conjectura de poincaré. geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/poincaregeotop.pdf · conjectura...
TRANSCRIPT
![Page 1: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/1.jpg)
Conjectura de Poincaré.
Geometria o topologia?
Joan Porti (UAB)
XI Trobada matematica
SCM
6 de juny de 2008
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.1/41
![Page 2: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/2.jpg)
Jules Henri Poincaré
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.2/41
![Page 3: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/3.jpg)
Jules Henri Poincaré
“...nous montâmes dans un omnibuspour je ne sais quelle promenade.Au moment où je mettais le pied
sur le marchepied, l’idée me vint,...”
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.2/41
![Page 4: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/4.jpg)
Jules Henri Poincaré
“...nous montâmes dans un omnibuspour je ne sais quelle promenade.Au moment où je mettais le pied
sur le marchepied, l’idée me vint,...”
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.2/41
![Page 5: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/5.jpg)
Poincaré i l’analysis situs
• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.3/41
![Page 6: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/6.jpg)
Poincaré i l’analysis situs
• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)
• Poincaré, H. Complément à l’Analysis situs. Palermo Rend. 13,285-343 (1899)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.3/41
![Page 7: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/7.jpg)
Poincaré i l’analysis situs
• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)
• Poincaré, H. Complément à l’Analysis situs. Palermo Rend. 13,285-343 (1899)
• Poincaré, H. Second complément à l’analysis situs Lond. M. S.Proc. 32, 277-308 (1900).
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.3/41
![Page 8: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/8.jpg)
Poincaré i l’analysis situs
• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)
• Poincaré, H. Complément à l’Analysis situs. Palermo Rend. 13,285-343 (1899)
• Poincaré, H. Second complément à l’analysis situs Lond. M. S.Proc. 32, 277-308 (1900).
• Poincaré, H. Sur certaines surfaces algébriques. III ième
complément à l’analysis situs. S. M. F. Bull. 30, 49-70 (1902).
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.3/41
![Page 9: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/9.jpg)
Poincaré i l’analysis situs
• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)
• Poincaré, H. Complément à l’Analysis situs. Palermo Rend. 13,285-343 (1899)
• Poincaré, H. Second complément à l’analysis situs Lond. M. S.Proc. 32, 277-308 (1900).
• Poincaré, H. Sur certaines surfaces algébriques. III ième
complément à l’analysis situs. S. M. F. Bull. 30, 49-70 (1902).
• Poincaré, H. Sur l’Analysis situs. C. R. 133, 707-709 (1902).
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.3/41
![Page 10: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/10.jpg)
Poincaré i l’analysis situs
• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)
• Poincaré, H. Complément à l’Analysis situs. Palermo Rend. 13,285-343 (1899)
• Poincaré, H. Second complément à l’analysis situs Lond. M. S.Proc. 32, 277-308 (1900).
• Poincaré, H. Sur certaines surfaces algébriques. III ième
complément à l’analysis situs. S. M. F. Bull. 30, 49-70 (1902).
• Poincaré, H. Sur l’Analysis situs. C. R. 133, 707-709 (1902).
• Poincaré, H. Cinquième complément à l’analysis situs.Palermo Rend. 18, 45-110 (1904)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.3/41
![Page 11: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/11.jpg)
Pregunta de Poincaré
A “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):
Sigui M3 varietat tancada tridimensional.
Si M3 és simplement connexa (π1(M3) = 0),
és M3 homeomorfa a S3?
S3 = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x21 + x2
2 + x23 + x2
4 = 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.4/41
![Page 12: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/12.jpg)
Pregunta de Poincaré
A “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):
Sigui M3 varietat tancada tridimensional.
Si M3 és simplement connexa (π1(M3) = 0),
és M3 homeomorfa a S3?
S3 = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x21 + x2
2 + x23 + x2
4 = 1
π1(M3) = 0:
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.4/41
![Page 13: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/13.jpg)
Pregunta de Poincaré
A “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):
Sigui M3 varietat tancada tridimensional.
Si M3 és simplement connexa (π1(M3) = 0),
és M3 homeomorfa a S3?
S3 = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x21 + x2
2 + x23 + x2
4 = 1
π1(M3) = 0:
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.4/41
![Page 14: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/14.jpg)
Pregunta de Poincaré
A “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):
Sigui M3 varietat tancada tridimensional.
Si M3 és simplement connexa (π1(M3) = 0),
és M3 homeomorfa a S3?
S3 = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x21 + x2
2 + x23 + x2
4 = 1
π1(M3) = 0:
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.4/41
![Page 15: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/15.jpg)
Pregunta de Poincaré
A “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):
Sigui M3 varietat tancada tridimensional.
Si M3 és simplement connexa (π1(M3) = 0),
és M3 homeomorfa a S3?
S3 = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x21 + x2
2 + x23 + x2
4 = 1
π1(M3) = 0:
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.4/41
![Page 16: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/16.jpg)
Pregunta de Poincaré
A “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):
Sigui M3 varietat tancada tridimensional.
Si M3 és simplement connexa (π1(M3) = 0),
és M3 homeomorfa a S3?
S3 = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x21 + x2
2 + x23 + x2
4 = 1
π1(M3) = 0:
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.4/41
![Page 17: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/17.jpg)
Pregunta de Poincaré
A “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):
Sigui M3 varietat tancada tridimensional.
