control estadistico de calidad - uoc1

Control Estadístico de Calidad Recopilado por José Vega M. Apuntes de Control Estadístico de calidad UOC 18/06/2010

INDICE

I. HERRAMIENTAS PARA LA PLANIFICACIÓN DE LA CALIDAD

II. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE MEDICIÓN

III. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (1)

IV. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

V. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (2)

VI. CAPACIDAD DE PROCESOS

I. Herramientas para la Planificación de la Calidad

I. HERRAMIENTAS PARA LA PLANIFICACIÓN DE LA CALIDAD

INTRODUCCIÓN____________________________________________________

El programa Minitab dispone de diversas herramientas gráficas que nos ayudarán en la detección de problemas de calidad y en los procesos de mejora de ésta:

• Gráficos de rachas: permiten detectar patrones no aleatorios en los datos. • Gráficos de Pareto: nos ayudan a identificar los problemas más relevantes.

• Diagramas de causa-efecto: permiten organizar gráficamente las posibles causas de un problema.

• Gráficos de varianza: suponen una alternativa a los métodos ANOVA.

• Gráficos de simetría: nos ayudan a determinar el grado de simetría de la distribución de datos.

GRÁFICOS DE RACHAS (RUN CHARTS)_______________________________

Un gráfico de rachas nos permite identificar patrones no aleatorios en los datos. En él se representan las medias (o las medianas) vs. el número del subgrupo al que pertenecen. El gráfico contiene además una línea horizontal de referencia que representa la mediana de las observaciones.

Por otra parte, también se realizan dos pares de tests para contrastar la hipótesis nula de que el

comportamiento de las observaciones sigue una secuencia aleatoria. Estos tests nos ayudarán a identificar tendencias, oscilaciones, mezclas, y estratificaciones en los datos. La existencia de tales patrones de comportamiento sugeriría que la variación observada es debida a causas especiales, i.e., causas externas al sistema y que deben ser corregidas. Consideraremos que un proceso se encuentra bajo control cuando éste se vea afectado únicamente por causas comunes o naturales (inherentes al propio proceso).

Los datos de un proceso que se encuentre bajo control (es decir, cuya variabilidad se deba sólo a causas

comunes) deberían seguir un patrón aleatorio, como ocurre en el siguiente gráfico:

302010

7,25

7,15

7,05

6,95

6,85

6,75

6,65

Observation

C1

0,8832 0,1168 3,000019,666717,0000

0,3452 0,6548 3,000015,933317,0000

Approx P-Value for Oscillation:Approx P-Value for Trends:Longest run up or down:Expected number of runs:Number of runs up or down:

Approx P-Value for Mixtures:Approx P-Value for Clustering:Longest run about median:Expected number of runs:Number of runs about median:

Run Chart for C1

I - 1

Control Estadístico de la Calidad con MINITAB

Los dos primeros tests de aleatoriedad que se muestran en el gráfico anterior se basan en el número de “rachas” localizadas a cada lado de la línea que representa la mediana. En este contexto, una racha es un conjunto de puntos consecutivos situados a un lado de la mediana. Si los puntos están unidos por una línea, una racha termina y otra empieza cuando dicha línea cruza la mediana. Estos contrastes son sensibles a dos tipos de comportamientos no aleatorios: las mezclas y las estratificaciones. Así, si el número de rachas es significativamente superior al esperado bajo la hipótesis nula, tendremos indicios de que las observaciones están mezcladas (provienen de poblaciones diferentes), mientras que si el número de rachas es significativamente inferior al esperado tendremos indicios de estratificación (o agrupamiento) en los datos. Los p-valores que nos muestra el gráfico anterior son mayores de 0,05 para ambos tests, por lo que no hay motivos para pensar que los datos están mezclados o estratificados.

A continuación se muestran otros dos gráficos característicos de datos con problemas de mezclas y

estratificaciones respectivamente:

302010

7,2

6,7

6,2

Observation

C2

0,2322 0,7678 3,000020,333322,0000

0,9914 2,000016,483923,0000

Approx P-Value for Oscillation:Approx P-Value for Trends:Longest run up or down:Expected num ber of runs:Num ber of runs up or down:

Approx P-Value for M ixtures:Approx P-Value for C luster ing:Longest run about m edian:Expected num ber of runs:Num ber of runs about m edian:

Datos Mezclados

cerca de la línea centra laus encia de puntos

Demasiadas “rachas”: la línea negra cruza muchas veces la mediana

0,0086

0,0046

302010

7,28

7,18

7,08

6,98

6,88

6,78

6,68

O bservation

C3

0,6171 0,3829 4,000019,666719,0000

0,9954

6,000016,0000 9,0000

Approx P-Value for Oscillation:Approx P-Value for Trends:Longest run up or down:Expected num ber of runs:Num ber of runs up or down:

Approx P-Value for M ixtures:Approx P-Value for C luster ing:Longest run about m edian:Expected num ber of runs:Num ber of runs about m edian:

Datos Estratificados

grupos de puntos en un área

Insuficientes “rachas”: la línea negra cruza pocas veces la mediana

I - 2


Los dos tests restantes se basan en el número de rachas crecientes y decrecientes. En este caso, una racha

es un conjunto de puntos consecutivos situados en la misma dirección (formando un tramo creciente o decreciente). Así, una nueva racha comenzará cada vez que la línea que une los puntos pase de ser creciente a decreciente o viceversa. Estos contrastes son sensibles a dos tipos de comportamientos no aleatorios: las oscilaciones y las tendencias. Si el número de rachas observadas es significativamente mayor que las esperadas (bajo la hipótesis nula), entonces habrá indicios de la existencia de oscilaciones en los datos. Si el número de rachas observadas es significativamente menor que el esperado, habrá indicios de tendencias. Ninguno de los gráficos anteriores presentaban indicios de que los datos sufriesen oscilaciones ni que siguiesen tendencias determinadas.

A continuación se muestran dos casos típicos de datos con problemas de oscilaciones y tendencias:

302010

7,25

7,15

7,05

6,95

6,85

6,75

6,65

Observation

C4

0,9914 3,000019,666725,0000

0,5000 0,5000 4,000016,000016,0000

Approx P-Value for Os c illation:Approx P-Value for Trends :Longes t run up or dow n:Ex pec ted number of runs :N umber of runs up or dow n:

Approx P-Value for Mix tures :Approx P-Value for C lus tering:Longes t run about median:Ex pec ted number of runs :N umber of runs about median:

Datos con Oscilaciones

datos con fluctuaciones

Demasiadas “rachas”: la línea negra oscila arriba y abajo con mucha frecuencia

0,0086

0,0862

403020

7,28

7,18

7,08

6,98

6,88

6,78

6,68

Observation

C5

0,9138

5,000019,000016,0000

0,9064 0,0936 7,000015,482812,0000



Datos con Tendencia

Tendencia ascendente

Insuficientes “rachas”: la línea negra muestra tendencias crecientes o decrecientes

I - 3


Ejemplo Gráfico de Rachas: Supongamos que trabajamos para una empresa que produce un tipo de dispositivos capaz de medir los niveles de radiación en el ambiente. Queremos analizar los datos, obtenidos en un test realizado sobre 20 dispositivos (en grupos de 2), referentes a los niveles de radiación que cada aparato registró. Los datos están contenidos en el fichero aleatorio.mtw .

Seleccionar Stat > Quality Tools > Run Chart :

Rellenamos los campos como se indica a continuación:

I - 4


El resultado es el siguiente:

10987654321

45

35

25

Subgroup Number

Rad

iaci

ón

0,865450,134553,000006,333335,00000

0,977910,022095,000006,000003,00000



Run Chart for Radiación

El test para la estratificación es significativo al nivel 0,05 (el p-valor asociado es de 0,02). Por tanto, hemos de concluir que hay indicios de que nuestro proceso se está viendo afectado por causas especiales, las cuales deberíamos investigar antes de seguir. La estratificación de los datos suele ser síntoma de problemas en el muestreo o en los procesos de medición.

GRÁFICOS DE PARETO_____________________________________________

Un gráfico de Pareto es un diagrama de barras en el que el eje horizontal representa categorías de interés, generalmente causas de fallos o defectos (los cuales pretendemos eliminar). Las barras se ordenan de mayor a menor, lo que nos permite diferenciar aquellas “pocas causas importantes” de las “muchas causas intranscendentes”. El gráfico contiene también una línea de porcentajes acumulativos, la cual nos ayuda a determinar la contribución de cada categoría al número total de fallos o defectos. Este tipo de gráficos resulta muy útil en la identificación de aquellas causas cuya eliminación es prioritaria por suponer un elevado porcentaje del total de fallos o defectos.

Ejemplo Pareto: Supongamos que nuestra empresa fabrica estanterías con componentes metálicos y de madera. Realizamos un control final en el cual algunas estanterías son retiradas antes de comercializarse debido a arañazos, astillas, dobleces, o abolladuras. Nuestra intención es realizar un gráfico de Pareto que nos permita identificar cuál de los defectos anteriores es el principal causante de estanterías retiradas. Usaremos los datos contenidos en el archivo controlfinal.mtw .

Seleccionar Stat > Quality Tools > Pareto Chart :


I - 5


El gráfico que obtenemos es el siguiente:

Dobleces

Abolladur as

Asti l las

Ar añazos

112412,512,525,050,0

100,0 87 ,5 75 ,0 50 ,0

8

7

6

5

4

3

2

1

0

100

80

60

40

20

0

DefectCount

PercentCum %

Perc

ent

Cou

nt

Pareto Chart for DEFECTO

A partir del gráfico anterior podemos concluir que un 75% de las estanterías retiradas muestran defectos o bien de arañazos o bien de astillas, mientras que sólo un 25% de las estanterías son retiradas a causa de dobleces o abolladuras. Ello nos da una pista sobre qué tipos de defectos cabe evitar de forma prioritaria: deberemos centrar nuestros esfuerzos en eliminar las posibles causas de arañazos y astillas.

I - 6


DIAGRAMAS DE CAUSA-EFECTO (FISHBONE)__________________________

Usaremos un diagrama de causa-efecto para organizar la información proveniente de un brainstorming referente a las causas potenciales de un problema. Ello nos permitirá establecer relaciones entre dichas causas.

Ejemplo Fishbone: Supongamos que hemos realizado una encuesta entre los estudiantes de una universidad sobre la calidad del personal docente. A menudo, la metodología empleada en este tipo de encuestas puede resultar no adecuada por causas varias (no se dan instrucciones suficientes para rellenar el formulario, no hay suficientes formularios o lápices para todos los alumnos, etc.). Hemos agrupado dichas causas en 6 grupos (personas, máquinas, material, métodos, medidas, y ambiente). Los resultados se han guardado en el archivo fishbone.mtw .

Seleccionar Stat > Quality Tools > Cause-and-Effect:


H um edad

C aluros o

R uidos o

Tiem po

Ex ac t itud

Proc es am iento

Ins t ruc c iones

H ojas res um en

Lápic es

F orm ularios

Im pres oras

Program as

O rdenadores

Es c áner

Prof es ores

Enc ues tadores

Es tudiantes

Me n

Ma ch in e s

Ma te ria ls

Me th o d s

Me as u re m e n ts

En viron m e n t

D iagrama C ausa-E fecto para Encuestas P rofesorado

�� Pro ce s o n o a d e cu a d o

I - 7


GRÁFICOS DE VARIANZA (MULTI-VARI CHART)_________________________

Un gráfico de varianza representa una alternativa “visual” a los métodos ANOVA. Este tipo de gráfico se utiliza en el análisis de datos para tener una visión previa de los mismos. En él se muestran, para cada uno de los factores, las medias de cada categoría o nivel dentro del factor.

Ejemplo Gráfico Varianza: Supongamos que pretendemos evaluar los efectos que sobre la resistencia de tres tipos de aleaciones distintas tiene el tiempo de procesado. Para cada tipo de aleación, se midió la resistencia de tres muestras en cada uno de los siguientes tiempos de procesado: 100 minutos, 150 minutos, y 200 minutos. Los resultados se guardan en el fichero resistencia.mtw . Nuestro objetivo es determinar, antes de pasar a realizar un estudio detallado, si existen tendencias o interacciones visibles en los datos.

Seleccionar Stat > Quality Tools > Multi-Vari Chart:


211815

23,5

22,5

21,5

20,5

19,5

18,5

17,5

T ipo Aleac ió

Res

iste

ncia

100

150

200

M u lti-Va ri C h a rt fo r R e s is te n c ia B y T ie m p o P ro ce - T ip o Ale a c ió

Tie m p o P ro ce

A partir del gráfico anterior se observa que hay indicios de interacción entre el tipo de aleación y la duración temporal del proceso: en el caso de la aleación de tipo 15, la mayor resistencia se obtiene para procesos de 100 minutos; en el caso de la aleación de tipo 18, la obtendremos para procesos de 150 minutos; finalmente, en el caso de aleaciones de tipo 21, los procesos de 200 minutos son los que posibilitan una mayor resistencia.

I - 8


GRÁFICOS DE SIMETRÍA____________________________________________ Los gráficos de simetría nos servirán para determinar si las observaciones muestrales obtenidas

provienen o no de una distribución simétrica. Varios métodos estadísticos suponen que los datos provienen de una distribución normal, aunque en muchos casos este supuesto no es imprescindible siempre que la distribución poblacional sea simétrica. También es usual el supuesto de simetría en los métodos no paramétricos.

Para construir un gráfico de simetría se forman pares ordenados de observaciones: el primer par estará

formado por las dos observaciones, una superior a la mediana y la otra inferior, más cercanas a la mediana; el segundo par consistirá de las dos observaciones, una superior a la mediana y la otra inferior, más cercanas a la mediana de entre las restantes (exceptuando las ya consideradas); etc. Para cada par de observaciones consideramos un punto cuya primera coordenada será la distancia entre la observación superior a la mediana y la mediana, y cuya segunda coordenada será la distancia entre la observación inferior a la mediana y la mediana. Obtendremos así una nube de puntos. Si los datos siguen una distribución simétrica, las coordenadas X e Y serán aproximadamente igual para todos los puntos, por lo que éstos deberían seguir una línea recta de 45º. Así, cuanto más simétrica sea la distribución, tanto más se aproximarán los puntos a la mencionada línea.

Notar que, incluso para observaciones que se distribuyan de forma normal, es de esperar encontrar puntos que se sitúen por encima y por debajo de la recta. Lo importante, pues, es comprobar si los puntos divergen sustancialmente o no de dicha recta. Observando estos gráficos será posible detectar distintos tipos de asimetrías: si los puntos divergen por encima de la línea (coordenada Y mayor que la X), la distribución estará sesgada a la izquierda; por otro lado, si los puntos divergen por debajo de la línea (coordenada X mayor que la Y), la distribución estará sesgada a la derecha. Finalmente, la existencia de puntos divergentes en el extremo superior derecho del gráfico (donde las distancias son grandes) denotará cierto grado de asimetría en las colas de la distribución.

