cartas de controle para soma acumulada
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Este documento apresenta a teoria básica das cartas de controle para soma acumulada e mostra como são implementadas.TRANSCRIPT
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1. Como funcionam as Cartas de controle para Soma Acumulada O Controle Estatístico do Processo (CEP) é uma poderosa ferramenta de monitoramento e melhoria de processos, utilizada por muitas empresas dos mais diversos ramos de atividade. As cartas de controle usadas com maior freqüência, tais como ‐R ou ‐ , são denominadas genericamente cartas de Shewhart. Essencialmente, estas cartas utilizam a informação da última amostra para gerar os alarmes, ou seja, ignoram a informação contida no conjunto de amostras observadas. Há regras que procuram identificar e utilizar a informação do conjunto de amostras1, porém seu uso afeta justamente uma das principais vantagens das cartas de Shewhart: a simplicidade. As cartas de controle para soma acumulada (CCSA’s), propostas originalmente por Page (1954), são uma alternativa às cartas de Shewhart e incorporam toda a informação contida nas observações realizadas. Há CCSA’s para variáveis contínuas e discretas e, no caso das primeiras, para a média e para a variabilidade. Para ilustrar a idéia básica das CCSA’s considere‐se o caso da média amostral. Sejam k amostras de tamanho n de uma distribuição normal com média µ0. A soma acumulada até o k‐ésimo ponto dos desvios da média amostral em relação à média da distribuição será
∑=
−=k
iik xS
10 )( µ
Se a média do processo se mantém constante, é de se supor que os desvios em relação à média variem de forma aleatória, sendo ora positivos, ora negativos. Assim, a soma acumulada deve variar em torno de zero. Se a média do processo muda para µ1 > µ0, as médias amostrais aumentam e tende a haver mais valores positivos do que negativos nas parcelas da soma acumulada, que passa a exibir uma tendência positiva. Da mesma forma, se a média do processo diminui, a soma acumulada mostrará uma tendência negativa. Como no caso das cartas de Shewhart, a questão que se coloca é como identificar os limites a partir dos quais a variação da soma acumulada não pode ser considerada puramente casual, devendo ser atribuída a uma causa assinalável.
1 Nelson (1984) descreve um conjunto de 8 testes que podem ser utilizados para decidir quando a presença de uma causa especial deve ser investigada. Os testes consideram que a característica observada possui distribuição normal e assumem que estão sendo usados limites de controle 3‐sigma. 1. Um ponto fora dos limites de controle. 2. Nove pontos consecutivos no mesmo lado da linha central. 3. Seis pontos consecutivos em ordem crescente ou em ordem decrescente. 4. Quatorze pontos consecutivos alternando‐se a cada observação o maior e o menor valor. 5. Dois de três pontos consecutivos a mais de dois desvios padrão no mesmo lado da linha central 6. Quatro de cinco pontos consecutivos a mais de um desvio padrão no mesmo lado da linha central. 7. Quinze pontos consecutivos a menos de um desvio padrão da linha central (de qualquer lado). 8. Oito pontos consecutivos a mais de um desvio padrão da linha central (de qualquer lado).
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2. Parametrização d e θ Johnson e Leone (1962) descrevem os princípios matemáticos em que se baseia a construção das CCSA e apresentam as fórmulas utilizadas para calcular os limites de controle. Em geral, usa‐se uma máscara em V cuja origem é colocada sobre um dos pontos do gráfico da soma acumulada. A Figura 1 ilustra o formato da máscara.
Figura 1 –Máscara em V usada nas CCSA’s – parametrização d e θ
Se algum dos pontos anteriores estiver fora das linhas que formam o V, considera‐se que o processo saiu do estado de controle estatístico no ponto sobre o qual está a origem da máscara. As dimensões da máscara são definidas por d (distância da origem ao vértice) e θ (ângulo de abertura para cada lado do V); as fórmulas usadas para calcular estes parâmetros dependem da escala utilizada nos eixos. A situação mais comum é registrar o número da amostra (i = 1, 2, 3,...,m) no eixo das abscissas, usando uma escala unitária, e registrar o valor da soma acumulada Sm no eixo das ordenadas, utilizando uma escala adequada, conforme discutido a seguir. Se ∆ é o menor desvio absoluto da média que se deseja detectar, α a probabilidade de um erro Tipo I (detectar um desvio da média quando de fato não houve desvio = falso alarme) e β é a probabilidade de um erro Tipo II (não detectar um desvio da média quando de fato houve desvio), calcula‐se:
θ
Pontos nesta área indicam perda de controle estatístico
d
Origem
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⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∆=
rarctg
d
x
2
1ln22
θ
αβ
δ
σδ
onde r é uma constante que relaciona as escalas horizontal e vertical; recomenda‐se que o valor de r esteja
entre xσ e 2 xσ .
