COLEGIO INTERNACIONAL SEK

Prof. Álvaro Elizondo Montoya.Matemática, cálculo, año 2014.

TEMA: CÁLCULO DE LÍMITES.

Nombre: _________________Fecha:_______Grupo: 11−___

RESUELVA LOS SIGUIENTES LÍMITES ALGEBRAICOS

1. lımx→0

25x3 + 2

75x7 − 2Resp. −1

2. lımx→1

2x2 − 3x+ 1

x− 1Resp. 1

3. lım∆x→0

(x+ ∆x)2 − 2(x+ ∆x) + 1− (x2 − 2x+ 1)

∆xResp. 2x− 2

4. lımx→0

x2 − a2

x2 + 2ax+ a2, a 6= 0 Resp. −1

5. lımx→a

x2 − a2

x2 + 2ax+ a2, a 6= 0 Resp. 0

6. lıma→0

x2 − a2

x2 + 2ax+ a2, x 6= 0 Resp. 1

7. lımx→1

x4 − 1

x− 1Resp. 4

8. lımx→3

x2 − 9

x− 3Resp. 6

9. lımx→−1

x+ 1

x3 + 1Resp.

1

3

10. lımh→0

(1 + h)2 − 1

hResp. 2

11. lımx→0

1x+2− 1

2

xResp.

−1

4

12. lımx→4

1x2− 1

16

x− 4Resp.

−1

32

13. lımx→−1

x2 − x− 2

x2 + 3x+ 2Resp. −3

14. lımx→3

x3 − 3x2

x2 − 4x+ 3Resp.

9

2

15. lımx→2

x4 − 3x2 − 4

3x3 − 10x− 4Resp.

10

13

1

16. lımx→−1

3x5 − 7x2 − 5x+ 5

2x4 + 3x+ 1Resp.

−24

5

17. lımx→1

x4 + 3x3 − 13x2 − 27x+ 36

x2 + 3x− 4Resp. −8

18. lımx→1

2x3 − x2 − 1

x2 + x− 2Resp.

4

3

19. lımx→2

(1

x− 2− 4

x2 − 4

)Resp.

1

4

20. lımx→4

√x− 2

x− 4Resp.

1

4

21. lımx→2

√x+ 2− 2√2x+ 5− 3

Resp.3

4

22. lımx→−8

1x

+ 18

3√x+ 2

Resp.−3

16

23. lımx→0

3√

1 + cx− 1

xResp.

c

3

24. lımx→1

3√x− 1√x− 1

Resp.2

3

25. lımx→−2

x4 − 3x2 − 4√x2 − 2x+ 1− 3

Resp. 20

26. lımx→2

√x2 + x+ 3− 3

3x3 − 5x2 − 4Resp.

5

96

27. lımx→4

x3 − 9x2 + 26x− 24

3−√

5 + xResp. −12

28. lımx→0

1−√

1− x2

x2Resp.

1

2

29. lımx→0

√1 + x−

√1− x

xResp. 1

30. lımx→0

√x+ 1 +

√x+ 1 Resp.

√2

31. lımx→0

√3 + x−

√3

xResp.

√3

6

32. lımx→0

1√x+1− 1

xResp.

−1

2

33. lımx→2

4− x2

3−√x2 + 5

Resp. 6

34. lımx→0

√x+ 3−

√3

xResp.

√3

6

2

35. Dada f(x) =√

5x+ 1, hallar lımh→0

f(x+ h)− f(x)

hcuando x >

−1

5Resp.

5√

5x+ 1

2(5x+ 1)

36. lımx→0

|2x− 1| − |2x+ 1|x

Resp. −4

37. ¾ Halle �a� , de tal forma que L = lımx→2

3x2 + ax+ a+ 3

x2 − x− 2exista? ¾Cuál es el valor del

límite para el valor de �a"hallado?. Resp. a = −5;L = 73

38. Halle �a� , de tal forma que lımx→0

√ax+ b− 2

x= 1 Resp. a = b = 4

39. Si lımx→2

f(x)− 5

x− 2= 4, halle lım

x→2f(x) Resp. 5

40. lımx→1

(1

x− 1− 3

1− x3

)Resp. −1

41. lımx→3

√x2 − 2x+ 6−

√x2 + 2x− 6

x2 − 4x+ 3Resp.

