cfsd 2016 matematica - 3
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Curso preparatório para concurso bombeiros mg 2016
Disciplina: Matemática
Prof. Nicodemos
Material de aula em:
www.quimicaealgomais.blogspot.com.br
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Edital bombeiros 2015, pag 30
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O
A
B
ÂNGULO – é a abertura formada por dois raios divergentesque têm um extremo comum que se denomina vértice.
ELEMENTOS DE UM ÂNGULO:
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0º < < 180º
0º < < 90º
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA MEDIDA
a) ÂNGULO CONVEXO
a.1) ÂNGULO AGUDO
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= 90º
90º < < 180º
a.2) ÂNGULO RETO
a.3) ÂNGULO OBTUSO
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= 90º
+ = 180º
CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SOMA
a) ÂNGULOS COMPLEMENTARES
b) ÂNGULOS SUPLEMENTARES
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CLASSIFICAÇÃO SEGUNDO A SUA POSIÇÃO
a) ÂNGULOS ADJACENTES b) ÂNGULOS CONSECUTIVOS
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
são congruentes
Pode formar mais ângulosUn lado comum
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01. Ângulos alternos internos:m 3 = m 5; m 4 = m 6
02. Ângulos alternos externos:m 1 = m 7; m 2 = m 8
03. Ângulos conjugados internos:m 3+m 6=m 4+m 5=180°
04. Ângulos conjugados externos:m 1+m 8=m 2+m 7=180°
05. Ângulos correspondentes:m 1 = m 5; m 4 = m 8m 2 = m 6; m 3 = m 7
ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELASE UMA RETA SECANTE
1 2
34
5 6
78
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+ + = x + y
x
y
01- Ângulos que se formam por uma linha poligonal entre duas retas paralelas.
PROPRIEDADES DOS ÂNGULOS
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+ + + + = 180°
02- ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
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+ = 180°
03- ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
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O complemento da diferença entre o suplemento e ocomplemento de um ângulo “X” é igual ao dobro docomplemento do ângulo “X”. Calcule a medida do ângulo “X”.
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°
RESOLUÇÃO
Problema Nº 01
A estrutura segundo o enunciado:
Desenvolvendo se obtem:
Logo se reduz a:
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A soma das medidas dos ângulos é 80° e o complementodo primeiro ângulo é o dobro da medida do segundoângulo. Calcule a diferença das medidas desses ângulos.
Sejam os ângulos: e
+ = 80°Dado: = 80° - ( 1 )
( 90° - ) = 2 ( 2 )
Substituindo (1) em (2):
( 90° - ) = 2 ( 80° - )
90° - = 160° -2
= 10°
= 70°
- = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUÇÃO
Dado:
Diferença das medidas
Resolvendo
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A soma de seus complementos dos ângulos é 130° e adiferença de seus suplementos dos mesmos ângulos é 10°.Calcule a medida destes ângulos.
Sejam os ângulos: e
( 90° - ) ( 90° - ) = 130°+ + = 50° ( 1 )
( 180° - ) ( 180° - ) = 10°- - = 10° ( 2 )
Resolvendo: (1) e (2)
+ = 50° - = 10°
(+)
2 = 60°
= 30°
= 20°
Problema Nº 03
RESOLUÇÃO
Do enunciado:
Do enunciado:
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Se têm ângulos adjacentes AOB e BOC (AOB<BOC), se traçaa bissetriz OM dol ângulo AOC; se os ângulos BOC e BOMmedem 60° e 20° respectivamente. Calcule a medida doângulo AOB.
A B
OC
M
60°
20°X
Da figura:
= 60° - 20°
Logo:
X = 40° - 20°
= 40°
X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUÇÃO
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A diferença das medidas dos ângulos adjacentes AOB e BOCé 30°. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz doângulo AOC com o lado OB.
A
O
B
C
X
(- X)
( + X) ( - X) = 30º
2X=30º
X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUÇÃO
M
Construção do gráfico segundo o enunciado
Do enunciado:
AOB - OBC = 30°
-
Logo se substitui pelo quese observa no gráfico
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Se têm os ângulos consecutivos AOB, BOC e COD tal que amAOC = mBOD = 90°. Calcule a medida do ânguloformado pelas bissetrizes dos ângulos AOB e COD.
A
C
B
D
M
N
X
Da figura:
2 + = 90° + 2 = 90°
( + )
2 + 2 + 2 = 180° + + = 90°
X = + +
X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUÇÃOConstrução do gráfico segundo o enunciado
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Se m // n . Calcule a medida do ângulo “X”
80°
30°
X
m
n
Problema Nº 07
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2 + 2 = 80° + 30°
Pela propriedade
Propriedade do quadrilátero côncavo
+ = 55° (1)
80° = + + X (2)
Substituindo (1) em (2)
80° = 55° + X
X = 25°
80°
30°
X
m
n
RESOLUÇÃO
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Se m // n . Calcular a medida do ângulo “X”
5
4 65°
X
m
n
Problema Nº 08
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5
4 65°
X
m
n
Pela propiedad:
4 + 5 = 90°
= 10°
Ângulo exterior do triângulo
40° 65°
X = 40° + 65°
X = 105°
RESOLUÇÃO
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Se m // n . Calcule a medida do ângulo ”X”
2
x
m
n
2
Problema Nº 09
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3 + 3 = 180°
+ = 60°
Ângulos entre línhas poligonais
X = + X = 60°
RESOLUÇÃO
2
x
m
n
2
x
Ângulos conjugadosinternos
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PROBLEMA 01- Se L1 // L2 . Calcule a m x
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
x
4x
3xL1
L2
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m
n
30°
X
PROBLEMA 02- Se m // n. Calcule a m x
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
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PROBLEMA 03- Se m // n. Calcule a m
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
3
33
m
n
![Page 31: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/31.jpg)
PROBLEMA 04- Se m // n. Calcule o valor de “x”
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
40°
95°
2x
m
n
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PROBLEMA 05- Calcule m x
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
3
6
x
![Page 33: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/33.jpg)
4
4
Xm
n
PROBLEMA 06- Se m // n. Calcule m x
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°
![Page 34: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/34.jpg)
A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
PROBLEMA 07- Se. Calcule m x
88°
24°
x
m
n
![Page 35: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/35.jpg)
PROBLEMA 08- Se m // n. Calcule m x
20°
X
m
n
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
![Page 36: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/36.jpg)
PROBLEMA 09- Se m//n e - = 80°. Calcule mx
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
x
m
n
![Page 37: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/37.jpg)
PROBLEMA 10- Se m // n. Calcule m x
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
x
x
x
m
n
![Page 38: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/38.jpg)
PROBLEMA 11- Se m // n. Calcule m
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
180°-2
2m
n
![Page 39: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/39.jpg)
PROBLEMA 12- Se m // n. Calcule m x
A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°
x
80°
m
n
![Page 40: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/40.jpg)
PROBLEMA 13- Se m // n. Calcule m x
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
80°
m
n
x
![Page 41: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/41.jpg)
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS
1. 20º 8. 50º
2. 30º 9. 80º
3. 45º 10. 30º
4. 10º 11. 60º
5. 120º 12. 40º
6. 36º 13. 50º
7. 32º
![Page 42: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/42.jpg)
Importantes definições•Postulados ou Axiomas: são propriedades aceitas semdemonstração.
•P1: Numa reta bem como fora dela há infinitos pontos distintos.
•P2: Dois pontos determinam uma única reta.
•P3: Pontos colineares pertencem à mesma reta.
![Page 43: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/43.jpg)
•P4: Três pontos determinam um único plano.
•P5: Se uma reta contém dois pontos de um plano, esta reta estácontida neste plano.
Importantes definições
![Page 44: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/44.jpg)
Posições relativas entre retas•Concorrentes: quando tiverem apenas um ponto emcomum.
Perpendiculares Obliquas
•Paralelas: retas que estão no mesmo plano, porem não tempontos em comum.
Distintas Coincidentes
![Page 45: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/45.jpg)
ÂNGULOSDefinição:É a ABERTURA formada por duas semirretas quetêm a mesma origem.
•Classificação
Ângulo Reto Ângulo Raso
Ângulo Obtuso Ângulo Raso.
. .
![Page 46: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/46.jpg)
Ângulos Complementares:
Definição: Quando a soma de dois ângulos éigual a 90º
ÂNGULOS
.
90
![Page 47: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/47.jpg)
Ângulos Suplementares:
Definição: Quando a soma de dois ângulos éigual a 180º
ÂNGULOS
180
![Page 48: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/48.jpg)
Ângulos Replementares:
Definição: Quando a soma de dois ângulos éigual a 360º
ÂNGULOS
360
![Page 49: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/49.jpg)
exemplos
1.O dobro do complemento de um ângulo, aumentado de 40º é igual aterça parte do suplemento do ângulo. Determine o valor dosuplemento do ângulo.
2.O triplo do complemento de um ângulo é igual ao suplemento dodobro desse ângulo, mas 80º. Determine a medida desse ângulo.
