continuidad de funciones - moises villena muñoz

Moiss Villena Muoz Cap. 2 Continuidad de funciones

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2

2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO 2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON

FUNCIONES 2.3 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.4 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

OBJETIVOS:

Definir formalmente continuidad de una funcin de una variable real en un punto y en un intervalo.

Realizar demostraciones formales de continuidad. Construir funciones continuas.


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Hasta aqu nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una funcin en la cercana de un punto; ahora nos proponemos definir su comportamiento justamente en el punto.

2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO El trmino continuo aplicado a una funcin de variable real sugiere que su

grfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su grfica no se requiera alzar la mano. Esto en trminos formales sera:

2.1.1 DEFINICIN

Sea f una funcin de una variable real definida en un intervalo abierto ),( ba y sea ),(0 bax . Se dice que f es continua en " 0x " si

00lm ( ) ( )x x f x f x = . Es decir, si

se cumplen tres cosas: 1. )( 0xf est definida 2. Lxf

xx= )(lm0 (existe); y

3. )( 0xfL = Caso contrario, se dice que f es discontinua en " 0x "

Ejemplo Una funcin continua en un punto 0x

Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto 0x , tenemos:

Fig. 2.1


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Ejemplo 1 La funcin no es continua en 0x , debido a que

0

lm ( )x x

f x no existe

Ejemplo 2 La funcin no es continua en 0x , debido a que

0

lm ( )x x

f x no existe

Ejemplo 3 La funcin no es continua en 0x , debido a que )()(lm 0

0

xfxfxx

Fig. 2.2

Fig. 2.3

Fig. 2.4


62

Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una discontinuidad esencial.

Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible, porque sera cuestin de definir a f en el punto " 0x " con el valor de L para tener ya una funcin continua en ese punto. A propsito, observe que slo en este caso el lmite existe.

Ejemplo 4

1

65)(2

+=

xxxxf no est definida en 1=x y su grfica es la de 1;6)( += xxxf que

no es continua en 1=x . (tiene un hueco)

Definindola continua tenemos

=

+=

1;7

1;1

65)(

2

x

xx

xxxf

Ejemplo 5

Determine el valor de " A ", de ser posible, para que

=

=

2;

2;24

)(

2

xA

xxx

xf

sea continua en 2x = . SOLUCIN: Para que f sea continua en 2x = ser cuestin de definirla en este punto con el valor de )(lm

2xf

x si es

que existe; es decir, hacer que )(lm)2(2

xffAx== .

Calculando el lmite tenemos:

( )( ) ( ) 42lm2

22lm24lm

22

2

2=+=

+=

xxxx

xx

xxx.

Por tanto 4=A

Fig. 2.5


63

Ejemplo 6

Calcular el valor de A ", de ser posible, para que

==0;

0;1)(2

xA

xx

exf

x

sea continua en 0x = . SOLUCIN: La funcin est definida para todo nmero real excepto 0=x . El asunto ser definirla en este punto con el valor de )(lm

0xf

x si es que existe; es decir, )(lm)0( 0 xffA x== . Calculando el lmite tenemos:

21lm2

0= x

e x

x.

Por tanto 2=A

Ejercicios Propuestos 2.1 1. Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad.

1. 416)(

2

=

xxxf

2. ( ) ( )22 ; 2

2 ; 2x xf x

x

+ = =

3.

>

5. 21 2 ; 3

( )2 5 ; 3

x x xf x

x x + = >

6. ( )1 ; 2

11 ; 2

xf x x

x x

=


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2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES Si operamos funciones se obtienen nuevas funciones cuya continuidad se la

puede determinar haciendo uso del siguiente teorema.

2.2.1 TEOREMA

Sean f y g funciones de variable real continuas en el punto " 0x ", entonces tambin lo sern: k f , gf + , gf , gf . , g

f ( )0)( 0 xg , nf , n f ( paresnsixf 0)( 0 > )

Demostracin. Demostremos lo siguiente:

"Si f y g son funciones continuas en el punto " 0x " entonces gf + tambin es continua en " 0x "

Las hiptesis seran :1H 0

0lim ( ) ( )x x f x f x = y :2H

00lim ( ) ( )x x g x g x =

Como [ ]0 0 0

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x

f x g x f x g x

+ = + entonces [ ]

00 0lim ( ) ( ) ( ) ( )x x f x g x f x g x + = +

Es decir ( ) ( )

00: lim ( ) ( )x xC f g x f g x + = +

Lo cual indica que la funcin gf + tambin es continua en " 0x "

Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector. Se puede hacer analoga con el teorema principal de lmites si surge la

interrogante de saber lo que ocurre con el recproco del teorema, es decir, que si tenemos una funcin suma (u otra, resultado de las operaciones indicadas) continua, se podra decir que las funciones que la formaron son tambin continuas.

Para el caso de la funcin compuesta tenemos.


