chapitre 1 mécanique du point matériel€¦ · 1) déterminer l’expression de la vitesse du...

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Changement de referentiel

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Champ de force centrale

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Referentiels non galileens

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Chapitre 1

Mecanique du point materielExercices d’entraınement

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1. Cinematique du point materiel


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? Trajectoire parabolique

Enonce

Les coordonnees cartesiennes d’un point sont donnees, en fonction du temps, par : x = v0. cos(α).ty = 1

2a.t2 + v0. sin(α).tz = 0

ou α et a sont des constantes.1) Verifier que la trajectoire est une parabole.2) Donner l’expressions de la vitesse dans le repere cartesien.3) Faire de meme avec l’acceleration.


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? Trajectoire parabolique

Elements de correction

1) y = a2.v2

0 . cos(α)2x2 + tan(α).x.

2) ~v = v0. cos(α).~i + (v0. sin(α) + a.t) .~j.3) ~a = a.~j.


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? Roue de velo

Enonce

On etudie la roue d’un velo (de centre C et de rayon R = 350mm) qui se deplace sur unsol horizontal (Ox), dans le plan vertical (xOy). On etudie le mouvement par rapport aureferentiel du sol. On se place dans le repere cartesien (Oxyz). On appelle θ, l’angle dont atourne la roue.

Le centre de la roue (C) a une trajectoire rectiligne uniforme parcourue a la vitesseconstante vC = 20km/h.

On s’interesse a un point M de la circonference de la roue.1) Determiner l’expression de la vitesse du point M en fonction des vecteurs ~ex et ~eθ.2) Determiner l’expression de la vitesse du point M dans le repere cartesien.

Pour que la roue ne derape pas, il faut que la vitesse de tout point M de la roue soitnulle lorsqu’il passe au niveau du sol.3) Donner la relation qui existe dans ce cas entre vC et θ.


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? Roue de velo


1) ~v = vC .~ex + R.θ.~eθ.2) ~eθ = − sin(θ).~ex + cos(θ).~ey ⇒ ~v =

(vC −R.θ. sin(θ)

). ~ex + R.θ. cos(θ).~ey.

3) θ = −π2 ⇒ θ = −vC

R .


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? Trajectoire cycloıdale

Enonce

On se place dans le repere cartesien (Oxyz). On s’interesse a une roue de rayon R et decentre C qui roule sans glisser dans le plan (x0y) : on admet que l’abscisse du centre de laroue est liee a l’angle θ dont a tourne la roue par la relation : xC = −R.θ.

Sur cette roue se trouve le point M qui initialement coıncide avec le point O.1) Exprimer, en fonction de R et de θ, et de ses derivees, les coordonnees du point M .2) Faire de meme pour la vitesse de M .3) Faire de meme pour l’acceleration de M .


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? Trajectoire cycloıdale


1) x = R. (−θ + sin θ) et y = R. (1− cos θ).2) x = R. (−1 + cos θ) .θ et y = R. sin θ.θ.3) x = R.

(− sin θ.θ2 − (−1 + cos θ) .θ

)et y = R.

(cos θ.θ2 + sin θ.θ

).


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? Trajectoires circulaires

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Un mobile se deplace a la vitesse v = 10m.s−1 constante sur une trajectoire continue etderivable partout, formee d’un segment [AB] suivi d’un quart de cercle de R = 10m entreB et C, suivi d’un autre quart de cercle de R entre C et D (de courbure opposee au quartde cercle precedent), et enfin d’un segment [DE] parallele a [AB].1) Preciser la norme a de l’acceleration subie par le mobile :1.a) entre A et B ;1.b) entre B et C ;1.c) entre C et D ;1.d) entre D et E.


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? Trajectoires circulaires


1)1.a) Entre A et B : a = 0.1.b) Entre B et C : a = 10m.s−2.1.c) Entre C et D : a = 10m.s−2.1.d) Entre D et E : a = 0.


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? Bretelle d’autoroute

Enonce

Une automobile (qu’on assimilera a un point materiel) qui se deplace initialement a lavitesse v0 = 130km.h−1 sort de l’autoroute. La bretelle de sortie est assimilee a un arc decercle plan horizontal de rayon constant R = 50m. La norme de l’acceleration du systemene peut exceder µ.g, avec µ = 1, 0 et g = 10m.s−2.1) Questions preliminaires :1.a) Montrer que la voiture ne peut aborder le virage a la vitesse v0, au risque de quitterla route.1.b) Expliquer pourquoi il ne faut pas freiner dans le virage au risque, encore, de quitterla route.Il faut donc prevoir une zone de deceleration que l’on assimilera a un segment rectiligneplan.2) Calcul dans le cas d’un terrain sec :2.a) Quelle est la vitesse vmax maximale a laquelle la voiture peut decrire le virage ?2.b) Quelle est la longueur minimale lmin de la zone de deceleration ?3) Calcul dans le cas d’un terrain mouille :Dans cette question, v0 = 110km.h−1 et µ = 0, 30.3.a) Quelle est la vitesse vmax maximale a laquelle la voiture peut decrire le virage ?3.b) Quelle est la longueur minimale lmin de la zone de deceleration ?