![Page 50: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/50.jpg)
Ângulos Opostos pelo Vértice
Dizemos que os ângulos sãochamados de congruentes.
ÂNGULOS
a
c
b d
ˆ ˆ
ˆ ˆ
a c
b d
ˆ ˆˆ ˆ, , ,a b c d
![Page 51: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/51.jpg)
Duas retas Paralelas cortadas por uma transversa: Sendor//s e t uma transversal, geram os ângulos:
• Correspondentes:
• Alternos:
• Colaterais:
ÂNGULOS
:
:
Internos
Externos
r
s
t
ab
cd
ef
gh
:
:
Internos
Externos
![Page 52: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/52.jpg)
Definição: A medida do ângulo central é dada em radianopela razão entre o comprimento do arco e o raio.
Sistema circular
r
ll
R
![Page 53: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/53.jpg)
exemplos1.Na figura, tem-se dois círculos concêntricos de raios 5u.c e 3 u.c, respectivamente. Sendo s1 o comprimento doarco AB e s2 o comprimento do arco A’B’, então o valor des2 – s1, em unidade de comprimento, é aproximadamenteigual a:
01) 0,52
02) 1,05
03) 1,57
04) 3,14
05) 4,71
A
B
A’
B’
6
![Page 54: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/54.jpg)
2-Dada a figura, qual o valor de x, y e z, sabendo que as retas r, s et são paralelas
a) x= 60º, y = 40º e z = 80º
b) x= 80º, y = 40º e z = 60º
c) x= 40º, y = 60º e z = 80º
d) x= 50º, y = 60º e z = 70º
e) N.d.a
exemplos
t
r
s
w v
120º
40º
yx
z
![Page 55: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/55.jpg)
3-Na figura abaixo, são dados as retas r, s, x, y e t, tais que r//s, x//y e t é uma transversal.
A medida , do ângulo assinalado, é:
01) 60º 02) 50° 03) 40° 04) 30° 05) 20º
exemplos
t
r
s
yx
60°
50°
![Page 56: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/56.jpg)
Teorema de tales
Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais, segmentos proporcionais.
' '
' '
AB A B
BC B C
![Page 57: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/57.jpg)
1-No desenho abaixo estão representados os terrenos I, IIe III
Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que oproprietário do terreno II construirá para fechar o lado quefaz frente com a Rua das Rosas?
a) 30 c) 32 e) 34
b) 31 d) 33
exemplos
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2-Dois postes perpendiculares ao solo estão a umadistância de 4 m um do outro, e um fio bem esticado de 5m liga seus topos, como mostra a figura abaixo.Prolongando esse fio até prende–lo no solo, são utilizadosmais 4 m de fio. Determine a distância entre o ponto ondeo fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele.
exemplos
![Page 59: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/59.jpg)
Os triângulos podem ser classificados de 2 maneiras:• Quanto aos lados:
triângulos
Triângulo Equilátero Triângulo Isósceles Triângulo Escaleno
60
a
bc
a = b = c b = c
a
bc
![Page 60: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/60.jpg)
• Quanto aos ângulos:triângulos
a
c
b
.
Triângulo Retângulo
a
c
b
Triângulo Obtusângulo
2 2 2a b c
a
c
b Triângulo Acutângulo
2 2 2a b c
.
C O bsen
H a
.cos
C A c
H a
.Tg =
.
C O b
C A c
2 2 2a b c
Teorema de Pitágoras
![Page 61: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/61.jpg)
exemplos
1-
Na figura acima, os valores de x e y, em u.c, sãorespectivamente:
01) e 6 04) e 4
02) e 6 05) 8 e 4
03) e 4
L MP
N
y 4
x
.
60
4 3
8 7
4 7
8 7
4 7
![Page 62: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/62.jpg)
exemplos2-Seu Carlos precisa chegar ao terraço do prédio, pois oelevador esta quebrado e as escadas estão em reforma.Como mostra a figura um edifício que tem 15 m de alturae a distancia da escada para o prédio é de 8 m. Qual ocomprimento da escada que esta encostada na partesuperior do prédio.
![Page 63: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/63.jpg)
exemplos3-Uma escada apoiada em uma parece, num pontodistante de 4 m do solo, forma com essa parede umângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada emmetros?
01) 6 m
02) 7 m
03) 8 m
04) 9 m
05) 10 m
![Page 64: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/64.jpg)
4-Na figura abaixo, a medida do ângulo x é:a) 80º
b) 100º
c) 110º
d) 130º
e) 260º
50º
15º
35º
x
exemplos
![Page 65: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/65.jpg)
Definição: dois triângulos são semelhantes quandopossuem os ângulos congruentes, dois a dois, e os ladoscorrespondentes proporcionais.
Semelhança de triângulos
B C
A
a
c
b
B’ C’
A’
a’
c’
b’
' ' '
a b c
a b c Lados Proporcionais
Ângulos Iguais ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆA=A' B=B' C=C'
![Page 66: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/66.jpg)
exemplos1-Os triângulos ABC e CDE da figura abaixo são retângulos.Se AB=4 cm, BC=8 cm e a área do triangulo ABC é o dobroda CDE, então DE mede, em centímetros,
01)
02)
03)
04)
05)
.A
D
E C
.B
2 2
2 3
3 2
3 3
4 2
![Page 67: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/67.jpg)
2-Na figura abaixo, um garoto está em cima de um banco.Qual é a altura desse garoto que projeta uma sombra de1,2 m, sabendo que o banco de 30 cm projeta uma sombrade 40 cm ?
exemplos
![Page 68: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/68.jpg)
3-A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevadauma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobrea rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançouuma altura de 0,8 metro. A distância em metros que opaciente ainda deve caminhar para atingir o ponto maisalto da rampa é:
a) 1,16 metros.
b) 3,0 metros.
c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros.
e) 7,04 metros.
exemplos
![Page 69: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/69.jpg)
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Observe esta construção:
• Pontos A, B, B’ e B’’: colineares
• Segmentos BC, B’C’ e B”C”: perpendiculares a AB”
Consequência: triângulos retângulos ABC, AB’C’ e AB”C” semelhantes e lados
correspondentes proporcionais
Tendo como referência o ângulo :
• Lados CB, C’B’ e C”B”: catetos opostos a em cada triângulo
• Lados AB, AB’ e AB”: catetos adjacentes a em cada triângulo
• Lados AC, AC’ e AC”: hipotenusas de cada triângulo
I. Semelhança de triângulos retângulos
![Page 70: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/70.jpg)
Para qualquer triângulo retângulo
semelhante a ABC, as razões
correspondentes serão iguais às
razões obtidas anteriormente. Essas três
razões trigonométricas recebem
os nomes de cosseno, seno e tangente do
ângulo e são definidas como:
II. Relações trigonométricas: seno, cosseno, tangente
Razões entre dois lados de cada
um dos triângulos:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
![Page 71: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/71.jpg)
Construções que exibem ângulos notáveis (30º, 45º e 60º):
a) o quadrado de lados l e sua diagonal:
Os ângulos assinalados medem 45º:
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
![Page 72: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/72.jpg)
b) o triângulo equilátero de lados l e altura
O ângulo mede 60º.
Valores de seno, cosseno e tangente:
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
![Page 73: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/73.jpg)
O ângulo denominado na figura da imagem
anterior mede 30º. Valores de seno, cosseno e
tangente:
• Os valores das razões trigonométricas de ângulos
quaisquer são dados em calculadoras científicas.
• Ângulos complementares: valor do seno de um
deles é igual ao do cosseno; o valor da tangente de
um deles é o inverso do valor da tangente do outro.
• Os valores da tangente desses dois ângulos são
inversos um do outro.
III. Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
![Page 74: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/74.jpg)
IV. Relação fundamental da trigonometria
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2
Razões trigonométricas do ângulo assinalado:
![Page 75: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/75.jpg)
Triângulo retângulo em que
a hipotenusa mede 1 unidade:
Triângulo ABC:
Reescrevendo o teorema de Pitágoras:
Relação que surge dessa nova configuração do triângulo ABC:
IV. Relação fundamental da trigonometria
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
![Page 76: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/76.jpg)
Leis dos senos e cossenos
• Lei dos Senos
• Lei dos Cossenos
A
B C
bc
a
ˆ ˆ ˆ B A C
a b c
sensen sen
A
B C
bc
a
2 2 2
2 2 2
2 2 2
ˆ2 b c cos A
ˆ2 a c cos B
ˆ2 a b cos C
a b c
b a c
c a b
![Page 77: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/77.jpg)
exemplos
1-Utilizando a lei dos senos e cossenos determine o valor de x, nasfiguras abaixo:
a) c)
b)
60º
x10
16
45º
12
x30º
60º
![Page 78: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/78.jpg)
Relações métricas no triângulo retângulo
![Page 79: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/79.jpg)
Hipotenusa e catetos do triângulo retângulo
Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto.
Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto.
hipotenusa
cateto
cateto catetocateto
hipotenusa
![Page 80: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/80.jpg)
Outros segmentos do triângulo retângulo
a: é a hipotenusa.
b e c: são os catetos
h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa.
m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
a
mn
hbc
![Page 81: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/81.jpg)
B H
A
A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos
retângulos, ABH e ACH.
A
B H C
hH C
A
![Page 82: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/82.jpg)
Os triângulos ABC, ABH e ACH são
semelhantes. Veja:
h
(I)
+ = 90º
A
B H C
![Page 83: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/83.jpg)
(II)
+ + 90º = 180º
+ = 90º
Comparando (I) e (II), tem-se:
+ = + = .
Portanto, = .
(I)
+ = 90º
![Page 84: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/84.jpg)
(III)
+ + 90º = 180º
+ = 90º
Comparando (I) e (III), tem-se:
+ = + = .
Portanto, = .
(I)
+ = 90º
![Page 85: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/85.jpg)
Conclusão
Como = e = ,
os triângulos ABC,
ABH e ACH são
semelhantes pelo
caso (AA). h
A
B H C
A
B CB H H C
A A
![Page 86: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/86.jpg)
1ª relação métrica
nmh
h
m
n
h
2
h
b
m
A
H C
hc
n
A
HB
![Page 87: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/87.jpg)
2ª relação métrica
amb
b
m
a
b
2
h
b
m
A
H C
bc
A
B Ca
![Page 88: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/88.jpg)
3ª relação métrica
c
h n
hc
n
A
HB
a
b c
bc
A
B Ca
anc
a
c
c
n
2
![Page 89: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/89.jpg)
4ª relação métrica
c
h n
hc
n
A
HB
a
b c
bc
A
B Ca
cbha
a
b
c
h
![Page 90: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/90.jpg)
Teorema de Pitágoras(5ª relação métrica)
a
mn
hbc
2ª relação: b² = m . a
3ª relação: c² = n . a
Observe que a = m + n
Somando, membro a
membro, as duas
igualdades, tem-se:
anc
amb
2
2
222
22
22
22
acb
aacb
nmacb
anamcb
![Page 91: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/91.jpg)
Teorema de Pitágoras
A
B Ca
bc
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa
é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a² = b² + c²
![Page 92: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/92.jpg)
Resumo
a
mn
hb
c
Relações métricas:
1ª) h² = m . n
2ª) b² = m . a
3ª) c² = n . a
4ª) a . h = b . c
Teorema de Pitágoras
5ª) a² = b² + c²
![Page 93: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/93.jpg)
• Losango
• Paralelograma
quadriláteros• Quadrado
• Retângulo
.
. .
.
.
..
.
. A l l
. A b h
2A l
.
2
D dA
. A b h
![Page 94: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/94.jpg)
• Trapézio
quadriláteros
Trapézio Retângulo Trapézio Isósceles Trapézio Escaleno
.
2
B b hA
![Page 95: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/95.jpg)
1-Na figura abaixo, as medidas são dadas em centímetros.A área da figura, em centímetros quadrados, é:
a)
b)
c)
d)
e)
4
33 a²
2
33 a²
4
36 a²
2
36 a²
36 a²
exemplos
![Page 96: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/96.jpg)
2-Na figura, ABC é um triangulo equilátero de altura 5 u.c,M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente. Aárea do trapézio ACNM, em u.a, é:
a) e)
b)
c)
d)
4
35
5 3
2
5 3
75 3
2
75 3
4
A C
M N
B
exemplos
![Page 97: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/97.jpg)
3-O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangularABCD, em que AB=BC/2, Antonio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de suaresidência de acordo com o desenho, no qual AE=AB/5.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele:
a) Duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) Triplicasse a medida do lado do quadrado.
c) Triplicasse a área do quadrado
d) Ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%
e) Ampliasse a área do quadrado em 4%
exemplos
A B
CD
E
![Page 98: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/98.jpg)
4-A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos,são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina aforma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de1.050m3/s. O cálculo da vazão, Q em m³/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água),em m², pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com asdimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois
da reforma na canaleta?
A) 90m³/s. C) 1.050m³/s. E) 2.009m³/s.
B) 750m³/s. D) 1.512m³/s.
![Page 99: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/99.jpg)
5-Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradasbancas e pretas, segundo o padrão representado ao lado, que vai serrepetido em toda a extensão do pátio.
As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de corpreta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de
A) R$ 8,20 B) R$ 8,40 C) R$ 8,60 D) R$ 8,80 E) R$ 9,00
Exemplos
![Page 100: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/100.jpg)
circunferência• Elementos da Circunferência
• ÁreasABCD
A BO
DC
R
S. RS
O
CD
AB
CRD
CORDA
DIÂMETRO
ARCO
DB
C
A
FLECHA
CENTRO
SEGMENTO CIRCULAR
SETOR CIRCULAR
ZONA CIRCULAR
COROA CIRCULAR
![Page 101: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/101.jpg)
CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA• Comprimento da Circunferência
• Comprimento de Arco (l)
O 2. . RC
O l2. . R.
360l
![Page 102: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/102.jpg)
• Área do Círculo
• Área do Setor Circular
CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA
O2. RA
2. R .
360A
![Page 103: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/103.jpg)
• Área do Segmento Circular
• Área da Coroa Circular
CÁLCULOS COM CIRCUNFERÊNCIA
2. R . .
360 2
b hA
2 2. R . rA r
![Page 104: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/104.jpg)
exercícios1-As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximasa linha do equador e em pontos diametralmente opostosno globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito,voando em media 800 km/h, descontando as paradas deescala, chega a Cingapura em aproximadamente:
a) 16 horas c) 25 horas e) 36 horas
b) 20 horas d) 32 horas
![Page 105: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/105.jpg)
2-Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos apartir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampagrande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenasdessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, paraefetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluirque
a) A entidade I recebe mais material do que a entidade II.
b) A entidade I recebe metade de material do que a entidade III.
c) A entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.
d) As entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.
e) As três entidades recebem iguais quantidades de material.
exemplos
![Page 106: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/106.jpg)
exemplos
3-Na figura, a área hachurada mede, em unidade de área:
a)
b)
c)
d)
e)
60 16
45 4
30 4
30 16
15 4
6 u.c
4 u.c
![Page 107: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/107.jpg)
exemplos
4-A figura representa um hexágono retangular, inscritonum circulo de centro O e raio . A área da regiãoassinalada na figura é:
a)
b)
c)
d)
e)
48 32 3
64 192 3
96 32 3
128 192 3
136 32 3
A
B
C
D
E
F
.
8 2
![Page 108: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/108.jpg)
exemplos
5-Na figura ABC é um triângulo equilátero de lado igual a2. MN, NP e PM são arcos de circunferência com centrosnos vértices A, B e C, respectivamente, e de raios todosiguais a 1. A área da região sombreada é:
a) d)
b) e)
c)
33
4
32
2 32
4 3 2
8 3 3
A
BC
M N
P
![Page 109: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/109.jpg)
exercícios
6-Quatro círculos de raio unitário cujos centros sãovértices de um quadrado, são tangentes exteriormentedois a dois. A área da parte sombreada é:
a)
b)
c)
d)
e)
2 3
3 2
2
4
5
![Page 110: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/110.jpg)
CIRCUNFERÊNCIA- É um lugar geométrico de umconjunto de infinitos pontos que equidistam deum ponto situado no centro.
![Page 111: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/111.jpg)
ELEMENTOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
A B
Retatangente
Reta
secante
Seguimento
de reta
Diâmetro
AB( )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Raio
Arco BQ
Corda PQ
![Page 112: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/112.jpg)
PROPRIEDADES BÁSICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
01- Raio traçado ao ponto de tangência é
perpendicular à reta tangente.
LR
![Page 113: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/113.jpg)
02- Raio ou diâmetro perpendicular a uma corda
bissetriz (divide em dois seguimentos congruentes).
P
Q
MQ PM PQ R
![Page 114: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/114.jpg)
03- Cordas paralelas determinam arcos congruentes
entre as paralelas.
A B
C D
mBDmAC CD // AB :Si
![Page 115: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/115.jpg)
04- A cordas congruentes em uma mesma circunferêncialhes correspondem arcos congruentes.
A
B
C
D
Cordas congruentesArcos congruentes
As cordas
equidistam do
centro
mCD mAB CD AB:Si
![Page 116: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/116.jpg)
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
01- CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS - Têm o mesmo centro.
r
d = Zero; d: distancia
![Page 117: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/117.jpg)
Distância entreos centros (d)
02- CIRCUNFERÊNCIAS EXTERIORES - Não tem ponto em comum.
d > R + r
R r
![Page 118: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/118.jpg)
d = R + r
03- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERIORES - Têm Um
ponto comum que é a de tangência.
