状態空間モデルを用いた金融 時系列分析 ·...
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状態空間モデルを用いた金融
時系列分析
佐藤整尚
(大学共同利用機関法人・情報・システム研究機構 統計数理研究所・データ科学研究系・准教授)
9月26日CARFセミナー
はじめに • 90年代:統計科学の分野で金融データに対する応用が盛んになった:ARCH、GARCHをはじめとするボラティリティモデルの推定
• 2000年以降:さまざまな商品が開発される。高頻度データの解析、債券価格のモデリング、倒産確率のモデリング
• 現在:数理ファイナンスの進化が著しい。 (統計科学の出番は?)
状態(State)変数とは
• 必ずしも観測されるとは限らない物事の状態(本質)を表す変数。
• 時間とともに変動する。
• 観測値は状態変数の関数で表される。
状態空間モデルとは
• システムモデル(状態モデル)と観測モデルからなる。
• システムモデルにはマルコフ性が仮定される。
t-1時点の状態 t時点の状態 t+1時点の状態
t-1時点の観測値 t時点の観測値 t+1時点の観測値
システムモデル
観測モデル 観測モデル
状態空間モデル
• 線形・ガウスの場合(xが状態変数)
ttt
ttt
eHxyGvFxx
+=+= −1
例)
カルマン・フィルタ tttt
ttt
exy +=+= −
βεββ 1
(システムモデル) (観測モデル)
(システムモデル) (観測モデル)
一般化状態空間モデル
システムモデル
観測モデル
(Yが状態変数)
状態空間モデルの目的
• モデルの当てはめやパラメータの推定を行う。
• 観測値から状態変数を推定する。
• モデルに基づき予測を行う。
• モデルに基づき平滑化を行う。
状態空間モデルの歴史 • もともとは物理システムの記述に使われていた。
• 1960年代カルマンにより、制御
工学での利用が進んだ。(カルマンフィルタ)
• 1970年代赤池により、統計科学への応用が始まる。
理論モデルの記述
システムの制御
モデルの推定
*ファイナンスでも使われるようになってきた。
金融時系列分析において 状態空間モデルが有効な例
• Trend Modelの推定 • Volatilityの推定( Stochastic Volatility Model )
• 金利の期間構造の推定 • マルチファクターモデルの推定 • CAPMにおける時変Betaの推定 • 投資信託のスタイル分析 • マイクロマーケットストラクチャーの推定
金融時系列において状態空間モデルが適用される時の2つの傾向
• 理論モデルの対象とする変数が観測できない場合 – 数理ファイナンスを起源とするモデル(連続時間モデル) – 状態(システム)モデルは一般に複雑である。非線形でカルマンフィルターでは解けないことも多い。
• 時変係数タイプの非定常モデル
– クオンツタイプのモデル – ベースは回帰モデルでこれを時変にしたもの – システムモデルは統計的なモデリングである。カルマンフィルタで解ける場合が多い。
状態推定のアルゴリズム
• カルマン・フィルタ • 拡張カルマン・フィルタ • 非線形フィルタ • モンテカルロ・フィルタ
モンテカルロフィルタの特徴
• 様々なモデルに適用可能である. – 制約つき推定 – 非線形構造 – 突然のジャンプなどを含むモデル
• 状態変数(潜在変数)の推定が得意 • 平滑化も可能である.
Monte Carlo Filter : ( Kitagawa [1996] )
Initial distribution
Prediction
~ likelihood
Re-sampling by Filter
Log-Likelihood
AIC (Akaike Information Criterion)
Trend-Volatility model (summary)
Yt = Tt + At + ε t exp St
Tt = DTt – 1 + Tt – 1 + e1t + e2t
DTt = DTt – 1 + e1t
At = a1At – 1 + a2At – 2 + e3t
St = St – 1 + c ∆DTt – 1 + e4t
e1t,e3t,e4t ~ N 0,σi2 , ε t ~ N 0,1
e2 ~ Uniform(d 1 , d 2) (Prob. α)N(0,σ2
2) (Prob. 1 – α)
(状態:トレンド、 ボラティリティ、周期変動)
時変係数マルチファクターモデル
+++=
+++=+++=
+=+=+=
−
−
−
ntnttntttnt
ttttttt
ttttttt
ttt
ttt
ttt
efcfbar
efcfbarefcfbar
vccvbbvaa
)2()1(
22)2(
2)1(
2
1)2(
11)1(
1
31
21
11
時変係数CAPM
(状態:ファクターにかかる係数)
Observational Data (interest rates)
Estimated Factors (State Variables)
•Monte Carlo Filter
•State Space Model
Multi-Factor Model
Estimated Term Structure
(状態:ファクター)
Term structure model of interest rates
State variables: Y (k-dimensional)
W : n dimensional Brownian motion
Short-term interest rate : ),( tYrr =
ファイナンス理論によるモデリング(一般的な枠組み)
Price of zero coupon bonds : P(t,T)
Q : Risk neutral measure
Under Q
T : maturity
),),((),( TttYBTtP =∴
* *
PはYのモデルの形に 依存して決定される
General case :
System Model:
Linear case :
SS ′=Σ
Observational Model
Price of a zero coupon bond
General case :
Additive case :
Examples of H(・ ) :
(LIBOR) (Swap rate)
)](| tY
),);(( TttYB=
要点:
モンテカルロフィルターを用いた金利の期間構造の推定
特徴: 幅広いモデルに適用可能である. 特にゼロクーポン債の価格が明示的 に解けなくてもよい.
