Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) Il concetto di onda2) Onde trasversali e longitudinali3) L’equazione delle onde4) La propagazione ondosa5) La soluzione dell’equazione delle onde6) Onde viaggianti e stazionarie7) I suoni: altezza, intensità e timbro8) Effetto Doppler

Parte XXIV: Onde e cenni di acustica

x

y

O d

y

Supponiamo di avere una corda idealmente elastica (e.g. senza attriti interni) chenella sua posizione di riposo si trovi lungo la direzione x di un riferimento.

x

y

O d

Pizzichiamo la corda tirandone un trattino per una altezza y

Si verranno a creare due forze di richiamo diverse ai due lati del trattino sollevato

Ts Td

Il concetto di ondaIl concetto di onda

Se adesso rilasciamo la corda accadrà che la deformazione si sposterà lungo la corda stessa

x

y

O d x

y

O d x

y

O d

Potranno verificarsi molti casi che dipenderanno dal fatto che le estremità dellacorda sono mantenute ferme (e.g. la chitarra, onde stazionarie), oppure una estremitàsi muove (e.g. la frusta, onde viaggianti).

Si noti che in questo moto non c’è affatto trasporto di materia (vedremo che viaggial’energia). Tuttavia la deformazione y, che abbiamo applicato ad un punto dellacorda si propaga lungo la corda stessa. Questo tipo di moto si chiama onda, e in questocaso di movimenti dei trattini perpendicolari alla direzione x si parla di onde trasversali

Durante una propagazione ondosa non c’è trasporto di materia

ConsultareFig. 14-4Fishbane-

Gasiorowicz-Thornton

Può tuttavia accadere che la deformazione iniziale sia obliqua, ovvero che esista unacomponente parallela alla direzione x. Se immaginiamo la corda come un insieme dipiccole molle, a causa della deformazione alcune si allungheranno ed altre sicomprimeranno

Si potranno quindi realizzare delle onde longitudinali, ovvero delle vibrazioni coordinateparallele alla direzione della corda stessa. In tal caso si parla di onde di compressione erarefazione, che sono caratteristiche soprattutto dell’aria (o meglio di un gas) in un tubo

Nel caso generale quindi di perturbazione obliqua rispetto alla direzione della cordasu questa si propagheranno sia onde trasversali che longitudinali

Onde longitudinaliOnde longitudinali

Si deve a D’Alembert l’aver derivato un’equazione che descrive la propagazione diun’onda in un mezzo elastico. Consideriamo una deformazione alta y e lunga x

x

y

Td

d

Ts

s

x y

Scriviamo le equazioni del moto per le direzioni x e y, indicando con m la piccolamassa del trattino x

yssdd

xssdd

masinTsinT

macosTcosT

Ma gli angoli sono piccoli se la deformazione è piccola e dovrà aversi

sin;cos

consd

12

1

12

L’equazione delle ondeL’equazione delle onde

Supponiamo adesso che la massa sia distribuita unifomemente lungo la corda(omogeneità) e limitamoci, al solo scopo di semplificare la trattazione, a consideraresolo onde trasversali, cioè nessun moto lungo x

xm 0xa

dove abbiamo introdotto la densità lineare di massa (massa per unità di lunghezza) .

xaTT

TT

ysd

sd

0

Sostituendo

Tutto ciò fornisce, nel limite di x e y molto piccoli

yaTxx

Ma dalla figura è facile vedere che

x

ytan

x

ytan

Adesso bisogna realizzare che se la corda è deformata in un suo punto di ascissa x,la variabile y assumerà un dato valore che cambierà al cambiare della ascissa. Inoltreal variare del tempo la deformazione y nello stesso punto x assumerà valori diversi.cioè

t,xyy

Tutto ciò significa che possiamo comprendere come un’onda si propaga studiando la ycome funzione delle due variabili indipendenti x e t

Sostituendo

T

vex

y

x

y

xx 2

2

L’equazione delle onde (equazione di D’Alembert omogenea)

01

2

2

22

2

t

y

vx

y

Va notato che la costante v che compare nella equazione ha le dimensioni di unavelocità e come vedremo è la velocità di propagazione dell’onda nel mezzo

Il fatto che l’equazione delle onde sia omogenea implica che una possibile soluzionesia y(x,t)=0 per tutte le x e tutte le t. Noi naturalmente vogliamo cercare le soluzioni non banali, se esistono.

