparine n ntregime hiperboloidului.
Observaia 5.11. O dreapt cu vectorul director v l i m j nk = + +
este tangent ntr-un
punct ( ) ( )0 0 0 1, ,M x y z H la hiperboloidul cu o pnz ( )1H dac0 0 02 2 2
0lx my nz
a b c+ = .
Intersecia unei hiperboloid cu o pnz cu un plan
1.Planele de simetrie Oxy, Oxz, Oyz intersecteaz hiperboloidul cu o pnz dup oelips reali dou hiperbole.
Intersecia hiperboloidului cu o pnz cu planul Oxy este o elips real, numitelipsa
colier, de ecuaii
2 2 2 2 2
2 2 2 2 21 0 1 0
0 0
x y z x y
a b c a b
z z
+ = + =
= =
.
Hiperbolele
2 2
2 21 0
0
x z
a c
y
=
=
i
2 2
2 21 0
0
y z
b c
x
=
=
reprezint interseciile hiperboloidului
cu o pnz cu planele Oxz, respectiv Oyz.
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
6/59
70 CAPITOLUL 5
2.Planele z = paralele cu planul de coordonate Oxy intersecteaz hiperboloidul cu opnz dup elipse reale situate n planul z = , de ecuaii:
( )
2 22 2 22 2
2 22 2 22 2
1 01 0
,1 1
x yx y z
a ba b cc c
zz
+ = + =
+ + =
=
.
Cea mai mic elips este situat n planul Oxy (elipsa colier), elipsele devenind din ce
n ce mai mari pe msur ce crete.
3.Planele x = paralele cu planul de coordonate Oyz intersecteaz hiperboloidul cu
o pnz dup hiperbole nedegenerate sau degenerate de ecuaii:2 2 2
2 2 21 0
x y z
a b c
x
+ =
=
.
Observaia 5.12. Dac a < , atunci hiperbola este
2 2
2 22 2
2 2
1 0
1 1
y z
b ca a
x
=
=
, cu
axa transversOy, situat n planul x = ; dac a = , atunci intersecia se reduce la dou
drepte concurente n punctul ( ), 0 , 0 , de ecuaii0
y z
b c
x
=
=
i0
y z
b c
x
+ =
=
, situate n planul
x = ; dac a > , atunci intersecia este hiperbola
2 2
2 22 2
2 2
1 0
1 1
y z
b ca a
x
+ =
=
, cu
axa transversOz, situat n planul x = .
Interseciile cu planele ,y = paralele cu planul de coordonate Oxz sunt tot
hiperbole nedegenerate sau degenerate i se trateaz n mod analog.
Plan tangent la hiperboloidul cu o pnz
Ecuaia planului tangent la hiperboloidul cu o pnz ntr-un punct ( )0 0 0, ,M x y z de
pe hiperboloidul ( )1H (adic
2 2 2
0 0 02 2 2 1 0x y z
a b c+ = ):
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
7/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 71
0 0 02 2 2
1 0xx yy zz
a b c+ = . (8)
Ecuaiile planelor tangente la hiperboloidul cu o pnz ( )1H paralele cu un plan de
ecuaie ( ) : 0Ax By Cz D + + + = :
2 2 2 2 2 2 0Ax By Cz a A b B c C + + + = . (9)
Plan polar. Pol
Ecuaia planului polar al unui punct ( )0 0 0, ,M x y z care nu aparine hiperboloidului
( )1H (adic
2 2 20 0 0
2 2 2 1 0
x y z
a b c+
) n raport cu hiperboloidul:
0 0 02 2 2
1 0xx yy zz
a b c+ = . (10)
Punctul ( )0 0 0, ,M x y z se numetepolul planului (10) n raport cu hiperboloidul ( )1H .
Observaia 5.13. Planul polar al unui punct de pe hiperboloidul cu o pnz n raport
cu hiperboloidul este chiar planul tangent la hiperboloid n punctul respectv.
Con asimptotic
Definiia 5.14. Suprafaa2 2 2
2 2 20
x y z
a b c+ = , , , 0a b c > este un con numit conul
asimptotic al hiperboloidului cu o pnz ( )1H (se afl n interiorul hiperboloidului ( )1H ).
Definiia 5.15. Hiperboloidul cu dou pnze cu axa transversal Oz este mulimea
punctelor din spaiu care satisfac ecuaia, numit ecuaia canonic (redus):
( )2 2 2
2 2 2 2: 1 0,
x y zH
a b c
+ = unde , , 0a b c > . (11)
Pentru hiperboloidul ( )2H avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 3) :
, ,a b c sunt semiaxele hiperboliodului. ( ) ( )0, 0, , 0, 0,C c C c sunt vrfurile hiperboloidului. ( )0,0,0O este centru de simetrie, axele Ox, Oy, Oz sunt axe de simetriei planele
de coordonate , ,Oxy Oxz Oyz suntplane de simetrie pentru hiperboloid.
Axa Oz intersecteaz suprafaa hiperboloidului, axele Ox i Oy nu intersecteazhiperboloidul.
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
8/59
72 CAPITOLUL 5
Figura 3: Hiperboloidul cu dou pnze
Remarca5.16. Ecuaiile
( )2 2 2
2 2 2 2: 1 0x y z
Ha b c
= i ( )2 2 2
2 2 2 2: 1 0
x y zH
a b c
+ =
definesc tot cte un hiperboloid cu dou pnze cu axele transversale Ox, respectiv Oy.Remarca 5.17. Hiperboloidul cu dou pnze ( )2H este o mulime nemrginit i
nchis.
Dac dou dintre semiaxe sunt egale, de exemplu a b= , atunci hiperboliodul cu dou
pnze se numete de rotaie n jurul axei Oz.
Ecuaiile parametrice ale hiperboloidului cu dou pnze:
cos sh
sin shch
x a u v
y b u v
z c v
=
= =
, [ ]0, 2 ,u v . (12)
Intersecia unui hiperboloid cu dou pnze cu o dreapt
O dreapt intersecteaz hiperboloidul cu dou pnze n cel mult dou puncte, ale cror
coordonate sunt soluiile sistemul format din ecuaia hiperboloidului i ecuaiile dreptei.
Observaia 5.18. O dreapt cu vectorul director v l i m j nk = + +
este tangent ntr-un
punct ( ) ( )0 0 0 2, ,M x y z H
la hiperboloidul cu dou pnze ( )2H dac0 0 0
2 2 2 0
lx my nz
a b c+ =
.
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
9/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 73
Intersecia unei hiperboloid cu dou pnze cu un plan
1.Planele de simetrie Oxy, Oxz, Oyz intersecteaz hiperboloidul cu dou pnze dup oelips imaginari dou hiperbole.
Intersecia hiperboloidului cu dou pnze cu planul Oxy este o elips imaginar de
ecuaii
2 2 2 2 2
2 2 2 2 21 0 1 0
0 0
x y z x y
a b c a b
z z
+ = + + =
= =
, deci nu se intersecteaz.
Ecuaiile
2 2
2 21 0
0
x z
a c
y
+ =
=
i
2 2
2 21 0
0
y z
b c
x
+ =
=
reprezint hiperbolele de intersecie
dintre hiperboloidul cu dou pnze i planele Oxz, respectiv Oyz.
