Conversión electromecánica de la energía

Circuitos magnéticos y materiales magnéticos• La mayoría de los trafos y máquinas electricas

utilizan material ferro-magnético para formar y dirigir campos magnéticos.• Estos campos actúan como medio de

transferencia y conversión de la energía.• Los materiales de imán permanente son muy

utilizados. Sin ellos , la mayoría de los dispositivos de conversión electromecánica no serían posibles.

Introducción a los circuitos magnéticos• En los problemas de campos magnéticos, la mayoría de

soluciones que se presentan en la práctica se obtienen desarrollando las ecuaciones de Maxwell. Estas soluciones siempre pueden ser simplificadas.

• En la ecuación establece que la integral lineal de la componente tangencia de la intencidad de campo magnético H alrededor de un contorno cerrado C, es igual al total de la corriente que pasa a través de cualquier superficie S y que une dicho contorno. La fuente de intencidad de campo magnético H es la densidad de corriente J.

• Esta ecuación establece que se conserva la densidad del flujo magnético B. Ningún flujo neto entra o sale de una superficie cerrada.• Se advierte entonces que las cantidades de campo

magnético se pueden determinar solo a partir de valores instantáneos de las fuentes de corriente, junto con variaciones temporales de los campos magnéticos seguidos directamente de las variaciones temporales de las fuentes.• Un circuito magnético es una estructura compuesta e su

mayoría de materiales magnéticos de alta permeabilidad. Este material produce un flujo magnético que se limita a los patrones definidos por la estructura de núcleo, al igual que la corriente se limita a la estructura del circuito eléctrico.

• En la figura tenemos un circuito magnético; se asume que el núcleo está compuesto de material magnético.

• El núcleo está formado por una sección transversal uniforme y se excita por medio de un devanado de N vueltas, que posee una corriente de i amperes y produce un campo magnético en el núcleo.

• El campo magnético puede ser visualizado como líneas de flujo que forman lazos cerrados entrelazados con el devanado.

• N*i es la fuerza magnetomotriz (fmm) F que actúa sobre el circuito magnético.

• La mayoría de las máquinas rotatorias o trafos poseen al menos dos devanados, y N*i debe reemplazarse por la suma algebraica del número de amperes-vuelta de todos los devanados.

• El flujo magnético φ que atraviesa una superficie S, es la integral de la superficie del componente normal de B; de esta forma.

• Donde su unidad es el weber

• Esta ecuación establece que el flujo magnético neto que entra o sale de una superficie cerrada es cero.

• Todo el flujo entrante a una superficie que abarque un volumen, abandonará dicho volumen sobre alguna otra porción de la superficie debido a que las líneas de flujo magnético forman lazos cerrados.

• Esta ecuación se puede reducir a una ecuación escalar simple• Φc=Bc Ac• Φc= flujo en el núcleo• Bc= densidad de flujo en el núcleo• Ac= área de la sección transversal del núcleo

• La relación entre la fmm que actúa sobre un circuito magnético y la intensidad del campo magnético es:

• La relación entre la fmm y la intensidad de campo magnético puede representarse de la siguiente forma:

• Lc= longitud principal del núcleo• Hc= valor promedio H del núcleo.

• La relación entre la intensidad del campo magnético H y la densidad del flujo magnético B es una propiedad del material donde se crea el campo.

• B= μ*H• μ se conoce como la permeabilidad magnética.

• H se mide en amperes por metros• B se mide en webers por metro cuadrado o Teslas T• μ en webers por ampere- vuelta- metro o Henrys por metro• La permeabilidad del espacio libre es de μo=4*pi*10^-7• La permeabilidad de los materiales magnéticos lineales puede

expresarse en términos de μr, con valor relativo a la permeabilidad del espacio libre , o μ= μr* μo

• Los valores de μr están entre 2000 y 80000 para los materiales utilizados en trafos y máquinas rotativas y se asume una constante conocida, aunque en realidad es variable con la densidad de flujo magnético.

• Los dispositivos de conversión de energía que incorporan un elemento en movimiento deben poseer entrehierros en sus circuitos magnéticos como la figura.

• Cuando la longitud del entrehierro o gap g es mucho menor que las dimensiones de las caras adyacentes del núcleo, el flujo magnético 𝛟 seguirá la trayectoria definida por el núcleo y el entrehierro, por lo que es posible utilizar análisis para circuitos magnéticos.

• Si la longitud del gap llega a ser excesivamente grande, el flujo se dispersará en los costados del gap y las técnicas de análisis de circuitos magnéticos no serán estrictamente aplicables.

