chuong 2 xu ly tin hieu so
TRANSCRIPT
Chương II
ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI Z PHÂN TÍCH HỆ XỬ LÝ SỐ2.1 Phép biến đổi Z
Phép biến đổi Z được sử dụng cho các dãy số. Biến đổi Z thuận để chuyển các
dãy số nguyên n thành hàm biến số phức z, biến đổi Z ngược để chuyển thành các hàm
biến số phức z thành dãy biến số nguyên n.
2.1.1 Biến đổi z thuận
a. Biến đổi Z hai phía
Định nghĩa: Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) là chuỗi luỹ thừa của biến số phức z:
[2.1-1]
Miền xác định của hàm X(z) là các giá trị của z để chuỗi [2.1-1] hội tụ .
Dãy x(n) được gọi là hàm gốc, còn X(z) được gọi là hàm ảnh Z.
Biến đổi Z hai phía thường được gọi vắn tắt là biến đổi Z. Chuỗi [2.1-1] là biểu thức
biến đổi Z thuận và được ký hiệu như sau :
ZT[x(n)] = X(z) [2.1-2]
Hay: [2.1-3]
( ZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh: Z- Transform)
Ví dụ 2.1: Hãy xác định biến đổi Z hai phía của dãy sau :
a. (n) b. (n-k) c. (n+k) d. x(n) = {3,2,-5,1 }
e. u(n) f. u( n-3 ) g. u( n+3) h. u(-n)
Giải: a. ZT [ (n)] = x(n).z –n = 1 [2.1-4]
Chuỗi [2.1-4] hội tụ với mọi z , nên xác định với mọi z .
b. . ZT [ (n-k)] = (n-k).z –n = z-k [2.1-5]
Chuỗi [2.1-5] hội tụ với mọi z > 0 , nên ZT [ (n-k)] xác định với mọi z >0
c. ZT [ (n+k)] = (n+k).z –n = zk [2.1-6]
Chuỗi [2.1-6] hội tụ với mọi z < nên ZT [ (n+k)] xác định với mọi z <
d. X(z) = = = 3.z1 + 2 – 5z - 1 + z - 2
Hàm X(z) xác định trong miền 0 < z <
e. ZT [ (n)] = = z –n = = [2.1-7]
45
Dãy nhân quả vô hạn u(n) có biến đổi Z bằng tại z = 1
f. ZT [u(n-3)] = = = = z -3 =
=
Ta đổi biến, đặt (n-3) = m n = (m+3) và khi n = 3 thì m = 0
Dãy nhân quả vô hạn u(n-3) có biến đổi z bằng tạin z =1 và z = 0
g. ZT [u(n+3)] = = = = z3 =
Ta biến đổi , đặt (n+3) = m n= (m-3) và khi n = -3 thì m =0
Dãy không nhân quả u(n+3) có biến đổi Z bằng tại z= 1 và z =
h.
Ta đổi biến, đặt –n = m khi n = - thì m =
Dãy phản nhân quả vô hạn u(-n) có biến đổi Z bằng tại z = 1
b. Biến đổi Z một phía
Định nghĩa: Biến đổi Z một phía của dãy x(n) là chuỗi luỹ thừa của biến số phức z :
[2.1-8]
Miền xác định của hàm X1(z) là các giá trị của z để chuỗi [2.1-8] hội tụ.
Biến đổi Z một phía được lấy theo tổng với n biến thiên từ 0 đến . Chuỗi [2.1-8] là
biểu thức của biến đổi Z một phía thuận và được ký hiệu như sau :
ZT1[x(n)] = X1(z) [2.1-9]
Hay: [2.1-10]
Ví dụ 2.2: Hãy xác định biến đổi Z một phía của các dãy của ví dụ 2.1 và so sánh kết
quả với biến đổi Z hai phía tương ứng .
a. b. c. d. x(n) = {3,2,-5,1}
e. u(n) f. u( n-3) g. u(n+3) h. u(-n)
Giải: a.
Dãy nhân quả có biến đổi Z một phía giống biến đổi Z hai phía .
b.
Dãy nhân quả có biến đổi Z một phía giống biến đổi Z hai phía
c.
46
Dãy nhân quả có biến đổi Z một phía luôn bằng 0
d.
Dãy nhân quả x(n) có biến đổi Z một phía khác biến đổi Z hai phía.
e.
Dãy nhân quả u(n) có biến đổi Z một phía giống biến đổi Z hai phía .
f.
Dãy nhân quả u(n-3) có biến đổi Z một phía giống biến đổi Z hai phía .
g.
Dãy không nhân quả u(n+3) có biến đổi Z một phía khác hai phía .
h.
Dãy phản nhân quả vô hạn u(-n) có biến đổi Z môt phía luôn bằng không.
Như vậy, các dãy nhân quả có biến đổi Z một phía và hai phía giống nhau, các
dãy không nhân quả có biến đổi Z một phía và hai phía khác nhau, các dãy phản nhân
quả có biến đổi Z một phía bằng không.
c. Miền hội tụ của biến đổi Z
Định nghĩa: Tập hợp tất cả các giá trị của biến số phức z mà tại đó các chuỗi
[2.1-1] và [2.1-8] hội tụ được gọi là miền hội tụ của biến đổi Z.
Miền hội tụ của biến đổi Z được ký hiệu là : RC[X(z)] hoặc RC
(RC là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh : Region of Convergence)
Có thể thấy ngay rằng các dãy x(n) hữu hạn có biến đổi Z là chuỗi hữu hạn nên
sẽ hội tụ trên toàn bộ mặt phẳng z, trừ hai điểm = và z = 0 và phải xét cụ thể: X(z)
= ZT [x(n)N] có RC[X(z)]: 0 < <
Xét trường hợp x(n) là dãy không nhân quả vô hạn xác định trong khoảng
, biến đổi Z hai phía của x(n) theo [2.1-1] là:
[2.1-11]
Để tìm miền hội tụ của chuỗi [2.1-11], cần sử dụng tiêu chuẩn hội tụ của
Cauchy được phát biểu như sau:
Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy: Xét chuỗi vô hạn:
47
[2.1-12]
Nếu thì chuỗi [2.1-12] hội tụ l <1, phân kỳ khi l > 1
Để sử dụng tiêu chuẩn hội tụ Cauchy xác định miền hội tụ của chuỗi [2.1-11],
phải tách X(z) thành hai chuỗi như sau:
Trong đó: [2.1-13]
Và:
Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi X2(z) sẽ hội tụ nếu thoả mãn điều kiện:
Nếu tồn tại số Rx- hữu hạn để: < [2.1-14]
Thì:
Khi đó chuỗi X2(z) sẽ hội tụ với mọi z thoả mãn điều kiện: [2.1-15]
Để tìm miền hội tụ của X1(z), đổi biến m = - n thì chuỗi [2.1-13] được đưa về dạng:
Nếu x(0) hữu hạn thì chuỗi X1(z) sẽ hội tụ nếu thoả mãn điều kiện:
Nếu tồn tại số Rx+ hữu hạn để :
Thì: trong đó :
Hay trở về biến n: [2.1-16]
Khi đó chuỗi X1(z) sẽ hội tụ với mọi z thoả mãn điều kiện: [2.1-17]
là giao các miền hội tụ của X1(z) theo [2.1-17] và X2(z) theo [2.1-15]: Nếu
Rx- < Rx+ thì :
Như vậy dãy không nhân quả vô hạn x(n) có X(z) = ZT[x(n)] với miền hội tụ
là hình vành khăn trên mặt phẳng phức, có tâm là gốc toạ độ, bán kính trong R x-, bán
48
kính ngoài Rx+ như hình 2.1a. Các bán kính hội tụ Rx- và Rx+ được xác định theo [2.1-
14] và [2.1-16] tương ứng.
Nếu Rx- không hữu hạn hoặc Rx- Rx+ thì X(z) không xác định với mọi z, nên trong
trường hợp đó dãy không nhân quả x(n) không có biến đổi Z .
Khi x(n) là dãy nhân quả thì biến đổi Z của nó có thành phần X1(z) = 0 nên X(z)
= X2(z), do đó miền hội tụ của X(z) là miền hội tụ của X2(z) theo [2.1-15], nên
, đó là miền nằm ngoài tâm gốc toạ độ, đường kính Rx- như ở hình
2.1b. Bán kính hội tụ Rx- được xác định theo [2.1-14]. Nếu Rx- = thì X(z) không xác
định với mọi z, nên trong trường hợp đó dãy nhân quả x(n) không có biến đổi Z.
Khi x(n) là dãy phản nhân quả thì biến đổi Z của nó có X2(z) = 0 nên X(z) =
X1(z), do đó miền hội tụ của X(z) là miền hội tụ của X1(z) theo [2.1-17], nên
, đó là miền nằm trong vòng tròn tâm ở gốc toạ độ đường kính Rx+
như hình vẽ 2.1c. Bán kính hội tụ Rx+ được xác định theo [2.1-16]. Nếu Rx+ = 0 thì
X(z) không xác định với mọi z, nên trong trường hợp đó dãy phản nhân quả x(n)
không có biến đổi Z
Biến đổi Z một phía có dạng giống với biến đổi Z hai phía của các dãy nhân
quả, do đó miền hội tụ của biến đổi Z môt phía là:
Đó là miền nằm ngoài là vòng tròn tâm là gốc toạ độ, đường kính Rx- như
hình 2.2b. Bán kính hội tụ Rx- được xác định theo [2.1-14].
Ví dụ 2.3: Hãy xác định X1(z) và RC[X1(z)] của các dãy x1(n) sau:
a. x1(n) = rect3(n) e. x5(n) = anu(-n)
b. x2(n) = rect3(-n) f. x6(n) = anu(n+2)
c. x3(n) = rect3(n+1) g. x7(n) = anu(-n+2)
d. x4(n) = anu(n) h. x8(n) = an
Giải : a. X1(z) =
Dãy nhân quả hữu hạn rect3(n) có ZT với
49
Im[z]
Re[z]
Rx+
x-R Rx-
Re[z]
Im[z]
x+R
Re[z]
Im[z]
a. D·y kh«ng nh©n qu¶ b. D·y nh©n qu¶ c. D·y ph¶n nh©n qu¶
Hình 2.1: Miền hội tụ của biến đổi Z
b.
