ci/wykł ści - student-online.plstudent-online.pl/pliki2/semestr 2/podstawy matematyki...

Logika i teoria mnogości/Wykład 4: Teoria mnogościZFC. Operacje na zbiorachFrom Studia Informatyczne

< Logika i teoria mnogości

Spis treści

1 Wstęp2 Podstawowe definicje3 Aksjomat zbioru pustego4 Aksjomat Pary5 Aksjomat Sumy6 Schemat aksjomatu wyróżniania7 Aksjomat Nieskończoności8 Aksjomat Zbioru Potęgowego9 Schemat Aksjomatu Zastępowania10 Aksjomat Regularności11 Aksjomat Wyboru12 Podsumowanie

Wstęp

Aksjomatyczna teoria mnogości powstała jako odpowiedź na paradoksy powstające w teorii naiwnej. Jest ona oparta ouzupełniony aksjomatami rachunek predykatów. Aksjomaty to formuły, o których zakładamy, że są prawdziwe. Słowo

, z którego wywodzi się aksjomat, oznaczało wśród filozofów greckich tezę, która jest oczywista i niepotrzebuje dowodu. Aksjomaty teorii mnogości to formuły, które definiują podstawowe własności zbiorów -przyjmujemy je bez dowodów i w oparciu o nie wyprowadzamy bardziej skomplikowane własności. Dlatego właśnieniezwykle istotne jest, aby aksjomaty były możliwie najprostsze w formie i aby ich "prawdziwość" była oczywista.Przyjęcie złej aksjomatyki może doprowadzić do sytuacji, w której udaje się poprawnie dowodzić twierdzeniazupełnie sprzeczne z intuicją. Aksjomaty to podstawy naszej teorii -- jeśli podstawy są nieodpowiednie, stworzona nanich teoria może być zupełnie nieprzydatna.

Istnieje wiele różnych aksjomatyzacji teorii mnogości. Aksjomatyka, którą przedstawiamy w tym wykładzie, zostałazaproponowana, w podstawowej wersji, przez Ernsta Zermelo i uzupełniona później przez Adolfa Abrahama HaleviFraenkela. Stąd też pochodzi jej nazwa ZF (aksjomatyka Zermelo-Fraenkla). Jeden spośród aksjomatówprezentowanych w tym wykładzie zasługuje na szczególną uwagę, jest to aksjomat wyboru. Ten pozornie oczywistyaksjomat pociąga za sobą konsekwencje sprzeczne z intuicją. Aksjomat ten często wyróżniany jest z podstawowegozestawu i aksjomatyka bez niego oznaczana jest przez ZF, a z nim przez ZFC (gdzie ostatnia litera pochodzi od nazwydodatkowego aksjomatu: Axiom of Choice).

Podstawowe definicje

Aksjomatyczna teoria mnogości jest oparta o rachunek predykatów posługujący się jedynym symbolempredykatowym. Symbol ten jest dwuargumentowy i oznaczamy go przez

Predykat ten jest najczęściej interpretowany w modelu jako symbol przynależności do zbioru. Zbiór, który jestwartością zmiennej po lewej stronie symbolu jest elementem zbioru, który jest wartością zmiennej występującej poprawej.

Logika i teoria mnogości/Wykład 4: Teoria mnogości ZFC. Operacje n... http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogoś...

1 of 12 2012-03-28 17:31

Dla ułatwienia posługiwania się formalizmem związanym z aksjomatyczną teorią mnogości używamy wielu skrótówpozwalających na bardziej zwięzłe zapisywanie formuł. Często używany symbol jest skrótem mówiącym, że dwaelementy nie są ze sobą w relacji , to znaczy

Kolejny skrót oznaczamy przez i definiujemy go w następujący sposób,

Zgodnie z intuicją wyniesioną z naiwnej teorii zbiorów skrót ten definiuje dwa zbiory jako równe, jeśli dla każdegowartościowania zmiennej element jest w zbiorze wtedy i tylko wtedy, kiedy jest w zbiorze . Nieformalnie, dwazbiory są równe jeśli posiadają dokładnie te same elementy. W naszym języku nie mamy możliwości zdefiniowaniapojedynczego bytu w modelu, gdyż nie mamy wpływu na to, jak interpretowane są predykaty. Będziemy mówić, żezbiór posiadający daną cechę jest unikalny, jeśli wszystkie zbiory posiadające tą cechę są równe.