Conviene recordar que, para poder extraer conclusiones sobre la simetría o asimetría de una distribución,

será necesario disponer de un número suficientemente grande de observaciones (al menos 25 o 30).

Ejemplo Gráfico de Simetría: Queremos comprobar si los datos del archivo simetría.mtw siguen una distribución aproximadamente simétrica:

Seleccionar Stat > Quality Tools > Symmetry Plot:


I - 9


0 1 2

0

1

2

Low

er D

ista

nce

to M

edia

n

U p p e r D is ta n ce to Me d ia n

-1 ,5 0 ,0 1 ,5 3 ,0

0

10

20

Symmetry P lo t for Fallos

El gráfico anterior nos muestra una distribución bastante simétrica. Observar la existencia de puntos por encima de la línea en la esquina superior derecha, lo que nos indica que la cola izquierda es ligeramente más larga que la derecha. Los puntos del gráfico no divergen de la línea, por lo que el sesgo a la izquierda no es muy acentuado (como se observa en el histograma adjunto).

I - 10

II. Análisis de Sistemas de Medición

II. ANÁLISIS DE SISTEMAS DE MEDICIÓN

INTRODUCCIÓN____________________________________________________

Siempre que registramos o medimos los resultados de un proceso nos encontramos con cierta variación en los datos obtenidos. Esta variación puede provenir de dos fuentes distintas: por un lado, siempre habrá diferencias intrínsecas entre cualquier par de elementos que se pretendan medir (variación intrínseca); por otro, ningún método de medición es perfecto (i.e., si midiésemos el mismo elemento en repetidas ocasiones no obtendríamos siempre el mismo dato numérico). El Control Estadístico de Calidad (SPC) tiene como misión identificar las causas de variaciones intrínsecas en los procesos a fin de poder reducir dicha variación a niveles “tolerables”, pero antes de aplicar las técnicas del SPC es necesario asegurarnos de que la variación registrada no es debida, al menos en su mayor parte, a los sistemas de medición utilizados.

El objeto de este capítulo será pues presentar herramientas que nos ayuden a precisar qué parte de la

variación existente en los datos se debe al propio sistema de medida empleado. En concreto, estaremos interesados en: • Estudios R&R y gráficos de rachas de medida: nos permitirán examinar la precisión del sistema. • Medidas lineales y estudio de la exactitud

Los errores en los sistemas de medición pueden clasificarse en dos categorías: errores de exactitud y

errores de precisión. La exactitud describe la diferencia entre el valor registrado y el real. La precisión describe la variación que se observa al medir el mismo elemento de forma repetida y usando el mismo método de medición. Podemos encontrarnos con sistemas de medición que se vean afectados sólo por alguno de estos tipos de errores, y otros que sufran de falta de exactitud y de precisión:

objetivo ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ exacto y preciso preciso, pero no exacto exacto, pero no preciso ni exacto ni preciso

Podemos descomponer la exactitud de un sistema de medida en tres componentes:

1. Linealidad: Indica cómo varía el nivel de exactitud obtenido en la medición en función del tamaño del objeto medido. Da una idea de cómo el tamaño del elemento a medir afecta a la exactitud del sistema de medida.

2. Exactitud: Es la diferencia entre la medición media observada y un “valor maestro”. Da una idea de lo “centrado” o “ajustado” que está el sistema de medida.

3. Estabilidad: Es la variación total que se obtendría al medir el mismo elemento repetidas veces usando un mismo aparato de medición. Nos da una idea de cómo de exacto o estable es el sistema con el paso del tiempo.

Análogamente, podemos descomponer la precisión o medida de la variación en dos partes: 1. Repetibilidad: Es la variación observada cuando el mismo operario mide el mismo elemento de

forma repetida usando el mismo aparato. Da una idea de la variación debida a dicho aparato de medida.

2. Reproductibilidad: Es la variación observada cuando distintos operarios miden el mismo elemento usando el mismo aparato. Nos da una idea de la variación debida al operario.

II - 1


ESTUDIOS R&R____________________________________________________

Los estudios de Repetibilidad y Reproductibilidad de las mediciones determinan qué parte de la variación observada en el proceso se debe al sistema de medición usado.

Minitab proporciona dos métodos para realizar este tipo de estudios: el método X-barra/R

descompone la variación total en tres categorías: elemento a elemento, repetibilidad, y reproductibilidad. El método ANOVA va un paso más allá y descompone la reproductibilidad en dos subcategorías, el operario y el operario por elemento (por tal motivo este último método es más exacto que el anterior):

Variación en el Sistema de Medición

Elemento a Elemento Variación debida al Aparato Variación debida a Operarios (Repetibilidad) (Reproductibilidad) Operario Operario por Elemento

Los datos deben estar estructurados en tres columnas: una primera que contenga el nombre o código de

cada elemento medido, una segunda (opcional) que contenga el nombre del operario que ha realizado cada medición, y una tercera con el resultado de la medición.

Ejemplo R&R: Pretendemos realizar un estudio R&R sobre dos conjuntos de datos. En el primero, la variación debida al sistema de medición tiene poco peso dentro de la variación total observada; por el contrario, en el segundo, la variación total observada es causada en gran parte por la variación debida al sistema de medición.

En el primer caso, se eligieron 10 elementos, cada uno de los cuales fue medido dos veces por 3 operarios siguiendo un orden aleatorio. Los resultados están contenidos en el archivo medición1.mtw .

Seleccionar Stat > Quality Tools > Gage R&R Study :


II - 2


Gage R&R Study - ANOVA Method Gage R&R for Medición Two-Way ANOVA Table With Interaction Source DF SS MS F P Elemento 9 2,05871 0,228745 39,7178 0,00000 Operador 2 0,04800 0,024000 4,1672 0,03256 Operador*Elemento 18 0,10367 0,005759 4,4588 0,00016 Repeatability 30 0,03875 0,001292 Total 59 2,24912

Contribución de cada una de laspartes a la varianza total

Gage R&R Source VarComp StdDev 5,15*Sigma Total Gage R&R 0,004437 0,066615 0,34306 Repeatability 0,001292 0,035940 0,18509 Reproducibility 0,003146 0,056088 0,28885 Operador 0,000912 0,030200 0,15553 Operador*Elemento 0,002234 0,047263 0,24340 Part-To-Part 0,037164 0,192781 0,99282 Total Variation 0,041602 0,203965 1,05042 Source %Contribution %Study Var Total Gage R&R 10,67 32,66 Repeatability 3,10 17,62 Reproducibility 7,56 27,50 Operador 2,19 14,81 Operador*Elemento 5,37 23,17 Part-To-Part 89,33 94,52 Total Variation 100,00 100,00 Number of Distinct Categories = 4

Número de categorías distintas que el sistema es capaz de detectar. En este caso, de los 10 elementos distintos que hemos medido, el sistema de medición utilizado sólo sería capaz de distinguir 4.

Study Var es el cociente entre ladesviación estándar de cadacomponente y la desviaciónestándar total.

Desviación Estándarmultiplicada por 5,15(número de desviacionesestándar necesarias paraenglobar al 99% de lasmediciones). Podemosinterpretar el último número(el asociado a TotalVariation) cómo unaestimación de la amplituddel intervalo que contendríael 99% de lasobservaciones.

Observamos que sólo el 10,67% de la variación total en los datos se debe al sistema de medición, mientras que un 89,33% de dicha variación es debida a las diferencias entre los elementos medidos. Respecto al número de categorías distintas que el sistema es capaz de distinguir, el valor obtenido de 4 nos indica que el sistema de medición empleado es aceptable (en general, si el valor obtenido fuese 1 el sistema no sería útil para controlar el proceso; un valor de 4 o superior representa un sistema de medición capaz de distinguir un número aceptable de categorías).

En el primero de los gráficos siguientes se observa que la mayoría de los puntos están situados más allá de los límites de control, lo cual refuerza la idea de que la variación se debe prioritariamente a diferencias entre elementos. Esta misma conclusión la podemos obtener a partir del diagrama de barras. En los gráficos de la derecha observamos que hay pocas diferencias en las mediciones registradas por los diferentes operarios (la línea es prácticamente horizontal), mientras que las diferencias en las mediciones para los distintos elementos sí son considerables (el gráfico muestra continuas subidas y bajadas según el elemento medido).

II - 3


II - 4

Misc:Tolerance:Reported by:Date of study:Gage name:

0

1,11,00,90,80,70,60,50,40,3

321

Xbar Chart by Operador

Sam

ple

Mea

n

X=0,80753,0SL=0,8796

-3,0SL=0,7354

0

0,15

0,10

0,05

0,00

321

R Chart by Operador

Sam

ple

Ran

ge

R=0,03833

3,0SL=0,1252

-3,0SL=0,00E+00

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1,11,00,90,80,70,60,50,4

Elemento

OperadorOperador*Elemento Interaction

Aver

age

123

321

1,11,00,90,80,70,60,50,4

Operador

By Operador

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1,11,00,90,80,70,60,50,4

Elemento

By Elemento��%Total Var��%Study Var

Part-to-PartReprodRepeatGage R&R

100

50

0

Components of Variation

Perc

ent

��

��

��

��

��

��

��

��

Gage R&R (ANOVA) for Medición

En el segundo conjunto de datos se eligieron 3 elementos, y 3 operarios midieron 3 veces cada uno de ellos siguiendo un orden aleatorio. Los datos se registraron en el archivo medición2.mtw .

Seleccionar Stat > Quality Tools > Gage R&R Study :

Rellenamos los campos de forma análoga a la anterior:


Gage R&R Study - ANOVA Method Gage R&R for Medición Two-Way ANOVA Table With Interaction Source DF SS MS F P Elemento 2 38990 19495,2 2,90650 0,16616 Operario 2 529 264,3 0,03940 0,96173 Operario*Elemento 4 26830 6707,4 0,90185 0,48352 Repeatability 18 133873 7437,4 Total 26 200222

Cuando el p-val Two-Way ANOVA Table Without Interaction Source DF SS MS F P

or asociado aOperario*Elemento es > 0,25 el programareconstruye el modelo esta vez sin lainteracción Operario*Elemento, y usa estenuevo “modelo reducido” para determinar losestadísticos del estudio R&R.

Elemento 2 38990 19495,2 2,66887 0,0917 Operario 2 529 264,3 0,03618 0,9645 Repeatability 22 160703 7304,7 Total 26 200222 Gage R&R Source VarComp StdDev 5,15*Sigma Total Gage R&R 7304,7 85,4673 440,157 Repeatability 7304,7 85,4673 440,157 Reproducibility 0,0 0,0000 0,000 Operario 0,0 0,0000 0,000 Part-To-Part 1354,5 36,8036 189,538 Total Variation 8659,2 93,0547 479,232 Source %Contribution %Study Var Total Gage R&R 84,36 91,85 Repeatability 84,36 91,85 Reproducibility 0,00 0,00 Operario 0,00 0,00 Part-To-Part 15,64 39,55 Total Variation 100,00 100,00 Number of Distinct Categories = 1

Observamos que el 84,36% de la variación total en los datos se debe al sistema de medición, mientras que sólo un 15,64% de dicha variación es debida a las diferencias entre los elementos medidos. En este caso, el sistema de medición empleado no es capaz de detectar diferencias entre los elementos (sólo percibe una categoría). Ello significa que este sistema no es adecuado. En el primero de los gráficos siguientes se observa cómo la mayoría de puntos están contenidos dentro de los límites de control, lo cual nos indica que la variación observada es principalmente debida al sistema de medición usado. La misma conclusión se deduce del diagrama de barras. En los gráficos de la esquina inferior derecha se aprecia que no hay apenas diferencias entre operarios al hacer la medición (línea de nivel horizontal), y que las diferencias entre elementos no son significativas.

II - 5


Gage name:Date of study:Reported by:Tolerance:Misc:

0

250

350

450

5501 2 3

Xbar Chart by Operario

Sam

ple

Mea

n

X=406,2

3,0SL=555,8

-3,0SL=256,5

0

0

100

200

300

400 1 2 3

R Chart by Operario

Sam

ple

Ran

ge

R=146,3

3,0SL=376,5

-3,0SL=0,00E+00

1 2 3

340

390

440

490

Elemento

OperarioOperario*Elemento Interaction

Aver

age

123

1 2 3

200

300

400

500

600

Operario

By Operario

1 2 3

200

300

400

500

600

Elemento

By Elemento��

%Total Var�� %Study Var

Gage R&R Repeat Reprod Part-to-Part0

50

100

Components of Variation

Perc

ent

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Gage R&R (ANOVA) for Medición

GRÁFICOS DE RACHAS PARA MEDICIONES____________________________

Un gráfico de rachas para mediciones es una representación de las observaciones por operario y número de elemento. El gráfico contiene una línea de referencia horizontal al nivel de la media (la cual puede obtenerse a partir de los datos o bien ser ya conocida). Esta representación nos permitirá apreciar de forma inmediata posibles diferencias en las mediciones entre diferentes operarios y/o elementos: un proceso estable generaría una nube de puntos horizontal, mientras que un “efecto operario” o un “efecto elemento” nos daría algún patrón no aleatorio para los datos.

Ejemplo Gráfico de Rachas para Mediciones: Nuevamente usaremos los dos conjuntos de datos anteriores (en el primero de ellos, medición1.mtw , la variación debida al sistema de medición suponía un porcentaje pequeño de la variación total; en el segundo, medición2.mtw , dicha variación era la principal causa de la variación total).

Para cada uno de los dos conjuntos de datos haremos lo siguiente:

Seleccionar Stat > Quality Tools > Gage Run Chart:


II - 6


El gráfico inferior corresponde al primer conjunto de datos. En él se observa:

1. Para cada elemento, podemos comparar tanto las diferencias entre medidas realizadas por cada uno de los tres operarios como las diferencias entre los distintos operarios.

2. También podemos comparar las medidas obtenidas con la línea de referencia horizontal (en este

caso, la media de las observaciones).

Gage name:Date of study:Reported by:Tolerance:Misc:

0,38

0,48

0,58

0,68

0,78

0,88

0,98

1,08

1 2 3 4 5Elemento

Med

ició

n

1

2

3

0,38

0,48

0,58

0,68

0,78

0,88

0,98

1,08

6 7 8 9 10Elemento

Med

ició

n

Runchart of Medición by Elemento, Operador

1

2

La mayor parte de la variación es debida a diferencias entre elementos. Además, es posible apreciar algunos ligeros patrones: así, p.e., la segunda medición del operador 2 es repetidamente menor que la primera (esto ocurre en 7 de 10 ocasiones); también es visible el que las mediciones efectuadas por el

II - 7


segundo operario son repetidamente menores que las realizadas por el primer operario (en 8 de 10 ocasiones). A continuación se muestra el gráfico correspondiente al segundo conjunto de datos. En él observamos: 1. Para cada elemento, podemos comparar tanto las diferencias entre medidas realizadas por cada uno

de los operarios como las diferencias entre distintos operarios. 2. También podemos comparar las medidas obtenidas con la línea de referencia horizontal (en este

caso, la media de las observaciones).