Dãy phản nhân quả hữu hạn rect3(-n) có ZT với .
c.
Dãy không nhân quả hữu hạn rect3(n+1) có ZT với
d.
Vậy: [2.1-18]
Theo [2.1-14] , bán kính hội tụ Rx- = , vậy dãy nhân quả vô hạn
anu(n) có ZT với
e. Đổi biến đặt n = - m và khi n = - nhận được:
Theo [2.1-16], bán kính hội tụ , vậy dãy phản nhân quả vô
hạn anu(-n) có ZT với
f.
Theo [2.1-14] và [2.1-16], xác định được dãy không nhân quả vô hạn anu(n+2)
với n [-2, ) có ZT với RC [X6(z)]:
h.
Sử dụng kết quả của các câu d và e, dãy không nhân quả vô hạn X 8(z) = an có
ZT với , nên không có biến đổi Z.
Miền hội tụ của biến đổi Z được tổng kết ở bảng 2.1 trang 114 .
d. Hàm X(z) dạng phân thức hữu tỷ
Vì biến đổi Z là chuỗi luỹ thừa của z nên có thể biến đổi hàm X(z) về dạng phân thức
hữu tỷ:
[2.1-19]
50
Hoặc [2.1-20]
Trong đó A và các hệ số ar , bk là các hằng số thực.
Phương trình B(z) = 0 có M nghiệm là z0k và tại z = z0k thì X(z) = 0 , nên các
điểm z0k được gọi là không điểm của hàm X(z) .
Đa thức ở mẫu D(z) có hệ số a0 = 1 được gọi là đa thức đặc trưng của X(z).
Phương trình đặc trưng của D(z) = 0 có N nghiệm là zpr được gọi là cực điểm của X(z)
Ngoài ra, phụ thuộc vào quan hệ giữa
N và M, hàm X(z) còn có thể có một không
điểm hoặc cực điểm tại z = 0. Trên mặt
phẳng phức, các không điểm zok của hàm
X(z) được ký hiệu bằng dấu khuyên tròn
nhỏ “o” còn các cực điểm zpr được ký hiệu
bằng dấu gạch chéo nhỏ “x” như trên
hình2.2. Theo các điểm không zok và các
điểm cực zpr của X(z), có thể đưa phân thức
hữu tỷ [2.1-20] về dạng :
[2.1-21]
Các điểm cực zpr của hàm X(z) có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc phân tích
hệ xử lý số trong miền Z .
2.1.2 Biến đổi z ngược
Nếu biến đổi Z thuận [2.1-1] cho phép tìm hàm ảnh X(z) từ dãy gốc x(n) thì
biến đổi Z ngược cho phép tìm dãy gốc x(n) từ hàm ảnh X(z).
Để tìm hiểu biểu của biến đổi X ngược, xuất phát từ biến đổi Z thuận [2.1-1]:
[2.1-22]
Nhân cả hai vế của [2.1-22] với thừa số , rồi lấy tích phân theo chiều
dương trên đương cong kín C nằm trong miền hội tụ của X(z) và bao quanh gốc toạ
độ, ta nhận được:
[2.1-23]
Vì phân tích [2.1-23] lấy trong miền hội tụ của chuỗi [2.1-22], nên có thể đổi vị
trí của dấu tổng và dấu tích phân của hai vế phải của [2.1-23]:
[2.1-24]
51
Im[z]
Re[z]z01
02z
zp3
p1z
p2z
Hình 2.2: Không và cực của X(z)
Theo định lý Cauchy về tích phân theo chiều dương trên đường cong khép kín
C bao quanh gốc toạ độ trong mặt phẳng phức có :
Do đó tất cả các số hạng của chuỗi ở vế phải của [2.1-24] đều bằng không, trừ
một số hạng ứng với m = n là bằng x(n), nên từ [2.1-24] có:
[2.1-25]
Tích phân [2.1-25] chính là biểu thức của phép biến đổi Z ngược, nó được ký
hiệu như sau: IZT[X(z)] = x(n) [2.1-26]
hay: [2.1-27]
(IZT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh: Inverse -Z -Transform)
Tính trực tiếp tích phân [2.1-25] là khá phức tạp, vì thế thường sử dụng các
phương pháp gián tiếp để tìm biến đổi Z ngược .
Khi ứng dụng biến đổi Z để giải các bài toán phân tích và tổng hợp hệ xử lý
số, cần sử dụng biến đổi Z thuận để chuyển dãy x(n) sang miền biến số Z. Sau khi thực
hiện những biến đổi cần thiết trong miền Z, cần sử dụng biến đổi Z ngược để nhận
được kết quả trong miền thời gian.
2.2. Các tính chất của biến đổi Z
2.2.1 Các tính chất của biến đổi Z hai phía
a. Tính chất tuyến tính: Hàm ảnh Z của tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến
tính các hàm ảnh Z thành phần .
Nếu: ZT[xi(n)] với
Thì: [2.2-1]
Với , trong đó và
Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao miền hội tụ của các hàm Xi(z) .
Chứng minh : Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.2-1] có :
Tính chất tuyến tính được sử dụng để tìm biến đổi Z thuận hoặc ngược của hàm
là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi Z của chúng .
Ví dụ 2.4: Hãy tìm biến đổi Z của các dãy sau:
a. x1(n) = u(n).cos b. x2(n) = u(n).sin
Giải: a. Theo công thức Euler có :
52
x1(n) = u(n).cos =
Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Z nhận được:
Sử dụng biểu thức [2.1-18] với a = và a = thì:
và với
Do đó: với
Vậy: với [2.2-2]
b. Theo công thức Euler có:
Do đó: với
Vậy: với [2.2-3]
Trong một số trường hợp, tổ hợp tuyến tính của các X i(z) tạo cho Y(z) các
không điểm trùng với cực điểm của Xi(z), làm cho các cực điểm đó bị loại trừ, khi đó
miền hội tụ của Y(z) sẽ được mở rộng .
Ví dụ 2.5: Có X1(z) với
và: X2(z) với
Hãy tính Y(z) =
Giải: Theo tính chất tuyến tính có:
Y(z) = X1(z) - X2(z) =
Y(z) = với
53
Tổ hợp tuyến tính của X1(z) và X2(z) đã tạo cho Y(z) không điểm z0 = a để loại
trừ cực điểm zp = a của cả X1(z) và X2(z), do đó miền hội tụ của Y(z) được mở rộng.
b. Tính chất trễ: Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì hàm ảnh Z của nó được nhân thêm
thừa số z-k
Nếu: ZT[x(n)] = X(n) với
Thì: Y(z) = ZT[y(n)=x(n-k)] = z –kX(z) [2.2-4]
Với RC[Y(z)] = RC[X(z)], trừ điểm z = 0 nếu k >0 và điểm z = nếu k < 0
Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có:
Tính chất trễ thường được sử dụng để tìm biến đổi Z của các dãy trễ.
Ví dụ 2.6: Tìm X(z) = ZT[rectN(n)]
Giải: rectN(n) = u(n) – u(n-N)
Theo [2.1-7] có: với
Sử dụng tính chất tuyến tính và tính chất trễ nhận được:
Vậy với [2.2-5]
c. Tính chất tỷ lệ: Khi nhân dãy x(n) với thừa số an thì hàm ảnh Z của nó bị thay đổi tỷ
lệ (bị nén nếu a > 0 , dãn nếu a < 0) .
Nếu: với
Thì: Y(z) = ZT[y(n) = anx(n)] = X(a -1z) [2.2-6]
Với
Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.2-1] có:
Với
Tổng quát a là số phức: , khi đó véc tơ X(z) trên mặt phẳng phức bị
thay đổi tỷ lệ và bị quay một góc . Nếu a nằm trên vòng tròn đơn vị thì , nên
hàm X(z) không bị thay đổi tỷ lệ nhưng véc tơ X(z) trên mặt phẳng phức bị quay một
góc .
Ví dụ 2.7: Hãy tìm biến đổi Z của các dãy sau:
a. x1(n) = anu(n)cos( ) b. x2(n) = anu(n)sin( )
54
Giải: a. Sử dụng tính chất tỷ lệ đối với biểu thức [2.2-2] nhận được:
với
Hay : với [2.2-7]
b. Sử dụng tính chất tỷ lệ đối với biểu thức [2.2-3] nhận được:
với
Hay: với [2.2-8]
d. Tính chất biến đảo: Hàm ảnh Z của dãy biến đảo x(-n) có biến là z -1
Nếu: ZT[x(n)] = X(z) với
Thì: Y(z) = ZT[y(n) = x(-n)] = X(z -1) [2.2-9]
Với
Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.2-1] có:
Đổi biến, đặt –n = m => khi thì , nhận được:
Với
Tính chất biến đổi đảo cho phép tìm biến đổi z của dãy phản nhân quả theo biến
đổi z của dãy nhân quả tương ứng.
Vi dụ 2.8: Hãy tìm biến đổi z của dãy phản nhân quả
Giải: Theo [2.1-18] có với
Sử dụng tính chất biến đổi đảo nhận được:
với [2.2-10]
e. Tính chất đạo hàm
Nếu: với
Thì: [2.2-11]
với
55
Chứng minh: Từ biểu thức biến đổi z thuận [2.1-1]
Lấy đạo hàm hai vế theo z ta nhận được:
Nhân cả hai vế với –z:
Tính chất đạo hàm của hàm ảnh được sử dụng để tìm biến đổi z của các dãy
dạng nkx(n) theo biến đổi Z của dãy x(n).
