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Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni

2 – TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATIProf Giovanni Schembra

1

Prof. Giovanni Schembra

Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra 2 – Teoria dei segnali determinati

Struttura della lezione

Proprietà dei segnali nel dominio del tempo ( )Proprietà dei segnali nel dominio del tempo ( )Valore medio, potenza, energia, autocorrelazione

Proprietà dei segnali nel dominio della frequenza ( )Spettro, banda, densità spettrale di energia e di potenza

Convoluzione di segnali ( )Serie di Fourier ( )Segnali periodici ( )

2

Spettro, densità spettrale di potenza e funzione di autocorrelazione, potenza

Sistemi lineari e distorsione ( )Campionamento di un segnale e ricostruzione per interpolazione ( )

2


PROPRIETÀ DEI SEGNALI NEL DOMINIO DEL TEMPO

3


Operatore media temporaleDefinizione:

( ) ( )dttwT

twT

TT ∫−∞→=

2

2

1lim

Linearità: )()()()( 22112211 twatwatwatwa +=+

Valore medio temporale (o componente continua):

4

( ) ( )dttwT

twWWT

TTdcm ∫−∞→=≡=

2

2

1lim

per una forma d’onda fisicamente realizzabile, il valore medio si può anche valutare su un intervallo [t1,t2]

dttwtt

Wt

tm )(1 2

112∫−

=

3


Segnali periodici

Definizione:Definizione:un segnale w(t) è periodico con periodo T0 se:

dove T0 è il più piccolo numero positivo che soddisfa la suddetta relazione

)()( 0Ttwtw +=

Valore medio temporale per un segnale

5

Valore medio temporale per un segnale periodico:

( )( )

( ) ( )dttwT

twWaT

aTm ∫+

+−==

2

20

0

0

1 arbitraria reale costante :a


Potenza

Dalla fisica:Dalla fisica:Potenza: lavoro nell’unità di tempoTensione: lavoro per unità di caricaCorrente: carica per unità di tempo

Potenza in un circuito elettrico:

)()()( tittPotenza istantanea associata ad un circuito

)(tv)(ti

6

)()()( titvtp ⋅=

Potenza media

)()()( titvtpP ⋅==

4


Valore efficace e potenza normalizzata

Valore efficace (r m s)Valore efficace (r m s)2)(twWeff =

Potenza media su un carico resistivo RSe un carico è resistivo, la potenza media è:

effeffeffeff IVRIR

VRti

Rtv

P ===== 22

22

)()(

7

RR

Potenza media normalizzatadttw

TtwP

T

TT

22

2

2 )(1lim)( ∫−→∞==

Ω=1Rcalcolata per

Potenza di picco { })()(maxpicco titvP ⋅=


Esempio 2-1

8

60

5


Esempio 2-1

9

Frequenza doppia rispetto a tensione e corrente


Esempio 2-1

10

VIPpicco = VIPmedia 21

=

6


Segnali a energia finita e a potenza finita

Energia normalizzata totale Potenza media normalizzataEnergia normalizzata totaledttwE

T

TT

22

2)(lim ∫−∞→

=

Definizione: segnale a potenza finitase e solo se la potenza normalizzata media è finita e non nulla

∞<< P0

D fi i i l i fi it

dttwT

twPT

TT

22

2

2 )(1lim)( ∫−∞→==

11

Definizione: segnale a energia finitase e solo se l’energia normalizzata è finita e non nulla

∞<< E0Nota:

un segnale può appartenere ad una sola classe:

∞=⇒ EP finita 0 finita =⇒ PE


PROPRIETÀ DEI SEGNALI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

12

7


Trasformata di Fourier e spettri di un segnale

Obiettivo:Obiettivo:la definizione di frequenza per un segnale sinusoidale è immediata (l’inverso del periodo)vogliamo ora determinare il contenuto frequenziale per un generico segnale

Definizione: trasformata di Fourier

13

detta anche spettro bilatero di w(t)

{ } dtetwtwfW ftj π2)()()( −+∞

∞−∫=ℑ=

f è il parametro frequenza, espresso in Hertz (Hz=1/s)


Espressioni per la TF e antitrasformata di Fourier

Forma rettangolare Forma polare )()()( fjefWfW θ=Forma rettangolare

)()()( fYjfXfW +=

Forma polare )()( efWfW =

dove:)()()( 22 fYfXfW +=

SPETTRO di

( )

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

<=−

>=

<+

>

=

0)(e0)(pervalorequalunque

0)( e 0)(per 2

0)( e 0)(per 2

0)(per )()(arctan

0)(per )()(arctan

)(

fYfX

fYfX

fYfX

fXfXfY

fXfXfY

f

π

π

π

θ

14

AMPIEZZA ⎩ 0)( e 0)(per valorequalunque fYfX

SPETTRO di FASE

Antitrasformata di FourierdfefWtw ftj π2)()( ∫

+∞

∞−=

)()( fWtw ↔

8


Esempio di calcolo della TF: spettro di un impulso esponenziale

15


Esempio 2-2: spettro di un impulso esponenziale

16

9


Proprietà delle trasformate di Fourier

Simmetria Hermitiana dei segnali realiSimmetria Hermitiana dei segnali reali

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=−

=−⇒

)()( cioè DISPARI è )()()( cioè PARI è )(

)()(REALE è )( se

*

ffffWfWfW

fWfWtw

WWW θθθ

PARIREALEè)(PARIREALEè)( fW

17

PARIeREALEè)(PARIeREALE è )( se fWtw ⇒

DISPARI ePURA A IMMAGINARI è )(DISPARI e REALE è )( se fWtw ⇒


Teorema di Parseval

Teorema di ParsevalTeorema di Parseval

dffWfWdttwtw )()()()( *21

*21 ⋅=⋅ ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

DIMOSTRAZIONE

=⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⋅ ∫∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−dttwdfefWdttwtw ftj )()()()( *