Podobnie do równości jesteśmy w stanie zdefiniować zawieranie, czyli inkluzji zbiorów

Inkluzja ta spełnia własności, które pochodzą z naiwnej teorii mnogości. Przede wszystkim, dwa zbiory są sobierówne wtedy i tylko wtedy, kiedy jeden jest podzbiorem drugiego, a drugi pierwszego.

FAKT 2.1.

Następująca formuła jest prawdziwa w aksjomatycznej teorii mnogości

DOWÓD

Zastępując skróty przez odpowiadające im napisy, otrzymujemy:

Używając podstawowych własności rachunku predykatów, otrzymujemy:

i dalej

co jest tautologią rachunku predykatów.

W bardzo podobny sposób możemy pokazać, że

Czyli, że zawieranie zbiorów zdefiniowane w rachunku predykatów jest przechodnie.

Aksjomat zbioru pustego

Formuły, które daje się udowodnić wyłącznie na gruncie rachunku predykatów nie są interesujące. Aby na gruncieaksjomatycznej teorii mnogości udało się udowodnić nawet podstawowe fakty, potrzebujemy aksjomatów. Pierwszyaksjomat gwarantuje, oczywiste w naiwnej teorii mnogości, istnienie zbioru pustego.

Aksjomat zbioru pustego Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem zbioru pustego, jest prawdą


2 of 12 2012-03-28 17:31

a zbiór spełniający ten warunek nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy przez .

Aksjomat zbioru pustego mówi, że istnieje zbiór nieposiadający elementów. Dokładnie, definiująca go formuła mówi,że każdy nie należy do . Symbol oznacza dokładnie jeden zbiór, czego dowodzą poniższe fakty.

W następującym fakcie pokażemy, że istnieje nie więcej niż jeden zbiór pusty. Aksjomat zbioru pustego gwarantujenam istnienie przynajmniej jednego zbioru pustego i w związku z tym zbiór pusty jest dokładnie jeden.

FAKT 3.1.

Istnieje co najwyżej jeden zbiór pusty, czyli następująca formuła jest prawdziwa

DOWÓD

Niewątpliwie

skąd możemy wnioskować, że

gdzie prawa strona implikacji jest definicją równości zbiorów. Intuicyjnie dowód przebiega następująco. Dwa zbiorysą sobie równe, jeśli każdy element albo należy do obu z nich równocześnie, albo do żadnego. Weźmy dwa zbiorypuste i dowolny element. Element ten nie należy do żadnego z tych zbiorów. Wnioskujemy, że zbiory te muszą byćsobie równe.

Aksjomat Pary

Aby aksjomatyczna teoria mnogości była podobna do naiwnej teorii, którą chcemy naśladować, powinnagwarantować istnienie więcej niż jednego zbioru. Niestety, aksjomat zbioru pustego gwarantuje istnienie tylkojednego zbioru. Jednoelementowy model , gdzie , spełnia aksjomat zbioru pustego. Wprowadzenienastępnego aksjomatu gwarantuje istnienie "nieskończonej ilości" zbiorów. Jest to aksjomat mówiący, że dladowolnych dwóch bytów możemy stworzyć zbiór zawierający je i żadnych innych elementów. Stwierdzenie to jestprawdziwe w naiwnej teorii mnogości i zgodne z intuicją.

Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem pary, jest prawdą

Zbiór którego istnienie gwarantuje ten aksjomat jest oznaczany przez . W przypadku kiedy stosujemyskrót .

Podobnie jak dowodziliśmy unikalności zbioru pustego, możemy wykazać, że dla ustalonych zbiorów i istniejedokładnie jeden zbiór . Weźmy dwa zbiory i takie, że dla każdego mamy

i . Natychmiast otrzymujemy, co dowodzi, że i że dla dowolnych dwóch zbiorów istnieje dokładnie jeden zbiór

zawierający wyłącznie te zbiory jako elementy.