Ví dụ 2.9: Hãy tìm biến đổi z của các dãy sau:
a. x1(n) = n.u(n) b. x2(n) = n.anu(n)
Giải:
a. Sử dụng tính chất đạo hàm đối với biểu thức [2.1-7], nhận được:
với [2.2-12]
b. Sử dụng tính chất đạo hàm đối với biểu thức [2.1-18], nhận được:
với [2.2-13]
f. Tính chất tích chập: Hàm ảnh Z của tích chập hai dãy bằng tích hai hàm ảnh thành
phần.
Nếu : với
Và: với
Thì: [2.2-14]
Với
Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của các hàm Xi(z).
Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi X thuận [2.1-1] có:
Hay:
Tính chất tích chập được sử dụng để tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số bằng cách tính
tích chập qua biến đổi Z.
56
Ví dụ 2.10: Tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ có đặc tính xung
với tác động là x(n) = u(n)
Giải: Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có:
Hay:
Theo [2.1-7] có:
Do đó:
Theo [2.1-7] và các tính chất trễ, tuyến tính nhận được:
Lấy biến đổi Z ngược tìm được phản ứng y(n):
Hay:
g. Hàm ảnh Z của tích hai dãy
Nếu: với
Và: với
Thì: [2.2-15]
Với max[Ri-] < < min[Ri+]
Miền hội tụ của hàm Y(z) là giao các miền hội tụ của X1(z) và X2(z). Đường
cong kín C của tích phân [2.2-15] phải bao quanh gốc toạ độ và thuộc miền hội tụ của
cả X1(z) và X2(z) trong mặt phẳng phức.
Chứng minh: Theo tính của biến đổi Z thuận [2.1-1] có:
Thay x2(n) bằng biểu thức biến đổi Z ngược của nó:
57
Nhận được:
Hay:
Từ đó ta có:
h. Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả: Nếu x(n) là dãy nhân quả và
thì: .
Chứng minh: Vì x(n) là dãy nhân quả nên x(n) = 0 với mọi n < 0, do đó:
Vậy:
i. Hàm ảnh Z của dãy liên hợp phức
Nếu: với
Thì: với
Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Z thuận [2.1-1] có:
và
Vậy:
k. Biến đổi Z của hàm tương quan rxy(m)
Nếu : và
Thì:
Chứng minh: Hàm tương quan rxy(m) được xác định như sau:
Đổi biến, đặt l = -(n-m) => m = (n-l):
Hay:
Sử dụng tính chất trên để tìm hàm tương quan rxy(m) qua biến đổi Z sẽ đơn giản
và dễ dàng hơn tính trực tiếp.
Ví dụ 2.11: Cho các tín hiệu số và hãy tìm hàm tự tương
quan rxy(m).
Giải: Sử dụng biểu thức [2.1-5] với k = 2 và biểu thức [2.1-18] nhận được:
58
và
Theo [2.2-17]:
Lấy biến đổi Z ngược, tìm được:
m. Biến đổi Z của hàm tự tương quan rx(m)
Nếu: thì: [2.2-18]
Chứng minh: Theo biểu thức [2.2-17], thay y(n) = x(n) và Y(z-1) = X(z-1)
Sử dụng tính chất trên để tìm hàm tự tương quan rx(m) qua biến đổi Z sẽ đơn
giản và dễ dàng hơn tính trực tiếp.
Ví dụ 2.12: Tìm hàm tự tương quan rx(m) của tín hiệu số
Giải: Sử dụng [2.1-5] và theo [2.2-18] tìm được:
Lấy biến đổi Z ngược, tìm được:
Bảng các tính chất của biến đổi Z hai phíaHàm gốc Hàm ảnh Miền hội tụ
Max min
Max min
Max min
Max min
2.3. Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược.
59
Tìm biến đổi Z ngược để xác định dãy x(n) bằng cách tính trực tiếp tích phân
[2.1-25] thường rất phức tạp, vì thế người ta xây dựng các phương pháp gián tiếp sau
để tìm biến đổi Z ngược:
- Phương pháp thặng dư
- Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa
- Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức đơn giản.
2.3.1 Phương pháp thặng dư
Trong lý thuyết hàm biến số phức, phương pháp thặng dư dùng để tính tích phân:
1( )
2 C
Q z dzj [2.3-1]
Tích phân [2.3-1] được lấy theo chiều dương trên đường cong khép kín C bao
quanh gốc toạ độ và nằm trong miền hội tụ của hàm Q(z).
Nếu Q(z) có một cực bội bậc k tại z = zP thì có thể phân tích Q(z) thành:
Với các nghiệm của phương trình N(z) = 0 phải khác zP.
Khi đó tích phân [2.3-1] sẽ có dạng;
Với ResP được gọi là thặng dư của hàm Q(z) và được tính theo biểu thức:
[2.3-2]
Trong trường hợp riêng, nếu zP là nghiệm đơn thì k = 1 nên:
[2.3-3]
Để tìm biến đổi Z ngược theo tích phân [2.1-25], áp dụng phương pháp thặng
dư cho hàm Q(z) = X(z).z(n-1). Giả sử Q(z) có cực bội bậc k1 thì có thể phân tích Q(z)
thành tổng:
Khi đó, biểu thức biến đổi Z ngược [2.1-25] được đưa về dạng:
x(n) = ( 1)
1
( )1 1( )
2 2 ( )
qn i
i piC C
N zX z z dz dz
j j z z
Vì đường cong khép kín C nằm trong miền hội tụ của hàm X(z).z (n-1) nên tích
phân ở vế phải của [2.3-4] có thể lấy trên từng số hạng của chuỗi, vì thế có thể đổi vị
trí của dấu tổng và dấu tích phân:
60
Vậy: [2.3-5]
Các thặng dư Respi ứng với các cực zpi của X(z).z(n-1). Respi của cực đơn tính theo
[2.3-3], Respi của cực bội bậc k tính theo [2.3-2].
Ví dụ 2.15: Hãy tìm x(n) = IZT [X(z)] = với RC [X(z)]:
Giải: Có X(z)z(n-1) =
Với n 0, hàm X(z).z(n-1) = ( )
nz
z a có một cực đơn zP = a và N(z) = zn.
Từ biểu thức thặng dư [2.3-3], với n 0 tìm được: ResP = N(a) = an.
Theo [2.3-5] thì: x(n) = ResP = an khi n 0
Vì RC [X(z)]: nên x(n) là dãy nhân quả, do đó kết quả là:
x(n) = IZT = an.u(n).
Ví dụ 2.16: Cho a2 < b2. Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh:
X(z) = . Với n 0, hàm X(z).z(n-1) có hai điểm cực là nghiệm của
phương trình: z2 + 2a.z + b2 = 0
Vì a2 < b2 ’ = < 0, nên phương trình trên có hai nghiệm là cặp số
phức liên hợp:
zpi = zp = -a + j 2 2a b = zp .e1p
và zpi = z*p = -a - j 2 2a b = zp .e-1p
Với:
zp = và P = - arctg [2.3-6]
Theo các cực điểm zP và z*P có thể phân tích X(z).z(n-1) thành:
X(z).z(n-1) = *( )( )
n
P P
z
z z z z
Với cực zP cps N1(z) = *( )
n
P
z
z z, theo biểu thức thặng dư [2.3-3] tìm được:
61
ResP1 = N(zP) =
Vậy: ResP1 =
Với cực z*P có N2(z) = theo biểu thức thặng dư [2.3-3] tìm được:
ResP2 = N(z*P) =
Vậy: ResP2
Theo [2.3-5] thì: x(n) = ResP1 + ResP2 =
x(n) =
Vì RC [X(z)] : z > b nên x(n) phải là dãy nhân quả, do đó kết quả là:
IZT [2.3-7]
Trong đó:
a2 < b2, góc pha p được tính theo [2.3-6] và RC[X(z)] : z > b 2.3.2. Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa
Vì X(z) là hàm giải tích của z, nên trong miền hội tụ của nó, có thể khai triển
X(z) thành chuỗi luỹ thừa của z-n theo dạng:
[2.3-8]
Mặt khác, theo định nghĩa của biến đổi Z có:
[2.3-9]
Trong miền hội tụ của X(z), cả hai chuỗi trên đều hội tụ nên khi đồng nhất các
hệ số của hai chuỗi [2.3-8] và [2.3-9], tìm được dãy: x(n) = an
Vậy, khi khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa [2.3-8], sẽ tìm được dãy x(n) theo
các hệ số của chuỗi.
Ví dụ 2.17: Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh X(z) =
a. Với RC[X(z)] : z > a
62
b. Với RC[X(z)] : z < a Giải: a. Chia cả tử lẫn mẫu số cho z nhận được:
X(z) = =
Vì RC[X(z)]: z > a nên x(n) là dãy nhân quả, do đó hàm ảnh phải là chuỗi luỹ
thừa của z-n. Để khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa của z-n, chia tử số cho đa thức
mẫu số (1+a.z-1):
1 1+ a.z -1 1 + a.z -1 1- a.z-1 + a2z-2 - a3z-3 + a4z-4 - ………. -a.z-1
-a.z -1 - a 2 .z -2 a2.z-2
a 2 .z -2 + a 3 .z -3 -a3.z-3
-a 3 .z -3 - a 4 .z -4 a4.z-4
…………….
Một cách tổng quát nhận được: X(z) =
Theo [2.55] nhận được: x(n) = (-a)n.u(n) với RC[X(z)]: z > a b. Với RC[X(z)]: z < a thì x(n) là dãy phản nhân quả, nên hàm ảnh phải
là chuỗi luỹ thừa của zn. Để khai triển X(n) thành chuỗi luỹ thừa của zn, chia tử số cho
đa thức mẫu số (az-1 + 1):
1 a.z -1 + 1 1 + a -1 .z a-1.z - a-2z2 + a-3z3 - a-4z4 + ………. -a-1.z
-a -1 .z - a -2 .z 2 a-2.z2
a -2 .z 2 + a -3 .z 3 -a-3.z3
-a -3 .z 3 - a -4 .z 4 a-4.z4
…………….
