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Classe 5a

Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio

La sezione Aurea Tesina di Maturità - 2007

Livia Spolverini

La sezione Aurea

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Classe 5a – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio

La sezione Aurea Esame di Stato 2007

Livia Spolverini

Sezione Aurea

Matematica Geometria:

La costruzione con riga e compasso Il decagono: un poligono d’oro Seno, coseno e tangente di alcuni angoli: 36°, 18°, 9°, 1°

Aritmetica Frazioni Continue Radici nidificate

Arte La sezione aurea nell’arte classica, nell’arte rinascimentale e moderna Piet Mondrian e l sezione aurea

Astronomia Keplero: il legame tra sezione aurea e successione di Fibonacci Le galassie a spirale: la sezione aurea dell’universo

Filosofia: Thomas Kuhn e il ruolo di Keplero nella rivoluzione copernicana

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Livia Spolverini

Geometria: la costruzione con riga e compasso

La sezione aurea di un segmento è la sua divisione in 2 parti in modo che il rapporto tra l’intero segmento e la parte più lunga sia pari al rapporto tra la parte più lunga e la parte più corta:

Costruzione con riga e compasso:

AB : AC = AC : CB

1

2

3

4

Dato il segmento, trovare la sua sezione aurea Data la sezione aurea, trovare il segmento

1

2

3

4

1

11

1:11:

2


4



Livia Spolverini

Geometria: il decagono, poligono d’oro

Dimostriamo che il lato del decagono inscritto in una circonferenza è la sezione aurea del raggio della circonferenza, ovvero che risulta:

AC : BC = BC : (AC – BC)

Tracciata la bisettrice dell’angolo alla base B, otteniamo il triangolo ABD che è isoscele per avere 2 angoli congruenti ABD DAB. Ne segue che BD AD.

Anche il triangolo CBD è d’altra parte isoscele per avere congruenti due angoli BDC BCD. Ne segue che BD BC

Mostriamo ora che i triangoli BAC e CBD sono simili: l’angolo DBC BAC poiché entrambe misurano 36°; l’angolo CDB ACB poiché entrambe misurano 180° -

(36° + 72°) = 72°; l’angolo in C è comune;I 2 triangoli sono pertanto simili.

Possiamo pertanto impostare la proporzione seguente: AB : BC = BC : DC

Sostituendo a DC = AC – AD = AC –BD = AC - BC, si ottiene:

AB : BC = BC : (AC – BC)

r : l10 = l10 : (r - l10)

l102 = r·(r - l10)

l102 + r·l10 – r2 = 0

rrrrl

251152

1515

2

1510


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Livia Spolverini

Geometria: seno, coseno e tangente di alcuni angoli

Dal teorema di Carnot applicato al triangolo ABC: l102 = 2r2(1 – cos36°).

Poiché sappiamo che l102 = 1/φ2, si ottiene che:

Dalla trigonometria si ricava poi:

22

1136cos

142

136sen 2

2

21

18sen

14

22

19sen

2

2

1418cos

2

22

1136cos

14

22

19cos

2

12

1436tan

2

2

14

118tan

2

142

1429tan

2

2


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Livia Spolverini

Geometria: il decagono, poligono d’oro

Determiniamo ora il valore di cos 1°. A questo scopo ricordiamo che:

cos3cos43cos

cos)cos1(2coscos2cos2cos1cos2

2cos2cos2cos3cos

3

2322

sen

sensen

Scegliendo α = 1°, si ottiene:

1cos31cos43cos 3

Poichè 1° è un angolo piccolo dovrà risultare cos1° circa pari a 1. Per ottenere un’approssimazione del valore preciso scriviamo cos1° = 1 - , con ≈ 0. Sostituendo nella equazione, si ricava:

32

3

412913cos

13143cos

Essendo ≈ 0, 3 sarà ancora più piccolo e dunque si può trascurare:

3

3cos16115

8

1

24

3cos4833911cos

24

3cos48339

03cos1912 2


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Livia Spolverini

Aritmetica: frazioni continue

La sezione aurea è un numero davvero magico !

