CONTROL MECATRONICO III

LINEALIDAD

Autor: ING. MARCELO JAIME QUISPE CCACHUCO

Contenidos.Introduccin. Linealidad

Invariancia en el tiempo. Respuesta a la

condicin inicial.

Ejemplo integrador doble.

Ejemplo Oscilador sin amortiguamiento.

Respuesta entrada/salida.

Funcin de Transferencia L.C.

Transformacin de modelos matemticos con MATLAB.

Ejemplos y problemas

Ahora nos centraremos en el caso de sistemas LTI yanalizaremos el efecto de las condiciones iniciales y lasentradas en las salidas. Los conceptos centrales de matrizexponencial y la ecuacin convolucin nos permitirncaracterizar completamente el sistema.

En general, varios sistemas dinmicos pueden ser modeladosde forma precisa usando ecuaciones diferenciales lineales.

As, sistemas mecnicos y circuitos elctricos son ejemplosdonde los modelos lineales pueden ser usados efectivamente.

En muchos casos, nosotros creamos sistemas con unarespuesta de entrada/salida lineal. Por ejemplo, casi todos lossistemas modernos de procesamiento de seales, ya seananalgicos o digitales, usan realimentacin para producircaractersticas de entrada/salida lineales o casi-lineales.

Introduccin

Para estos sistemas, a menudo es til representar lascaractersticas de entrada/salida como lineales, ignorando losdetalles internos requeridos para obtener la respuesta lineal.

Para otros sistemas, sin embargo, las no linealidades nopueden ser ignoradas, especialmente si uno se importa en elcomportamiento global del sistema. Sin embargo, si slo nosimporta lo que pasa cerca del punto de equilibrio, essuficiente aproximar la dinmica no lineal por su Linealizacinlocal.

Introduccin

1.1. Linealizacin

Considerando el sistema en la forma espacio de estados y su correspondienteecuacin de salida:

= , , = (, )

donde , . Sean ( , ) 0 las condiciones de operacin, ydefiniendo:

= , = , = ,

podemos reescribir las ecuaciones de movimiento usando como punto deequilibrio del sistema al origen = 0 y = 0. Luego

= + , + = , ,

= + , + = ,

En el nuevo conjunto de variables, el origen es un punto de equilibrio consalida cero. Una vez realizado el anlisis en este nuevo conjunto de variables,las respuestas obtenidas sern trasladadas de vuelta a las coordinadasiniciales usando = + , = + y y = +

1.- Linealidad.

Para el sistema (1), asumiendo, sin prdida de generalidad, que el origen es elpunto de equilibrio de inters, escribiremos la salida y(t) correspondiente a lacondicin inicial 0 = 0 y entrada u(t) como (; 0, ). Usando estanotacin, un sistema de entrada/salida es lineal si las siguientes condicionesson satisfechas:

Luego definimos que un sistema es lineal si las salidas son conjuntamentelineales en la respuesta a las condiciones iniciales (u = 0) y la respuestaforzada (x(0) = 0). La propiedad iii) est relacionada al principio desuperposicin: la respuesta de un sistema lineal a la suma de dos entradas u1y u2 es la suma de las salidas y1 y y2 correspondientes a cada entrada.

La forma general del sistema lineal en la forma de espacio de estados, concorrespondiente ecuacin de salida, es:

= +

= +

1.- Linealidad.

= + = +

Es fcil mostrar que dos soluciones dadas x1(t) y x2(t) para este sistema deecuaciones, satisfacen las condiciones de linealidad.

Definiendo xh(t) como la solucin con entrada cero (solucin homognea)y la solucin xp(t) como la solucin con condiciones iniciales igual a cero(solucin particular). La Fig. 1 ilustra como dos soluciones individuales sepueden superponer para formar la solucin completa.

1.- Linealidad. = + = +

Invariancia en el tiempo es un concepto importante que se usa paradescribir un sistema cuyas propiedades no cambian en el tiempo.

Si la entrada u(t) resulta en y(t), luego moviendo el tiempo en elque se aplica la entrada por una constante a, u(t + a), la salidaresulta en y(t+a).

