Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 1

1 1.1LMITE EN UN PUNTO 1.2LMITES LATERALES 1.3TEOREMAS SOBRE LMITES 1.4CLCULO DE LMITES 1.5LMITES AL INFINITO 1.6LMITES INFINITOS 1.7OTROS LMITES OBJETIVOS: Definir Lmites. Realizar demostraciones formales de lmites. Describir grficamente los lmites. Calcular lmites. Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 2 2 11.90 4.801.95 4.901.99 4.982.01 5.022.05 5.102.10 5.20x y x = + 1.1 LMITE EN UN PUNTOElClculo,bsicamenteestfundamentadoenloslmites,portantoeste tema es trascendental para nuestro estudio.De hecho, la derivada y la integral definida son conceptos basados en lmites. Conceptualizar lmite determinando elcomportamientodeunafuncineinterpretarloensugrfica,ayudar bastante en el inicio del anlisis de los lmites. 1.1.1DEFINICIN INTUITIVA Ciertasfuncionesdevariablerealpresentanuncomportamientountanto singularenlacercanadeunpunto,precisarsuscaractersticasesnuestra intencin y el estudio de los lmites va a permitir esto. Empecemosanalizandoejemplossencillos;enlosquepodamosporsimple inspeccin concluir y tener una idea del concepto de lmite.Ejemplo 1 Veamos como se comporta la funcinfcon regla de correspondencia1 2 ) ( + = x x fen la cercana de2 = x .Evaluando la funcin para algunos valores dex ,prximos (acercndose) a 2 : Enlatabladevaloressehanubicadounasflechasparadaraentenderquetomamosalaxaproximndosea2enambasdireccionesyseobservaquelosvaloresdey sevanacercandoa5.Aunque son sloseis valores, por ahora sin ponernos exigentes vamos a concluir diciendo que la funcin seaproximaa5cadavezquesuvariableindependientex seaproximaa2.Estecomportamientolo escribiremos de la siguiente forma: ( ) 5 1 2 lm2= +xx Lo anterior se puede ilustrar desde la grfica: Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 325 610.90 6.900.95 6.950.99 6.991.01 7.011.05 7.051.10 7.10x xx yx+ = Ejemplo 2 Ahora veamos el comportamiento de esta otra funcinfcon regla de correspondencia 16 5) (2 +=xx xx f , en la cercana de1 = x .Evaluando la funcin para ciertos valores dex , cada vez ms prximos a 1, tenemos: Parece ser que esta funcin se aproxima a tomar el valor de 7 cada vez que la variable independientexse aproxima a tomar el valor de 1, es decir716 5lm21= + xx xx. Note que no es necesario que la funcin est definida en el punto de aproximacin. Porotrolado,laregladecorrespondencia 16 5) (2 +=xx xx f esequivalentea1 ; 6 ) ( + = x x x f(POR QU?). Este comportamiento se lo puede visualizar desde su grfica: Deloexpuestoenlosdosejemplosanteriores,sinsertanrigurosotodava, podemos emitir la siguiente definicin: Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 4 Una funcinftiene lmiteL en un punto 0x ,sif seaproximaatomarelvalorL cada vez que su variable independiente x seaproximaatomarelvalor 0x .Loquese denota como: 0lm ( )x xf x L= Paralosdosejemplosanterioreselcomportamientodelasfuncionesse puede determinar analizando sus grficas; pero esto podra ser no tan sencillo; es ms, suponga que se necesite bosquejar la grfica teniendo caractersticas de su comportamiento. De ah la necesidad del estudio de lmite de funciones. 1.1.2 DEFINICIN FORMALSuponga que se plantea el problema de demostrar que 2lm2 1 5xx+ =o que 215 6lm 71xx xx+ =.Paraesto,debemosgarantizarformalmenteel acercamiento que tiene la funcin a su correspondiente valor cada vez que su variable independiente se aproxime al valor especificado. Ya la tabla de valores nonossirve,elhechoquesecumplaparaalgunosvaloresnoindicaquese cumplaparatodoslosvaloresprximosalpunto.Lademostracinconsistir enescribirmatemticamente,lenguajeformal,lametodologadelproceso,lo cual nos lleva a la necesidad de tener una definicin formal de lmite y no slo para estos dos ejemplos, sino para cualquier funcin.Antes, de llegar a la definicin requerida, precisemos lo siguiente: PRIMERO, para un lenguaje formal, decir quextoma valores prximos a un punto 0x (quexest en torno a 0x ), bastar con considerarla perteneciente a unintervaloovecindad,centradoen 0x ,desemiamplitudmuypequea,la cual denotaremos con la letra griega (delta). Es decir:

0 0x x x < < +Transformando la expresin anterior tenemos: < < < + < < + < < 000 0 0 0 00 0x xx xx x x x x xx x xRestando "0x " Empleando la definicin de valor absoluto Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 5Y, para quexno sea 0x , bastar con proponer que 00 x x < < POR QU?. SEGUNDO,paradecirquef estprximaaL(entornoaL ),podemos expresarqueperteneceaunintervaloovecindad,centradoenLde semiamplitudmuypequea,lacualdenotaremosconlaletragriega(psilon). Es decir: ( )L f x L < < +Transformando la expresin anterior tenemos:

