chap.3 : dynamique · dynamique des solides 2015-2016 chapitre 3 iset de sousse 23 le principe...
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Dynamique des Solides 2015-2016 Chapitre 3
ISET De Sousse
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Chap.3 : DYNAMIQUE
L’objectif de ce chapitre est l’étude des forces et de leurs effets sur le mouvement des
systèmes matériels. On va décrire les torseurs de forces extérieures et énoncer le principe
liant ces actions à l'évolution des paramètres.
I. TORSEUR DYNAMIQUE : ...................................................................................................... 19
1. Définitions : ............................................................................................................................ 19
2. Expression du torseur dynamique d’un système : .................................................................. 19
3. Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique : ............................................. 19
4. Changement de point d’un moment d’un torseur dynamique : .............................................. 20
5. Application : Disque roulant sur un plan incliné : ................................................................. 21
II. Exercices : .............................................................................................................................. 21
III. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE : ...................................................... 22
1. Enoncé : .................................................................................................................................. 22
2. Théorèmes généraux de la dynamique : ................................................................................. 23
2.1. Théorème de la résultante dynamique : .............................................................................. 23
2.2. Théorème du moment dynamique : .................................................................................... 23
2.3. Suite de l’application précédente : ..................................................................................... 23
IV. Exercices : .............................................................................................................................. 25
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I. TORSEUR DYNAMIQUE :
1. Définitions :
Le torseur dynamique de l’ensemble matériel (E) de centre d’inertie (G) en mouvement par rapport
au repère R, en un point A quelconque est le torseur suivant :
EP
EP
A
ARE
dmRPAP
dmRP
D
La résultante dynamique « quantité d'accélération » : dmRPEP
Le moment dynamique au point A : dmRPAPREEP
A
Remarque :
L’accélération dépend du repère de référence choisi et donc le torseur dynamique dépend
également du repère de référence choisi.
2. Expression du torseur dynamique d’un système :
On sait que : dmRPVRGVmEP
Dérivons les deux membres : dmRPVdtdRGV
dtdm
EP RR
On obtient finalement dmRPRGmEP
Le torseur dynamique s’écrit donc
RE
RGm
AA
ARE
D
3. Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique :
On a : dmRPVAPREEP
A
Calculons la dérivée par rapport au temps dans (R) du moment cinétique au point A :
dmRPVAPdtdRE
dtd
EP RRA
RRR
RPVdt
dAPRPVAP
dt
dRPVAP
dt
d
Or R
APdtd =
R
OPdtd
R
OAdtd = RPV RAV
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Alors RPAPRAVRAVRPVRPVAPdtd
R
RPAPRAVRPV
D’où dmRPAPdmRPVRAVREdtd
RPRA
dmRPAPdmRPVRAVREdtd
RPRA
dmRPAPRGVmRAVREdtd
RPRA
RGVRAVmREdtdRE
RAA
Attention à ne pas confondre cette relation avec celle du Changement de point d’un moment d’un torseur
dynamique.
Cas particulier :
On peut écrire R
AA REdt
dRE
Lorsque :
- A est un point fixe
- G est un point fixe
- A confondu avec G
4. Changement de point d’un moment d’un torseur dynamique :
dmRPAPBAdmRPBPREB
dmRPAPdmRPBA
dmRPAPdmRPBA
Donc le torseur dynamique obéit aux mêmes règles que les autres torseurs :
Alors quelques soient les points A et B on a : RGmBARERE AB
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5. Application : Disque roulant sur un plan incliné :
x
x ( 0R )
1x
G
(S)
I x
y
1ère méthode :
On sait que zmRRPG 2
21 , déjà déterminer au paravent
Appliquons RGVmIGRSRS GI
IGRSRIVRGV et puisque 0RIV et yRxRzIGRS
RGVmIG = zRyRxR 2
zmRRSI 2
21 + zR 2 = zmR 2
23
Appliquons maintenant RGVRIVmRSdtdRS
RII et puisque 0RSVI alors
R
II RSdtdRS D’où RSI = zmR 2
23
2ème méthode :
R
GG RSdtdRS = zmR 2
21
RGmIGRSRS GI
zmR 2
21 + ymRxR = zmR 2
23
Finalement RSI = zmR 2
23
II. Exercices :
Exercice 1 :
Une wagonnette en accélération. Il est mis à sont
poids gmP , à une traction T et aux actions des rails : A
et B supposées verticales (voir figure ci-contre).