Se β << 1, como é, em geral, o caso, pode‐se utilizar
2ln2δα
−=d
A Tabela 1 mostra os valores de d e θ em função de δ para diversos valores de α, considerando um gráfico
onde r = 2 xσ ; é importante observar que para um teste bilateral α é a probabilidade em cada uma das
caudas da distribuição.
r=2 xσ α (para um teste unilateral)
0,050000 0,025000 0,010000 0,005000 0,001350 δ θ (rad) d 0,20 0,0500 149,79 184,44 230,26 264,92 330,38 0,40 0,0997 37,45 46,11 57,56 66,23 82,60 0,60 0,1489 16,64 20,49 25,58 29,44 36,71 0,80 0,1974 9,36 11,53 14,39 16,56 20,65 1,00 0,2450 5,99 7,38 9,21 10,60 13,22 1,20 0,2915 4,16 5,12 6,40 7,36 9,18 1,40 0,3367 3,06 3,76 4,70 5,41 6,74 1,60 0,3805 2,34 2,88 3,60 4,14 5,16 1,80 0,4229 1,85 2,28 2,84 3,27 4,08 2,00 0,4636 1,50 1,84 2,30 2,65 3,30 2,20 0,5028 1,24 1,52 1,90 2,19 2,73 2,40 0,5404 1,04 1,28 1,60 1,84 2,29 2,60 0,5764 0,89 1,09 1,36 1,57 1,95 2,80 0,6107 0,76 0,94 1,17 1,35 1,69 3,00 0,6435 0,67 0,82 1,02 1,18 1,47
Tabela 1 – Parâmetros de CCSA’s para médias amostrais
Após calcular os valores de d e θ, ou obtê‐los da tabela, é necessário marcar os pontos correspondentes à soma acumulada e traçar o gráfico das retas que representam os limites de controle; isto requer a determinação das equações destas retas. Se a origem está centrada no ponto (xi,Si), a reta do limite superior de controle (LSC) é aquela que passa pelos pontos (xi,Si+dtg(θ)) e (xi+d, Si) e a reta do limite inferior de controle (LIC) é aquela que passa pelos pontos (xi,Si‐dtg(θ)) e (xi+d, Si). Lembrando que a equação de uma reta que passa pelos pontos (m1,n1) e (m2,n2) é dada por
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12
1221
12
12
mmmnmnx
mmnny
−−
+−−
=
e fazendo as substituições correspondentes, resulta que as retas dos limites de controle são definidas por:
)()()()()()(
θθθθ
tgdxiSxtgLICtgdxSxtgLSC
i
ii
+−++=+++−=
Exemplo 1: Um forno de refusão utilizado em uma linha de montagem de PCBA’s, deve manter a temperatura em uma de suas zonas em 180 ºC. Periodicamente a temperatura média é calculada através da leitura de quatro sensores instalados nesta zona. Os resultados das 30 últimas medições são mostrados na Tabela 2, que inclui ainda as médias e a amplitude de variação amostrais e a soma acumulada. Admitindo que se deseja detectar um deslocamento na média igual a um desvio padrão, e que α = 0,00135, traçar a CCSA (considerando os 30 pontos) e posicionar a máscara nas amostras de número 10, 20 e 30, comentando o resultado.
Amostra x1 x2 x3 x4 R Sm 1 179,07 181,20 182,48 175,25 179,50 7,23 ‐0,502 174,06 182,15 180,19 180,80 179,30 8,09 ‐1,203 177,48 176,92 178,18 182,00 178,65 5,08 ‐2,56 4 177,12 177,57 181,46 186,88 180,76 9,76 ‐1,80 5 175,90 176,87 181,23 180,25 178,56 5,33 ‐3,246 180,36 173,12 180,92 178,41 178,20 7,80 ‐5,03 7 182,59 180,54 183,27 177,64 181,01 5,63 ‐4,02 8 172,12 175,70 184,93 175,68 177,11 12,81 ‐6,929 180,33 180,54 179,76 186,73 181,84 6,97 ‐5,0810 183,55 183,39 182,11 177,34 181,60 6,21 ‐3,48 11 180,73 181,69 174,03 184,99 180,36 10,96 ‐3,12 12 181,00 180,06 177,40 176,63 178,77 4,37 ‐4,3513 175,65 177,92 183,59 181,52 179,67 7,94 ‐4,68 14 181,35 180,21 179,17 173,40 178,53 7,95 ‐6,14 15 176,70 175,57 179,12 183,92 178,83 8,35 ‐7,3216 176,01 183,24 182,59 184,16 181,50 8,15 ‐5,82 17 177,47 180,44 177,80 179,29 178,75 2,97 ‐7,07 18 178,97 179,81 175,60 175,19 177,39 4,62 ‐9,6719 179,61 179,14 185,77 186,10 182,66 6,96 ‐7,0220 179,68 179,27 179,25 180,38 179,65 1,13 ‐7,37 21 178,53 178,11 177,60 180,87 178,78 3,27 ‐8,60 22 180,63 181,60 179,99 186,64 182,22 6,65 ‐6,3823 183,53 179,46 183,43 182,52 182,24 4,07 ‐4,15 24 178,26 189,11 176,04 182,43 181,46 13,07 ‐2,69 25 177,58 175,20 182,64 181,57 179,25 7,44 ‐3,4426 182,66 180,82 176,28 178,63 179,60 6,38 ‐3,8427 181,81 183,13 189,75 180,53 183,81 9,22 ‐0,04 28 177,21 179,61 178,18 182,40 179,35 5,19 ‐0,6929 175,42 180,38 179,35 178,97 178,53 4,96 ‐2,1630 182,44 183,72 181,90 187,58 183,91 5,68 1,75
Tabela 2 – Medições da temperatura do forno
Solução: A soma acumulada Sm dos desvios em relação à média esperada (µ=180) é calculada por
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∑=
−=m
iim xS
1
)( µ
e está indicada na última coluna da Tabela 2. A tabela contém ainda a amplitude de variação de cada amostra; a média destas amplitudes é , usado para estimar o desvio padrão amostral por
6532,14059,2
808,6
2
=×
==nd
Rxσ
onde d2 é uma constante tabelada2. Como se deseja que a carta detecte rapidamente variações na média com magnitude de um desvio padrão,
usa‐se δ =1; fazendo r =2 xσ encontra‐se
215,13100135,0ln2ln2
25,041
4222)(
22 =−=−=
===×
=∆
=
δα
δσ
δσθ
d
rtg
x
x
Uma vez definidas as dimensões da máscara, através dos parâmetros d e θ, pode‐se “corrê‐la” (eletronicamente) sobre os valores de Sm, determinando as retas limite conforme explicado anteriormente. Por exemplo, se a máscara for colocada sobre o ponto S10 as retas limite serão dadas pelas equações:
28375,925,025,0)215,1310()48,3(25,0)0()()(
32375,225,025,0)215,1310()48,3(25,0)()()(
−+==×+−−++=+−++=
+−==×++−+−=+++−=
xxtgdxiSxtgLIC
xxtgdxSxtgLSC
i
ii
θ
θθ
A Figura 2 mostra os Sm marcados no gráfico e a máscara posicionada sobre S10. Vê‐se que os pontos S1 a S10 estão entre as retas limite, o que indica que o processo está em controle estatístico.