22

1*21

π

=⋅= ∫ ∫+∞ +∞

dtdfetwfW ftj π2* )()(

18

=⋅= ∫ ∫∞− ∞−dtdfetwfW 21 )()(

Per il teorema di Fubini, che afferma che l’ordine di integrazione può essere scambiato se i due integrali sono assolutamente convergenti

[ ] =⋅= −+∞

∞−

+∞

∞− ∫∫ dfdtetwfW ftj*

221 )()( π

dffWfW )()( *21∫

+∞

∞−=

10


Teorema di Raileigh edensità spettrale di energia (DSE)

Teorema di Raileigh Permette diTeorema di Raileigh Permette di calcolare l’energia di un segnale nel dominio della frequenza

dffWdttwE 22 )()( ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−=≡

Definizione: densità spettrale di energia (DSE)per segnali ad energia finita

2)()( fWf =E

19

)()( fWf =E

Ovviamente, abbiamo che:

dffE )(E∫+∞

∞−=


Teoremi relativi alla trasformata di Fourier

20

11


Teoremi relativi alla trasformata di Fourier

21


Segnali notevoli

Sinusoide smorzataDelta di DiracGradino unitarioSegno

Impulso rettangolareImpulso triangolareSeno cardinale (sinc)Coseno rialzatog

Sinusoide

22

Pettine

12


Esempio 2-3: SINUSOIDE SMORZATA

Definizione nel tempo:Definizione nel tempo:( )

⎩⎨⎧

<>>

=−

000,0sin

)( 0

tTtte

twTt ω

SPETTRO BILATERO:Applichiamo il teorema del cambiamento di scala con Ta 1=

23

(2-34)


Esempio 2-3: SINUSOIDE SMORZATADa calcolare

24

Teorema della traslazione in frequenza

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2cossin 00

πωω tt

13


Esempio 2-3: SINUSOIDE SMORZATA

(2-44)

25


Segnali notevoli

Funzione delta di Dirac, δ(x), ( )

Definizione 1: )0()()( wdxxxw =∫∞

∞−δ

Definizione 2:⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

=∞==∫

∞

∞− 0 se0

0 se)( 1)(

x

xxdxx δδ

E’ una funzione generalizzata, che viene studiata in matematica nella teoria delle distribuzioni

26

Definizione 3: dyex xyj πδ 2)( ±∞

∞−∫=

Proprietà campionatrice della funzione δ(x):

)()()( 00 xwdxxxxw =−∫∞

∞−δ

14


Segnali notevoli

Funzione gradino unitario, u(t)g , ( )

Definizione:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

=

>

=

0 se0

0 se21

0 se1

)(

t

t

t

tu

È facile rendersi conto che:

)()( tudxxt

=∫ ∞−δ )()( ttu

dtd δ=

27

Funzione segno, sgn(t)

Definizione:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−

=

>

=

0 se1

0 se0

0 se1

)sgn(

t

t

t

t 21)sgn(

21)( += ttu


Spettro di una sinusoide

{ } dtetwtwfW ftj π2)()()( −+∞

∞−∫=ℑ=

28

dyex xyj πδ 2)( ±∞

∞−∫=

15



NOTA:NOTA:

29NOTA: il calcolo di modulo e fase di una funzione della frequenza si effettua frequenza per frequenza



30

16


Spettro di una sinusoideAltro esempio:p

31

)(2

)(2

)( 00 ffAffAfW ++−= δδ come nel caso: ( )tAtw 0sin)( ω=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤⋅++

>⋅+−=

02

02)(

00

00

fff

fff

fW

θπ

θπ

θ


Spettro a righe

Notiamo che:Notiamo che:lo spettro in ampiezza del segnale sinusoidale è costituito da funzioni Delta di Dirac; questo è conseguenza del fatto che il segnale sinusoidale è un segnale periodicotale tipo di spettro si chiama spettro a righese si considera un impulso sinusoidale (sinusoide accesa solo per un breve periodo), il segnale non è più periodico, e quindi lo spettro non sarà più a righe

32

quindi lo spettro non sarà più a righeoppure, se consideriamo la sinusoide smorzata, anch’essa non ha uno spettro a righe

17


Segnali notevoli

Funzione impulso rettangolare, Π(t)p g , ( )

Definizione:⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π

2 se0

2 se1

Tt

Tt

Tt

Funzione impulso triangolare, Λ(t)

33

Definizione:⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤−≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Λ

Tt

TtTt

Tt

se0

se1


Segnali notevoli: SENO CARDINALE

Funzione Sa(x)Funzione Sa(x)

Definizione:x

xxSa sin)( =

Segnale SENO CARDINALE, sinc(x)

f ( )xπsin

34

( )x

xxπ

πsin)(sinc =

Definizione: ( )x

xxπ

πsin)(sinc =

)(sinc)( xxSa =πNOTA:

18


Segnali notevoli: SENO CARDINALE

MEDIA

35

POTENZA

ENERGIA


Segnali notevoli: COSENO RIALZATO

Definizione in frequenza:Definizione in frequenza:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<<⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

<

=

Σ

ΣΔ

Bf

Bfff

ffff

fW

02

cos1211

)( 11

1

π

0fBf −= ΣΔ

Δ−= fff 01

occupata banda :ΣB

Fattore di decadimentofr Δ=dB 6- a banda :0f

ΣΣ

)( fW

36

oppure rolloff

10 ≤≤ r0f

r

19



Definizione in frequenza:Definizione in frequenza:)( fW

37

0=r • Impulso rettangolare in frequenza• Occupazione minima di banda:

0=r

0fB =Σ



Definizione nel tempo:

( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅=

Δ

Δ200 41

2cos2sinc2)(tftftfftw π

Definizione nel tempo:

)(tw

38

Coincide con un sinc(2f0 t)0=r

20


Segnali notevoli: SEGNALE PETTINESEGNALE PETTINEDefinizione nel tempo:Definizione nel tempo:

( )0)(pet0

nTttn

T −= ∑+∞

−∞=

δ

Definizione in frequenza:+∞

{ } ( )00)(pet0

fnfftn

T −=ℑ ∑+∞

−∞=

δ lo dimostreremo in seguito

00

1T

f =dove:{ } )(pet)(pet

00 0 fft fT ⋅=ℑ


Spettro di un impulso rettangolareValutiamo la TF del segnale:

⎪⎧ ≤

⎞⎛se1 Ttt

g( )

⎪⎩

⎪⎨

>

≤≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π=

2 se0

2 se1

Tt

t

Tttw

da cui:

dtefW tjT

T

ω−

−∫= 1)(2

2

( ) ( )fTTT

TT sinc2

2sin==

ωω

ω

ωω

jee TjTj

−−

=− 22

40

da cui:

( )TfTTt sinc↔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π

21


Spettro di un impulso rettangolare

41



( ) ⎟⎞

⎜⎛ f1

( ) ( )fwtW −↔

42

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Π⋅↔

Wf

WtW

2212sinc

( ) ( )TfTTfTTt sincSa =↔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π π (2-55)

22



43



44

23


CONVOLUZIONE DI SEGNALI

45


Convoluzione

Definizione:Definizione:

( ) dttwtwwww )()()(*)( 21213 −⋅≡= ∫+∞

∞−τττ

La convoluzione è ottenuta:invertendo per w2(t) l’asse temporale in modo da ottenere w2(-t);traslando w2(-t) di τ secondi per ottenere w2(τ-t) ;moltiplicando il risultato per w (t)

46

moltiplicando il risultato per w1(t) .

[VEDI ESEMPIO NELLA SLIDE SUCCESSIVA]

24


Esempio 2-7: convoluzione di un impulso rettangolare con una esponenziale

)(1 tw

0>τ

)(2 tw

)(2 tw − )(2 τ+−tw

t

t

2ESEMPIO

T=τ )()( 22 Twtw ≡+− τ

47

0<τ

( ) dttwtwwww )()()(*)( 21213 −⋅≡= ∫+∞

∞−τττ

)(2 τ+tw

tt τ

22

TtT−=

τ



)(1 tw

)(2 τ+−tw

tτ

t

)()( 21 τ+−⋅ twtw

48

)(3 τw

τ

)()( 21 τtwtw

tτ

τ

( ) dttwtwwww )()()(*)( 21213 −⋅≡= ∫+∞

∞−τττ

25



( )TTtteTdtew τττ −−+ −== ∫ 11)( /)(

03

T>τ

T<< τ0 )()( 21 twtw −⋅ τ

)(1 tw )(2 tw0>τ t

( ) TTtT +∫ /)(

49

( ) TTt eeTdtew τττ −−+ −== ∫ 11)( /)(

03

( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

>−<<−

<=

−

−

TeeTTeeTw

T

T

ττ

ττ

τ

τ

10

00)(3


Calcolo dello spettro di un impulso triangolare mediante convoluzione

50

26



)(1 tw )(2 tw

2T

−2T0 t

2T

−2T0 t

)(2 tw −

))((2 τ−− twT≤≤τ0

51

2T

−2T0 t

2T

−τ2T

+τ0 tτ

0 t

))((2 τ−− tw

0≤≤− τT

2T

−τ τ2T

+τ



)(1 tw

⎧ ≤≤0)2(2 TTT

2T

−2T0 t

))((2 τ−− twT≤≤τ0

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤−−−+

≤≤−−==

Altrove002)2(

0)2(2)(*)( 213 ττ

ττττ TTT

TTTwww

( ) ⎪⎨

⎧≤≤−+

≤≤−== 0

0)(*)( 213 ττ

ττττ TT

TTwww

52

2T

−τ2T

+τ0 tτ

0 t

))((2 τ−− tw

0≤≤− τT

2T

−τ τ2T

+τ

( )⎪⎩

⎨Altrove0

)()( 213

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Λ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π=

TT

Tt

Ttw τττ )(*)(3

27



)(1 tw

2T

−2T0 t

))((2 τ−− twT≤≤τ0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Λ⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π=

TT

Tt

Ttw τττ )(*)(3

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Λℑ⋅=⋅TtTTfTTfT )(sinc)(sinc

53

2T

−τ2T

+τ0 tτ

0 t

))((2 τ−− tw

0≤≤− τT

2T

−τ τ2T

+τ

)(sinc2 TfTTt

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Λℑ


Spettro di un impulso triangolare

( ) ( )fTTTttw 2sinc↔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Λ=

( )fTT 2sinc

54

28


Trasformate di Fourier notevoli

)(sinc2 fTT

)(sinc fTT

55

( )ϕπ +tfa 02sin ( ) ( )[ ]0021 ffeffeaj jj −−+ +− δδ ϕϕSinusoide


Trasformate di Fourier notevoli

Cosinusoide

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π

Ff

F1( )tFsinc

56( )tB2sinc2sinc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Λ

Bf

B1

29


Esempio 2-9: IMPULSO SINUSOIDALE

57


Esempio 2-9: spettro di un IMPULSO SINUSOIDALE

Dato che:

( ) ( )TfTTfTTt sincSa =↔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π π

Dato che:

Teorema della modulazione 2πθ −=

TF 1

=

( ) ⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛ +

+⎟⎞

⎜⎛ −

=+− ffTeffTeAfW

jj 0202 sincsincππ

58

( ) ⎥⎦

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝

+⎟⎠

⎜⎝

=F

TeF

TefW 22 sincsinc2

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=F

ffF

ffTAjfW 00 sincsinc2

jjej

±=±=±

2sin

2cos2 πππ

30



⎤⎡ ⎞⎛ −⎞⎛ + ffffA Spettro di ampiezza( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=F

ffF


Spettro di ampiezza

59



Lo spettro dell’impulso sinusoidale può anche essere calcolato mediante il teorema della convoluzione, dove:

60

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

FfTfW sinc1

( ) ( ) ( )[ ]002 2ffffAjfW −−+= δδ

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=F

ffF


31


Banda di un segnale

Definizione: SEGNALE IN BANDA BASEDefinizione: SEGNALE IN BANDA BASE

)( fW

f

)( fW

f1f 2f2f 1f−2f−2f−

011 ≡−≡ ff 1221

2ffff

−≈+

61

2fB =

Definizione: Banda Assoluta


Segnali a banda limitata

Definizione: un segnale è a banda rigorosamente limitata B se:BffW ≥= per 0)( dove B è la banda del segnale

Definizione: un segnale è a durata rigorosamente limitata T se:

[ ]Ttttwt +∉=∃ 000 ,tper 0)( :che tale dove T è la banda del segnale

62

Teorema:un segnale a BANDA LIMITATA non può essere a DURATA LIMITATAun segnale a DURATA LIMITATA non può essere a BANDA LIMITATA

32


Banda limitata in frequenza Durata limitata nel tempo

Osserviamo che:Osserviamo che:La Banda di un segnale si misura solo sulle frequenze positiveLa Durata di un segnale si misura su tutto l’asse temporale

)(tw )( fW

63

)(

t2T− 2T

Segnale di durata T

)( f

fB− B

Segnale di banda B


Banda di un segnale

Definizione: SEGNALE IN BANDA PASSANTEDefinizione: SEGNALE IN BANDA PASSANTE

)( fW

f1f 2f1f−2f−

1221

2ffff

−>>+

64

12 ffB −=

Definizione: Banda Assoluta

33


Banda di un segnale

Definizione “ingegneristica” di banda per:Definizione ingegneristica di banda per:segnali non rigorosamente limitati in banda

oppure segnali con spettro trascurabile per frequenze superiori ad una soglia:

fB

)( fW

65

oppure segnali con spettro trascurabile per frequenze superiori ad una soglia:

f

)( fW

B


Banda di un segnale

BANDA AL PRIMO NULLO (per i segnali in banda base):BANDA AL PRIMO NULLO (per i segnali in banda base):

fB

)( fW

66

BANDA A –3 dB:

12 ffB −= dove { }

{ }⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤≤≥

><<

21

21

per )(max2

1)(

e per )(max2

1)(

ffffWfW

fffffWfW( ) 321log20 10 −=

34


Banda di un segnaleDefinizione di banda di un segnale:

12 ffB −=

BANDA AL 99%:

12 ffB −= dove f1 e f2 delimitano l’intervallo in cui viene a trovarsi il 99% della potenza totale del segnale

{ }{ }⎩

⎨⎧

≤≤≥><<

21

21

per )(max del )( e per )(max del )(ffffWdBxfW

fffffWdBxfWBANDA A –x dB:

67

BANDA NULLO-NULLO (per i segnali passa-banda):

12 ffB −=


Densità spettrale di potenza (DSP)

Definizione:⎟⎞

⎜⎛ fW 2)( [ ]HzV 2e o e

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

∞→ TfWf T

Tw)(lim)(P

dove:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π⋅=

>

≤=

Tttw

Tt

TttwtwT )(

2 se0

2 se)()(

versione troncatadel segnale

{ })()( twfW TT ℑ= Trasformata di Fourier del segnale troncato

[ ][ ]HzA2

68

Per mezzo del teorema di Raleigh, possiamo calcolarela potenza media normalizzata del segnale:

2)(twP ≡ dffWT

dttwT TT

T

TT

222

2)(1lim)(1lim ∫∫

∞+

∞−∞→

+

−∞→==

dffWT TT

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∞→

∞+

∞−∫2)(1lim dffw )(P∫

+∞

∞−= dffP w )(P∫

+∞

∞−=

35


Funzione di autocorrelazione

Definizione [per un segnale reale]:Definizione [per un segnale reale]:

dttwtwT

twtwRT

TTww )()(1lim)()()(2

2τττ +⋅=+⋅= ∫−∞→

Definizione [per un segnale complesso]:

dttwtwT

twtwRT

TTww )()(*1lim)()(*)(2

2τττ +⋅=+⋅= ∫−∞→

69

Teorema di Wiener-Khintchine:

{ } )()( fR www P=ℑ τ

Calcolo della potenza media normalizzata:

)0()()( 22wwweff RdffWtwP ==== ∫

+∞

∞−P


Esempio 2-10:DSP di una sinusoide

( ) ( )coscos yxyx +=1

70

( ) ( )2

coscossinsin yxyxyx +−−=⋅

36


Esempio 2-10:DSP di una sinusoide

71

Esercizio: calcolare la DSP del segnale ( ) ( )tAtw 0cos ω=

si trova che: perché?


SERIE DI FOURIER

72

37


Funzioni ortogonali

Definizione: )(tmϕt li ll’i t ll bDefinizione:

)(tnϕortogonali sull’intervallo bta << se:

0)()( * =∫ dttt mn

b

aϕϕ mn ≠

L’insieme di queste funzioni ha elementi tali che:

nmnmn

bKdttt δϕϕ =∫ )()( * dove:

⎩⎨⎧ ≠

=mn

mnnm

se1

se0δ Delta di Kronecker

(2-77)

73

nmnmna∫ ⎩ = mn se1

nKn ∀= 1Se:

l’insieme è un insieme di funzioni ortonormali{ })(tnϕ


Esempio 2-11: le funzioni esponenziali complesse sono ortogonali

74

Le funzioni esponenziali complesse sono ortogonali in a<t<a+T0

38


Esempio 2-11: funzioni esponenziali complesse ortogonali

75

Funzioni ortonormali


Insiemi ortogonali completi

{ }

Si può dimostrare che sono insiemi completi:Funzioni esponenziali complesse

Un insieme di funzioni ortogonali si dice completo se può essere utilizzato per rappresentare qualsiasi segnale a energia finita con un errore avente energia arbitrariamente piccola