Aksjomat pary razem z aksjomatem zbioru pustego gwarantują, że modele dla aksjomatycznej teorii mnogościzawierają nieskończenie wiele zbiorów. Każdy model zawiera, na mocy aksjomatu zbioru pustego, zbiór pustyoznaczony przez . Na mocy aksjomatu pary w modelu istnieje również zbiór różny od zbioru pustego. Używającaksjomatu pary, jeszcze raz możemy skonstruować następny, różny od poprzednich zbiór . Tą proceduręmożemy powtarzać dowolną ilość razy, konstruując za każdym razem nowy zbiór. Aksjomat pary nie gwarantuje


3 of 12 2012-03-28 17:31

istnienia zbiorów więcej niż dwuelementowych. Na podstawie aksjomatu zbioru pustego posiadamy zbiórzeroelementowy, aksjomat pary gwarantuje istnienie zbiorów jedno- i dwuelementowych.

ĆWICZENIE 4.1

Skonstruuj model dla dwu pierwszych aksjomatów posiadający wyłącznie zbiory zero, jedno oraz dwuelementowe.

Aksjomat Sumy

Aby teoria mnogości mogła się rozwijać, potrzebujemy gwarancji istnienia zbiorów trzy-, cztero- i więcejelementowych. Tę i wiele innych własności gwarantuje aksjomat sumy. Aksjomat ten mówi, że jeśli posiadamy zbiórzbiorów, to można utworzyć nowy zbiór składający się z elementów tych zbiorów. Postać tego aksjomatu jesttechniczna, ale w połączeniu z aksjomatem pary pozwala on między innymi stworzyć zbiór równoważny sumiezbiorów z naiwnej teorii mnogości.

Aksjomat sumy. Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem sumy, jest prawdą

Zbiór , którego istnienie gwarantuje ten aksjomat oznaczamy przez .

Aksjomat sumy oznacza, że dla dowolnego zbioru istnieje zbiór składający się dokładnie z elementów elementów tegozbioru. Podobnie jak powyżej bardzo proste rozumowanie gwarantuje, że zbiór jest unikalny dla każdego .Aksjomat sumy pozwala nam sumować zbiory w sposób nieco inny niż ten, który dawała naiwna teoria mnogości.Wykażemy kilka podstawowych własności dotyczących sum zbiorów.

FAKT 5.1.

Następująca formuła jest prawdą

DOWÓD

Dla dowolnego zbioru na mocy definicji mamy wtedy i tylko wtedy, kiedy .Ponieważ nic nie należy do zbioru pustego, ten ostatni warunek nigdy nie jest spełniony, co dowodzi, że dladowolnego mamy . Natychmiastowym wnioskiem z tego jest, że , co należało pokazać.

Kolejny fakt jest nieco bardziej skomplikowany.

FAKT 5.2.


DOWÓD

Dla dowolnego zbioru na mocy definicji mamy wtedy i tylko wtedy, kiedy. Pierwsza część koniunkcji jest spełniona wtedy i tylko wtedy, kiedy , ale wtedy druga

część koniunkcji jest nieprawdą. Wnioskujemy z tego, że każdego mamy i .

Jeśli jeden zbiór jest podzbiorem drugiego zbioru, to również ich sumy powinny pozostać w takiej samej zależności.Formalnie fakt ten przedstawia się następująco:

FAKT 5.3.


4 of 12 2012-03-28 17:31


DOWÓD

Chcemy pokazać, że dla dowolnego , jeśli , to . Ustalmy dowolne takie, że . Toimplikuje, że istnieje zbiór spełniający i . Na mocy założenia mówiącego, że wnioskujemy, że

, a co za tym idzie , czyli , co należało pokazać.

Kolejną własność podajemy w formie ćwiczenia.

ĆWICZENIE 5.1

Wykaż, że dla dowolnego zbioru mamy .

Przy pomocy aksjomatu sumy, posiłkując się aksjomatem pary, możemy zdefiniować sumę zbiorów znaną z naiwnejteorii mnogości. Aby zsumować dwa zbiory i , tworzymy zbiór , a następnie używamy w stosunku do niegoaksjomatu sumy.

Suma ta posiada identyczne własności jak suma naiwna.

FAKT 5.4.