Misc:Tolerance:Reported by:Date of study:Gage name:

600

500

400

300

200

321Elemento

Med

ició

n

1

2

3

Runchart of Medición by Elemento, Operario

1 2

El factor dominante en este caso es la repetibilidad (en concreto, las diferencias aumentan cuando el mismo operario realiza mediciones sobre el mismo elemento). Las oscilaciones parecen sugerir que los operarios están “ajustando”, entre turno y turno, el sistema de medición.

II - 8


LINEALIDAD EN LA MEDICIÓN Y ESTUDIO DE LA EXACTITUD_____________

Un estudio de la linealidad en la medición responde a la pregunta: ¿es el sistema de medición igual de exacto para todos los tamaños posibles de los objetos que estamos midiendo?.

Un estudio de la exactitud en la medición examina las diferencias existentes entre el promedio de las

mediciones observadas y un valor de referencia o “valor maestro”.

Ejemplo Linealidad y Exactitud: Elegimos cinco elementos (cuyos valores maestros son conocidos), los cuales representan el rango esperado de los tamaños a medir. Un operario mide 12 veces cada uno de los elementos siguiendo un orden aleatorio, y se realiza un estudio R&R para determinar la variación total en el proceso (columna 5,15*Sigma), la cual resulta ser de 14,1941. Las mediciones se guardan en el archivo exactitud.mtw .

Seleccionar Stat > Quality Tools > Gage Linearity Study:


Gage name:Date of s tudy:Reported by:Tolerance:Misc:

2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

0

1

Master Part Measurement

Acc

urac

y A

vera

ge

Linearity:%Linearity:R-Squared:

Bias:%Bias:

1,8688913,167 0,978

-5,3E-020,376

Linearity Accuracy0

2

4

6

8

10

12

14

Perc

ent

Gage Linearity Study for Medición

Gage Lineari ty

Gage Accuracy

Percent of Process Variation

Observar que, en esta medición, la variación debida a la linealidad supone un 13% de la variación total del proceso. Por otra parte, la variación debida a la falta de exactitud es de menos del 1% de la total.

II - 9

III. Gráficos de Control por Variables (1)

III. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (1)

INTRODUCCIÓN____________________________________________________

En cualquier proceso productivo resulta conveniente conocer en todo momento hasta qué punto nuestros productos cumplen con las especificaciones preestablecidas. Como ya comentamos en el capítulo anterior, podemos decir que la calidad de un producto tiene dos grandes “enemigos”: (1) las desviaciones con respecto al objetivo especificado (falta de exactitud), y (2) una excesiva variabilidad respecto a los valores deseables (falta de precisión).

La idea consiste en extraer muestras de un proceso productivo que se encuentra activo y, a partir de las mismas, generar gráficos que nos permitan tanto estudiar la variabilidad del mismo como comprobar si los productos obtenidos cumplen o no con las especificaciones preestablecidas. En caso de apreciar en tales gráficos tendencias no aleatorias o bien muestras que se sitúen más allá de los límites de control consideraremos que el proceso está fuera de control. Si así ocurre, estaremos interesados en averiguar las causas especiales que afectan al proceso.

En un gráfico de control se representa gráficamente una característica de calidad T, medida o calculada a partir de muestras del producto, en función de las diferentes muestras. La gráfica tiene una línea central que simboliza el valor medio de la característica de calidad. Finalmente, otras dos líneas (los límites superior e inferior de control) flanquean a la anterior a una distancia determinada. Estos límites son escogidos de manera que si el proceso está bajo control, casi la totalidad de los puntos muestrales se halle entre ellos. Así, un punto que se encuentra fuera de los límites de control se interpreta como una evidencia de que el proceso está fuera de control. Además, incluso si todos los puntos se hallan comprendidos entre los límites de control, pero se comportan de manera sistemática o no aleatoria, también tendríamos un proceso fuera de control (veremos cómo estudiar la existencia de tales patrones no aleatorios mediante los llamados tests para causas especiales). Límite superior (LSC) 3 * σT Línea central Límite inferior (LIC)

Varia

ble

T

Número de muestra o tiempo

La determinación de los límites de control se basa en conceptos y resultados estadísticos: supongamos, p.e., que estamos interesados en “controlar” la media µ de una variable aleatoria X cuya distribución tiene una desviación estándar σ (µ y σ constantes durante el proceso). Sabemos (por el TCL) que, para un tamaño muestral n grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal con media igual a µ y desviación estándar igual a σ/√n . De este hecho se deduce que aproximadamente el 99,7% de las medias muestrales estarán contenidas en el intervalo µ ± 3 * σ/√n , intervalo que viene definido por los límites de control. Este sencillo razonamiento es la base para la construcción de todos los gráficos de control.

Observar que, como el intervalo anterior depende de n, si trabajamos con muestras de distintos tamaños

los límites de control no formarán una línea recta, pues la distancia que les separa de la línea central aumentará conforme n disminuya (serán límites “escalonados”).

III - 1


Si dejamos momentáneamente al margen el estudio de posibles patrones no aleatorios en el gráfico de control, podemos considerar que éste no es más que un contraste de hipótesis en el que podemos considerar como hipótesis nula Ho el hecho de que el proceso está bajo control estadístico. El que un punto se ubique entre los límites de control es equivalente a no poder rechazar la hipótesis nula Ho; por el contrario, el que un punto se ubique fuera de los límites de control equivale al rechazo de la hipótesis del control estadístico.

Observar que la selección de los límites de control equivale pues a determinar la región crítica para probar la hipótesis nula Ho de que el proceso está bajo control estadístico: alejando dichos límites de la línea central se reduce α (o probabilidad de cometer un error de tipo I, i.e.: que un punto caiga fuera de los límites de control sin que haya una causa especial), si bien también se eleva con ello β (o riesgo de cometer un error tipo II, i.e.: que un punto caiga entre dichos límites cuando el proceso se encuentra en realidad fuera de control).

En general, para un α determinado, cuanto más grande sea el tamaño muestral n, tanto más “sensible” será el gráfico a la hora de detectar pequeños cambios en el proceso (i.e., para α fijo, a mayor n mayor será la potencia del contraste 1-β).

Podemos distinguir dos grandes clases de gráficos de control: los gráficos de control por variables hacen uso de estadísticos obtenidos a partir de datos tales como la longitud o grosor de un elemento, mientras que los gráficos de control por atributos se basan en frecuencias tales como el número de unidades defectuosas. Así, en los gráficos de control por variables es posible medir la característica de calidad a estudiar. En estos casos conviene describir la característica de calidad mediante una medida de tendencia central (usualmente la media muestral) y una medida de su variabilidad (usualmente el rango o la desviación estándar).

Los gráficos de control por variables son más “sensibles” que los gráficos de control por atributos, razón por la cual son capaces de “avisarnos” de posibles problemas de calidad incluso antes de que éstos sean ya relevantes. Por su parte, los gráficos de control por atributos tienen la ventaja de sintetizar de forma rápida toda la información referida a diferentes aspectos de calidad de un producto, ya que permiten clasificar éste como aceptable o inaceptable; además, no suelen necesitar de sistemas de medición muy complejos y son más fácilmente entendibles por los no especialistas.

A continuación se agrupan los gráficos de control por variables según el tipo de datos de que

dispongamos:

TIPO DE DATOS

ESTADÍSTICOS A REPRESENTAR NOMBRE DEL GRÁFICO

Datos en subgrupos

• Medias de subgrupos, X-barra • Rangos de subgrupos, R • Desviaciones estándar de subgrupos, S • X-barra y R • X-barra y S

X-barra

R S

X-barra y R X-barra y S

Observaciones individuales

• Observaciones individuales • Rangos móviles • Obs. Individuales y rangos móviles

Individual

Rangos móviles I – MR

Combinaciones de subgrupos

• Medias móviles con peso exponencial • Medias móviles • Sumas acumuladas • Obs. Individuales o medias de

subgrupos según su distancia a la línea central

EWMA

Medias móviles CUSUM

Zona

Series cortas

• Obs. Individuales estandarizadas y

rangos móviles

Z - MR

III - 2


TRANSFORMACIÓN BOX-COX PARA DATOS NO NORMALES_____________

A fin de poder interpretar correctamente los gráficos, resulta imprescindible que las observaciones provengan de una distribución aproximadamente normal. Si nuestros datos provienen de una distribución notablemente asimétrica, podemos aplicarles la transformación Box-Cox para inducir normalidad.

Dada una variable aleatoria Y asociada a una distribución asimétrica, pretendemos transformarla en otra

variable Y’, donde Y’ = Y λ ó Y’ = Ln Y. El método de Box-Cox estima aquel valor para λ el cual minimiza la desviación estándar de Y’ . Si λ ≠ 0, entonces Y’ = Y λ ; en caso contrario, Y’ = Ln Y . Observar que si el valor obtenido para λ es próximo a la unidad el transformar la variable no nos supondrá una gran ventaja.

Ejemplo Box-Cox: Los datos contenidos en el archivo BoxCox.mtw provienen de una distribución sensiblemente sesgada a la derecha. Consisten en 50 subgrupos de tamaño 5. Los datos se encuentran en la columna C1.

Seleccionar Stat > Control Charts > Box-Cox Transformation :

Rellenar los campos como se indica en la siguiente imagen:

III - 3


3,02,52,01,51,00,50,0-0,5-1,0

1211

109

876

54

32

95% Conf idence IntervalSt

Dev

Lambda

Last Iteration Info

2,855

2,856

2,861

0,056

0,000

-0,056

StDevLambda

Up

Est

Low

Box-Cox Plot for Datos

La “Tabla de Información” correspondiente a la última iteración contiene el mejor estimador para λ, el cual resulta ser de 0,000. Otros dos buenos estimadores serían –0,056 y 0,056. Las dos líneas rojas del gráfico determinan un intervalo de confianza a nivel del 95% para el verdadero valor de λ. Dicho intervalo contiene a todos los posibles valores de λ cuya desviación estándar es menor o igual a la indicada por la línea horizontal discontinua, en este caso sería el intervalo de extremos –0,3 y 0,4. Dado que el mejor estimador para λ es el cero, la transformación que tomaríamos sería Y’ = Ln Y .

MODELO DE SHEWART PARA GRÁFICOS DE CONTROL_________________

Sea T un estadístico muestral que mide alguna característica de calidad, y supongamos que T se distribuye de forma aproximadamente normal, con media µT y desviación estándar σT . Entonces, la línea central y los límites superior e inferior del gráfico de control vendrán dados, según el modelo de Shewart, por:

TT

TT

LIC

LSC

σµµ

σµ

3central Línea

3

T

−==

+=

Un método alternativo al de Shewart sería el modelo probabilístico: en vez de especificar los límites de

control como un múltiplo de la desviación estándar, se hubiera podido escoger directamente la probabilidad de un error de tipo I y calcular el límite (probabilístico) de control correspondiente. Por ejemplo, si se hubiera tomado α = 0,001, entonces el múltiplo adecuado de la desviación estándar habría sido 3,09. Observar que si la distribución de T es aproximadamente normal, habrá poca diferencia entre los límites de tres sigma y los probabilísticos de 0,001.

III - 4


TESTS PARA CAUSAS ESPECIALES__________________________________

Como dijimos en la introducción, cuando alguno de los estadísticos muestrales cae fuera de los límites de control, hay razones para pensar que el proceso está fuera de control. Además, también es importante estudiar la posible existencia de patrones no aleatorios en la representación de dichos estadísticos muestrales, ya que tales patrones suelen ser un síntoma de que la los parámetros del proceso están cambiando. A tal efecto se utilizan los tests para causas especiales o asignables, término que se contrapone al de causas comunes o aleatorias (inherentes a todo proceso).

Al igual que los límites de control, los tests para causas especiales tienen un fundamento estadístico. Así,

por ejemplo, la probabilidad de que un estadístico muestral caiga por encima de la línea central será de 0,5 bajo los siguientes supuestos: (1) que el proceso esté bajo control, (2) que estadísticos muestrales consecutivos sean independientes, y (3) que la distribución de los estadísticos muestrales sea aproximadamente normal. Por tanto, en tales condiciones, la probabilidad de que dos estadísticos consecutivos caigan por encima de la línea central será de 0,5*0,5 = 0,25 , y la probabilidad de que 9 estadísticos consecutivos caigan en el mismo lado de la línea central será de 0,5^9 = 0,00195. Este último valor se aproxima mucho a la probabilidad de un estadístico muestral caiga más allá de los límites de control de 3 sigma (suponiendo una distribución normal y un proceso bajo control), por lo que la existencia de estos 9 estadísticos podría interpretarse como otro indicativo de que el proceso está fuera de control.

La franja comprendida entre dos y tres sigmas respecto a la línea central se denomina zona A, la

comprendida entre 1 y 2 sigmas se llama zona B, y la franja situada a menos de 1 sigma se denomina zona C. El programa Minitab permite realizar varios tests para determinar la posible existencia de causas

especiales que influyan sobre la variabilidad de las observaciones (comportamiento no aleatorio de los datos):

Cada uno de los tests detecta un determinado comportamiento no aleatorio en los datos. Cuando alguno de los tests resulta positivo entonces hay indicios de que la variabilidad de las observaciones se debe a causas especiales, las cuales deberán investigarse.

Es importante notar que para realizar estos tests todas las muestras han de ser del mismo tamaño.

III - 5


III - 6

109876543210

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

0 5 10 15

3

2

1

0

1

2

3

muestra

sigm

aZona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

109876543210

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

151050

3

2

1

0

1

2

3

muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

Test 1: un punto situado más allá de los límites de control

Test 2: nueve puntos consecutivos en el mismo lado

descendentesTest 3: seis puntos consecutivos ascendentes o

arriba y abajoTest 4: catorce puntos consecutivos alternando


III - 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

151050

3

2

1

0

1

2

3

muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

151050

3

2

1

0

1

2

3

muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

Test 5: dos de tres puntos consecutivos situados másallá de 2 sigmas (mismo lado)

Test 6: cuatro de cinco puntos consecutivos situados amás de un sigma (mismo lado)

Test 7: quince puntos consecutivos situados a menosde un sigma (ambos lados)

Test 8: ocho puntos consecutivos situados a más deun sigma (ambos lados)


GRÁFICOS X-BARRA Y R____________________________________________

En la introducción comentamos que los gráficos por variables se utilizan para “controlar” una característica mesurable del producto, como puede ser la longitud, el peso, la altura, etc. Un gráfico X-barra contiene las medias muestrales de la característica que se pretende estudiar, por lo que mediante él podremos detectar posibles variaciones en el valor medio de dicha característica durante el proceso (desviaciones con respecto al objetivo). Un gráfico R es un gráfico de control para rangos muestrales. Se utiliza para medir la variación del proceso y detectar la posible existencia de causas especiales. Es habitual usar los gráficos R para estudiar la variación en muestras de tamaño no superior a 10, recurriendo a los gráficos S para muestras mayores.