R r
Ponto de tangência
Distância entreos centros (d)
![Page 119: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/119.jpg)
d
d = R - r
04- CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERIORES - Têm um
ponto en comum que é a de tangência.
d: Distância entre os centros
R
r
Ponto de
tangência
![Page 120: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/120.jpg)
05- CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES - Têm dois pontos comunsque são as intersecções.
( R – r ) < d < ( R + r )
Distância entreos centros (d)
![Page 121: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/121.jpg)
06- CIRCUNFERÊNCIAS ORTOGONAIS - Os raios são
perpendiculares no ponto de intersecção.
d2 = R2 + r2
Distância entreos centros (d)
![Page 122: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/122.jpg)
06- CIRCUNFERÊNCIAS INTERIORES - Não têm pontos comuns.
d
d < R - r d: Distância entre os centros
![Page 123: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/123.jpg)
1 - Desde um ponto exterior a uma circunferência se pode
traçar dois raios tangentes que determinam dois
seguimentos congruentes.
PROPRIEDADES DAS TANGENTES
AP = PB
A
B
P
R
R
![Page 124: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/124.jpg)
2 - TANGENTES COMUNS EXTERIORES - São congruentes
AB = CD
A
B
C
D
R
R
r
r
![Page 125: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/125.jpg)
3 - TANGENTES COMUNS INTERIORES - São congruentes.
AB = CD
A
B
C
DR
R
r
r
![Page 126: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/126.jpg)
TEOREMA DE PONCELET - Em todo triângulo retângulo, a soma dascomprimentos dos catetos é igual ao comprimento da hipotenusa mais odobro do raio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
raio
Circunraio
![Page 127: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/127.jpg)
TEOREMA DE PITOT - Em todo quadrilátero circunscrito a umacircunferência, sabe-se que a soma do comprimento dos lados opostos sãoiguais.
a + c = b + d
d
a
b
c
Quadrilátero circunscrito
![Page 128: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/128.jpg)
![Page 129: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/129.jpg)
1 - MEDIDA DO ÂNGULO CENTRAL - É igual à medida
do arco que se opõe.
A
B
C
r
r
= mAB
![Page 130: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/130.jpg)
A
C
B
D
2 - MEDIDA DO ÂNGULO INTERIOR - É igual à
semisoma das medidas dos arcos opostos
2
mCDmAB
![Page 131: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/131.jpg)
A
B
C
3 - MEDIDA DO ÂNGULO INSCRITO - É a metade da medida do
arco oposto.
2
mAB
![Page 132: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/132.jpg)
4 - MEDIDA DO ÂNGULO SEMI-INSRITO - É igual à medida do
arco oposto.
A
B
C
2
mAB
![Page 133: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/133.jpg)
A
BC
2
mABC
1 - MEDIDA DO ÂNGULO EX-INSCRITO - É igual à metade da
medida do arco ABC.
![Page 134: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/134.jpg)
A
B
C O
6 - ÂNGULOS EXTERIORES - São três casos:
a - Medida do ângulo formado por duas retas tangentes - É
igual à semidiferença das medidas dos arcos opostos.
+ mAB = 180°
2
mAB - mACB
![Page 135: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/135.jpg)
A
B
C
O
D
b - Ângulo formado por duas retas secantes - É igual à
semidiferença da medida dos arcos opostos.
2
mCD-mAB
![Page 136: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/136.jpg)
A
B
C
O
c - Medida do ângulo formado por uma reta tangente e outra
secante - É igual à semidiferença das medidas dos arcos
opostos.
2
mBC - mAB
![Page 137: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/137.jpg)
![Page 138: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/138.jpg)
50°70º+x
XR
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°
Pelo ângulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUÇÃO
P
xº702
x2º140PQSm
Substituindo:
No triângulo PQS:
Resolvendo a equação:
PSQ = xSe traça a corda SQ
2
mQRSPQSm
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam atangente PQ e a secante PRS, se o arco RS mede 140º e oângulo QPS mede 50º. Calcule a medida do ângulo PSQ.
![Page 139: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/139.jpg)
20°
70°
X
X = 40°R
Q
No triângulo retângulo RHS
140° É propriedade, que:
140° + X = 180°
Pelo ângulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUÇÃO
P
S
m S = 70º
Resolvendo:
PSQ = x
2
mQRº70 mQR = 140°
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam astangentes PQ e PR, logo no maior arco QR se localiza umponto “S”, se traça RH perpendicular à corda QS, se mHRS =20º; calcule mQPR.
![Page 140: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/140.jpg)
x130°
A
C
B
DX = 40°
2
50 130X
50°
Problema Nº 03
RESOLUÇÃO
PResolvendo:
APD = xMedida do ângulo interior
Medida do ângulo exterior
902
mBC130mBC = 50°
De um ponto “P” exterior a uma circunferência se traçam assecantes PBA e PCD tal que as cordas AC e BD sejamperpendiculares entre si; calcule a medida do ângulo APD, seo arco AD mede 130º.
![Page 141: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/141.jpg)
x
X = 18°
2
X 54X
M
N
54°
xx
Problema Nº 04
RESOLUÇÃO
PAB
APN = xSe traçaa o raio OM:
o
Dado: OM(raio) = PM
Logo triângulo PMO é isósceles
Ângulo central igual ao arco
Medida do ângulo exterior
Resolvendo:
Em uma circunferência, o diâmetro AB se prolonga até umponto “P”, desde o qual se traça um raio secante PMN tal queo comprimento de PM seja igual ao raio, se o arco AN mede54º. Calcule a mAPN.
![Page 142: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/142.jpg)
x
70°
Medida do ângulo inscrito:
X = 55°
2
110X
A
B
C
PQ
R
110°
Problema Nº 05
RESOLUÇÃO
PRQ = x
Pela propriedade do ângulo exterior formado por duas tangentes:
Resolvendo:
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°
Em um triângulo ABC se inscreve uma circunferência tangenteaos lados AB, BC e AC nos pontos “P”, “Q” e “R”respectivamente, se o ângulo ABC mede 70º. Calcule mPRQ.
![Page 143: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/143.jpg)
Calcule a medida do ângulo “X”.
Problema Nº 06
70°
B
A
X P
Resolução
![Page 144: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/144.jpg)
RESOLUÇÃO
Pela propriedade do ângulo exterior formado por duas tangentes:
Medida dol ângulo inscrito:
70°
B
A
X P
C140º
140º + x = 180º Resolvendo: X = 40º
2
mABº70 mAB=140º
![Page 145: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/145.jpg)
Calcular a medida do ângulo “x”
Problema Nº 07
B
A
X P130º
Resolução
![Page 146: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/146.jpg)
RESOLUÇÃO
B
A
X P130º C
Medida do ângulo inscrito:
Na circunferência:
260º
Pela propriedade do ângulo exterior formado por duas tangentes:
X = 80º
2
mABº130 mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º
![Page 147: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/147.jpg)
Calcule o perímetro do triângulo ABC.
Problema Nº 08
2
5 5
A
B
C
Resolução
![Page 148: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/148.jpg)
Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
Logo o perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
(2p) = 24
RESOLUÇÃO
2
5 5A
B
C
a b
a + b = 14 (1)
(2)
Substituindo (1) em (2) (2p) = 14 + 10
![Page 149: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/149.jpg)
X
ABORDAGEM
Q
R
S
80º Pa
a
Problema Nº 09
De um ponto “P” exterior a uma circunferência setraçam a tangente PQ e a secante PRS de modo que osarcos SQ e SR sejam congruentes. Se o arco QR mede80º, calcular mQPR .
Resolução
![Page 150: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/150.jpg)
2a + 80º = 360ºa = 140º
Medida do ângulo exterior:
Xa
80
2
140 80
2
º º ºX = 30º
Na circunferência:
RESOLUÇÃO
X
Q
R
S
80º Pa
a
![Page 151: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/151.jpg)
P
Q
R
S
2
3
ABORDAGEM
Problema Nº 10Em um quadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traça adiagonal PR. Os raios dos triângulos PQR e PRS medem 3 cm e2 cm respectivamente. Se o perímetro do quadrilátero PQRS é22 cm. Calcule o comprimento de PR
Resolução
![Page 152: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/152.jpg)
Teorema de Poncelet:
a b
cd
PQR a + b = PR+2(3) +
a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6 cm
Dado:
a + b + c + d = 22 cm
PSR c + d = PR+2(2)
22 = 2PR + 10
RESOLUÇÃO
P
Q
R
S
2
3
![Page 153: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/153.jpg)
![Page 154: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/154.jpg)
CONCEITO:
Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer dacircunferência, a distância de C a P d(C,P) é o raio dessa
circunferência. Então:
![Page 155: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/155.jpg)
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência,
a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
![Page 156: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/156.jpg)
![Page 157: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/157.jpg)
Como exemplo, vamos determinar a equação geral dacircunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
16)3(2 22 yx
Desenvolvendo os quadrados dos binômios (x – a)² e (y – b)²,
temos:² 4 4 ² 6 9 10 0x x y y
² 4 ² 6 3 0x x y y
![Page 158: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/158.jpg)
![Page 159: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/159.jpg)
![Page 160: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/160.jpg)
Geometria Analítica:Posições relativas entre ponto e circunferência
A aula a seguir traz demonstrações e alguns exercícios resolvidos de posições que um determinado ponto pode assumir em relação a uma circunferência.
