CONDICIONES DE KUHN

TUCKER Y LAGRANGE

Autor: Denny Valero

Optimización de Sistemas

Prof. Ing. Sara López

Cabimas, Diciembre 2013

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR

PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

EXTENCIÓN COL-CABIMAS

CONDICIONES

DE

KUHN TUCKER

METODO DE KUHN TUCKER

Definición

En programación matemática, las condiciones de Karush-Kuhn-

Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son

condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de

programación matemática sea óptima. Es una generalización del método de

los Multiplicadores de Lagrange

Importancia

La importancia de este teorema radica en que nos dice que podemos asociar una función

de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la potente herramienta del análisis

matemático al estudio del comportamiento del consumidor.

CAMPO DE APLICACIÓN

Básicamente el procedimiento consiste en

resolver el problema no lineal como uno sin

restricciones, luego si la solución óptima de

dicho problema no cumple la totalidad o

parte de las restricciones del problema se

activan dichas restricciones (en conjunto y/o

secuencialmente) y se resuelve

nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un

conjunto de restricciones activas cuya

solución también satisface las restricciones

omitidas. Notar que si se han activado la

totalidad de restricciones sin encontrar una

solución factible, entonces el problema es

infectable. Esta característica particular de

los modelos no lineales permite abordar

problemas donde existen economías o de

economías de escala o en general donde los

supuestos asociados a la proporcionalidad

no se cumplen.

En los problemas de optimización, el método de los

multiplicadores de Lagrange, llamados así en

honor a Joseph Louis Lagrange, es un

procedimiento para encontrar los máximos y

mínimos de funciones de múltiples variables sujetas

a restricciones. Este método reduce el problema

restringido con n variables a uno sin restricciones

de n + k variables, donde k es igual al número de

restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser

resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables

escalares desconocidas, una para cada restricción,

son llamadas multiplicadores de Lagrange.

El método dice que los puntos donde la función

tiene un extremo condicionado con k restricciones,

están entre los puntos estacionarios de una nueva

función sin restricciones construida como una

combinación lineal de la función y las funciones

implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes

son los multiplicadores.

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODO DE LAGRANGE

Uno de los problemas más comunes en el cálculo es el de encontrar

máximos o mínimos (en general, "extremos") de una función, pero a

menudo es difícil encontrar una forma cerrada para la función que se está

extremando. Estas dificultades surgen a menudo cuando se desea

maximizar o minimizar una función sujeta a condiciones exteriores fijos o

restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange es una

herramienta poderosa para resolver esta clase de problemas sin la

necesidad de resolver explícitamente las condiciones y los utilizan para

eliminar las variables adicionales.

Para decirlo más sencillamente, no es por lo general suficiente para

preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio necesario para hacer esta

lata?" (La respuesta a eso es claramente "Hacer un muy, muy pequeño

puede!") ¡Tienes que preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el

aluminio mientras se asegura la lata celebrará 10 onzas de sopa ? " O del

mismo modo, "¿Cómo puedo maximizar el beneficio de mi fábrica dado que

sólo tiene $ 15.000 a invertir ? " O, para tomar un ejemplo más sofisticado

", ¿Cuánto tarda en llegar a la montaña rusa de la tierra suponiendo que se

mantiene en el camino ? " En general, los multiplicadores de Lagrange son

útiles cuando algunas de las variables en la descripción más sencilla de un

problema son despedidos por las restricciones.

MÉTODO DE LAGRANGE

MÉTODO DE LAGRANGE

Los multiplicadores de Kuhn-Tucker , al igual que los multiplicadores de

Lagrange en el caso de restricciones de igualdad, son calculados

simultáneamente a los puntos óptimos. Además de servir para utilizar las

condiciones de optimización de segundo orden y para indicar las restricciones

que se encuentran saturadas, tienen una clara interpretación económica y

financiera.

CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS

CONDICIONES DE KHUN- TUCKER Y

LAGRANGE

Dado el óptimo de un programa con

restricciones de desigualdad podría plantearse

un programa equivalente eliminando las

restricciones no saturadas y expresando en

forma de igualdad las saturadas.

También son aplicados en sistemas

eléctricos, en el área de sistemas, matemática,

toma de decisiones entre otras.

Los problemas que surgen en las grandes organizaciones, tanto en el sector privado como en el

público, son tan complejos que no pueden resolverse usando exclusivamente sentido común y

experiencia práctica. Se deben tomar decisiones sobre la manera ‘óptima’ de usar los recursos

disponibles, generalmente escasos, para lograr unos ciertos objetivos. La Investigación Operativa

proporciona modelos y técnicas para abordar estos problemas, que permiten comprender los sistemas

reales y, en general, facilitan información sobre la decisión o el conjunto de decisiones más adecuado

de acuerdo con los objetivos establecidos y el impacto que pueden tener sobre el funcionamiento del

sistema como un todo.

LA OPTIMIZACIÓN EN LA TOMA DE DESICIONES

Una de las características del ser humano es su capacidad para tomar

decisiones, lo que incluye, básicamente, su capacidad para analizar

las alternativas y evaluarlas en términos de su comportamiento

respecto de los objetivos que desea conseguir. Es una actividad tan

cotidiana que prácticamente no le prestamos atención. En muchos

casos hemos ‘automatizado’ ese proceso de toma de decisiones como

fruto de la experiencia. Sin embargo, cuando el problema al que nos

enfrentamos es muy complejo, hay muchas alternativas posibles, y

son graves sus consecuencias, por lo que resulta difícil realizar este

proceso de análisis y evaluación.