On demande de :
1. Calculer RWG ?
2. Calculer RWA ?
W G T
gm
A B A B
Déterminer le moment dynamique au point I (point de contact)
du cylindre plein ( S ) de rayon R dans sont mouvement par
rapport au repère 0R .
On sait que le moment d’inertie du cylindre par rapport à l’axe
zG, est 2
21 RmI RSGZ
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Exercice 2 :
Une pièce coudée (1) est en liaison pivot par rapport
au bâti (0), et une tige (2) est en liaison glissière avec
(1) comme l’indique la figure ci-contre. Le mécanisme
est plan. Les paramètres du mouvement ux, et
uOG 2 .
On demande de :
1. Calculer RG 22 ?
2. Calculer RG 22 ?
3. Donner l’équation de RG 22 ?
4. Calculer RO 2 ?
1R
R
Exercice 3 :
Soit un système composé des deux solides (1) et (2) de masse
respective 1m et 2m .
On demande de calculer :
1. Les éléments de réductions des torseurs cinétiques de
(1) et (2) par rapport à 0R ?
2. Les éléments de réductions des torseurs dynamiques
de (1) et (2) par rapport à 0R ?
0R 1R
III. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE :
1. Enoncé :
u B
A
G2
x
y v
1
2
O
0y
1x
0x
1y
u
(1)
(2)
O
A
B
G
Il existe au moins un repère R galiléen (lié à la terre), et au moins
une chronologie, tels que pour tout sous-ensemble matériel (e) d’un
ensemble matériel (E), le torseur dynamique de (e) dans son
mouvement par rapport au repère R soit égale au torseur des actions
mécaniques extérieures à (e).
e
e
E
R
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Le principe fondamental de la dynamique : DFP .. eextFReD
pour Ee
2. Théorèmes généraux de la dynamique :
En exprimant que les deux torseurs intervenant dans le principe fondamental ont une même
résultante générale et un même moment résultant en tout point, on obtient deux théorèmes appelés
théorèmes généraux de la dynamique.
Soient (m) la masse et G le centre d’inertie du sous-ensemble matériel (e) de l’ensemble matériel
(E) en mouvement par rapport au repère R. Si, en un point quelconque A on a :
Re
RGm
AA
ARe
D
et
eextA
eext
A
A FM
FR
eext
2.1. Théorème de la résultante dynamique :
Pour tout sous-ensemble matériel (e) de l’ensemble matériel (E) en mouvement par rapport au
repère galiléen R, la résultante dynamique de (e) dans son mouvement par rapport au repère R est
égale à la résultante générale du torseur associé aux actions mécaniques extérieures à (e).
Soit : eextFRRGm
2.2. Théorème du moment dynamique :
Pour tout sous-ensemble matériel (e) de l’ensemble matériel (E) en mouvement par rapport au
repère galiléen R, le moment dynamique de (e) dans son mouvement par rapport au repère R est égale
au moment résultant du torseur associé aux actions mécaniques extérieures à (e).