Dispomos de três possibilidades:
1ª Ponto interno em relação a circunferência.
2ª Ponto pertencente a circunferência.
3ª Ponto externo à circunferência
![Page 161: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/161.jpg)
Geometria Analítica:Posições relativas entre ponto e circunferência.
Lembre-se:
![Page 162: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/162.jpg)
Geometria Analítica:Posições relativas entre ponto e circunferência.
![Page 163: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/163.jpg)
![Page 164: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/164.jpg)
Para determinar a interseção entre uma reta e uma circunferência , vamos fazer os seguintes passos: Passo 1: Obtenha a equação reduzida de r; Passo 2: Substitua y (da equação reduzida de r) na equação de C; Passo 3: Resolva a equação do 2º grau; Passo 4: substitua X na equação de r:
![Page 165: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/165.jpg)
![Page 166: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/166.jpg)
![Page 167: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/167.jpg)
![Page 168: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/168.jpg)
Geometria Analítica:Posições relativas entre ponto e circunferência
Exercício 1: Qual a posição relativa do ponto P(3, 2) em relação à circunferência de equação
05622 xyx
Substituindo:
01818
051849
053623 22
Então o ponto P(3, 2) pertence a circunferência uma vez que a distância do centro ao ponto P é igual ao raio.
![Page 169: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/169.jpg)
Geometria Analítica:Posições relativas entre ponto e circunferência.
Exercício 2: Qual a posição relativa do ponto P(-2, -3) em relação à circunferência de equação 222 )5()4()1( yx
Substituindo:
222 )5()4()1( yx
03
0511
0)5()43()12( 222
Como a distância do centro ao ponto P em questão é menor que zero podemos concluir que o ponto é interno a circunferência.
![Page 170: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/170.jpg)
Geometria Analítica:Posições relativas entre ponto e circunferência.
Exercício 3: Qual a posição relativa do ponto P(1, 4) em relação à circunferência de equação
0214222 yxyx
Substituindo:
010
02131
021162161
021441241 22
Nesse caso a distância do ponto ao centro é maior que o raio concluímos então que o ponto é externo à circunferência
![Page 171: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/171.jpg)
Geometria Analítica:Posições relativas entre ponto e circunferência.
Resumo final: Quando temos um ponto P(m, n) e uma circunferência , de centro C(a, b) e raio r, podemos afirmar que:
0)()( 222 rbnamrdcp P
0)()( 222 rbnamrdcpP é interno a
0)()( 222 rbnamrdcp P é externo a
![Page 172: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/172.jpg)
![Page 173: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/173.jpg)
GEOMETRIA PLANA Polígonos convexos
Polígonos não-convexos
Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.
Os vértices A, B, C, D, E e F.
Os ângulos internos A, B, C, D, E e
F. é ângulo externo relativo ao
vértice A. A diagonal BD.
A
BC
D
EF
![Page 174: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/174.jpg)
Polígono regular
• Chama-se polígono regular qualquer polígono que temtodos os lados congruentes e todos os ângulos internoscongruentes.
B
A
C
D
EF
![Page 175: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/175.jpg)
Soma dos ângulos internos
• A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com nlados é dado por Si = (n – 2).180º.
Si = (n – 2).180º
A2
A3
A4
A5
AnA1
![Page 176: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/176.jpg)
TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE TALES
c² = a² + b²
![Page 177: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/177.jpg)
Apótema
Polígonos Regulares
E
F
D
C
BA
O
M
Rm
O
A B
m θR
L/2
![Page 178: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/178.jpg)
O
A B
m θR
L/2
![Page 179: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/179.jpg)
Área de polígonos
Área do quadrado
L
L A = L2
![Page 180: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/180.jpg)
Exemplo
Calcular a medida de cada lado e de cada uma das
diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2.
L
LD
A = L2 ⇒ L2 = 18 ⇒ L = 3√2
D2 = L2 + L2 ⇒ D = L√2
⇒ D = 3√2.√2
⇒ D = 6 cm
![Page 181: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/181.jpg)
Área do retângulo
Base (b)
Altura (h)
A = b . h
![Page 182: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/182.jpg)
Exemplo
Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de
área, sabendo que um de seus lados é o dobro do
outro.
2x
x
A = 18 ⇒ x.2x = 18
⇒ 2x2 = 18 ⇒ x2 = 9
⇒ x = 3
Os lados medem 3 m e 6 m.
P = 2.3 + 2.6 = 18 m
![Page 183: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/183.jpg)
Área do Paralelogramo
h
A = b . h
base (b)
![Page 184: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/184.jpg)
6
4
60º
Exemplo
Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e
formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área.
h
sen 60º =h
4⇒ h = 4. sen 60º = 4.
2
√3⇒ h = 2√3
A = b . h = 6. 2√3 ⇒ A = 12√3
![Page 185: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/185.jpg)
Área do Losango
d1
d2 A =d1 . d2
2
L
L
L
L
![Page 186: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/186.jpg)
Área do Triângulo
A =b . h
2
h
base (b)
b . c. sen α
2A = A=√p.(p-a).(p-b).(p-c)
![Page 187: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/187.jpg)
Área do Triângulo Eqüilátero
L
L
L
hh =
L√3
2
A =L2√3
4
![Page 188: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/188.jpg)
Área do Hexágono regular
L
LL
L
L
L
A =6L2√3
4
![Page 189: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/189.jpg)
CÍRCULO ou CIRCUNFERENCIA??
A = π R²
C = 2. π. R
![Page 190: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/190.jpg)
UFRGS 2012 1+1/2+1/4+1/8 = 15/8
![Page 191: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/191.jpg)
C= 2.pi.r = 2. 3,14 . 1
C=6,28 (1 volta)
Como serão 10 voltas
C= 62,8 (letra B)
![Page 192: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/192.jpg)
x
x+6
![Page 193: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/193.jpg)
![Page 194: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/194.jpg)
![Page 195: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/195.jpg)
Elementos de um poliedro
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomesespeciais.
Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.
GEOMETRIA ESPACIAL
![Page 196: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/196.jpg)
Elementos de um poliedro
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomesespeciais.
Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do
poliedro.
![Page 197: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/197.jpg)
Elementos de um poliedro
A
B C
D
E
F G
H
• Alguns elementos de um poliedro recebem nomesespeciais.
Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do
poliedro.
![Page 198: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/198.jpg)
O PRISMA e suas formas
• Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de
poliedro, mas apresentam algumas características
comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro
muito especial: o prisma.
![Page 199: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/199.jpg)
Definição
• Observe a animação.
r
O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado
prisma.
![Page 200: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/200.jpg)
Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de
faces
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
bases
(polígonos congruentes).
faces laterais
(paralelogramos).
Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas
bases do prisma.
![Page 201: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/201.jpg)
Elementos principais do prisma
O prisma tem dois tipos de
arestas
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
arestas das bases
(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).
arestas laterais
(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).
![Page 202: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/202.jpg)
Elementos principais do prisma
h
A
B C
D
EF
A’
B’ C’
D’
E’F’
A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.
![Page 203: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/203.jpg)
Classificação dos prismas
• Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que
constitui suas bases.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrado
P. triangulartriângulo
PrismaPolígonos das bases
![Page 204: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/204.jpg)
Veja alguns desses prismas
Prisma triangular Prisma Pentagonal
![Page 205: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/205.jpg)
Classificação dos prismas
Prisma triangular reto Prisma Pentagonal
oblíquo
hh
![Page 206: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/206.jpg)
Prisma regular
• Todo prisma reto cujas bases são polígonos
regulares é chamado de prisma regular.
O prisma é reto e
ABC é triângulo eqüilátero
⇒
A
B
C
Prisma triangular regular
O prisma é reto e a
Base é hexágono regular
⇒
Prisma hexagonal regular
![Page 207: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/207.jpg)
Prismas quadrangulares
• Se as bases de um paralelepípedo reto são
retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-
retângulo ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo ou
ortoedro
![Page 208: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/208.jpg)
Prismas quadrangulares
• Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo
são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou
hexaedro regular.