Si M3 és simplement connexa (π1(M3) = 0),
és M3 homeomorfa a S3?
S3 = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x21 + x2
2 + x23 + x2
4 = 1
En dim 2, π1(F2) = 0 caracteritza l’esfera entre les superfícies.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.4/41
![Page 18: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/18.jpg)
Pregunta de Poincaré
A “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):
Sigui M3 varietat tancada tridimensional.
Si M3 és simplement connexa (π1(M3) = 0),
és M3 homeomorfa a S3?
S3 = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x21 + x2
2 + x23 + x2
4 = 1
π1(M3) = 0:
...mais cette question nous entrainerait trop loin.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.4/41
![Page 19: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/19.jpg)
Kneser i la suma connexa (1929)
Hellmut Kneser (1898-1973)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.5/41
![Page 20: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/20.jpg)
Kneser i la suma connexa (1929)
M1 M2 M1#M2
M1#M2 = (M1 −B3) ∪∂ (M2 −B3)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.5/41
![Page 21: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/21.jpg)
Kneser i la suma connexa (1929)
M1 M2 M1#M2
M1#M2 = (M1 −B3) ∪∂ (M2 −B3)
Teorema de Kneser (1929) M3 tancada i orientable
=⇒M3 ∼= M31 # · · ·#M3
k .
M31 , . . . , M3
k primeres i úniques.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.5/41
![Page 22: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/22.jpg)
Seifert i les varietats fibrades (1933)
Herbert Seifert (1907-1996)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.6/41
![Page 23: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/23.jpg)
Seifert i les varietats fibrades (1933)
Varietats particionades en cercles de models locals:
enganxem la base i la tapa del cilindre
per una 2π pq-rotació, p
q∈ Q
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.6/41
![Page 24: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/24.jpg)
Seifert i les varietats fibrades (1933)
Varietats particionades en cercles de models locals:
enganxem la base i la tapa del cilindre
per una 2π pq-rotació, p
q∈ Q
H. Seifert (1933): Classificació de les varietats fibrades de Seifert.
En particular, satisfan la conjectura de Poincaré
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.6/41
![Page 25: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/25.jpg)
Seifert i les varietats fibrades (1933)
Varietats particionades en cercles de models locals:
enganxem la base i la tapa del cilindre
per una 2π pq-rotació, p
q∈ Q
H. Seifert (1933): Classificació de les varietats fibrades de Seifert.
En particular, satisfan la conjectura de Poincaré
Exemples:• T 3 = S1 × S1 × S1
• S3 = z ∈ C2 | |z| = 1 fibració de Hopf: S1 → S3 → CP1 ∼= S2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.6/41
![Page 26: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/26.jpg)
Jaco-Shalen i Johannson (1979)
W.H. Jaco P.B. Shalen K. Johannson
(1940) (1946) (1948)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.7/41
![Page 27: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/27.jpg)
Jaco-Shalen i Johannson (1979)
Teorema de descomposició en tors (JSJ 1979).
M3 primera, tancada i orientable.
Hi ha una família canònica de tors T 2 que tallen M3
en trossos que són o bé fibrats de Seifert o bé simples.
M3
T 2
T 2
T 2T 2
N simple: no és Seifert i cada Z× Z ⊂ π1(N3) ve de π1(∂N3).
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.7/41
![Page 28: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/28.jpg)
Jaco-Shalen i Johannson (1979)
Teorema de descomposició en tors (JSJ 1979).
M3 primera, tancada i orientable.
Hi ha una família canònica de tors T 2 que tallen M3
en trossos que són o bé fibrats de Seifert o bé simples.
M3
T 2
T 2
T 2T 2
N simple: no és Seifert i cada Z× Z ⊂ π1(N3) ve de π1(∂N3).
Conjectura de Thurston: simple⇒ hiperbòlica.
Hiperbòlica: int(M3) mètrica de Riemann completa curvatura ≡ −1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.7/41
![Page 29: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/29.jpg)
Conjectura de geometrització de Thurston
W.P. Thurston (1946).
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.8/41
![Page 30: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/30.jpg)
Conjectura de geometrització de Thurston
M3 tancada admet una descomposició canònica
en trossos geomètrics
• Descomposició canònica: suma connexa i tors JSJ
• Varietat geomètrica: mètrica localment homogènia.(dos punts qualsevol tenen entorns isomètrics)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.8/41
![Page 31: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/31.jpg)
Conjectura de geometrització de Thurston
M3 tancada admet una descomposició canònica
en trossos geomètrics
• Descomposició canònica: suma connexa i tors JSJ
• Varietat geomètrica: mètrica localment homogènia.(dos punts qualsevol tenen entorns isomètrics)
• L. Bianchi (1897): classificació local de les mètriques localmenthomogènies en dimensió tres.• Geomètrica⇔ fibrada de Seifert, hiperbòlica o T 2 →M3 → S1.
Ex: S3, T 3 = S1 × S1 × S1 (fib. Seifert i homogènies)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.8/41
![Page 32: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/32.jpg)
Conjectura de geometrització de Thurston
M3 tancada admet una descomposició canònica
en trossos geomètrics
• Descomposició canònica: suma connexa i tors JSJ
• Varietat geomètrica: mètrica localment homogènia.(dos punts qualsevol tenen entorns isomètrics)
• L. Bianchi (1897): classificació local de les mètriques localmenthomogènies en dimensió tres.• Geomètrica⇔ fibrada de Seifert, hiperbòlica o T 2 →M3 → S1.