Sea X la característica de calidad que nos interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ). Tomaremos k muestras, cada una de ellas de tamaño n. Denotaremos por Xi1 , Xi2 , ..., Xin a las n observaciones que forman la muestra i-ésima, donde i = 1,2,...,k. Veamos cómo construir un gráfico X-barra:

• Por el Teorema de Distribución Muestra, sabemos que: µµ =x y nx

σσ =

• Por el Teorema Central del Límite,

→ ∞→ n

NX n

σµ,

• Según el modelo de Shewart tendremos que:

nLIC

nLSC

σµ

µ

σµ

3

central Línea

3

−=

=

+=

• Si µ es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las k

muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

∑=

==k

iiX

kX

1

1µ̂ donde ∑=

=n

jiji X

nX

1

1

Observar que es estimador insesgado de µ ya que µ̂ [ ] [ ] µµ === ∑=

x

k

iiXE

kXE

11

1.

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir de los rangos Ri (observar que tal estimación se

realizará a partir de las k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

- ∀ i = 1,2,...,k , sea { } { }njXMinnjXMaxR ijiji ≤≤−≤≤= 1/1/ . Se cumple que

, donde dσµ ⋅= )(2 ndRi 2(n) es un valor tabulado que depende de n . - Notar que Ri / d2(n) es un estimador insesgado de σ, ya que:

[ ]

σσ

=⋅

==

)(

)()()( 2

2

22 ndnd

ndRE

ndR

E ii

III - 8


Así, es buena idea tomar como estimador de σ el promedio de los Ri / d2(n) :

)()(1ˆ

21 2 ndR

ndR

k

k

i

i == ∑=

σ ( es estimador insesgado de σ) σ̂

• En caso de que el tamaño muestral (ni ) sea diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites

según el modelo de Shewart, podemos optar por:

1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente),

2. Si los ni no difieren mucho unos de otros, podríamos tomar ∑=

=k

iin

kn

1

1.

En esta situación de tamaños muestrales diferentes, los estimadores para µ y σ serán:

∑∑=

i

ii

nXn

µ̂ y ∑=)(

1ˆ2 i

i

ndR

kσ

Ejemplo gráfico X-barra: Supongamos que trabajamos en una planta de montaje de coches. A la hora de montar los motores, partes de la cadena de montaje se mueven verticalmente arriba y abajo a cierta distancia del nivel horizontal de referencia. A fin de asegurar la calidad de la producción, realizamos cinco mediciones cada día laborable desde el 28 de septiembre hasta el 15 de octubre, y diez mediciones diarias desde el 18 hasta el 25 de octubre. Los datos están contenidos en el archivo Motores.mtw .

Seleccionar Stat > Control Charts > Xbar Rellenar los campos como se indica a continuación:

III - 9


2520151050

5432

10

-1-2-3-4-5

Sample Number

Sam

ple

Mea

n

X-bar Chart for Distanci

X=0,4417

1,0SL=1,861

2,0SL=3,281

3,0SL=4,700

-1,0SL=-0,9778

-2,0SL=-2,397

-3,0SL=-3,817

6

Test Results for Xbar Chart TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 sigma from center line (on one side of CL). Test Failed at points: 5

Observamos que el subgrupo 5 no ha superado el Test 6 ya que es el cuarto punto situado en la zona B (entre 1 y 2 desviaciones estándar de la línea central), lo cual sugiere la existencia de causas especiales en el proceso.

III - 10


Veamos ahora cómo construir un gráfico R. Recordemos que X era la característica de calidad que nos interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ), y que denotamos por Xi1 , Xi2 , ..., Xin a las n observaciones que formaban la muestra i-ésima, donde i = 1,2,...,k. • ∀ i = 1,2,...,k , sea { } { }njXMinnjXMaxR ijiji ≤≤−≤≤= 1/1/

σ⋅= )(3 nd. Se cumple que

, y , donde dσµ ⋅= )(2 ndRi σ Ri 2(n), d3(n) son valores tabulados que dependen de n. • Se cumple que: ( )σσ ⋅⋅ → ∞→ )(,)( 32 ndndNR ni

• Por tanto, según el modelo de Shewart, tendremos que:

σσσ

σσ

⋅−⋅=⋅=

⋅+⋅=

)(3)()(central Línea

)(3)(

32

2

32

ndndLICnd

ndndLSC

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir de los rangos Ri como vimos para el gráfico X-barra. • Asimismo, la observación que vimos en los diagramas X-barra para el caso en que el tamaño muestral

(ni ) sea diferente para cada muestra es igualmente aplicable aquí.

Ejemplo gráfico R: A fin de estudiar la variación en el proceso, realizaremos ahora el gráfico R de los datos del ejemplo anterior (archivo Motores.mtw): Seleccionar Stat > Control Charts > R

Completamos los campos:

III - 11


0 5 10 15 20 25

0

5

10

15

Sample Number

Sam

ple

Ran

ge

R Chart for Distanci

R=7,559

3,0SL=15,98

-3,0SL=0,00E+00

Test Results for R Chart TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 sigma from center line (on one side of CL). Test Failed at points: 5

Vemos en el gráfico anterior que los puntos se encuentran aleatoriamente distribuidos en la zona comprendida por los límites de control, lo que significa que el proceso es estable. Resulta también importante comparar los puntos del gráfico R con los del gráfico X-barra para ver si siguen las mismas tendencias.

En la práctica se suelen considerar los diagramas Xbarra-R, que no son otra cosa sino la presentación conjunta de un diagrama X-barra y otro R. La razón de usar dicho diagrama conjunto es la siguiente:

Si la distribución de la v.a. X es normal (como hemos supuesto), entonces las v.a. X-barra y R son

independientes (Teorema de Cochran). Por tanto, si existiese una correlación entre los valores de X-barra y R (es decir, si los puntos en ambas gráficas presentasen gráficos paralelos), ello indicaría que la distribución subyacente sería sesgada (no normal), con lo que los análisis posteriores podrían estar equivocados.

III - 12


Ejemplo gráfico Xbarra-R: En nuestra planta de montaje de vehículos, sabemos que una de las piezas del motor debe tener una longitud de 600 ± 2 mm a fin de satisfacer las especificaciones técnicas. Durante un mes hemos efectuado un total de 100 mediciones (20 muestras de 5 piezas cada una) de piezas usadas en la planta, y otras 100 por cada uno de nuestros dos proveedores. Las observaciones están contenidas en el archivo Motores2.mtw. Queremos analizar las piezas que nos ha suministrado el segundo de los proveedores:

Seleccionar Stat > Control Charts > Xbar-R


2010Subgroup 0

603

602

601

600

599

598

Sam

ple

Mea

n

X=600,2

3,0SL=602,4

-3,0SL=598,1

9876543210

Sam

ple

Ran

ge

R=3,720

3,0SL=7,866

-3,0SL=0,00E+0

Xbar/R Chart for Proveedor2

1

6

1

III - 13


La línea central del gráfico X-barra está situada al nivel 600,2 , lo que significa que nuestro proceso está situado dentro de los límites establecidos, pero dos de los puntos caen fuera de los límites de control, por lo que el proceso es inestable. Por su parte, la línea central en el gráfico R está situada en el nivel 3,720 , valor que parece excesivo si tenemos en cuenta que la máxima variación permitida era de ± 2 mm, por lo que es muy probable que nuestro proceso sufra de una variación excesiva.

GRÁFICOS X-BARRA Y S____________________________________________

Ya sabemos que siempre que se intente controlar una característica de calidad cuantitativa, es una práctica habitual controlar el valor medio de la característica de calidad y su variabilidad. Esta última se estudia mediante un gráfico R (como ya vimos), o mediante un gráfico S, el cual es un gráfico de control para desviaciones estándar muestrales. Por tanto, podemos usar los gráficos S para estudiar la variabilidad del proceso y detectar la posible existencia de causas especiales. Resulta habitual utilizar los gráficos S para muestras de tamaño superior a 10, utilizando los gráficos R en caso contrario.

Sea X la característica de calidad que nos interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ). Tomaremos k muestras, cada una de ellas de tamaño n. Denotaremos por Xi1 , Xi2 , ..., Xin a las n observaciones que forman la muestra i-ésima, donde i = 1,2,...,k. Ya vimos cómo construir un gráfico X-barra:

• Por el Teorema de Distribución Muestra, sabemos que: µµ =x y nx

σσ =

• Por el Teorema Central del Límite,

→ ∞→ n

NX n

σµ,


nLIC

nLSC

σµ

µ

σµ

3

central Línea

3

−=

=

+=



∑=

==k

iiX

kX

1

1µ̂ donde ∑=

=n

jiji X

nX

1

1

Observar que es estimador insesgado de µ ya que µ̂ [ ] [ ] µµ === ∑=

x

k

iiXE

kXE

11

1.

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir de las desviaciones estándar Si (observar que tal

estimación se realizará a partir de las k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

III - 14


- ∀ i = 1,2,...,k , sea ( )∑=

−−

=n

jiiji XX

nS

1

2

11

. Se cumple que , donde

c

σµ ⋅= )(4 ncSi

4(n) es un valor tabulado que depende de n . - Notar que Si / c4(n) es un estimador insesgado de σ, ya que:

[ ]

σσ

=⋅

==

)(

)()()( 4

4

44 ncnc

ncSE

ncS

E ii

Así, es buena idea tomar como estimador de σ el promedio de los Si / c4(n) :

)()(1ˆ

41 4 ncS

ncS

k

k

i

i == ∑=






=k

iin

kn

1

1.

En esta situación de tamaños muestrales diferentes, los estimadores para µ y σ serán:

∑∑=

i

ii

nXn

µ̂ y ∑=)(

1ˆ4 i

i

ncS

kσ

Veamos ahora cómo construir un gráfico S. Recordemos que X era la característica de calidad que nos

interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ), y que denotamos por Xi1 , Xi2 , ..., Xin a las n observaciones que formaban la muestra i-ésima, donde i = 1,2,...,k.

• ∀ i = 1,2,...,k , se cumple que , y σµ ⋅= )(4 ncSi ( )24 )(1 ncSi −= σσ , donde c4(n) es un

valor tabulado que depende de n.

• Se cumple que: ( )

−⋅ → ∞→

244 )(1,)( ncncNS ni σσ


( )

( )244

4

244

)(13)(

)(central Línea)(13)(

ncncLIC

ncncncLSC

−−⋅=

⋅=

−+⋅=

σσ

σσσ

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir de las desviaciones estándar Si como vimos para el

gráfico X-barra. • Asimismo, la observación que vimos en los diagramas X-barra para el caso en que el tamaño muestral

(ni ) sea diferente para cada muestra es igualmente aplicable aquí.

III - 15


GRÁFICOS INDIVIDUAL Y MR-BARRA_________________________________

Los gráficos de control por variables pueden también construirse para observaciones individuales procedentes de la línea de producción. Esto puede resultar necesario cuando el considerar muestras de tamaño mayor que 1 resulte demasiado caro, inconveniente, o imposible. En este procedimiento de control se emplea el rango móvil de dos observaciones sucesivas para estimar la variabilidad del proceso.

Sea X la característica de calidad que nos interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ). Denotaremos por X1 , X2 , ..., XK a las k observaciones. Veamos cómo construir un gráfico Individual: • Observar que ∀ i = 1,2,...,k , Xi ≈ N(µ,σ) . • Según el modelo de Shewart tendremos que:

σµµ

σµ

3central Línea

3

−==

+=

LIC

LSC


observaciones obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

∑=

==k

iiX

kX

1

1µ̂

Observar que es estimador insesgado de µ ya que µ̂ [ ] [ ] µ== ∑=

k

iiXE

kXE

11

1.

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir del rango móvil MRi (observar que tal estimación se

realizará a partir de las k observaciones obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

- ∀ i = 2,...,k , sea . Se cumple que

, donde d

{ } { 11, −− −−= iiiii XXMinXXMaxMR }σµ ⋅= )1(2dMRi 2(1) es un valor tabulado.

- Notar que MRi / d2(1) es un estimador insesgado de σ, ya que:

[ ]

σσ

=⋅

==

)1(

)1()1()1( 2

2

22 dd

dMRE

dMR

E ii

Así, es buena idea tomar como estimador de σ el promedio de los MRi / d2(1) :

)1()1(11ˆ

22 2 dMR

dMR

k

k

i

i =−

= ∑=


III - 16


Como hemos comentado, junto a los gráficos de control individuales podemos considerar también los gráficos de control para los rangos móviles asociados, gráficos que nos ayudarán a controlar la variabilidad de las observaciones registradas.

Veamos cómo construir un gráfico MR-barra. Recordemos que X era la característica de calidad que nos

interesa medir, donde X ≈ N(µ,σ), y que denotamos por X1 , X2 , ..., Xn a las k observaciones. • ∀ i = 2,...,k , sea . Se cumple que ,

y donde d

{ } { 11, −− −−= iiiii XXMinXXMaxMRσ⋅

} σµ ⋅= )1(2dMRi

σ = )1(3dMRi 2(1) , d3(1) son valores tabulados. • Se cumple que: ( )σσ ⋅⋅ → ∞→ )1(,)1( 32 ddNMR ni


σσσ

σσ

⋅−⋅=⋅=

⋅+⋅=

)1(3)1()1(central Línea

)1(3)1(

32

2

32

ddLICd

ddLSC

• Si σ es desconocida, la podemos estimar a partir de los rangos móviles MRi según ya vimos.

Ejemplo gráfico I: Hemos registrado en la columna C1 del archivo Mat_Prima.mtw el peso de cada lote de una determinada materia prima.

Seleccionar Stat > Control Charts > Individuals


III - 17


50403020100

1050

950

850

Observation Number

Indi

vidua

l Val

ue

I Chart for Peso

X=936,9

3,0SL=1011

-3,0SL=862,8

666

2222

2

1

222

222

2

15

6

11

6

222

2

11

TEST 1. One point more than 3,00 sigmas from center line. Test Failed at points: 14 23 30 31 44 45 TEST 2. 9 points in a row on same side of center line. Test Failed at points: 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 33 34 35 36 TEST 5. 2 out of 3 points more than 2 sigmas from center line (on one side of CL). Test Failed at points: 24 30 31 45 TEST 6. 4 out of 5 points more than 1 sigma from center line (on one side of CL). Test Failed at points: 5 6 7 29 30 31 32 45

El gráfico nos muestra 6 puntos situados fuera de los límites de control, así como 17 puntos localizados dentro de los mismos pero que no han cumplido el segundo de los tests, lo que sugiere la existencia de causas especiales de variación.