{ })(tnϕ

76

Funzioni armoniche sinusoidaliFunzioni di BesselPolinomi di Legendre

39


Teorema della rappresentazione su base ortogonale

Sia un insieme di funzioni ortogonali completo.{ })(tnϕ

∑+∞

−∞=

=n

nn tatw )()( ϕ

Un generico segnale w(t) può essere rappresentato sull’intervallo [a,b] mediante la serie:

(1)

DIMOSTRAZIONE

dove i coefficienti dello sviluppo sono dati da: ∫=b

an

nn dtttw

Ka )()(1 *ϕ (2)

77

[ ]

mmn

nmnn

n

b

a mnn

b

a mn

nn

b

a m

KaKa

dtttadtttadtttw

==

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∑

∑ ∫∫ ∑∫∞+

−∞=

+∞

−∞=

+∞

−∞=

δ

ϕϕϕϕϕ )()()()()()( ***

DIMOSTRAZIONE

Applichiamo l’operatore ad entrambi i membri della (1):∫ ⋅b

am dtt)(][ *ϕ

(2)


Serie di Fourier

Teorema:eo e aun segnale a energia finita può essere rappresentato sull’intervallo [a,a+T0] dalla serie di Fourier:

tjnn

n

ectw 0)( ω∑+∞

−∞=

=Rappresentazione in forma polare

dove:

cuisutemporaleintervallodell'ampiezza:0T

0Tata +<<

78

dtetwT

c tjnTa

an00 )(1

0

ω−+

∫⋅=

coefficienti complessi dello sviluppo

00 22 Tfo ππω ==

cuisu temporaleintervallodellampiezza :0Tserie la definita viene

40


Serie di Fourier per segnali periodici

Se la forma d’onda w(t) è periodica con periodo T0:Se la forma d onda w(t) è periodica con periodo T0:la rappresentazione in serie di Fourier vale su tutto l’asse temporale

+∞<<∞− tla scelta del parametro a è arbitraria; di solito si sceglie:

2 oppure 0 0Taa −==

la frequenza f0=1/T0 è chiamata frequenza fondamentale

79

la generica frequenza nf0=n/T0 è l’n-esima armonica

il coefficiente c0 rappresenta il valore medio della forma d’onda


Proprietà principali della serie di Fourier in forma complessa

IMMAGINARI DISPARI e REALE è )( Se

REALI PARI e REALE è )( Se

REALE è )( Se *

n

n

nn

ctw

ctw

cctw

⇒

⇒

=⇒ −

Proprietà dei coefficienti:

Teorema di Parseval:

80

22

0

)(1 0

nn

Ta

acdttw

TP ∑∫

+∞

−∞=

+=⋅=

Teorema di Parseval:

Lo dimostreremo in seguito

41


Serie di Fourier in forma rettangolareTeorema:

un segnale a energia finita può essere rappresentato sull’intervallo

tnbtnatw nn

nn

01

00

sincos)( ωω ∑∑+∞

=

+∞

=

+=

un segnale a energia finita può essere rappresentato sull’intervallo [a,a+T0] dalla serie di Fourier:

Rappresentazione in forma rettangolare

dove:cuisu temporaleintervallodell' ampiezza :0T

serie la definita viene

81

00 22 Tfo ππω ==

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥⋅

=⋅=

∫

∫+

+

1 secos)(2

0 se)(1

00

00

0

ndttntwT

ndttwTa

Ta

a

Ta

a

n

ω

coefficienti della serie

( ) dttntwT

bTa

an 00

sin)(2 0 ω∫+

⋅=


Serie di Fourier in forma rettangolare

Se la forma d’onda w(t) è periodica con periodo T0:( ) p p 0la rappresentazione in forma rettangolare in serie di Fourier vale su tutto l’asse temporale

+∞<<∞− tla scelta del parametro a è arbitraria; di solito si sceglie:

2 oppure 0 0Taa −==

Relazione tra

82

Relazione traFORMA POLARE e FORMA RETTANGOLARE:

{ }⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

==

1 seRe2

0 se0

nc

nca

n

n { } 1 Im2 ≥−= ncb nn

42


SEGNALI PERIODICI

83


Spettro a righe di un segnale periodico

Per un segnale periodico la rappresentazione mediantePer un segnale periodico la rappresentazione mediante serie di Fourier è definita su tutto l’asse temporaleObiettivo:

vogliamo calcolare la relazione fra la trasformata di un segnale periodico e i coefficienti di Fourier

Teorema:se un segnale è periodico di periodo T0, il suo spettro è:

+∞

84

( )0)( fnfcfW nn

−= ∑+∞

−∞=

δ

dove:

00 1 Tf =

segnale delFourier di seriein sviluppo dello ticoefficien :nc

43


Spettro a righe di un segnale periodico

Dimostrazione:tjn

n ectw 0)( ω∑+∞

= Vale su tutto Dimostrazione: nn

)( ∑−∞=

calcolando la TF di entrambi i membri, otteniamo:

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

+∞

−∞=

∞+

∞− ∑∫ dteecfW tjtjnn

n

ωω0)(

( ) dtec tnffjn

n

02 −−∞+

∞−

+∞

−∞=∫∑= π ( )0nffcn

n−= ∑

+∞

−∞=

δ

Nota:

l’asse temporale, dato che il segnale è periodico

85

Nota:un segnale periodico ha sempre uno spettro a righe (o discreto)le funzioni delta sono concentrate sulle frequenze armoniche f=nf0 e hanno area pari a cnviceversa, se il segnale non contiene componenti periodiche, lo spettro è continuo, eccetto per una possibile componente discreta in f=0, se il segnale ha valore medio (componente continua) non nullo