Ex: S3, T 3 = S1 × S1 × S1 (fib. Seifert i homogènies)
• Implica Poincaré.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.8/41
![Page 33: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/33.jpg)
Bianchi i les mètriques homogènies
Luigi Bianchi (1856-1928)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.9/41
![Page 34: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/34.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 35: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/35.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 36: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/36.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 37: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/37.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 38: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/38.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 39: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/39.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 40: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/40.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 41: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/41.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 42: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/42.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 43: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/43.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 44: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/44.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 45: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/45.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 46: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/46.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 47: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/47.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 48: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/48.jpg)
Exemple: el cercle S1
S1 = R/Z
Z actua per translacions (que preserven la distància).x 7→ x + 1
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.10/41
![Page 49: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/49.jpg)
Exemple: el tor T 2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.11/41
![Page 50: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/50.jpg)
Exemple: el tor T 2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.11/41
![Page 51: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/51.jpg)
Exemple: el tor T 2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.11/41
![Page 52: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/52.jpg)
Exemple: el tor T 2
T 2 = R2/Z2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.11/41
![Page 53: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/53.jpg)
Enrajolament de l’espai euclidià T 3 = R3/Z3
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.12/41
![Page 54: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/54.jpg)
Euclides segons Raffaello Sanzio
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.13/41
![Page 55: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/55.jpg)
Exemple: superfície F2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.14/41
![Page 56: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/56.jpg)
Exemple: superfície F2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.14/41
![Page 57: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/57.jpg)
Exemple: superfície F2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.14/41
![Page 58: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/58.jpg)
Exemple: superfície F2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.14/41
![Page 59: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/59.jpg)
Exemple: superfície F2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.14/41
![Page 60: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/60.jpg)
Exemple: superfície F2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.14/41
![Page 61: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/61.jpg)
Exemple: superfície F2
F2 = H2/Γ 4(dx2+dy2)(1−x2−y2)2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.14/41
![Page 62: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/62.jpg)
Enrajolaments del pla hiperbòlic
4(dx2 + dy2)
(1− x2 − y2)2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.15/41
![Page 63: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/63.jpg)
Enrajolaments del pla hiperbòlic
4(dx2 + dy2)
(1− x2 − y2)2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.15/41
![Page 64: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/64.jpg)
Enrajolament de l’espai hiperbòlic
Dodecàedres regulars d’angles dièdrics rectes.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.16/41
![Page 65: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/65.jpg)
Varietats de Riemann
Bernhard Riemann(1826-1866)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.17/41
![Page 66: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/66.jpg)
Varietats de Riemann
Conferència d’habilitació (10 de juny de 1854) a Göttingen.
Sobre les hipòtesis en que es fonamenta la geometria
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.17/41
![Page 67: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/67.jpg)
Varietats de Riemann
Conferència d’habilitació (10 de juny de 1854) a Göttingen.
Sobre les hipòtesis en que es fonamenta la geometria
• Text fundacional de la geometria de Riemann• Adreçat al claustre de la facultat de filosofia. On són els càlculs?• Desenvolupament posterior del càlcul tensorial.• Bàsic per la relativitat general.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.17/41
![Page 68: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/68.jpg)
Geometria de Riemann
En el tangent de cada punt, tenim un producte escalar.
u
v〈u, v〉
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.18/41
![Page 69: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/69.jpg)
Geometria de Riemann
En el tangent de cada punt, tenim un producte escalar.
u
v〈u, v〉
En coordenades (x1, . . . , xn), gij(x) = 〈∂i, ∂j〉 ∂i = ∂∂xi
u =P
ui∂i
v =P
vj∂j
9
=
;
〈u, v〉 =P
uigij(x)vj = (u1 · · ·un)
0
B
B
B
@
g11(x) · · · g1n(x)
......
gn1(x) · · · gnn(x)
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
v1
...
vn
1
C
C
C
A
És un exemple de tensor
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.18/41
![Page 70: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/70.jpg)
Geometria de Riemann
u =P
ui∂i
v =P
vj∂j
9
=
;
〈u, v〉 =P
uigij(x)vj = (u1 · · ·un)
0
B
B
B
@
g11(x) · · · g1n(x)
......
gn1(x) · · · gnn(x)
1
C
C
C
A
0
B
B
B
@
v1
...
vn
1
C
C
C
A
Longitud de corbes γ(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), a ≤ t ≤ b
L =
∫ b
a
|γ′(t)|dt =
∫ b
a
√
∑
ij
x′
i(t)gij(γ(t))x′
j(t)dt
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.18/41
![Page 71: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/71.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 72: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/72.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 73: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/73.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 74: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/74.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 75: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/75.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 76: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/76.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 77: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/77.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 78: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/78.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 79: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/79.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 80: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/80.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 81: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/81.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 82: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/82.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 83: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/83.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 84: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/84.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 85: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/85.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 86: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/86.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 87: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/87.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 88: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/88.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 89: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/89.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 90: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/90.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 91: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/91.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 92: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/92.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 93: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/93.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 94: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/94.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 95: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/95.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 96: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/96.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 97: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/97.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 98: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/98.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 99: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/99.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 100: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/100.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 101: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/101.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
Comença escollint unes bones coordenades pels càlculs
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.19/41
![Page 102: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/102.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
• Coordenades geodèsiques o normals
L’aplicació exponencial geodèsica identifica— rectes radials que surten de l’origen, al tangent,— amb geodèsiques (minimitzants) que surten del punt, a la varietat.
