Terminal  L         Mathématiques   Devoir  N°1     20/09/2012    Correction  du  N°  104  page  41  transmath  TL  édition  2012    Soit  (Un)  la  suite  définie  par  U0  =  8  et  pour  tout  entier  naturel  n  :    

𝑈!!! = 0,85𝑈! + 1,8  1. On  considère  les  droites  d’équations  respectives  𝑦 = 𝑥  et    𝑦 = 0,85𝑥 + 1,8  

Soit  I  leur  point  d’intersection.  Calcul  des  coordonnées  du  point  I  :  Ses  coordonnées  sont  solution  du  système  :  𝑦 = 𝑥

𝑦 = 0,85𝑥 + 1,8  ⟺𝑦 = 𝑥

𝑥 = 0,85𝑥 + 1,8  ⟺𝑦 = 𝑥

0,15𝑥 = 1,8  ⟺𝑦 = 𝑥

𝑥 =1,80,15

 ⟺ 𝑥 = 12𝑦 = 12    

   

   Les  points  A  et  B  respectivement  sur  les  droites  d’équation  y  =  0,85x  +  1,8    et    y  =  x  se  rapprochent  du  point  I  point  d’intersection  de  ces  deux  droites  ;    Donc  on  peut  conjecturer  que  la  limite  de  la  suite  (𝑈!)  est  l’abscisse  du  point  I  soit  12.    

2. a)  Soit  (Vn)  la  suite  définie  par  Vn  =  Un  –  12    donc  Vn+1  =  Un+1  –  12    or    𝑈!!! = 0,85𝑈! + 1,8  donc    𝑉!!! = 0,85𝑈! + 1,8− 12 = 0,85𝑈! − 10,2  or    𝑉! = 𝑈! − 12  donc    𝑈! = 𝑉! + 12  donc    𝑉!!! = 0,85 𝑉! + 12 − 10,2 = 0,85𝑉! + 10,2− 10,2  donc  𝑉!!! = 0,85𝑉!    b)  Cette  suite  est  une  suite  géométrique  de  raison  0,85  et  de  premier  terme    V0  =  U0-­‐12    donc  V0  =    –  4    et  𝑽𝒏 = −𝟒×𝟎,𝟖𝟓𝒏  et    𝑼𝒏 = 𝟏𝟐− 𝟒×𝟎,𝟖𝟓𝒏    c)  Le  premier  terme  est  négatif,  la  raison  négative  et  est  inférieure  à  1  donc  la  suite  (Vn)  est  croissante  or  𝑈! = 𝑉! + 12  donc  la  suite  (Un)  est  elle  aussi  croissante.    d)  Limite  de  la  suite  (Vn)  lim!→!!

0,85 ! = 0  donc   lim!→!!

−4 0,85 ! = 0  donc   lim!→!!

12− 4 0,85 ! = 12  la  suite  (Un)  a  pour  limite  12,  ce  qui  correspond  à  ce  que  nous  avons  conjecturé  dans  la  question  1.    e)  U8  >  10  or  la  suite  est  croissante  et  a  pour  limite    12  donc  pour  tout  n  >  8    10  <  Un  <  12.    

3. Un  magasine  vendu  par  abonnement,  en  2010  il  y  avait  8000  abonnés  soit  U0  =  8  milliers  d’abonnés.  a)  Chaque  année  15  %  des  abonnées  ne  se  réabonnent  pas  et  1800  personnes  nouvelles  s’abonnent  soit  1,8  milliers  de  personne.    Si  Un  est  le  nombre  de  milliers  de  personnes  abonnées  en  2010+n  alors    𝑈!!! = 𝑈! − 0,15𝑈! + 1,8 = 0,85𝑈! + 1,8.  La    suite  (Un)  de  la  question  1  modélise  donc  le  nombre  de  milliers  d’abonnés  les  années  2010+n.  b)  donc  d’après  la  question  2.b),  en  2020,  n  =  10  donc  on  peut  estimer  le  nombre  d’abonnés  à  𝑈!" = 12− 4×0,85!"  soit  environ  11  milliers  abonnés  et  si  le  modèle  est  exact  on  ne  dépassera  pas  12  milliers  d’abonnés.