Một cách tổng quát nhận được: X(z) =
Để đưa chuỗi về dạng [2.3-8], đổi biến đặt n = (-m + 1) m = (-n + 1), khi m
=1 thì n =0 và khi m = thì n = -
X(z) =
Theo [2.3-9] và tính chất dịch của biến đổi Z nhận được:
X(n) = -(-a)(n-1).u(-n +1) với RC[X(z)] : z < a Từ ví dụ 2.17 có các nhận xét sau:
63
-
-
-
-
-
-
-
-
- Cùng một hàm ảnh nhưng với hai miền hội tụ khác nhau sẽ nhận được hai
hàm gốc khác nhau, điều đó có nghĩa là quan hệ giữa hàm ảnh và hàm gốc của biến
đổi Z hai phía chỉ là đơn trị khi ứng với một miền hội tụ xác định. Như vậy, để tìm
biến đổi Z ngược của biến đổi Z hai phía, cần phải biết miền hội tụ của hàm ảnh X(z).
- Trong ví dụ 2.17, chuỗi luỹ thừa biến đổi có quy luật nên tìm được biểu thức
của số hạng tổng quát an và biểu thức của hàm gốc x(n). Trong đa số các trường hợp
khi chia đa thức để khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa, không thể tìm được quy luật
biến đổi của chuỗi luỹ thừa, nên chỉ tìm được giá trị một số mẫu của hàm gốc x(n). Đó
chính là nhược điểm cơ bản của phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa và
vì thế phương pháp này ít được sử dụng.
2.3.3 Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức
Đây là phương pháp sử dụng bảng biến đổi Z cơ bản (bảng 2.3). Để tìm dãy
x(n) của các hàm X(z) phức tạp, chỉ cần phân tích X(z) thành tổng của các hàm ảnh có
trong bảng biến đổi Z, và áp dụng tính chất tuyến tính tìm được hàm gốc bằng tổng
của các hàm thành phần.
Trong đa số trường hợp, có thể đưa hàm X(z) về dạng [2.1-10]
[2.3-10]
Trong đó A là hằng số và đa thức ở mẫu số D(z) có a0 = 1 được gọi là đa thức
đặc trưng của hàm X(z). Phương trình đặc trưng D(z) = 0 có N nghiệm z pk, chúng là
các điểm cực của hàm X(z).
Nếu hàm X(z) [2.3-10] có bậc của đa thức ở mẫu D(z) lớn hơn bậc của đa thức
ở tử B(z), tức là N > M thì nó được gọi là hàm X(z) dạng chính tắc. Trong trường hợp
hàm X(z) [2.3-10] có N M thì nó là hàm dạng không chính tắc. Khi đó, bằng cách
chia đa thức ở tử cho đa thức ở mẫu hoặc bằng biến đổi toán học, sẽ nhận được hàm
X(z) dạng:
Trong đó X’(z) là hàm dạng chính tắc. Vì C(z) là đa thức luỹ thừa của z, nên có
thể dễ dàng tìm được biến đổi Z ngược của nó:
Vì vậy, trong mọi trường hợp chỉ cần nghiên cứu phương pháp tìm biến đổi Z
ngược của hàm X(z) [2.3-10] dạng chính tắc. Có thể biểu diễn hàm X(z) chính tắc
[2.3-10] qua các cực điểm zpk.
[2.3-11]
64
Các cực điểm zpk của hàm X(z) [2.3-11] có thể là các cực đơn (cực có giá trị
khác nhau), hoặc các cực bội bậc q (q cực có giá trị giống nhau), hơn nữa zpk có thể là
các số thực hoặc số phức. Trước hết chúng ta nghiên cứu trường hợp X(z) có nghiệm
đơn giản.
a. Trường hợp hàm X(z) chỉ có các cực đơn là số thực
Khi X(z) là hàm [2.3-10] hoặc [2.3-11] dạng chính tắc và có N cực đơn zpk là số
thực (N cực thực đơn), thì có thể phân tích X(z) thành tổng của các phân thức đơn giản
dạng:
[2.3-12]
Để xác định hệ só Bk, nhân cả hai vế của [2.3-12] với (z-zpk):
Tại z = zpk thì trừ Bk, còn tất cả các số hạng khác ở vế phải của biểu thức trên
đều bằng không, do đó có:
[2.3-13]
Lấy biến đổi Z ngược hàm X(z) [2-58], tìm được dãy x(n):
Theo tính chất trễ và [2.1-18], với RC[X(z)]:z> max [zpk], nhận được:
[2.3-14]
Dãy [2.3-14] có dạng trễ, để nhận được các dãy x(n) không ở dạng trễ như trên,
chia cả hai vế của [2.3-10] cho z và phân tích hàm:
[2.3-15]
Chỉ số k chạy từ 0, do z.D(z) = 0 có thêm một nghiệm z p0 = 0 (hoặc B(z) = 0
giảm một nghiệm tại z01 = 0). Từ [2.3-15] nhận được:
[2.3-16]
Trong đó, các hệ số Bk được xác định theo biểu thức:
[2.3-17]
Lấy biến đổi Z ngược hàm X(z) [2.3-16], tìm được dãy x(n):
65
Theo [2.3-18] hoặc bảng 2.3, với RC[X(z)]: z> max[zpk], nhận được:
[2.3-18]
Ví dụ 2.18: Hãy tìm hàm gốc nhân quả của X(z) =
Giải: Hàm X(z) là phân thức dạng chính tắc. Vì đa thức đặc trưng có a0 = 2 1 nên phải nhóm thừa số 2 ra ngoài. Để nhận được hàm gốc x(n) dạng không trễ, phân
tích hàm:
Theo [2.3-17] xác định được các hệ số B0.B1 và B2:
B0 = z = 0 B0 =
B1 = z = 1 B1 =
B2 = z = 3 B2 =
Vậy:
Suy ra: X(z) =
Vì dãy x(n) là nhân quả nên RC[X(z)]:z>3, theo [2.3-18] nhận được:
x(n) = IZT[X(z)] =
b. Trường hợp hàm X(z) có nhiều cực dạng phức tạp
Để đơn giản và dễ hiểu mà không làm mất đi tính tổng quát giả sử X(z) là hàm
[2.3-10] hoặc [2.3-11] dạng chính tắc và có r cực thực đơn zpk, một cực thực bội zpq bậc
q, một cặp phức liên hợp zpe và z*e, khi đó có thể phân tích X(z) thành tổng của các
phân thức dạng: [2.3-19]
Trong đó thành phần ứng với r cực thực đơn zpk là:
[2.3-20]
Thành phần ứng với cực thực bội zpq bậc q là:
[2.3-21]
Thành phần ứng với cặp cực phức liên hợp zpe và z*pe là:
66
[2.3-22]
Tương tự trường hợp hàm X(z) chỉ có các nghiệm thực đơn, các hệ số Bk của
[2.3-20] được xác định theo [2.3-17].Với RC[Xb(z)]:z> max zpk, từ hàm Xb(z) ,
theo [2.3-18] nhận được thành phần xb(n):
xb(n) = IZT[X(z)] = [2.3-23]
Các hệ số C1 của [2.3-21] ứng với cực thực bội zpq, được xác định như sau:
C1 = z = zp [2.3-24]
Với RC[Xc(z)]: z>zp, từ hàm Xc(z), nhận được thành phần xc(n)
xc(n) = IZT[Xc(z)] = [2.3-25]
Các hệ số phức và ứng với cặp cực phức liên hợp zpe và z*pe. Ta chỉ cần
xác định theo biểu thức:
= z = zp = E.eje [2.3-26]
Vì theo lý thuyết hàm biến số phức thì f(z*) = f*(z), nên:
z = z*p = = E.e-je
Do đó có:
Vậy: Xe(z) = E. eje. + E. e-je.
Với RC[Xe(z)]:z > zp, từ hàm Xe(z) nhận được hàm gốc xe(n):
xe(n) = IZT[Xe(z)] = E. eje(zp)n .u(n) + E. e-je (z*p)n.u(n)
xe(n) = E. eje(zp.eje) n .u(n) + E. e-je(z*p.e-je) n .u(n)
xe(n) = E.zpn .u(n) (eje . ejne + e-je . e-jne)
xe(n) = 2E.zpn .u(n)
Vậy: xe(n) = IZT[Xe(z)] = 2E.zpn .u(n). cos(np + e) [2.3-27]
Trong đó hệ số phức được xác định theo [2.3-25]:
Từ các kết quả trên, nhận được:
x(n) = IZT[X(z)] = xe(n) + xb(n) + xc (n) [2.3-28]
67
Trong đó, xb(n) được xác định theo [2.3-25], xc(n) được xác định theo [2.3-25],
và xc(n) được xác định theo [2.3-27].
Ví dụ 2.19: Cho a2 < b2, hãy tìm hàm gốc x(n) của hàm ảnh:
X(z) = Với RC[X(z)]: z > b
Giải: Bài này đã được giải bằng phương pháp thặng dư ở ví dụ 2.14. ở đây sẽ
dùng phương pháp phân tích X(z) thành tổng của các đa thức đơn giản. Để nhận được
dãy x(n) dạng không trễ, phân tích hàm:
=
Vì a2 < b2, nên phương trình đặc trưng z2 + 2a.z + b2 = 0 nên có hai nghiệm là
cặp số phức liên hợp:
zp = - a + j = zp.ejp
z*p = - a - j = zp.e-jp
Với zp =
Và p = -arctg [2.3-29]
Để sử dụng công thức [2.3-27], theo biểu thức [2.3-26] tìm được:
z = zp
=
Vậy: = E = và Arg = e =
Theo [2.3-27] nhận được dãy x(n):
x(n) = 2. .bn.u(n).cos
Biến đổi lượng giác và xác định p theo [2.3-29], nhận được kết quả:
Với a2 < b2 và RC [z > b thì:
IZT [2.3-30]
So sánh [2.3-30] và [2.3-27] cho thấy, hai phương pháp thặng dư và phân tích
X(z) thành tổng các phân thức đơn giản cho cùng một kết quả.