Coordenades normals←→ coordenades rectilínies del tangentConjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.20/41
![Page 103: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/103.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
En coordenades geodèsiques Riemann troba:
gij(x) = δij + 13Riαβjx
αxβ + O(|x|3)
• Riαβj = −Riαjβ = −Rαiβj = Rβjiα
• Riαβj + Riβjα + Rijαβ = 0.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.21/41
![Page 104: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/104.jpg)
Com Riemann descobreix la curvatura
En coordenades geodèsiques Riemann troba:
gij(x) = δij + 13Riαβjx
αxβ + O(|x|3)
• Riαβj = −Riαjβ = −Rαiβj = Rβjiα
• Riαβj + Riβjα + Rijαβ = 0.
• Riαβj és el tensor de curvatura de RiemannAcualment es defineix mitjançant derivades covariants.• I Riemann retroba la curvatura de Gauß K per superfícies:
K = R1212 = −R1221 = −R2112 = R2121
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.21/41
![Page 105: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/105.jpg)
Altres curvatures
En coordenades geodèsiques
• Curvatura de Ricci Rij =∑
αβ Riαβj
• Curvatura escalar R =∑
ij Rij
• Curvatura seccional del pla x3 = · · · = xn = 0, K = R1212.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.22/41
![Page 106: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/106.jpg)
Altres curvatures
En coordenades geodèsiques
• Curvatura de Ricci Rij =∑
αβ Riαβj
• Curvatura escalar R =∑
ij Rij
• Curvatura seccional del pla x3 = · · · = xn = 0, K = R1212.
• “Ricci és el Hessià del volum”d vol =
√
det(gij)ijdx1 ∧ · · · ∧ dxn
d vol(x) =
1−1
6
∑
ij
Rijxixj + O(|x|3)
dx1 ∧ · · · ∧ dxn.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.22/41
![Page 107: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/107.jpg)
Altres curvatures
En coordenades geodèsiques
• Curvatura de Ricci Rij =∑
αβ Riαβj
• Curvatura escalar R =∑
ij Rij
• Curvatura seccional del pla x3 = · · · = xn = 0, K = R1212.
• “Ricci és el Hessià del volum”d vol =
√
det(gij)ijdx1 ∧ · · · ∧ dxn
d vol(x) =
1−1
6
∑
ij
Rijxixj + O(|x|3)
dx1 ∧ · · · ∧ dxn.
Equació d’Einstein: Rij −12Rgij = Tij
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.22/41
![Page 108: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/108.jpg)
Curvatura de Ricci
En coordenades geodèsiques
• Rij = Rji =∑
αβ Riαβj
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.23/41
![Page 109: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/109.jpg)
Curvatura de Ricci
En coordenades geodèsiques
• Rij = Rji =∑
αβ Riαβj
• Com a forma quadràtica, pot ser definida positiva Rij > 0.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.23/41
![Page 110: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/110.jpg)
Curvatura de Ricci
En coordenades geodèsiques
• Rij = Rji =∑
αβ Riαβj
• Com a forma quadràtica, pot ser definida positiva Rij > 0.
d vol(x) =
1−1
6
∑
ij
Rijxixj + O(|x|3)
dx1 ∧ · · · ∧ dxn.
Rij = 0 Rij > 0 Rij < 0
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.23/41
![Page 111: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/111.jpg)
Hamilton i el Flux de Ricci (1982)
R.S. Hamilton (1943).
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.24/41
![Page 112: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/112.jpg)
Hamilton i el Flux de Ricci (1982)
∂gij
∂t= −2Rij
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.24/41
![Page 113: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/113.jpg)
Hamilton i el Flux de Ricci (1982)
∂gij
∂t= −2Rij
• En coordenades harmòniques xi, ∆xi = 0.
∂gij
∂t= ∆(gij) + Qij(g
−1,∂g
∂x)
on
∆(gij) = laplacià de la funció escalar gij
Qij = expressió quadràtica
És una equació de difussió-reacció.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.24/41
![Page 114: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/114.jpg)
Hamilton i el Flux de Ricci (1982)
∂gij
∂t= −2Rij
• En coordenades harmòniques xi, ∆xi = 0.
∂gij
∂t= ∆(gij) + Qij(g
−1,∂g
∂x)
on
∆(gij) = laplacià de la funció escalar gij
Qij = expressió quadràtica
És una equació de difussió-reacció.
• Heurística del programa de Hamilton:“O bé g(t) convergeix a una mètrica localment homogèniao bé crea singularitats corresponents a la descomposició canònica".
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.24/41
![Page 115: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/115.jpg)
Hamilton i el Flux de Ricci (1982)
∂gij
∂t= −2Rij
• Heurística del programa de Hamilton:“O bé g(t) convergeix a una mètrica localment homogèniao bé crea singularitats corresponents a la descomposició canònica".
•Hamilton/DeTurck:
Existència en temps curt i unicitat
quan Mn és compacte hi ha una única solució
definida per t ∈ [0, T ), T > 0.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.24/41
![Page 116: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/116.jpg)
Exemple
• Suposem que g(0) té curvatura seccional constant K.