2 Planele z = paralele cu planul de coordonate Oxy intersecteaz hiperboloidul cudou pnze dup curba de ecuaii:
( )
2 22 2 2
2 22 22 2 2
2 2
1 01 0
,1 1
x yx y z
a ba b cc c
zz
+ =
+ =
= =
.
Observaia 5.19. Dac c > , atunci intersecia este elipsa real de semiaxe 1a =
2
21a
c
= i
2
1 21b b
c
= situat n planul z = ; dac c = , atunci intersecia se reduce
la vrfurile ( ) ( )0, 0, , 0, 0,C c C c ; dac c < , planul z = nu intersecteaz hiperboloidul.
3.Planele ,x = paralele cu planul de coordonate Oyz intersecteazhiperboloidul cu dou pnze dup hiperbole cu axa transversOz de ecuaii:
( )
2 22 2 22 2
2 22 2 22 2
1 01 0
,1 1
y zx y z
b ca b ca a
xx
+ = + =
+ + =
=
.
Interseciile hiperboloidului cu planele ,y = , paralele cu planul de coordonate
Oxz, sunt hiperbole cu axa transversOz de ecuaii ( )
2 2
2 22 2
2 2
1 0
,1 1
x z
a c
b by
+ =
+ +
=
.
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
10/59
74 CAPITOLUL 5
Plan tangent la hiperboloidul cu dou pnze
Ecuaia planului tangent la hiperboloidul cu dou pnze ntr-un punct ( )0 0 0, ,M x y z
de pe hiperboloidul ( )2H (adic2 2 2
0 0 02 2 2
1 0x y z
a b c+ + = ):
0 0 02 2 2
1 0xx yy zz
a b c+ + = . (13)
Ecuaiile planelor tangente la hiperboloidul cu dou pnze ( )2H paralele cu un plan
de ecuaie ( ) : 0Ax By Cz D + + + = :
2 2 2 2 2 2 0Ax By Cz a A b B c C + + + = . (14)
Plan polar. Pol
Ecuaia planului polar al unui punct ( )0 0 0, ,M x y z care nu aparine hiperboloidului
( )2H (adic2 2 2
0 0 02 2 2
1 0x y z
a b c+ + ) n raport cu hiperboloidul:
0 0 02 2 2
1 0xx yy zz
a b c+ + = . (15)
Punctul ( )0 0 0, ,M x y z se numetepolul planului (15) n raport cu hiperboloidul ( )2H .
Con asimptotic
Definiia 5.20. Conul2 2 2
2 2 20
x y z
a b c+ = , , , 0a b c > este conul asimptotic al hiperbo-
loidului cu dou pnze ( )2H (hiperboloidul ( )2H se afl n interiorul conului).
Observaia 5.21. Hiperboloidul cu o pnz ( )1H i hiperboloidul cu dou pnze ( )2H
au acelai con asimptotic.
Hiperboloidul cu dou pnze nu are generatoare rectilinii.
PARABOLOIZI
Definiia 5.22.Paraboloidul elipticcu axa de simetrie Oz este mulimea punctelor din
spaiu care satisfac ecuaia canonic (redus):
( )2 2
2 2
: 2 ,x y
PE z
a b
+ = unde , 0a b > . (16)
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
11/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 75
Pentru paraboloidul eliptic ( )PE avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 4) :
,a b sunt semiaxele paraboloidului. ( )0,0,0O este vrful paraboloidului. Oz este ax de simetrie; planele de coordonate ,Oxz Oyz sunt plane de simetrie
pentru paraboloid; paraboloidul nu are puncte sub planul Oxy .
Figura 4: Parabolidul eliptic
Remarca5.23. Cuadricele
( )2 2
2 2: 2y z
PE xb c
+ = i ( )2 2
2 2: 2x z
PE ya c
+ = , , , 0a b c >
sunt tot paraboloizi eliptici cu axele de simetrie Ox, respectiv Oy.
Remarca5.24. Paraboloidul eliptic este o mulime nemrginiti nchis.
Dac a b= , atunci paraboloidul eliptic se numete de rotaie n jurul axei Oz.
Ecuaiile parametrice ale paraboloidului eliptic:
2
cos
sin
2
x av u
y bv u
vz
=
=
=
, [ ]0, 2 ,u v . (17)
Intersecia unui paraboloid eliptic cu o dreapt
O dreapt intersecteaz paraboloidul eliptic n cel mult dou puncte, ale cror
coordonate sunt soluiile sistemul format din ecuaia paraboloidului i ecuaiile dreptei.
Intersecia unei paraboloidul eliptic cu un plan
1.Planul de coordonate Oxy intersecteaz paraboloidul eliptic n vrful ( )0,0,0O .2.Planele de simetrie Oxz, Oyz intersecteaz paraboloidul eliptic dup parabole:
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
12/59
76 CAPITOLUL 5
2 22
0
x a z
y
=
=i
2 22
0
y b z
x
=
=.
3.Planele z = paralele cu planul de coordonate Oxy intersecteaz paraboloidul elipticdup curbe de ecuaii: ( )
2 2 2 2
2 2 2 22 1 0
,2 2
x y x yz
a b a b
z z
+ = + =
= =
.
Observaia 5.25. Dac 0> , atunci intersecia este elipsa real de semiaxe 1a =
2a = i 1 2b b = situat n planul z = ; dac 0= , atunci intersecia este vrful ( )0, 0, 0O ;
dac 0< , planul z = nu intersecteaz paraboloidul (intersecia este o elips imaginar).
4.Planele ,x = paralele cu planul de simetrie Oyz intersecteaz paraboloiduleliptic dup parabole cu axa de simetrie paralel cu axa Oz de ecuaii:
22 22 2
22 222
,2
x yy b zz
aa b
x x
= + =
= =
.
Parabolele au acelai parametru 2b i vrfurile de coordonate2
2, 0,
2V
a
.
Interseciile paraboloidului eliptic cu planele ,y = paralele cu planul de simetrie
Oxz sunt parabole cu axa de simetrie paralel cu axa Ozi se determin n mod analog.
Plan tangent la paraboloidul eliptic
Ecuaia planului tangent la paraboloidul eliptic ntr-un punct ( )0 0 0, ,M x y z aparinnd
paraboloidulului ( )PE (adic2 2
0 002 2
2 0x y
za b
+ = ):
0 00
2 2
xx yyz z
a b
+ = + . (18)
Ecuaia planului tangent la paraboloidul eliptic ( )PE paralel cu un plan de ecuaie
( ) : 0Ax By Cz D + + + = :
( ) 2 2 2 22 0C Ax By Cz a A b B+ + + + = . (19)
Plan polar. Pol
Ecuaia planului polar al unui punct ( )0 0 0, ,M x y z care nu aparine paraboloidului
( )PE (adic 2 20 0 02 2 2 0x y za b
+ ) n raport cu paraboloidul:
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
13/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 77
0 002 2
xx yyz z
a b+ = + . (20)
Punctul ( )0 0 0, ,M x y z se numetepolul planului (20) n raport cu paraboloidul ( )PE .Definiia 5.26.Paraboloidul hiperboliccu axa de simetrie Oz este mulimea punctelor
din spaiu care satisfac ecuaia canonic (redus):
( )2 2
2 2: 2 ,x y
PH za b
= unde , 0a b > . (21)
Pentru paraboloidul hiperbolic ( )PH avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 5) :
,a b sunt semiaxele paraboloidului. ( )0,0,0O este vrful paraboloidului. Oz este ax de simetrie i planele de coordonate ,Oxz Oyz sunt plane de simetrie
pentru paraboloid.