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? Bretelle d’autoroute


1) Questions preliminaires :1.a) a = v2

0R = 26m.s−2 > amax = µ.g = 10m.s−2.

1.b) Si on freine : a =

√(v20

R

)2

+(

dvdt

)2>

v20

R > amax.

2) Calcul dans le cas d’un terrain sec :2.a) vmax =

√µ.g.R = 22m.s−1 = 80km/h.

2.b) lmin = v20−v2

max

2.µ.g = v20−µ.g.R2.µ.g = 40m.

3) Calcul dans le cas d’un terrain mouille :3.a) vmax =

√µ.g.R = 12m.s−1 = 44km/h.

3.b) lmin = v20−v2

max

2.µ.g = v20−µ.g.R2.µ.g = 130m.


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? Course de voitures

Enonce

Lors d’une course de voiture, 2 voitures (numerotees 1 et 2) arrivent au meme instant,de front, a l’entree d’un virage qu’elles negocient de maniere differente.

La premiere voiture prend le virage a l’exterieur : elle suit a vitesse constante v1 undemi-cercle de rayon r1 = 110m. La seconde voiture, elle, prend le virage a la corde : ellesuit a une autre vitesse constante v2 un autre demi-cercle de rayon r2 = 100m.1) Determiner puis calculer les distances d1 et d2 parcourues respectivement par les deuxautomobiles.

Du fait des frottements sur le sol, les normes des accelerations des deux voitures nepeuvent exceder µ.g, avec µ = 1, 21 et g = 9, 81m.s−2.2) Determiner les vitesses maximales des deux bolides.3) En deduire les durees ∆t1 et ∆t2 necessaires aux 2 voitures pour negocier le virage.Conclure.4) Meme question si la piste est mouillee : µ = 0, 342.


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? Course de voitures


1) d1 = π.r1 = 346m ; d2 = π.r2 = 314m.2) v1max

=√

µ.g.r1 = 34, 8m.s−1 = 125km/h ; v2max=√

µ.g.r2 = 33, 1m.s−1 = 119km/h.

3) ∆t1 = d1v1max

= π.√

r1µ.g = 9, 56s et ∆t2 = d2

v2max= π.

√r2µ.g = 9, 12s : la voiture 2 passe

en tete.4) ∆t1 = d1

v1max= π.

√r1µ.g = 18, 0s et ∆t2 = d2

v2max= π.

√r2µ.g = 17, 2s : la voiture 2 passe

en tete.


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2. Changement de referentiel


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? Etude de la chute d’une bille dans differents referen-tiels

Enonce

On s’interesse a la chute d’une bille assimilee a un point materiel de masse m en Mqu’on laisse tomber en t = 0 d’une fenetre de hauteur h par rapport au sol, le point Ocentre du repere etant a la verticale de la fenetre, au sol. Elle est lachee sans vitesse initialedans le referentiel R0 du sol qu’on supposera plan horizontal. L’acceleration de la pesanteurest ~g = −g.~uz. On negligera les forces de frottement.1) Quelle est l’equation du mouvement et la trajectoire de M dans un referentiel lie a unevoiture en translation rectiligne (initialement en O a t = 0) :1.a) la voiture etant a l’arret dans R0 ;1.b) la voiture roulant a la vitesse ~v = u.~ux uniforme dans R0 ;1.c) la voiture etant uniformement acceleree, d’acceleration ~a = a.~ux dans R0, initialementau repos a t = 0 dans R0.


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? Etude de la chute d’une bille dans differents referen-tiels


1) Trajectoire de M dans :1.a) R1 = R0 : z(t) = − g.t2

2 + h et x(t) = 0 donc la trajectoire est une droite.1.b) R2 : z(t) = − g.t2

2 + h et x(t) = u.t donc z(x) = − g.x2

2.u2 + h ⇒ la trajectoire est uneparabole.1.c) R2 : z(t) = − g.t2

2 + h et x(t) = a.t2

2 donc z(x) = − g.xa + h ⇒ la trajectoire est une

droite.