⇒ Rij = (n− 1)Kgij(0)
Posant gij(t) = f(t)gij(0), llavors ∂gij
∂t= −2Rij equiv. a l’ODE
f ′(t) = −2(n− 1)K
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.25/41
![Page 117: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/117.jpg)
Exemple
• Suposem que g(0) té curvatura seccional constant K.
⇒ Rij = (n− 1)Kgij(0)
Posant gij(t) = f(t)gij(0), llavors ∂gij
∂t= −2Rij equiv. a l’ODE
f ′(t) = −2(n− 1)K
g(t) = (1− 2K(n− 1)t)g(0)
si K < 0 s’expandeix per sempre
si K = 0 es manté estable
si K > 0 col·lapsa al temps T = 12K(n−1)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.25/41
![Page 118: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/118.jpg)
Exemple: Solitons
∂
∂tgij = −2Rij .
Una solució gt és un solitó si gt = λ(t)Φ∗
t g0 .
Contractant si λ < 1, estable si λ = 1 i expansiu si λ > 1.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.26/41
![Page 119: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/119.jpg)
Exemple: Solitons
∂
∂tgij = −2Rij .
Una solució gt és un solitó si gt = λ(t)Φ∗
t g0 .
Contractant si λ < 1, estable si λ = 1 i expansiu si λ > 1.
Un solitó gradient si ∂∂t
Φt = ∇f
Equivalentment:
Rij + Hessij(f) + c gij = 0
• Solitons amb curvatura ≥ 0: després d’explotar les singularitats.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.26/41
![Page 120: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/120.jpg)
Exemple: Solitó Cigar
g = dx2+dy2
1+x2+y2 = dr2+r2dθ2
1+r2 = dρ2 + tanh2 ρ dθ2 a R2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.27/41
![Page 121: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/121.jpg)
Exemple: Solitó Cigar
g = dx2+dy2
1+x2+y2 = dr2+r2dθ2
1+r2 = dρ2 + tanh2 ρ dθ2 a R2
• Asimptòtic a un cilindre (tanh ρ→ 1 quan ρ→∞)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.27/41
![Page 122: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/122.jpg)
Exemple: Solitó Cigar
g = dx2+dy2
1+x2+y2 = dr2+r2dθ2
1+r2 = dρ2 + tanh2 ρ dθ2 a R2
• Asimptòtic a un cilindre (tanh ρ→ 1 quan ρ→∞)
• K = 2cosh2 ρ
> 0 i K → 0 quan ρ→∞.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.27/41
![Page 123: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/123.jpg)
Exemple: Solitó Cigar
g = dx2+dy2
1+x2+y2 = dr2+r2dθ2
1+r2 = dρ2 + tanh2 ρ dθ2 a R2
• Asimptòtic a un cilindre (tanh ρ→ 1 quan ρ→∞)
• K = 2cosh2 ρ
> 0 i K → 0 quan ρ→∞.
• És un solitó gradient estable:f = −2 log cosh ρ compleix Hess(f) + 2
cosh2 ρg = 0
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.27/41
![Page 124: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/124.jpg)
Exemple: Solitó Cigar
g = dx2+dy2
1+x2+y2 = dr2+r2dθ2
1+r2 = dρ2 + tanh2 ρ dθ2 a R2
• Asimptòtic a un cilindre (tanh ρ→ 1 quan ρ→∞)
• K = 2cosh2 ρ
> 0 i K → 0 quan ρ→∞.
• És un solitó gradient estable:f = −2 log cosh ρ compleix Hess(f) + 2
cosh2 ρg = 0
• Cigar×S1 NO hauria de sortir després d’explotar les singularitats.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.27/41
![Page 125: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/125.jpg)
Més exemples
• Cilindre S2 ×R:
El factor S2 col·lapsa en temps finit i R resta constant.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.28/41
![Page 126: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/126.jpg)
Més exemples
• Cilindre S2 ×R:
El factor S2 col·lapsa en temps finit i R resta constant.
• S3 amb un “coll":
S2×I
coll
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.28/41
![Page 127: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/127.jpg)
Més exemples
• Cilindre S2 ×R:
El factor S2 col·lapsa en temps finit i R resta constant.
• S3 amb un “coll":
S2×I
coll punxada
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.28/41
![Page 128: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/128.jpg)
Situació ideal (Dimensió 3)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.29/41
![Page 129: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/129.jpg)
Situació ideal (Dimensió 3)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.29/41
![Page 130: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/130.jpg)
Situació ideal (Dimensió 3)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.29/41
![Page 131: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/131.jpg)
Situació ideal (Dimensió 3)
...però això no sabem si és cert!
Haurem de tallar i enganxar.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.29/41
![Page 132: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/132.jpg)
Zoom de singularitats en dimensió tres
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.30/41
![Page 133: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/133.jpg)
Zoom de singularitats en dimensió tres
Quan fem un zoom o explosió d’una singularitatens agradaria obtenir el cilindre S2 ×R
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.30/41
![Page 134: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/134.jpg)
Zoom de singularitats en dimensió tres
Quan fem un zoom o explosió d’una singularitatens agradaria obtenir el cilindre S2 ×R
• Hamilton: Com podem evitar el Cigar×S1?