Figura 5: Paraboloidul hiperbolic
Remarca5.27. Ecuaiile
( )2 2
2 2: 2y zPH xb c
= i ( )2 2
2 2: 2x zPH ya c
= , , , 0a b c > (sau schimbnd semnul)
definesc tot paraboloizi hiperbolici cu axele de simetrie Ox, respectiv Oy.
Remarca5.28. Paraboloidul hiperbolic este o mulime nemrginiti nchis.
Ecuaiile parametrice ale paraboloidului hiperbolic:
2
ch
sh
2
x av u
y bv u
v
z
=
=
=
, ,u v . (22)
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
14/59
78 CAPITOLUL 5
Intersecia unui paraboloid hiperbolic cu o dreapt
O dreapt intersecteaz paraboloidul hiperbolic n cel mult dou puncte, ale cror
coordonate sunt soluiile sistemul format din ecuaia paraboloidului i ecuaiile dreptei.Dac o dreapt are n comun cu paraboloidul hiperbolic mai mult de dou puncte,
atunci dreapta aparine n ntregime paraboloidului.
Intersecia unei paraboloidul hiperbolic cu un plan
1.Planul de coordonate Oxy intersecteaz paraboloidul hiperbolic dup dou drepteconcurente n punctul ( )0,0,0O , de ecuaii
0
0
x y
a b
z
=
=
i0
0
x y
a b
z
+ =
=
.
2.Planele de simetrie Oxz, Oyz intersecteaz paraboloidul hiperbolic dup parabole:2 22
0
x a z
y
=
=i
2 22
0
y b z
x
=
=,
cu axa de simetrie Oz, prima n sensul pozitiv al axei, iar a doua n sensul negativ al axei.
4.Planele z = paralele cu planul de coordonate Oxy intersecteaz paraboloidul
hiperbolic dup hiperbole de ecuaii: ( ) { }
2 2 2 2
2 2 2 22 1 0, \ 02 2
x y x y
za b a b
z z
= =
= =
,
cu axa transvers paralel cu Ox sau cu Oy, dup cum 0 > sau 0< .
Observaia 5.29. Dac 0 = , atunci intersecia sunt dreptele concurente descrise la
punctul 1.
5.Planele x = paralele cu planul de coordonate Oyz intersecteaz paraboloidulhiperbolic dup parabole cu axa de simetrie paralel cu axa Oz de ecuaii:
22 22 2
22 222
2
x yy b zz
aa b
x x
= + =
= =
.
Parabolele au acelai parametru 2b i vrfurile de coordonate2
2, 0,
2V
a
.
Interseciile paraboloidului hiperbolic cu planele y = paralele cu planul de coordona-
te Oxz sunt parabole cu axa de simetrie paralel cu Oz ce se determin n mod analog.
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
15/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 79
Plan tangent la paraboloidul hiperbolic
Ecuaia planului tangent la paraboloidul hiperbolic ntr-un punct ( )0 0 0, ,M x y z de pe
paraboloidul ( )PH (adic2 2
0 002 2
2 0x y
za b
= ):
0 002 2
xx yyz z
a b = + . (23)
Ecuaia planului tangent la paraboloidul hiperbolic ( )PH paralel cu un plan de ecuaie
( ) : 0Ax By Cz D + + + = :
( ) 2 2 2 22 0C Ax By Cz a A b B+ + + = . (24)
Plan polar. Pol
Ecuaia planului polar al unui punct ( )0 0 0, ,M x y z care nu aparine paraboloidului
( )PH (adic2 2
0 002 2
2 0x y
za b
) n raport cu paraboloidul:
0 0 02 2xx yy z za b
= + . (25)
Punctul ( )0 0 0, ,M x y z se numetepolul planului (25) n raport cu paraboloidul ( )PH .
CUADRICE DEGENERATE
Definiia 5.30.
a)Conulcu vrful n origine este cuadrica dat prin ecuaia canonic:2 2 2
2 2 20
x y z
a b c+ = , unde , , 0a b c > sunt semiaxele conului. (26)
Pentru conul cu vrful n origine avem urmtoarele noiuni uzuale (Figura 6) :
, ,a b c sunt semiaxele conului. ( )0, 0, 0O este vrful conului. ( )0, 0, 0O este centru de simetrie, Ox, Oy, Oz sunt axe de simetriei planele de
coordonate , ,Oxy Oxz Oyz suntplane de simetrie pentru con.
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
16/59
80 CAPITOLUL 5
Remarc 5.31. Punctul ( )0, 0, 0O este intersecia conului cu axele de coordonate icu planul de coordonate Oxy; interseciile cu planele de coordonate Oxzi Oyz sunt perechi dedrepte concurente n origine; interseciile cu plane paralele cu Oxy sunt elipse; interseciile cuplane paralele cu Oxz, Oyz sunt hiperbole.
Ecuaiile parametrice ale conului:
cos
sin
x av u
y bv u
z cv
=
= =
, [ ]0, 2 ,u v . (27)
b)Cilindrul circularcu generatoarele paralele cu Oz este cuadrica dat prin ecuaiacanonic:
2 2 2x y a+ = , unde 0a > este raza cilindrului. (28)
Ecuaiile parametrice ale cilindrului circular:
cos
sin
x a u
y a u
z v
=
= =
, [ ]0, 2 ,u v . (29)
c)Cilindrul elipticrealcu generatoarele paralele cu Oz este cuadrica dat prin ecuaiacanonic:
2 2
2 21 0
x y
a b+ = , unde , 0a b > sunt semiaxele cilindrului. (30)
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
17/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 81
Observaia 5.32. Cuadrica degenerat descris prin ecuaia2 2
2 21 0, , 0
x ya b
a b+ + = >
reprezint un cilindru eliptic imaginar.
Ecuaiile parametrice ale cilindrului eliptic:
cos
sin
x a u
y b u
z v
=
= =
, [ ]0, 2 ,u v . (31)
d)Cilindrul hiperboliccu generatoarele paralele cu Oz este cuadrica dat prin ecuaiacanonic:
2 2
2 21 0
x y
a b = , unde , 0a b > sunt semiaxele cilindrului. (32)
Ecuaiile parametrice ale cilindrului hiperbolic:
ch
sh
x a u
y b u
z v
=
= =
, ,u v . (33)
e)Cilindrul parabolic cu generatoarele paralele cu Oz este cuadrica dat prin ecuaiacanonic:
2 2y px= , unde *p . (34)
Ecuaiile parametrice ale cilindrului parabolic:
22
2
x pu
y pu
z v
=
=
=
, ,u v . (35)
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
18/59
82 CAPITOLUL 5
Observaia 5.33. Ecuaiile2 2 2 2
22 2 2 2
1 0, 1 0, 2y z y z
z pxb c b c
+ = = = , etc. (adic pentru
care lipsete o variabil) reprezint tot cilindrii cu generatoarele paralele cu axele decoordonate date de variabila care lipsete.
Alte tipuri de cuadrice (majoritatea degenerate) sunt:
Pereche de plane concurente: 2 22 2
0x y
a b =
Pereche de plane paralele: 22
1 0x
a =
Pereche de plane confundate: 22
0x
a=
Pereche de plane imaginare: 22
1 0x
a+ =
Dreapt dubl: 2 22 2
0x y
a b+ =
Punct dublu:
2 2 2
2 2 2 0
x y z
a b c+ + =
, adic ( )0, 0, 0O .