III - 18


EJEMPLOS DE APLICACIÓN_________________________________________ Ejemplo 1: En un proceso de manufactura se miden las presiones de rotura del alambre metálico en muestras de tamaño variable tomadas en 25 días consecutivos. Los datos están contenidos en el archivo presiones.mtw. Para analizar si el proceso está bajo control usaremos gráficos X-barra y R. El programa nos proporciona el siguiente gráfico X-barra:

2520151050

64,5

63,5

62,5

61,5

60,5

59,5

58,5

57,5

56,5

55,5

Sample Number

Sam

ple

Mea

n

X-bar Chart for presion

X=59,98

3,0SL=62,89

-3,0SL=57,06

El gráfico anterior indica la existencia de control estadístico (no hay puntos fuera de los límites de

control, ni tendencias, ni ciclos, ni patrones en los datos, etc.). A continuación realizaremos un gráfico X-barra/R:

0Subgroup 5 10 15 20 25

565758596061626364

Sam

ple

Mea

n

X=59,98

3,0SL=62,81

-3,0SL=57,14

0

5

10

Sam

ple

Ran

ge

R=4,913

3,0SL=10,39

-3,0SL=0,00E+0

Xbar/R Chart for presion

III - 19


En los gráficos anteriores se observa la presencia de control estadístico en el proceso. Tanto la media como la desviación típica varían dentro de los límites de control y no se observan problemas de tendencias, ni de patrones en los datos, ni de ciclos, ni de estratificación, ni de cambios bruscos en el proceso, etc.

Dada la situación clara de proceso bajo control, forzaremos a que el programa considere tamaños de

subgrupos iguales a su valor medio 5. Así podremos comprobar la existencia de control a través de los tests para causas especiales:

0Subgroup 5 10 15 20 25

5758

596061

6263

Sam

ple

Mea

n

X=59,98

3,0SL=62,71

-3,0SL=57,24

0

5

10

Sam

ple

Ran

ge

R=4,745

3,0SL=10,03

-3,0SL=0,00E+0

Xbar/R Chart for presion

Test Results for Xbar Chart Test Results for R Chart

Observamos que ninguno de los tests ha dado positivo, y que los gráficos muestran un proceso aparentemente bajo control.

III - 20


Ejemplo 2: En un proceso de fabricación de motores de aviones se controla el peso de 25 de ellos. Los resultados se guardan en el archivo aviones.mtw. Pretendemos comprobar si el proceso se encuentra bajo control.

Dado que estamos ante un proceso en el que disponemos de una única muestra de observaciones individuales, usaremos el gráfico I-MR.

0Subgroup 5 10 15 20 25

122012301240125012601270128012901300

Indi

vidua

l Val

ue

X=1256

3,0SL=1289

-3,0SL=1223

0

10

20

30

40

50

Mov

ing

Ran

ge

R=12,29

3,0SL=40,16

-3,0SL=0,00E+0

Gráfico de Medias y Rangos Móviles

1

1

Test Results for I Chart TEST 1. One point more than 3,00 sigmas from center line. Test Failed at points: 13 Test Results for MR Chart TEST 1. One point more than 3,00 sigmas from center line. Test Failed at points: 14

En el output anterior se observa la existencia de un punto fuera de control, e correspondiente a la observación número 13. Vamos a eliminar dicho punto del análisis usando la opción Estimate:

III - 21


El nuevo output que obtenemos es:

0Subgroup 5 10 15 20 25122012301240125012601270128012901300

Indi

vidua

l Val

ue

X=1254

3,0SL=1282

-3,0SL=1227

0

10

20

30

40

50

Mov

ing

Ran

ge

R=10,32

3,0SL=33,71

-3,0SL=0,00E+0

Gráfico de Medias y Rangos Móviles

1

1

Vemos que seguimos teniendo un problema de falta de control, por lo que deberemos analizar a fondo

las causas atribuibles y realizar un estudio exhaustivo de materiales, mano de obra y circunstancias que pudieran incidir en el proceso de fabricación.

III - 22

IV. Gráficos de Control por Atributos

IV. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

INTRODUCCIÓN____________________________________________________

Los diagramas de control por atributos constituyen la herramienta esencial utilizada para controlar características de calidad cualitativas, esto es, características no cuantificables numéricamente. Ejemplos de tales características no medibles son la fracción o porcentaje de unidades defectuosas en la producción (P), el número de unidades defectuosas en la producción (NP), el número de defectos por unidad producida (U), y el número de defectos de todas las unidades producidas (C).

Al igual que en los gráficos de control por variables, el diagrama de atributos representa un estadístico T

del proceso (como puede ser el número de defectos) frente al número de la muestra o al tiempo. Una línea central representa el valor medio o esperado del estadístico, mientras que los límites de control suelen definir una zona de control que abarca 3σT por encima y por debajo de la línea central. Estos límites son escogidos de manera que si el proceso está bajo control, casi la totalidad de los puntos muestrales se halle entre ellos. Así, un punto que se encuentra fuera de los límites de control se interpreta como una evidencia de que el proceso está fuera de control. Además, incluso si todos los puntos se hallan comprendidos entre los límites de control, pero se comportan de manera sistemática o no aleatoria, también tendríamos un proceso fuera de control (veremos cómo estudiar la existencia de tales patrones no aleatorios mediante los llamados tests para causas especiales). Límite superior (LSC) 3 * σT Línea central Va

riabl

e T

Límite inferior (LIC) Número de muestra o tiempo

Este tipo de gráficos se suele aplicar en situaciones en las que el proceso es una operación de montaje complicada, y la calidad del producto se mide en términos de la ocurrencia de disconformidades, del funcionamiento exitoso o fallido del producto, etc.

Los diagramas de control por atributos tienen la ventaja de que hacen posible considerar varias

características de calidad al mismo tiempo y clasificar los productos como disconformes si no satisfacen las especificaciones de cualquiera de las características.

Tenemos dos opciones a la hora de realizar un gráfico de control por atributos:

1. Podemos comparar un producto con un estándar y clasificarlo como defectuoso o no (gráficos P y NP)

2. En el caso de productos complejos, la existencia de un defecto no necesariamente conlleva a que el

producto sea defectuoso. En tales casos, puede resultar conveniente clasificar un producto según el número de defectos que presenta (gráficos C y U).

Es importante notar que los gráficos P, NP, y U permiten trabajar con muestras de tamaños diferentes, mientras que los gráficos C están diseñados para muestras de igual tamaño.

IV - 1


TESTS PARA CAUSAS ESPECIALES__________________________________

En cualquiera de los gráficos de control por atributos descritos, es posible realizar cuatro tests para determinar la posible existencia de causas especiales que influyan sobre la variabilidad de las observaciones (comportamiento no aleatorio de los datos):

Test 1: un punto situado más allá de los límites de control

Cada uno de los tests detecta un determinado comportamiento no aleatorio en los datos. Cuando alguno de los tests resulta positivo entonces hay indicios de que la variabilidad de las observaciones se debe a causas especiales, las cuales deberán investigarse.

Es importante notar que para realizar estos tests todas las muestras han de ser del mismo tamaño.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

IV - 2


0 5 10 15

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

Test 2: nueve puntos consecutivos en el mismo lado

Test 3: seis puntos consecutivos ascendentes odescendentes

arriba y abajoTest 4: catorce puntos consecutivos alternando

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona B

Zona C

Zona C

151050

3

2

1

0

1

2

3

número de muestra

sigm

a

Zona A

Zona A

Zona B

Zona C

Zona C

Zona B

IV - 3


GRÁFICO P________________________________________________________

Un gráfico P es un gráfico de control del porcentaje o fracción de unidades defectuosas (cociente entre el número de artículos defectuosos en una población y el número total de artículos de dicha población).

Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control P se basan en la distribución

Binomial: supóngase que el proceso de producción funciona de manera estable, de tal forma que la probabilidad de que cualquier artículo no esté conforme con las especificaciones es p, y que los artículos producidos sucesivamente son independientes; entonces, si seleccionamos k muestras aleatorias de n artículos del producto cada una, y representando por Xi al número de artículos defectuosos en la muestra i-ésima, tendremos que Xi ≈ B(n,p). • Sabemos que: y npxi =µ )1( pnpXi −=σ

• Para cada muestra, definimos la v.a. fracción disconforme muestral como: nX

p ii =ˆ . Observar que

seguirá una distribución Binomial con media y desviación típica: ip̂

[ ] [ ]p

nXE

pE ii ==ˆ y [ ] [ ]

npp

nXVar

pVar ii

)1(ˆ2

−==

• Por tanto,

− → ∞→ n

pppNp ni)1(,ˆ


npppLIC

pn

pppLSC

)1(3

central Línea

)1(3

−−=

=

−+=

• Si p es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las k


∑=

=k

iip

kp

1

ˆ1





=k

iin

kn

1

1.

IV - 4


3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra.

En esta situación de tamaños muestrales diferentes, el estimador para p sería:

∑

∑

=

== k

ii

k

iii

n

pnp

1

1

ˆ

Normalmente se usan límites de control de tres sigmas en el diagrama de control P. Como ya comentamos en el capítulo anterior, el uso de límites de control más estrechos hacen que el diagrama de control sea más sensible a pequeños cambios en p, pero ello también hace aumentar la probabilidad de que se produzcan falsas alarmas de proceso fuera de control (error de tipo II).

Debe advertirse que este diagrama de control se basa en el modelo probabilístico binomial, en el cual se

supone que la probabilidad de ocurrencia de un artículo con disconformidad es constante, y que unidades sucesivas en la producción son independientes. Por otra parte, hay que tener cuidado con la interpretación de los puntos del diagrama de control que se hallan por debajo del límite inferior de control. Tales puntos no representan a menudo una mejora real en la calidad del proceso. Frecuentemente son el resultado de errores en el método de inspección o recogida de datos.

Ejemplo gráfico P: Supongamos que trabajamos en una planta que produce tubos de imagen para televisores. De cada lote producido se extraen algunos tubos y se procede a inspeccionarlos, clasificándolos en defectuosos y no defectuosos. Si alguno de los lotes presenta demasiados tubos defectuosos, se realiza una inspección del 100% de las unidades que lo componen. Un gráfico P nos permitirá, entre otras cosas, saber cuándo hemos de realizar una inspección completa. Usaremos los datos guardados en el archivo tubos.mtw : Seleccionar Stat > Control Charts > P...

Rellenar los campos como se indica:

IV - 5


0 10 20

0,0

0,1

0,2

0,3

Sample Number

Prop

ortio

n

P Chart for Defectuo

P=0,1685

3,0SL=0,3324

-3,0SL=0,004728

Dado que la muestra 6 cae fuera de la zona de control, sería conveniente realizar una inspección del 100% de los componentes del lote.

IV - 6


GRÁFICO NP______________________________________________________

El diagrama NP está basado en el número de unidades defectuosas. Este tipo de gráficos permite tanto analizar el número de artículos defectuosos como la posible existencia de causas especiales en el proceso productivo. Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control NP se basan en la distribución Binomial:

Supóngase que el proceso de producción funciona de manera estable, de tal forma que la probabilidad de que cualquier artículo no esté conforme con las especificaciones es p, y que los artículos producidos sucesivamente son independientes; entonces, si seleccionamos k muestras aleatorias de n artículos del producto cada una, y representando por Xi al número de artículos defectuosos en la muestra i-ésima, tendremos que Xi ≈ B(n,p). • Sabemos que: y npxi =µ )1( pnpXi −=σ

• Para cada muestra, definimos la v.a. fracción disconforme muestral como: nX

p ii =ˆ . Observar que

seguirá una distribución Binomial con media y desviación típica: ip̂

[ ] [ ]p

nXE

pE ii ==ˆ y [ ] [ ]

npp

nXVar

pVar ii

)1(ˆ2

−==

• Por tanto, ( ))1(,ˆ pnpnpNpn ni − → ∞→ • Según el modelo de Shewart tendremos que:

)1(3

central Línea)1(3

pnpnpLIC

nppnpnpLSC

−−=

=

−+=

• Si p es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las k


∑=

=k

iip

kp

1

ˆ1



IV - 7


1. Obtener los límites usando el ni asociado a cada muestra, con lo que las líneas de control no

serán rectas (darán “saltos” arriba y abajo según ni disminuya o aumente),


=k

iin

kn

1

1.

3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra.

En esta situación de tamaños muestrales diferentes, el estimador para p sería:

∑

∑

=

== k

ii

k

iii

n

pnp

1

1

ˆ

IV - 8


GRÁFICO C________________________________________________________

El diagrama C está basado en el número total de defectos (o no conformidades) en la producción. Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control C se basan en la distribución de Poisson:

Para construir el diagrama de control C empezamos por tomar k muestras X1, X2, ...,XK , de ni unidades

cada una, i.e.: Xi = (Xi1, ..., Xi ni ). Sea u el número esperado de unidades defectuosas en cada una de las muestras.

• Para cada muestra se calcula el número uij de defectos de la unidad Xij , j = 1,...,ni .

• Si denotamos por ci al número de defectos totales en la muestra i-ésima, es claro que . ∑=

=in

jiji uc

1

• Por otro lado, si denotamos por ui al valor esperado de defectos en la muestra i-ésima, tendremos que

∑=

=in

jij

ii u

nu

1

1. Observar pues que i

ii c

n1

=u , i.e.: . iii nuc ⋅=

• Notar además que . [ ] [ ] [ ] unuEnnuEcE iiiiii ⋅≡⋅=⋅= • Es frecuente suponer que el número de defectos (sucesos no habituales) en una población grande sigue

una distribución de Poisson. En este caso, supondremos que ci ≈ Po(niu).

• Se cumplirá que ( )ununN iini ⋅⋅ → ∞→ ,c • Según el modelo de Shewart tendremos que:

ununLIC

unununLSC

ii

i

ii

⋅−⋅=

⋅=

⋅+⋅=

3

central Línea3

• Si u = E[ ui ] es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las

k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

∑=

=k

iiu

ku

1

1ˆ

• Como el tamaño muestral (ni ) es diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites según el

modelo de Shewart, podemos optar por:



=k

iin

kn

1

1.

3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que

obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra.

IV - 9


Ejemplo gráfico C: Supongamos que trabajamos en una planta que produce sábanas blancas. Cada una de las piezas de tela producidas, a partir de las cuales se obtendrán las sábanas, será considerada como válida siempre que no tenga más de un número determinado de pequeñas manchas. Pretendemos generar un gráfico C que nos permita visualizar el número de manchas de cada pieza. Usaremos los datos guardados en el archivo sabanas.mtw : Seleccionar Stat > Control Charts > C...

