conception de structures minces..pdf

Oct 2015

Structures minces.Michel SUDRE

Notes de Cours.

Master 1. Conception et Calcul de Structures. UniversitéPaul

Sabatier

Toulouse III

http://www.mecaero.ups-tlse.fr/Calcul.html

Structures minces M SUDRE

2

Chap1: Structures à âme mince.

1 Présentation:

1.1 Hypothèses:

Dans le cas de structures à âme mince constituées de profilés massifs et de tôles min-ces, les hypothèses qui suivent seront appliquées:

H1: les tôles minces travaillent en membrane: en traction ou en cisaille-ment. Le risque de flambage interdit le travail en compression.

H2: Dans les tôles minces travaillant à l’effort tranchant, la variation duflux de cisaillement est donné par la formule de Bredt:

Le terme est appelé moment statique. Ce terme est quasi négligeable dans

la tôle mince alors qu’il devient important au niveau des éléments massifs.

Conséquence: les flux de cisaillement d’effort tranchant sont considérés:- constants dans les parties minces,- discontinus au passage des éléments massifs.

H3: les contraintes de flexion et de compression sont supportées par leséléments massifs.

1.2 Rappel: poutre en Soit le problème suivant:

τP e(P) τA e(A) A

P

.d e( )=TY Iz

Y

A

P

e(A)

e(P)

τP

τA

x

A

P

.d e( )Y

OF

Y

Z

A B

C

DE

h


3

Ce problème a été résolu:

D’ après les hypothèses simplificatrices, nous supposerons:

2 Poutre à âme mince:

On considère un panneau raidi (b x h) encastré à gauche et soumis en A à un effortvertical F:

Le bord vertical est caractérisé par une rigidité (ES)1.Les bords horizontaux sont caractérisés par une rigidité (ES)2.Le panneau d’épaisseur e est constitué d’un matériau de module G.

On cherche à exprimer le déplacement du point A.

contrainte due à la flexion: .σx= MzIz

Y

contrainte τ due à l’effort tranchant:

A B C D E

σx

contrainte due à la flexion:

σx=N

Sm

contrainte τ due à l’effort tranchant:

A B C D E

+ Mz

h

h

Sm

N

N

avec N= .

τ=TY

Sa

Sa

h

b

(ES)1

(ES)2

A

F


4

Décomposons le panneau raidi.

Méthode:-désigner par le flux de cisaillement dans le panneau,-mettre en place les efforts intérieurs et extérieurs,-écrire les équations d’équilibre pour exprimer tous les efforts en fonction de F,-exprimer l’effort normal dans les éléments du cadre,-calculer l’énergie élastique de chacun des composants en fonction de F,-en déduire l’énergie élastique totale en fonction de F,-appliquer le théorème de Castigliano:

3 Monolongeron à caisson de bord d’attaque:

3.1 Présentation:

Il s’agit d’une structure très simple pour laquelle on suppose que seul le caisson avantest travaillant.

(ES)1

(ES)2

A

F

O

Quand on dérive l’énergie de déformation W par rapport à l’effort F, on obtient

le déplacement du point d’application de F mesuré dans la direction de F.

h

G1

G2


5

3.2 Flexion Mz:

3.3 Effort Tranchant TY:

Si on applique l’hypothèse simplificatrice, les contraintes de cisaillement sont caracté-risées par un flux constant dans les tôles minces.

Le flux génère une force F1 et et le flux génère une force F2. On désigne par le centre de cisaillement et par a la distance de à l’âme.

Méthode:-montrer que: , , ,

-écrire l’équation de moment en P,milieu de l’âme,-écrire l’équation de circulation du cisaillement,-en déduire a, et .

h

G1

G2

σx=N

Sm

+ Mz

h.N=

O2 e2τ2= .

O1 e1τ1= .

O1 O2C C

h

G1

G2

C

a

F2

PF1

O1=F1 h O2=F2 h O1 O2+ =TYh

O1 O2

C’est le longeron qui transmet la majeurepartie du moment de flexion.

On peut admettre que le flexion est suppor-tée principalement par les semelles:


6

3.4 Torsion:

Le calcul précédent a permis de calculer la position de . Le moment de torsion peut

donc être calculé. Pour obtenir le flux de torsion, il suffit d’appliquer la formule:

4 Bi-longeron mono-caisson:

4.1 Présentation:

On considère ici que:- les 2 longerons supportent l’effort tranchant et le moment de flexion,- le revêtement et les âmes des longerons constituent un caisson qui supporte la tor-sion.

