Complément Calibrage et Homographie

zT

zyTT

zxTT

z

zy

zx

z

y

x

zT

yT

xT

tr

tvtrvr

tutrur

trrr

tvtrvrrvrrvr

tutrurrurrur

trrr

trrr

trrr

v

u

tr

tr

tr

v

u

tRK

3

0302

0301

333231

0330233202231021

0330133201231011

333231

232221

131211

0

0

3

2

1

0

0

100

0

0

100

0

0

Tr1Tr2Tr3

Complément Calibrage

1

11

λ

34333231

24232221

14131211

Z

Y

X

mmmm

mmmm

mmmm

Z

Y

X

Mv

u

34333231

24232221

14131211

'

mmmm

mmmm

mmmm

M

Complément Calibrage

)(

)(

)(

)(

024

014

3022

3011

2022

2011

320

310

zy

zx

iii

iii

T

T

T

T

TvmT

TumT

mvmr

mumr

vqq

uqq

qqv

qqu

33323134

34333231

24232221

14131211

)('

mmmmsignmmmm

mmmm

mmmm

M

Tq1

Tq2

4q

Tq3

Tz rtsign 3)(

Complément Calibrage

• R n’est pas nécessairement une matrice de rotation (projection sur l’espace SO(3) avec SVD)

• SO(3): special orthogonal

1)det(,|)3()3( RIRRSORSO T

Homographie

L'homographie décrit un mapping un pour un !

Homographie

près) échelled'facteur un à égalité indique (

image points ,

13x32

13x3122

222111

~xH~x

xHx

XxXx

1xh

xh

xh

''

''

''

1

λ

333231

232221

131211

3

2

1

y

x

hhh

hhh

hhh

w

v

u

y

x

i

i

i

Ces schémas suggère la relation suivante:

Homographie induite par un plan

• Soit une transformation entre :

• Soit un plan tel que

• On peut combiner pour obtenir

TRXX 12

11

11 XNd

dXN TT

13x3

1112

11XXXXX

TT N

dTRN

dTRTR

Homographie

Homographie

Homographie

11

λ

333231

232221

131211

y

x

hhh

hhh

hhh

y

x

Homographie

HomographieRedresser l’image, nouveau point de vue

HomographieEt si la scène n’était pas plane (toujours mapping 1pour1)

(seulement une rotation entre les vues)

• Dans le plan normalisé (en mm et non en pixel)

• Dans l’image

12

1221

12

12

~ Rxx

Rxx

RXX

TRXX

12

11

2

11

21

11

221

1

~

~

~

Hxx

xKRKx

xRKxK

xRKxK

Homographie Le panorama: caméra en rotation

http://www.youtube.com/watch?v=Xfyrwh9tbV4

Homographie Le panorama: caméra en rotation

http://www.youtube.com/watch?v=8P469-I_8F8

Homographie: Estimation

• 2 équations indépendantes par point• 8 degrés de liberté (nbpoints>=4x2)

11

λ

333231

232221

131211

y

x

hhh

hhh

hhh

y

x

i

i

i

y

x

xh

xh

xh

1

'

'

T3

T2

T1

i

ixxh

xh' T3

T1

i

iyxh

xh' T3

T2

Homographie: Estimation

0

h

h

h

xx0

x0x

xx0

x0x

xx0

x0x

3

2

1

222

222

111

111

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

TTT

nnn

nnn

y

x

y

x

y

x

0Ah

0x'hxh-

0x'hxh-T3T2

T3T1

ii

ii

y

x

SVD

Homographie: comment l’appliquer

1. Sélectionner 4+ points correspondant entre les images2. Construire et résoudre le système d’équations

H

Homographie: comment l’appliquerRedimensionner le fond de l’image 1 pour contenir le cadre de l’image 2

H-1

Homographie: comment l’appliquerPour chaque point x de l’image 1:• Regarder si il y a une valeur à Hx dans l’image 2• Inscrire ou fusionner les valeurs

H

?

Homographie: comment l’appliquer

• À vous de jouer, c’est la question #8 du devoir.