Cubo ou hexaedro regular
![Page 209: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/209.jpg)
Estudo do cubo
• O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um
prisma quadrangular regular, cujas faces são
quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas
faces pode ser considerada como base.
a → medida de cada uma das
arestasa
a
a
![Page 210: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/210.jpg)
a
a
a
Diagonais no cubo
• Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.
a → medida de cada uma das
arestas
d
D
d → diagonal da face
D → diagonal do cubo
![Page 211: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/211.jpg)
Diagonais no cubo
• Obtendo os valores d e D em função da medida a da
aresta.
a
a
a
d
D
a
d2 = a2 + a2
⇒ d = 2a2
⇒ d = a√2
![Page 212: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/212.jpg)
Diagonais no cubo
• Obtendo os valores d e D em função da medida a da
aresta.
a
a
a
d
Da
D2 = a2 + d2
⇒ D = a2 + 2a2
⇒ D = 3a2
⇒ D = a√3
![Page 213: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/213.jpg)
Área da superfície total do cubo
• Planificando a superfície total de um cubo de aresta
a, obtemos a figura.
a
aa
a
a
a
a
AT = 6a2
![Page 214: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/214.jpg)
Volume do cubo
a
aa
a
a
a
a
V = a³
![Page 215: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/215.jpg)
Estudo do paralelepípedo retângulo
• O paralelepípedo retângulo é um prisma
quadrangular. Suas faces são duas a duas
congruentes.
a, b e c → As dimensões do
paralelepípedo.
a
c
b
Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas
dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.
![Page 216: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/216.jpg)
b
a
Diagonal do paralelepípedo
• Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento
cujos extremos são dois vértices não-pertencentes
a uma mesma face.
d → diagonal da face inferior
D → diagonal do paralelepípedo
c
d
D
![Page 217: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/217.jpg)
b
a
Cálculo da diagonal do paralelepípedo
• Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b
e c do paralelepípedo.
c D
d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2
d
D2 = a2 + b2 + c2⇒ D = √a2 + b2 + c2
![Page 218: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/218.jpg)
Exemplo
O comprimento e a largura de um paralelepípedo
medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13.
Obter a medida de sua altura?
D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2
⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160
⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3
![Page 219: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/219.jpg)
Área da superfície total do paralelepípedo
• Planificando a superfície total de um paralelepípedo
de dimensões a, b e c obtemos a figura.
ac
b
a
b
c
ab
ab
ac
ac
bc bc
AT = 2ab + 2ac + 2bc
AT = 2(ab + ac + bc)
![Page 220: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/220.jpg)
ExemploA área da superfície total de um paralelepípedo é 248
cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5.
Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?
As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b
= 3k e c = 5k.
AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248
⇒ ab + ac + bc = 124
:(2)
⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124
⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124
⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2
![Page 221: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/221.jpg)
Volume do paralelepípedo retângulo
• Analise as duas figuras a seguir.
cubo unitário
V = 1 u3
V = 5.3.4 = 60 u3
5 u
3 u
4 u
De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é
dado por
V = a.b.c
![Page 222: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/222.jpg)
ExemplosUma das dimensões de um paralelepípedo é
aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a
terceira em 10%. O que ocorre com o volume do
paralelepípedo?
Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume
original é V = xyz.
Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.
Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.
Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.
V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V
Concluímos que o volume aumenta 40,4%.
![Page 223: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/223.jpg)
Estudo geral do prisma
• Vamos aprender a calcular áreas e volumes em
prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar
prismas retos em que
As arestas laterais são alturas;
As faces laterais são retângulos;
A
B
C
![Page 224: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/224.jpg)
Áreas no prisma
• No prisma as áreas.
Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;
Área da base (AB) – Área do polígono da base;
Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases
AT = AL + 2AB
![Page 225: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/225.jpg)
ExemploA figura a seguir mostra um prisma triangular reto,
com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a
área total desse prisma.
3
5
64
AL = 3.6 + 4.6 + 5.6
AL = 18 + 24 + 30 = 72
AB = (3.4)/2 = 6
AT = AL + 2.AB
AT = 72 + 2.6 = 84
![Page 226: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/226.jpg)
ExemploNum prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a
área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.
x
6
A = 24√3 ⇒4
6x2√3= 24√3
⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4
Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24
AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 192 m2
![Page 227: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/227.jpg)
Princípio de Cavalieri
• Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do
século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou
contribuições importantes nas áreas de óptica e
geometria.
![Page 228: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/228.jpg)
Princípio de Cavalieri
• Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo
plano , se
Todos têm a mesma altura;
Todo plano paralelo a e que corte os sólidos
determina, em todos eles, seções planas de
mesma área;
Então os sólidos têm o mesmo volume.
![Page 229: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/229.jpg)
Volume do prisma
• Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do
volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o
princípio de Cavalieri.
V = AB.h
![Page 230: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/230.jpg)
PIRÂMIDE
A pirâmide tem dois tipos de
faces
A base
(polígono ABCDEF).
Faces laterais (triângulos).
Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.
V
A
B C
D
EF
![Page 231: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/231.jpg)
Elementos principais da pirâmide
A pirâmide tem dois tipos de
arestas
arestas da base
(AB, BC, CD, DE, EF e FA).
arestas laterais
(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).
V
A
B C
D
EF
![Page 232: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/232.jpg)
Elementos principais da pirâmide
h
A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.
V
A
B C
D
EF
![Page 233: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/233.jpg)
Classificação
• Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono
que constitui sua base.
P. hexagonalhexágono
P. pentagonalpentágono
P. quadrangularquadrado
P. triangulartriângulo
PirâmidePolígono da base
![Page 234: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/234.jpg)
Veja algumas dessas pirâmides
Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal
![Page 235: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/235.jpg)
Pirâmides regulares
A base da pirâmide é um
quadrado
⇒
Pirâmide quadrangular regular
A base da pirâmide é um
hexágono regular
⇒
Pirâmide hexagonal regular
V
h
O
V
h
O
![Page 236: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/236.jpg)
V
A B
CD
Apótema da pirâmide
VM é o apótema (p) da
pirâmidep
M⇒
BM = MC
![Page 237: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/237.jpg)
Segmentos notáveis na pirâmide regular
VO = h, altura;
V
B
A
MO
ah
m
r
p
b
VA = a, aresta lateral;
AB = b, aresta da base;
![Page 238: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/238.jpg)
Segmentos notáveis na pirâmide regular
OM = m, apótema da base;
V
B
A
MO
ah
m
r
p
b
OA = r, raio da base;
VM = p, apótema pirâmide;
![Page 239: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/239.jpg)
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
p2 = h2 + m2
V
B
A
MO
h
m
p
![Page 240: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/240.jpg)
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
V
A
O
ah
r
a2 = h2 + r2
![Page 241: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/241.jpg)
A pirâmide e o teorema de Pitágoras
a2 = p2 + (b/2)2
V
B
A
M
ap
b/2
![Page 242: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/242.jpg)
Volume da pirâmide
• Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e
suas bases têm a mesma área, então o volume da
pirâmide é a terça parte do volume do prisma.
AB.hV =3
1
![Page 243: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/243.jpg)
Tronco de Pirâmide R
C
A
h
B
D
A’ B’
C’D’h’
C
A
h – h’
B
D
A’B’
C’D’R
A’ B’
C’D’h’
Tronco de
pirâmide
![Page 244: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/244.jpg)
Razão de semelhança - Comprimentos
R
C
A
h
D
R
A’ B’
C’D’h’
B
=RA’
RA
A’B’
AB=... =
h’
h= k
Razão de
semelhança
![Page 245: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/245.jpg)
Razão de semelhança - ÁreasR
C
A
h
D
R
A’ B’
C’D’h’
B
=A’B
AB
A’L
AL=
A’T
AT
![Page 246: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/246.jpg)
CONES
![Page 247: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/247.jpg)
ESFERAS
Área: A = 4πr2
Volume:
![Page 248: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/248.jpg)
g
g
eixo
90ºBase
Base
O*
O*R
h
A Fig. mostra um Cilindro
Oblíquo.
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
Cilindro
![Page 249: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/249.jpg)
Cilindro Circular Reto
O*
g gh
1) o eixo é perpendicular
aos planos das bases.
RDC
ou Cilindro de Revolução
R
BAO’*
2) g = h
![Page 250: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/250.jpg)
A B
D C
A B
D C
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
![Page 251: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/251.jpg)
A B
D C
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um
retângulo em torno de um dos seus lados.
![Page 252: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/252.jpg)
A B
D C
![Page 253: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/253.jpg)
A B
D C
![Page 254: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/254.jpg)
A B
D C
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A B
D C
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A B
D C
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A B
D C
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A B
D C
![Page 259: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/259.jpg)
A B
D C
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A B
D C
![Page 261: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/261.jpg)
A B
D C
![Page 262: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/262.jpg)
A B
D C
![Page 263: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/263.jpg)
A B
D C
![Page 264: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/264.jpg)
A B
D C
![Page 265: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/265.jpg)
A B
D C
![Page 266: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/266.jpg)
A B
D C
![Page 267: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/267.jpg)
A B
D C
![Page 268: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/268.jpg)
A B
D C
![Page 269: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/269.jpg)
A B
D C
![Page 270: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/270.jpg)
A B
D C
![Page 271: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/271.jpg)
A B
D C
![Page 272: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/272.jpg)
Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.