4.2 Calcul en flexion-tranchant / position de :Sous l’effet de l’effort tranchant, une force F1 est reprise par le longeron de momentquadratique IZ1 et une force F2 est reprise par le longeron de moment quadratiqueIZ2.

On désigne par le centre de cisaillement et par a la distance de à l’âme du lon-geron :

C

O

O= 2A . Mt

h2h1

b

C1

2

C C2

b

C

aF2

F1

F1+F2=TY


7

Méthode:-calculer F1 et F2 en écrivant que la rotation de la section est nulle,

-écrire l’équation de moment en pour déterminer a.Connaissant F1 et F2, chaque longeron peut être dimensionné séparément.

4.3 Calcul en torsion:Le calcul du flux de torsion est classique pour un caisson fermé:

5 Bi-caisson mono-longeron:

5.1 Présentation:

Cette configuration est caractéristique des structures de gouvernes et de volets.

5.2 Calcul en flexion:Le calcul en flexion est classique. Il arrive qu’une partie du revêtement soit prise encompte pour la tenue à la flexion.

5.3 Cisaillement d’effort tranchant:

Le calcul est simplifié en appliquant l’hypothèse des âmes minces selon laquelle ne

varie qu’au passage des semelles.

C

C

h

O


8

Méthode:-montrer que: ,

-écrire les équations de circulation du cisaillement,

étant l’aire intérieure à la cavité N° i :

-calculer le moment en P, milieu de l’âme:

-en déduire a, , et .

5.4 Cisaillement de torsion:La position du centre de torsion étant connue, le moment de torsion peut êtreexprimé. La méthode générale pour la torsion des sections cloisonnées s’applique:

Méthode:-loi des noeuds: ,

- , étant l’aire intérieure à la cavité N° i ,

- i=1,2 .

Le problème comporte 4 inconnues avec 4 équations indépendantes.

O3 e3τ3= .

O1 e1τ1= .

O2 e2τ2= .

C

a

P

O1 O2+ =TYh

+ O3

= 0(cavité i)

dτx

Ai

O-2A1 . 1 O+2 A2 . 2

O1 O2 O3

O3 e3τ3= .

O1 e1τ1= .

O2 e2τ2= .

cavité 1 cavité 2

O1 O2+ = 0+ O3

O= -2A1 . Mt 1 O+2 A2 . 2 Ai

=(cavité i)

dτx2A Mt

Ji

O1 O2, , , O3 J


9

Chap2: Théorie des plaques.

1 Présentation:

Une plaque est un solide mince dont la surface moyenne est plane.

L’épaisseur h est généralement constante mais peut varier faiblement. Les axes X et Ysont situés dans le plan moyen. L’axe Z est normal au plan moyen. Les fibres transver-sales (ou normales) sont parallèles à Z. Les fibres longitudinales sont parallèles auplan moyen.

La théorie de plaques repose sur l’hypothèse: σZ =0.

Une membrane est une plaque travaillant dans son plan. Les forces extérieures sontparallèles au plan moyen et constantes dans l’épaisseur.

Dans une membrane, la matrice des contraintes exprimée dans la base XYZ est indé-pendante de Z et prend la forme:

Pour une plaque chargée transversalement, la matrice des contraintes dépend de Z

et les composantes de cisaillement transverse τXZ et τYZ apparaissent:

Selon la théorie de Kirchoff , les effets du cisaillement transverse sont négligés et onsuppose que les fibres transversales restent normales au plan moyen au cours de ladéformation.

Selon la théorie de Mindlin , les effets du cisaillement transverse sont pris en compte.

Les effets de membrane et de flexion sont généralement découplés.

h

X Y

Z

feuillet moyen

fibre transversale

[σ]P=

σX 0τXY

τXY 0σY

0 0 0

[σ]P=

σX τXZτXY

τXY τYZσY

τXZ τYZ 0


10

Dans le programme Nastran, la carte PSHELL permet d’ envisager toutes les possi-bilités.

2 Torseur des efforts intérieurs:

2.1 Définitions.

Considérons une coupure de centre G comprise entre 2 normales ∆1 et ∆2 infinimentvoisines traversant la plaque. Installons le repère local UVZ (avec U normal à la cou-pure).

La région située à l’avant exerce un torseur de forces sur la région située à

l’arrière. La résultante et le moment sont définis dans le repère UVZ:

Les composantes de sont des efforts par unité de longueur.

Les composantes de sont des couples par unité de longueur.

PSHELL PID MID1 T MID2 MID3 NSM

Z1 Z2 MID4

RI RS

MID1x

yz

x

yz

x

yzMID2 MID3

T T T

1

X Y

Z

∆1 ∆2Z

U

V

d

G

2

2 1

dR. dM.