68
Các công thức [2.3-27] và [2.3-30] thường được sử dụng như một cặp biến đổi
Z thông dụng để tìm biến đổi Z ngược của các hàm X(z) có hai nghiệm đơn là cặp số
phức liên hợp.
Ví dụ 2.20: Tìm dãy nhân quả x(n) của X(z) =
Giải: Vì đa thức ở mẫu có a0 = 2 1 nên phải nhóm thừa số 2 ra ngoài. Để
nhận được dãy x(n) dạng không trễ, phân tích hàm:
[2.3-31]
Trong đó, các hệ số được xác định như sau:
C1 = z = 0,5 = z = 0,5 =
C2 = z = 0,5 = z = 0,5 =
Thay giá trị các hệ số trên vào [2.3-31] nhận được:
Vì x(n) là dãy nhân quả nên với RC[X(z)]: z > 0,5, theo bảng 3.2 nhận
được:
x(n) = 0,25.(0,5)n.u(n) – n.(0,5)n.u(n).
Hay x(n) = 2-n.u(n).(0,25 - n)
Ví dụ 2.21 : Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh:
X(z) = với RC[X(z)]:z >1
Giải: Vì đa thức ở mẫu có a0 = 4 1 nên phải nhóm thừa số 4 ra ngoài. Để
nhận được hàm gốc x(n) dạng không trễ, phân tích hàm:
[2.3-32]
Phương trình đặc trưng z(z-j)(z+j)(z-0,5)2 = 0 có:
- Một nghiệm đơn tại zp0 = 0
- Một nghiệm bội bậc 2 tại zp1 = 0,5
- Hai nghiệm phức liên hợp tại zp2 = j và z*p2 = -j
zp2 = 1 và p2 =
Theo các cực điểm trên, có thể phân tích hàm [2.3-32] thành dạng:
69
[2.3-33]
Trong đó, các hệ số được xác định như sau:
B = z = 0 = z = 0 =
C1 = z = 0,5 = z = 0,5
C1 = z = 0,5 = 3,44
C1 = z = 0,5 = z = 0,5 = - 0,8
z = j = z = j 0,5.e-j 1,1
Thay giá trị các hệ số vào [2.3-33] nhận được:
X(z) = -3 + 3,44.
Theo bảng 3.2 và công thức [2.3-27], với RC[X(z)]:z >1, nhận được:
x(n) = -3(n)+3,44.(0,5)nu(n)-1,6.n.(0,5)nu(n)+2.0,5.1nu(n).cos -3(n)
2.4. Phân tích hệ xử lý số TTBBNQ quả bằng hàm hệ thống H(z)
2.4.1. Hàm hệ thống H(z)
a. Định nghĩa: Hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ là biến đổi Z của đặc tính
xung h(n): [2.4.1]
Với RC[H(z)]: z > Rh-
Phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ được tính theo tích chập [1.5-7]
y(n) = x(n) * h(n)
Có thể tìm được: X(z) = ZT[x(n)] và H(z) = ZT[h(n)]
Do đó, theo tính chất tích chập của biến đổi Z có:
Y(z) = ZT[y(n) = x(n) * h(n) = X(z).H(z) [2.4-2]
Từ đó suy ra: [2.4-3]
70
Theo [2.4-3], hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ là tỷ số của phản
ứng Y(z) và tác động X(z), do đó hàm hệ thống H(z) còn được gọi là hàm truyền đạt Z
của hệ xử lý số TTBBNQ.
Biểu thức [2.4-3] cho phép tìm hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ
khi biết tác động X(z) và phản ứng Y(z), còn biểu thức [2.4-2] cho phép tìm phản ứng
y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ khi biết hàm hệ thống H(z) và tác động X(z).
Lấy biến đổi Z ngược hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ, nhận được
đặc tính xung h(z) của hệ:
h(n) = IZT[H(z)] Với RC[H(z)]: z > Rh- [2.4-4]
Từ quan hệ vào ra [2.4-2] , có thể mô tả hệ xử lý số TTBBNQ theo sơ đồ khối
trên hình 2.3, do đó hàm hệ thống H(z) đặc trưng cho cấu trúc phần cứng hoặc thuật
toán phần mềm của hệ xử lý số trong miền Z.
b. Tìm hàm hệ thống H(z) từ phương trình sai phân
Xét hệ xử lý số TTBBNQ được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ
số hằng tổng quát bậc N:
Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân trên
Theo tính chất tuyến tính và tính chất trễ của biến đổi Z nhận được:
Suy ra:
Có thể biểu diễn hàm hệ thống H(z) qua N cực điểm zpk của nó:
[2.4-6]
Ở đây cần lưu ý rằng, để tìm đúng H(z) thì phương trình đặc trưng D(z) = 0
phải có hệ số a0 = 1, vì thế nếu a0 1 thì phải nhóm ao ra ngoài.
Lấy biến đổi Z ngược biểu thức [2.4-6] với RC[H(z)]:z >max[zpk], nhận được
đặc tính xung h(n) của hệ:
71
H(z)Y(z)X(z)
Hình 2.3: Sơ đồ khối hệ xử lý số TTBBNQ theo hàm hệ thống H(z)
h(n) = IZT[H(z)] = IZT [2.4-7]
Ví dụ 2.22: Cho hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình sai phân:
2y(n) – 4y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) – 3x(n-1)
Hãy xác định hàm hệ thống H(z) và đặc tính xung h(n) của hệ.
Giải: Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân trên:
2Y(z) – 4z-1Y(z) + 2z-2Y(z) = X(z) – 3z-1X(z)
Hay Y(z)(2-4z-1+ 2z-2) = X(z) (1– 3z-1)
H(z) =
Vậy hàm hệ thống là:
H(z) =
Lấy biến đổi Z ngược hàm hệ thống H(z), tìm được đặc tính xung h(n):
h(n) = IZT [H(z)] = IZT với RC[H(z)]:z >1
Để tìm h(n), phân tích hàm:
Trong đó: C2 = z=1 C2 =
C1 = z=1 C1 =
Vậy:
H(z) =
Với RC[H(z)]:z >1, theo bảng 2.3 tìm được đặc tính xung h(n):
h(n) = 0,5.u(n) – n.u(n)
Hay h(n) = (0,5- n).u(n)
c. Tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số qua biến đổi Z
Khi biết đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số TTBBNQ và tác động x(n), có thể
tìm được phản ứng y(n) của hệ xử lý theo tích chập:
y(n) = x(n)*h(n)
Các phương pháp tính trực tiếp tích chập đã được trình bày ở chương một đều
khá phức tạp, và trong nhiều trường hợp không thể tìm được biểu thức của phản ứng
y(n). Có thể tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ dễ dàng hơn bằng cách tính
tích chập qua biến đổi Z, các bước thực hiện như sau:
72
1- Tìm các biến đổi Z thuận: X(z) = ZT[x(n)] và H(z) = ZT[h(n)]
2- Từ đó xác định được: Y(z) = X(z).H(z)
3- Tìm biến đổi Z ngược: y(n) = IZT[Y(z)] = IZT[X(z).H(z)]
Trong đa số các trường hợp, hàm hệ thống H(z) và tác động X(z) có dạng phân
thức hữu tỷ: và
Do đó phản ứng Y(z) của hệ xử lý số TTBBNQ là:
Trước hết xét trường hợp hàm hệ thống H(z) có N cực điểm đơn zpk là nghiệm
của phương trình đặc trưng A(z) = 0, còn tác động X(z) có m cực điểm đơn z pi là
nghiệm của phương trình đặc trưng Q(z) = 0, trong đó các cực zpk zpi với mọi k và i.
Đồng thời, các cực điểm của hàm hệ thống H(z) không bị loại trừ bởi các không điểm
của tác động X(z) và ngược lại. Để tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ, phân
tích hàm:
Phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ là dãy nhân quả, nên với
RC[Y(z)]:z > max[zpk,zpi], nhận được y(n) là tổng của hai thành phần:
y(n) = [2.4-8]
Trong đó: y0(n) = [2.4-9]
Thành phần dao động tự do y0(n) phụ thuộc vào các cực của hàm hệ thống H(z),
tức là phụ thuộc vào cấu trúc của hệ xử lý số.
Còn: yp(n) = [2.4-10]
Thành phần dao động cưỡng bức yp(n) phụ thuộc vào các cực của tác động
X(z), tức là phụ thuộc vào dạng của tác động x(n).
Giá trị của các hệ số Ak và Qk được xác định theo [2.3-17], chúng phụ thuộc vào
cả hàm hệ thống H(z) lẫn tác động X(z).
Trong trường hợp hàm hệ thống H(z) hoặc tác động X(z) có các cực bội thì ứng
với có các cực bội phải phân tích Y(z) theo biểu thức [2.3-21] với các hệ số được xác
định theo [2.3-24]. Tương tự như trên, phản ứng y(n) cũng là tổng của hai thành phần
dao động tự do và cưỡng bức:
y(n) = y0(n) + yp(n) [2.4-11]
73
Nếu một số cực điểm của hàm hệ thống H(z) bị loại trừ bởi các điểm không của
tác động X(z) (hoặc ngược lại), thì thành phần dao động tự do (hoặc dao động cưỡng
bức) sẽ mất bớt các số hạng tương ứng.
Ví dụ 2.23: Cho hệ xử lý số có đặc tính xung h(n) = rect3(n-1) và tác động x(n)
= 2n.u(n), tìm phản ứng y(n) và xác định tính ổn định của hệ.
Giải: Theo bảng 2.3 tìm được các biến đổi Z thuận:
X(z) = ZT[x(n)] = ZT[2n.u(n)] =
H(z) = ZT[h(n)]=
Phản ứng: Y(z) = X(z).H(z) = .
Không điểm z01 = 0 của tác động X(z) đã hạ bậc cực bội zp1 = 0 của hàm hệ
thống H(z), do đó dao động tự do y0(n) sẽ bớt đi một số hạng.