Element występuje w sumie dwóch zbiorów wtedy i tylko wtedy, kiedy występuje w którymś z nich. Formalnie,następująca formuła jest prawdą

DOWÓD

Ustalmy dowolne i . Dla dowodu implikacji w prawą stronę załóżmy, że , to znaczy, że, czyli, że istnieje element taki, że do niego należy. Tym elementem może być lub , więc

-- pokazaliśmy implikację w prawą stronę. Dla dowodu implikacji w drugą stronę zakładamy, że. Wtedy niewątpliwie istnieje element zawierający w sobie i .

Dowodzi to implikacji w drugą stronę i równocześnie całego faktu.

ĆWICZENIE 5.2

Udowodnij następujące własności dotyczące sumy zbiorów. Dla dowolnych zbiorów , :

1 . ,

2 . ,

3 . ,

4 . ,

5 . .

Aksjomat sumy gwarantuje istnienie zbiorów więcej niż dwuelementowych w modelu. Skończone zbiory składającesię z pewnej liczby elementów będziemy oznaczać, podobnie jak zbiory dwuelementowe, używając nawiasówklamrowych. Na przykład czteroelementowy zbiór składający się ze zbiorów będzie oznaczany przez


5 of 12 2012-03-28 17:31

. Na podstawie aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu pary możemy skonstruować zbiór i otrzymać

zbiór czteroelementowy. Rzeczą, której aksjomat sumy nie gwarantuje, jest istnienie zbiorów nieskończonych.

ĆWICZENIE 5.3.

Skonstruuj model dla trzech pierwszych aksjomatów posiadający wyłącznie zbiory skończone.

Schemat aksjomatu wyróżniania

Zanim przejdziemy do wprowadzenia aksjomatu gwarantującego istnienie zbiorów nieskończonych, wprowadzimyjeszcze jeden aksjomat. Zasada zwana Aksjomatem Wyróżniania nie jest, formalnie rzecz biorąc aksjomatem - jestschematem aksjomatu albo rodziną aksjomatów o bardzo podobnej strukturze. Aksjomat ten mówi, że z każdegozbioru możemy wybrać podzbiór elementów spełniających konkretną własność, jeśli tylko własność tę możnazdefiniować w języku rachunku predykatów.

Aksjomat Wyróżniania Dla dowolnej formuły nieposiadającej zmiennych wolnych innych niż następującaformuła jest prawdą

Zbiór, którego istnienie gwarantuje ta formuła, jest często oznaczany przez .

W powyższym aksjomacie formuła definiuje własność, na podstawie której kwalifikujemy elementy do podzbioruzbioru . Schemat aksjomatu wyróżniania będziemy nazywać w skrócie aksjomatem wyróżniania. Aksjomat ten jestbardzo ważnym i mocnym narzędziem. Zwróćmy uwagę, że aksjomat ten pozwala nam tworzyć wyłącznie zbiorymniejsze od tych, których istnienie jest wcześniej gwarantowane - oczywistym wnioskiem z definicji jest, że

.

Aksjomat wyróżniania jest nieco kłopotliwy w użyciu w formie zaprezentowanej powyżej. Poniższa własność jestkonsekwencją tego aksjomatu, a jest dużo prostsza w zastosowaniach. Dla dowolnej formu ły nieposiadającejzmiennych wolnych innych niż i następująca formuła jest prawdą:

Powyższa własność wynika z aksjomatu wyróżniania. Dowód tego faktu korzysta z powyżej zdefiniowanychaksjomatów i aksjomatu zbioru potęgowego (który zostanie wprowadzony dalej w tym wykładzie) i jestprzedstawiony w wykładzie Iloczyn kartezjański i aksjomat wyróżniania.

Rozważmy zbiór , którego istnienie, dla każdego zbioru , gwarantuje aksjomat sumy. Jest to zbiór takich , żeistnieje spełniające . Mówiąc prościej, jest to zbiór bytów występujących w którymkolwiek zelementów . Naturalną konsekwencją wydaje się definicja zbioru elementów występujących w każdym z elementów

. Definicja takiego zbioru jest możliwa właśnie dzięki aksjomatowi wyróżniania. Zbiór taki oznaczamy przez i definiujemy jako

Aby wykazać istnienie tego zbioru, korzystamy z konsekwencji aksjomatu wyróżniania w następującej formie:

Jeśli w powyższej formule zastosujemy jako , to otrzymujemy dowód istnienia .