Rellenar los campos como se indica:

0 10 20 30 40

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Sample Number

Sam

ple

Cou

nt

C Chart for Manchas

C=2,725

3,0SL=7,677

-3,0SL=0,00E+00

Dado que los puntos parecen seguir un patrón aleatorio y ninguno de ellos cae fuera de los límites de control de 3 sigma, podemos concluir que el proceso está bajo control.

IV - 10


GRÁFICO U________________________________________________________

El diagrama U está basado en el número de defectos por unidad de inspección producida. Los principios estadísticos que sirven de base al diagrama de control U se basan en la distribución de Poisson:

Para construir el diagrama de control U empezamos por tomar k muestras X1, X2, ...,XK , de ni unidades cada una, i.e.: Xi = (Xi1, ..., Xi ni ). Sea u el número esperado de unidades defectuosas en cada una de las muestras.

• Para cada muestra se calcula el número uij de defectos de la unidad Xij , j = 1,...,ni .

• Si denotamos por ci al número de defectos totales en la muestra i-ésima, es claro que . ∑=

=in

jiji uc

1

• Por otro lado, si denotamos por ui al valor esperado de defectos en la muestra i-ésima, tendremos que

∑=

=in

jij

ii u

nu

1

1. Observar pues que i

ii c

n1

=u , i.e.: . iii nuc ⋅=

• Notar además que . [ ] [ ] [ ] unuEnnuEcE iiiiii ⋅≡⋅=⋅= • Es frecuente suponer que el número de defectos (sucesos no habituales) en una población grande sigue

una distribución de Poisson. En este caso, supondremos que ci ≈ Po(ni u).

• Se cumplirá que ( )ununN iini ⋅⋅ → ∞→ ,c y, por tanto,

→ ∞→

ini n

uuN ,u .


i

i

nuuLIC

un

uuLSC

3

central Línea

3

−=

=

+=

• Si u = E[ ui ] es desconocida, la podemos estimar (observar que tal estimación se realizará a partir de las

k muestras obtenidas, k > 25, tomadas cuando se considera que el proceso está bajo control):

∑=

=k

iiu

ku

1

1ˆ

• Como el tamaño muestral (ni ) es diferente para cada subgrupo, a la hora de calcular los límites según el

modelo de Shewart, podemos optar por:



=k

iin

kn

1

1.

3. También se puede optar por tomar un n común e igual al mayor de los ni , con lo que

obtendríamos unos límites de control bastante “sensibles”, ya que la amplitud de la franja que indica proceso en estado de control es inversamente proporcional al tamaño de la muestra.

IV - 11


EJEMPLOS DE APLICACIÓN_________________________________________ Ejemplo 1: Una compañía electrónica manufactura circuitos en lotes de 500 y quiere controlar la proporción de circuitos con fallos. Con este fin examina 20 lotes, obteniendo en cada lote el número de circuitos defectuosos que se indican en el archivo circuitos.mtw . Pretendemos analizar si el proceso está bajo control estadístico a partir de un gráfico P:

20100

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

Sample Number

Prop

ortio

n

P Chart for defectuo

P=0,02000

3,0SL=0,03878

-3,0SL=0,001217

1

TEST 1. One point more than 3,00 sigmas from center line. Test Failed at points: 2

Se observa que ha fallado el contraste 1 para causas especiales, lo cual indica que el proceso está fuera de control estadístico.

IV - 12


Ejemplo 2: Una compañía textil utiliza un gráfico del número de defectos por unidad para controlar el número de defectos por metro cuadrado de tejido. El tejido se presenta en rollos de un metro de anchura y longitud variable, definiéndose la unidad de inspección como un metro cuadrado de tejido. Tras la inspección de 25 rollos se obtuvieron los datos de superficie (en metros cuadrados) y número de defectos por rollo almacenados en el archivo textil.mtw . Se pretende analizar si el proceso está o no bajo control usando un gráfico U.

2520151050

0,7

0 ,6

0 ,5

0 ,4

0 ,3

0 ,2

0 ,1

0 ,0

Sam ple Num ber

Sam

ple

Cou

nt

U Chart for defectos

U =0,2880

3 ,0SL=0 ,5740

-3 ,0SL=0,002076

A partir del gráfico anterior se concluye que el proceso parece estar bajo control estadístico, ya que no se observan problemas de puntos fuera de control, tendencias, ciclos, etc. Ejemplo 3: Se utiliza un gráfico del número de defectos C para controlar el número de automóviles con pintura defectuosa en nuevas series fabricadas recientemente. 20 series del mismo modelo son inspeccionadas y el número de automóviles con pintura defectuosa se ha registrado en el archivo autos.mtw . Estudiar si el proceso está o no bajo control.

0 1 0 2 0

0

5

1 0

1 5

S am ple Num ber

Sam

ple

Cou

nt

C C h a rt fo r d e fe c tu o

C = 6 ,2 0 0

3 ,0 S L = 1 3 ,6 7

-3 ,0 S L = 0 ,0 0 E + 0 0

1

A partir del gráfico anterior, se observa que el proceso no parece estar bajo control estadístico.

IV - 13

V. Gráficos de Control por Variables (2)

V. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES (2)

INTRODUCCIÓN____________________________________________________

Hasta ahora hemos estudiado los gráficos de control típicos tanto para variables como para atributos. Sin embargo, existe otra clase de gráficos de control por variables que pueden mejorar los ya conocidos y que pueden utilizarse en ocasiones en que los gráficos vistos ofrezcan dudas. En este capítulo presentaremos los siguientes gráficos de control por variables: • Gráfico EWMA: gráfico de medias móviles con pesos exponenciales. • Gráfico de Medias Móviles: gráfico de medias móviles sin pesos. • Gráfico CUSUM: gráfico de sumas acumuladas de las desviaciones respecto a un valor nomial. • Gráfico de Zona: gráfico que asigna un peso a cada punto en función de su distancia a la línea central

y representa los valores acumulados.

Los gráficos EWMA, Medias Móviles, CUSUM, y de Zona producen diagramas de control tanto para el caso de datos en subgrupos como para observaciones individuales. Típicamente se usan para evaluar el nivel del proceso. Sin embargo, tanto los diagramas EWMA como CUSUM pueden usarse también para representar gráficos de control para rangos o desviaciones estándar muestrales a fin de evaluar la variación del proceso.

En el caso de los diagramas EWMA, Medias Móviles, y de Zona funcionan tanto en el caso de muestras

del mismo tamaño como para muestras de distinto tamaño. Sin embargo, los gráficos CUSUM necesitan que todos los subgrupos sean del mismo tamaño.

GRÁFICOS EWMA__________________________________________________

Como ya se comentó en la introducción, un gráfico EWMA es un diagrama de medias móviles con pesos exponenciales. Cada uno de los puntos del gráfico contiene información de todos los subgrupos (u observaciones individuales) anteriores. Este tipo de gráficos se puede diseñar para detectar un cambio en el proceso de cualquier tamaño. Gracias a ello, se usan a menudo en la monitorización de los procesos, permitiendo la detección de pequeñas desviaciones respecto al objetivo.

La tabla que se muestra a continuación contiene ocho medias muestrales junto con su valor EWMA

asociado usando un peso de 0,2: SUBGRUPO 1 2 3 4 5 6 7 8

Media 14,000 9,000 7,000 9,000 13,000 4,000 9,000 11,000 EWMA 10,400 10,120 9,494 9,397 10,117 8,894 8,915 9,332

Para empezar, se define el valor EWMA para el subgrupo 0 como la media de todos los datos, en este caso 9,5. El valor EWMA para el subgrupo 1 será 0,2*(14) + 0,8*(9,5) = 10,4. El valor EWMA para el subgrupo 2 será 0,2*(9) + 0,8*(10,4) = 10,12. Así, en general, si denotamos por w al peso, el valor EWMA (Zi ) para el subgrupo i-ésimo vendrá dado por:

1)1( −−+= iii ZwxwZ i.e.,

V - 1


xwwxwwxwwxwwxwZ i

ii

iiii )1()1(...)1()1( 12

21 −+−++−+−+= −

−− En caso de trabajar con observaciones individuales, se usarían éstas en lugar de las medias muestrales.

Ejemplo EWMA: Los datos contenidos en la columna C1 del archivo matprima.mtw representan el peso en kilos de cada lote de materia prima.

Seleccionar Stat > Control Charts > EWMA :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

920

930

940

950

Sample Number

EWM

A

EWMA Chart for Peso

X=936,9

3,0SL=951,0

-3,0SL=922,8

En este caso, se observa claramente que el proceso está fuera de control, tanto porque se aprecían puntos que caen fuera de los límites de control como por la existencia de un patrón no aleatorio.

V - 2


GRÁFICOS DE MEDIAS MÓVILES_____________________________________

Un gráfico de medias móviles es un diagrama en la que los puntos son medias calculadas a partir de subgrupos artificiales formados por datos consecutivos. Tales datos pueden ser observaciones individuales o medias de subgrupos.

La tabla que se muestra a continuación contiene ocho medias muestrales junto con su valor de media

móvil de longitud 3 asociado: SUBGRUPO 1 2 3 4 5 6 7 8

Media 14,000 9,000 7,000 9,000 13,000 4,000 9,000 11,000 Media Móvil 14,000 11,500 10,000 8,333 9,667 8,667 8,667 8,000

La media móvil para el primer subgrupo es de 14,0 (coincide con la media del mismo). La media móvil para el segundo subgrupo es el promedio de las primeras dos medias, i.e., (14 + 9) / 2 = 11,5. En este caso, los dos primeros subgrupos son especiales dado que la longitud que hemos tomado era de 3. Por tal motivo, los límites de control asociados estarán más alejados de la línea central que en el resto de subgrupos. Las restantes medias móviles se calculan de la siguiente forma: para cada nuevo subgrupo, tomaremos el promedio de las últimas 3 medias (incluyéndo la del propio subgrupo).

GRÁFICOS DE SUMAS ACUMULADAS (CUSUM)_________________________

Un gráfico de sumas acumuladas muestra las sumas acumuladas de las desviaciones de cada valor muestral con respecto al valor objetivo. El gráfico puede estar basado en medias muestrales o en observaciones individuales.

Cuando estamos trabajando con procesos bajo control, los diagramas CUSUM son buenos para detectar

cambios con respecto al objetivo ya que dichos gráficos incorporan información procedente de la secuencia de valores muestrales. Los puntos que representamos son las sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muestrales con respecto al objetivo. Dichos puntos deberían fluctuar de forma aleatoria alrededor del cero. Si detectamos una tendencia, ya sea hacia arriba o hacia abajo, ésta debería ser considerada como una evidencia de que la media muestral se ha desplazado.

Es posible representar dos tipos de gráficos CUSUM: el diagrama por defecto representa dos CUSUM

unilaterales. El CUSUM superior detecta desviaciones hacia arriba en el nivel del proceso, el CUSUM inferior detecta desviaciones hacia abajo. Este tipo de gráfico utiliza límites de control para determinar cuando estamos ante un proceso fuera de control.

El otro tipo de gráfico CUSUM es uno bilateral. Tal diagrama hace uso de una “máscara V” (en lugar de

los habituales límites de control de 3σ) para determinar cuándo un proceso está fuera de control. Los gráficos CUSUM vienen definidos por dos parámetros, h y k.:

Tipo de gráfico CUSUM h representa k representa

Unilateral El número de desviaciones estándar entre la línea central y los límites de control

El tamaño del posible desplazamiento que queremos detectar

Bilateral (máscara V) Parte de la ecuación que se utiliza en el cálculo de la máscara V

La pendiente de los lados de la máscara V

V - 3


Ejemplo CUSUM bilaterial: Supongamos que trabajamos en una planta de montaje de coches. A la hora de montar los motores, partes de la cadena de montaje se mueven verticalmente arriba y abajo a cierta distancia del nivel horizontal de referencia. A fin de asegurar la calidad de la producción, realizamos cinco mediciones cada día laborable desde el 28 de septiembre hasta el 15 de octubre, y diez mediciones diarias desde el 18 hasta el 25 de octubre. Los datos están contenidos en el archivo Motores.mtw . En el capítulo 3 ya dibujamos los gráficos X-barra y R asociados a estos datos. En el gráfico X-barra, el subgrupo 5 no satisfacía uno de los tests para causas especiales. Ahora, estamos interesados en estudiar posibles ligeras desviaciones respecto al objetivo, por lo que representaremos un gráfico CUSUM:

Seleccionar Stat > Control Charts > CUSUM :

-5

0

5

10

-5,67809

5,67809

0 5 10 15 20 25

Subgroup Number

Cum

ulat

ive S

um

Upper CUSUM

Lower CUSUM

CUSUM Chart for Distancia

Observamos que los puntos asociados a los subgrupos 4 a 10 caen fuera del límite superior, lo que sugiere la existencia de pequeñas desviaciones con respecto al objetivo.

V - 4


GRÁFICOS DE ZONAS______________________________________________

Un gráfico de zonas es un híbrido entre un gráfico X-barra (o un gráfico Individual) y un gráfico CUSUM. En el diagrama de zonas se representan valores acumulativos basados en las “zonas” situadas a 1, 2, y 3 sigmas con respecto a la línea central. Este tipo de gráficos se suelen preferir a los diagramas X-barra o Individual debido a su gran simplicidad: se considerará que un punto está fuera de control si su valor asociado es mayor o igual a 8. Así, no resultará necesario realizar un estudio sobre el posible comportamiento no aleatorio de los datos (como hacíamos en los gráficos de Shewart), ya que este método es equivalente a cuatro de los tests estándar que usábamos en los diagramas X-barra e Individual.

El gráfico de zonas clasifica las medias muestrales (o las observaciones individuales) de acuerdo con su

distancia respecto a la línea central. Para cada media muestral (u observación individual), el punto asociado se determina como sigue:

1. A cada observación (media o individual) se le asigna un “valor de zona”, según la siguiente tabla:

Zona donde se sitúa la observación Valor de zona asignado Entre la línea central y 1σ 0

Entre 1 y 2σ 2 Entre 2 y 3σ 4

Más allá de 3σ 8

2. A cada observación se le asigna un “valor acumulado” (que será el que finalmente se represente en

el gráfico), según el siguiente criterio:

o El primer punto es simplemente el valor de zona asociado a la primera observación o Cada uno de los puntos siguientes será suma del valor de zona asociado y del valor

acumulado del punto anterior, teniendo en cuenta que cada vez que un nuevo punto cruce la línea central, el valor acumulado vuelve a considerarse como cero.

Cuando el valor acumulado supere el valor 8, se considera que el proceso está fuera de control.