Phản ứng của hệ là: y(n) = IZT[Y(z)] = IZT
Để tìm phản ứng y(n), phân tích Y(z) thành tổng của các phân thức:
= = [2.4-12]
Với các số hạng ứng với các hệ số C1 phụ thuộc vào cực bội bậc 3 tại zp1 = 0
của hàm hệ thống H(z), số hạng ứng với hệ số B phụ thuộc vào cực đơn zp2 = 2 của tác
động X(z). Tính các hệ số của [2.4-12]:
B = z = 2 B =
C3 = z = 0 C3 =
C2 = z = 0 C2 = z = 0
C2 = z = 0
C2 = z = 0 C2 =
C1 = z = 0 C1 = z = 0 = z = 0
C1 = z = 0
74
C1 = C1 =
Thay giá trị của các hệ số trên vào [2.4-12] nhận được:
Vậy: Y(z) =
Vì hệ xử lý số là TTBBNQ nên phản ứng y(n) là dãy nhân quả, với
RC[Y(z)]:z > 2, theo bảng 2.3 nhận được:
y(n) =
Trong đó dao động tự do: y0(n) =
Và dao động cưỡng bức: yp(n) =
Vì y0(n) = 0 kh n > 2, nên hệ đã cho ổn định.
2.4.2. Xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo hàm hệ thống H(z)
a. Điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo H(z)
Vì các hệ xử lý số TTBB phản nhân quả và không nhân quả không có trên thực
tế, nên chỉ cần xét tính ổn định của các hệ xử lý số TTBBNQ.
Biểu thức [1.6-8] ở chương một đã đưa ra điều kiện ổn định của hệ xử lý số
TTBBNQ trong miền thời gian rời rạc n:
[2.4-13]
Vì h(n) = IZT[H(z)] nên dựa vào [2.4-13] có thể tìm được điều kiện ổn định của
hệ xử lý số TTBBNQ theo hàm hệ thống H(z).
Theo các cực của hàm hệ thống H(z), có thể phân tích H(z) thành tổng các phân
thức, khi đó h(n) là tổng các thành phần tương ứng. Để hệ xử lý số TTBBNQ ổn định,
tất cả các thành phần của h(n) đều phải thoả mãn [2.4-13]. Theo các cực đơn, cực bội
hoặc cực phức của H(z), đặc tính xung h(n) có các dạng như sau:
Với các cực thực đơn zpk, thành phần đặc tính xung hk(n) được xác định theo
[2.3-18]: hk(n) = Bk.znpk.u(n)
Từ điều kiện ổn định [2.4-13]:
Suy ra:
Hay: zpk < 1 [2.4-14]
Với các cực phức liên hợp zpe, thành phần đặc tính xung he(n) được xác định
theo [2.3-27] : he(n) = 2E.zpe n.u(n).cos(np +e )
75
Từ điều kiện ổn định [2.4-13]:
Hay: zpe < 1 [2.4-15]
Với các cực thực bội zpk, thành phần đặc tính xung hk(n) được xác định theo [2.3-25]:
hq(n) =
Từ điều kiện ổn định [2.4-13]:
Hay zpq < 1 [2.4-16]
Tổng hợp các biểu thức [2.4-14], [2.4-15] và [2.4-16], để hệ xử lý số TTBBNQ
ổn định theo điều kiện [2.4-13] thì tất cả các cực zpk của hàm hệ thống H(z) phải thoả
mãn điều kiện:
zpk < 1 [2.4-17]
Điều kiện ổn định [2.4-17] của hệ xử lý TTBBNQ có thể được phát biểu như
sau: Điều kiện đủ để hệ xử lý số TTBBNQ ổn định là tất cả các cực điểm của hàm hệ
thống H(z) đều nằm trong vòng tròn đơn vị z =1.
Hệ xử lý số TTBBNQ có đặc tính xung h(n) là dãy nhân quả, hàm hệ thống
H(z) có RC[H(z)]:z > max [zpk], nên điều kiện ổn định [2.4-17] còn được phát biểu
như sau: Điều kiện đủ để hệ xử lý số TTBBNQ ổn định là vòng tròn đơn vị z =1
nằm trong miền hội tụ của hàm hệ thống H(z).
Điều kiện ổn định [2.4-17] chỉ là điều kiện đủ, vì nếu hệ xử lý số TTBBNQ có
hàm hệ thống H(z) thoả mãn điều kiện [2.4-17] thì chắc chắn ổn định với mọi dạng tác
động x(n). Tuy nhiên, hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống H(z) không thoả mãn
điều kiện ổn định [2.4-17], nhưng nếu dạng của tác động x(n) làm cho X(z) có các
không điểm zok loại trừ tất cả các cực điểm zpk >1 của H(z), thì hệ vẫn ổn định.
Ví dụ 2.24 : Xét hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống
76
Im[z]
Re[z]
=1
Rx-
a, Rx- < = 1: Hệ ổn định
Im[z]
Re[z]
Rx-
=1
b, Rx- = 1: Hệ không ổn định
Hình 2.4: Điều kiện ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo H(z)
H(z) = = =
Vì H(z) có hai cực đơn là zp1 = 1,5 và zp2 = 0,5, trong đó zp1 = 1,5 > 1, nên hệ
đã cho không thoả mãn điều kiện ổn định [2.4-17].
Tuy nhiên, với tác động x(n) = u(n) – 1,5.u(n-1) thì hệ đã cho sẽ ổn định, thật vậy:
X(z) =
Phản ứng; Y(z) = X(z).H(z) = . =
Để tìm phản ứng y(n) của hệ, phân tích hàm:
Vậy: Y(z) = X(z).H(z) =
Hệ xử lý số là TTBBNQ nên với RC[Y(z)]:z > 1, theo bảng 2.3 nhận được:
y(n) = IZT[Y(z)] = u(n) – 0,5n.u(n) = yp(n) – y0(n)
Thành phần dao động tự do của phản ứng y0(n) = - 0,5n.u(n) 0 khi n , vì
thế hệ đã cho ổn định, mặc dù nó không thoả mãn điều kiện ổn định [2.4-17]. Nguyên
nhân là không điểm z01 = 1,5 của tác động X(z) đã loại trừ cực điểm zp1 = 1,5 của hàm
hệ thống H(z), làm cho dao động tự do y0(n) không còn thành phần mất ổn định ứng
với 1,5n.u(n).
Muốn xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo điều kiện ổn định [2.4-
17], phải giải phương trình đặc trưng D(z) = 0 để tìm tất cả các cực điểm của hàm hệ
thống H(z). Giải các phương trình có bậc lớn hơn 3 là phức tạp, vì thế người ta xây
dựng các tiêu chuẩn xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ mà không cần giải
phương trình D(z) = 0.
b. Tiêu chuẩn ổn định Jury
Tiêu chuẩn Jury cho phép xác định tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ theo
các hệ số của phương trình đặc trưng D(z) = 0. Xét phương trình D(z) = 0 dưới dạng
luỹ thừa của z-n:
D(z) = 1 + a1z-1 + a2z-2 +...+ aN-1z-(N-1) + aNz-N = 0 [2.4-18]
Hay dưới dạng luỹ thừa của zn:
D(z) = zN + a1zN-1 + a2zN-2 +...+ aN-1z + aN = 0 [2.4-19]
Các phương trình [2.4-18] và [2.4-19] có bậc N và hệ số a0 = 1
Sử dụng các hệ số a0 aN của phương trình [2.4-18] hoặc [2.4-19], lập được
bảng Jury gồm (N-1) hàng như sau:
Bảng Jury
77
Hàng Các phần tử tính theo hệ số của đa thức đặc trưng D(z)
1 1 a1 a2 ... aN-2 aN-1 aN
2 c0 c1 c2 ... cN-2 cN-1
3 d0 d1 d2 ... dN-2
... ... ... ... ...
N-1 r0 r1 r2 ...
Trong đó các phần tử ci, di trên các hàng 2,3 của bảng Jury được tính theo định
thức của các ma trận như sau:
c1 =1 aN-i
= (ai - aN.aN-i) với i = 0, 1, 2, ...., (N-1)aN ai
d1 =c0 cN-1-i
= (c0.ci - cN-1.cN-1-i) với i = 0, 1, 2, ...., (N-1)cN-1 ci
...............................
Mỗi hàng tiếp theo của bảng Jury sẽ có số phần tử giảm đi 1 và được tính tương
tự cho đến hàng thứ (N-1) chỉ còn 3 phần tử r0, r1, r2.
Tiêu chuẩn ổn định Jury được phát biểu như sau:
Phương trình D(z) = 0 dạng [2.4-18] hoặc [2.4-19] sẽ có tất cả các nghiệm nằm
trong vòng tròn đơn vị z = 1 nếu thoả mãn tất cả các điều kiện sau:
1. Giá trị đa thức D(z)z = 1 > 0
2. Giá trị đa thức D(z)z = -1 > 0 Nếu N chẵn
hoặc D(z)z = -1 < 0 Nếu N lẻ
3. Các phần tử ở đầu và cuối mỗi hàng của bảng Jury thoả mãn:
aN < ao = 1
cN-1 < c0 dN-2 < d0 .......................
r2 < r0Hệ xử lý số TTBBNQ có phương trình đặc trưng không thoả mãn tiêu chuẩn ổn
định Jury thì không thoả mãn điều kiện ổn định [2.4-17].
Ví dụ 2.25: Xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống:
H(z) =
Giải: Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình đặc trưng theo dạng [2.4-
18] (với a0 =1): D(z) = z2 – 2z + 0,75 = 0
Vì D(z) có bậc N = 2 là số chẵn nên bảng Jury chỉ có một hàng theo các hệ số
của D(z). Xét các điều kiện của tiêu chuẩn ổn định Jury:
78
1. D(z)z = 1 = 1 - 2 + 0,75 = - 0,25 < 0; không thoả mãn
2. D(z)z = -1 = 1 + 2 + 0,75 = 3,5 > 0; thoả mãn
3. a2 = 0,75 < 1; thoả mãn
Hệ xử lý số đã cho không thoả mãn tiêu chuẩn ổn định Jury, nên không thoả
mãn điều kiện ổn định [2.4-17]. Đó chính là kết luận khi khảo sát hệ xử lý số trên ở ví
dụ 2.21.