R =

effort normal

effort tranchant longitudinal

effort tranchant transversal

=

moment de torsion

moment de flexion

0

M

R

M


11

En un point G du feuillet moyen, il existe donc autant de torseurs des efforts intérieursque de coupures passant par G.

Les composantes de et de sont donc affectées d’un indice qui précise la nor-male à la coupure.

Pour une coupure de normale X:

Pour une coupure de normale Y:

Pour une plaque travaillant en membrane, seuls les efforts FX, FY et FXY existent. On

les appelle "efforts de membrane".

Comme les contraintes sont constantes dans l’épaisseur, on peut relier directement lescontraintes aux efforts en multipliant par h:

Le programme Nastran peut fournir les composantes FX, FY, FXY, QX, QY, mX, mY et

mXY qui sont appelées "Element Forces".

Attention! les utilisateurs non avertis oublient parfois qu’il s’agit d’efforts par unité delongueur et non d’efforts résultants agissant sur l’élément.

R M

l’ effort normal est: FX

l’ effort tranchant longitudinal est: FXY

l’ effort tranchant transversal est: QX

le moment de torsion est: mXY

le moment de flexion: mX

0

l’ effort normal est: FY

l’ effort tranchant longitudinal est: FXY

l’ effort tranchant transversal est: QY

le moment de torsion est: mXY

le moment de flexion: mY

0

FX = h.σX

FY = h.σY

FXY = h.τXY

Fx

FyFxy

MID1

mx

my

mxyQx

Qymxy

Fxy

x

yz

x

yz

x

yzMID2 MID3


12

2.2 - Illustration du couplage membrane-flexion sur un exemple:Les fuselages sont des cabines étanches soumises à une pression établie p1 supérieure à la pression extérieure p0. Des compresseurs d’air compensent en permanence les dé-fauts d’étanchéité et des soupapes tarées maintiennent la pression dans la cabine à une valeur qui correspond environ à une altitude de 2000m. La pression effective ∆p=p1 - p0 agit donc dans le sens d’un ’gonflement’ du fuselage.Les structures doivent supporter cette pression en plus des efforts généraux.

Rappelons que le fuselage comprend:-des éléments longitudinaux: longerons et lisses-des éléments transversaux: cadres et cloisons-le revêtement extérieur: peau.

Les longerons et les lisses supportent les charges dues à la flexion du fuselage.Les éléments transversaux reprennent les charges transversales et fournissent des ap-puis normaux pour fractionner les longueurs au flambage.La peau reprend la pression ∆p ainsi que le cisaillement du aux charges transversales et à la torsion.

La pression constitue un cas de charge intervenant dans la phase de conception du fu-selage. La valeur prise pour ∆p est de 0.7 bars soit 0.07 MPa.

Les cadres et les lisses divisent le revêtement en panneaux dont les caractéristiques(pour un A320) sont: a (grande dimension)= 530mm

b (petite dimension)= 180mme (épaisseur)= 2mmMatériau 2024: E=72000 MPa et nu=.32

En première approche, ces panneaux sont supposés plans.

Pour chaque panneau isolé, la déformée est obtenue à partir des conditions prises sur les bords.

3 études peuvent être proposées:A: un calcul linéaire avec 4 bords appuyésB: un calcul linéaire avec 4 bords encastrésC: un calcul non linéaire avec 4 bords encastrés

Compte tenu du couplage membrane-flexion, les résultats attendus sont les suivants:

Contrainte maxien fond de maille:

Contrainte maxisous raidisseur:

Contrainte membraneen fond de maille: Flèche maxi:

ouiouioui

ouioui oui

ouiouioui

A:B:C:


13

3 Plaques en flexion :

En flexion, on suppose que les fibres de direction z restent rectilignes et normales aufeuillet moyen. On désigne par w(x,y) le déplacement suivant z de la fibre normale.Tous les paramètres seront exprimés en fonction de la flèche w(x,y).

Un point P situé à une cote z par rapport au feuillet moyen subit un déplacement:

On peut en déduire l’expression des déformations:

puis des contraintes:

et des moments en intégrant de -h/2 à +h/2:

X Y

Z dans le plan (x,z): dans le plan (y,z):

x y

z z

w

δwδx-

δwδx-

w

δwδy

δwδy

h

u= δwδx- .z suivant x

v= δwδy- .z suivant y

εx= δwδx- .z

εy= δwδy- .z

εxy= δwδy- .z

2

2

2

2

2

δx

σx= ( ).z

σy=

τxy=

E1-ν2

.-δwδx

2

2 + νδwδy

2

2

( ).zE1-ν2

.-δwδy

2

2 + νδwδx

2

2

E1+ν

.-δw

δy.z

2

δx

mx= ( )

my=

mxy=

-δwδx

2

2 + νδwδy

2

2

( )δwδy

2

2 + νδwδx

2

2

δwδy

2

δx

D=E

1-ν2. h3

12

D.