CUADRICE RIGLATE
Exist cuadrice al cror plan tangent ntr-un punct al acestora conine cel puin o
dreapt inclus n cuadric. Exemple remarcabile sunt: hiperboloidul cu o pnz, paraboloidul
hiperbolic, conul, cilindrii (circular, eliptic, hiperbolic, parabolic).
Definiia 5.33. O suprafa care poate fi generat prin micarea unei drepte, numit
generatoare rectilinie, care se sprijin pe o curb dat n spaiu, numitcurb directoare, se
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
19/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 83
numete suprafa riglat. Dac prin orice punct al unei suprafee riglate trec dou drepte
distincte coninute n suprafa, atunci suprafaa se numete dublu riglat.
Hiperboloidul cu o pnz i paraboloidul hiperbolic sunt suprafee dublu riglategenerate de cte dou familii de drepte numite generatoare rectilinii.
Ecuaia hiperboloidului cu o pnz ( )1H se scrie i sub forma:
1 1x z x z y y
a c a c b b
+ = +
.
Familiile de drepte ( ) ( )G G i ( ) ( )G G
, unde
( )1
: ,1
1
x z ya c b
Gx z y
a c b
=
+ = +
, ( ) : 1 0x z y
Ga c b
+ = = i
( )1
: ,1
1
x z y
a c bG
x z y
a c b
= +
+ =
, ( ) : 1 0x z y
Ga c b
+ = + =
(36)
definesc generatoarele rectilinii pe suprafaa ( )1H .
Ecuaia paraboloidului hiperbolic ( )PH se scrie i sub forma:
2x y x y
za b a b
+ =
.
i se obin familiile de generatoare rectilinii ( ) ( )G G i ( ) ( )G G
, unde
( ) : ,2
x y
a bGx y
za b
=
+ =
, ( ) : 0x yG za b
= = i
( ) : ,2
x y
a bG
x yz
a b
+ =
=
, ( ) : 0x y
G za b
+ = = .
(37)
Observaia5.34.
1)Translatnd n origine oricare din cele dou familii de generatoare ale hiperboloidu-
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
20/59
84 CAPITOLUL 5
lui cu o pnz se obine o singur familie de generatoare rectilinii ale conului asimptotic al
acestuia (adic paralelele duse prin origine la generatoarele din oricare din cele dou familii
sunt situate pe conul asimptotic), deci conul este o suprafa simplu riglat.2)Orice dreapt aezat pe hiperboloidul cu o pnz sau pe paraboloidul hiperbolic
face parte din una din cele dou familii de generatoare rectilinii.
3)Prin fiecare punct al hiperboloidului cu o pnzi al paraboloidului hiperbolic treceo unic generatoare rectilinie din fiecare din familiile ( )G i ( )G .
4)Oricare dou generatoare rectilinii din aceeai familie nu se intersecteaz (sunt chiarnecoplanare), dar oricare dou generatoare rectilinii ce aparin la familii diferite sunt
coplanare (n cazul hiperboloidului cu o pnz sunt concurente, excceptnd cazul cnd trec
prin puncte simetrice ale elipsei colier; n cazul paraboloidului hiperbolic sunt ntotdeauna
concurente).
5)Dou generatoare rectilinii concurente din familii diferite determin planul tangentla hiperboloidul cu o pnz sau paraboloidul hiperbolic n punctul lor de intersecie.
6)n cazul hiperboloidului cu o pnz, trei generatoare din aceeai familie nu pot fiparalele cu un acelai plan; n cazul paraboloidului hiperbolic, toate generatoarele din aceeai
familie sunt paralele cu un acelai plan fix (numit plan director).7)n cazul hiperboloidului cu o pnz, trei generatoare nu pot fi coplanare.
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
21/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 85
EXERCIII I PROBLEME REZOLVATE
5.1. S se determine curbele de intersecie ale urmtoarelor cuadrice cu planele de coordonate:
a)2 2 2
1 025 4 100
x y z+ + =
b) 2 2 24 25 100 0x y z+ =
c)2 2 2
4 25 100 0x y z+ + =
d) 2 24 25 200 0x y z+ =
e) 2 225 4 200 0x y z =
f) 2 2 225 4 0x y z+ = .
Pentru fiecare cuadric, s se determine ecuaiile parametrice i s se reprezinte grafic.
Soluie. a) Cuadrica2 2 2
1 025 4 100
x y z+ + = este un elipsoid real de semiaxe 5, 2, 10a b c= = =
i vrfuri ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5, 0, 0 , 5, 0, 0 , 0, 2, 0 , 0, 2, 0 , 0, 0, 10 , 0, 0, 10A A B B C C .
Planul de coordonate Oxy, de ecuaie 0z = , intersecteaz elipsoidul dup elipsa real
2 21 0
25 40
x y
z
+ =
=
. Similar, planele Oxz, de ecuaie 0y = , respectiv Oyz, de ecuaie 0x = taie
cuadrica dup elipsele reale
2 21 0
25 1000
x z
y
+ = =
, respectiv
2 21 0
4 1000
y z
x
+ = =
.
Ecuiile parametrice ale elipsoidului sunt:
5 cos sin
2 sin sin
10 cos
x u v
y u v
z v
=
= =
, [ ] [ ]0, 2 , 0,u v (conform formulei (2)).
b) Cuadrica2 2 2
2 2 24 25 100 0 1 0100 25 4
x y zx y z+ = + = este un hiperboloid cu o pnz
cu axa netransversalOz de semiaxe 10, 5, 2a b c= = = i vrfuri ( ) ( )10, 0, 0 , 10, 0, 0A A ,
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
22/59
86 CAPITOLUL 5
( ) ( )0, 5, 0 , 0, 5, 0B B .
Planul de coordonate Oxy, de ecuaie 0z = , intersecteaz hiperboloidul cu o pnz
dup elipsa real
2 21 0
100 250
x y
z
+ =
=
(elipsa colier).
Planele de coordonate Oxz, respectiv Oyz intersecteaz hiperboloidul cu o pnz dup
hiperbola cu axa transversOx:
2 21 0
100 40
x z
y
=
=
, respectiv hiperbola cu axa transversOy:
2 21 0
25 40
y z
x
=
=
.
Ecuaiile parametrice ale hiperboloidului cu o pnz sunt:
10 cos ch
5 sin ch
2 sh
x u v
y u v
z v
=
= =
, [ ]0, 2 ,u v (conform formulei (7)).
c) Cuadrica2 2 2
2 2 24 25 100 0 1 025 100 4
x y zx y z+ + = + = este un hiperboloid cu dou
pnze cu axa transversalOz de semiaxe 5, 10, 2a b c= = = i vrfuri ( ) ( )0, 0, 2 , 0, 0, 2C C .
Planul de coordonate Oxy, de ecuaie 0z = , intersecteaz hiperboloidul cu dou pnze
dup elipsa imaginar
2 21 0
25 1000
x y
z
+ + =
=
(deci planul i hiperboloidul nu se intersecteaz).