Ví dụ 2.26: Xét tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống:
H(z) =
Giải: Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình đặc trưng theo dạng [2.4-
18], với a0 = 1: D(z) = 1 +
Vì D(z) có bậc N = 4 là số chẵn, nên bảng Jury có ba hàng với các phần tử là ai,
ci, di với các phần tử ai là hệ số của D(z):
a0 = 1; a1 = ; a2 = ; a3 = ; a4 =
Tính các phần tử của hàng thứ hai c0, c1, c2, c3:
c0 = 1 - a4.a4 = 1 - . =
c1 = a1 - a4.a3 = - . =
c2 = a2 - a4.a2 = - . =
c3 = a3 - a4.a1 = - . =
Tính các phần tử của hàng thứ ba d0, d1, d2:
d0 = c0. c0 – c3. c3 = . - . =
d1 = c0. c1 – c3.c2 = . - . =
d2 = c0. c1 – c3.c1= . - =
Xét các điều kiện của tiêu chuẩn ổn định Jury:
1. D(z)z = 1 = 1 + + + + = > 0 ; thoả mãn
2. D(z)z = -1 = 1 - + - + = ; thoả mãn
3. a4 = < 1 ; thoả mãn
79
c3 = < c0 = ; thoả mãn
d2 = < d0 = ; thoả mãn
Hệ xử lý số TTBBNQ đã cho thoả mãn tiêu chuẩn Jury nên ổn định.
Để xét tính ổn định của hệ xử lý số, ngoài tiêu chuẩn ổn định trên, còn có các
tiêu chuẩn khác nữa, ví dụ như tiêu chuẩn Schur - Cohn (xem tài liệu tham khảo 6).
2.5. Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng qua biến đổi Z
Để tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ, giải phương trình sai phân
tuyến tính hệ số hằng qua biến đổi Z sẽ dễ hơn giải trực tiếp.
Các điều kiện ban đầu y(-1), y(-2)... của phương trình sai phân tuyến tính hệ số
hằng chính là giá trị khởi tạo của hệ xử lý số TTBBNQ. Khi tác động vào hệ xử lý số
TTBBNQ là dãy nhân quả x(n), thì phản ứng y(n) cũng là dãy nhân quả. Tuy nhiên,
nếu hệ xử lý số TTBBNQ có các giá trị khởi tạo y(-1), y(-2)... khác không, thì trên
thực tế phản ứng y(n) là dãy không nhân quả. Vì thế, để giải phương trình sai phân
tuyến tính hệ số hằng qua biến đổi Z, phải dùng biến đổi Z một phía.
Để giản tiện, khi giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng qua biến đổi
Z, có thể dùng ký hiệu của biến đổi Z hai phía, nhưng phải sử dụng tính chất trễ của
biến đổi Z một phía.
Xét hệ xử lý số TTBBNQ được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ
số hằng dạng tổng quát bậc N:
[2.5-1]
Với tác động x(n) là dãy không nhân quả,và các điều kiện ban đầu y(-1), y(-
2)..., y(-N) khác không.
Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân [2.5-1], theo các tính chất
tuyến tính và trễ của biến đổi Z một phía nhận được:
[2.5-2]
Suy ra: [2.5-3]
Phản ứng của hệ xử lý số TTBBNQ: y(n) = IZT[Y(z)]
Trên thực tế thường gặp trường hợp hệ xử lý số TTBBNQ có điều kiện khởi tạo
bằng không y(-1) = y(-2) = .... = y(-N) = 0, và tác động x(n) là dãy nhân quả, x(-i) = 0
với mọi i > 0, nên biểu thức [2.5-2]] có dạng:
80
[2.5-4]
Suy ra: [2.5-5]
Phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ là tổng của hai thành phần dao động tự
do y0(n) và dao động cưỡng bức yp(n).
y(n) = y0(n) + yp(n)
Trong đó, dao động cưỡng bức yp(n) phụ thuộc vào các cực của hàm tác động
X(z), tức là phụ thuộc vào dạng của tác động x(n).
Dao động tự do yo(n) phụ thuộc vào các cực của hàm hệ thống H(z), chính là
phụ thuộc vào các hệ số ar ở vế trái của phương trình sai phân [2.5-1]. Như vậy, dao
động tự do y0(n) phụ thuộc vào cấu trúc của hệ xử lý số TTBBNQ. Theo dạng của dao
động tự do yo(n), có thể xác định được tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ.
Ví dụ 2.27: Giải phương trình sai phân y(n) – 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n), với tác
động x(n) = 3(n-2).u(n) và các điều kiện ban đầu y(-1) = y(-2) = 0. Hãy cho biết tính ổn
định của hệ xử lý số trên.
Giải: Đây là hệ xử lý số TTBBNQ có điều kiện khởi tạo bằng không và tác
động x(n) là dãy nhân quả, nên có thể sử dụng được biểu thức [2.5-4]:
Y(z)(1-3z-1 + 2z-2) = X(z)
Vì có: X(z) = ZT [3(n-2).u(n)] = ZT[3-2.3n .u(n)] =
Nên: Y(z) =
Hay: Y(z) =
Trong đó các cực zp1 =1 và zp2 = 2 là của hàm hệ thống H(z) vì chúng là nghiệm
của phương trình: z2 – 3z + 2 = 0, còn cực zp3 = 3 là của tác động X(z). Để tìm phản
ứng y(n), phân tích hàm:
Y(z) =
Trong đó:
z = 1
z = 2
81
z = 3
Vậy
Suy ra: Y(z)=
Với RC[Y(z)]:z > 3, theo bảng 2.3 nhận được phản ứng y(n):
y(n) = = y0(n) + yp(n)
Dao động tự do y0(n) phụ thuộc vào các cực zp1 = 1 và zp2 = 2 của H(z):
y0(n) =
Dao động cưỡng bức yp(n) phụ thuộc vào cực yp3 = 3 của tác động X(z):
yp(n) =
Thành phần yp(n) có dạng giống tác động x(n). Vì hàm hệ thống H(z) có các
cực với zpk 1 nên dao động tự do y0(n) khi n , hệ xử lý số đã cho không
thoả mãn điều kiện ổn định.
Ví dụ 2.28: Tìm phản ứng của hệ xử lý số có phương trình sai phân:
y(n) = 3x(n) + 4x(n-1) – 2y(n-1) – 5y(n-2)
Với tác động x(n) = (n+2) và các điều kiện đầu y(-1) = 1, y(-2) = 0
Giải: Chuyển các thành phần của phản ứng sang vế trái phương trình:
y(n) + 2y(n-1) + 5y(n-2) = 3x(n) + 4x(n-1) [2.5-6]
Đây là hệ xử lý số TTBBNQ có điều kiện khởi tạo khác không và tác động x(n)
không nhân quả, nên phải sử dụng biểu thức [2.5-2]:
Y(z) + 2 =
= 3X(z) + 4 [2.5-7]
Có: X(z) = ZT[(n+2)] = z2 và x(-1) = (-1+2) = (1) = 0
Thay X(z) và các giá trị ban đầu vào phương trình [2.5-7], nhận được:
Y(z) + 2 = 3z2 + 4z-1.z2.
Y(z) + 2z-1Y(z) + 2 + 5z-2 Y(z) + 5z-1 = 3z2 + 4z
Y(z)(1+2z-1 + 5z-2) + 2 + 5z-1 = 3z2 + 4z
Y(z) = = X(z).H(z)
Vì bậc của đa thức tử lớn hơn bậc của đa thức mẫu, phải chia đa thức:
82
Y(z) = 3z2 – 2z - = 3z2 – 2z – Y0 (z)
Vậy: y(n) = IZT[Y(z)] = 3(n+2) - 2(n+1) – IZT [Y0(z)] = yp(n) – y0(n)
Dao động cưỡng bức yp(n) = 3(n+2) - 2(n+1)
Dao động tự do y0(n) = IZT[Y0(z)], vì hàm Y0(z) có các cực là cực của hàm hệ
thống H(z) và là nghiệm của phương trình z2 + 2z + 5 = 0, đó là cặp nghiệm phức liên
hợp:
zp = -1 + j 2 và z*p = -1 – j 2
Vậy: zp = và p = arctg -1,1 rad
Để tìm dao động tự do y0(n) = IZT[Y0(z)], phân tích hàm:
Trong đó: = z = zp =
E = và c = arctg 0,6 rad
Theo công thức [2.3-27] có: y0(n) 2.7,9.(2,2)n.u(n).cos(-1,1n+0,6)
Hay yo(n) 15,8.(2,2)n.u(n).cos(-1,1n+0,6)
Phản ứng của hệ xử lý số: y(n) = IZT [Y(z)] = yp(n) – y0(n)
y(n) 3 (n+2) - 2 (n+1) – 15,8.(2,2)n.u(n).cos(-1,1n + 0,6)
Hệ đã cho không ổn định vì hàm hệ thống H(z) có các cực phức với z 2,2 >
1 làm cho dao động tự do y0(n) khi n .