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2.2.2 TEOREMA DEL LMITE DE LA COMPOSICIN.

Sean f y g funciones de variable real. Si g es continua en " 0x " y f continua en

)( 0xg entonces gf D es continua en " 0x " Demostracin. Tenemos las siguientes hiptesis:

1H : g es continua en 0x , es decir 0

0lim ( ) ( )x x g x g x = , lo cual significa que

1 0 > , 1 0 > tal que, si 0 1x x < entonces ( ) ( )0 1g x g x < 2 :H f es continua en ( )0g x , es decir ( ) ( )( )0 0lim ( )x g x f x f g x = , lo cual significa que

2 0 > , 2 0 > tal que, si ( )0 2x g x < entonces ( ) ( )( )0 2f x f g x < En la segunda hiptesis si hacemos ( )x g x= tenemos: ( ) ( )0 2g x g x < ( )( ) ( )( )0 2f g x f g x < En la primera hiptesis, el consecuente de la implicacin se cumple si 1 2 = . Considerando las dos hiptesis juntas:

( ) ( )0 1 0 2x x g x g x < < ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 2 0 2g x g x f g x f g x <


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2.3 CONTINUIDAD LATERAL

2.3.1 CONTINUIDAD POR DERECHA

Sea f una funcin de variable real. f es continua por la derecha de " 0x " si

)()(lm 00

xfxfxx

=+

Ejemplo

Es decir, f slo por la derecha de 0x se aproxima y llega a ser ( )0f x .

2.3.2 CONTINUIDAD POR IZQUIERDA

Sea f una funcin de variable real. f es continua por la izquierda de " 0x " si

)()(lm 00

xfxfxx

=

Es decir, f slo por la izquierda de 0x se aproxima y llega a ser ( )0f x . Ejemplo

Fig. 2.6

Fig. 2.7


67

En conclusin, si f es continua en 0x significa que tanto por derecha como por izquierda f se aproxima y llegar a ser ( )0f x .

Bien, lo anterior es slo en un punto, si la funcin fuera continua en todo \ ,

bastara con decir existe continuidad en todo punto de \ . Es decir:

Sea f una funcin de variable real. f es

continua en \ si 0

0 0lm ( ) ( )x xx f x f x = \

Existen funciones que ya se han tratado en cursos anteriores que son continuas

en todo \ , como las funciones lineales, las funciones cuadrticas y en general todas las funciones polinomiales, las funciones trigonomtricas seno y coseno.

Otras funciones en cambio son continuas slo en intervalos, sera importante

aqu indicar lo que ocurre en los extremos del intervalo. 2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

2.4.1 CONTINUIDAD EN ( )ba,

Sea f una funcin de variable real. f es continua en un intervalo abierto ( )ba, si es continua en todo punto interior de ( )ba, . Es decir ( )

00 0, ; lm ( ) ( )x xx a b f x f x =

Ejemplo 1 Una funcin continua en ( )ba,

Fig. 2.8


68

Ejemplo 2 Otra funcin continua en ( )ba,

2.4.2 CONTINUIDAD EN [ ]ba,

Sea f una funcin de variable real. f es continua en un intervalo cerrado [ ]ba, si es continua en ( )ba, y adems continua a la derecha de a ( )()(lm afxf

ax=+ ) y a la

izquierda de b ( )()(lm bfxfbx

= ).

Ejemplo

Una funcin continua en [ ]ba,

Fig. 2.10

Fig. 2.9


69

2.4.3 CONTINUIDAD EN [ )ba,

Sea f una funcin de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto [ )ba, , si es continua en ( )ba, y adems continua a la derecha de a .

Ejemplo 1

Una funcin continua en [ )ba, Ejemplo 2

Otra funcin continua en [ )ba,

Fig. 2.12

Fig. 2.11


70

2.4.4 CONTINUIDAD EN ( ]ba,

Sea f una funcin de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto ( ]ba, , si es continua en ( )ba, y adems continua a la izquierda de b .

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.

Ejercicio resuelto 1

Hallar " a ", de ser posible, para que

2 2 ; 2( ) 8 ; 2

5 ; 2

x a xf x x

x a x sea continua en todo \ .

SOLUCIN:

Fig. 2.13

Fig. 2.14


71

Note que f est definida con funciones polinomiales y por tanto f ser continua en los respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en 2=x , lo que significa que:

( )22 2

lm ( 2 ) lm (5 ) 2

4 2 10 8

2

x xx a x a f

a a

a

+ = + = = + =

=

Es decir, que la funcin

2 4 ; 2( ) 8 ; 2

5 2 ; 2

+

x xf x x

x x ser continua en todo R .


Hallar " a ", de ser posible, para que

22 ; 1( ) 5 ; 1

3 ; 1

x a xf x x

x a x

+ sea continua en todo \ .