< + < < + < < L x fL x fL x f L) () () ( Contodoloanterior,definimosformalmentelmitedeunafuncinenun punto, de la siguiente manera: Seafuna funcin de variable real y sean ycantidades positivas muy pequeas.Supongaquef seaproximaaLcuandox se aproximaa 0x ,denotadopor 0lm ( )x xf x L= ,significaqueparatodaproximidad quese deseeestarconf entornoaL,deber podersedefinirunintervaloentornoa 0x enel cual tomarx , sin que necesariamente 0x x = , que nos garantice el acercamiento. Es decir:( )00lm ( ) 0, 0 0 ( )x xf x L tal que x x f x L = > > < < > 5 1 2 2 0 0 , 0 x x que tal Enlaimplicacin,vamosatransformarelantecedentehastallevarloalaformadelconsecuente. Observe el consecuente, su forma algebraica nos guiar en el procedimiento a seguir: ( )( )0 20 2 2 20 2 2 20 2 2 20 2 4 20 2 4 5 5 20 2 1 5 2xxxxxxx< 5 ) ( 3 0 , 0 0 x f x x( ) ( ) 0 ) 6 ( 3 3 = = = f f fy2 ) 0 ( = f Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 20 1.3 TEOREMAS SOBRE LMITES 1.3.1 TEOREMA PRINCIPAL SOBRE LMITE Seanf yg funcionesconlmiteen 0x ; esdecir,supongaque 0lm ( )x xf x L= y 0lm ( )x xgx M=. Entonces: 1. 0lmx xk k= ,k R 2. 00lmx xx x=3. 0 0lm ( ) lm ( )x x x xkf x k f x kL = = ,k R 4. [ ]0 0 0lm ( ) ( ) lm ( ) lm ( )x x x x x xf x gx f x gx L M + = + = +5. [ ]0 0 0lm ( ) ( ) lm ( ) lm ( )x x x x x xf x gx f x gx L M = = 6. [ ]0 0 0lm ( ) ( ) lm ( ) lm ( )x x x x x xf xgx f x gx LM = =7. 000lm ( )( )lm( ) lm ( )x xx xx xf xf x Lgx gx M = = ;siempre que 0lm ( ) 0x xgx8. [ ]0 0lm ( ) lm ( )nnnx x x xf x f x L = = ,n N 9. 0 0lm ( ) lm ( )nnnx x x xf x f x L = = siempre que0lm ( ) 0x xf xcuandones par. Demostraciones 1. ( )00lm 0, 0/ 0x xk k x x k k = > > < < > < < > < < > L x f x x que talYasegurar queM x gx x=) ( lm0 significa que: 2 2 0 2 2) ( 0 0 , 0 < < < > > M x g x x que talLo cual quiere decir si tomamos 22 1 = =y{ }2 1, = mintenemos:

< < < < > > 2) (2) (0 / 0 , 00M x gL x fx xSumando trmino a trmino la desigualdad resulta: 2 2) ( ) ( + < + M x g L x fY por la desigualdad triangular( ) ( ) M x g L x f M x g L x f + + ) ( ) ( ) ( ) (Por lo tanto( ) ( ) < + + M L x g x f ) ( ) (Finalmente, se observar que: ( ) ( ) < + + < < > > M L x g x f x x ) ( ) ( 0 / 0 , 00

lo que nos asegura que [ ] M L x g x fx x+ = +) ( ) ( lm0 El resto de las demostraciones se deja como ejercicio para el lector. Observe que el recproco del teorema anterior es falso.Ejemplo Suponga que se tiene>=0 ; 00 ; 1) (xxx f y > < < > < < Ahora, suponiendo que = =2 1 y tomando{ }3 2 1, , = min , tenemos: < < < < > > ) ( ) ( ) () () (0 / 0 , 00x h x f x gL x hL x gx x que quiere decir que: + < < + < < < < > > ) ( ) ( ) () () (0 / 0 , 00x h x f x gL x h LL x g Lx x lo cual significa que: + < < L x h x f x g L ) ( ) ( ) ( ,y de manera simplificada se podra decir que: + < < L x f L ) ( Por lo tanto < < < > > L x f x x ) ( 0 / 0 , 00 , que no es otra cosa queL x fx x=) ( lm0L.Q.Q.D. Ahora veamos ejercicios donde se emplea el teorema del emparedado Ejemplo 1 Sea2 21 ( ) 1 x f x x +para todaxprxima a 0, excepto en 0. Hallar ) ( lm0x fx . SOLUCIN: Llamemos 21 ) ( x x g =y 2( ) 1 hx x = + . Calculando lmites tenemos:

( )20 0lm ( ) lm1 1x xgx x = = y ( )20 0lm( ) lm 1 1x xhx x = + = .Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 24 Y como) ( ) ( ) ( x h x f x g en la vecindad de0 = x , por el teorema del emparedado se concluye que: 1 ) ( lm0=x fx O ms simplemente: ( ) ( )2 20 0 0lm1 lm ( ) lm 1x x xx f x x +1 ) ( lm 10 x fx por lo tanto1 ) ( lm0=x fx Ejemplo 2 Use el teorema del emparedado para demostrar que:01sen lm0= xxx SOLUCIN: No se puede aplicar la propiedad del producto de los lmites debido a que 01lmsenxx no existe. Tambin hacerlo en trmino de , sera dificilsimo, Por qu? . Por tanto hay que recurrir a otro mecanismo. La funcin =xx f1sen ) (es acotada, es decir que11sen 0 x.Al multiplicar porxtenemos:11sen 0 xxx x ; luego tomando lmite resultaxxxx x x 0 0 0lm1sen lm 0 lm , que equivale a01sen lm 00 xxx y llegamos a lo que queramos, es decir:01sen lm0= xxx. Ejemplo 3 HallarxSenxx 0lm SOLUCIN: Para emplear el teorema del emparedado, acotemos la funcin xSenxx f = ) ( x senx cos2Rx tgx113R1RMoiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 25Del grfico tenemos que:( )2) 1 ( tg1xAreaR =, ( )2) 1 (22xAR = , ( )2) (sen cos3x xAR =Observe que 3 2 1R R RA A A , entonces ( ) ( ) ( )2sen cos212) 1 ( tg2x x x x PRIMERO: Si + 0 x . Multiplicando por 2 y dividiendo parax senresulta:

( ) ( )xx xxxxxsen 2sen cos 2sen 22sen 2) 1 ( tg 2 xxxxcossen cos1 que es lo mismo que x xxxcos1 sencos tomando lmite x xxxx x x cos1lmsenlm cos lm0 0 0+ + + 1senlm 10 + xxx entonces 1senlm0=+ xxx SEGUNDO: En cambio, si 0 x . Multiplicando por 2 y dividiendo parax senresulta:xxxxcossen cos1 (Se invierte el sentido de la desigualdad porque0 sen < xque es lo mismo que: x xxxcos1 sencos tomando lmite: x xxxx x x cos1lmsenlm cos lm0 0 0 1senlm 10 xxx entonces1senlm0= xxx Finalmente 0senlm 1xxx= Observe la grfica Note que en su grfica se observa la conclusin anterior.sen xyx= Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 26 Ejercicios Propuestos 1.3 1.Realice las demostraciones de los incisos 5, 6 y 7 del Teorema principal de lmite. 2.Use el teorema del emparedado para demostrar que: a.01lm2 40= xSen xx b. ( ) 011sen 1 lm21=+ xxx 3.CalifiquecadaunadelassiguientesproposicionescomoVERDADERAOFALSA,encasodeser verdadera demustrela y en caso de ser falsa d un contraejemplo. a.( ) ( ) ( ) ( )0 0lm lm 0x x x xf x L f x L = =b.Si( )0lm ( ) ( )x xf x gx existe, entonces tambin existen 0lm ( )x xf x y 0lm ( )x xgx c.Si ( ) ( )24 3 5 x x g + , entonces( ) 5 lm4 =x gx d.Si( )0f xno est definida, entonces el 0lm ( )x xf xno existe e.Si( )0f xexiste, entonces 0lm ( )x xf x existe f.Suponga que g es una funcin tal que0 ) ( lm0=x gx. Si fes una funcin cualquiera, entonces( ) 0 ) ( lm0=x fgx g.Si) ( ) ( x g x f para toda x , entonces el 0 0lm ( ) lm ( )x x x xf x gx 1.4 CALCULO DE LMITES Enelclculodelmites,laaplicacindelteoremadesustitucinpuede bastar. Ejemplo 1 Calcular [ ] ( )1lmxx x+SOLUCIN:Aplicando el teorema de sustitucin: [ ] ( )1lm 1 1 1 1 0xx x++ = = =| 1i + [ ](El entero mayor de nmeros ligeramente mayores que 1 es igual a 1) Ejemplo 2 Calcular [ ] ( )1lmxx xSOLUCIN:Aplicando el teorema de sustitucin[ ] ( )1lm 1 1 1 0 1xx x = = =| 1i + [ ] (El entero mayor de nmeros ligeramente menores que 1 es igual a 0) Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 27Ejemplo 3 Calcular [ ] ( ) ( )1lm 2 1 1xx Sgn x + SOLUCIN:Aplicando el teorema principal de lmites y el teorema de sustitucin: [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )( )( )1 1 1lm 2 1 1 lm 2 1 lm 12(1) 1 1 11 00 11x x xx Sng x x Sng xsngsng + = + = + = += = | 1i + [ ]| 1i + [ ] Ejercicios Propuestos 1.4 Calcular:1.4 6 2 lm4 +xx 2. xxx + 31 4lm3 3.( )0lm 2xx Sgnx+4. [ ]33lm3xxx+ 5. [ ]01lm1xxx++ 6. [ ]2221lm1xx xx+| 1i + [ ] 7. [ ] ( )( )20tanlmxx Sgn xx ++ 8. [ ]2lmsenxx 9.( )22lm cosxx ++| 1i + [ ] 10.( ) ( ) ( )5lm 5 1 3xx x x ++ + Enotroscasos,alcalcularlmites,unavezaplicadoelteoremade sustitucin,serequeriruntrabajoadicionalsisepresentanresultadosdela forma: 0000010

Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 28 Losresultadosdelaformamencionadasonllamadosindeterminaciones debidoaquecorrespondenacualquiervalor.Porejemplo,tomemos 00, suponga que sea igual a una constantec , es decir00c =entonces0 0c =sera verdadera para todoc . Analice el resto de indeterminaciones. Ejemplo 1 Calcular 215 6lm1xx xx+ SOLUCIN:Empleandoelteoremadesustitucintenemos ( )2 211 5 1 6 5 6 0lm1 1 1 0xx xx+ + = = una indeterminacin, para destruirla vamos a simplificar la expresin, es decir factorizando: ( )( )( )21 1 16 1 5 6lm lm lm 61 1x x xx x x xxx x + + = = + Y finalmente aplicando el teorema de sustitucin:( )1lm 6 1 6 7xx+ = + = Ejemplo 2 Calcular 227 10lm2xx xx + SOLUCIN:Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: ( )002 210 2 7 22= + (Indeterminacin) Para encontrar el valor de esta indeterminacin, simplificamos le expresin: ( )( )( )22 2 22 57 10lm lm lm( 5)2 2x x xx xx xxx x += = Aplicando el Teorema de Sustitucin, resulta: 2lm( 5) 2 5 3xx = = Ejemplo 3 Calcular 45 14lm2xx xx+ SOLUCIN:Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: 002 414 4 5 4= +(Indeterminacin) Para encontrar el valor de esta indeterminacin, simplificamos le expresin: Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 29

( )( )( )4 4 27 25 14lm lm lm 72 2x x xx xx xxx x + + = = + Aplicando el Teorema de Sustitucin, resulta: ( )4lm 7 4 7 9xx+ = + =SEGUNDO METODO: Podemos hacer un Cambio de Variable: 2u x =. Este casox u =, y cuando 4 x ,2 uPor tanto el lmite en la nueva variable sera:

225 14lm2uu uu+ Simplificando la expresin y aplicando en teorema de sustitucin: ( )( )( )22 2 27 25 14lm lm lm 7 92 2u u uu uu uuu u + + = = + = Ejemplo 4 Calcular 11lm1xxx SOLUCIN:Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: 001 11 1=(Indeterminacin) Racionalizando el numerador y simplificando:

( )( ) ( )1 1 11 1 1 1 1lm lm lm1 2 1 1 1 1x x xx x xx x x x x + = = = + + + Ejemplo 5 Calcular 311lm1xxx SOLUCIN:Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: 001 11 13=(Indeterminacin) Para encontrar el valor de esta indeterminacin, podemos aplicar uno de los siguientes mtodos: PRIMER METODO:Racionalizando el numerador para diferencia de cuadrados y el denominador para diferencias de cubos:

( )( )23 32313 311 1lm1 11xx xx xx xx x + + + ++ +

( ) ( )( )( )( )( )( )( )2 23 3 3 311 1 1 1 13lm21 1 1 1xx x xx x + + + += = + + Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 30 SEGUNDO METODO: Cambio de Variable: 6u x =. EntoncesSi 1 1 u xReemplazando tenemos: 6 323 6 1 11 1lm lm11u uu uuu = Y factorizando: ( ) ( )( )( )( )( )( )( )2 2 21 11 1 1 1 1 13lm lm1 1 1 1 1 2u uu u u u uu u u + + + + + += = = + + + Ejemplo 6 Calcular [ ]223 2 2lm4xx xx SOLUCIN:Aplicando el teorema principal de lmite consideramos [ ]( ) 22 22lm3 2 lm4x xxxx Entonces, para el primer lmite tenemos: [ ]( )2lm3 2 3xx =Por qu? Y para el segundo lmite, resulta: ( )( )( )( )( )( ) 4121lm2 22lm2 22lm42lm42lm22 22222 =+=+ =+ == xx xxx xxxxxxxx x x x Por lo tanto [ ]223 2 21 3lm (3)4 4 4xx xx = = Ejercicios Propuestos 1.5 Calcular: 1. 39lm23 xxx 2. 42lm22xxx 3. 28lm32 xxx 4. 2249 20lim3 4xx xx x + 5. 2223 10lim5 14xx xx x + 6. 3 23 215 3lim2 7 4xx x xx x x+ ++ + 7. 3 23 222 10lim2 2 4xx x xx x x+ ++ 8. 42lm4 xxx 9. 21 1lim2xxx 10. 82lm38 xxx 11. 21lm231 + x xxx 12. ( )11lm21 + + xa x a xx 13. ( )+ 23 3 2111 2xx xlimx 14. 311213lmx xx 15. 83 7lm38 + xxx 16. [ ]223 2 2lm4xx xx+ Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 31Otros lmites se calculan empleando la expresin 0senlm 1xxx=que en forma generalizada sera: 0senlm 1; ( )uudonde u uxu= = Ejemplo 1 Calcular ( )0senlmxkxx SOLUCIN:Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: ( ) ( )sen 000 0k=(Indeterminacin) Paraencontrarelvalordeestaindeterminacin,multiplicamosydividimospork ,yluegoaplicamosel teorema principal de lmites: ( )0 01sen senlm lm (1)x xkx kxk k k kkx kx = = =. Se podra decir que ( )0senlmuk uku= ;k R Ejemplo 2 Calcular 0sen3lmsen5xxx SOLUCIN: Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: ( ) ( )( ) ( )sen3000 sen50= (Indeterminacin) Ahora, para encontrar el valor de la indeterminacin dividimos el numerador y el denominador entrex , y luego aplicamos el teorema principal de lmites y la formula anterior:

300 005sen3 sen3lmsen3 3lm lmsen5 sen5sen5 5lmxx xxx xxx xx xxx x = = =

. Ejemplo 3 Calcular 201 coslmxxx SOLUCIN:Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos:

121 cos 0 00 0= (Indeterminacin) Ahora, para encontrar el valor de la indeterminacin hacemos lo siguiente: Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 32 ( )2sen22 20 01 cos 1 cos 1 coslm lm1 cos 1 cosxx xx x xx x x x + = + +

2 22 20 0 020sen 1lm lm lm1 cos (1 cos )sen 1 1lm2 2x x xxx senxx x x xxx = = + + = = Ejemplo 4 Calcular ( )201 coslmxkxx SOLUCIN:Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: ( ) ( )21 cos 0 1 cos 0 1 1 00 0 0 0k = = = (Indeterminacin) Ahora, para encontrar el valor de la indeterminacin hacemos lo siguiente: ( ) ( )( )( )( )( ) ( )2sen22 20 01 cos 1 cos 1 coslm lm1 cos 1 coskxx xkx kx kxkx x x kx + = + +

( )( )( )( )( )2 22 20 0 0220sen1lm lm lm1 cos (1 cos )sen 1lm2 2x x xxkkx sen kxkx x kx xkx kx = = + + = = . Se puede decir que ( )2201 coslm2uk uku= Ejemplo 5 Calcular 01 coslmxxx SOLUCIN:Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: 0000 cos 1=(Indeterminacin) Multiplicando por el conjugado y aplicando propiedades: ( )20 01 cos 1 cos 1 coslm lm1 cos 1 cosx xx x xx x x x + = + +

20 0 0001 1sen sen senlm lm lm(1 cos ) 1 cossen sen 0 0lm 01 cos 0 2x x xxx x xx x x xxx =+ + = = = + . Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 33Se puede decir que ( )01 coslm 0uk uu= Ejemplo 6 Calcular sen senlmx ax ax a SOLUCIN: Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: 00 sen sen=a aa a(Indeterminacin) PRIMER MTODO: Cambiando variablea x u = . Entonces six a , 0 u y ademsa u x + = Reemplazando y simplificando tenemos: ( ) ( )( )( )( )sen0 0000 001sen sen sen cos cos sen senlm lmsen cos cos sen senlmsen cos cos 1 senlmcos 1 sen sen coslm lmsencos lm senu au uuuu uuu a a u a u a au uu a u a auu a u auu a u au uua a lu+ + + =+ =+ == + = +

.( )00cos 1cos (1) (0)cosuumua senaa = +=. SEGUNDO MTODO: Empleando la identidad:sen sen 2cos sen2 2x a x ax a+ =

2cos sensen sen 2 2lm lmx a x ax a x ax ax a x a + = Aldenominadorlodividimosymultiplicamospor2,yluegoseparamosloslmitesaplicandoelteorema principal de lmites (el lmite del producto es el producto de los lmites) 12cos sen 2cos sen2 2 2 2lm lm lm222 2cosx a x a x ax a x a x a x ax a x aa + + = =. Ejemplo 7 Calcular ( )( )32211 senlm1xxx+ SOLUCIN: Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: ( )( )3221 sen1 1 00 01 1+= =(Indeterminacin) Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 34 Haciendo cambio de variable:1 u x = entonces1 x u = +y si1 x entonces0 u Reemplazando y simplificando: ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )3 32 22 21 03 32 2203 3 3 32 2 2 2203 32 22032201 sen 1 1 senlm lm11 senlm1 sen cos cos senlm1 sen 0 cos 1lm1 coslmx uuuuuu xuxuuu uuu uuuu + + +=+ +=+ +=+ + == El ltimo lmite se lo puede calcular directamente con la formula ( )2201 coslm2uk u ku=

( )232 23 2 92 4201 cos9lm2 2 8kuuu = = =El resultado se lo puede comprobar, realizando todo el procedimiento lgico. Multiplicando por el conjugado y simplificando:

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )2 3 3 32 2 22 2 3 3 0 02 22 3223 022323 0 021 cos 1 cos 1 coslm lm1 cos 1 cossenlm1 cossen1lm lm1 cosu uuu uu u uu u u uuu uuu u + = + + = + = + Multiplicando y dividiendo por 32 y obteniendo lmite: ( )( )( )( )( )23 32 23 3 0 02 223223230 0232122sen1lm lm1 cossen1lm lm1 cos3 12 298u uu uuu uuuu + = + = =. Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 35Ejemplo 8 Calcular 0lm1 cosxxx SOLUCIN: Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: 0 00 1 cos 0 =(Indeterminacin) Multiplicando por el conjugado del radical, simplificando y luego calculando:

20 02020200111 cos 1 coslm lm1 cos 1 cos1 cos1 coslmsen1 coslmsen1 coslmsen1 coslmsen1 cos0sen2x xxxxxx x x xx xxx xxxxxxxxxxxxx + += ++=+=+=+=+== Ejercicios propuestos 1.6 Calcular: 1. 0sen 2 tan3lmxx xx++ 2. xx xxcos 2 2senlm0+ 3. ( )223 sen 1lm2 +xxx 4.( )21lm 1 tanxx x5. ( )2tanlm2xxx+ 6. 1cos2lm1xxx 7. 3sen3lm1 2cos xxx 8. ( )0cot2lmtan2xxx 9. 0arcsenlmxxx 10. 0arctan 2lmsen3xxx Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 36 Otrotipodelmiteinteresante,cuyoresultadonosvaharesultartilenel clculo de otros lmites, es el de( )xx x f11 ) ( + =cuandoxtiende a 0 . Hagamos una tabla de valores: ( )5937 . 2 10 . 065329 . 2 05 . 07048 . 2 01 . 07319 . 2 01 . 07895 . 2 05 . 086797 . 2 10 . 0111 1+ =xx y x Se observa que:( )10lm 1xxx e+ =HAY QUE DEMOSTRARLO! Ms generalmente tenemos que( )10lm 1uuu e+ =donde) (x u u = . Ejemplo 1 Calcular( )10lm1 senxxx+SOLUCIN: Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos( )= + 1 0 sen 101(Indeterminacin) Para calcular el valor de esta indeterminacin utilizamos( )10lm1uuu e+ = .Si consideramosx u sen = , notamos quenecesitamos enelexponente el recproco de esta expresin, por tanto al exponente lo multiplicamos y dividimos porsen x : ( ) ( )1sensen 111sen sen0 0lm lm 1 sen 1 senxxxx x xx xex e e x = + = = +

. ( )xx y11+ =e Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 37Ejemplo 2 Calcular( )10lmcosxxx SOLUCIN: Note que la expresin dada es una indeterminacin de la forma 1 .Para utilizar( )10lm1uuu e+ = primero sumemos y restemos 1 a la base, es decir vamos a tener: ( ) ( )xxx101 cos 1 lm +

luego consideramos1 cos = x uy multiplicamos y dividimos al exponente por esta expresin: ( ) ( )00cos 1lm0cos 1cos 1lm 1 cos 1xxxxexxxxx e + =

. Por tanto: ( )100lm 1 cosxxe x= = . Ejemplo3 Calcular 22112lm1x xx xxx+ + + SOLUCIN: Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos:( )221 11 30 1 1 2 211 1 2+ + = = + (Indeterminacin) Sumamos y restamos 1 a la base:

( )2 22 222221 11 111112 2lm lm1 11 12 1lm111lm11x x x xx x x xx xx xx xxx xx xxx xxxxx+ + + + + ++ + = + + + + = + + = + + Multiplicamos y dividimos el exponente por 11xx + : ( )( )22 22121211 1111 1lm 11111 1lm1 11 1lm11 1111lm 11xxxx x xx x x x x xxx x xxxx x xx x xx xx xxxeeee + + + + + + + + + + + + + + + = + ===211312e + + = Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 38 Ejemplo 4 Calcular tan23lm4xkx kxk SOLUCIN: Aplicando el Teorema de Sustitucin, tenemos: ( )tan tan2 2tan23 3lm4 4 4 3 1x kk kx kx kk k = = = (Indeterminacin) Cambiemos el 4 por 1+3 y multipliquemos y dividimos el exponente por el trmino que necesitamos:

tan tan2 233 tan213333 tan2 lm3 3lm4 lm1 33lm 1 3x xk kx k x kx xk kxkx kex xk kx kx xk kxke = + = + =. Dediqumonosalexponente.Hagamoselcambiodevariableu x k = dedondex u k = + ysi x k entonces0 u . ( ) ( )( )000003 3lm3 tan lm3 tan2 23 3lm3 tan23 3 3lm tan2 2sen3 2 2lmcos2 23lmx k uuuuuu k u k x xk k k ku k u kk kk u kuk kuu kkukuk + + = + + = = + + = + = ( )( )

0 10 101001sen cos cos sen2 2 2 2cos cos sen sen2 2 2 2cos3 2lmsen2cos23 3 1lmsen2222uuu uk ku uk kukukukukuk kukkukuk + = = =

.3 6lm3 tan2x kx xk k = Finalmente:tan623lm4xkx kxek = Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 39Ejemplo 5 Calcular 01lmkxxax SOLUCIN: Sustituyendo tenemos 0001) 0 (=ka.Considerando 1 =kxa u ,entonces( ) 1 lnln1+ = u xa k y si0 xtambin0 u Haciendo cambio de variable, tenemos:

( ) ( ) ( )10 0 0lnlm lm ln ln lmln 1 ln 1 ln 1u u uk au u uk a k au u u = = + + + Multiplicando, numerador y denominador por u1, resulta: ( )( )( )1110 01 1 1ln lm ln lm ln ln lnln 1 ln 1ln 1uuu uueuk a k a k a k a k au eu = = = = + + . El resultado 01lm lnk uuak ax = puede ser utilizado para calcular otros lmites. Ejemplo 4 Calcular 203 1lmxxx SOLUCIN: Empleando el resultado anterior:

203 1lm 2ln3xxx= Ejemplo 5 Calcular 2 403 5lmx xxx SOLUCIN: Primero restamos y sumamos 1 al numerador y luego separamos para calcular los lmites: ( )2 4 2 40 02 402 40 02 403 5 3 1 5 1lm lm3 1 5 1lm3 1 5 1lm lm3 5lm 2ln3 4ln5x x x xx xx xxx xx xx xxx xxx xx += = = = Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 40 Ejercicios Propuestos 1.7 Calcular: 1.( )csc0lm1 tanxxx+2.( )csc2lm1 cosxxx+3.( )210lmcosxxx 4.( )tan2lmsenxxx 5. 2222 334lm1x xx xxx+ + + 6. 222 6223lm1x xx xxx+ + + 7.( )tan21lm4 3xxx 8. xexx1lm30 9. xe ebx axx 3 senlm0 10. 2 30lmtanx xxe ex 11. xbx axx2 2lm0 12. 02lm ; 0x h x h xha a aah+ + >13. ( )10lmx xxx e+14. ( ) ( )( ) ( )0lncoslmlncosxaxbx Para otros tipos de lmites habr que extremarse con el uso de los recursos algebraicos. Ejemplo1 Demuestre que 01 1lmnxk x kx n+ =SOLUCIN: Por producto notable se puede decir que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 11 2trminos1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1n n n nn n n n n n n nn nn n nnkx kx kx kx kxkx kx kx + = + + + + + + + + = + + + + + +