Coefficienti di Fourier del segnale pettine

( ))(t T∑+∞

δ

Il segnale pettine è periodico, e quindi si può sviluppare in serie di Fourier per ogni tPer definizione:

SEGNALE PETTINE

dtetwT

c tjnTa

an00 )(1

0

ω−+

∫⋅=

( ) dtTtdtt tjnTatjnTa0000 1)(1 ωω δ −

+∞+−+

∑∫∫

( )0)(pet0

nTttn

T −= ∑−∞=

δ

8686

( ) dtenTtT

dtetwT

c j

na

j

an00

000

)( δ−∞=

−⋅=⋅= ∑∫∫

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈=−∑

+∞

−∞= 2,

2per 0

TTttnTtn

δδ

Ma notiamo che:( ) 0

0

2

20

110

0

0

fT

dtetT

c tjnT

Tn === −+

−∫ωδ

nfcn ∀= 0

44


Spettro del segnale pettine

( ))(t T∑+∞

δ

nfcn ∀= 0

Coefficienti di Fourierdel segnale pettine

{ } ( )0)(pet0

fnfct nn

T −=ℑ ∑+∞

∞=

δ

Spettro di un segnale periodico

SEGNALE PETTINE ( )0)(pet0

nTttn

T −= ∑−∞=

δ

8787

Spettro del segnale pettine{ } ( )00)(pet

0fnfft

nT −=ℑ ∑

+∞

−∞=

δ

n −∞=


Calcolo dei coefficienti di Fourier di un segnale periodico dalla TF

DEFINIZIONE: Troncatura di un segnale periodico nel O o catu a d u seg a e pe od co eperiodo

porzione del segnale periodico limitata ad un singolo periodo

Teorema:se w(t) è un segnale periodico di periodo T0, rappresentato da

( ) tjnn

nn

ecnTthtw 00)( ω∑∑

+∞

−∞=

+∞

−∞=

=−=

88

nn ∞∞

⎪⎩

⎪⎨⎧ <

=altrimenti0

2 se)(

)(0Tttw

thdove:

)( 00 fnHfcn =

45


Calcolo dei coefficienti di Fourier di un segnale periodico dalla TF

Dimostrazione:

89SPETTRO DEL SEGNALE PETTINE { } ( )00)(pet0

fnfftn

T −=ℑ ∑+∞

−∞=

δ

)( 00 fnHfcn =


Esempio 2-12: spettro di un treno di impulsi rettangolari

90

dtetwT

c tjnTa

an00 )(1

0

ω−+

∫⋅= ππω nTT

nTn ==2

122

0

0

00

46



91( ) ( ) ( )

TfTfeTfV

TTttv fTj

πππ sin 2 −=↔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Π=

Esempio 2-5

)( 00 fnHfcn = (2-112)

Tnnff

21

0 ==



( ) ( )dttwT

twT

TT ∫−∞→=

2

2

1lim

92

( )0)( fnfcfW nn

−= ∑+∞

−∞=

δ (2-109): TF per un segnale periodico

47



93

Il primo è discreto, il secondo è continuoEntrambi hanno lo stesso inviluppo, dato da sinc(Tf)



Coefficienti dello sviluppo in FORMA RETTANGOLARE

Relazione traFORMA POLARE e FORMA RETTANGOLARE:

{ }⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

==

1 seRe2

0 se0

nc

nca

n

n { } 1 Im2 ≥−= ncb nn

94

pp

48


Potenza normalizzata per un segnale periodico

Teorema: per un segnale periodico w(t) la potenza normalizzata è pari a:per un segnale periodico w(t), la potenza normalizzata è pari a:

22)( nn

w ctwP ∑+∞

−∞=

==Caso particolare del teorema di Parseval

2)(twP =

95

2n

nw cP ∑

+∞

−∞=

=

mnmntmnjTa

a

tmnj TT

dteT

e δδωω =⋅⋅== −+

− ∫ 00

)(

0

)( 110

00 dato che le esponenziali sono

funzioni ortogonali


Funzione di autocorrelazione e Densità spettrale di potenza per un segnale periodicoTeorema: per un segnale periodico w(t):

( )02)( fnfcf n

nw −= ∑

+∞

−∞=

δP

è la media rispetto a t

τωτ 02)( jn

nn

ww ecR ∑+∞

−∞=

=

Funzione di autocorrelazione Densità spettrale di potenza

96

49


Funzione di autocorrelazione e Densità spettrale di potenza per un segnale periodico

)( 02 τωτ jn

nn

ww ecR ∑+∞

−∞=

=

97( )0

2)( fnfcf nn

w −= ∑+∞

−∞=

δP


Esempio 2-13: DSP di un treno di impulsi rettangolari

( )02)( fnfcf n

nw −= ∑

+∞

−∞=

δP

98

(2-120)

50


Esempio 2-13: DSP di un treno di impulsi rettangolari

99


SISTEMI LINEARI TEMPO-INVARIANTI (LTI) E DISTORSIONE

100

51


Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

101

Un sistema è:lineare quando vale il principio di sovrapposizione degli effettistazionario se, per qualsiasi ingresso ritardato x(t-t0), l’uscita è ritardata della stessa quantità, cioè y(t-t0). In altre parole la forma della risposta del sistema non dipende dall’istante in cui viene applicato l’ingresso.