Ejemplo gráfico de zonas: Supongamos que trabajamos en una planta de producción de cilindros metálicos. Como estamos interesados en estudiar la variable longitud del cilindro, tomamos 10 muestras diarias, cada una de ellas de tamaño 5. Los datos se guardan en el archivo cilindros.mtw. Seleccionar Stat > Control Charts > Zone :

V - 5


Seleccionar Options > Reset cumulative score after each signal :

Mean

-2 sigma

-1 sigma

+1 sigma

+2 sigma

-3 sigma

+3 sigma

598,888

599,281

599,674

600,066

600,459

600,852

601,244

8

4

2

0

0

2

4

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Subgroup Number

Weights

0 0

2

4

6 8

0

4

6

10

Zone Chart for longitud

Observamos que el valor acumulado del subgrupo 6 es de 8, lo cual significa que el proceso está fuera de control. Nos dicen que el operador reinició la máquina que produce los cilindros a partir del subgrupo 6 a fin de intentar solucionar el problema, reajustando para ello los parámetros de la máquina. Sin embargo, el gráfico de zona detecta que el proceso vuelve a estar fuera de control en el subgrupo 10, esta vez en el lado opuesto de la línea central, por lo que parece que el operador se excedió en el reajuste de los parámetros.

V - 6


GRÁFICOS Z-MR PARA SERIES CORTAS______________________________

Los gráficos de control anteriores presuponen la existencia de un número de observaciones suficientemente grande como para estimar parámetros del proceso tales como µ y σ. Sin embargo, en ocasiones las series producidas no serán lo suficientemente largas como para que tales estimaciones sean fiables.

Así, por ejemplo, podríamos usar una misma máquina para producir distintos productos, cada uno de

ellos con una media y una desviación estándar diferentes, y producidos en cantidades insuficientes como para que tales parámetros sean estimables de forma fiable con las técnicas ya vistas. En tales casos, resulta necesario a recurrir a gráficos para series cortas como el Z-MR, el cual utiliza las distintas series cortas para generar gráficos de control estandarizados de observaciones individuales (Z) y rangos móviles (MR).

La idea básica es la siguiente: supongamos que cada producto generado en un proceso tiene su propia

media y desviación estándar. Si resulta posible estimar tales parámetros, podremos estandarizar los datos restándoles la media y dividiéndolos por la correspondiente desviación estándar. Así, los datos estandarizados provendrán de una población con media µ = 0 y desviación típica σ = 1. Ahora, podremos usar un único gráfico de control para tales datos estandarizados.

Un gráfico Z-MR es un diagrama de observaciones individuales estandarizadas (Z) y de rangos móviles

estandarizados (MR). A partir de la observación conjunta de ambos gráficos es posible analizar simultáneamente tanto el nivel como la variación del proceso.

Ejemplo gráfico Z-MR: Supongamos que trabajamos en una planta de producción de papel, con la característica de que el proceso productivo genera series cortas. Sabemos además, que la variación del proceso es proporcional al grosor del papel producido (por lo que usaremos la opción Relative to size a la hora de estimar σ). Producimos tres tipos distintos de papel según el grosor, y disponemos de datos procedentes de 5 series distintas en el archivo papel.mtw : Seleccionar Stat > Control Charts > Z-MR :

V - 7


0

B A B A C

5 10 15Subgroup

Sta

ndar

dize

d Lo

g(da

ta)

X=0,00E+00

3,0SL=3,000

-3,0SL=-3,000

0

1

2

3

4

Mov

ing

Ran

ge

R=1,128

3,0SL=3,686

-3,0SL=0,00E+00

Z-MR Chart

V - 8

VI. Capacidad de Procesos

VI - 1

VI. CAPACIDAD DE PROCESOS

INTRODUCCIÓN____________________________________________________

Una vez hayamos comprobado que el proceso está bajo control, estaremos interesados en saber si es un

proceso capaz, es decir, si cumple con las especificaciones técnicas deseadas. Para determinar si un proceso es o no capaz haremos uso de herramientas gráficas (histogramas, gráficos

de control, y gráficos de probabilidad). También utilizaremos los llamados índices de capacidad, que vendrán determinados por los cocientes entre la variación natural del proceso y el nivel de variación especificada. En principio, para que un proceso sea considerado capaz, su variación actual no debería representar más del 75% de la variación permitida.

El programa Minitab nos permite realizar análisis de capacidad basados en la distribución normal o en

la distribución Weibull. La opción basada en el modelo normal nos proporciona un mayor número de estadísticos, si bien para usar esta opción es necesario que los datos originales sigan una distribución aproximadamente normal. Así, por ejemplo, esta opción nos dará estimaciones del número de unidades (o partes) por millón que no cumplen con las especificaciones. Tales estimaciones pueden transformarse en probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones. Es importante recordar que para interpretar correctamente estos estadísticos es necesario que: (1) los datos se han obtenido a partir de un proceso bajo control, y (2) éstos siguen una distribución aproximadamente normal. De forma análoga, también es posible basarnos en el modelo Weibull para calcular las partes por millón que no cumplen con las especificaciones.

Si los datos siguen una distribución notablemente asimétrica, probabilidades basadas en el modelo

normal no serían muy buenos estimadores de las verdaderas probabilidades de producir unidades que no cumplan con las especificaciones. En tal caso, podríamos optar por: (1) usar la transformación de Box-Cox para transformar los datos en otros cuya distribución sea aproximadamente normal, o (2) usar el modelo Weibull.

¿Siguen los datos una distribución

Normal?

Usar transformación

Box-Cox

Usar distribución Normal

Usar distribución Weibull

SI NO


VI - 2

A continuación se presentan en una tabla las distintas opciones que ofrece el programa:

OPCIÓN

DESCRIPCIÓN

Análisis de Capacidad Normal

Dibuja un histograma de capacidad de las observaciones individuales superpuesto a una curva normal basada en la media y desviación estándar del proceso (lo cual permite visualizar el supuesto de normalidad). También incluye una tabla con índices de capacidad, tanto estadísticos a corto plazo como a largo plazo.

Análisis de Capacidad Weibull

Dibuja un histograma de capacidad de las observaciones individuales superpuesto a una curva Weibull basada en la forma y escala del proceso (lo cual permite visualizar el supuesto de que los datos siguen una Weibull). También incluye una tabla con índices de capacidad, todos ellos estadísticos a largo plazo.

Resumen (sixpack) de Capacidad Normal

Combina los siguientes gráficos junto a diversos índices da capacidad:

• X-barra (o Individuales), R (o MR), y gráfico de rachas, a partir de los cuales podemos estudiar si el proceso está o no bajo control

• Un histograma de capacidad superpuesto a una curva normal, a partir del cual podemos analizar si se cumple la hipótesis de normalidad

• Un gráfico de capacidad, el cual muestra la variabilidad del proceso comparándola con las especificaciones

Resumen (sixpack) de Capacidad Weibull

Combina los siguientes gráficos junto a diversos índices da capacidad:

• X-barra (o Individuales), R (o MR), y gráfico de rachas, a partir de los cuales podemos estudiar si el proceso está o no bajo control

• Un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull, a partir del cual podemos analizar si se cumple la hipótesis de que los datos siguen dicha distribución

• Un gráfico de capacidad, el cual muestra la variabilidad del proceso comparándola con las especificaciones

Los análisis basados en el modelo normal calculan tanto la variación a corto plazo como la variación a largo plazo, mientras que los basados en el modelo Weibull sólo calculan la variación a largo plazo. Los estadísticos o índices de capacidad asociados a la variación a corto plazo son Cp, Cpk, CPU, y CPL; por otro lado, los índices de capacidad asociados a la variación a largo plazo son Pp, Ppk, PPU, y PPL.

Así, para calcular los estadísticos Cp, Cpk, CPU, y CPL, se estima la variación (a corto plazo) a partir de

la variación dentro de los subgrupos, pero no se consideran las diferencias entre los distintos subgrupos. Por tal motivo, estos índices representan la capacidad potencial, i.e., estiman la capacidad del proceso bajo la hipótesis de que no existen diferencias entre las medias de los subgrupos.

Por su parte, los estadísticos Pp, Ppk, PPU, y PPL estiman la capacidad global o a largo plazo del

proceso. Al calcular tales estadísticos, se estima la variabilidad a largo plazo considerando para ello todo tipo de variación, tanto la que se produce dentro de los subgrupos como la que se produce entre ellos.

La capacidad global o a largo plazo nos dice cómo se está comportando el proceso respecto a las

especificaciones prefijadas. La capacidad potencial o a corto plazo nos dice cómo se comportaría el proceso si consiguiésemos eliminar la variabilidad entre los distintos subgrupos. La existencia de diferencias entre ambas capacidades nos indica la oportunidad de mejorar del proceso respecto a su estado actual.


VI - 3

ANÁLISIS DE CAPACIDAD (MODELO NORMAL)_________________________

Usaremos el análisis de capacidad con el modelo normal cuando los datos provengan de una distribución aproximadamente normal. El informe que genera el programa incluye un histograma de capacidad con una curva normal superpuesta, y una tabla completa de índices de capacidad a corto y largo plazo. La curva normal se obtiene usando la media y desviación típica muestral.

El informe también incluye otros estadísticos de los datos del proceso, tales como la media, el valor

esperado a priori u objetivo (en caso de haberlo indicado), la tolerancia natural del proceso, las desviaciones estándar a corto y largo plazo, las especificaciones del proceso, el comportamiento observado, y los comportamientos esperados a corto y largo plazo. De esta forma, el informe permite analizar de forma visual si los datos siguen o no un patrón normal, si el proceso está o no centrado en el objetivo, y si el proceso es capaz o no (es decir, si cumple con las especificaciones prestablecidas).

Los índices de capacidad son estimaciones numéricas de la capacidad del proceso, es decir, nos dan una

idea de cuán capaz es el proceso (a qué nivel cumple con las especificaciones). Estos estadísticos son muy útiles ya que, aparte de ser sencillos de calcular, no tienen unidades de medida, por lo que permiten comparar distintos procesos. Básicamente, son el cociente entre la amplitud tolerable del proceso (la distancia entre los límites de tolerancia o límites de especificación), y la amplitud real o natural del proceso (recordemos que, habitualmente, la distancia entre los límites de control es de 6 sigma). Algunos de estos estadísticos se definen a partir de la media del proceso o del objetivo.

Los índices de capacidad asociados con la variación a corto plazo son Cp, Cpk, CPU, y CPL; por otro

lado, los asociados con la variación a largo plazo son Pp, Ppk, PPU, y PPL. En la práctica, se suele considerar que 1,33 es el valor mínimo aceptable para un índice de capacidad (es decir, cualquier valor por debajo de esta cifra indicaría que, aunque esté bajo control estadístico, el proceso no cumple con las especificaciones deseadas).

A continuación se muestran algunas referencias sobre cuándo usar cada uno de los índices:

ÍNDICE

USO DEFINICIÓN FORMULA

Cp o Pp

El proceso está centrado en los límites de especificación

Es el radio entre la amplitud permitida (distancia entre los límites de especificación) y la amplitud natural

(LES – LEI) / 6σ

Cpk o Ppk

El proceso no está centrado en los límites de especificación, pero está contenido en ellos

Es el cociente entre la amplitud permitida y la amplitud natural, teniendo en cuenta la media del proceso respecto al punto medio de ambas límites de especificación

Min{ (LES - µ)/3σ , (µ - LEI)/3σ }

CPU o PPU

El proceso sólo tiene un límite de especificación superior

(LES - µ) / 3σ

CPL o PPL

El proceso sólo tiene un límite de especificación inferior

(µ - LEI) / 3σ


VI - 4

Ejemplo (análisis de capacidad normal): Supongamos que trabajamos para la industria del automóvil, concretamente en el departamento de ensamblaje de motores. Una de las partes del motor debe tener una longitud de 600±2 mm para satisfacer las especificaciones técnicas. Hemos tenido un problema con algunas de estas partes, las cuales no cumplían las citadas especificaciones. Tales partes pueden provenir de dos suministradores distintos y externos a la empresa. Tras realizar un gráfico de control X-barra/R, observamos que las partes obtenidas del suministrador 2 provenían de un proceso que estaba fuera de control, por lo que optamos por prescindir de sus servicios hasta que su producción vuelva a estar bajo control. Una vez parada la adquisición de partes provenientes del suministrador 2, observamos que el número de defectos en la línea de ensamblaje ha descendido significativamente, aunque los problemas no han desaparecido por completo. Decidimos pues realizar un análisis de capacidad para estudiar si el suministrador 1 es capaz, él sólo, de cumplir con nuestras especificaciones técnicas. Los datos sobre el tamaño de las partes provenientes de este suministrador se guardan en el archivo partes.mtw .

Seleccionar Stat > Quality Tools > Capability Analysis (Normal):


VI - 5

Para poder interpretar correctamente los índices de capacidad obtenidos necesitamos verificar primero que nuestros datos provienen de una distribución aproximadamente normal, lo cual parece cumplirse a raíz del histograma anterior. Podemos ver, sin embargo, que la media del proceso es algo inferior al objetivo, y que la cola izquierda de la distribución cae fuera del límite de especificación inferior (LSL en el gráfico). Esto significa que veremos ocasionalmente algunas partes que no cumplen la especificación inferior de 598 mm. El índice Cpk nos sirve para determinar si el proceso generará unidades que verifiquen las especificaciones. En este caso, el Cpk para el suministrador 1 es de sólo 0,90. Ello significa que nuestro suministrador debe mejorar su proceso vía una reducción de la variación y un mejor ajustado al objetivo. De forma similar, el valor de PPM < LSL (i.e., el número esperado de partes por millón cuya longitud será inferior al LEI) es de 3621,06.