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? Cycloıdes d’un point a la circonference d’une roue develo

Enonce

On s’interesse a un velo dont le cadre (assimile a un referentiel R1) est en mouvementde translation rectiligne uniforme de vitesse ~v = v0.~ux par rapport au sol (assimile a unreferentiel R0). O est un point fixe du sol. Une des roues de ce velo (assimilee a un referentielR2) est en rotation uniforme de vecteur rotation ~Ω = −Ω.~uz dans R1. La roue, de rayon R,a pour centre O′ qui est fixe dans R1 et dans R2. On s’interesse au mouvement d’un pointM de la circonference de la roue initialement en O.1) Determiner les equations parametriques de la trajectoire de M dans R0 et la tracer endistinguant trois cas :1.a) v0 = Ω.R ;1.b) v0 < Ω.R ;1.c) v0 > Ω.R.


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? Cycloıdes d’un point a la circonference d’une roue develo


1) Equations parametriques de M dans R0 :x(t) = v0.t−R. sin(Ω.t)y(t) = R. (1− cos(Ω.t))

1.a) v0 = Ω.R : cf. figure 1. Il s’agit d’une cycloıde.1.b) v0 < Ω.R : cf. figure 2. Il s’agit d’une cycloıde raccourcie.1.c) v0 > Ω.R : cf. figure 3. Il s’agit d’une cycloıde rallongee.


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0

0.5

1

1.5

2

2 4 6 8 10 12

Fig. 1 – Trajectoire de M si v0 = Ω.R


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0

0.5

1

1.5

2

1 2 3 4

Fig. 2 – Trajectoire de M si v0 = 0, 3.Ω.R


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00.5

11.5

2

5 10 15 20 25

Fig. 3 – Trajectoire de M si v0 = 2, 0.Ω.R


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3. Dynamique du point materiel


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? Force derivant d’un potentiel a deux dimensions - n 1

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Un point materiel M astreint a se deplacer dans un plan horizontal (xOy) est soumis aune force ~F = −k. ~OM avec k > 0.1) Energie potentielle :1.a) Montrer que la force ~F derive d’une energie potentielle Ep(x, y) qu’on determinera.1.b) Calculer le travail de la force ~F lorsque le point M se deplace du point A(a, 0) aupoint O(0, 0)2) Positions d’equilibre :On se place dans le cas ou ~F est la seule action mecanique s’exercant sur M .2.a) Calculer les derivees premieres de Ep.2.b) Existe-t-il des positions d’equilibre ?2.c) Calculer les derivees secondes de Ep.2.d) S’agit-il d’equilibre(s) stable(s) ?


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1) Energie potentielle :1.a) Ep(x, y) = k.

(x2

2 + y2

2

)+ cste.

1.b) ~F derive d’un potentiel ⇒W = −∆Ep = +k.a2

2 .2) Positions d’equilibre :2.a) ∂Ep

∂x = k.x et ∂Ep

∂y = k.y.2.b) Position d’equilibre : point O(0, 0).2.c) ∂2Ep

∂x2 = k : minimum suivant (Ox) ; ∂2Ep

∂y2 = +k : minimum suivant (Oy) ; et ∂2Ep

∂x∂y = 0.2.d) La position d’equilibre est donc stable.


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Enonce

Un point materiel M astreint a se deplacer dans un plan horizontal (xOy) est soumis aune force

~F = k.

(x + yx− y

)avec k > 0.1) Travail :

Calculer les travaux de la force ~F lorsque le point M se deplace du point A(−a, 0) aupoint D(+a, 0)1.a) W1, pour un trajet le long de l’axe (Ox) ;1.b) W2, pour un trajet le long d’un rectangle ABCD ou les coordonnees dans le reperecartesien sont B(−a, b) et C(+a, b) .2) Energie potentielle :2.a) Montrer que la force ~F derive d’une energie potentielle Ep(x, y) qu’on determinera.2.b) Qu’est-ce que cela a comme consequence pour W1 et W2 ?3) Positions d’equilibre :On se place dans le cas ou ~F est la seule action mecanique s’exercant sur M .3.a) Calculer les derivees premieres de Ep.3.b) Existe-t-il des positions d’equilibre ?3.c) Calculer les derivees secondes de Ep.3.d) S’agit-il d’equilibre(s) stable(s) ?


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1) Travail :1.a) W1 = 0.1.b) W2 = 0.2) Energie potentielle :2.a) Ep(x, y) = −k.

(x2

2 + x.y − y2

2

)+ cste.