Risposta impulsiva

I sistemi lineari stazionari sono caratterizzati dalla s ste ea sta o a so o ca atte at da aconoscenza della risposta impulsiva:

)()( )()( Se thtyttx =⇒= δ

Si può usare la risposta impulsiva per ricavare la risposta del sistema a un qualunque ingresso:

( ) )(*)()()( thxdthxty =−= ∫+∞

∞−τττ

i i f

102

Risposta in frequenza:)()()( fHfXfY =

)()()(

fXfYfH = Funzione di trasferimento

del sistema

52


Relazione DSP ingresso - DSP uscita

)()()( fHfXfY =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅≡

∞→ TfXfHf T

Ty

22 )(lim)()(P

)()()( fff

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

∞→ TfYf T

Ty

2)(lim)(P )()( 2 ffH xP⋅=

2)()(

)( fHf

fG yh ==

PRisposta in potenza

)()()( 2 ffHf xy PP ⋅=

DSP in uscita

Quindi abbiamo:

103

)()(

)( fHf

fGx

h P

dff

dff

PPG

x

y

X

YdB

)(

)(log10log10 1010

P

P

-

-

∫∫

∞+

∞

+∞

∞==

Guadagno di potenza


Filtro RC passa-basso

104

53



1)( fH =

105

( )01)(

ffjfH

+=



)( fP 2)()()(

)( fHff

fGx

yh ==

P

P(2-143)

106

54



107


Trasmissione senza distorsione

Canale di comunicazione ideale:Canale di comunicazione ideale:canale che non introduce distorsionecioè, se il segnale all’uscita del canale è una versione ritardata dell’ingresso

( )⎧ −= dTtxAty ˆ)(

Condizioni equivalenti di assenza di distorsione:

non c’è distorsione di

108

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

−

−

d

d

Tfj

Tfj

d

eAfH

efXAfY

TtxAty

ˆ2

ˆ2

)(

)()(

)(

π

πcostante)( =fH

dfH Tf ˆ2)( πθ −=

non c è distorsione di ampiezza

non c’è distorsione di fase

(fase lineare con la frequenza)

55


Distorsioni introdotte dal filtro RC passa-basso

Risposta in ampiezza( )011)(

ffjfH

+=

( )201

1)(ff

fH+

=

Risposta in ampiezza

109



Risposta di fase( )011)(

ffjfH

+=

( )01

)( tan)( fff fH−−==θθ

Risposta di fase

110

56



Po i mo llo l ol e il it do di f e del filt o

dfH Tf ˆ2)( πθ −=

1Possiamo allora calcolare il ritardo di fase del filtro: ( )01tan

21)( fff

fTd−=

π

11100

1

0 21tan

21lim

fff

ff ππ=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

→


Ulteriori considerazioni

Tuttavia, se il segnale in ingresso al filtro possiede componenti utta a, se seg a e g esso a t o poss ede co po e tfrequenziali rilevanti solo in una banda di frequenza inferiore a 0.5f0

lo scarto nella risposta in ampiezza rispetto al caso di non distorsione è inferiore a 0.5 dBlo scarto nella risposta in fase rispetto al caso di non distorsione è inferiore a 2 1°

112

il filtro introduce una DISTORSIONE TRASCURABILE

è inferiore a 2.1°il ritardo è pari a circa 1/(2πf0)

Es.: ms 16.0ritardo kHz1 se 0 =⇒=f

57


CAMPIONAMENTO DI UN SEGNALE ERICOSTRUZIONE PER INTERPOLAZIONE

113


Replica nel tempo di un segnale: prima formula di somma di Poisson

Consideriamo un segnale aperiodico x(t)

( ) ( )0nTtxtyn

−= ∑+∞

−∞=

Costruiamo il segnale periodico y(t) di periodo T0 secondo la relazione di periodicizzazione

Sviluppiamo in serie di Fourier il segnale y(t):

114

( ) tkfjk

keYty 02π∑

+∞

−∞=

=

( ) dtetyT

Y

Tf

tkfjT

Tk0

0

0

22

20

00

1

1 :dove

π−

−∫=

=

)( 00 fkXfYk =per quanto dimostrato prima

58



( ) ( )Ttt ∑+∞

( ) tkfjYt 02π∑+∞

)( fkXfY( ) ( )0nTtxtyn

−= ∑−∞=

( ) tkfjk

keYty 0π∑

−∞=

= )( 00 fkXfYk =

( ) tkfj

kn

efkXfnTtx 02000 )( π∑∑

+∞

−∞=

+∞

−∞=

=− Prima formula di sommadi Poisson

Notiamo che:S i i l tt di l i d f tt i

115

( )0)()(ˆ kfffWfWk

−⋅= ∑+∞

−∞=

δ

Se campioniamo lo spettro di un segnale con periodo f0, otteniamo:

( ) dfekfffWdfefWtw ftj

k

ftj ππ δ 20

2 )()(ˆ)(ˆ −⋅== ∑∫∫+∞

−∞=

+∞

∞−

+∞

∞−

La sua antitrasformata è:

tkfj

k

ekfW 020 )( π∑

+∞

−∞=

=

( ) ( ) =−⋅= ∫∑+∞

∞−

+∞

−∞=

dfkffefW ftj

k0

2)( δπ

[ ]0

2)( kffftj

k

efW =

+∞

−∞=∑= π



Dunque: ( ) tkfjefkXfnTtx 02000 )( π∑∑

+∞+∞

=−Dunque:

)(tx )( fXℑ

( )0)()(ˆ kfffXfX −⋅= ∑+∞

δ

Campionando lo spettro

tkfjekfXtx 020 )()(ˆ π∑

+∞

=1−ℑ

( )kn

000 ∑∑−∞=−∞=

116

k∑

−∞=

( )00

1 nTtxf n

−∑+∞

−∞=

Prima formula di somma di Poisson

k∑

−∞=

Lo spettro di un segnale replicato nel tempo è uguale al campionamento dello spettro del segnale stesso, moltiplicato per f0

ℑ

59


Campionamento ideale di un segnale: seconda formula di somma di PoissonSegnale campionamento ideale del segnale w(t):

( ) ( )ssn

TntTnwtw −⋅= ∑+∞

−∞=

δδ )(

Il campionamento ideale è schematizzabile come il prodotto del segnale analogico per il treno di delta di Dirac

g p g ( )

Segnale ottenuto campionando un segnale analogico con un treno di impulsi delta di Dirac