Ecuaiile
2 21 0
25 40
x z
y
+ =
=
i
2 21 0
100 40
y z
x
+ =
=
reprezint hiperbolele cu axa
transversOz de intersecie dintre hiperboloidul cu dou pnze i planele Oxz, respectiv Oyz.
Ecuaiile parametrice ale hiperboloidului cu dou pnze sunt:
5 cos sh
10 sin sh
2 ch
x u v
y u v
z v
=
= =
, [ ]0, 2 ,u v (conform formulei (12)).
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
23/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 87
d) Cuadrica2 2
2 24 25 200 0 225 4
x yx y z z+ = + = este un paraboloid eliptic cu axa de simetrie
Oz de semiaxe 5, 2a b= = i vrful ( )0,0,0O .
Planul de coordonate Oxy intersecteaz paraboloidul eliptic n vrful ( )0,0,0O .
Planele de coordonate Oxz, respectiv Oyz intersecteaz paraboloidul eliptic dup
parabolele2 50
0
x z
y
=
=, respectiv
2 8
0
y z
x
=
=, cu axa de simetrie Oz, n sensul pozitiv al axei.
Ecuaiile parametrice ale paraboloidului eliptic sunt:
2
5 cos2 sin
2
x v uy v u
vz
=
=
=
, [ ]0, 2 ,u v (conform formulei (17)).
e) Cuadrica2 2
2 225 4 200 0 24 25
x yx y z z = = este un paraboloid hiperbolic cu axa de
simetrie Oz de semiaxe 2, 5a b= = i vrful ( )0, 0, 0O .
Planul de coordonate Oxy, de ecuaie 0z = , intersecteaz paraboloidul hiperbolic dup
dou drepte concurente n punctul ( )0,0,0O , de ecuaii0
2 50
x y
z
=
=
i0
2 50
x y
z
+ =
=
.
Planele de coordonate Oxz, Oyz intersecteaz paraboloidul hiperbolic dup parabolele
2 8
0
x z
y
=
=i
2 50
0
y z
x
=
=, cu axa de simetrie Oz, prima n sensul pozitiv al axei, iar a doua n
sensul negativ al axei.
Ecuaiile parametrice ale paraboloidului hiperbolic sunt:
2
2 ch
5 sh
2
x v u
y v u
vz
=
=
=
, ,u v (conform formulei (22)).
f) Cuadrica2 2 2
2 2 225 4 0 04 25 100
x y zx y z+ = + = este un con de semiaxe 2, 5,a b= =
10c = i vrful ( )0,0,0O .
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
24/59
88 CAPITOLUL 5
Planul de coordonate Oxy, de ecuaie 0z = , intersecteaz conul n vrful ( )0,0,0O .
Planul de coordonate Oxz intersecteaz conul dup dou drepte concurente n punctul
( )0,0,0O , de ecuaii0
2 100
x z
y
=
=
i0
2 100
x z
y
+ =
=
.
Planul de coordonate Oyz intersecteaz conul dup dou drepte concurente n punctul
( )0,0,0O , de ecuaii2 0
0
y z
x
=
=i
2 0
0
y z
x
+ =
=.
Ecuaiile parametrice ale conului sunt:
2 cos5 sin
10
x v u
y v u
z v
= =
=
, [ ]0, 2 ,u v (conform formulei (27)).
5.2. a) S se determine semiaxele i coordonatele vrfurilor elipsei obinut prin intersecia
planului 6 0x = cu elipsoidul2 2 2
1 045 20 5
x y z+ + = .
b) S se determine semiaxele i coordonatele vrfurilor hiperbolei obinut prin intersecia
planului 2 0y = cu hiperboloidul cu o pnz2 2 2
1 027 6 48
x y z+ = .
c) S se determine coordonatele centrului i raza cercului spaial obinut prin intersecia
planului 3 0z = cu hiperboloidul cu dou pnze2 2 2
1 02 2 3
x y z+ + = .
d) S se determine parametrul i coordonatele vrfului parabolei obinut prin intersecia
planului 12 0y + = cu paraboloidul hiperbolic
2 2
63 8
x yz = .
Soluie. a) Planul 6 0x = intersecteaz elipsoidul2 2 2
1 045 20 5
x y z+ + = dup o elips real de
ecuaii:
2 2 2 210 1 0
20 5 5 4 166
y z y z
xx
+ = + =
==
(situat n planul 6x = , cu axele de simetrie Oyi
Oz). Semiaxele elipsei sunt 2b = i 1c = , iar vrfurile sunt punctele ( ) ( )6, 2, 0 , 6, 2, 0 ,B B
( ) ( )6, 0, 1 , 6, 0, 1C C .
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
25/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 89
b) Planul 2y = intersecteaz hiperboloidul cu o pnz2 2 2
1 027 6 48
x y z+ = dup o hiperbol
nedegenerat de ecuaii:2 2 2 21 0 1 0
27 48 3 9 162 2
x z x z
y y
= =
= =
(situat n planul 2y = , cu axa
transversal Ox). Semiaxele hiperbolei sunt 3a = i 4c = , iar vrfurile sunt punctele
( )3, 2, 0A i ( )3, 2, 0A .
c) Planul 3z = intersecteaz hiperboloidul cu dou pnze2 2 2
1 02 2 3
x y z+ + = dup un cerc
spaial de ecuaii:2 2 2 2 4 02 0
2 23
3
x yx y
zz
+ =+ =
= =
(situat n planul 3z = ). Centrul cercului
este punctul ( )0, 0, 3C , iar raza este 2R = .
d) Planul 12y = intersecteaz paraboloidul hiperbolic2 2
63 8
x yz = dup o parabol de
ecuaii( )
222 18 318 5418 6
3 12 1212
xx zx zz
y yy
= + = + =
= = = (situat n planul 12y = , cu axa de
simetrie 3z = , paralel cu Oz). Parametrul parabolei este 9p = i vrful este ( )0, 12, 3V .
5.3. Se dau elipsoidul 2 2 24 9 36 324 0x y z+ + = , dreapta ( )3 4 2
:3 6 4
x y zd
+= =
, planele
( ) : 2 3 3 1 0x y z + + = i ( ) : 3 6 27 0x y z + = i punctul ( )6, 4, 2M . Se cere:
a) ecuaiile planelor tangente la elipsoid n punctele de intersecie cu dreapta ( )d b) ecuaiile normalelor la elipsoid n punctele de intersecie cu dreapta ( )d
c) coordonatele punctelor de pe elipsoid n care normalele la suprafa sunt paralele cu
dreapta ( )d
d) ecuaiile planelor tangente la elipsoid paralele cu planul ( ) i coordonatele punctelor
de tangen, precum i distana dintre aceste plane tangente
e) s se arate c elipsoidul i planul( ) au un punct comun i s se determine coordonatele
acestuia
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
26/59
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
27/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 91
c) Obsevaie. Dac ( , , ) 0F x y z = este ecuaia unei cuadrice i punctul ( )0 0 0 0, ,M x y z este pe
cuadric, atunci ecuaiile normalei la cuadric n punctul 0M sunt:
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,
x x y y z z
F F Fx y z x y z x y z
x y z
= =
Notm cu 2 2 2( , , ) 4 9 36 324 0F x y z x y z= + + = ecuaia elipsoidului.
Prin derivare parial se obine ( ) ( ) ( ), , 8 , , , 18 , , , 72F F F
x y z x x y z y x y z zx y z
= = =
.