2 A constante d2 expressa a relação entre o intervalo de variação e o desvio padrão de uma variável aleatória normalmente distribuída, e é uma aproximação adequada para tamanhos de amostra n ≤ 10. Os valores desta constante estão listados abaixo:
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 d2 1,128 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 2,970 3,078
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Figura 2 – CCSA para temperatura do forno; máscara sobre S10
Repetindo o processo para determinação das equações das retas limites, é possível “mover” a máscara para outros pontos. A Figura 3 e a Figura 4 mostram a CCSA com a máscara sobre S20 e sobre S30, respectivamente.
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Figura 3 ‐ CCSA para temperatura do forno; máscara sobre S20
O gráfico da Figura 3 demonstra que o processo continua em controle estatístico entre S11 e S20.
Figura 4 ‐ CCSA para temperatura do forno; máscara sobre S30
Há evidência de que o processo saiu do controle estatístico em algum ponto entre S21 e S30. Movendo (eletronicamente) a máscara sobre o gráfico verifica‐se que a primeira indicação da perda de controle
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estatístico ocorreu no ponto S23. Numa situação real, deveria ser feita neste momento uma investigação para determinar a causa especial que estaria influenciando o processo.
3. Parametrização h e k Outros autores preferem especificar a máscara usando os parâmetros h e k, ao invés de d e θ. Lucas (1976) prefere esta alternativa, e define h e k conforme mostrado na Figura 5, onde se verifica que h é a semi‐abertura da máscara na origem e k a inclinação da reta limite.
Figura 5 ‐ Máscara em V para CCSA's ‐ parametrização h e k
É fácil concluir que, usando uma escala unitária nos dois eixos, tem‐se:
)(
)(θθ
dtghtgk
==
Porém o mais usual é que uma unidade de variação no eixo das abscissas corresponda a m xσ unidades de
variação no eixo das ordenadas, e neste caso
)(
)(θσθσ
dtgmhtgmk
x
x
==
θ
Pontos nesta área indicam perda de controle estatístico
h
Origem
k
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A escolha de h e k se baseia no Comprimento Médio da Corrida3 (CMC), que é o número médio de pontos registrados até que ocorra um sinal de alarme. Espera‐se que o CMC seja grande quando a média do processo estiver entre os limites desejados, e que o CMC seja pequeno quando houver uma alteração da média além daqueles limites. Por exemplo, em uma carta de controle com limites de controle 3σ, a probabilidade de um alarme falso é de 0,0027. Isto equivale a dizer que, mesmo estando o processo em controle, espera‐se um alarme falso aproximadamente a cada 370 pontos. E equivale também a dizer que o CMC quando o processo está em controle é aproximadamente igual a 370. Admita‐se que a média do processo se altere de µ para µ+σ e que o tamanho da amostra seja n = 5. Neste caso, a curva característica de operação4 (CCO) de uma carta , mostrada na Figura 6, indica que a probabilidade de que um ponto fique entre os limites de controle é de cerca de 85%. Logo, a probabilidade de que um ponto fique fora destes limites é de 15%, o que implica em um CMC de ~ 6,7.
Figura 6 ‐ Curva característica de operação para uma carta
A principal vantagem das CCSA’s é que são capazes de detectar pequenos desvios da média muito mais rapidamente do que as cartas de Shewhart. Ou seja, para pequenos desvios da média, as CCSA’s tem um CMC menor do que o das cartas de Shewhart, conforme mostrado na Tabela 3. Esta tabela mostra o CMC antes que seja detectado um ponto acima do limite superior de controle, quando ocorre um aumento de δ
desvios padrão amostrais na média do processo, ou seja, quando esta média muda de µ para µ+δ xσ .
α
0,010 0,005 0,00135
3 Em inglês, Average Run Length ou ARL. 4 A CCO é um gráfico que mostra a probabilidade de um erro Tipo II (aceitar a hipótese nula H0 quando H0 é falsa) para diversos valores do deslocamento da média do processo (em desvios padrão) e tamanhos de amostra. Neste caso, um erro Tipo II seria concluir que a média do processo se manteve constante, quando na realidade houve alteração.
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δ x‐barra CCSA x‐barra CCSA x‐barra CCSA 0,50 29,5 36,8 52,7 42,4 161,0 52,9 0,75 17,4 16,4 29,5 18,8 81,8 23,5 1,00 10,8 9,2 17,4 10,6 44,0 13,2 1,25 7,1 5,9 10,8 6,8 25,0 8,5 2,00 4,9 4,1 7,1 4,7 7,1 5,9
Tabela 3 – Comparação do CMC entre cartas de Shewhart e as CCSA’s
Lucas (1976) fornece nomogramas e tabelas que permitem a determinação de h e k em função do CMC desejado. É necessário conhecer ou definir o valor nominal da média do processo (µ), o desvio absoluto em relação à média a partir do qual se deseja indicar rapidamente um sinal de alarme (∆) e o desvio padrão
amostral ( xσ ).