Non è difficile dimostrare che qualunque soluzione dell’equazione delle ondenon può essere una funzione qualunque delle variabili indipendenti x e t, ma deveessere una funzione SOLO dell’argomento x-vt o x+vt

Cioè vtxyt,xy

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

d

ydv

td

ydv

t

y

tt

y

d

yd

xd

yd

x

y

xx

yd

dyv

td

dy

t

y

d

dy

xd

dy

x

y

;vtxt,x;yy

La propagazione ondosaLa propagazione ondosa

Per comprendere che y(x-vt) è un’onda consideriamo la funzione ad un istante fissato t0

e consideriamone il valore in un dato punto x0

y(x,

t)

x

t0

y(x0-vt0)

x0

Se adesso consideriamo un altro punto x1=x0+x, possiamo chiederci se lì la funzionepotrà assumerre lo stesso valore y(x0-vt0) ad un altro istante t1=t0+t.

x1x

t1?

Ciò è possibile se si verifica la seguente condizione

tvxsevtxyvtxy

cui datvvtxxyvtxy

0011

0011

che è sicuramente possibile al variare del tempo!! Quindi:

y(x,

t)

x

t0

t1

x0

y(x0-ct0)

x1x

Quindi funzione y(x,t0) trasla nel verso positivo delle x con velocità v. Una tale onda si chiama progressiva. È altrettanto facile far vedere che y(x+vt) è un’onda regressiva, cioè viaggia lungo la direzione –x.

In sostanza è come per le insegne del Luna park o una scritta che scorre nello schermo diun televisore

La sensazione è che il punto illuminato si sposti, in realtà non si sposta nulla, salvo lacircostanza che il punto è illuminato o no

In realtà, come vedremo, un’onda trasporta energia.

Proviamo a risolvere l’equazione di D’Alembert ponendo che le soluzioni non banali sianofattorizzabili nel prodotto di una funzione della sola x e di una della sola t

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

01

t

thxg

t

y;

x

xgth

x

y

thxgt,xy;t

y

vx

y

Sostituendo e dividendo tutto per g(x)h(t) 0, per ipotesi

2

2

22

2 11

t

th

thvx

xg

xg

Ma siccome il primo membro dipende solo da x ed il secondo solo da t, che sono variabiliindipendenti, entrambi i membri si devono ridurre alla stessa costante che assumiamo –k2.Si ottiene:

kv;hdt

hd;gk

dx

gd 00 2

2

22

2

2

cioè l’equazione del moto armonico semplice, di cui conosciamo possibili soluzioni

La soluzione dell’equazione delle ondeLa soluzione dell’equazione delle onde

Compatibilmente con le condizioni al contorno, le soluzioni possono quindi essere deltipo:

tkxsinYvtxy 0

(sin(kxt) è una combinazione lineare di sinkx, coskx, sint e cost, via formule diaddizione e sottrazione)

La relazione =kv si chiama relazione di dispersione ed introducendo la frequenza fela lunghezza d’onda

vf;k;T

f

21

2

La quantità =kx-t=k(x-vt) è una costante fissati x e t. In particolare per i punti di un pianoperpendicolare alla direzione di propagazione x, è costante. Un tale piano, definito quindicome il luogo dei punti in cui la fase è costante, si chiama fronte d’onda. La circostanzache il fronte d’onda in questo caso sia un piano ci fa chiamare le onde piane.

Notare che per comprendere il significato di propagazione ondosa, noi abbiamo verificatoche i fronti d’onda viaggiano con velocità v. Questa è dunque la velocità di fase dell’onda.

Cambiando le condizioni al contorno cambia il tipo di onda

Onde stazionarie= estremità fisse Onde viaggianti= estremo fisso e vel. iniziale

Onde stazionarie e viaggiantiOnde stazionarie e viaggianti

Consultare figg. 14-5 e 14-6Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

Onde stazionarie in 2D Onde viaggianti in 2D

Consultare figg. 14-7 e 14-8Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

Studiamo il caso di una corda vibrante (una dimensione) ovvero le onde stazionarie

Dal punto di vista matematico si tratta di un problema con condizioni al contorno noncon condizioni iniziali come il moto armonico semplice. Le condizioni al contorno vannofissate in base al fatto che i punti iniziali e finali della corda sono mantenuti fermi atutti i tempi. Cioè

0,

0,0

tdxy

txy

Prendiamo l’equazione differenziale spaziale

tx tHthkxGxgv

khdt

hdgk

dx

gd

thxgtxyt

y

vx

y

sin;sin

;0;0

;,;01

22

22

2

2

2

2

22

2

d

nkkdGdxg

Gxg

n

xx

0sin

00sin0

Il suono e le onde stazionarieIl suono e le onde stazionarie

Quest’ultimo risultato implica che sono soluzione dell’equazione delle onde per questecondizioni al contorno TUTTE quelle funzioni per le quali

nnn

ntnnn

nntnnnnnn

HGYtxksinYvtxy

vktcosHth;xksinGxg

Il fatto che le soluzioni siano tante e sovrapposte dipende dal fatto che l’equazione delleonde è lineare: una combinazione lineare di soluzioni possibili è ancora una soluzionepossibile