Dac ( ), , , 3, 4i i i iM x y z i = sunt punctele cutate de pe elipsoid, atunci normala la
suprafa n iM are ecuaiile
( ) ( ) ( ) 8 18 72, , , , , ,
i i i i i i
i i ii i i i i i i i i
x x y y z z x x y y z z
F F F x y zx y z x y z x y z
x y z
= = = =
i vectorul su director este 8 18 72 , 3,4i i i iv x i y j z k i= + + =
.
Condiia de paralelism a normalei cu dreapta ( )d , deci a vectorului director iv
al
normalei cu vectorul director 3 6 4v i j k = +
al dreptei ( )d implic, conform formulei (18),
Capitolul 1, egalitatea8 18 72
3 6 4i i ix y z
= =
, adic27
4i ix z= i 6i iy z= .
Deoarece punctele ( ), , , 3, 4i i i iM x y z i = aparin elipsoidului, atunci coordonatele lor
verific ecuaia elipsoidului:2 2 2
21 0 241 144 081 36 9i i i
ix y z
z+ + = = , deci12
241iz = .
Rezult27 12 81
4 241 241ix
= = i12 72
6 , 3,4241 241iy i
= = = , deci se
gsesc punctele 381 72 12
, ,241 241 241
M
i 481 72 12
, ,241 241 241
M
.
d)Metoda 1. Ecuaiile planelor tangente la elipsoid paralele cu planul ( ) : 2 3 3 1 0x y z + + = ,
conform formulei (4), sunt:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
22 21 1
22 2 22
: 2 3 3 81 2 36 3 9 3 0 : 2 3 3 27 0
: 2 3 3 27 0: 2 3 3 81 2 36 3 9 3 0
x y z x y z
x y zx y z
+ + + = + =
+ + = + + + + =
.
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
28/59
92 CAPITOLUL 5
Metoda 2. Orice plan paralel cu planul ( ) : 2 3 3 1 0x y z + + = are ecuaia 2 3 3 0x y z + + = ,
, deci i planele tangente la elipsoid paralele cu ( ) au ecuaiile de aceast form.
Notm cu 0 0 0, ,x y z coordonatele punctului de contact 0M dintre elipsoid i planul
tangent paralel cu planul ( ) . Conform formulei (3), ecuaia planului tangent la elipsoid n
punctul ( )0 0 0 0, ,M x y z este0 0 0
0 0 01 0 4 9 36 324 081 36 9
xx yy zzx x y y z z+ + = + + = .
Identificnd cele dou ecuaii ale planului tangent la elipsoid n punctul ( )0 0 0 0, ,M x y z
rezult (conform formulei (23), Capitolul 1) egalitatea de rapoarte:
0 0 04 9 36 3242 3 3x y z
= = =
, deci 0 0 0162 108 27, ,x y z
= = = .
ntruct punctul ( )0 0 0 0, ,M x y z aparine elipsoidului, atunci se verific ecuaia acestuia:
2 2 22 2 20 0 0
22 2 2
1 162 1 108 1 271 0 1 0
81 36 9 81 36 9
324 324 811 0 729,
x y z
+ + = + + =
+ + = =
deci 27 = .
Planele tangente la elipsoid paralele cu planul ( ) au ecuaiile:
( )1 : 2 3 3 27 0x y z + = i ( )2 : 2 3 3 27 0x y z + + = .
Pentru 27 = , rezult 01 01 016, 4, 1x y z= = = , deci ( )01 6, 4,1M este punctul de
tangen dintre elipsoid i planul tangent ( )1 .
Pentru 27 = , se obin 02 02 026, 4, 1x y z= = = , deci ( )02 6,4, 1M este punctul
de tangen dintre elipsoid i planul tangent ( )2 .Planele tangente ( )1 i ( )2 sunt paralele, deci distana dintre ele reprezint distana
de la un punct arbitrar al unuia dintre cele dou plane la cellalt plan.
Fie ( ), ,E un punct arbitrar al planului ( )1 , deci coordonatele sale verific
ecuaia planului ( )1 : 2 3 3 27 0 2 3 3 27 + = + = .
Folosind aceast relaie i formula (28), Capitolul 1 rezult:
( ) ( )( ) ( )( )( )
1 2 2 22 2
2 3 3 27 27 27 54dist , dist , 22 222 3 3
E
+ + +
= = = =+ +
.
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
29/59
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
30/59
94 CAPITOLUL 5
( )3, 4, 0P (coordonata z a punctului P s-a determinat nlocuind 3x = i 4y = n relaia
1 1 9
6 2 2z x y= + ).
Planul ( ) i elipsoidul sunt tangente n punctul ( )3, 4, 2P .
Observaie. Coordonatele punctului de intersecie P dintre elipsoid i planul ( ) se pot gsi i
dac se determin proiecia curbei de intersecie a celor dou suprafee pe planul Oxz sau pe
planul Oyz.
Metoda 2. Deoarece planul tangent la o cuadric are ca pol n raport cu cuadrica punctul de
contact (conform Observaia 5.7.), atunci se determin coordonatele polului planului ( ) n
raport cu elipsoidul.
Fie ( ), ,P P PP x y z punctul de contact al planului ( ) cu elipsoidul. Atunci P este polul
planului ( ) : 3 6 27 0x y z + = n raport cu elipsoidul.
Conform formulei (5), planul polar al punctului Pn raport cu elipsoidul are ecuaia:
31 0 3 27 0
81 36 9 3 4P P P P P
Px x y y z z x y
x y z z+ + = + + = .
Identificnd ecuaia planului polar i ecuaia planului ( ) , rezult egalitile:
33 273 4
1 3 6 27
P P
P
x y
z = = =
, deci 3, 4, 2P P Px y z= = = .
Punctul ( )3, 4, 2P este polul planului ( ) n raport cu elipsoidul, deci planul ( ) i
elipsoidul sunt tangente n punctul ( )3, 4, 2P .
f) Notm cu 2 2 2( , , ) 4 9 36 324 0F x y z x y z= + + = ecuaia elipsoidului.
Prin derivare parial se gsete ( ) ( ) ( ), , 8 , , , 18 , , , 72F F F
x y z x x y z y x y z zx y z
= = =
.
Dac ( ), , , 5,6i i i iM x y z i = sunt punctele cutate de pe elipsoid, atunci normala la
suprafa n iM are ecuaiile
( ) ( ) ( ) 8 18 72, , , , , ,
i i i i i i
i i ii i i i i i i i i
x x y y z z x x y y z z
F F F x y zx y z x y z x y z
x y z
= = = =
i vectorul director 8 18 72 , 5,6i i i iv x i y j z k i= + + =
.
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
31/59
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
32/59
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
33/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 97
Deoarece punctul ( )0 0 0, ,x y z aparine paraboloidului eliptic, atunci ecuaia acestuia
se verific: 2 2
0 0 02 4 1 2y z x + = + = , deci
5
2 = .
Planul tangent la paraboloidul eliptic paralel cu planul ( ) are ecuaia:
52 0 2 4 2 5 0
2x y z x y z + + = + + = .
e) Ecuaia unui plan arbitrar care are vectorul normal 2 3n i j k = +
este de forma
2 3 0,x y z + + = . Acest plan este tangent paraboloidului eliptic dac intersecia celor
dou suprafee este o conic degenerat format din dou drepte concurente imaginare (adic
intersecia este un punct).