2.6. Phân tích hệ xử lý số theo sơ đồ cấu trúc và sơ đồ khối trong miền z
2.6.1 Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số trong miền Z
a. Phần tử cộng
Phần tử cộng trong miền Z được sử dụng để cộng hai hay nhiều hàm ảnh X i(z)
và được ký hiệu như trên hình 2.5
b Phần tử trễ đơn vị
83
Y(z)
X2(z)
X1(z)
Y(z)
X1(z)
X2(z)
X3(z) XM(z
)
a. Y(z) = X1(z) + X2(z)
b. Y(z) =
Hình 2.5: Ký hiệu phần tử cộng trong miền Z
Theo tính chất trễ của biến đổi Z thì: Y(z) = ZT[x(n-1)] = z -1.X(z), do đó phần
tử trễ đơn vị trong miền z có hàm hệ thống H(z) = z -1 và nó được ký hiệu như trên hình
vẽ 2.6.
c. Phần tử nhân với hằng số
Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân hàm ảnh X(z) với hằng số a, nó được
ký hiệu như trên hình 2.7.
Ví dụ 2.29: Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ xử lý số có quan hệ:
y(n) = 2x(n) + 3x(n-1) – 0,5y(n-1)
Giải: Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình trên nhận được:
Y(z) = 2X(z) + 3.z-1 X(z) – 0,5z-1 Y(z)
Từ đó xây dựng được sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ trên hình 2.8
2.6.2. Tìm hàm hệ thống H(z) theo sơ đồ cấu trúc và sơ đồ khối
Một hệ xử lý số phức tạp có thể được mô tả bằng sơ đồ cấu trúc hoặc sơ đồ khối
gồm nhiều khối liên kết với nhau, trong đó mỗi khối được đặc trưng bằng hàm hệ
thống Hi(z). Khi đã biết sơ đồ cấu trúc hoặc sơ đồ khối và các hàm hệ thống H i(z)
thành phần, có thể xác định được hàm hệ thống H(z) của cả hệ.
a Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết nối tiếp
Xét hệ xử lý số gồm m khối liên kết nối tiếp trên hình 2.9.
Khi đó phản ứng của hệ sẽ được xác định theo biểu thức:
Y(z) = X(z). H1(z).H2(z) .....Hm(z) = X(z).H(z)
Từ đó suy ra: [2.6-1]
Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết nối tiếp bằng tích các hàm hệ thống
Hi(z) thành phần.
84
Y(z)
a
X(z)
Hình 2.7: Ký hiệu phần tử nhân với hằng số trong miền z: Y(z) = a.X(z)
Y(z)X1(z)
z-1
Hình 2.6: Ký hiệu phần tử trễ đơn vị trong miền z: Y(z) = z-1 X(z)
Y(z)X(z)
z-1 z-1
2
3 - 0,5
Hình 2.8: Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số ở ví dụ 2.29
X1(z)
H1(z)
Y(z)Hm(z)H2(z
) H1(z)
Hình 2.9: Sơ đồ các khối H1(z) liên kết nối tiếp
b. Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết song song
Xét hệ xử lý số gồm m khối liên kết song song trên hình 2.10
Khi đó phản ứng của hệ sẽ được xác định theo biểu thức:
Y(z) = X(z). H1(z) + X(z).H2(z) + ....+ X(z).Hm(z)
Hay: Y(z) = X(z).[ H1(z) + H2(z) +....+ Hm(z)] = X(z).H(z)
Từ đó suy ra: [2.6-2]
Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết song song bằng tổng các hàm hệ thống
Hi(z) thành phần.
c. Hàm hệ thống H(z) của vòng phản hồi
Xét hệ xử lý số có vòng phản hồi trên hình 2.11, theo sơ đồ khối ta có:
X2(z) = Y(z).H2(z)
Và: X1(z) = X(z) + X2(z) = X(z) + Y(z).H2(z)
Y(z) = X1(z).H1(z) = [X(z) + Y(z).H2(z)].H1(z)
Từ đó suy ra: [2.6-3]
Hàm hệ thống H(z) của vòng phản hồi trên hình 2.11 được tính theo biểu thức [2.6-3].
d. Chuyển khâu cộng từ phía trước ra phía sau một khối
Xét hệ xử lý số có khâu cộng ở phía trước một khối trên hình 2.12, theo sơ đồ khối có:
85
X(z) H1(z)
H2(z)
Y(z)
X2(z)
Hm(z)
Hình 2.10: Sơ đồ các khối H1(z) liên kết song song
X(z) H1(z)
H2(z)
Y(z)X1(z)
X2(z)
Hình 2.11: Sơ đồ khối của vòng phản hồi
Y(z) = [X1(z) + X2(z)]. H(z) = X1(z).H(z) + X2(z).H(z)
Từ đó có thể chuyển sơ đồ khối trên hình 2.12 về dạng trên hình 2.13.
e. Chuyển khâu cộng ra phía trước một khối
Xét hệ xử lý số trên hình 2.14, theo sơ đồ khối có:
Y(z) = X1(z). H(z) + X2(z) =
Từ đó có thể chuyển sơ đồ khối hình 2.14 về dạng trên hình 2.15
Ví dụ 2.30: Tìm hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý TTBBNQ có sơ đồ cấu trúc trên hình
vẽ 2.16.
Giải: Để tìm hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số đã cho, có thể thực hiện theo
thứ tự: Đầu tiên tìm hàm hệ thống của các khối liên kết nối tiếp, song song và hàm hệ
thống của các vòng phản hồi chỉ bao một khối, từ đó rút gọn dần sơ đồ khối của hệ về
còn một khối, hàm hệ thống của khối đó chính là hàm hệ thống H(z) cần tìm.
86
X(z) H(z) Y(z)
X2(z)
Hình 2.12: Sơ đồ khối có khâu cộng ở phía trước khối
H(z)
H(z)
Y(z)
X2(z)
X2(z)
Hình 2.13: Sơ đồ khối chuyển khâu cộng ra sau khối
X2(z)
H(z)Y(z)X1(z
)
Hình 2.14: Sơ đồ khối có khâu cộng ở phía sau khối
X2(z)
H(z) Y(z)X1(z)
[H(z)]-1
Hình 2.15: Sơ đồ khối chuyển khâu cộng ra trước khối
Tuy nhiên, có thể tìm được hàm hệ thống H(z) của hệ đã cho nhanh hơn bằng cách
chuyển tất cả các vòng phản hồi về chung một nút cộng như trên hình 2.17, sau đó mới
thực hiện các bước rút gọn.
Sau khi xác định hàm hệ thống của các khối liên kết nối tiếp và song song trong
sơ đồ khối hình 2.17, rút gọn sơ đồ về dạng hình 2.18, với H2(z) là hàm hệ thống của
các khối phản hồi liên kết song song:
H2(z) = z + 5z-1 - 3z-1 = z + 5z-1 - 9z-2
Tìm tiếp hàm hệ thống H3(z) của vòng phản hồi trên sơ đồ hình 2.17:
H3(z) =
Rút gọn sơ đồ khối về dạng trên hình 2.18 và tính hàm hệ thống của hai khối liên kết
nối tiếp, nhận được hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số đã cho:
87
Y(z)X(z)
z-1
-3
z-1 z-1 z-1
z-1
z-1
52
Hình 2.16: Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số của ví dụ 2.30
Y(z)X(z) 3z -
1z -
1
z
z -
1
5z -
1
-3z-1 3z-
1
Hình 2.17: Sau khi đưa các phản hồi về một khâu cộng
Y(z)X(z) 3z -
1z -
2
H2(z)
Hình 2.18: Sơ đồ khi tính hàm hệ thống các khối nối tiếp và song song
H(z) = 3z-1.H3(z) =
Sau khi tìm được hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số, có thể xác định tính ổn định của
hệ đã cho bằng tiêu chuẩn Jury, và nếu biết tác động x(n), có thể tìm được phản ứng
y(n) của hệ.
CÁC BẢNG TÓM TẮT CỦA CHƯƠNG II
Bảng 2.1: Miền hội tụ của biến đổi Z
Loại dãyDãy hữu hạn Dãy vô hạn
x(n)N RC[X(z)] x(n) RC[X(z)
Nhân quả n [n1,n2], n1 0 z > 0 n [n1,], n1 0
z > Rx-
Phản nhân quả n [n1,n2], n2 0 z > 0 n[-,n2], n1 0 z < Rx+
Không nhân quản [n1,n2],
n1 0, n2 0.0 < z <
n [-,] Rx-< z <
Rx+
n [n1,], n1 < 0 Rx- < z <
n[-,n2], n1> 0 0 < z < Rx+
Bảng 2.2: Tóm tắt các tính chất của biến đổi Z hai phía
Hàm gốc Hàm ảnh Miền hội tụ (RC)
x(n) X(z) Rx-< z < Rx+
y(n) Y(z) Ry-< z < Ry+
a.x(n) + b.y(n) a.X(z) + b.Y(z) max[Rx- , Ry-] < z < min [Rx+ , Ry+]
x(n-k) z-k.X(z) Rx- < z < Rx+
an.x(n) X(a-1.z) a Rx- < z < a Rx+
x(-n) X(z-1) < z <
n.x(n) -z. Rx- < z < Rx+
x(n)*y(n) X(z).Y(z) max[Rx- , Ry-] < z < min [Rx+ , Ry+]
x(n).y(n) max[Rx- , Ry-] < z < min [Rx+ , Ry+]
88
Y(z)X (z)
H3(z)
3z -
1
H(z)
X (z)
Y(z)
Hình 2.19: Sau khi tính hàm hệ thống khâu phản hồi
và hai khối liên kết nối tiếp nhận được H(z)
x*(n) X*(z*) Rx- < z < Rx+
rxy(m) Rxy(z) = X(z).Y(z-1) max[Rx- , Ry-] < z < min [Rx+ , Ry+]
Bảng 2.3: Biến đổi Z của các dãy nhân quả thường gặp
Dãy hàm gốc Hàm ảnh Z Miền hội tụ
(n) 1 Toàn bộ mặt phẳng z
(n-k) z-k z > 0 (với k > 0)
u(n)z > 1
u(n-k)z > 1
rectN(n)z > 1
an.u(n)z > a
n.u(n)z > 1
n.anu(n)z > a
u(n).cos(0n) z > 1
u(n).sin(0n)z > 1
anu(n).cos(0n) z > a
anu(n).sin(0n) z > a
với a2 < b2
z > b
89