Le ampiezze Yn sono in generale decrescenti con il parametro n (0<n<)

Tecnicamente la soluzione per y(x-vt) è una serie (che converge se le Yn decresconoal crescere di n) di Fourier

Quindi sulla corda si stabiliranno TANTE vibrazioni sinusoidali di lunghezza d’onda efrequenza tali che

d

nvvf;

n

d

k nn

nn 2

22

Riassumendo abbiamo visto che l’onda totale sarà la sovrapposizione di tante ondesinusoidali le cui lunghezze d’onda saranno tutte sottomultipli di 2d (il doppio dellalunghezza della corda) e ciascuna di ampiezza diversa

Ciascuna delle onde sinusoidali avrà poi una frequenza che sarà un multiplo dellafrequenza fondamentale

T

dd

vf

2

1

21

Le funzioni (fermini della serie) la cui frequenza è via via crescente e multiplo interodella frequenza fondamentale si chiamano armoniche superiori. Si noti che dipendonosolamente da caratteristiche della corda

Quest’ultima equazione riassume la normale esperienza di chi ha suonato uno strumentoa corda:

1) Accorciando la corda (e.g. pressando con un dito su un tasto della chitarra) l’altezzasuono emesso (la frequenza) aumenta, ovvero il suono diventa più acuto;

2) Aumentando la tensione della corda la frequenza del suono cresce (e.g accordatura)3) Aumentando la densità della corda il suono diventa più grave (e.g. corde più sottili

producono suoni più acuti)

Le formule che abbiamo visto ci spiegano pure perché siamo in grado di riconosceredifferenti strumenti musicali che suonano la stessa nota (ovvero differenti voci checantano la stessa canzone). Questa proprietà si chiama Timbro.

L’altezza della nota suonata corrisponde alla frequenza fondamentale. Se solo questosuono dovesse giungere al nostro orecchio la sensazione sarebbe molto sgradevole comeil suono di un diapason. Insieme all’onda di frequenza fondamentale lo strumento emetteanche tante armoniche superiori, ovvero onde di tutte le frequenze multiple di quellafondamentale. La differenza fra due strumenti differenti è che le ampiezze Yn di questesono differenti per ciascun n. Il nostro orecchio è in grado di apprezzare le differenze fraqueste differenti serie (ne fa a nostra insaputa l’analisi di Fourier). Per questo sappiamodistinguere il suono di un pianoforte da quello di un clarinetto, e c’è chi sa distinguerese un determinato pezzo per violino è eseguito usando uno Stradivari o un Guarneri

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20

An=1/n

=2d,n=1

=d,n=2

=2d/3,n=3

=d/2,n=4

Ansi

n(2

x/

n)

xnodi ventri

Onde su una corda vibranteOnde su una corda vibrante

x

y

O d

dxdydxl 22

dy

dx

Calcoliamo l’energia connessa con una deformazione

L’energia cinetica sarà

lTdU L’energia potenziale sarà

dxdt

dydK

2

2

1

L’intensità di un’onda ed il trasporto di energiaL’intensità di un’onda ed il trasporto di energia

Le deformazioni sono piccole quindi possiamo cercare di semplificarel

dxdx

dyl

dx

dy

dx

dydx

dx

dydxdydxl

2

22222

2

1

2

11111

L’energia totale per unità di lunghezza allora diventa

22

2

1

2

1

dx

dyT

dt

dy

dx

dU

dx

dK

dx

dE

Per un’onda sinusoidale noi sappiamo che:

22

222

v

TTk;

Tv;tkxsinYt,xy

Sostituendo

tkxcosYdx

dE

tkxcosTkYdx

dE

tkxcoskYTtkxcosYdx

dE

222

2222

22

2

12

1

2

1

È interessante notare che in questo caso la densità di energia cinetica e potenzialesono uguali e pari a

dx

dUtkxcosTkYtkxcosY

dx

dK 222222

2

1

2

1

Si noti anche che l’energia si propaga come un’onda: è infatti funzione dell’argomentokx-t=k(x-vt). Ciò significa che l’energia che abbiamo ceduto all’inizio della cordaviaggierà lungo tale mezzo elastico ideale (non ci sono attriti e dissipazioni) e raggiungeràl’altra estremità (onde viaggianti)

Si noti che si è usato il simbolo di derivata totale e non parziale a proposito delladensità di energia totale, cinetica e potenziale. Ciò perché deve essere per un’onda

vdtdx

Ciò ci consente di calcolare facilmente la potenza istantanea trasportata dall’onda

tkxcosYvdx

dEv

dt

dEP 222

Possiamo ora calcolare quanta energia trasporta l’onda al secondo attraverso unasuperficie unitaria (1 m2) perpendicolare alla direzione di propagazione. Tale grandezzasi chiama l’intensità dell’onda (corrisponde al volume del suono)