2.b) ~F derive d’un potentiel, elle est donc conservative : il est normal de trouver W2 =W1.3) Positions d’equilibre :3.a) ∂Ep

∂x = −k. (x + y) et ∂Ep

∂y = −k. (x− y).3.b) Position d’equilibre : point O(0, 0).3.c) ∂2Ep

∂x2 = −k : maximum suivant (Ox) ; ∂2Ep

∂y2 = +k : minimum suivant (Oy) ; et∂2Ep

∂x∂y = −k : selle de cheval.3.d) La position d’equilibre est donc instable.


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? Energie potentielle de Yukawa

Enonce

Un point materiel M est soumis a une force ~F qui derive d’une energie potentielle

Ep = k.

(1r− 2

r0

).e−

rr0

avec k > 0 et r0 > 0.1) Tracer l’allure de Ep(r).

On donne l’expression du gradient dans le repere spherique :

~grad (f) =

∂f∂r1r .∂f

∂θ1

r. sin θ . ∂f∂ϕ

2) Donner l’expression dans le repere spherique de la force ~F .3) Position d’equilibre :3.a) Montrer qu’il existe une position d’equilibre pour req.3.b) Calculer la derivee seconde de Ep en req.3.c) S’agit-il d’un equilibre stable ?4) Comportement de M :On suppose que M se trouve initialement en r = req, et qu’on lui communique une vitesseinitiale v0.4.a) Montrer que M ne peut pas atteindre O.4.b) Quelle est la valeur minimale de v0 (vitesse de liberation vl) pour que M echappe al’equilibre ?


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? Energie potentielle de Yukawa


1) L’allure est donnee sur la figure 4.2) ~F = k.e−

rr0 .

(1r2 + 1

r.r0− 2

r20

).~ur = (r0+2.r).(r0−r)

r2.r20

k.e−r

r0 .~ur.3) Position d’equilibre :3.a) Position d’equilibre : req = r0.3.b) ∂2Ep

∂r2 (req) = 3.ke.r3

0.

3.c) ∂2Ep

∂r2 (req) > 0 : Ep minimum en req donc la position d’equilibre est stable.4) Comportement de M :4.a) Ep →∞ si r → 0 or Em ≥ Ep car Ec ≥ 0.

4.b) v0 ≥ vl =√

2.ke.m.r0

.


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? Une balle de golf dans un lac

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Une balle de golf en M , de masse m, arrive dans un etang en O (centre du repere) avecune vitesse

~v0 = v0. cos(α).~ux − v0. sin(α).~uy

ou (Ox) est un axe horizontal et (Oy) un axe vertical oriente vars le haut.On admet que l’action de l’eau se limite a une force de frottements ~ff = −λ.~v ou λ > 0.

1) Vitesse :1.a) Exprimer la vitesse ~v de la balle de golf dans le repere cartesien.1.b) Montrer que la vitesse tend vers une valeur limite vlim que l’on exprimera.2) Trajectoire :2.a) Exprimer la position ~OM de la balle de golf dans le repere cartesien.2.b) Montrer que la trajectoire de la balle admet une asymptote dont on donnera l’equationdans le repere cartesien.


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? Une balle de golf dans un lac


1) Vitesse :1.a) vx(t) = v0. cos α.e−

λ.tm et vy(t) = −v0. sinα.e−

λ.tm − m.g

λ .(1− e−

λ.tm

).

1.b) Si t→∞, vx(t)→ 0 et vy(t)→ −m.gλ . Donc vlim = m.g

λ .2) Trajectoire :2.a) x(t) = v0.m

λ cos α.(1− e−

λ.tm

)et y(t) = −m.g

λ t + mλ

(v0. sinα− m.g

λ

).(e−

λ.tm − 1

)2.b) La trajectoire admet une asymptote x = v0.λ

m sinα.


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? Saut a ski

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On s’interesse a un skieur assimile a un point materiel (note M) qui fait un saut : ilquitte le tremplin T (qui se trouve a la verticale du centre du repere O : ~OT = h.~uy) avecune vitesse initiale ~v0 qui fait un angle α avec l’horizontale ~ux.

La resistance de l’air est negligee : la seule force qui s’exerce sur le skieur durant le sautest alors son propre poids.1) Determiner x(t) et y(t).2) Montrer que la trajectoire est parabolique : on donnera y = f(x).3) Exprimer la distance d = OS si S est le point ou le skieur touche le sol (Ox).4) A.N : v0 = 90km/h, h = 8, 0m, α = π

4 , g = 9.81m.s−2. Calculer d.


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? Saut a ski


1) x(t) = v0. cos(α).t et y(t) = − g.t2

2 + v0. sin(α).t + h.2) y(x) = − g.x2

2.v20 . cos2(α)

+ tan(α).x + h.

3) d = v0. cos(α)g .

(v0. sin(α) +

√v20 . sin2(α) + 2.g.h

).