Los sistemas que son lineales e invariantes en el tiempo a menudose denominan sistemas LTI (linear time invariant, por sus siglas enIngls) y poseen una propiedad interesante: su respuesta a unaentrada arbitraria est completamente caracterizada por susrespuesta a entradas del tipo escaln o sus respuestas a impulsoscortos.

Suponiendo que el sistema se encuentra inicialmente en el puntode equilibrio (respuesta a las condiciones iniciales es cero), larespuesta a una entrada se puede obtener al superponer lasrespuestas a una combinacin de entradas tipo escaln

2.- Invariancia en el tiempo.

Un ejemplo de este clculo est dado en la Fig. 2. La Fig. 2(a)muestra una entrada u(t) lineal por partes (suma de funcionesescaln).

Sea H(t) la respuesta a un escaln unitario aplicado en el tiempo 0.La respuesta al primer escaln es entonces H(tto)u(to), larespuesta al segundo escaln es H(tt1)(u(t1)u(to)), y assucesivamente.

Fig 2: (a) Respuesta a entradas continuas por partes y

(b) salida resultante de la suma de entradas individuales.

2.- Invariancia en el tiempo.

Luego, podemos encontrar la respuesta completa del sistema siendo dadapor:

como mostrado en la Fig. 2(b). La respuesta a una seal continua seobtiene tomando el lmite cuando tn+1 tn 0, que resulta en:

donde H es la derivada de la respuesta al escaln, tambin llamadarespuesta impulsiva. Luego, la respuesta de un sistema LTI a cualquierentrada puede ser calculada a partir de la respuesta al escaln. Nteseque la salida slo depende de la entrada pues consideramos que elsistema est en reposo al inicio, x(0) = 0.

2.- Invariancia en el tiempo.

La ecuacin anterior muestra que la salida de un sistema lineal se puedeexpresar como un integral sobre todas las entradas u(t). En esta seccinderivaremos una frmula ms general, que incluye las condicionesiniciales diferentes de cero.

En esta seccin calcularemos la solucin de un sistema de la forma:

= , 0 = 0

Para la ecuacin diferencial escalar se tiene:

= , ,

y la solucin est dada por: = ()

Generalizando para cuando A se convierte en una matriz. Definimos elexponencial de matrices como una serie infinita:

donde es una matriz cuadrada y es la matriz identidad n n.

3.- Respuesta a la condicin inicial.

Reemplazando X en (8) por At, donde t , tenemos que:

luego diferenciando la expresin en (12) con respecto al tiempo resultaen:

Multiplicando por x(0) por la derecha, encontramos que = (0)

es la solucin a la ecuacin diferencial

= con condiciones iniciales

x(0). La matriz = es denominada matriz de transicin.

Tomando la transformada de Laplace en (13), sabiendo que ()

=

(0), tenemos: 0 =

=

Entonces, si A no tiene auto valores en el eje imaginario, obtenemos:

= ( )

3.- Respuesta a la condicin inicial.

= , =

El sistema es llamado de integrador doble porque su entrada u esintegrada dos veces para determinar la salida y. En la forma espacio deestados, escribimos = [ ]

=

0 10 0

+01

La matriz dinmica de un integrador doble es:

=0 10 0

= = + +

+

! ++

y por clculo directo encontramos que 2 = 0 y entonces:

= =1 00 1

+0 10 0

+1

222 +

1

3!33

= =1 0 1

Entonces, la solucin homognea (u = 0) para un integrador doble es dadapor:

=

()()

= + ()

()

4.- Ejemplo: Integrador doble.

= , la solucin

est dada por: = (0)

Un modelo simple de oscilador, tal como el sistema masa-resortesin amortiguamiento es:

+ 02 =

Poniendo el sistema en la forma de espacio de estados, la matrizdinmica del sistema puede ser escrita como:

=0 0

0 0 =

cos(0) sin(0)sin(0) cos(0)

Esta expresin para = se puede verificar por diferenciacin:

=

0sin(0) 0cos(0)0cos(0) 0sin(0)

=0 0

0 0cos(0) sin(0)sin(0) cos(0)

=

Luego la solucin est dada por:

= =cos(0) sin(0)sin(0) cos(0)

1(0)2(0)

4.- Ejemplo: Oscilador sin amortiguamiento.