Vance (1986) apresenta um programa em FORTRAN que permite o cálculo do CMC para as cartas de controle para soma acumulada através de um algoritmo mais preciso do que o utilizado para criar as tabelas inclusas em Lucas (1976). O autor converteu o programa de FORTRAN para Visual Basic for Applications (VBA), gerando uma tabela bastante detalhada para o CMC, em função de h*, k* e δ (Ver Apêndice I, Tabela I‐1). A metodologia proposta por Lucas (1976) para construir a CCSA, com pequenas modificações, é a seguinte:
1. Calcular k=∆/2
2. Calcular k* = k/ xσ
3. Selecionar a tabela correspondente ao valor de k* (ver Tabela I‐1) e procurar na primeira coluna o valor de h* correspondente ao valor desejado para o CMC quando δ = 0 (processo em controle); um valor típico para o CMC nesta situação é 500. Pode ser necessário usar uma interpolação para determinar h*.
4. Calcular h = h* xσ
5. Entrar com os valores de h e k na tabela e verificar o CMC para todos os valores de δ, determinando se a máscara atende os requisitos da aplicação; pode ocorrer que o CMC seja maior
que o valor desejado, quando δ = ∆/ xσ . Neste caso, tentar outro valor para k e repetir o processo.
Após determinar os valores de h e k, é necessário marcar os pontos correspondentes à soma acumulada e traçar o gráfico das retas que representam os limites de controle. Se a origem está centrada no ponto (xi,Si), a reta do limite superior de controle é aquela que passa pelos pontos (xi,Si+h) e (xi+(h/k), Si) e a reta do limite inferior de controle é aquela que passa pelos pontos (xi,Si‐h) e (xi+(h/k), Si). Isto leva às retas definidas por::
kkhxiSkxLICkkhxSkxLSC
i
ii
))/(())/((
+−++=+++−=
Exemplo 2: : Uma indústria de alimentos fornece seu produto acondicionado em pacotes de 500 g; foi estabelecido que o desvio absoluto máximo do peso, em qualquer direção, deveria ser de 5 gramas. A empresa está iniciando a implementação de uma CCSA para a máquina de empacotamento, utilizando um tamanho de amostra n = 6. A cada 30 minutos, seis pacotes fechados são escolhidos aleatoriamente e seu conteúdo é pesado; os dados coletados nas primeiras 25 amostragens, bem como as médias amostrais, o
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intervalo de variação e a soma acumulada, estão listados naTabela 4. Construir a CCSA com base nestes dados.
Amostra x1 x2 x3 x4 x5 x6 R Sm 1 498,49 497,23 498,23 506,69 504,52 504,02 501,53 9,46 1,53 2 489,70 501,27 497,15 501,76 503,90 502,90 499,45 14,20 0,98 3 499,96 498,55 496,18 497,84 504,08 500,18 499,46 7,90 0,44 4 502,82 502,83 498,94 508,12 497,91 499,86 501,75 10,21 2,19 5 505,17 499,03 496,48 490,59 498,95 497,72 497,99 14,58 0,18 6 503,12 502,90 502,61 500,26 499,60 500,01 501,42 3,52 1,60 7 495,60 500,19 501,41 503,00 500,63 488,70 498,25 14,30 ‐0,15 8 500,25 484,49 495,10 502,14 505,33 491,06 496,39 20,84 ‐3,76 9 498,24 500,28 499,96 501,83 494,45 495,19 498,32 7,38 ‐5,44 10 501,61 501,28 506,43 496,68 505,61 508,63 503,37 11,95 ‐2,07 11 503,48 498,92 503,99 501,18 497,88 497,05 500,42 6,94 ‐1,65 12 499,97 504,77 496,83 505,20 494,24 498,52 499,92 10,96 ‐1,73 13 502,61 495,07 500,83 500,56 504,10 502,75 500,98 9,03 ‐0,75 14 507,31 502,23 498,14 501,66 505,81 506,50 503,61 9,17 2,86 15 507,15 501,58 505,58 492,44 509,08 500,43 502,71 16,64 5,57 16 499,53 512,27 493,00 503,15 500,23 495,39 500,59 19,27 6,16 17 505,86 497,13 498,97 500,74 507,05 496,95 501,11 10,10 7,27 18 500,54 511,81 506,31 493,18 499,53 495,86 501,21 18,63 8,48 19 500,01 510,42 496,34 498,13 508,05 502,53 502,58 14,08 11,06 20 498,05 497,17 498,43 501,07 501,84 504,90 500,24 7,73 11,30 21 494,30 496,03 492,87 494,40 508,32 504,07 498,33 15,45 9,63 22 499,65 501,18 497,59 504,13 499,14 507,58 501,55 9,99 11,18 23 508,81 509,08 497,87 498,02 499,77 489,92 500,58 19,16 11,76 24 493,20 506,40 503,47 506,29 502,74 493,92 501,00 13,20 12,76 25 492,47 505,49 496,79 498,72 499,69 491,34 497,42 14,15 10,18
Tabela 4 – Medições do peso dos pacotes
Solução: A média esperada é µ=500 e o desvio máximo absoluto é ∆ = 5 gramas. Calculando o amplitude de
variação média, encontra‐se R = 12,35. Para n=6, calcula‐se o desvio padrão da média amostral por
9897,16*534,2
35,12
2
===nd
Rxσ
Seguindo a metodologia proposta, inicia‐se a escolha da carta fazendo
5,225
2==
∆=k
Normalizando o valor de k
2565,19897,1
5,2* ===x
kkσ
Na Tabela I‐1 as colunas, da terceira em diante, mostram o valor do CMC para diferentes valores de δ (desvio da média amostral em relação à meta, medido em número de desvios padrão amostrais); a primeira e a segunda colunas mostram os valores de h* e k*, respectivamente; cada linha corresponde a uma combinação diferente destes dois parâmetros.