D.

D. (1-ν)


14

4 Flambement

4.1 Equation différentielle de la déformée.Considérons une plaque rectangulaire (axb) comprimée suivant la direction x.

On se place, comme pour le flambage des poutres, dans une configuration déforméeinfiniment voisine de la situation non déformée. La flèche est désignée w(x,y).

En traduisant l’équilibre local et en exploitant les expressions de mx et my précéden-

tes, on obtient:

4.2 Cas de la plaque appuyée.Plaçons nous dans le cas d’une plaque appuyée sur sa périphérie.

On désigne par m le nombre de lobes suivant x et n le nombre de lobes suivant y.

La fonction w(x,y) suivante est solution de (*):

X

Y

Z

ha b

( )δwδx

4

4 + 2 δwδx δy2

4

2D. + δwδy

4

4= Fx.δw

δx

2

2 (*)

X

Z

Fx = -Fc

Y

m=2n=1

(*)w(x,y)=Amn.sin( ).sin( )mπxa

nπyb


15

Cette solution respecte les conditions limites:.

En l’injectant dans (*), on obtient l’expression de Fc.

On donne ci-dessous la variation de Fc en fonction de R pour n=1, m=1,2,3,4.

On s’intéresse aux plus petites valeurs de Fc.

Il est donc important de calculer les bornes de R pour lesquelles le système basculedu mode i au mode i+1.

On trouve que les intersections se trouvent respectivement en:

(1) w(0,y) = 0

(3) w(x,0) = 0

(5) mx(0,y) = 0

(7) my(x,0) = 0

(2) w(a,y) = 0

(4) w(x,b) = 0

(6) mx(a,y) = 0

(8) my(x,b) = 0

Fc= ( ).m

R

2

2 + 2n2 n

m

4

2+ R2 π .D4

en posant R=abb

2

m

R

2

2 + 2n2 n

m

4

2+ R2

R

m=

1 / n

=1

m=

2 / n

=1

m=

3 / n

=1

m=

4 / n

=1

R= , , ..... 2 6 12


16

On en déduit ci-dessous l’abaque pour la plaque rectangulaire (axb) appuyée:

R=2 6 12

ab

Fc π .D4

b2

m=1 / n=1 m=2 / n=1 m=3 / n=1

.


17

5 Résistance d’un panneau raidi soumis à une compression:

5.1 Théorie de Karman

Considérons une tôle mince rectangulaire d’épaisseur e, chargée en compression, rai-die par des lisses de section SR constituées du même matériau.Le pas entre 2 raidisseurs est noté b. L’effort de compression exercé sur une largeur ba pour résultante F.

si la peau n’a pas cloqué (σ < σcr ), l’effort transmis vaut: F = σ.( be + SR )

après cloquage, la répartition de la contrainte dans la peau est donnée par lacourbe (C).

L’ hypothèse de Karman consiste à considérer que seule une bande de largeur 2c estsupposée travaillante avec le niveau de contrainte σ.

b

F

FSR

P

SR

P

σ

c c

b/2

contrainte dans la peau:

0

σ

0

σcr

(C)


18

On considère donc que l’effort transmis devient:

F = σ.( 2ce + SR )

Des travaux expérimentaux ont montré que c s’obtient par la formule:

On voit par cette formule que 2c=b à l’instant du cloquage (σ = σcr). Toute la peautravaille.

Au delà, quand σ > σcr, seule la bande de largeur 2c est supposée travaillante.

Utilisons les abaques des plaques rectangulaires en flambage de compression.

On considère le cas avec appui sur les 4 côtés dans la partie droite de la courbe (plaquelongue dans le sens de la compression).

k est de l’ordre de 3.5. On obtient donc pour σcr:

cb

( )2 1

4=

σcr

σ (1)

plaque rectangulaire en compression:

σcr = k E eb

( )2

σcr = 3.5 Eeb

( )2

(2)


19

En remplaçant σcr dans la relation (1) par l’expression (2) , on obtient:

5.2 Flambage du raidisseur:

L’ ensemble constitué par le raidisseur et la bande de tôle de largeur 2c est appelé«super-raidisseur». Il est intéressant de calculer cet ensemble au flambage.