−1

3

42. lımx→a

x2 − (a+ 1)x+ a

x3 − a3Resp.

a− 1

3a2si a 6= 0; si a = 0 el límite no existe.

43. lımx→2

(1

x− 2− 6

x2 + 2x− 8

)Resp.

1

6

44. lımx→4

3−√

5 + x

1−√

5− xResp.

−1

3

45. lımx→2

x−√

3x− 2

x2 − 4Resp.

1

16

46. lımx→2

√x+ 2− 2√2x+ 5− 3

Resp.3

4

47. lımx→2

2− x√4− 4x+ x2

Resp. El límite no existe.

48. lımx→3

x(x− 3)

x− 1−√x+ 1

Resp. 4

49. lımx→−8

1x

+ 18

3√x+ 2

Resp.−316

50. lımx→3

x3 − 3x2 − x+ 3√2x+ 3− 3

Resp. 24

51. lımx→−2

x3 + 8

|3x+ 6|Resp. El límite no existe.

52. lımx→0

4−√

16 + x

5−√

25 + xResp.

5

4

3

RESUELVA LOS SIGUIENTES LÍMITES LATERALES

53. En cada caso, determinar los puntos x = a en los cuáles el denominador se anula y

examinar lımx→a−

f(x) y lımx→a+

f(x)

a) f(x) =2

xResp. lım

x→0−f(x) = −∞ ; lım

x→0+f(x) = +∞

b) f(x) =x− 1

(x+ 3)(x− 2)Resp. lım

x→−3−f(x) = −∞ ; lım

x→−3+f(x) = +∞; lım

x→2−f(x) = −∞ ; lım

x→2+f(x) = +∞

c) f(x) =x− 3

(x+ 2)(x− 1)Resp. lım

x→−2−f(x) = −∞ ; lım

x→−2+f(x) = +∞; lım

x→1−f(x) = +∞ ; lım

x→1+f(x) = −∞

d) f(x) =(x+ 2)(x− 1)

(x− 3)2

Resp. lımx→3−

f(x) = +∞ ; lımx→3+

f(x) = +∞

e) f(x) =(x+ 2)(1− x)

x− 3Resp. lım

x→3−f(x) = +∞ ; lım

x→3+f(x) = −∞

54. lımx→0

1

3 + 21x

Resp. El límite no existe.

55. lımx→0

1 + 21x

3 + 21x

Resp. El límite no existe.

56. Si f(x) =

x2 − 2x+ 2 si x <√

5+12

3− x si x ≥√

5+12

, determine lımx→√5+12

f(x) Resp.5−√

5

2

57. Si f(x) =|x|

x2 + x, calcule:

a) lımx→0+

f(x) Resp. 1

b) lımx→0−

f(x) Resp. −1

c) ¾Existe lımx→0

f(x)? Resp. No pues lımx→0+

f(x) 6= lımx→0−

f(x)

58. lımx→2

|x− 2|x− 2

Resp. El límite no existe.

59. Si f(x) =

7x− 2 si x ≥ 2

3x+ 5 si x < 2, determine lım

x→2−f(x) y lım

x→2+f(x) Resp. 11 y 12

60. lımx→3+

1

x2 − 7x+ 12Resp. −∞

4

61. lımx→3−

1

x2 − 7x+ 12Resp. +∞

62. Interprete grá�camente las soluciones de los dos ejercicios anteriores.

63. Si f(x) =

x2 − 5x+ 6 si x ≤ 6

k + x si x > 6, determine el valor de k de tal forma que

lımx→6

f(x) exista. Resp. k = 6

64. Si f(x) = [|x|] + [| − x|], demuestre que lımx→2

f(x) existe pero no es igual a f(2)

Nota:[|x|] := el mayor entero menor o igual a x. (función parte entera)

RESUELVA LOS LÍMITES APLICANDO EL TEOREMA DE INTERCALACIÓN

65. Calcule lımx→0

f(x) siendo (para todo x)