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.30/41
![Page 135: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/135.jpg)
Ricci positiva
Teorema (Hamilton 1982)
If M3 admet una mètrica amb (Rij) > 0
⇒M3 admet una mètrica amb curv ≡ 1
Idea: • (Rij) > 0 és una condición invariant pel flux en dim 3.• Es poden controlar els valors propis de Rij .
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.31/41
![Page 136: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/136.jpg)
Ricci positiva
Teorema (Hamilton 1982)
If M3 admet una mètrica amb (Rij) > 0
⇒M3 admet una mètrica amb curv ≡ 1
Idea: • (Rij) > 0 és una condición invariant pel flux en dim 3.• Es poden controlar els valors propis de Rij .• Hi ha un temps d’extinció del flux• Els tres valors propis convergeixen a∞ a la mateixa velocitat.• El limit reescalat convergeix a una mètrica de curv. cntant.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.31/41
![Page 137: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/137.jpg)
Ricci positiva
Teorema (Hamilton 1982)
If M3 admet una mètrica amb (Rij) > 0
⇒M3 admet una mètrica amb curv ≡ 1
Idea: • (Rij) > 0 és una condición invariant pel flux en dim 3.• Es poden controlar els valors propis de Rij .• Hi ha un temps d’extinció del flux• Els tres valors propis convergeixen a∞ a la mateixa velocitat.• El limit reescalat convergeix a una mètrica de curv. cntant.
Generalizació:• Si (Rij) ≥ 0, admet una mètrica loc. homogènia, R3, S2 ×R, S3.
(Pricipi max. fort per tensors (Hamilton)).
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.31/41
![Page 138: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/138.jpg)
Curvatura escalar R
R =∑
Rii
• Evolució de R pel flux de Ricci:
∂R
∂t= ∆R + 2|(Rij)|
2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.32/41
![Page 139: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/139.jpg)
Curvatura escalar R
R =∑
Rii
• Evolució de R pel flux de Ricci:
∂R
∂t= ∆R + 2|(Rij)|
2
• Principi del màxim: minM R is no-decreixent en t.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.32/41
![Page 140: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/140.jpg)
Curvatura escalar R
R =∑
Rii
• Evolució de R pel flux de Ricci:
∂R
∂t= ∆R + 2|(Rij)|
2
• Principi del màxim: minM R is no-decreixent en t.
• Més treball: R controla les singularitats en dim 3:
Quan ens acostem al temps límit, R→∞ en algun punt.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.32/41
![Page 141: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/141.jpg)
Singularitats
Les singularitats passen al temps límit T d’existència del flux.Quan t→ T , R→∞ en algun punt
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.33/41
![Page 142: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/142.jpg)
Singularitats
Les singularitats passen al temps límit T d’existència del flux.Quan t→ T , R→∞ en algun punt
• Questió de Hamilton: com es pot controlar el radi d’injectivitata prop de les singularitats?
inj(x)= supr | expx : B(0, r) ⊂ TxM → B(x, r) ⊂Més diffeo
r
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.33/41
![Page 143: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/143.jpg)
Singularitats
Les singularitats passen al temps límit T d’existència del flux.Quan t→ T , R→∞ en algun punt
• Questió de Hamilton: com es pot controlar el radi d’injectivitata prop de les singularitats?
inj(x)= supr | expx : B(0, r) ⊂ TxM → B(x, r) ⊂Més diffeo
r
• Perelman 2002: Les solucions del flux de Ricci són localmentno-col·lapsades (després de reescalar a R = 1).
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.33/41
![Page 144: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/144.jpg)
Perelman 2002
G. Perelman (1966)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.34/41
![Page 145: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/145.jpg)
Perelman 2002
Teorema: κ -non col·lapsada
∃κ > 0 t.q. ∀r > 0, ∀x ∈M i ∀t ∈ [1, T ),
Si ∀y ∈ B(x, t, r), |R(y, t)| ≤ r−2 ⇒ vol(B(x,t,r))r3 ≥ κ
⇒ Quan normalitzem a |R(y, t)| = 1, cota inferior del radi d’injectivitat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.34/41
![Page 146: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/146.jpg)
Perelman 2002
Teorema: κ -non col·lapsada
∃κ > 0 t.q. ∀r > 0, ∀x ∈M i ∀t ∈ [1, T ),
Si ∀y ∈ B(x, t, r), |R(y, t)| ≤ r−2 ⇒ vol(B(x,t,r))r3 ≥ κ
⇒ Quan normalitzem a |R(y, t)| = 1, cota inferior del radi d’injectivitat.
• Idea: flux de Ricci com a flux gradient per cert funcional.
• Això exclou el solitó del cigar com a model local per les singularitatsVolem cilindres S2 ×R com a model locals per les singularitats.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.34/41
![Page 147: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/147.jpg)
El solitó cigar és κ-col ·lapsat
gcigar = dx2+dy2
1+x2+y2 = dρ2 + tanh2 ρ dθ2 a R2
Considerem gcigar + dz2 a R2 × S1.