Naturalnie zbiór jest podzbiorem zbioru i co za tym idzie , czyli . Co więcejkonstrukcja ta pozwala nam zdefiniować kolejną, znaną z naiwnego podejścia do teorii mnogości, operację


6 of 12 2012-03-28 17:31

Przecięcie dwóch zbiorów to zbiór tych elementów, które występują w obu zbiorach równocześnie. Rozumującanalogicznie do dowodu Faktu 5.4 (patrz fakt 5.4.), można pokazać, że, podobnie jak dla unii, przecięcie ma znaczenieidentyczne z tym używanym w naiwnej teorii mnogości:

ĆWICZENIE 6.1

Udowodnij następujące własności dotyczące przecięcia zbiorów. Dla dowolnych zbiorów , i

1 . ,

2 . ,

3 . ,

4 . ,

5 . ,

6 . ,

7 . .

Dowiedziemy teraz prostego faktu dotyczącego przecięć zbiorów. Fakt ten wyrazimy najpierw intuicyjnie, a następniejako formułę, która będzie prawdziwa w naszej aksjomatyce:

FAKT 6.1.

Przecięcie niepustego zbioru jest największym pod względem inkluzji zbiorem zawartym w każdym elemencie . Toznaczy, że następująca formuła jest prawdą:

DOWÓD

Ustalmy niepusty zbiór i zbiór taki, że jest podzbiorem każdego elementu . Weźmy dowolny element zbioru inazwijmy go . Ponieważ jest podzbiorem każdego elementu , to prawdą jest, że .Ponieważ zbiór nie jest pusty otrzymujemy , a ponieważ spełnia formułę powyżej . Pokazaliśmy,że każdy element jest elementem , czyli że , czego należało dowieść.

Kolejny fakt dowodzi, że, zgodnie z intuicją, przecięcie większej rodziny zbiorów jest mniejsze.

FAKT 6.2.

Jeśli zbiór jest niepustym podzbiorem zbioru , to jest podzbiorem . Równoważnie następująca formuła jestprawdą

DOWÓD

Ustalmy zbiór i zbiór spełniające . Z definicji zbioru zbioru wnioskujemy, że jest podzbioremkażdego elementu zbioru . Ponieważ zbiór jest również podzbiorem każdego elementu zbioru . StosującFakt 6.1, natychmiast otrzymujemy, że -- co należało pokazać.


7 of 12 2012-03-28 17:31

Kolejny fakt ilustruje zależność pomiędzy elementami zbioru, jego unią i przecięciem.

FAKT 6.3.

Zbiór jest podzbiorem, a zbiór nadzbiorem każdego elementu zbioru . Równoważnie następująca formułajest prawdziwa:

DOWÓD

Ustalmy dowolne zbiory i takie, że . Dla dowodu pierwszej inkluzji ustalmy dowolne . Definicja implikuje, że jest elementem każdego z elementów , w szczególności , czyli .

Dla dowodu drugiej inkluzji ustalmy dowolne . Ponieważ istnieje element , którego jest elementem, to. To dowodzi, że i druga inkluzja jest dowiedziona.

Przy pomocy aksjomatu wyróżniania jesteśmy w stanie zdefiniować różnicę dwóch zbiorów. Dla zbiorów i ichróżnica to zbiór elementów, które występują w pierwszym i nie występują w drugim zbiorze. Istnienie zbiorubędącego różnicą dwu zbiorów dowodzimy przy użyciu równania (*). Piszemy:

W powyższym przykładzie formuła występująca w definicji aksjomatu wyróżniania to . Aby umotywowaćzgodność z intuicją dotyczącą różnicy zbiorów, wykażemy następujący fakt.

FAKT 6.4.

Zbiór jest największym zbiorem zawartym w i przecinającym się pusto z . Równoważnie, następującaformuła jest prawdą

DOWÓD

Ustalmy dowolne zbiory takie, że i dowolne . Wtedy , ponieważ i, ponieważ . To implikuje, że , co należało pokazać.

ĆWICZENIE 6.2

Udowodnij następujące własności dotyczące różnicy zbiorów. Dla dowolnych zbiorów i :

1 . ,

2 . ,

3 . .