Soit : ApourFMRe eextAA
2.3. Suite de l’application précédente :
Etude dynamique du disque roulant sur un plan incliné
Le torseur dynamique au centre d’inertie du disque (S) est
RS
RGm
GG
RSD
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avec RSm G = ymR RSG = zmR 2
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Les actions extérieures qui s’exercent sur le cylindre ont :
Pesanteur
0PG
P
M
yCosxSingMR
Action de contact avec le sol
0R
A
A
M
yNxTR
ARGM IGRM ARI
A zRTyRyNxT
Soit en définitive :
extFR xSingMT yCosgMN
zRTM extFG
y x
G
P N
T
En appliquant le principe fondamental de la dynamique au point G :
On obtient :
RSM
FRR
GF
G
SextF
ext
ext
Ou encore :
021
RMT
CosgMN
SingMxMT
Nous sommes en présence d’un système de trois équations à quatre inconnues ,,, xNT . Pour
le résoudre, il nous faut une équation supplémentaire que l’on va obtenir en examinant les conditions
de roulement au point de contact I entre le disque et le plan incliné.
Si on fait l’hypothèse qu’il y a roulement sans glissement du disque (D) sur le plan (P), alors la
vitesse de glissement de (D) sur (P) est nulle. Soit : )/()/( 00 RPVRDVV IIgI
Or 0)/( 0 RPVI (le plan étant fixe)
Et GIRDRDGVRDVI )/()/()/( 000 = xRxyRzxx )()(
La condition de roulement sans glissement nous fournit l’équation :
Rx =0
Soit en dérivant par rapport au temps : 0
Rx
I
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On résout alors le système :
sinMgxMT
cosMgN
02
1
MRT
0
Rx
On obtient après résolution :
sin3
2gx
R
g
sin
3
2
3
sinMgT
cosMgN
IV. Exercices :
EXERCICE 1:
Reprendre l'exercice 1 du Chapitre 6.
e) Calculer le torseur dynamique de ( S ) au point O
EXERCICE 2 :
On considère un système constitué d'une tige (T) de
masse m de longueur L et d'un disque (D) de centre C
de masse m et de rayon L/3. La tige est articulée au
point O par une liaison pivot d'axe
zO, et est liée
au disque par une liaison pivot en C d’axe
zC, . Le
disque est en contact permanent au point I avec un
solide (S) immobile.
On repère les mouvements du système par les paramètres suivants :
zyxOR ,,,
000
: Le repère de référence lié à (S),
zyxOR ,,,
111
: Un repère mobile lié à (T),
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zyxCR ,,,
222
: Un repère mobile lié au disque (D),
Tel que 10, xx 10 , yy et 21, xx
21, yy .
On supposera qu'il y a roulement sans glissement en I.
ETUDE DE LA TIGE
Soit G le centre de gravité de la tige (T).
1) Calculez la vitesse de G ?
2) Donnez la matrice d'inertie de la tige (T) au point G dans la base b1 ?
3) Calculez le torseur cinétique de la tige au point G ?
4) Calculez le torseur dynamique de la tige au point C ?
5) Calculez l'énergie cinétique de la tige (T) ?
6) Calculez l'énergie potentielle de la tige (T) ?
7) Ecrire les équations découlant du DFP .. pour la tige (T) ?
ETUDE DU DISQUE
8) Donnez la matrice d'inertie du disque (D) au point C dans la base b2 ?
9) Calculez le torseur cinétique du disque (D) au point C ?
10) Calculez l'énergie cinétique du disque (D) ?
11) Calculez l'énergie potentielle du disque (D) ?
12) Calculez le torseur dynamique du disque (D) au point C ?
13) Ecrire les équations découlant du DFP .. pour le disque (D) ?
14) Donner l'équation de roulement sans glissement de (D) sur (S) ?
EXERCICE 3 :
Le mécanisme proposé à l’étude est celui d’une Planétaire (voir le schéma cinématique du mécanisme ci-
dessous).
On considère, dans un repère 0000 ,,, zyxOR , le mouvement plan d'un disque (D), de rayon a,
astreint à se déplacer dans le plan 00 ,, yxO . Le centre C du disque décrit une circonférence de
rayon L, de centre O. On pose OC L u
La tige (T) est en liaison pivot d’axe (O, 0z ) avec le bâti (0) (entraînée par un moteur M1 non
représenté).