4) d = 71m.


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? Le pendule du professeur Tournesol

Enonce

On s’interesse a un pendule OM constitue d’un fil de masse negligeable de longueur d,d’une masse ponctuelle m en M et fixe en O (centre d’un repere cylindrique d’axe (Oz)oriente vers le bas). Le pendule est dans le champ de pesanteur ~g et on appelle ~T la tensionappliquee par le fil sur M .1) Projeter le principe fondamental de la dynamique applique au point M sur les troisaxes du repere cylindrique.

On lance le pendule avec une vitesse initiale ~v0 de telle sorte qu’il decrive des cercleshorizontaux a vitesse angulaire θ constante.2) Montrer qu’il est possible que le pendule decrive effectivement des cercles horizontauxa vitesse angulaire θ constante.3) Exprimer alors ~v0 dans le repere cylindrique en fonction de g, d et α.


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? Le pendule du professeur Tournesol


1) On a : r − r.θ2 = − T

m . sin(α)r.θ + r.θ = 0z = g − T

m . cos(α)

2) z = d. cos(α) ⇒ z = 0 ⇒ z = 0, r = d. sin(α) ⇒ r = 0 ⇒ r = 0 et θ = cste ⇒ θ = 0.Les trois precedentes relations deviennent : θ2 = − T

m . sin(α)0 = 0m.g = T. cos(α)

Il est donc possible que le pendule decrive des cercles horizontaux a vitesse angulaire θconstante.3) Pour peu que ~v0 =

√g.d

cos(α) sin(α).~uθ.


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? Interaction de deux particules chargees

Enonce

On s’interesse a un probleme a une dimension (Ox). On fixe en l’origine O une particulede charge electrique e. On s’interesse au mouvement d’une autre particule de charge q, demasse m, initialement en A d’abscisse a > 0 et de vitesse initiale v0.1) Particules de charges opposees :

On suppose que q = −e.Quelle vitesse minimale (vitesse de liberation vl ) doit-on communiquer a la particule

de charge q pour qu’elle echappe a l’attraction de la particule placee en O ?2) Particules de charges de meme signe :

On suppose que q = +e et ~v0 = −v0.~ux.2.a) Montrer que cette particule ne peut pas atteindre O.2.b) Calculer la distance minimale d’approche dmin.


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? Interaction de deux particules chargees


1) Particules de charges opposees : v0 ≥ vl = e√2.π.ε0.m.a

.2) Particules de charges de meme signe :2.a) Ep →∞ si x→ 0 or Em ≥ Ep car Ec ≥ 0.2.b) x ≥ dmin = a.e2

e2+2.π.ε0.m.a.v20.


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? Lancement d’un pendule

Enonce

On s’interesse a un pendule OM constitue d’un fil de masse negligeable de longueur d,d’une masse ponctuelle m en M et fixe en O (centre d’un repere d’axe (Oz) oriente vers lehaut). Le pendule est dans le champ de pesanteur ~g. On lance le pendule avec une vitesseinitiale ~v0 orthogonale a ~uz.1) Altitude maximale :1.a) Calculer zmax, l’altitude ou le point M a une vitesse nulle, si l’on fait abstraction dufil.1.b) Dans quel domaine varie z ?1.c) Re-exprimer zmax en prenant en compte cette derniere contrainte selon la valeur dev0.2) Mouvements du pendule :2.a) Montrer que si v0 > v1 que l’on determinera, le pendule fait un tour complet autourde O, le fil restant tendu.2.b) Montrer que si v0 < v2 que l’on determinera, le pendule oscille, le fil restant tendu.2.c) Que se passe-t-il si v0 ∈ ]v2; v1[ ?


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? Lancement d’un pendule


1) Altitude maximale :1.a) zmax = −d + v2

02.g .

1.b) z ∈ [−d; +d].1.c) Si v0 < 2.

√g.d, alors zmax = −d + v2

02.g , sinon zmax = +d.

2) Mouvements du pendule :2.a) zmax = +d ⇒ v0 ≥ v1 = 2.

√g.d : le pendule fait un tour complet autour de O, le fil

restant tendu.2.b) zmax ≤ 0⇒ v0 < v2 =

√2.g.d : le pendule oscille, le fil restant tendu.

2.c) v0 ∈ ]v2; v1[⇒ zmax ∈ ]0;+d[ : mouvement circulaire suivi d’une chute libre (le fil nereste pas tendu).


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? Mouvement d’une bille sur un ballon

Enonce

On s’interesse a une bille qu’on assimile a un point materiel M de masse m et a unballon fixe dans le referentiel du sol R qu’on assimile, lui, a une sphere de rayon r, de centreO, le centre du repere d’axe (Oy) vertical oriente vers le haut.