4− x2 ≤ f(x) ≤ 4 + x2 Resp. 4

66. Calcule lımx→a

f(x) siendo (para todo x)

b− |x− a| ≤ f(x) ≤ b+ |x− a| Resp. b

67. lımx→0

x2cos

(1

x2

)Resp. 0

68. lımx→0

xsen

(1

x

)Resp. 0

69. Si |f(x)| < M ∀x ∈ R,M ∈ R+. Pruebe que lımx→0

xf(x) = 0

70. Si |f(x)− 3| < 5(x+ 2)2 ∀x ∈ R. Pruebe que lımx→−2

f(x) = 3

71. Si 2x− 1 ≤ f(x) ≤ x3 ∀x ∈ [0, 3]. Pruebe que lımx→1

f(x) = 1

72. Si cos(θ) ≤ sen(θ)

θ≤ 1, ∀θ ∈]0, π/2]. Determine lım

x→0+

sen(θ)

θResp. 1

RESUELVA LOS SIGUIENTES LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

73. lımt→0

sen2(t)

t2Resp. 1

74. lımx→0

2x2 − 3x+ sen(2x)

3xResp.

−1

3

75. lımx→−2

tan(πx)

x+ 2Resp. π

76. lımx→1

sen(πx)

1− x2Resp.

π

2

5

77. lımx→0

(x+ sen(x))2

xResp. 0

78. lımh→0

sen(x+ h)− sen(x)

hResp. cos(x)

79. lımx→0

1− cos(x)

x2Resp.

1

2

80. lımx→a

cos(x)− cos(a)

x− aResp. −sen(a)

81. lımx→π

4

sen(x)− cos(x)

1− tan(x)Resp.

−√

2

2

82. lımx→π

1− sen(x2

)π − x

Resp. 0

83. lımx→π

3

1− 2cos(x)

π − 3xResp.

−√

3

3

84. lımx→0

x− sen(2x)

x+ sen(3x)Resp.

−1

4

85. lımx→1

cos(πx2

)1−√x

Resp. π

86. lımx→0

1−√cos(x)

x2Resp.

1

4

87. lımx→0

√1 + sen x−

√1− senx

xResp. 1

88. lımh→0

sen(sen(h))

sen(h)Resp. 1

89. lımα→0

sen(2α)

2α− πResp. 0

90. lımt→0

sen(1− cos(t))1− cos(t)

Resp. 1

91. lımα→π

6

cos(2α + π6)

sen(6α)Resp.

1

3

92. lımx→0

√cos(x)− 3

√cos(x)

sen2(x)Resp.

−1

12

RESUELVA LOS SIGUIENTES LÍMITES AL INFINITO

93. lımx→+∞

x2 − 1

3x2 + x− 4Resp.

1

3

94. lımx→+∞

x− 1

3x2 + x− 4Resp. 0

6

95. lımx→+∞

x3 − 1

3x2 + x− 4Resp. +∞

96. lımx→+∞

3x4 − 4x3 − 12x− 1

4x4 + x3 − 2x− 12Resp.

3

4

97. lımx→+∞

2x34 − x 1

3 − 2

x23 − 12x+ 4

Resp. 0

98. lımx→+∞

√x2 + x− 1 +

√x2 − x Resp. +∞

99. lımx→+∞

√x2 + x− 1−

√x2 − x Resp. 1

100. lımx→−∞

√9x2 + 5

4x− 2Resp.

−3

4

101. lımx→+∞

(√x2 + 3x+ 1− x

)Resp.

3

2

102. lımx→−∞

(x+√x2 + 2x

)Resp. −1

103. lımx→+∞

(√x2 + x+ 1− x

)Resp.

1

2

104. lımx→−∞

(2x+

√4x2 + x

)Resp.

−1

4

105. lımx→−∞

x√x2 + 1

Resp. −1

106. lımx→+∞

x√x2 + 1

Resp. 1

107. lımx→+∞

(2x+ 3)3(3x− 2)2

x5 + 5Resp. 72

108. lımx→+∞

√x√

x+√x+√x

Resp. 1

109. lımx→+∞

[√x(x+ a)− x] Resp.

a

2

110. lımx→+∞

[√x2 − 5x+ 6− x] Resp.

−5

2

111. lımx→+∞

x[√x2 + 1− x] Resp.

1

2

112. lımx→−∞

2x√x2 + 6− 5x

Resp.−1

3

113. lımx→±∞

√2x2 + 1

3x− 5Resp.

±√

2

3

114. Halle las constantes a y b de tal forma que lımx→+∞

(x2 + 1

x+ 1− ax− b

)= 0

Resp. a = 1, b = −1

7