• Con gap pequeño, el circuito puede analizarse como dos componentes en serie: un núcleo magnético de permeabilidad μ, sección transversal de área Ac, longitud media lc y un entrehierro o gap de permeabilidad μo, sección transversal de área Ag y longitud g.

• Se asume entonces que en el núcleo la densidad de flujo es uniforme:

• Y en el entrehierro

• Donde φ= flujo en el circuito magnético.

• Aplicando la ecuación anterior

• Se establece que

• Y al utilizar la relación lineal de la ecuación B= μ*H se obtiene

• Si reemplazamos y en la ecuación tenemos

• Los términos que multiplican al flujo en la ecuación se conocen como reluctancia R del núcleo y el entrehierro respectivamente

• Por lo tanto• Por último se reescribe la ecuación

• En general para cualquier circuito magnético con reluctancia total Rtot, el flujo se calcula como:

• El término que multiplica a la fmm se conoce como permanencia, y es el inverso de la reluctancia. La permanencia total de un circuito es

• Ptot=1/Rtot

• Se puede entonces realizar una analogía entre circuitos magnéticos y eléctricos

• La fmm F es análoga al voltaje• El flujo 𝛟 es análogo a la corriente• Las reluctancias son análogos a las resistencias.

• La alta permeabilidad del material puede resultar en una baja de reluctancia en el núcleo, la cual es posible reducir más que la reluctancia del entrehierro; por ejemplo, para

• (μAc/lc) ≫(μAc/g), Rc≪Rg, por lo tanto Rtot≃Rg• En este caso, se puede ignorar la reluctancia del núcleo y el

flujo, por lo tanto B puede ser calculada de la ecuación

• Y F de las propiedades particulares del entrehierro

• Los materiales magnéticos prácticos poseen permeabilidad no constantes, pero si esta permeabilidad se mantiene alta, su variación no afectará a de manera significativa el desempeño del circuito magnético.

• En sistemas reales el campo magnético bordea externamente el entrehierro, como la figura. El efecto de estos campos es el incremento del área efectiva de la sección transversal Ag del entrehierro. Pero este efecto se simplifica, haciendo Ag=Ac

´Para completar la analogía entre los circuitos magnéticos y los circuitos eléctricos, es posible generalizar de la siguiente manera

• F es la fmm medida en amper-vueltas totales que actúa para producir el flujo a través del circuito magnético.

• Y Fk=Hklk es la caída fmm a través del elemento k-ésimo del lazo. Como comparación con un circuito eléctrico tenemos

• Donde V es la fuente de voltaje que maneja la corriente alrededor del lazo y Rk*ik es la caída de voltaje a través del elemento k-ésimo resistivo de ese lazo.

• De manera similar, la sumatoria de corrientes en un nodo es =0, así como la sumatoria de flujos en un nodo =0

Ejemplo• El circuito magnético que aparece en la figura posee las

siguientes dimensiones Ac=Ag=9 cm^2, g=0,05 cm , lc=30 cm y N=500 vueltas. Suponga que el valor μr=70.000 para el material del núcleo

• a) calcule reluctancias Rc y Rg. • Para la condición de que el circuito magnético se encuentre

operando con Bc=1.0 T encuentre:• B) el flujo φ • C) la corriente i.

Solución

Problema• Calcule el flujo 𝛟 y la corriente del ejemplo anterior, si • A) el numero de vueltas se duplica a N=1000 vueltas mientras que las dimensiones del circuito son iguales• B) si el número de vueltas es igual a N=500 y el entrehierro se reduce a 0.04 cm• Solución

Ejemplo 2• La estructura magnética de una

máquina sincrónica se muestra esquematicamente en la figura. Suponga que el entrehierro del rotor y del estator presentan permeabilidad infinita, encuentre el flujo del entrehierro 𝛟 y la densidad de flujo Bg. Para este ejemplo considere I=10 A, N=1000 vueltas, g=1cm y Ag=2000 cm^2

Solución• Existen dos entrehierros en serie con longitud total de 2g,, y

que por simetría, la densidad de flujo en cada uno es igual. Dado que en esta ocasión la permeablidad del hierro es infinita, se puede ignorar su reluctancia y utilizar la ecuación

Con g reemplazada pr la longitud total del entrehierro 2g para calcular el flujo

Ejercicio 2• Para la estructura de la figura, con

las dimensiones g=1cm y Ag= 2000 cm^2 se observa que la densidad de flujo en el entrehierro es de Bg=0.9 T. Determine el flujo del entrehierro φ y, para la bobina de N=500 vueltas, calcule la corriente requerida para producir este nivel de flujo de entrehierro.