Aksjomat Nieskończoności

Następujący aksjomat gwarantuje istnienie zbiorów nieskończonych. Działanie tego aksjomatu jest podobne dodziałania indukcji matematycznej omawianej wcześniej. Intuicyjnie aksjomat ten gwarantuje nam istnienieprzynajmniej jednego zbioru zawierającego wszystkie liczby naturalne. Zbiór taki musi być nieskończony.

Aksjomat Nieskończoności Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem nieskończoności, jest prawdą:


8 of 12 2012-03-28 17:31

Rozważmy zbiór , którego istnienie jest gwarantowane przez aksjomat nieskończoności. Niewątpliwie . Napodstawie drugiej części definicji wnioskujemy, że . Stosując drugą część definicji raz jeszcze,otrzymujemy dalej . Powtarzając tę operację za każdym razem, otrzymujemy nowyelement zbioru . Intuicyjnie, wymagania stawiane zbiorowi w definicji gwarantują, że, na zasadzie podobnej dozasady indukcji matematycznej, będzie on posiadał "nieskończenie" wiele elementów. Zbiór ten może posiadać inneelementy niż te, które udają się skonstruować za pomocą procedury wymienionej powyżej.

Zbiór, którego istnienie gwarantuje aksjomat nieskończoności, jest używany do konstruowania liczb naturalnych. Wkonstrukcji liczb naturalnych opartej na liczbach porządkowych wprowadzonych po raz pierwszy przez Johna vonNeumanna wyżej wymienione zbiory to kolejne liczby naturalne.

W powyższej konstrukcji liczba naturalna to bardzo konkretny zbiór. Zbiór będący liczbą naturalną ma, intuicyjniemówiąc, tyle elementów, jaka jest wartość tej liczby, choć nie każdy zbiór posiadający tyle elementów jest liczbąnaturalną. Wykład 7 jest w całości poświęcony konsekwencjom tego aksjomatu; uzyskany tam zbiór liczb naturalnychjest najmniejszym spełniającym warunki aksjomatu nieskończoności.

Aksjomat Zbioru Potęgowego

Aksjomat nieskończoności pozwala nam tworzyć zbiory nieskończone. Dzięki poniższemu aksjomatowi możemytworzyć zbiory wszystkich podzbiorów danego zbioru. Jak będzie to przedstawione w Wykładzie 9, tworzenie zbioruskładającego się z wszystkich podzbiorów danego zbioru jest prostym sposobem na tworzenie jeszcze liczniejszychzbiorów. W wykładzie tym wykażemy, że nawet dla zbiorów nieskończonych zbiór wszystkich podzbiorów danegozbioru jest liczniejszy niż sam zbiór.

Aksjomat Zbioru Potęgowego Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem zbioru potęgowego, jestprawdą:

Zbiór potęgowy , którego istnienie gwarantuje ten aksjomat, oznaczamy przez lub przez .

Aksjomat zbioru potęgowego gwarantuje, że dla każdego zbioru istnieje zbiór zawierający wyłączniewszystkie podzbiory . Bardzo łatwo zauważyć, że dla dowolnego zbioru mamy oraz .Oznaczanie zbioru potęgowego przez ma głębsze znaczenie, które zostanie przedstawione w zbiór funkcji . Narazie możemy jedynie dla zbiorów skończonych odpowiedzieć na dwa pytania:

ĆWICZENIE 8.1

Czy następujące fakty są prawdziwe:

1. Jeśli jest skończonym, -elementowym zbiorem, to posiada dokładnie elementów?

2. Jeśli jest zbiorem będącym liczbą naturalną (oznaczmy ją nieformalnie jako ), to zbiór jest zbiorembędącym liczbą naturalną oznaczoną nieformalnie jako ?

Wykażemy kilka prostych faktów dotyczących zbiorów potęgowych.

FAKT 8.1.


9 of 12 2012-03-28 17:31

Dla dowolnego zbioru mamy , ale istnieje taki zbiór, że .

DOWÓD

Dla dowodu równości , ustalmy dowolne . Wnioskujemy, że i w związku z tym, czyli . Dla dowodu inkluzji w drugą stronę ustalamy . To oznacza, że istnieje

takie, że . To z kolei implikuje, że , czyli i . Oba te fakty razemdowodzą, że , co dowodzi pierwszej części tezy. Zbiór , dla którego , to zbiór .Zbiór

co potwierdza fakt, że istnieją zbiory, dla których .