SOLUCIN: Igual que el ejercicio anterior, debemos procurar que f sea continua en 1x = , lo que significa que:

( )2

1 1lm(2 ) lm( 3 ) 1

2 1 3 5x x

x a x a f

a a +

+ = =+ = =

Aqu ocurre una inconsistencia, entonces no existe valor de a para que f sea continua en\ . Ejercicio resuelto 3

Hallar los valores de " a " y " b ", de ser posible, para que

>+

x xf x x x

x x ser continua en todo R .


72


Analizar la continuidad de la funcin6

9)( =

xxxf

SOLUCIN: El asunto aqu es sinnimo al de establecer el dominio natural (por qu?). Entonces debemos resolver la

inecuacin 06

9

xx .

Se concluye que f tendr grfica slo en el intervalo ( ]6,9 , que ser tambin su intervalo de continuidad. Ejercicio resuelto 5

Bosqueje el grfico de una funcin f que satisfaga las siguientes condiciones: 1. Dom f = \ 2. f es continua en ( ) ( ] ( )+ ,11,22, 3. [ ] 2)(,0,0 xfNxxN 4. [ ]MxfxxM )(10,0,0 6. [ ]MxfNxxNM >> )(,0,0 7. [ ]


73

Ejercicios Propuestos 2.2

1. Hallar los valores de " a " y " b " , de ser posible, para que f sea continua en R .

1.


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2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS

Sea f una funcin de variable real definida en el intervalo cerrado [ ]ba, . Si f es continua en [ ]ba, entonces para toda

( ) ( )( ) , f x f a f b existe un [ ]0 ,x a b .

Ejemplo

Demuestre que la ecuacin 0233 =+ xx tiene una solucin real entre "0" y "1". SOLUCIN: Definamos la funcin 23)( 3 += xxxf . Observamos que: 2)0( =f y 2)1( =f y como f es continua en [ ]1,0 , por ser polinomial; aplicando el Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si ( ) 0=f x existir un x elemento de [ ]1,0 que lo satisfaga. Es decir: [ ]1,0x tal que 023)( 3 =+= xxxf

Fig. 2.16

Fig. 2.17


75

Ejercicios Propuestos 2.3 1. (Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano.

2. (Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass.

3. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demustrelas y en caso de ser falsa, d un contraejemplo.

a) Si f es continua y no tiene ceros en [ ]ba, , entonces 0)( >xf para toda x en [ ]ba, o 0)( xf , hay un intervalo ( )+ 00 , xx tal que 0)( >xf en ese intervalo.

c) El producto de dos funciones f y g es continua en " 0x " ,si f es continua en " 0x " pero g no.

d) Si f es continua en " 0x " y g es discontinua en " 0x ", entonces gf + es discontinua en " 0x ". e) Toda funcin continua en ( )ba, es acotada. f) Toda funcin acotada en [ ]ba, es continua en [ ]ba, g) Si f es continua e inyectiva en [ ]ba, entonces su funcin inversa 1f es continua en [ ]ba,

4. Demuestre que la ecuacin: 0134 35 =+ xxx tiene una solucin en el intervalo [2,3]. 5. Si el peso de un nio al nacer es de 8 libras y despus de un ao el mismo nio tiene un peso de 16 libras,

demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algn instante de tiempo el nio alcanz un peso de 11 libras.

Miscelneos 1. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demustrelas y

en caso de ser falsa, d un contraejemplo. a) )(lm)(lm xfxf

axax + = entonces f es continua en ax = . b) Si f y g son funciones continuas en ax = entonces la funcin fg tambin es continua en ax = .

c) La funcin de variable real con regla de correspondencia

>

+=

2;2

2;4

22)( 2

x

xx

xxxf es

continua en 2=x . d) Si f es una funcin tal que IRfdom = y IRa )(lm xf

ax + existe, entonces f es continua en todo su dominio.

e) Si f es una funcin continua en [ ]ba, tal que 0)( >af y 0)( bfaf entonces no existe un valor [ ]bac ,

tal que 0)( =cf . h) Si f y g son funciones que no son continuas en ax = entonces la funcin gf + no es continua en

ax = . i) La funcin


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j) Sea f una funcin de variable real con regla de correspondencia

==

0;0

0;cos1)( 2

x

xx

xxf ,

entonces f es continua en todo su dominio.

2. Determine el valor de "a" para que

1)(00 xfMxM ( ) [ ]0)(5,3 > exfNxxN )(,0,0 [ ]MxfxxM > )(01,0,0

6. Bosqueje el grfico de una funcin f que satisfaga las siguientes condiciones: Dom f=IR, 0)( >xf para ( ] ( )1,01, x 1)(0)1()0(1)1(

0==== + xflmfff x

[ ] 1)(,0,0 xfNxxN [ ] >> 1)(,0,0 xfNxxN [ ]MxfxxM > )(10,0,0 [ ]MxfxxM > )(10,0,0 [ ]

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