自由なモデリングが可能 (CIRなどのモデルにこだわる必要が無い)
スタイル分析法
• 静的枠組み – 回帰モデル
• 動的枠組み – ウィンドウを移動しながら回帰を行う方法 – 罰金つき最小2乗法 – ・・・ – 状態空間表現によるアプローチ(新しい手法)
ttttttt
ttttttt
eLGLVMGMVSGSVr
++++++=
654
321
ββββββ
投資信託のスタイル分析
SV:Small-Value SG:Small-Growth MV:Mid-Value MG:Mid-Growth LV:Large-Value LG:Large-Growth
(状態:スタイルインデックスにかかる係数)
従来の方法
• Window-Regressionによって求めた係数を平滑化する方法
(MPI-スタイラス,http://www.mpi-japan.com/)
• 制約つき最小2乗法+HP Filter (竹原1999)
ここで提案する方法: Smoothness Prior + Monte Carlo Filter
∑
∑
∑
∑
∑
≠
≠
≠
≠
−
−=
−=
−=
−=
≤
≥
−
+=++++++=
66
22
11
''
2
2
1,
654321
)61:(Pr1
)61:(Pr1
)61:(Pr1
)3(
1)2(
1
)1(
0)1:(Pr),0(
):(Pr),0(~
jjtt
jjtt
jjtt
ijjtti
it
it
i
iit
ittiit
tttttttttttttt
cNN
eLGLVMGMVSGSVr
ββ
ββ
ββ
ββ
β
βασ
ασε
εββββββββ
モデル:
制約:
状態推定はモンテカルロフィルター を使う.
実証結果のまとめ
• ウエイト所与のもとでのシミュレーションデータに対してはよく推定されている.
• 特にMCFでは急激な変化も捉えられた. • 現実のリターン系列に対しては必ずしも満足できる結果ではない. – 現実のファンドは常にスタイルインデックスのみのポートフォリオとしてみれるか?
ボラティリティの推定
• ヒストリカルボラティリティ
• SVやGARCHなどのモデルを使った推定
• 高頻度データを使った実現ボラティリティの推定 日次データ -> 1分データ、1秒データ、 Tick データ *より精緻にVolatilityの推定が可能
High Frequency Data of Nikkei-225 Futures
• Traded at Osaka Securites Exchange
• Very active – Daily average volume 136,802 units (2008)
• Intra-day volatility movements
• Large tick size – 10 yen (Spot index : 0.01 yen)
Apr-16-2007
*Futures data are presented by Osaka Securities Exchange.
High Frequency Data
60 sec.
Spot index (black) and Futures (red) Apr-16-2007
Historical Integrated Volatility for Nikei225 Futures
X:LOGをとった株価
X: log transformed stock price
(1s)
(5s)
(10s)
(30s)
∑=
−−=Σn
ininix xx
1
2/)1(/ )(ˆ
Integrated Volatility
Interval
従来のフレームワーク
iii
iii
vxyexx
+=+= −1
Discrete model:
(状態:本源的な資産価格、 ただし、状態そのものを推定 するのではない)
高頻度データに対する より一般的な枠組み
),,(
)10()(
1
0
2/10
iiii tttt
t
sxt
vyxgy
tdBsxx
−=
≤≤Σ+= ∫
観測値yからxのボラティリティを推定する。
SIML (Separating Information Maximum Likelihood) Estimator
(Proposed by Kunitomo and Sato (2008))
Pn: rotation matrix
For small k,
( )[ ] 0sin4 1212
22
, ≅= +−
nk
kn na π
vx
nlnlnm zzzzzz
Σ↓
+−+−
Σ↓
ˆ
21
ˆ
21 ,,,,,,,,
SIMLの特徴
• 実務的な方法である。 – 計算が簡単であり、他の方法のようにデータごとに定めるパラメータなどがない。
– やや効率性は落ちるが、非常にロバストである。
• 漸近的な性質が比較的簡単である。
• 共分散も推定できるので、たとえば、重回帰モデルの推定なども可能である。
高頻度データに対する 新しい観測モデル
iiii tttt
t
sxt
vyxgy
tdBsxx
+−=∆
≤≤Σ+=
−
∫)(
)10()(
1
0
2/10
観測値yからxのボラティリティを推定する。
まとめ
• 高頻度データの観測モデルを非線形に拡張した。
• さまざまな非線形変換が考えられる。
• 従来の加法ノイズモデルにおける実現分散の推定法も、ほぼ、有効である。
• 多変量のケースでの実現相関の推定も可能(SIML)
ファイナンス分野での統計科学
• 統計モデル(時系列モデル)のファイナンスデータへの適用
• ファイナンスモデルへの統計手法の適用
• 状態空間モデルは両方をつなぐ接点となりうる。 – 新しいフィルタリングの応用 – 今まで推定の難しかったファイナンスモデルの推定