.Entonces, multiplicando por el factor racionalizante,simplificando y calculando el lmite: ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )1 21 20 01 201 201 201 1 11 11 1lm lm1 1 11 1lm1 1 1lm1 1 1lm1 1 11 0n nn nnnn nx xn nn nxn nn nxn nn nxn nnnkx kxk xk xx xkx kxk xx kx kxk xx kx kxkkx kxkk + + + + ++ + = + + + + + + = + + + + + = + + + + + =+ + + + +=+

( )( )1 201 0 11 1 11 1lmnnn vecesnxkkk x kx n+ + + +=+ + ++ =

. Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 41Elresultadoanteriorpuestodeformageneral 01 1lmnuk u ku n + = puede ser utilizado para calcular rpidamente otros lmites. Ejemplo2 Calcular 3027 3lmxxx SOLUCIN: Aunqueestelmiteselopuedecalcularempleandoelfactorracionalizanteparadiferenciadecubos(no deje de hacerlo), vamos a emplear el resultado que obtuvimos en el ejercicio anterior. ( )

330 03303030302727327 327lm lm27 1 327lm13 1 327lm11 1273lm127 3 127lm 33 27nx xxxkxxxxx xxxxxxxxx = = + = + = = = . Ejemplo3 Calcular 5302 2lm30xxx+ SOLUCIN: Primero es necesario un cambio de variable, de modo que la nueva variable tienda a tomar el valor de cero, para poder utilizar la formula. Hagamos30 u x = de donde30 x u = + y0 u . Reemplazando, simplificando y calculando el lmite: Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 42 ( )5 530 050503505050505302 2 30 2 2lm lm30 30 3032 2lm32 32232lm3232 232 32lm12 1 232lm12 1 132lm11 1322 lm12 2 132lm 230 5 80x uuuuuuuxx ux uuuuuuuuuuuuuxx + + + = + + =+=+ =+ = + =+ = + = = Ejemplo4 Calcular 4301 2 1 3lim1 1xx xx + SOLUCIN: Restamos y sumamos 1 al numerador, dividimos paraxy luego separaramos los lmites:

( )4 43 30 043043040 0304301 2 1 3 1 2 1 1 3 1lim lim1 1 1 11 2 1 1 3 1lim1 11 2 1 1 3 1lim1 11 2 1 1 3 1lim lim1 1lim2 31 2 1 3 4 2lim 611 13x xxxx xxxx x x xx xx xxx xx xxxx xx xxxx xx + + += + = + = + = + = = Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 43Ejemplo5 Calcular 43114 2 2 4 3lim2 1xx xx + SOLUCIN: Aqu1 u x = de donde1 x u = +y0 u . Reemplazando, simplificando y calcular el lmite:

( ) ( )( )( )4 43 1 0343 043 043 043 043 014 2 1 2 4 3 114 2 2 4 3lim lim2 1 2 1 114 2 2 2 4 3 3lim2 1 116 2 2 1 3lim1 116 16 22 1 316lim1 12 1 2 1 38lim1 12 1 1 38lim1 12lx uuuuuuu ux xx uu uuu uuuuuuuuuuu + + ++ = + + + = + = + = + = + = =43 043 043 040 03043 11 1 38im1 11 1 1 3 182lim1 11 11 3 182lim1 11 11 3 18lim lim21 1lim131 3 814 2 2 4 3 49 4 232 2lim 2 2 61 132 2 13 3uuuu uuxuuuuuuuuu uuuuuu uuux xx + + += + = + = + + = = = 14716 = Ejercicios Propuestos 1.8 Calcular:1. 3 32 2lm36 + +xx xx 2. ++ +3 880 264 31xx xlmx 3. ++ +2 920 2437xx xlmx 4. 3223 2 3 2lm4xx xx+ + Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 44 1.5 LMITES AL INFINITO. En ciertas ocasiones puede ser necesario estudiar el comportamiento de una funcincuandolax tomavaloresmuygrandes,diremoscuandox tiendeal infinito.Suponga quef se aproxima a tomar un valorLcuando la variablex toma valoresmuygrandes,estecomportamientoloescribiremosdelasiguiente maneralm ( )xf x L= Ejemplo 1 Formalmente sera: Decirquelm ( )xf x L= significaquefpuedeestartancercadeL,tantocomo sepretendaestarlo( 0 > ),paralocual deberpodersedeterminarelintervalo enelcualtomarax,N (unacantidad muy grande), que lo garantice. Es decir: ( )lm ( ) 0, 0 ( )xf x L N tal que x N f x L = > > > < Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 45Ejemplo 2 Suponga ahora quef se aproxima a tomar un valorLcuando la x toma valores muy grandes, pero NEGATIVOS, este comportamiento lo escribiremos de la siguiente maneralm ( )xf x L= .Ejemplo 1 Formalmente sera: Decirquelm ( )xf x L= significaquefpuedeestartancercadeL,tantocomo sepretendaestarlo, 0 > ,paralocual deberpodersedeterminarelintervalo enelcualtomarax,N (unacantidad muygrande),quelogarantice.Esdecir:( )lm ( ) 0, 0 ( )xf x L N tal que x N f x L = > > < < Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 46 Ejemplo 2 Observequeparaloscasosanterioressignificaquelagrficadef tiene una asntota horizontaly L = .Aqu tambin podemos hacer demostraciones formales Ejemplo Demostrar formalmente que01lm = x x SOLUCIN:Empleando la definicin tenemos: < > > > = 010 , 0 01xN x que tal Nxlmx Transformando el antecedente: 1 1x Nx N>< Se observa que tomando1= Naseguraramos el acercamiento. Por ejemplo si se quisiera que xy1=est a menos de01 . 0 = de 0, bastara con tomar a 10.01x >es decir100 > x . Paracalcularlmitesalinfinito,usualmenteunrecursotilesdividirparaxde mayor exponente si se trata de funciones racionales. Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 47Ejemplo 1 Calcular 222 3 1lm5 1xx xx x+ + SOLUCIN: Aqu se presenta la indeterminacin: Dividiendo numerador y denominador para 2x , tenemos: 22 2 2 2222 2 22 3 1 3 122lm lm1 15 5 15x xx xx x x x xx xx xx x x + + = =+ + (No olvide que0 ;kk R ) Este resultado indica que la grfica de( )222 3 15 1x xf xx x+ =+ tiene una asntota horizontal 25y = Ejemplo 2 Calcular 21lm1xxx x++ + SOLUCIN: Aqu se presenta la indeterminacin: Dividiendo numerador y denominador parax :21lm1xxxx xx++ + Al introducir lax dentro del radical quedar como 2x : 222 2 21 11lm lm 11 111x xxx x xx xx xx x x+ + = =+ ++ + Este resultado indica que la grficade( )211xf xx x=+ + tiene una asntota horizontal1 y =en el infinito positivo. Ejemplo 3 Calcular 21lm1xxx x+ + SOLUCIN: Ahora se presenta la indeterminacin: Aqu hay que dividir numerador y denominador parax :21lm1xxxx xx+ + Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 48 Al introducir lax dentro del radical quedar como 2x : 222 2 21 11lm lm 11 111x xxx x xx xx xx x x + = = + ++ + Este resultado indica que la grfica de( )211xf xx x=+ + tiene una asntota horizontal1 y = en el infinito negativo. Ejemplo 4 Calcular ( )2 2lim 1 1xx x x x++ + SOLUCIN: Ahorasepresentalaindeterminacin:.Vamosprimeroaracionalizarlayluegodividimosparael x con mayor exponente:

( )( ) ( ) ( )2 22 22 22 22 2 2 22 21 1lim 1 11 11 12 1lim lim1 1 1 11112 lim 2 12 1 1 1 11 1xx xxx x x xx x x xx x x xx x x xxx x x x x x x xxx x x x++ +++ + + + + + + + + + += =+ + + + + + + = = = + + + En otros ejercicios de clculo de lmite al infinito se puede requerir emplear la identidad: ( )11uuulm e+ = DEMUSTRELA! Ejemplo Calcular( )2lm1xxx+ . Solucin: Para utilizar la forma anterior, transformamos el lmite:

( )22221lm 1xxxe + = Se puede concluir que: ( )lm1ukkuue+ = Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 49Ejercicios propuestos 1.9 1. Demostrar formalmente que01lm = x x 2. Calcular:1. 3 235 3 4 3lm3 1xx x xx x + + + 2. 23lm2 5 1xxx x + 3. ( ) ( )52 3 3 2lm52 3+ + xx xx 4. ( )33 2lmx xxx++ 5.lmxxx x x+ + 6. 3 21lm1xxx++ 7. ( )( )( )32 3 3 5 4 6lm3 1xx x xx x + + 8. ()1! senlm2+ xx xx 9. 23 3lm1xxx+ 10. 5lm2xxx 11. 3 233 2 1lm8xx x xx+ + 12. 21lmxxx+ 13. 22 13xxlmx 14. 252xxlmx+ 15. 23 1lm1xxx+ 16. 365 1lm2xxx+ 17. 2lmxx x x+ 18.( ) x x xx + 1 lm2 19. ( )2 2lm 1xx x x x+ + 20. ( )2 4 2lm 2xx x x+ +21. ( )lm 3 2xx x x++ +22. xx xx+ 11lm23. 21lm3xxxx+ + 24. 2lm ln5xxxx + Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 50 1.6 LMITES INFINITOS Supongaquecuandox tomavaloresprximosaunpunto 0x ,tantopor izquierdacomoporderecha,f tomavaloresmuygrandespositivo;esdecir =) ( lm0x fx x.Diremos,enestecaso,quef crecesinlmiteoquef no tiene lmite en 0x . SeaMunacantidadmuygrandepositiva. Entonces 0lm ( )x xf x= significa que cuando ax estprximaa"0x ,aunadistancia nomayorde (00 x x < < ),f ser mayor que M.Es decir:

M x f x x que tal M x fx x> < < > > =) ( 0 0 , 0 ) ( lm00 Ejemplo Puedeocurrirtambinquecuandolax tomavaloresprximosaunpunto 0x ,tantoporizquierdacomoporderecha,f tomavaloresmuygrandes negativos; es decir =) ( lm0x fx x.Diremos, en este caso, quefdecrece sin lmite o quefno tiene lmite en 0x .Es decir:Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 51SeaMunacantidadmuygrandepositiva. Entonces: M x f x x que tal M x fx x < < < > > =) ( 0 0 , 0 ) ( lm00 Ejemplo Para otro caso, puede ocurrir que cuando la x toma valores prximos a unpunto 0x ,sloporsuderecha,f tomavaloresmuygrandes;esdecir =+) ( lm0x fx x. Lo cual significa: SeaMunacantidadmuygrandepositiva. Entonces: 0lm ( )x xf x+= 00, 0 0 ( ) M tal que x x f x M > > < < > Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 52 Ejemplo Observe que este comportamiento significa que la grfica tiene una asntota vertical 0x x = . Ejemplo 1 Calcular ( )211lim1xx SOLUCIN: Empleando el teorema de sustitucin:

( ) ( )2 211 1 1lim01 1 1xx= = = + (No existe) Lagrficade( )( )211f xx=tieneunaasntotavertical1 x = ytantoporizquierdacomoporderechalagrafica crece sin lmite. Ejemplo 2 Calcular 23lim2xxx++ SOLUCIN: Empleando el teorema de sustitucin:

23 2 3 5lim2 2 2 0xxx++ ++ ++ += = = + (No existe) La grfica de( )32xf xx+= tiene una asntota vertical2 x =ypor su derecha la grafica crece sin lmite. PREGUNTA: Qu ocurre a la izquierda?. Se pueden describir otros comportamientos. Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 531.7OTROS LMITES. Paradecir = ) ( lm x fx,f tomavaloresmuygrandespositivoscadavez que laxtoma valores tambin grandes positivos; debemos asegurar que: M x f N x que tal N M > > > > ) ( 0 , 0 Ejemplo Ejercicios Propuestos 1.10 1.Defina formalmente y describa grficamente: a) =+) ( lm0x fx x b) =) ( lm0x fx x c) =) ( lm0x fx x d) = ) ( lm x fx e) = ) ( lm x fx f) = ) ( lm x fx 2.Demuestre formalmente que: a)+ =+ x x1lm0 b) = x x1lm0 3.Calcular: 1. 11lim11xx+ + 2. 1lim1xxx 3. 233lim9xxx+ 6. 65lim1xxx+ 7. 2 326 4lim4 5 7xx xx x ++ 8.lim 2xx Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 54 4. 2271lim49xxx+ 5. 2416lim4xxx+ 9.lim 1 2xx10. 51limxxx+ 4.Bosqueje la grfica de una funcin que cumpla con lo siguiente: ( ) [ ] ( ) + = , 2 1 , 1 2 , f Dom1 1 0 ) ( = = = x x x f[ ] N x f x N > < < > > ) ( 2 0 0 , 0[ ] N x f x N > < < > > ) ( 2 0 0 , 0[ ] < > > > 1 ) ( 0 , 0 x f M x M[ ] < < > > 1 ) ( 0 , 0 x f M x M1 ) 0 ( = f5.Bosqueje el grfico de una funcin que satisfaga las condiciones siguientes: [ ] < < < > > 1 ) ( 0 , 0 0 x f x x[ ] < + < < > > 1 ) ( 0 , 0 0 x f x x[ ] < > > > ) ( , 0 0 x f N x x N[ ] M x f x x M > < + < > > ) ( 1 0 , 0 00 ) 0 ( = f Miscelneos 1.Califique cada una de las proposiciones siguientes como verdadera o falsa. Justifique formalmente. 1.Si 325 ) (lm2=+xx fx, entonces0 ) ( lm2=+x fx 2.Sif yg sonfuncionestalesque1 ) ( lm0=+x fxy =+) ( lm0x gx,entonces 1 ) ( lm) (0=+x gxx f3.Seaf unafuncindevariablerealtalque) ( lm x fa x+existey1) (lm =+x fa xa x.Entonces 0 ) ( lm =+x fa x. 4.Seanf yg funcionestalesque =+) ( lm x fa xy =+) ( lm x ga x.Entoncesel ) () (lmx gx fa x+ no existe. 5.Seanf yg funcionestalesquee x ga x=+) ( lm y( ) ) ( ln ) ( x g x f = .Entonces ( ) 1 ) ( lm =+x g fa x

6.Si 1) (lm0=+xx fx entonces0 ) ( lm0=+x fx 7.Si[ ] ) ( ) ( lm x g x fa x+ existe, entonces existen) ( lm x fa x y( ) x ga xlm8.Si( ) x g x f ) (para toda x , entonces( ) x g x fa x a x lm ) ( lm9.Si ) () (lmx gx fa x existe y0 ) ( lm =x fa x entonces0 ) ( lm =x ga x 10.Si fygson funciones definidas enIR entonces: ( ) ( ) ) ( lm )) ( ( lm x g f x g f IR aa x a x = Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 5511.Si a xa a x xa x +2 2lmexiste entonces0 = a . 12.Si[ ] ) ( ) ( lm x g x fa x existe y) ( lm x fa x existe entonces) ( lm x ga x existe. 13.Si+ =) ( lm x fa x entonces = ) ( lm x fa x 14.( )( )( )1lm3 1 2 0, 0, 0 1 3 1 2xx x x x = > > < < < 15.Si0 ) ( lm0=+x fxy =+) ( lm0x gx entonces0 ) ( ) ( lm0=+x g x fx. 16.Existendosfuncionesdevariablereal f yg talesque0 ) ( lm ) ( lm0 0= =++x g x fx xyex gx fx=+ ) () (lm0

17.Silm ( ) 0xf x= y ( )lm 2( )xf xgx = entonceslm ( ) 0xgx=18.No existen dos funciones f y gtales que 0lm ( ) 0xf x= , 0lm ( ) 0xgx=y 0( )lm 5( )xf xgx=19.Si3 ) ( lm =x fa x, 2 ) ( lm =x ga x, entonces 1 ) ( ) (1 ) ( ) (lm3 + +x g x fx g x fa x=1 2.Empleando la definicin de lmite, demuestre que: 1. 212 1lm 31xx xx+ = 2.2 1 lm5= +xx 3.0 3 lm3= +xx 4.224 lm4= +xx 5.424lm22 =++ xxx 3.Determine 1. 23lm 2xx x++| 1i + [ ] 2. xx exx4 sen2 coslm30+ 3. 203 cos coslmxx xx+ 4. xxxx35 23 2lm++ 5. 1lm21 + xe xexx 6. +22coslmxxx 7. tan423lm 42xxx+ 8. 32arctanlm1xxxe 9.( )2tan 24lmsen 2xxx + 20. + xxxxsen1sen lm21. ( )21arctan arctan1lm1xxx+ 22. 1 21lm2 1 x xxx 23. 212121arcsen arcsenlmxxx 24. 0senlmxxx+ 25. [ ] ( )0lmSgn( ) 1 ( 1)xx x x + + + 26. ( )xxxsen senlm0+ 27. [ ] [ ] ( )0lmxx x+ 28.( ) ( )2lm tanxxx 29. 222 5223lm1x xx xxx+ + + Moiss Villena MuozCap. 1 Lmites de Funciones 56 10. xx exx5 sen3 coslm20 11.( ) ( ) lm ln2 1 ln 2xx x+ + + 12. 2lm arctan1xxx + 13. ( )xelmxx++ 1 ln 14. 11 1lm221 +xx xx 15.( )sec2lm1 cotxxx ++16. 0lm ( )xf x

donde

21 cos3; 0( ) 5 ; 0sen10 tan; 0sen 2xxxf x xx xxx 17. 2 70lmsen 2 tan9x xxe ex x++ 18. + 1111lm1 x x x 19.+ xx xx 2 cos 13 senlm0 30. ( )323 3lm 1 1xx x x+ + 31. ( )6632senlmcosxxx 32. 22 201 coslmsenxxx x 33.( )12lnlm1 2xxx++34. 3648lm4xxx 35. 1201 5lm1 3xxxx+ 36.( )0lm1 cos cotxx x37. 520cos 2 1lmxxxe x xx + 38. 30cos 2lmsen5xxe xx x 39. 0lm1 1xxx x + 40. ( )3 3lm 1xx x+41.lmxxx ax a+ 4.Calcular) ( lm0x fx+ si1) ( > 3 ) ( 0 : 0 , 0 x f xN x f x N > < + < > > ) ( 3 0 : 0 , 00, 0 : 0 3 ( ) N x f x N > > < < < < > > > 1 ) ( : 0 , 0 x f M x M0, 0: ( ) M x M f x > > < < 6.Bosqueje la grfica de una funcin que cumpla con lo siguiente: ( ) ( ) ( ) Dom , 1 1,1 1, f = +[ ] < < < > > ) ( 0 0 , 0 x f x[ ] M x f x M < < < > > ) ( 1 0 0 , 0[ ] M x f x M > < < > > ) ( 1 0 0 , 0[ ] M x f x M > < + < > > ) ( 1 0 0 , 0[ ] < + > > > 1 ) ( 0 , 0 x f N x N[ ] < < > > ) ( 0 , 0 x f N x N