Le flambage du super-raidisseur se produira quand:

Sachant que c dépend lui-même de σ,

la recherche de σ provoquant le flambage du «super-raidisseur» est complexe et nepeut être traitée que par une méthode itérative ou graphiquement:

5.3 Formulation simplifiée: règle des "15é".Pour un résultat approché conservatif, on pourra utiliser la méthode suivante:On choisit pour le calcul de c avec la formule (3) de se placer dans la situation la plusdéfavorable en remplaçant σ par la limite élastique σe.

Pour un AU4G, la formule conduit à:

Le "super-raidisseur" est donc constitué par le raidisseur et une bande de tôle de lar-geur 30e. La charge limite de compression sera donnée par la charge critique de flam-bage de cet ensemble. (voir exemple traité en Td )

c = 0,5 e 3.5 E

σ

cb

( )2 1

4= σ

eb

( )2

3.5 E1

=> (3)

où S= 2ce + SR et I sont des fonctions de c.

σ S = π2 EI

L2

c = 0,5 e 3.5 E

σ

σ(MPa)

σ.Sπ2 EI

L2

solution

F(N)

c = 15.e

Gcornière


20

Chap3: Calcul des enveloppes.

1 Présentation:

Une enveloppe est une surface fermée soumise à une pression p0 à l’extérieur et à unepression p1 supérieure à p0 à l’intérieur. La différence p = p1 - p0 est la pression effec-tive.

Considérons une enveloppe soumise à une pression p et coupons la par un plan, défi-nissant ainsi la section (S).

Sur un élément dS de la surface une force normale p.dS .

La résultante F des forces appliquées sur la partie d’enveloppe est égale à p.A (ouA représente l’aire de la section S).

Elle est normale à la section (S).

Son support passe par le centre de gravité G de section (S).

2 Enveloppe cylindrique:

Considérons une enveloppe cylindrique de rayon R, longueur L et épaisseur e.

(S)

p.dSn

dS 1

2

(S)

F

G

1 n

1

Le

Elle est soumise à une pression p.

Z


21

2.1 Tension transversale:

La résultante F des forces appliquées sur la partie d’enveloppe isolée est égale àp.A avec A = 2.R.L

Des contraintes de tension σΘ supposées constantes dans l’épaisseur (membrane) ap-paraissent sur les coupures.

L’équilibre de la coque dans la direction normale à (S) s’écrit:

D’ où l’expression de la contrainte σΘ qui règne dans les fibres orthoradiales:

2.2 Tension longitudinale:

En procédant de manière analogue, exprimer la contrainte de tension σz régnant

dans une fibre longitudinale. Conclusion?

3 Enveloppe sphérique:

Considérons une enveloppe sphérique rayon R, épaisseur e, soumise à une pression p.

- déterminer la section coupée (S) qui permettra de calculer la contrainte de tensionσc régnant (par symétrie) dans toute fibre circonférentielle.

- exprimer cette contrainte.

4 Enveloppe cylindrique à fond sphérique:

Pour constituer le fond d’une enveloppe cylindrique, on utilise généralement une calot-te sphérique.

Exprimons la contrainte dans une fibre méridienne quelconque de cette calotte sphé-

(S)

F

G

1

σΘ

1

σΘ.2.e.L - 2.p.R.L = 0

σΘ=p.Re


22

rique repérée par l’angle α.

On peut écrire:

La résultante des tensions σΘ est égale à: 2.π.R’.sin2(α).e’.σΘ

En égalant les 2 expressions pour traduire l’équilibre, on obtient:

Ce résultat indépendant de α montre que σΘ a la même valeur dans tout le fond sphé-rique.

Considérons maintenant le raccordement du fond avec le cylindre et l’effort exercé parunité de longueur de bord (flux):

En projection longitudinale, on obtient un flux : e’.σΘ .sin(Θ) =

Ce résultat est conforme à ce qui a été établi pour l’enveloppe cylindrique.

En projection radiale, un flux ’ est égal à e’.σΘ .cos(Θ). Ces forces radiales équilibrées tendent à rétrécir le cylindre au niveau du raccorde-ment. Un cadre de renfort doit être mis en place.Il est comprimé par les forces radiales.

RR’

ee’

O FG

α

σΘ

Θ

sin(Θ) =R’R

F = p.A = p.π.R’2.sin2(α)

p. R’ = 2.e’.σΘ d’où: σΘ= p.R’

2.e’

RR’

Θ

e’.σΘ

e’.σΘΘ

O

O’

Op.R’

2.

R’

R=

p.R

2

O

O

O’

O’

O

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