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Neste caso, é razoável usar k*=1,25 como tentativa inicial; procura‐se na tabela as linhas que correspondem ao valor k*=1,25 e a seguir o valor de h* para o qual o CMC no estado de controle (δ=0) satisfaz os requisitos da aplicação. Vê‐se que o CMC para h* = 2,00 e k* = 1,25 é de ~383, muito próximo do valor de 370, correspondente à carta de controle com limites 3‐sigma especificada originalmente; a região da tabela onde se encontra este valor está ampliada na Figura 7. O CMC de 383 significa que, em média, apenas um alarme falso será gerado a cada 383 amostras.
δ h* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1,50 1,25 110,74 80,16 41,32 20,97 . . . . . . . .
1,75 1,25 204,67 136,66 62,23 28,54 . . . . . . . .
2,00 1,25 383,01 233,26 93,18 38,49 . . . . . . . .
2,25 1,25 721,25 396,90 138,63 51,42 . . . . . . . .
2,50 1,25 1359,83 671,54 205,00 68,16 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 7 – Visão ampliada da Tabela I‐1: h* = 2,00; k* = 1,25; δ = 0,00
A seguir verifica‐se se, para o valor do CMC correspondente ao valor de δ = ∆/ xσ também atende os
requisitos. Tem‐se:
5130,29897,15
==∆
=xσ
δ
Consultando novamente aTabela I‐1, vê‐se que o CMC nesta situação é de 2,30; a região da tabela onde se encontra este valor está ampliada na Figura 8. O CMC de 2,30 significa que um desvio de 5 gramas no peso dos pacotes será detectado, em média, na segunda ou terceira amostra após sua ocorrência.
δ h* k* . . . . . . . . 2,00 2,50 3,00 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1,50 1,25 . . . . . . . . 2,73 1,90 1,48 . . . . . . . .
1,75 1,25 . . . . . . . . 3,06 2,10 1,61 . . . . . . . .
2,00 1,25 . . . . . . . . 3,39 2,30 1,76 . . . . . . . .
2,25 1,25 . . . . . . . . 3,73 2,51 1,91 . . . . . . . .
2,50 1,25 . . . . . . . . 4,06 2,71 2,06 . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 8 – Visão ampliada da Tabela I‐1: h* = 2,00; k* = 1,25; δ = 2,50
Transformando os valores normalizados h* e k* para seus equivalentes não normalizados, h e k, encontra‐se
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49,29897,125,1*
97,49897,15,2*=×=×==×=×=
x
x
kkhh
σσ
A soma acumulada dos desvios em relação à média esperada (µ=500) é mostrada na Tabela 5. Centrando a máscara no ponto correspondente à última amostra e aplicando as equações definidas anteriormente para as retas limite, obtêm‐se:
039.5749,249,2)]49,2/97,4(25[1910,1049,2))/((
49,7749,249,2]49,2/97,4(25[1910,1049,2))/((
−+==×+−++=+−++=
+−==×+++−=+++−=
xxkkhxSkxLIC
xxkkhxSkxLSC
ii
ii
A Figura 9 mostra a CCSA resultante, e permite concluir que no período considerado o processo estava em controle estatístico.
Figura 9 – CCSA para o peso dos pacotes (h=4,97; k=2,49)
É interessante observar que o MINITABTM utiliza esta parametrização e requer h* e k* como entradas opcionais; caso estes parâmetros não sejam fornecidos, os valores h*=4,0 e k*=0,5 (ARL = 168) são utilizados. A Figura 10 mostra a CCSA gerada pelo MINITABTM, com os parâmetros “default”.