Pentru aflarea ecuaiei planului tangent la paraboloidul eliptic perpendicular pe
vectorul n
se determin proiecia curbei de intersecie a celor dou suprafee pe planul Oxz.
Ecuaiile proieciei pe planul Oxz a curbei de intersecie a paraboloidului cu planul dat
se obin intersectnd curba2 2 2
2 3 0
y z x
x y z
+ =
+ + =
cu planul Oxz:
( )2 22 2 2 2 2 3 2 02 2 .2 3 0 2 3 0
x z z xy z x y z x
x y z y x z y
+ + =+ = + =
+ + = = + =
Aadar proiecia curbei de intersecie pe planul Oxz este o conic de ecuaii:
( )2 2 24 12 10 2 2 1 6 0,
0
x xz z x z
y
+ + + = =
ai crei invarianii sunt:
2
4 6 2 14 64 0, 14, 6 10 3 4 10
6 102 1 3
I
= = > = = =
.
Aceast conic este de gen eliptic i va reprezenta dou drepte concurente imaginare
dac 0 4 10 0 = = , deci dac5
2 = .
Ecuaia planului tangent la paraboloidul eliptic perpendicular pe vectorul n
se gsete
nlocuind 52
= , adic de obine: 52 3 0 4 2 6 5 02
x y z x y z+ + = + + = .
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
34/59
98 CAPITOLUL 5
Observaie. n mod similar se gsete ecuaia planului tangent la paraboloidul eliptic
perpendicular pe vectorul n
dac se face proiecia curbei de intersecie a celor dou suprafee
pe planul Oxy sau pe planul Oyz.
f) Ecuaiile proieciei pe planul Oxy a curbei de intersecie a paraboloidului cu planul ( ) se
obin intersectnd curba ( )2 2 2
:2 0
y z x
x y z
+ =
+ =
cu planul Oxy:
( )222 2 2 2 2 2 02 2
.2 0 2 0
y x y xy z x y z x
x y z z x y z
+ + =+ = + =
+ = = + =
Ecuaiile proieciei curbei de intersecie ( ) pe planul Oxy sunt:
( ) 2 2, 4 5 2 0,
0
f x y x xy y x
z
= + = =
deci curba proiectat este o conic cu invarianii:
1 1 1 1 1
1 2 11 2
1 0, 6, 2 5 0 5 0, 02 5
1 0 0
I I
= = > = = = = = = = = =
; ( )20, 0,C , 2R = ; e)
2 21 0
9 121
2
y z
x
=
=
; 3,b =
2 3c = ;1 1 1 1
, 3, 0 , , 3, 0 , , 0, 2 3 , , 0, 2 32 2 2 2
B B C C
;
f)2 36
4
1
y z
x
=
=
; 3p = ;3
1, 0,4
V
.
3. S se precizeze natura urmtoarelor curbe:
a) 2 2 2 53
x y z
z
+ + =
=; b) 2 2 2 7
3
x y z
y
+ =
=; c)
2 2
4 90
x z y
y
=
=
.
Rspuns: a)2 2 4 0
3
x y
z
+ + =
=elips imaginar; b)
2 2 16 0
3
x z
y
+ =
=cerc spaial;
c)0
2 30
x y
z
=
=
i0
2 30
x y
z
+ =
=
drepte concurente n origine.
4. S se determine punctele de intersecie ale cuadricelor urmtoare cu dreptele date:
a) ( )2 2 2
: 1 015 5 20
x y zE + + = i ( )
3 3 6:
3 1 4
x y zd
+= =
b) ( )2 2 2
1 : 1 07 21 14
x y zH + + = i ( )
2 3 4:
1 3 8
x y zd
+ += =
c) ( )
2 22
2 : 1 04 9
x z
H y+ + =
i ( )
3
: 1,3 6
x t
d y t t z t
= +
= + = +
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
52/59
116 CAPITOLUL 5
d) ( )2 2
:5 3
x yPE z+ = i ( )
1 2 3:
2 1 2
x y zd
+ += =
e) ( ) 2 2:16 4x y
PH z = i ( ) 2 2 0:2 8 0
x y zd
x y
+ = =
.
Rspuns: a) Dreapta este secant elipsoidului n ( ) ( )1 23, 1, 2 , 0, 2, 2M M ; c) Dreapta este
secant hiperboloidului cu o pnz n ( ) ( )1 21, 0, 4 , 2, 3, 4M M ; c) Dreapta este tangent
hiperboloidului cu dou pnze n ( )4, 2, 9M ; d) Dreapta este exterioar paraboloidului eliptic;
e) Dreapta este inclus n paraboloidul hiperbolic.
5. Se dau elipsoidul 2 2 236 16 9 144 0x y z+ + = i punctele ( )12, ,1 , 2,3,62M N . S
se arate
c dreaptaMNeste tangent la elipsoid i s se determine coordonatele punctului de tangen.
Rspuns: Punctul de tangen este vrful ( )2,0,0A .
6. S se gseasc ecuaiile proieciilor pe planele de coordonate a curbelor de intersecie dintre
hiperboloidul cu dou pnze ( )2 2
22 : 1 04 2
x yH z + + = i planul ( ) : 2 3 0x y z + + = i
centrele lor de simetrie.
Rspuns: Pe Oxy:2 25 16 14 24 48 40 0
0
x xy y x y
z
+ + + + + =
=
elips real cu centrul ( )1 4, 4, 0C ;
Pe Oxz:2 22 7 6 6 1 0
0
x xz z x z
y
+ + + =
=
hiperbol cu centrul ( )2 4, 0, 1C ;
Pe Oyz:2 22 4 5 12 6 13 0
0
y yz z y z
x
+ + + =
=
elips real cu centrul ( )3 0, 4, 1C .
Conica din planul de seciune are centrul n punctul ( )4, 4, 1C .
7. S se determine ecuaiile proieciei pe planul Oyz a curbei de intersecie a paraboloidului
hiperbolic2 2
9 4
y zx = cu planul ( ) : 3 4 3 9 0x y z + = .
Rspuns:2 24 9 48 36 108 0
0
y z y z
x
+ =
=
hiperbol degenerat n dou drepte secante reale de
ecuaii 2 3 18 00
y zx
==
i 2 3 6 00
y zx
+ ==
.
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
53/59
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
54/59
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
55/59
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
56/59
120 CAPITOLUL 5
d) S se determine ecuaiile planelor tangente la paraboloidul hiperbolic care trec prin
dreapta ( )d .
Rspuns: a) ( )2, 3, 0M ; b) 3 2 6 0x y z + = ; c)
658 27 2
2 3 1
zx y
++
= = ; d) 3 2 0x y = i
2 4 4 0x y z + = .
20. S se determine valoarea parametrului real pentru care planul 0x z + = este tangent
paraboloidului eliptic2
2 29
xy z+ = i s se gseasc coordonatele punctului de tangen.
Rspuns: 92 = ; 99,0,
2M
.
21. S se determine valorile parametrului real pentru care planul 4 5 0x y z + + = este
tangent hiperboloidul cu dou pnze2 2 2
1 05 20 8
x y z+ + = i s se gseasc coordonatele
punctelor de tangen.
Rspuns: 10 = ; ( ) ( )1 22, 2, 4 , 2, 2, 4M M .