• Solución• Φ=0.18 wb, e i=28,6 A

Dispersión de flujo, inductancia y energía• El flujo magnético disperso ó de dispersión es el flujo

magnético que no se establece en el interior del circuito magnético del transformador sino que se establece fuera del mismo y genera pérdidas.

• Por lo general, el flujo de dispersión se establece más intensamente en los extremos de los arrollamientos (bobinados). Siempre en el diseño de un transformador eléctrico (ó de cualquier otra máquina eléctrica como por ejemplo un motor) se busca que el flujo de dispersión sea el mínimo posible porque este flujo es directamente "pérdida" de energía transmitida.

• La dispersión de flujo del devanado se define como: λ=N*ϕ y se mide en weber

• EL símbolo ϕ es el valor instantáneo del flujo variante en el tiempo.

• Para un circuito magnético compuesto por material magnético con una permeabilidad magnética constante o que contenga un entrehierro dominante, la relación entre φ e i será lineal y podremos definir la inductancia L como:

• L=λ/i• Sustituyendo las ecuaciones anteriores tenemos• La inductancia del devanado en un circuito magnético es

proporcional al cuadrado de las vueltas e inversamente proporcional a la reluctancia del circuito magnético que se asocia con el devanado.

• Asumiendo que la reluctancia del núcleo se puede ignorar en comparación con el entrehierro, la inductancia del devanado será

• La inductancia se mide en Henrys H o vueltas-weber por amperes y es proporcional al cuadrado de numero de vueltas, a la permeabilidad magnética y el area de la sección transversal, y es inversamente proporcional a la longitud de dicha área.

Ejemplo• El circuito de la figura tiene un devanado con N vueltas sobre

un núcleo magnético de permeabilidad infinita, con dos entrehierros paralelos de longitudes g1 y g2 y áreas A1 y A2 respectivamente. Determinar:

• A) inductancia del devanado• B) densidad B1 en el entrehierro 1 cuando el devanado lleva

una corriente i . ignore los efectos marginales del hierro.

Solución• El circuito equivalente es el que se muestra en la figura, donde

la reluctancia ttal es igual a la combinación paralela de ambas reluctancias del entrehierro.

• A partir de la ecuación de inductancia

• B) Del circuito equivalente, se puede observar que:

• De esta forma:

Ejemplo 2• En el primer ejemplo se asume que la permeabilidad relativa

perteneciente al material del núcleo del circuito magnético que se presenta en la figura será de μr= 70 000 con una densidad de flujo de 1.0 T.

• a) Para este valor de lAr' calcule la inductancia del devanado

• b) En un dispositivo práctico el núcleo se construye normalmente de acero eléctrico tal como M-5. Este material es altamente no lineal, y presenta una permeabilidad relativa (definida para fines de este ejemplo como la razón B/H) que varía desde un valor aproximado de μr = 72 300, a una densidad de flujo de B = 1.0 T hasta un valor de μr = 2 900 con una densidad de flujo incrementada a 1.8 T.

• (i) Calcule la inductancia asumiendo que la permeabilidad relativa del núcleo de acero es 72 300 igual a 2 900.

• (ii) Calcule la inductancia asumiendo que la permeabilidad relativa es 2 900 .

solución• De la ecuación de reluctancia

• mientras que Rg permanece sin cambios a partir del valor calculado en el ejemplo 1.1 de la siguiente forma: Rg = 4.42 X 105 ampere vuelta/Wb. Por lo tanto, la reluctancia total del núcleo y el entrehierro es

• Como consecuencia

• B) A partir de μr = 2900, la reluctancia del núcleo con valor de 3.79 X 10^3 vueltas A/Wb se incrementa hasta alcanzar un valor de

• y como resultado, la reluctancia total con valor de 4.46 x lO^5 A-vueltas/Wb incrementa su valor hasta 5.34 x 10^5 vueltas A/Wh. Por lo tanto, en la ecuación, la inductancia disminuye desde 0.561 H hasta

• Este ejemplo ilustra el efecto de linealización debido a un entrehierro dominante en un circuito magnético. A pesar de una reducción en la permeabilidad del hierro con un factor aproximado de 72 300/ 2900 = 25, la inductancia disminuye sólo un factor de 0.468/0.561 = 0.83 ya que la reluctancia del entrehierro es significativamente mayor que la existente en el núcleo. En diversas circunstancias es común considerar a la inductancia como una constante con un valor limitado, un valor constante de la permeabilidad del núcleo (o en muchos casos se asume simplemente que μr es infinito. Los análisis realizados bajo esta suposición para el inductor, con frecuencia conducirán a resultados de aceptable precisión técnica y evitarán la enorme complicación asociada con la construcción de modelos no lineales del material del núcleo.