598 599 600 601 602

LSL USL

Process Capability Analysis for Sumin_1

USLTargetLSLMeanSample NStDev (ST)StDev (LT)

CpCPUCPLCpkCpm

PpPPUPPLPpk

PPM < LSLPPM > USLPPM Total



602,000600,000598,000599,548

1000,5764290,620865

1,161,420,900,900,87

1,071,320,830,83

10000,00 0,00

10000,00

3621,06 10,51

3631,57

6328,16 39,19

6367,35

Process Data

Potential (ST) Capability

Overall (LT) Capability Observed Performance Expected ST Performance Expected LT Performance

STLT


VI - 6

Ejemplo (análisis de capacidad usando Box-Cox): Supongamos que trabajamos en una fábrica que produce baldosas para el suelo, y que estamos interesados en estudiar la curvatura de las mismas a fin de garantizar la calidad de la producción. A tal efecto, medimos la curvatura de 10 muestras diarias durante un período total de 10 días. Los datos están contenidos en el archivo baldosas.mtw . En primer lugar, realizaremos un histograma de los datos: Seleccionar Graph > Histogram :

El histograma anterior muestra claramente que los datos no se distribuyen normalmente, por lo que optaremos por usar una transformación de Box-Cox a fin de obtener datos cuya distribución se aproxime a la de una normal.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

5

10

15

Curvatura

Freq

uenc

y


VI - 7

En primer lugar, deberemos hallar el valor de λ óptimo para realizar la transformación. Después, realizaremos el análisis de capacidad eligiendo la opción transformación Box-Cox con el λ obtenido: Seleccionar Stat > Control Charts > Box-Cox Transformation :

Observamos que el mejor estimador para λ es 0,449. A efectos prácticos, podríamos tomar λ = 0,5 ya que esta transformación (la raíz cuadrada) es mucho más intuitiva y además está dentro del intervalo de confianza del 95% (denotado por las líneas rojas verticales). Por tanto, realizaremos ahora un análisis de capacidad usando una transformación de Box-Cox con λ = 0,5:

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

0

10

20

30

4095% Conf idence Interv al

StD

ev

Lambda

Last Iteration Info

Lambda StDev

0,392

0,449

0,506

1,608

1,608

1,611

Low

Est

Up

Box-Cox Plot for Curvatura


VI - 8

Seleccionar Stat > Quality Tools > Capability Analysis (Normal) :

Como se puede apreciar en el histograma central, la transformación utilizada ha logrado “normalizar” los datos. Por tanto, los índices de capacidad obtenidos serán válidos. Dado que sólo introdujimos el límite de especificación superior, los índices que aparecen son el CPU y el Cpk. Ambos estadísticos valen 0,76, valor muy inferior a nuestro valor de referencia de 1,33. Por tanto, nuestro proceso no parece ser capaz. De hecho, también es posible apreciar en el histograma que algunos de los datos caen fuera del límite de especificación superior (línea roja vertical). El siguiente paso sería realizar un análisis de capacidad para estos datos usando un modelo Weibull.

3,53,02,52,01,51,00,50,0

USL*USL*

Process Capability Analysis for CurvaturaBox-Cox Transformation, With Lambda = 0,5

PPM TotalPPM > USLPPM < LSL



PpkPPLPPUPp

CpmCpkCPLCPUCp

StDev* (LT)StDev (LT)StDev* (ST)StDev (ST)Sample NMean*MeanLSL*LSLTargetUSL*USL

12754,2612754,26

*

11248,7711248,77

*

20000,0020000,00

*

0,74 *

0,74 *

*0,76

*0,76

*

0,539341,790480,527941,75687

1001,623742,92307

* * *

2,828438,00000

Expected LT PerformanceExpected ST PerformanceObserved PerformanceOverall (LT) Capability

Potential (ST) Capability

Process DataSTLT


VI - 9

ANÁLISIS DE CAPACIDAD (MODELO WEIBULL)_________________________

Conviene recordar en este punto que la distribución de Weibull es, en realidad, toda una familia de distribuciones que incluyen, como casos particulares, la distribución Exponencial y la de Rayleigh. Sus parámetros son la forma (β) y la escala (δ).

La apariencia de la curva Weibull varía notablemente en función del valor de β. Así por ejemplo, para

β=1 tenemos una distribución Exponencial, mientras que para β=2 estamos ante una distribución de Rayleigh:

Probability Density Functiony=weibull(x;1;1;0)

0,000

0,325

0,650

0,975

1,300

0,498 0,995 1,493 1,990

Probability Density Functiony=expon(x;1)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

0,748 1,495 2,243 2,990

Probability Density Functiony=weibull(x;1;2;0)

0,000

0,325

0,650

0,975

1,300

0,498 0,995 1,493 1,990

Probability Density Functiony=rayleigh(x;1)

0,00

0,35

0,70

1,05

1,40

0,00 1,25 2,50 3,75 5,00

Como ya dijimos en la introducción, usaremos el análisis de capacidad modelo Weibull cuando los datos

sigan una distribución que se pueda aproximar por una Weibull. El informe que se genera incluye un histograma de capacidad superpuesto a una curva Weibull (cuyos parámetros se estiman a partir de las observaciones), junto con una tabla de índices de capacidad a largo plazo.

También se incluyen en el informe otros estadísticos asociados al proceso, tales como la media, los

parámetros de la distribución (forma y escala), el objetivo (si se ha especificado), la tolerancia natural o real del proceso, los límites de especificación, la capacidad real a largo plazo, etc.

De esta forma, el informe permite determinar de forma visual el comportamiento del proceso respecto al

objetivo, analizar si los datos siguen una distribución Weibull, y estudiar la capacidad o no del proceso. En el modelo Weibull, el programa calcula los índices de capacidad a largo plazo, i.e., Pp, Ppk, PPU, y

PPL. Dichos cálculos se basan en estimadores de máxima verosimilitud para los parámetros de la distribución Weibull. En caso de estar interesados en calcular índices a corto plazo (como el Cp y el Cpk) para datos no normales, deberemos usar el modelo normal aplicando antes una transformación de Box-Cox.


VI - 10

Ejemplo (análisis de capacidad Weibull): Volveremos a nuestro ejemplo anterior de las baldosas (baldosas.mtw) para realizar ahora un análisis de capacidad basado en el modelo Weibull. Seleccionar Stat > Quality Tools > Capability Analysis (Weibull) :

En primer lugar, observamos que el histograma de capacidad parece confirmar que los datos se pueden aproximar bastante bien por una Weibull. De todas formas, se aprecia que la cola derecha de la distribución cae fuera del límite de especificación superior. Ello significa que hay baldosas cuya curvatura supera el valor especificado de 8 mm. Los índices Ppk y PPU nos ayudan a determinar si el proceso es o no capaz. Ambos índices valen 0,77, valor que queda bastante por debajo de nuestro valor de referencia 1,33. Parece pues que el proceso no es capaz (no cumple las especificaciones técnicas deseadas). De igual forma, el valor de PPM > USL es de 20.000, lo que significa que en cada millón de baldosas producidas, 20.000 de ellas no cumplirán con las especificaciones sobre la curvatura.

0 2 4 6 8 10

USLUSL

Process Capability Analysis for CurvaturaCalculations Based on Weibull Distribution Model

USLTargetLSLMeanSample NShapeScale

PpPPUPPLPpk



8,00000 * *

2,92564100

1,693683,27812

*0,77

*0,77

*20000,0020000,00

*10764,5310764,53

Process Data

Ov erall (LT) Capability

Observ ed LT Perf ormance

Expected LT Perf ormance


VI - 11

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD NORMAL________________________

Usaremos esta opción cuando queramos generar un informe rápido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz. Este informe incluye las siguientes partes: • Un gráfico de control X-barra (o Individuales) • Un gráfico de control R (o MR) • Un gráfico de rachas de los últimos 25 subgrupos (o datos individuales) • Un histograma de las observaciones • Un gráfico de probabilidad Normal • Un gráfico de capacidad del proceso • Índices de capacidad a corto plazo (Cp, Cpk), y a largo plazo (Pp, Ppk)

Los gráficos X-barra y R, junto con el de rachas nos permitirán determinar si el proceso está o no bajo control estadístico. El histograma y el gráfico de probabilidad normal nos permitirán verificar el supuesto de que los datos se distribuyen según una Normal. Finalmente, el gráfico de capacidad nos proporciona información visual de la variabilidad del proceso en comparación con la variabilidad permitida. Al combinar toda esta información con los índices de capacidad, deberíamos ser capaces de:

(1) determinar si el proceso está bajo control, y (2) si el proceso cumple con las especificaciones técnicas (es capaz).

Ejemplo (sixpack normal): Regresando a nuestro ejemplo de la cadena de ensamblaje para motores (archivo partes.mtw ), veamos cómo podríamos aplicar aquí la opción “sixpack” en el caso de nuestro suministrador 1: Seleccionar Stat > Quality Tools > Capability Sixpack (Normal) :


VI - 12

En ambos gráficos de control (X-barra y R), se observa que los puntos siguen un patrón aleatorio y que en ningún caso éstos exceden los límites de control, por lo que podemos considerar que el proceso productivo de nuestro suministrador 1 está bajo control estadístico. Conviene recordar aquí la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos están relacionados. En este caso no se aprecia ningún tipo de dependencia. Los puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal, en la que no se observan tendencias ni desplazamientos. Ello también contribuye a considerar que el proceso está bajo control y se muestra estable. Para poder interpretar correctamente los índices de capacidad obtenidos, debemos comprobar que se verifica la hipótesis de normalidad. A raíz de lo que muestran tanto el histograma como el gráfico de probabilidad, no parece haber mayor problema en este sentido. Sin embargo, llegados al gráfico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso cae por debajo del límite de especificación inferior. Esto significa que nos encontraremos piezas que no cumplan con la especificación mínima de medir 598 mm. De forma coherente con el gráfico de capacidad, el valor de los índices Cp (1,16) y Cpk (0,90) es inferior a nuestro valor de referencia (1,33), por lo que concluimos que nuestro suministrador 1 necesitará mejorar su proceso de producción para lograr que éste sea capaz.

20100

600,5

600,0

599,5

599,0

Xbar and R Chart

Subgr

Mea

ns X=599,5

3,0SL=600,3

-3,0SL=598,8

3

2

1

0

Ran

ges

R=1,341

3,0SL=2,835

-3,0SL=0,00E+00

20100

Last 20 Subgroups601

600

599

598

Subgroup Number

Valu

es

602598

Potential (ST)StDev: 0,576429Cp: 1,16Cpk: 0,90

Overall (LT)StDev: 0,620865Pp: 1,07Ppk: 0,83

Capability PlotProcess Tolerance

Specifications

IIIIII

III

STLT

601,0599,5598,0

Normal Prob Plot

601,0599,5598,0

Capability Histogram

Process Capability Sixpack for Sumin_1


VI - 13

Ejemplo (sixpack normal usando Box-Cox): Volvamos ahora al ejemplo de la fábrica de baldosas para el suelo ( baldosas.mtw ). En un análisis anterior ya dedujimos que era oportuno aplicar una transformación Box-Cox a los datos con λ = 0,5. Veamos cómo generar un informe “sixpack” en tales condiciones:

Seleccionar Stat > Quality Tools > Capability Sixpack (Normal) :

109876543210

2,2

1,8

1,4

1,0

Xbar and R Chart

Subgr

Mea

ns X=1,624

3,0SL=2,125

-3,0SL=1,123

3

2

1

0

Ran

ges

R=1,625

3,0SL=2,887

-3,0SL=0,3625

109876543210

Last 10 Subgroups2,9

2,1

1,3

0,5

Subgroup Number

Valu

es

8

Potential (ST)StDev: 0,527940Cp: *Cpk: 0,76

Overall (LT)StDev: 0,539344Pp: *Ppk: 0,74

Capabil ity PlotProcess Tolerance

Specifications

IIIIII

I

STLT

321

Normal Prob Plot

321

Capability Histogram

Process Capability Sixpack for CurvaturaBox-Cox Transformation With Lambda = 0,5


VI - 14

Una vez más, comprobamos que tanto en el gráfico X-barra como en el R los puntos se distribuyen de forma aleatoria y dentro de los límites de control, por lo que el proceso parece estable. Además, no parece existir relación alguna entre el comportamiento de los puntos en un gráfico y el en el otro. Por su parte, la nube de puntos que aparece en el gráfico de rachas parece no seguir ninguna tendencia especial, y su forma horizontal refuerza la idea de un proceso bajo control. A partir del histograma y del gráfico de probabilidad, podemos pensar que los datos (tras la transformación Box-Cox) se distribuyen de forma aproximadamente normal, por lo que los índices que obtengamos serán válidos a la hora de interpretar la capacidad del proceso. Finalmente, constatamos que el proceso no parece cumplir con las especificaciones: en el gráfico de capacidad ya vemos cómo la tolerancia del proceso excede el límite de especificación superior, idea que resulta coherente con el hecho de que los índices de capacidad Cpk y Ppk sean ambos inferiores al valor de referencia 1,33.

RESUMEN (SIXPACK) DE CAPACIDAD WEIBULL________________________

Usaremos esta opción cuando queramos generar un informe rápido y completo que nos permita analizar si un proceso es o no capaz. Este informe es análogo al del modelo normal con los cambios correspondientes: • Un gráfico de probabilidad Weibull • Índices de capacidad a largo plazo (Pp, Ppk)

De forma análoga al modelo normal, los gráficos X-barra y R, junto con el de rachas nos permitirán determinar si el proceso está o no bajo control estadístico. El histograma y el gráfico de probabilidad Weibull nos permitirán verificar el supuesto de que los datos se distribuyen según una Weibull. Finalmente, el gráfico de capacidad nos proporciona información visual de la variabilidad del proceso en comparación con la variabilidad permitida. Al combinar toda esta información con los índices de capacidad, deberíamos ser capaces de determinar si el proceso está bajo control y de confirmar si el proceso cumple con las especificaciones técnicas (es un proceso capaz).

Ejemplo (sixpack Weibull): Continuando con el ejemplo de las baldosas, veamos cómo podríamos aplicar aquí la opción “sixpack” sin recurrir a una transformación Box-Cox:

Seleccionar Stat > Quality Tools > Capability Sixpack (Weibull) :


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En ambos gráficos de control (X-barra y R), se observa que los puntos siguen un patrón aleatorio y que en ningún caso éstos exceden los límites de control, por lo que podemos considerar que el proceso productivo está bajo control estadístico. Conviene recordar aquí la importancia de comparar el comportamiento evolutivo de los puntos en X-barra y R para ver si ambos están relacionados. En este caso no se aprecia ningún tipo de dependencia. Los puntos del diagrama de rachas forman una nube aleatoria y bastante horizontal, en la que no se observan tendencias ni desplazamientos. Ello también contribuye a considerar que el proceso está bajo control y se muestra estable. Para poder interpretar correctamente los índices de capacidad obtenidos, debemos comprobar que se verifica la hipótesis de que los datos se distribuyen siguiendo una Weibull. A raíz de lo que muestran tanto el histograma como el gráfico de probabilidad, no parece haber mayor problema en este sentido. Sin embargo, llegados al gráfico de capacidad observamos que la tolerancia del proceso excede con mucho el límite de especificación superior. Esto significa que nos encontraremos con baldosas que no cumplan con la especificación máxima de 8 mm. De forma coherente con el gráfico de capacidad, el valor del índice Ppk es inferior a nuestro valor de referencia (1,33), por lo que concluimos que nuestro proceso no es capaz.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

Xbar and R Chart

Subgr

Mea

ns X=2,923

3,0SL=4,590

-3,0SL=1,256

0

3

6

9

Ran

ges

R=5,408

3,0SL=9,609

-3,0SL=1,206

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Last 10 Subgroups

0,0

2,5

5,0

7,5

Subgroup Number

Valu

es

8Ppk: 0,77Pp: *Scale: 3,27812Shape: 1,69368

Overall (LT)

Capability PlotProcess Tolerance

Specifications

I I I

I

0,1 1,0 10,0

Weibull Prob Plot

0 4 8

Capabil ity Histogram

Process Capability Sixpack for Curvatura

control estadistico de calidad - uoc1

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