Le disque (D) est en liaison pivot d’axe (C, 0z ) avec la tige (T).
Repères associés :
On considère les repères orthonormés directs suivants :
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0000 ,,, zyxOR repère lié le bâti (0) ;
01 ,,, zyxCR repère lié au disque (D) ;
02 ,,, zvuOR repère lié à la tige (T).
Paramètres cinématiques et de positions :
Dans les deux parties u sera repéré par l’angle ux ,0 ,
La position de x sera repérée soit par rapport à 0x , xx ,0 , soit par rapport à u ,
xut , .
On remarque que ces paramètres sont liés par la relation .
Schéma cinématique du mécanisme :
0
y x
P u
C 0x
GT
O 0x
Hypothèses
Toutes les liaisons sont supposées parfaites.
La tige (T) est de longueur (L), de masse (mT) et de centre d’inertie (GT).
Le disque (D) est de rayon R, de masse (m D) et de centre d’inertie (C)
Les actions exercées par le moteur (M1), le moteur (M2), la tige (T) et le disque (D) sont :
Le moteur (M1) lié à (0) applique sur la tige (T) un couple : 011 zCC
La pesanteur applique sur la tige (T) le poids : 0ygmP TT
La pesanteur applique sur le disque (D) le poids : 0ygmP DD
avec ( g est l’accélération de pesanteur)
La matrice d’inertie 2RTITG
de la tige (T) par rapport à la base 0,, zvu :
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0,,00
00
000
zvuT
TT
B
BGI
La matrice d’inertie 0RDIC
du disque (D) par rapport à la base 000 ,, zyx :
000 ,,00
00
00
zyxD
D
D
C
A
A
CI
Partie I : Etude Cinématique
1. Donner les vecteurs rotations :
)0/(T , )0/(D et )/( TD .
2. Calculer la vitesse au point (C) de la tige (T) par rapport au repère 0R :
0/ RTV C .
En déduire la vitesse au point (GT) de la tige (T) par rapport au repère 0R :
0/ RTVTG .
3. Calculer l'accélération du point (C) de la tige (T) par rapport au repère 0R :
0/ RTC .
En déduire l'accélération du point (GT) de la tige (T) par rapport au repère 0R :
0/ RTTG .
4. Calculer la vitesse du point (P) du disque (D) par rapport au repère 0R :
0/ RDV P .
En déduire l'accélération du point (P) du disque (D) par rapport au repère 0R :
0/ RDP
Partie II : Etude Cinétique
1. Déterminer le moment d’inertie TB de la tige (T) par rapport à l’axe (GT, 0z ) :
En déduire son moment par rapport à l’axe (O, 0z )
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2. Déterminer le moment d’inertie DC du disque (D) par rapport à l’axe (C, 0z ) :
En déduire son moment par rapport à l’axe (O, 0z )
3. Calculer le moment cinétique au point (GT) de la tige (T) dans son mouvement par rapport à
0R : 0/ RTTG .
4. Calculer le moment cinétique au point (O) de la tige (T) dans son mouvement par rapport à
0R : 0/ RTO
5. Calculer le moment cinétique au point (C) du disque (D) dans son mouvement par rapport à
0R : 0/ RDC
6. Calculer le moment dynamique au point (GT) de la tige (T) dans son mouvement par rapport
à 0R : 0RTTG .
7. Calculer le moment dynamique au point (O) de la tige (T) dans son mouvement par rapport à
0R : 0RTO .
8. Calculer le moment dynamique au point (O) du système [tige (T) + disque (D)] dans leur
mouvements par rapport à 0R : 0)( RDTO .
Partie III : Principe Fondamentale de la Dynamique
En appliquant le principe fondamentale dynamique théorème des moments dynamiques au
point (O) à l’ensemble [(T) + (D)]. Donner l’expression de 1C en fonction des données du
problème.