Esiste infatti una bellissima formula basata su una frazione continua infinita che fornisce esattamente il valore della sezione aurea utilizzando solo il più semplice dei numeri: 1

...1

1

11

11

11

11

11

11

11

11

11

1

12


8



Livia Spolverini

Aritmetica: radici nidificate

La sezione aurea non finisce mai di stupire ! Non solo frazioni continue, ma anche radici nidificate possono esprimerne il valore !

...111

111

11

1

12


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Livia Spolverini

Arte: sezione aurea nell’arte classica, rinascimentale e moderna

Il Partenone è il più celebre monumento dell'architettura Ellenica e contiene molti rettangoli aurei e le stesse proporzioni auree si riscontrano nelle statue in esso presenti.

La proiezione ortogonale della facciata mostra come essa sia stata concepita ispirandosi ad un rettangolo aureo, in modo che la larghezza e l'altezza stiano nel rapporto: :1


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Livia Spolverini


La sezione aurea affascinò pittori come Botticelli (1445-1510) che la rappresentò ne La Venere.

Misurando l’altezza da terra dell’OMBELICO e l’ALTEZZA COMPLESSIVA il loro rapporto risulterà 0.618, così anche il rapporto tra la distanza tra il COLLO DEL FEMORE e il GINOCCHIO e la lunghezza dell’INTERA GAMBA o anche il rapporto tra il GOMITO e la PUNTA DEL DITO MEDIO e la lunghezza del BRACCIO.


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Livia Spolverini


Le immagini di Seurat sono prive di volume, come ritagliate in un composto alternarsi di gruppi, ordinatamente divisi in sequenze compositive che rispettano le proporzioni della sezione aurea.


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Livia Spolverini

Arte: Piet Mondrian e la sezione aurea

Alcuni artisti moderni come Piet Mondrian (1872-1944) utilizzano il rettangolo aureo nelle loro opere. In questo quadro è ben visibile l'impostazione artistica di Mondrian che basa l'intero dipinto sull'accostamento di quadrati e rettangoli aurei.

Anche se in Mondrian si ha il senso aureo della precisione del calcolo, il pittore non fa matematica, ma esprime il sentimento della perfezione matematica e quindi della bellezza.

Cosa voglio esprimere con la mia opera? Niente di diverso da quello che ogni artista cerca: raggiungere l'armonia tramite l'equilibrio dei rapporti fra linee, colori e superfici. Solo in modo più nitido e più forte.

(Piet Mondrian)


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Livia Spolverini

Astronomia: Keplero, sezione aurea e Fibonacci

Il lavoro matematico di Keplero recò notevoli progressi nella teoria del rapporto aureo. Il teso di una lettera scritta nel 1608 a un professore di Lipsia rivela che egli scoprì il rapporto tra e i numeri di Fibonacci. Scrive infatti Keplero

La geometria divina è congeniata in modo tale che i due termini minori di una serie nascente presi insieme formano il terzo e gli ultimi due addizionati, il termine successivo, e così via indefinitamente, dato che la stessa proporzione si conserva inalterata..più si va avanti a partire dal numero 1, più l’esempio diventa perfetto.

n

n

nn

n

n

n

nn

nn

n

Fib

Fib

essendo

Fib

5

15

1

limlim

11,11

15

1

2

51

2

51

5

1

1

1


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Livia Spolverini

Astronomia: galassie a spirale

Le galassie in generale seguono la spirale logaritmica ( = 0eb)

Sembra infatti che la spirale logaritmica sia naturalmente associata alle galassie che si comportano come sistemi parzialmente rigidi, ovvero con una velocità angolare costante per una grande percentuale del raggio.

Rettangoli di Fibonacci Spirale logaritmica Galassia M51


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Livia Spolverini

Filosofia: Thomas Kuhn e ruolo di Keplero nella rivoluzione copernicana

“La Geometria ha due grandi tesori: uno è il Teorema di Pitagora; l’altro è la sezione aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d’oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello”

Per esemplificare la sua teoria delle rivoluzioni scientifiche come progressivo superamento di paradigmi, Thomas Kuhn richiama, nel suo libro “La rivoluzione Copernicana”, il lavoro di Keplero.

Nella descrizione delle tre leggi che governano i moti planetari è infatti possibile riconoscere lo sviluppo e l’applicazione del un nuovo paradigma Copernicano capace di spiegare anche fenomeni non interpretabili alla luce del precedente paradigma Tolemaico.


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