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Figura 10 ‐ CCSA para o peso dos pacotes (h=4,0; k=0,5)
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APÊNDICE I: Tabela de parâmetros h e k para construção da máscara em V PARÂMETROS PARA CONSTRUÇÃO DA MÁSCARA EM V
δh* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,000,25 0,25 1,60 1,57 1,50 1,41 1,31 1,23 1,16 1,10 1,06 1,02 1,010,50 0,25 2,08 2,02 1,88 1,70 1,52 1,38 1,26 1,17 1,11 1,04 1,010,75 0,25 2,71 2,60 2,35 2,05 1,77 1,55 1,39 1,26 1,17 1,07 1,021,00 0,25 3,52 3,34 2,91 2,45 2,06 1,76 1,54 1,37 1,26 1,11 1,041,25 0,25 4,54 4,23 3,57 2,90 2,37 1,98 1,71 1,51 1,36 1,17 1,071,50 0,25 5,79 5,30 4,30 3,38 2,70 2,23 1,90 1,66 1,48 1,24 1,111,75 0,25 7,30 6,54 5,09 3,87 3,04 2,48 2,10 1,82 1,61 1,33 1,162,00 0,25 9,09 7,94 5,92 4,37 3,38 2,74 2,30 1,99 1,76 1,44 1,232,25 0,25 11,19 9,50 6,78 4,88 3,72 2,99 2,51 2,16 1,91 1,56 1,322,50 0,25 13,64 11,22 7,67 5,38 4,06 3,25 2,71 2,34 2,06 1,68 1,422,75 0,25 16,47 13,09 8,56 5,88 4,39 3,50 2,92 2,51 2,21 1,81 1,533,00 0,25 19,74 15,12 9,47 6,38 4,73 3,75 3,12 2,68 2,36 1,93 1,643,25 0,25 23,51 17,30 10,39 6,88 5,06 4,00 3,32 2,85 2,51 2,05 1,753,50 0,25 27,84 19,62 11,32 7,38 5,39 4,25 3,52 3,01 2,65 2,16 1,853,75 0,25 32,83 22,10 12,26 7,88 5,73 4,50 3,71 3,18 2,79 2,27 1,954,00 0,25 38,54 24,71 13,20 8,38 6,06 4,75 3,91 3,34 2,93 2,38 2,054,25 0,25 45,08 27,47 14,15 8,88 6,39 5,00 4,11 3,51 3,07 2,49 2,134,50 0,25 52,56 30,35 15,10 9,38 6,73 5,25 4,31 3,68 3,21 2,59 2,214,75 0,25 61,10 33,37 16,06 9,88 7,06 5,50 4,51 3,84 3,36 2,70 2,305,00 0,25 70,84 36,52 17,02 10,37 7,39 5,75 4,71 4,01 3,50 2,81 2,385,50 0,25 94,61 43,18 18,95 11,37 8,06 6,25 5,11 4,34 3,79 3,04 2,566,00 0,25 125,40 50,33 20,89 12,37 8,73 6,75 5,51 4,68 4,07 3,26 2,746,50 0,25 165,23 57,95 22,85 13,37 9,39 7,25 5,91 5,01 4,36 3,48 2,937,00 0,25 216,65 66,04 24,81 14,37 10,06 7,75 6,31 5,34 4,64 3,71 3,117,50 0,25 282,96 74,60 26,78 15,37 10,73 8,25 6,71 5,68 4,93 3,93 3,308,00 0,25 368,39 83,63 28,76 16,37 11,39 8,75 7,11 6,01 5,21 4,15 3,489,00 0,25 619,87 103,12 32,73 18,37 12,73 9,75 7,91 6,68 5,79 4,59 3,8410,00 0,25 1035,77 124,55 36,71 20,37 14,06 10,75 8,71 7,34 6,36 5,04 4,20
δh* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,000,25 0,50 2,18 2,11 1,95 1,75 1,55 1,39 1,27 1,18 1,11 1,04 1,010,50 0,50 2,96 2,83 2,52 2,16 1,84 1,59 1,41 1,27 1,18 1,07 1,020,75 0,50 4,07 3,82 3,26 2,67 2,19 1,83 1,58 1,40 1,27 1,11 1,041,00 0,50 5,60 5,15 4,19 3,27 2,58 2,11 1,78 1,54 1,38 1,17 1,071,25 0,50 7,71 6,89 5,30 3,95 3,02 2,41 2,00 1,71 1,51 1,25 1,111,50 0,50 10,54 9,11 6,59 4,68 3,48 2,73 2,23 1,90 1,66 1,34 1,161,75 0,50 14,32 11,87 8,04 5,46 3,96 3,06 2,48 2,10 1,82 1,46 1,242,00 0,50 19,27 15,25 9,63 6,27 4,44 3,39 2,74 2,30 1,99 1,58 1,322,25 0,50 25,73 19,29 11,35 7,09 4,93 3,73 2,99 2,51 2,16 1,71 1,432,50 0,50 34,09 24,08 13,18 7,94 5,42 4,06 3,25 2,71 2,34 1,85 1,542,75 0,50 44,89 29,70 15,13 8,80 5,91 4,40 3,50 2,92 2,51 1,99 1,663,00 0,50 58,80 36,24 17,20 9,67 6,40 4,73 3,75 3,12 2,68 2,12 1,77
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PARÂMETROS PARA CONSTRUÇÃO DA MÁSCARA EM V
δh* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,003,25 0,50 76,71 43,83 19,38 10,56 6,90 5,06 4,00 3,32 2,85 2,25 1,893,50 0,50 99,78 52,58 21,68 11,45 7,39 5,39 4,25 3,52 3,01 2,37 2,003,75 0,50 129,48 62,66 24,09 12,36 7,89 5,73 4,50 3,71 3,18 2,50 2,104,00 0,50 167,68 74,22 26,63 13,29 8,38 6,06 4,75 3,91 3,34 2,62 2,194,25 0,50 216,80 87,46 29,29 14,21 8,88 6,39 5,00 4,11 3,51 2,74 2,294,50 0,50 279,95 102,58 32,07 15,15 9,38 6,73 5,25 4,31 3,68 2,86 2,384,75 0,50 361,11 119,83 34,97 16,10 9,88 7,06 5,50 4,51 3,84 2,99 2,485,00 0,50 465,39 139,49 38,00 17,05 10,38 7,39 5,75 