22. S se determine locul geometric generat de familiile de drepte:
a)2 3 6 6 0
2 3 6 6 0
x y z
x y z
+ =
+ =; b)
3 9 0
3 3 0
x z
x y z
=
+ =, .
Rspuns: a) Hiperboloidul cu o pnz2 2
2 1 09 4
x yz+ = ;
b) Paraboloidul hiperbolic2
2 39
xz y = .
23. S se arate c punctul ( )2, 1, 2M aparine hiperboloidului cu o pnz2 2 2 1 0
36 9 4x y z
+ =
is se scrie ecuaiile generatoarelor rectilinii ale hiperboloidului ce trec prin acest punct.
Rspuns:2 2 0 10 4
2 9 18 0 8 5 2
x y z x y z
x y z
+ = = =
+ =,
2 0 2 1 2
2 0 0 2 1
x y x y z
z
= = =
=.
24. S se determine generatoarele rectilinii ale hiperboloidului cu o pnz2 2
2 1 04 9
x zy + =
coninute n planul ( ) : 6 2 2 0x y z + = .
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
57/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 121
Rspuns:3 6 2 6 0
3 6 2 6 0
x y z
x y z
+ =
+ =,
3 6 4 12 0
3 6 3 0
x y z
x y z
+ =
+ =,
3 6 4 12 0
3 6 3 0
x y z
x y z
+ + =
+ + =i
3 6 2 6 03 6 2 6 0x y z
x y z + + =+ + =
.
25. Se dau paraboloidul hiperbolic2 2
9 4
x zy = i punctul ( )3, 1, 0M . Se cere:
a) ecuaiile generatoarelor rectilinii ale paraboloidului hiperbolic ce trec prin punctulM
b) unghiul ascuit format de generatoarele rectilinii determinate la punctul a)
c) ecuaia planului tangent la paraboloidul hiperbolic ce trece prin punctulM.
Rspuns: a) 2 3 6 0 3 12 6 3 0 3 2 2x z x y zx y z
=
= = + =
; 2 6 3 0 3 12 3 6 0 3 2 2x y z x y zx z
=
= =+ =
b)9
arccos17
; c) 2 3 3 0x y = .
26. Se dau hiperboloidului cu o pnz2
2 2 1 04
xy z+ = i punctul ( )2,1,1M . Se cere:
a) ecuaiile generatoarelor rectilinii ale hiperboloidului cu o pnz ce trec prin punctulM
b) unghiul ascuit format de generatoarele rectilinii determinate la punctul a)
c) ecuaiile normalei la hiperboloidul cu o pnz n punctulM.
Rspuns: a)2 2 2 0 2 1 1
2 2 2 0 0 1 1
x y z x y z
x y z
+ = = =
+ =;
2 0 2 1 1
1 0 2 0 1
x z x y z
y
= = =
=;
b)1
arccos10
; c)2 1 1
1 2 2
x y z = =
.
27. S se determine ecuaiile generatoarelor rectilinii ale hiperboloidului cu o pnz
2 22 1 0
9 4
x yz+ = ce trec prin punctul ( )6, 2, 2M i unghiul ascuit format de aceste
generatoare.
Rspuns:3 0 6 2 2
2 0 3 0 1
x z x y z
y
= + = =
+ =;
4 3 13 6 0 6 2 2
3 3 6 0 9 8 5
x y z x y z
x y z
= + = =
+ + = ;
16arccos
5 17
.
28. S se determine ecuaiile generatoarelor rectilinii ale paraboloidului hiperbolic2 2
16 4
x yz =
care sunt paralele cu planul 3 2 4 3 0x y z+ + = .
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
58/59
122 CAPITOLUL 5
Rspuns:2 8 0 4 4
2 2 0 2 1 2
x y x y z
x y z
= + + = =
+ =,
2 4 0 2 1
2 4 0 2 1 1
x y x y z
x y z
+ = + = =
= .
29. S se determine ecuaiile celor dou drepte de intersecie dintre paraboloidul hiperbolic2 2 3x y z = cu planul tangent n punctul ( )2,1,1M la suprafa.
Rspuns:1 0 2 1 1
3 0 3 3 2
x y x y z
x y z
= = =
+ =i
3 0 2 1 1
0 1 1 2
x y x y z
x y z
+ = = =
= .
30. S se arate c planul ( ) : 4 5 10 20 0x y z = intersecteaz hiperboloidul cu o pnz
2 2 21 0
25 16 4
x y z+ = dup dou generatoare rectilinii ale cror ecuaii se cer.
Rspuns:2 5 0 5 4 2
4 0 5 0 2
x z x y z
y
= + = =
+ =i
2 0 5 2 1
5 0 0 2 1
y z x y z
x
+ = + = =
= .
31. S se determine ecuaiile generatoarelor rectilinii ale hiperboloidului cu o pnz
2 2 21 0
9 4 16
x y z+ + = care sunt paralele cu planul 4 12 3 2 0x y z+ + = .
Rspuns:4 3 3 6 0 6 2 8
4 12 3 24 0 9 8 20
x y z x y z
x y z
+ = + + = =
+ + + = ,
4 3 3 6 0 6 2 8
4 12 3 24 0 9 8 20
x y z x y z
x y z
= + = =
+ + = .
32. S se determine ecuaiile planelor paralele cu planul de coordonate Oxy care intersecteaz
elipsoidul2 2 2
1 025 9 4
x y z+ + = dup o elips cu distana focal egal cu 6.
Rspuns:7
2z = .
33. Pe elipsoidul2 2 2
2 2 21 0, , , 0
x y za b c
a b c+ + = > se iau dou puncte arbitrare ( )1 1 1 1, ,M x y z
i ( )2 2 2 2, ,M x y z , iar planele tangente la elipsoid n aceste puncte se intersecteaz dup o
dreapt ( )d . S se arate c planul determinat de dreapta ( )d i de mijloculNal segmentului
1 2M M trece prin centrul elipsoidului.
Indicaie: Planele tangente la elipsoid n punctele ( )1 1 1 1, ,M x y z , respectiv ( )2 2 2 2, ,M x y z au
ecuaiile:
-
8/7/2019 Capitolul 5_Cuadrice reduse
59/59
CUADRICE PE ECUA II REDUSE / MARIANA ZAMFIR 123
1 1 12 2 2
1 0x x y y z z
a b c+ + = i 2 2 2
2 2 21 0
x x y y z z
a b c+ + = ,
iar dreapta lor de intersecie ( )d are ecuaiile
1 1 12 2 2
2 2 22 2 2
1 0
1 0
x x y y z z
a b c
x x y y z z
a b c
+ + = + + =
.
Planul cutat face parte din fasciculul de plane determinat de dreapta ( )d , a crui ecuaie
este: 1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2
1 1 0,x x y y z z x x y y z z
a b c a b c
+ + + + + =
.
Punem condiia ca acest plan s treac prin punctul 1 2 1 2 1 2, ,2 2 2
x x y y z zN + + +
, mijlocul
segmentului 1 2M M , i innd seama i de relaiile2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2
1x y z x y z
a b c a b c+ + = + + =
(deoarece punctele 1M i 2M aparin elipsoidului) se gsete 1 = .
Ecuaia planului ce trece prin dreapta ( )d i prin punctulNeste:
1 2 1 2 1 2
2 2 20
x x y y z zx y z
a b c
+ + = ,
iar acest plan trece prin centrul de simetrie ( )0,0,0O .