Kolejny fakt dowodzi, że inkluzja przenosi się na zbiory potęgowe.

FAKT 8.2.

Większe zbiory mają więcej podzbiorów, czyli następująca formuła jest prawdą:

DOWÓD

Aby dowieść faktu, ustalamy dowolne , takie, że oraz dowolne takie, że . To implikuje, że i korzystając z założenia, otrzymujemy , co oznacza, że .

Następujące własności zbiorów potęgowych przedstawiamy w formie ćwiczeń

ĆWICZENIE 8.2

Dla dowolnego zbioru zachodzi .

ĆWICZENIE 8.3

Jakie implikacje zachodzą pomiędzy dwoma warunkami i .

ĆWICZENIE 8.4

Czy następujące równości są prawdziwe dla dowolnych zbiorów i ?

1 . ,

2 . .

Schemat Aksjomatu Zastępowania

Kolejnym aksjomatem lub raczej schematem aksjomatu jest aksjomat zastępowania. Aksjomat ten, wraz z aksjomatemzbioru pustego, implikuje aksjomat wyróżniania i dlatego aksjomat wyróżniania jest często omijany w liścieaksjomatów. Intuicyjna interpretacja tego aksjomatu jest następująca. Jeśli pewna własność, opisana formułą, macechy funkcji, to obrazem każdego zbioru, względem tej własności, jest również zbiór.

Aksjomat Zastępowania Dla dowolnej formuły nieposiadającej zmiennych wolnych innych niż i następująca


10 of 12 2012-03-28 17:31

formuła jest prawdą:

Aksjomat zastępowania posiada specyficzną formę. Istnienie zbioru jest zagwarantowane pod warunkiem, żeformuła spełnia wymaganą własność. Formuła musi działać jak "funkcja częściowa", to znaczy, że jeśli jestspełniona dla zbiorów , to nie może być prawdą dla żadnych innych zbiorów . Nieformalnie, formuła przyporządkowuje jednoznacznie pewnym zbiorom inne zbiory. Pod tym warunkiem istnieje zbiór bytówprzyporządkowany bytom z danego zbioru . Zupełnie nieformalnie możemy stwierdzić, że dla zdefiniowanej formułączęściowej funkcji, jeśli jako dziedzinę weźmiemy dowolny zbiór , to przeciwdziedzina tej funkcji również jestzbiorem.

Aksjomat zastępowania nie był jednym z aksjomatów zaproponowanych przez Ernsta ZermeloZostał on dodanypóźniej przez Adolfa Abrahama Halevi Fraenkela i jest stosowany obecnie jako część aksjomatyki, którą nazywamypotocznie ZF . Pokażemy teraz, że aksjomat zastępowania implikuje aksjomat wyróżniania.

Rozpoczynając dowód, ustalamy i , do których chcielibyśmy zastosować aksjomat wyróżniania. Jedyną zmiennąwolną w jest i aksjomat wyróżniania gwarantuje istnienie zbioru będącego podzbiorem i składającego siędokładnie z tych elementów, dla których jest prawdą. Aby istnienie zbioru zostało zagwarantowane przezaksjomat zastępowania, musimy zmienić formułę . Nowa formuła wygląda następująco

Formuła posiada dwie zmienne wolne i i spełnia warunek jednoznaczności, gdyż jeśli jest prawdą dla i , toniewątpliwie . Co więcej formuła jest prawdą dla wyłącznie tych , dla których jest prawdą przyzałożeniu, że . Stosując aksjomat zastępowania dla tego samego , dla którego chcielibyśmy stosowaćaksjomat wyróżniania, otrzymujemy zbiór tych , dla których jest prawdą dla pewnego . Ale skoro tak, to

i jest prawdą dla , co dowodzi, że otrzymaliśmy dokładnie ten sam zbiór. Dowiedliśmy, że aksjomatzastępowania implikuje aksjomat wyróżniania.