Com que K = 2cosh2 ρ
→ 0 i inj → 1 quan ρ→∞,S’exclou com a model local per singularitats (pel κ-no col·lapse)
(κ-no col·lapse: quan reescalem a |R| = 1, inj > c(κ) > 0)
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.35/41
![Page 148: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/148.jpg)
Perelman 2002
Teorema: κ -no collapse
∃κ > 0 s.t. ∀r > 0, ∀x ∈M i ∀t ∈ [1, T ),
Si ∀y ∈ B(x, t, r), |R(y, t)| ≤ r−2 ⇒ vol(B(x,t,r))r3 ≥ κ
⇒ quan normalitzem a |R(y, t)| = 1, cota inferior del radi d’injectivitat.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.36/41
![Page 149: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/149.jpg)
Perelman 2002
Teorema: κ -no collapse
∃κ > 0 s.t. ∀r > 0, ∀x ∈M i ∀t ∈ [1, T ),
Si ∀y ∈ B(x, t, r), |R(y, t)| ≤ r−2 ⇒ vol(B(x,t,r))r3 ≥ κ
⇒ quan normalitzem a |R(y, t)| = 1, cota inferior del radi d’injectivitat.
Teorema: entorn canònic∀ǫ > 0, ∃r > 0, t.q. ∀x ∈M i ∀t ∈ [1, T ),
Si R(x, t) ≥ r−2 ⇒ x ∈ (M, g(t)) pertany a un ε-entorn canònic.
ε-entorn
canònic:
• ε-a prop d’un cilindre S2 × (0, l)
• ε-a prop de B3 oberta amb final cilíndric
• varietat amb K > 0.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.36/41
![Page 150: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/150.jpg)
Flux de Ricci amb δ-cirugia
(M3, g(t)) flux de Ricci, t ∈ [0, T ).
Ωρ = x ∈M | R(x, t) ≤ ρ−2, t→ T compacte.Ω =
⋃
ρ>0 Ωρ obert. g∞ = mètrica límit a Ω.
Ωρ
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.37/41
![Page 151: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/151.jpg)
Flux de Ricci amb δ-cirugia
(M3, g(t)) flux de Ricci, t ∈ [0, T ).
Ωρ = x ∈M | R(x, t) ≤ ρ−2, t→ T compacte.Ω =
⋃
ρ>0 Ωρ obert. g∞ = mètrica límit a Ω.
Ωρ
Si t / T ⇒ (M3 − Ωr, g(t)) = unió de ε-entorns canònics.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.37/41
![Page 152: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/152.jpg)
Flux de Ricci amb δ-cirugia
(M3, g(t)) flux de Ricci, t ∈ [0, T ).
Ωρ = x ∈M | R(x, t) ≤ ρ−2, t→ T compacte.Ω =
⋃
ρ>0 Ωρ obert. g∞ = mètrica límit a Ω.
Ωρ
Si t / T ⇒ (M3 − Ωr, g(t)) = unió de ε-entorns canònics.
∃0 < δ < 1 tal que si ρ = δr, aleshores les components
de M3 − Ωρ són S2 × [0, 1],B3 o varietats amb K > 0.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.37/41
![Page 153: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/153.jpg)
Flux de Ricci amb δ-cirugia
(M3, g(t)) flux de Ricci, t ∈ [0, T ).
Ωρ = x ∈M | R(x, t) ≤ ρ−2, t→ T compacte.Ω =
⋃
ρ>0 Ωρ obert. g∞ = mètrica límit a Ω.
Ωρ
Si t / T ⇒ (M3 − Ωr, g(t)) = unió de ε-entorns canònics.
∃0 < δ < 1 tal que si ρ = δr, aleshores les components
de M3 − Ωρ són S2 × [0, 1],B3 o varietats amb K > 0.
• δ-cirugia: Enganxem semiesferes a la vora de (Ωρ, g∞),allisem i continuem el flux.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.37/41
![Page 154: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/154.jpg)
Flux de Ricci amb δ-cirugia
(M3, g(t)) flux de Ricci, t ∈ [0, T ).
Ωρ = x ∈M | R(x, t) ≤ ρ−2, t→ T compacte.Ω =
⋃
ρ>0 Ωρ obert. g∞ = mètrica límit a Ω.
Ωρ
M3 − Ωρ = unió finita de S2 × [0, 1],B3 o varietat amb K > 0
. . . i continuem el flux.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.37/41
![Page 155: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/155.jpg)
Evolució del flux de Ricci δ-cirugia
1 Hi poden haver una infinitat de temps de cirugia.Els temps de cirugia no s’acumulen (estimacions de volum).
d
dtvol(M, g(t)) = −
∫
M
R ≤ ctnt (minM
R no-decreixent)
i cada cirugia decreix una quantitat de volum minorada
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.38/41
![Page 156: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/156.jpg)
Evolució del flux de Ricci δ-cirugia
1 Hi poden haver una infinitat de temps de cirugia.Els temps de cirugia no s’acumulen (estimacions de volum).
2 A cada cirugia tenim una suma connexa, que pot sertopològicament trivial (M#S3).
S3
S3#S3#S3#S3
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.38/41
![Page 157: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/157.jpg)
Evolució del flux de Ricci δ-cirugia
1 Hi poden haver una infinitat de temps de cirugia.Els temps de cirugia no s’acumulen (estimacions de volum).
2 A cada cirugia tenim una suma connexa, que pot sertopològicament trivial (M#S3).
3 δ i altres paràmetres canvien a cada cirugia.El flux depend de l’elecció δ: no hi ha unicitat!
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.38/41
![Page 158: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/158.jpg)
Evolució del flux de Ricci δ-cirugia
1 Hi poden haver una infinitat de temps de cirugia.Els temps de cirugia no s’acumulen (estimacions de volum).
2 A cada cirugia tenim una suma connexa, que pot sertopològicament trivial (M#S3).
3 δ i altres paràmetres canvien a cada cirugia.El flux depend de l’elecció δ: no hi ha unicitat!