La bille est lachee a l’instant initial avec une vitesse initiale ~v0 = v0.~ux sur le sommetS du ballon.1) Dans un premier temps, la bille reste en contact avec le ballon : elle glisse sans frottement.On repere par θ = (~ux, ~OM) la position de M sur le ballon.

Determiner la reaction ~N de la sphere sur la bille en fonction de θ, g (l’acceleration dela pesanteur), m et r.2) La bille decolle du ballon.2.a) Donner la valeur θmax de θ pour laquelle il y a decollage de la bille.2.b) A partir de quelle vitesse vmin de v0 la bille decolle-t-elle des le debut ?2.c) Si v0 = 0, determiner θmax en degres.


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? Mouvement d’une bille sur un ballon


1) La bille reste en contact : N = m.g.(3. sin θ − 2)− m.v20

r .2) La bille decolle :2.a) θmax = arcsin

(23 + v2

03.g.r

).

2.b) θmax = π2 ⇔ vmin =

√g.r.

2.c) θmax = 42.


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? L’enfant sur un toboggan

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On etudie dans le referentiel terrestre galileen le mouvement d’un enfant assimile a unpoint materiel M de masse m, qui glisse sur un toboggan, decrivant une trajectoire circulairede rayon r = 1, 5m, de centre O. On se place dans un repere (Oxyz), le vecteur ~uy etantvertical, dirige vers le haut (l’acceleration de la pesanteur est g = 9.81m.s−2). La positionde M est reperee sur le cercle par l’angle θ = (~ux, ~OM).

L’enfant passe de la position initiale θi = −15 ou il possede une vitesse nulle jusqu’ala position θf = −90 ou il quitte le toboggan. On neglige tous les frottements.1) Moment cinetique :1.a) Exprimer le moment cinetique ~σO de M en O.1.b) En deduire l’equation differentielle suivie par θ.2) Energie mecanique :2.a) Exprimer l’energie mecanique Em.2.b) Retrouver l’equation differentielle suivie par θ.2.c) En deduire l’expression de la norme v de la vitesse de M en fonction de θ.2.d) Calculer la vitesse maximale vmax atteinte par l’enfant. Application numerique.


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? L’enfant sur un toboggan


1) Moment cinetique :1.a) ~σO = −m.r2.θ.~uz.1.b) d~σO

dt = ~MO ⇒ θ + gr cos θ = 0.

2) Energie mecanique :2.a) Em = 1

2m.r2.θ2 + m.g.r. sin θ.2.b) dEm

dt = 0⇒ θ + gr cos θ = 0.

2.c) v =√

2.r.g. (sin θi − sin θ).2.d) vmax =

√2.r.g. (sin θi − sin θf ) = 4, 7m.s−1 = 17km/h.


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0

0.5

1

1.5

2

2 4 6 8 10x

Fig. 4 – Energie potentielle de Yukawa


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4. Mouvements dans un champ de force centrale


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? Caracteristiques geometriques de la trajectoire du pre-mier satellite artificiel

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Dans le referentiel geocentrique Rg qu’on supposera galileen, le premier satellite artificiel,qu’on assimilera a un point materiel, de masse m, decrivait une trajectoire elliptique autourde O, centre de la Terre, de rayon RT = 6400km. Il avait son apogee a une altitudehA = 327km et son perigee a une altitude hP = 180km.1) Determiner le demi grand axe a.2) Determiner c = FF ′

2 , la demi distance entre les deux foyers.3) Determiner le demi petit axe b.4) Determiner le parametre p.5) Determiner l’excentricite e de l’ellipse.


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? Caracteristiques geometriques de la trajectoire du pre-mier satellite artificiel


1) 2.a = 2.RT + hA + hP = 6, 65.103km.2) a− c = RT + hP ⇒ c = 73, 5km.3) a2 = b2 + c2 ⇒ b = 6, 65.103km.4) p = b2

a = 6, 65.103km.5) e = c

a = 0, 0110.


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5. Oscillateurs


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? Utilisation d’un portrait de phase

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1) Etude theorique :On s’interesse a un ressort de longueur a vide l0 et de raideur k place horizontalement.