4,71 4,01 3,11 2,575,50 0,50 771,39 187,35 44,42 18,97 11,37 8,06 6,25 5,11 4,34 3,37 2,776,00 0,50 1276,12 249,25 51,34 20,90 12,37 8,73 6,75 5,51 4,68 3,62 2,986,50 0,50 2108,31 329,17 58,75 22,85 13,37 9,39 7,25 5,91 5,01 3,87 3,187,00 0,50 3479,91 432,24 66,67 24,82 14,37 10,06 7,75 6,31 5,34 4,12 3,387,50 0,50 5739,57 565,04 75,08 26,79 15,37 10,73 8,25 6,71 5,68 4,37 3,588,00 0,50 9459,78 736,02 84,00 28,76 16,37 11,39 8,75 7,11 6,01 4,62 3,789,00 0,50 25617,86 1239,03 103,33 32,73 18,37 12,73 9,75 7,91 6,68 5,12 4,1810,00 0,50 68817,92 2070,52 124,66 36,71 20,37 14,06 10,75 8,71 7,34 5,62 4,58
δh* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,000,25 0,75 3,11 2,97 2,63 2,24 1,89 1,62 1,43 1,28 1,18 1,07 1,020,50 0,75 4,47 4,18 3,54 2,86 2,31 1,90 1,62 1,42 1,28 1,11 1,040,75 0,75 6,51 5,95 4,77 3,64 2,81 2,24 1,85 1,58 1,40 1,18 1,071,00 0,75 9,61 8,51 6,38 4,60 3,39 2,62 2,12 1,78 1,54 1,26 1,111,25 0,75 14,28 12,14 8,45 5,72 4,05 3,05 2,41 2,00 1,71 1,36 1,171,50 0,75 21,28 17,22 11,01 7,00 4,77 3,50 2,73 2,24 1,90 1,48 1,241,75 0,75 31,73 24,18 14,10 8,41 5,52 3,97 3,06 2,48 2,10 1,61 1,332,00 0,75 47,17 33,55 17,77 9,96 6,31 4,45 3,39 2,74 2,30 1,76 1,442,25 0,75 69,85 45,97 22,04 11,63 7,13 4,93 3,73 2,99 2,51 1,91 1,562,50 0,75 102,98 62,26 27,00 13,42 7,96 5,42 4,06 3,25 2,71 2,06 1,682,75 0,75 151,22 83,46 32,72 15,32 8,81 5,91 4,40 3,50 2,92 2,21 1,813,00 0,75 221,38 110,94 39,31 17,34 9,68 6,40 4,73 3,75 3,12 2,36 1,933,25 0,75 323,39 146,49 46,89 19,49 10,56 6,90 5,06 4,00 3,32 2,51 2,053,50 0,75 471,76 192,37 55,59 21,76 11,46 7,39 5,39 4,25 3,52 2,65 2,163,75 0,75 687,64 251,54 65,58 24,16 12,37 7,89 5,73 4,50 3,71 2,79 2,274,00 0,75 1001,77 327,75 77,03 26,68 13,29 8,38 6,06 4,75 3,91 2,93 2,384,25 0,75 1458,85 425,84 90,12 29,32 14,22 8,88 6,39 5,00 4,11 3,07 2,494,50 0,75 2123,80 551,99 105,09 32,09 15,15 9,38 6,73 5,25 4,31 3,21 2,594,75 0,75 3090,91 714,17 122,17 34,99 16,10 9,88 7,06 5,50 4,51 3,36 2,705,00 0,75 4497,03 922,56 141,67 38,01 17,05 10,38 7,39 5,75 4,71 3,50 2,81
δh* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,000,25 1,00 4,68 4,38 3,70 2,98 2,39 1,96 1,65 1,44 1,29 1,12 1,040,50 1,00 7,12 6,51 5,20 3,95 3,01 2,36 1,92 1,62 1,42 1,18 1,070,75 1,00 11,09 9,83 7,35 5,23 3,78 2,85 2,25 1,85 1,59 1,27 1,111,00 1,00 17,65 15,03 10,39 6,88 4,72 3,43 2,63 2,12 1,78 1,38 1,17
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δh* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,001,25 1,00 28,58 23,14 14,60 8,95 5,82 4,07 3,05 2,42 2,00 1,51 1,251,50 1,00 46,92 35,70 20,31 11,49 7,07 4,78 3,50 2,73 2,24 1,66 1,341,75 1,00 77,73 54,94 27,92 14,54 8,47 5,53 3,97 3,06 2,48 1,82 1,462,00 1,00 129,33 84,00 37,93 18,14 10,00 6,32 4,45 3,39 2,74 1,99 1,582,25 1,00 215,34 127,37 50,94 22,36 11,65 7,13 4,93 3,73 2,99 2,16 1,712,50 1,00 357,94 191,46 67,76 27,25 13,43 7,96 5,42 4,06 3,25 2,34 1,852,75 1,00 593,34 285,57 89,43 32,92 15,33 8,81 5,91 4,40 3,50 2,51 1,993,00 1,00 980,94 423,22 117,31 39,47 17,35 9,68 6,40 4,73 3,75 2,68 2,123,25 1,00 1618,52 624,23 153,20 47,01 19,50 10,56 6,90 5,06 4,00 2,85 2,253,50 1,00 2667,31 917,53 199,38 55,69 21,76 11,46 7,39 5,39 4,25 3,01 2,373,75 1,00 4392,71 1345,28 258,80 65,65 24,16 12,37 7,89 5,73 4,50 3,18 2,504,00 1,00 7230,69 1968,80 335,22 77,08 26,68 13,29 8,38 6,06 4,75 3,34 2,624,25 1,00 11893,62 2877,11 433,48 90,16 29,32 14,22 8,88 6,39 5,00 3,51 2,744,50 1,00 19537,15 4199,31 559,78 105,12 32,09 15,15 9,38 6,73 5,25 3,68 2,864,75 1,00 32020,38 6122,52 722,08 122,20 34,99 16,10 9,88 7,06 5,50 3,84 2,995,00 1,00 52283,23 8917,39 930,58 141,69 38,01 17,05 10,38 7,39 5,75 4,01 3,11