2R
Seção
MeridianaA
B
C
DO*
O’*h Se ABCD
é um quadrado
cilindro eqüilátero
Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R
Seção Meridiana
![Page 273: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/273.jpg)
Planificação :
Rx
h
![Page 274: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/274.jpg)
Rx
h
Planificação :
![Page 275: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/275.jpg)
Rx
h
Planificação :
![Page 276: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/276.jpg)
Rx
h
Planificação :
![Page 277: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/277.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 278: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/278.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 279: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/279.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 280: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/280.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 281: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/281.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 282: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/282.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 283: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/283.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 284: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/284.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 285: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/285.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 286: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/286.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 287: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/287.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 288: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/288.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 289: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/289.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 290: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/290.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 291: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/291.jpg)
R
h
x
Planificação :
![Page 292: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/292.jpg)
R
h
x
Planificação :Planificação :
![Page 293: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/293.jpg)
R
h
x
R
R
2R
Planificação :
![Page 294: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/294.jpg)
Áreas e Volumes
AL = 2 Rh
At = AL+ 2 Ab
V = R2. h
Área Lateral
( AL )
Área Total
( At )
Volume
( V )
Ab = R2Área Base
( Ab )
![Page 295: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/295.jpg)
UFRGS 2012
Tomando a aresta da base a e a
altura h temos o volume V:
Dobrando a aresta da base e
reduzindo a altura a metade
teremos o novo volume V1:
![Page 296: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/296.jpg)
Estudo da reta
GEOMETRIA ANALÍTICA
![Page 297: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/297.jpg)
x
y
O (0, 0)
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
eixo das
abscissas
eixo das ordenadas
Origem
Plano cartesiano
![Page 298: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/298.jpg)
P
x
y
O
4
3
P(3, 4)
Coordenadas no plano
3 é a abscissa de P;
4 é a ordenada de P;
3 e 4 são as
coordenadas de P;
P(x, y)
Em geral:
![Page 299: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/299.jpg)
Bissetrizes no plano
x
y
y = xy = –x
1ª bissetriz2ª bissetriz
![Page 300: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/300.jpg)
Equação geral da reta
• A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas
cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas
variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos
da reta, e só eles.
Retas paralelas aos eixos;
Retas não-paralelas aos
eixos;
![Page 301: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/301.jpg)
Retas paralelas aos eixos
• A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano
xOy.
x
y
O 4
2
r
s
Equação da reta r: x = 4
Equação da reta s: y = 2
![Page 302: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/302.jpg)
Retas não-paralelas aos eixos• A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy,
determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3).
x
y
O 3
1
r
2
3
P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão
alinhados
x y 1
1 2 1
3 3 1
= 0
x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y =
0
⇒ y – 2x + 3 = 0
A
BP(x, y)
![Page 303: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/303.jpg)
Exemplos
• Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação
geral 5x + y – 9 = 0.
⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0
Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas
devem satisfazer a equação.
M(2, –1) ⇒ 10 –1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0
⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0N(3, 5) ⇒ 15 + 5 – 9 = 0 ⇒ 11 ≠ 0
Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.
![Page 304: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/304.jpg)
40 m
Inclinação de uma reta
• Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura.
Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a
pista se eleve 6 m.
40 m
6 m
O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o
ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a
inclinação da rampa.
6 mInclinação = tg α = = 0,15
![Page 305: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/305.jpg)
Inclinação de uma reta
• Vamos analisar agora duas situações extremas.
Quando o carro percorre um trecho horizontal,
dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo
de inclinação é 0º. (tg 0o = 0).
α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0
![Page 306: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/306.jpg)
Inclinação de uma reta
• Vamos analisar agora duas situações extremas.
O auto não sobe uma rampa vertical.
Nesse caso, não se define a inclinação
da rampa e o ângulo de inclinação é 90º.
(tg 90º = Não é definido).
α = 90o
⇓
Inclinação não se define.
![Page 307: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/307.jpg)
Q
Inclinação de uma reta
• Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no
plano cartesiano xOy.
x
y
O
yQ
yP
xQxP
P
M
xQ – xP
yQ – yP
Inclinação = tg α
yQ– yP
xQ– xP
a = tg α =
x
ya =
r
![Page 308: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/308.jpg)
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
a = tg 30º =
x
y
O30ºM
3√3
![Page 309: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/309.jpg)
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
a = tg 45º = 1
x
y
O
45ºM
![Page 310: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/310.jpg)
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
a = tg 60º = √3
x
y
O
60ºM
![Page 311: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/311.jpg)
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
x
y
O
120º
M
a = tg 120º = – tg 60º = –√3
![Page 312: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/312.jpg)
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
a = tg 135º = – tg 45º = – 1
x
y
O
135º
M
![Page 313: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/313.jpg)
Inclinação de uma reta
• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:
a = tg 150º = – tg 30º =
x
y
O
150º
M
3–√3
![Page 314: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/314.jpg)
Exemplos
• Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de
inclinação da reta MN.
x
y
O
α
M
N
–2 1
3
5
xN – xM
yN – yMa = tg α =
1 – (–2)
5 – 3a =
3
2a =
a > 0 e α é agudo
(α < 90º)
a) M(–2, 3) e N(1, 5)
![Page 315: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/315.jpg)
Inclinação de uma reta - resumo
• O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º.
• Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula, conforme
a medida do ângulo α (α ≠ 90º).
α = 0º ⇔ a = 0.
0º < α < 90º ⇔ a > 0.
α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida.
90º < α < 180º ⇔ a < 0.
![Page 316: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/316.jpg)
Exemplos
• Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo.
x
y
O120º45º 45º
r st
ar = tg 45º = 1
as = tg 45º = 1 at = tg 120º – √3= – tg 60º =
![Page 317: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/317.jpg)
Equação reduzida da reta• Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e
um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que
passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.
• Vamos obter a equação da reta r.
x
y
O
135º
A
2
3
M(x, y)
xM – xA
yM – yA
a = tg 135º = –1.
x – 2
y – 3–1 =a =
y – 3 = –1(x – 2)
y – 3 = –1x + 2
y = –1x + 5
⇒
y = –x + 5
![Page 318: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/318.jpg)
Equação reduzida da reta – Caso Geral• Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe
pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.
x
y
O
α
P
xP
yP
M (x,
y) xM – xA
yM – yA
x – xP
y – yPa =a =
y – yP = a(x – xP)
⇒
⇒ y – yP = ax – axP⇒ y = ax + (–axP + yP)
⇒ y = ax + b Equação reduzida da reta
![Page 319: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/319.jpg)
Equação reduzida da reta
• Na equação reduzida y = ax + b, temos:
Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y.
x = 0 ⇒ y = a.0 + b ⇒ y = b
O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por
isso, coeficiente angular da reta.
O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y;
ele é chamado de coeficiente linear da reta.
![Page 320: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/320.jpg)
Exemplos
• Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy.
x
y
O
r
–2
4
y = 2x + 4
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Exemplos
• O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação
reduzida e uma equação geral para essa reta.
x
y
O
s
45º
2
y = ax + b
A reta corta o eixo y no
ponto de ordenada 2,
ponto (0, 2), logo b = 2.
α = 180º – 45º = 135º
a = tg 135º = –1.
y = – x + 2
⇒ x + y – 2 = 0
α
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Exemplos
• Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos
A(–2, 6) e B(1, –3).
xA – xB
yA – yB
–2 – 1
6 –(–3)a =
x
y= =
Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.
–3
9= ⇒ a = –3
Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação
fundamental, em seguida a equação reduzida da reta.
y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 6 = –3(x + 2)
⇒ y – 6 = –3x – 6 ⇒ y = –3x
![Page 323: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/323.jpg)
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
O que você deve saber sobre
O estudo da geometria analítica tem início na determinação dasdistâncias entre entidades geométricas (pontos, retas, curvas)colocadas sobre o plano cartesiano. A partir daí, diversas situaçõespodem surgir, como a definição de curvas complexas por meio deequações em que se relacionam os valores das coordenadas deseus pontos.
![Page 324: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/324.jpg)
Dados dois pontos quaisquer, A e B, de coordenadas (xA, yA) e (xB, yB), respectivamente, a distância entre os pontos A e B pode ser obtida pela aplicação do teorema de Pitágoras.
II. Distância de ponto a ponto
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
![Page 325: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/325.jpg)
As coordenadas xM e yM do ponto médio do segmento são, respectivamente, as médias aritméticas das coordenadasdos pontos A e B.
As coordenadas do ponto médio M do segmento são:
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
II. Distância de ponto a ponto
AB
AB
Coordenadas do ponto médio de um segmento
![Page 326: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/326.jpg)
Coordenadas do baricentro G do triângulo ABC:
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
II. Distância de ponto a ponto
Baricentro de um triângulo ABC
![Page 327: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/327.jpg)
Área do triângulo
Dado um triângulo de vértices A, B e C, localizado no plano cartesiano, sabe-se que a área do triângulo ABC é numericamenteigual à metade do módulo do determinante formado pelas coordenadas dos pontos A, B e C:
• A 1a coluna é formada pelas abscissas dos pontos A, B e C. A 2a coluna, pelos valores das ordenadas y desses pontos.• Os elementos das entradas da 3a coluna são iguais a 1.