Son extremite gauche est fixe (en O, centre du repere d’axe (Ox) oriente vers la droite)dans le referentiel du sol considere galileen, et l’extremite droite est liee a un point materielM de masse m, astreint par une tige a se deplacer sans frottement suivant l’axe (Ox), etqui subit une force de frottement fluide ~f = λ.~v, ou ~v est sa vitesse et λ > 0, une constante.1.a) Ecrire l’equation differentielle suivie par l’elongation l = x− l0, ou x est l’absisse dupoint M .1.b) Exprimer la pulsation propre ω0 de l’oscillateur en fonction de k et m.1.c) Exprimer le facteur de qualite Q de l’oscillateur en fonction de λ et m.2) Etude pratique :On donne sur la figure 5 le portrait de phase (x(t), x(t)) de l’oscillateur.Determiner par lecture graphique :2.a) la nature du regime de l’oscillateur (qu’est-ce que cela induit ?) ;2.b) la valeur initiale de la position xi = x(t = 0) ;2.c) la valeur finale de la position xf = x(tf ) ;2.d) le rapport tf

T ou T est la pseudo-periode.


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? Utilisation d’un portrait de phase


1) Etude theorique :1.a) m.l + λ.l + k.l = 0 ou l + ω0

Q .l + ω20 .l = 0.

1.b) ω0 =√

km .

1.c) Q = 1λ .√

k.m.2) Etude pratique :2.a) Regime pseudo-periodique (⇒ Q > 1

2 ) ;2.b) xi = 0 ;2.c) xf = 0 ;2.d) tf

T ≈ 2 ;2.e) δ ≈ 2.


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? Trace d’un portrait de phase

Enonce

1) Equation de l’oscillateur :On s’interesse a un ressort de longueur a vide l0 et de raideur k = 11N.m−1 place

horizontalement. Son extremite gauche est fixe (en O, centre du repere d’axe (Ox) orientevers la droite) dans le referentiel du sol considere galileen, et l’extremite droite est liee a unpoint materiel M de masse m = 130g, astreint par une tige a se deplacer sans frottementsuivant l’axe (Ox), et qui subit une force de frottement fluide ~f = λ.~v, ou ~v est sa vitesseet λ = 1, 2N.m−1.s, une constante.1.a) Ecrire l’equation differentielle suivie par l’elongation l = x− l0, ou x est l’absisse dupoint M .1.b) Exprimer la pulsation propre ω0 de l’oscillateur en fonction de k et m. Applicationnumerique.1.c) Exprimer le facteur de qualite Q de l’oscillateur en fonction de λ et m. Applicationnumerique.2) Solution de l’equation differentielle :l(t) = l0.e

− tτ .cos(ω.t + ϕ) est solution de l’equation differentielle.

2.a) Justifier le fait que la solution est pseudo-periodique.2.b) Exprimer la pulsation ω en fonction de ω0 et Q. Application numerique.2.c) En deduire la pseudo-periode T . Application numerique.2.d) Exprimer le temps τ en fonction de ω0 et Q. Application numerique.3) Portrait de phase :Les conditions initiales (x(t = 0) = 10cm et x(t = 0) = 0) imposent x0 = 11, 56cm etϕ = −0, 5256rad. Donner l’alure du portrait de phase (x(t), x(t)) de l’oscillateur.


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? Trace d’un portrait de phase


1) Equation differentielle :1.a) m.l + λ.l + k.l = 0 ou l + ω0

Q .l + ω20 .l = 0.

1.b) ω0 =√

km = 9, 2rad.s−1.

1.c) Q = 1λ .√

k.m = 1, 0.2) Solution de l’equation differentielle :2.a) La solution est pseudo-periodique car Q > 1

2 .

2.b) ω = ω0.√

1− 1(2.Q)2 = 8, 0rad.s−1.

2.c) T = 2.π

ω0.q

1− 1(2.Q)2

= 0, 79s.

2.d) τ = 2.Qω0

= 0, 22s.3) Portrait de phase :Le portrait de phase de l’oscillateur est donne sur la figure 6.


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-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06

Fig. 5 – Portrait de phase (x(t), x(t))


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-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

00.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Fig. 6 – Portrait de phase (x(t), x(t))


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6. Referentiels non galileens


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? Pendule dans un ascenseur

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Dans le referentiel terrestre R1 (suppose galileen), un ascenseur (assimile a un solideauquel on attache le referentiel R2), a un mouvement de translation rectiligne vertical.

Un pendule simple constitue d’un fil sans masse et d’un point materiel M de masse mest suspendu en O dans l’ascenseur. Sa longueur est l = OM . θ est l’angle que fait le filavec la verticale.

L’acceleration du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz.1) Determiner la periode T des petites oscillations du pendule dans les cas suivants :1.a) L’ascenseur est immobile ;1.b) L’ascenseur commence a monter : son acceleration dans R1 est ~a = +a.~uz ;1.c) L’ascenseur commence a descendre : son acceleration dans R1 est ~a = −a.~uz.