δh* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,000,25 1,25 7,41 6,79 5,44 4,13 3,14 2,44 1,98 1,66 1,44 1,19 1,070,50 1,25 11,98 10,67 8,04 5,71 4,10 3,05 2,37 1,93 1,63 1,28 1,110,75 1,25 20,01 17,18 12,01 7,94 5,37 3,82 2,86 2,25 1,86 1,40 1,181,00 1,25 34,46 28,27 18,09 11,03 7,01 4,74 3,43 2,63 2,12 1,54 1,261,25 1,25 61,04 47,32 27,35 15,27 9,06 5,84 4,08 3,05 2,42 1,71 1,361,50 1,25 110,74 80,16 41,32 20,97 11,57 7,08 4,78 3,50 2,73 1,90 1,481,75 1,25 204,67 136,66 62,23 28,54 14,60 8,48 5,53 3,97 3,06 2,10 1,612,00 1,25 383,01 233,26 93,18 38,49 18,18 10,00 6,32 4,45 3,39 2,30 1,762,25 1,25 721,25 396,90 138,63 51,42 22,38 11,66 7,13 4,93 3,73 2,51 1,912,50 1,25 1359,83 671,54 205,00 68,16 27,27 13,43 7,96 5,42 4,06 2,71 2,062,75 1,25 2558,20 1128,94 301,60 89,76 32,93 15,33 8,81 5,91 4,40 2,92 2,213,00 1,25 4794,90 1886,89 442,01 117,58 39,47 17,35 9,68 6,40 4,73 3,12 2,36
δh* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,000,25 1,50 12,39 11,07 8,39 5,99 4,30 3,18 2,46 1,98 1,66 1,29 1,120,50 1,50 21,31 18,44 13,06 8,70 5,88 4,14 3,06 2,38 1,93 1,42 1,180,75 1,50 38,16 31,75 20,76 12,80 8,10 5,40 3,82 2,86 2,25 1,59 1,271,00 1,50 71,08 56,33 33,60 19,00 11,18 7,03 4,75 3,43 2,63 1,78 1,381,25 1,50 137,44 102,71 55,18 28,35 15,39 9,07 5,84 4,08 3,05 2,00 1,511,50 1,50 274,82 191,56 91,58 42,39 21,07 11,58 7,09 4,78 3,50 2,24 1,661,75 1,50 565,31 363,24 152,94 63,31 28,62 14,61 8,48 5,53 3,97 2,48 1,822,00 1,50 1187,95 695,56 255,95 94,23 38,54 18,19 10,00 6,32 4,45 2,74 1,992,25 1,50 2530,38 1336,27 427,87 139,62 51,46 22,38 11,66 7,13 4,93 2,99 2,162,50 1,50 5420,83 2561,72 713,06 205,90 68,18 27,27 13,43 7,96 5,42 3,25 2,34
δh* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00
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δh* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,000,25 1,75 21,86 19,00 13,57 9,10 6,17 4,34 3,20 2,46 1,98 1,44 1,190,50 1,75 40,03 33,60 22,35 13,96 8,89 5,92 4,15 3,06 2,38 1,63 1,280,75 1,75 76,77 61,83 37,93 21,89 12,99 8,13 5,41 3,82 2,86 1,86 1,401,00 1,75 154,17 118,22 66,20 35,00 19,18 11,20 7,03 4,75 3,43 2,12 1,541,25 1,75 323,81 234,41 118,54 56,87 28,53 15,41 9,08 5,84 4,08 2,42 1,711,50 1,75 709,22 480,04 216,90 93,56 42,54 21,08 11,59 7,09 4,78 2,73 1,901,75 1,75 1612,44 1009,70 403,53 155,18 63,44 28,63 14,61 8,48 5,53 3,06 2,102,00 1,75 3781,20 2165,70 758,80 258,41 94,33 38,55 18,19 10,00 6,32 3,39 2,30
δh* k* 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,000,25 2,00 40,75 34,36 23,07 14,53 9,30 6,21 4,35 3,20 2,46 1,66 1,290,50 2,00 79,39 64,53 40,29 23,64 14,19 8,93 5,92 4,15 3,07 1,93 1,420,75 2,00 162,72 126,77 73,08 39,65 22,13 13,02 8,14 5,41 3,82 2,25 1,591,00 2,00 350,99 260,49 137,54 68,50 35,25 19,21 11,21 7,03 4,75 2,63 1,781,25 2,00 796,14 559,07 268,17 121,60 57,13 28,55 15,41 9,08 5,84 3,05 2,001,50 2,00 1895,39 1249,68 539,84 220,94 93,81 42,56 21,09 11,59 7,09 3,50 2,24
Tabela I‐1 – Tabela de CMC’s em função de h* e k*, para diversos valores de δ
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APÊNDICE II: Geração da Tabela de parâmetros h e k
Pode ser demonstrado [Page(1954)] que o comprimento médio de corrida para uma CCSA que inicia em 0 é dado por:
Onde
Sendo a função densidade de probabilidades dos incrementos da soma acumulada. Admitindo que f(x) tenha distribuição normal com média µ e variância unitária, as equações de N(z) e P(z) podem ser escritas como
A geração da tabela envolve a solução numérica deste sistema de equações. As integrais são calculadas utilizando o método da quadratura gaussiana com 24 pontos; isto requer a solução de um sistema de 24 equações lineares para cada valor mostrado, tornando bastante demorada a criação desta tabela nos microcomputadores disponíveis atualmente (Jun/2008).
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