Aksjomat Regularności

W skład zestawu aksjomatów zaproponowanych przez Ernsta Zermelo i uzupełnionych później przez AdolfaAbrahama Halevi Fraenkela wchodzą dodatkowe dwa aksjomaty. Pierwszym z nich jest aksjomat regularności.

Aksjomat Regularności Zakładamy, że następująca formuła, zwana aksjomatem regularności, jest prawdą:

(Zwróćmy uwagę, że występujący w formule napis , można zastąpić równoważnym napisem, unikając tym samym symbolu . ) Aksjomat regularności nazywamy czasem aksjomatem

ufundowania. Gwarantuje on, że zbiory budowane są zgodnie z intuicją. Mówi, że każdy zbiór posiada elementprzecinający się pusto z nim samym. W szczególności, używając aksjomatu regularności możemy pokazać, że żadenzbiór nie zawiera samego siebie.

FAKT 10.1.

Żaden zbiór nie jest swoim własnym elementem, równoważnie, następująca formuła jest prawdziwa:

DOWÓD

Dla dowodu niewprost załóżmy, że nasz fakt jest nieprawdziwy i ustalmy takie, że . Na podstawie aksjomatupary możemy stworzyć zbiór . Istnienie takiego zbioru przeczy jednak aksjomatowi regularności, ponieważjedynym elementem jest i , ponieważ . Sprzeczność z aksjomatem w dowodzieniewprost gwarantuje, że fakt jest prawdziwy.


11 of 12 2012-03-28 17:31

Aksjomat Wyboru

Ostatnim aksjomatem jest aksjomat wyboru. Jest to aksjomat, który wywołał dużą liczbę kontrowersji. Wieluznakomitych matematyków początku XX wieku uważało, że nie należy go dopuścić do zestawu podstawowychaksjomatów. W chwili obecnej większość matematyków uważa, że aksjomat wyboru jest prawdziwy, nawet jeśli jegokonsekwencje są bardzo nieintuicyjne. System aksjomatów przedstawionych powyżej oznaczamy przez ZF -- skrótpochodzący od pierwszych liter nazwisk jego twórców. Zestaw aksjomatów z przedstawionym poniżej aksjomatemwyboru oznaczamy przez ZFC, gdzie C jest symbolicznym zapisem dodatkowego aksjomatu (Axiom of Choice).Prezentujemy poniżej jedną z wielu równoważnych postaci aksjomatu.

Aksjomat Wyboru. Następująca formuła jest prawdziwa:

Aksjomat wyboru mówi, że jeśli jest zbiorem nie zawierającym zbioru pustego oraz takim, że każde dwa jegoelementy są rozłączne, to istnieje zbiór , który z każdym z elementów ma dokładnie jeden element wspólny.Intuicyjnie znaczy to, że mając rodzinę rozłącznych zbiorów, możemy stworzyć zbiór, wybierając po jednymelemencie z każdego zbioru.

Własność gwarantowana przez aksjomat wyboru może wydawać się intuicyjnie oczywista. Niestety konsekwencje,jakie pociąga za sobą przyjęcie tego aksjomatu, zniechęciły wielu matematyków. Jedną z konsekwencji aksjomatuwyboru jest twierdzenie znane jako Paradoks Banacha-Tarskiego - nie jest to sprzeczność logiczna jak paradoksBertrandta Russella, a jedynie bardzo nieintuicyjny fakt. Twierdzenie to mówi, że trójwymiarową kulę możnapodzielić na sześć części, z których, za pomocą obrotów i translacji, da się skonstruować dwie kule identyczne z tąpierwszą.

Podsumowanie

Wszystkie dowody pojawiające się w kolejnych wykładach bazują na aksjomatyce ZF lub ZFC. Część dowodówprzedstawionych podczas pozostałych wykładów nie korzysta z aksjomatu wyboru. Z kontekstu, w jakim sąprezentowane, jest oczywiste, czy dany dowód wymaga, czy też nie wymaga tego aksjomatu.

Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci/Wyk%C5%82ad_4:_Teoria_mnogo%C5%9Bci_ZFC._Operacje_na_zbiorach"

Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 21:44, 21 wrz 2006;


12 of 12 2012-03-28 17:31

ci/wykł ści - student-online.plstudent-online.pl/pliki2/semestr 2/podstawy matematyki...

Documents