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? Pendule dans un ascenseur


1) La periode T des petites oscillations se trouve en ecrivant l’equation differentielle suiviepar θ :

θ + (g−az). sin θl = 0, soit T = 2.π.

√l

g−az.

1.a) L’ascenseur est immobile : az = 0⇒ T = 2.π.√

lg .

1.b) L’ascenseur commence a monter : az = +a⇒ T = 2.π.√

lg−a .

1.c) L’ascenseur commence a descendre : az = −a⇒ T = 2.π.√

lg+a .


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? Pendule dans une voiture

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Dans le referentiel terrestre R1 (suppose galileen), un vehicule (assimile a un solideauquel on attache le referentiel R2), a un mouvement de translation rectiligne horizontaluniformement accelere, d’acceleration ~a = a.~ux.

Un pendule simple constitue d’un fil sans masse et d’un point materiel M de masse mest suspendu en O dans le vehicule. Sa longueur est l = OM . θ est l’angle que fait le filavec la verticale (cet angle etant oriente, avec ~uz pointant vers nous, (~ux, ~uy, ~uz) etant untriedre direct).

L’acceleration du champ de pesanteur est ~g = g.~uy.1) Determiner l’equation differentielle suivie par θ.2) Determiner la position d’equilibre reperee par l’angle α que fait le fil avec la verticale.3) Quelle est la periode des petites oscillations autour de α ?

On donne sin (α± β) = sin α. cos β±cos α. sinβ et cos (α± β) = cos α. cos β∓sinα. sinβ.


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? Pendule dans une voiture


1) θ + g. sin θ−a. cos θl = 0.

2) α = arctan(

ag

).

3) T = 2.π.√

lg. cos α+a. sin α .


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? Entraınement a l’apesanteur

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Pour s’entraıner a l’impesanteur, les astronautes vont dans un avion. On supposeragrossierement que l’avion est en translation par rapport au sol, suppose galileen. Le champde pesanteur ~g = −g.~uz est homogene avec g = 9, 81m.s−2.1) Quelle doit etre la nature de la trajectoire de l’avion pour obtenir l’effet d’impesanteurpendant le vol ?

L’avion vole a une altitude limitee a h = 9000m.2) Quelle est la duree maximale T pendant laquelle on peut realiser l’impesanteur par ceprocede ?


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? Entraınement a l’apesanteur


1) Dans le referentiel de l’avion, la force d’inertie doit compenser le poids : l’avion doitavoir une acceleration ~a = ~g. Soit :

z = −gz = −g.t + v0z

z = − g.t2

2 + v0z .t

La nature de la trajectoire de l’avion est donc une parabole.2) A t = 0, l’avion est au sol. L’altitude maximale z = h de l’avion est atteinte a t = t0 =v0z

g . A t = T l’avion retourne au sol. On trouve donc :

T = 2

√2.h

g


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? Ressort vertical dans un ascenseur

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Dans le referentiel terrestre R1 (suppose galileen), un ascenseur (assimile a un solideauquel on attache le referentiel R2), a un mouvement de translation rectiligne vertical.

On suspend en un point O de l’ascenseur un ressort de raideur k, de masse negligeable etde longueur a vide l0 qui soutient un point materiel M de masse m (initialement immobiledans l’ascenseur).

L’acceleration du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz.1) Determiner l’altitude z de M au cours du temps :1.a) si l’ascenseur commence a monter : son acceleration dans R1 est ~a = +a.~uz ;1.b) si l’ascenseur commence a descendre : son acceleration dans R1 est ~a = −a.~uz.2) Que faut-il pour transformer ce dispositif en un accelerometre, meme si M n’est pas aurepos initialement ?


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? Ressort vertical dans un ascenseur


1) La periode T des petites oscillations se trouve en ecrivant l’equation differentielle suiviepar θ :

m.z = m.(g − az)− k.(z − l0), soit z = z0. cos(√

km t + ϕ

)+ l0 + m

k (g − az).

Initialement, z = 0⇒ z = 0⇒ z = l0+ mk (g) car az = 0. Or z = z0. cos (ϕ)+l0+ m

k (g) =l0 + m

k (g)⇒ z0 = 0.1.a) L’ascenseur commence a monter : az = +a⇒ z = l0 + m

k (g − a).1.b) L’ascenseur commence a descendre : az = −a⇒ z = l0 + m

k (g + a).2) Meme si M n’est pas au repos initialement, on peut, grace a des frottement fluidesretrouver les memes resultats si t→∞. Aussi, l’axe z peut etre gradue pour az.


chapitre 1 mécanique du point matériel€¦ · 1) déterminer l’expression de la vitesse du...

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