Consideriamo una superficie di area unitaria perpendicolare alla direzione dipropagazione, il fronte d’onda percorrerà in 1 sec. un tratto lungo v metri. Nel volumeV=1 x v, sarà dunque fluita una quantità di energia pari a vP

x

v

1m2

In realtà ci interessa la media temporale (in un periodo) di tale quantità

tkxcosdtYvtkxcosYvdtT

ITT

2

0

2222222

0 2

1

Integrali come questo sono molto ricorrenti in fisica. Si esegue con un cambio di variabile

22

0

222

22

222

2

0

232

222

2

0

cosdYv

cosdYv

kxtcosdtYv

I

kxTTt

kxt

ddtkxt

kx

kx

T

Si ha:

2

0

22

0

22

0

2

0

22

2

0

22

0

2

0

20

2

2 dcosdsinddsincos

dsindsinsincossindcos

Abbiamo quindi:

222

2

1YvI

Un’onda è tanto più intensa quanto più è elevata la sua frequenza, quanto più ègrande la sua ampiezza, quanto più è grande la velocità di propagazione nel mezzo,quanto è più grande la sua densità di massa (corda più grossa)

Cosa udiamo quando una motocicletta accelera, si avvicina e ci supera?

Sentiamo il suono cambiare, ovvero crescere in altezza, non solo in volume, poi decrescere

Questo è l’Effetto Doppler e ci proponiamo di comprendere perché e come avviene

Se una sorgente è in moto i fronti d’onda si addensano nella direzione e verso del motostesso e si diradano nel verso opposto

Effetto DopplerEffetto Doppler

Consultare fig. 14-18Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

In tal caso la frequenza con cui l’osservatore registra l’arrivo dei fronti d’ondacrescerà (o diminuirà)

Se la velocità della sorgente è vs in un periodo T0 la sorgente percorrerà una distanza

00 f

vTv s

s

Questa è proprio la diminuizione (aumento) di lunghezza d’onda che percepisce unosservatore che vede la sorgente avvicinarsi (allontanarsi). Cioè:

000 f

v

f

vv

f

v ss

Si avrà per la frequenza:

vvsev

vf

v

vf

vv

vf

vf s

s

ss

1

1

1000

Un caso del tutto analogo, che sulla base del principio di relatività di Galilei deve condurreassolutamente allo stesso risultato è quello di una sorgente ferma e di un osservatoreche si avvicina (allontana) alla sorgente

In tal caso, per il teorema di addizione delle velocitàdeve essere

ovvv

Cioè le cose dovrebbero andare come se il suonoviaggiasse più veloce (osservatore che si avvicina)o più lento (osservatore che si allontana)

Si ha:

v

vff

v

vf

vf

vvvf oooo 10000

Consultare Fig. 14-19Fishbane-Gasiorowicz-

Thornton

Si noti che i risultati ottenuti sono identici, ma apparentemente lo sono solo perchè

vvs

Quindi per velocità di sorgenti vicine alla velocità del suono nell’aria (340 m/sec) sidovrebbero apprezzare differenze nei due casi (sorgente in moto e osservatore fermo,o viceversa). Questo negherebbe il principio di relatività di Galilei, pertanto ci deveessere, ben nascosto, un errore nei calcoli che abbiamo fatto.

In realtà l’errore sta nel fatto che le trasformazioni di Galilei, da cui discende direttamenteil teorema di addizione delle velocità, sono errate. Le trasformazioni esatte sono quelle diLorentz, che si riducono alle trasformazioni di Galilei esattamente nel caso in cui lavelocità relativa vr di sorgente e osservatore sono piccole rispetto alla velocità delle onde

Una trattazione corretta, molto al di là degli scopi di questo corso conduce a dimostrareche la seguente formula vale sempre:

v

vff

r1

10

Supponiamo che la sorgente viaggi più velocemente del suono. In tal caso i fronti d’ondarestano indietro rispetto alla sorgente

L’inviluppo delle ondesferiche emessa dallasorgente costituisceun cono: il cono di Mach

Si ha

ss

ss

v

v

ttv

ttvcos

v

v

tv

vtcos

12

121

2

20

Onde d’urtoOnde d’urto

Consultare fig. 14-22Fishbane-Gasiorowicz-Thornton

La superficie conica si muoverà con la velocità della sorgente e sarà anch’essa un’onda.Va sotto il nome di onda d’urto

Il rapporto vs/v va sotto il nome di numero di Mach eserve a classificare le velocità dei mezzi supersonici

Consultare fig. 14-23Fishbane-

Gasiorowicz-Thornton