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
II. Distância de ponto a ponto
![Page 328: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/328.jpg)
Da expressão obtida para a área de um triângulo, podemos concluir que a condição de alinhamento para que três pontos distintos, A, B e C, estejam alinhados é:
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
II. Distância de ponto a ponto
Condição de alinhamento de três pontos
![Page 329: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/329.jpg)
III. A equação da reta y = mx + n
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
![Page 330: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/330.jpg)
Coeficiente ângular (m)
Está relacionado ao ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas.
Se as escalas dos eixos x e y no gráfico são iguais, identificamos o coeficiente angular da reta com a tangente do ângulo entre a reta e o eixo horizontal:
III. A equação da reta y = mx + n
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
![Page 331: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/331.jpg)
Coeficiente linear (n)
Corresponde ao valor da ordenada do ponto em que a reta cruza
o eixo y.
Para obtê-lo, refazemos o cálculo da declividade.
Usando a expressão obtida para m e substituindo os pontos
por P e A:
III. A equação da reta y = mx + n
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
![Page 332: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/332.jpg)
Coeficiente linear da reta
Isolando y, teremos: y = mx - mxA + yA
III. A equação da reta y = mx + n
Chamando o termo constante de n = – mxA + yA,
a equação da reta, agora equação
reduzida da reta, passa a ser escrita assim:
Outro formato em que a equação da reta aparece
(chamada equação segmentária da reta):
Nela, os coeficientes a e b são o valor de x no ponto em que y = 0 e
o valor de y no ponto em que x = 0. Ou seja, a e b são os chamados
cortes nos eixos x e y, respectivamente.
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
![Page 333: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/333.jpg)
Duas retas r e s inclinadas (i.e., não verticais e não horizontais) e com coeficientes angulares mr e ms respectivamente, quando consideradas ao mesmo tempo sobre o plano cartesiano, podem ser, uma em relação à outra:
Paralelas coincidentes: as duas retas possuem os coeficientes m e n iguais e todos os pontos em comum:
Paralelas não coincidentes: os coeficientes angulares das duas retas são iguais, mas os lineares são distintos, e elas não apresentam pontos em comum:
IV. Posições relativas entre retas no plano
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
![Page 334: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/334.jpg)
Caso particular de concorrência de retas: elas são perpendiculares. Além de seus coeficientes serem diferentes, o produto entre eles é igual a 1, i.e., o coeficiente angular de uma das retas é o inverso do oposto do coeficiente angular da outra.
Concorrentes: têm coeficientes angulares diferentes. Como
consequência, as retas terão um único ponto em comum:
IV. Posições relativas entre retas no plano
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS
![Page 335: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/335.jpg)
(Unesp)Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas(-2, 1) e (1, -2), respectivamente, conforme a figura:
a) calcule a distância entre A e B.b) sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentrodo triângulo ABC são (xG, yG) = (2, 1), calcule as 3coordenadas (xC, yC) do vértice C do triângulo.
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS NO VESTIBULAR
RESPOSTA:
![Page 336: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/336.jpg)
(Uerj)No sistema de coordenadas cartesianas a seguir, está representado o triângulo ABC.
Em relação a esse triângulo:
a) demonstre que ele é retângulo;b) calcule a sua área.
2
RESPOSTA:
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS NO VESTIBULAR
![Page 337: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/337.jpg)
(UFC-CE)ABC é o triângulo, no plano cartesiano, com vértices A(0, 0), B(2, 1) e C(1, 5).Determine as coordenadas do ponto P do plano, tal que a soma dos quadradosdas distâncias de P aos vértices de ABC seja a menor possível, e calcule o valormínimo correspondente da soma.
3
RESPOSTA:
![Page 338: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/338.jpg)
RESPOSTA:
(Unifesp)A figura representa, em um sistema ortogonalde coordenadas, duas retas, r e s, simétricasem relação ao eixo Oy, uma circunferência comcentro na origem do sistema, e os pontosA = (1, 2), B, C, D, E e F correspondentes àsinterseções das retas e do eixo Ox com acircunferência.
4
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS NO VESTIBULAR
![Page 339: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/339.jpg)
(PUC-RJ)Dadas a parábola y = x2 + x + 1 e a reta y = 2x + m:a) Determine os valores de m para os quais a reta intercepta a parábola.b) Determine para qual valor de m a reta tangencia a parábola. Determine também o ponto de tangência.
5
RESPOSTA:
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS NO VESTIBULAR
![Page 340: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/340.jpg)
(IBMEC-SP)Considere, no plano cartesiano da figura, o triângulo de vértices A, B e C. Se r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ABC, então o coeficiente angular de r é igual a:
6
RESPOSTA: B
GEOMETRIA ANALÍTICA – DISTÂNCIAS NO VESTIBULAR
^
a)
b) 1.
c)
d)
e)
.3
3
.3
4
.2
3
.3
![Page 341: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/341.jpg)
![Page 342: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/342.jpg)
![Page 343: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/343.jpg)
![Page 344: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/344.jpg)
UFRGS 2012
![Page 345: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/345.jpg)
(0-2)²+(0-3)²=10 ????
![Page 346: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/346.jpg)
Exemplo 1: Construa o gráfico da função f:
dado por f(x) = 2x + 1 e determine o conjunto imagem.
Análise de Gráficos
1º) Iremos montar uma tabela atribuindo os pontospara o plano cartesiano:
x f (x) = 2.x + 1 (x ; y)
-2 2. (-2) + 1 = -3 (-2 ; -3)
-1 2. (-1) + 1 = -1 (-1 ; -1)
0 2. (0) + 1 = 1 (0 ; 1)
1 2. (1) + 1 = 3 (1 ; 3)
2 2. (2) + 1 = 5 (2 ; 5)
Como o domínio são
todos os reais, podemos
escolher qualquer valor
para “x”
![Page 347: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/347.jpg)
Análise de Gráficos
x f (x) = 2.x + 1 (x ; y)
-2 2. (-2) + 1 = -3 (-2 ; -3)
-1 2. (-1) + 1 = -1 (-1 ; -1)
0 2. (0) + 1 = 1 (0 ; 1)
1 2. (1) + 1 = 3 (1 ; 3)
2 2. (2) + 1 = 5 (2 ; 5)
Domínio: R
Contradomínio: R
Imagem: R
f (x) = 2x + 1
y
x
![Page 348: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/348.jpg)
Análise de Gráficos
Exemplo 2: O gráfico abaixo representa uma função. Determine o que se pede.
y
x-2 0 1 2 3
1
3f (-2) =
f (0) =
f (2) =
Domínio:
Imagem:
3
3
1
[-2 ; 3]
[1 ; 3]
![Page 349: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/349.jpg)
Análise de GráficosExemplo 3: Determine entre os gráficos abaixo quaisdeles representam uma função.
y
x
y
x
y
x
Não é
função
É funçãoÉ função
É funçãoÉ funçãoNão é
função
![Page 350: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/350.jpg)
y
x
y
x
FUNÇÃO DO 1º GRAU
CRESCENTE E DECRESCENTE – GRÁFICO
FUNÇÃO CRESCENTE: a > 0 FUNÇÃO DECRESCENTE: a < 0
![Page 351: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/351.jpg)
FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO
ponto cponto c
Reta decrescente
b < 0Reta crescente
b > 0
EXEMPLOS:
![Page 352: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/352.jpg)
• EXEMPLO: (UFRGS – 2011) O gráfico do polinômio decoeficientes reais p(x) = ax2 + bx + c está representado abaixo.
FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO
Com base nos dados desse gráfico,
é correto afirmar que os coeficientes
a, b e c satisfazem as desigualdades
a) a > 0; b < 0; c < 0.
b) a > 0; b < 0; c > 0.
c) a > 0; b > 0; c > 0.
d) a > 0; b > 0; c < 0.
e) a < 0; b < 0; c < 0.
![Page 353: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/353.jpg)
y = x2
y = ( x + 1)2
y = ( x – 3)2
Translação Horizontal
![Page 354: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/354.jpg)
y = x2
y = x2 + 2
y = x2 - 1
Translação Vertical
![Page 355: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/355.jpg)
y = x2
y = (x + 1)2– 3 y = (x – 2)
2+ 1
Translação Horizontal + Vertical
![Page 356: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/356.jpg)
y = x2
y = – x2
![Page 357: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/357.jpg)
y = x2– 4
y = – x2
+ 4
![Page 358: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/358.jpg)
y = x
y = | x |
Módulo de uma Função
![Page 359: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/359.jpg)
y = x2– 4y = | x
2– 4 |
![Page 360: CfSd 2016 matematica - 3](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042520/58a97e741a28ab0a0a8b646f/html5/thumbnails/360.jpg)
y = (x + 2)2– 3 y = | (x + 2)
2– 3 |