= , la

solucin estdada por: = (0)

Si el sistema tiene amortiguamiento: + 20 + 0

2 =

la solucin es ms complicada, pero se puede mostrar que la matrizexponencial es de la forma

Donde = 0 2 1. Ntese que y 2 1pueden ser real ocomplejo, pero la combinacin de trminos siempre proveer un valorreal para los elementos del exponencial de la matriz

5.- Ejemplo: Oscilador sin amortiguamiento.

5.- Ejemplo: Oscilador sin amortiguamiento.

6.1. Ecuacin de convolucin

Teorema 1 La solucin de la ecuacin diferencial lineal:

= + , 0 = 0

= +

est dada por:

= +

De las ecuaciones en (3.16) y (3.17) la relacin entrada/salida para unsistema lineal est dado por:

= +

+ ()

Esta ecuacin se denomina ecuacin de convolucin y representa la forma general de solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas.

6.- Respuesta entrada/salida

6.1. Ecuacin de convolucin

= +

= +

+ ()

Esta ecuacin se denomina ecuacin de convolucin y representa laforma general de solucin de un sistema de ecuacionesdiferenciales acopladas.

Esta ecuacin ha sido calculada en el dominio del tiempo.

Tambin se puede calcular las soluciones en el dominio de lafrecuencia usando la transformada de Laplace. Aplicando latransformada se obtiene:

= ( )1[ 0 + ()] = 1 0 + [( )1 + ]()

6.- Respuesta entrada/salida

La respuesta impulsiva de un sistema vendra a ser la salida correspondientea tener un impulso como entrada en

= +

+ ()

Reemplazando se obtiene:

=

+ ()

Pero el impulso vale 1 en t=0, y despus y antes es:

=

+ = +

Ntese que hay una limitacin en el calculo de la respuesta impulsionalcuando 0 ya que se hace infinito en t=0. En la practica seignora la matriz D y la respuesta impulsiva viene dada por:

= =

=

7.- Respuesta impulsiva

Escribiendo la ecuacin de convolucin en trminos de la respuesta a lascondiciones iniciales y la integral convolucin de la respuesta impulsiva h(t) yla seal de entrada u(t), se tiene:

= +

as la respuesta de un sistema lineal es la superposicin de la respuesta aun conjunto infinito de impulsos cuyas magnitudes estn dadas por laentrada u(t).

El uso de pulsos como aproximaciones de la funcin impulso se puedevisualizar en la Fig.

Respuesta de un sistema a entradas del tipo impulso representado como la suma de diferentes anchos de pulso

7.- Respuesta impulsiva

Dado el sistema lineal de entrada/salida

= + , 0 = 0

= +

La forma general de su solucin esta dada por

= +

+ ()

que muestra que la respuesta total del sistema consta de la respuesta alas condiciones iniciales y la respuesta a la entrada.

La respuesta a la entrada est compuesta por los dos ltimos trminos

esta respuesta a su vez tiene dos componentes - la respuesta transiente yla respuesta en estado estacionario.

8.- Respuesta en estado estacionario

La respuesta transiente ocurre en el primer periodo de tiempodespus de que la entrada ha sido aplicada y refleja la diferenciaentre las condiciones iniciales y la solucin en estado estacionario.

La respuesta en estado estacionario es la porcin de la respuesta enla salida que refleja el comportamiento del sistema a largo plazobajo la accin de ciertas entradas.

Para entradas peridicas la respuesta en estado estacionariotambin ser peridica, y para entradas constantes la respuestaser a menudo constante.

8.- Respuesta en estado estacionario

La funcin escaln unitario est definida como:

= = 0 = 01 > 0

y representa un cambio abrupto de un valor a otro valor.

La respuesta a un escaln unitario est definido como la salida y(t)comenzando de las condiciones iniciales cero (o el punto deequilibrio apropiado) y dada una entrada del tipo escaln.

Calculando la respuesta a un escaln unitario de un sistema linealusando la ecuacin convolucin, para x(0) = 0, tenemos:

= 0

+ = 0

+

= 0

+ = 1 = = 0

+

= 1 1 +

9.- Respuesta al escaln unitario

Trasiente Estado estacionario