4 Per 1:
• o bé s’acaba (extingeix) en suma connexa de varietats
de curvatura constant ≡ +1 i S2 × S1,
• o bé continua fins a temps infinit.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.38/41
![Page 159: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/159.jpg)
Evolució a llarg termini
Per temps prou llarg, els Mt es divideix en:
Mt = Mprimat ∪Mgrassa
t
prima/grassa segons si el radi d’inject. és menor/major que c(R, t, δ).
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.39/41
![Page 160: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/160.jpg)
Evolució a llarg termini
Per temps prou llarg, els Mt es divideix en:
Mt = Mprimat ∪Mgrassa
t
prima/grassa segons si el radi d’inject. és menor/major que c(R, t, δ).
Això correspon a la descomposició JSJ.
Mgrassat = hiperbòlica
Mprimat = unió de fibrats de Seifert
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.39/41
![Page 161: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/161.jpg)
Drecera per la conjectura de Poincaré
Teorema (Perelman)
Si π3(M3) 6= 0⇒ el flux s’extingeix en temps finit.
Per què implica la conjectura de Poincaré:
• π1(M3) = 0⇒ π3(M
3) 6= 0
• Extingit a T <∞⇒M3 = S3/Γ# · · ·#S1 × S2
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.40/41
![Page 162: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/162.jpg)
Drecera per la conjectura de Poincaré
Teorema (Perelman)
Si π3(M3) 6= 0⇒ el flux s’extingeix en temps finit.
• π1(M3) = 0⇒ π3(M
3) 6= 0
• Extingit a T <∞⇒M3 = S3/Γ# · · ·#S1 × S2
Dem. de Colding-Minicozzi (sketch):
• Θdef= f : S2 →M3 certa regularitat,
M3 ⊂ Θ com aplicacions constants
π1(Θ, M3) 6= 0 per què π3(M3) 6= 0
.
s=0
s=1
S2s
S3
γs M3
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.40/41
![Page 163: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/163.jpg)
Drecera per la conjectura de Poincaré
Teorema (Perelman)
Si π3(M3) 6= 0⇒ el flux s’extingeix en temps finit.
• Θ := f : S2 →M3 amb certa regularitat. Fixem 0 6= θ ∈ π1(Θ, M3)
W (g, θ) = minγ∈θ
maxs∈[0,1]
E(γs) > 0 E(γs) =1
2
∫
S2
‖dγs‖2dµS2
s=0
s=1
S2s
S3
γs M3
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.40/41
![Page 164: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/164.jpg)
Drecera per la conjectura de Poincaré
Teorema (Perelman)
Si π3(M3) 6= 0⇒ el flux s’extingeix en temps finit.
• Θ := f : S2 →M3 amb certa regularitat. Fixem 0 6= θ ∈ π1(Θ, M3)
W (g, θ) = minγ∈θ
maxs∈[0,1]
E(γs) > 0 E(γs) =1
2
∫
S2
‖dγs‖2dµS2
• ddt
W (g(t), θ) ≤ −4π + 34(t+C)W (g(t), θ) quan W > 0.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.40/41
![Page 165: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/165.jpg)
Drecera per la conjectura de Poincaré
Teorema (Perelman)
Si π3(M3) 6= 0⇒ el flux s’extingeix en temps finit.
• Θ := f : S2 →M3 amb certa regularitat. Fixem 0 6= θ ∈ π1(Θ, M3)
W (g, θ) = minγ∈θ
maxs∈[0,1]
E(γs) > 0 E(γs) =1
2
∫
S2
‖dγs‖2dµS2
• ddt
W (g(t), θ) ≤ −4π + 34(t+C)W (g(t), θ) quan W > 0.
• ddt
((t + C)−3
4 W (g(t), θ)) ≤ −4π(t + C)−3
4
⇒W (g(T ), θ) = 0 per cert T > 0⇒ extingit abans del temps T .
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.40/41
![Page 166: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/166.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Els impressionistes aplicaven una mena de flux als colors?
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41
![Page 167: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/167.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Comportament del flux a llarg termini.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41
![Page 168: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/168.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Comportament del flux a llarg termini.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41
![Page 169: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/169.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Comportament del flux a llarg termini.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41
![Page 170: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/170.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Comportament del flux a llarg termini.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41
![Page 171: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/171.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Comportament del flux a llarg termini.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41
![Page 172: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/172.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Comportament del flux a llarg termini.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41
![Page 173: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/173.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Comportament del flux a llarg termini.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41
![Page 174: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/174.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Comportament del flux a llarg termini.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41
![Page 175: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/175.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Comportament del flux a llarg termini.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41
![Page 176: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/176.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Comportament del flux a llarg termini.
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41
![Page 177: Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia?mat.uab.es/~porti/PoincareGeoTop.pdf · Conjectura de Poincaré. Geometria o topologia? Joan Porti (UAB) XI Trobada matematica` SCM](https://reader034.vdocuments.net/reader034/viewer/2022042215/5ebbbe8c06ea2d25e152314b/html5/thumbnails/177.jpg)
Monet. Impression, soleil levant
Conjectura de Poincare. Geometria o topologia? – p.41/41