117

( )sn

Tnttwtw −⋅= ∑+∞

−∞=

δδ )()(

( )sn

T nTtts

−= ∑+∞

−∞=

δ)(petSegnale pettine: treno di impulsi di Dirac


Campionamento ideale di un segnale: seconda formula di somma di Poisson

)(tw )(twδ

)(tw

s

s

s

s

)(pet tsT

)(pet tsT

118

)(twδ

s

60



Sviluppo in serie di Fourier del PettineSegnale campionamento ideale

Calcoliamo la trasformata di Fourier:

( )sn

Tnttwtw −⋅= ∑+∞

−∞=

δδ )()( ( ) tjn

sns

n

seT

Tnt ωδ 1∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

=−

tjn

sn

seT

twtw ωδ

1)()( ∑+∞

−∞=

⋅=

119

( )sns

nffWT

fW −= ∑+∞

−∞=

1)(δ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ℑ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

+∞

−∞=

tjn

ns

sefWT

fW ωδ *)(1)( ( )[ ]=ℑ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

+∞

−∞=

tjn

ns

sefWT

ω*)(1

( )sns

nfffWT

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

+∞

−∞=

δ*)(1 Seconda formula di somma di Poisson



Seconda formula disomma di Poisson

Lo spettro di un segnale ottenuto per campionamento

( )sns

nffWT

fW −= ∑+∞

−∞=

1)(δ

120

p g p pideale si ricava come periodicizzazione della trasformata del segnale analogico di partenza con un periodo di ripetizione pari alla frequenza di campionamento, per 1/Ts

61



121


Formule di somma di Poisson

( ) tkfj

knefkXfnTtx 02

000 )( π∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

=− Prima formula disomma di Poisson

REPLICA NEL TEMPO causa CAMPIONAMENTO IN FREQUENZA

CAMPIONAMENTO NEL TEMPO causa REPLICHE IN FREQUENZA

122

Seconda formula disomma di Poisson

( )sks

fTnjs

n

TkfXT

eTnx s −⋅= ∑∑+∞

−∞=

−+∞

−∞=

1)( 2π

CAMPIONAMENTO NEL TEMPO causa REPLICHE IN FREQUENZA

62


Spettro del segnale campionato con campionamento ideale

( )sns

nffWT

fW −= ∑+∞

−∞=

1)(δ

Dunque lo spettro del segnale campionato idealmente è costituito da repliche dello spettro di w(t), traslate in frequenza di kfs=k/Ts, e scalate in ampiezza secondo il fattore 1/Ts

)( fW )( fWδ

sf

sf sf sf sf

sT1

123

sf sf sf sf

)( fWδ sf

sf sf

sT1)( fWδ

sf

sfsf

sT1

Banda di guardia: BG=fs-2B


Campionamento ed errore di aliasingBfs 2≥

Bf 2<

124

Bfs 2<

AliasingAliasing:errore su una replica dello spettro causato dalla presenza delle altre repliche

63


Campionamento ed errore di aliasing

Bfs 2≥

Condizione di NyquistSe un segnale è a banda rigorosamente limitata, pari a B, il segnale campionato non presenta aliasing [distorsione dovuta alla periodicizzazione dello spettro] se:

ss Tf 1=dove:

125

Banda di guardia

BfB sG 2−=


Campionamento ed errore di aliasing

Riassumendo:Riassumendo:lo spettro del segnale campionato è la ripetizione, ogni fs Hz, dello spettro del segnale non campionatoil campionamento potrebbe essere utilizzato per traslare lo spettro di un segnale attorno a un’armonica della frequenza di campionamentose fs ≥2B le repliche degli spettri non si sovrappongono; sarà così possibile ricostruire il segnale a destinazione con un filtro opportuno

126

opportunose fs <2B il segnale è sottocampionato; si avrà una sovrapposizione delle repliche, detta aliasingl’aliasing può essere contenuto pre-filtrando il segnale originario prima del campionamento, con un filtro anti-aliasing

64


Teorema del campionamento

Teorema:Teorema:un segnale w(t) a banda rigorosamente limitata, B, può essere ricostruito esattamente a partire dai propri campioni, purchè la frequenza di campionamento sia

Bfs 2≥ Condizione di Nyquist

127

Dimostrazione:nel dominio della frequenzanel dominio del tempo



Ricostruzione nel dominio della frequenza:Ricostruzione nel dominio della frequenza:il segnale analogico può essere esattamente ricostruito dalla sua versione campionata, utilizzando un filtro passabasso ideale (filtro interpolatore):

)( fWδ )( fW)( fHr

128

)( fWδ

sf

sf sf sf sf

sT1sT

)()()( fHfWfW r⋅= δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Π⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Π⋅=

sssr f

fTBfTfH

2)(

65



Ricostruzione nel dominio del tempo:Ricostruzione nel dominio del tempo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Π⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Π⋅=

sssr f

fTBfTfH

2)(

)( fWδ )( fW)( fHr

Abbiamo visto che:

( ) ( )ssn

TntTnwtw −⋅= ∑+∞

−∞=

δδ )( (segnale di ingresso: treno di impulsi)

129

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

sr T

ttBth sinc2sinc)( (risposta all’impulso del filtro passabasso ideale)

Formula di interpolazione

cardinale( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅== ∑

+∞

−∞= s

ss

nr T

nTtTnwthwtw sinc)()(*)( δ


Interpolazione di una sequenza

Interpolazione di una sequenza:Interpolazione di una sequenza:ricostruzione di un segnale tempo-continuo a partire da una sequenza

Esempio di interpolazione

130

s

66



La ricostruzione di un segnale tempo-continuo a partire da unaLa ricostruzione di un segnale tempo continuo a partire da una sequenza viene realizzata tramite un interpolatore p(t)

( ) [ ] ( )sn

nTtpnwtw −⋅= ∑+∞

−∞=

ˆ [ ] ( )snTwnw =dove:

( ) [ ] ( ) fTnj

n

sefPnwfW π2ˆ −+∞

−∞=

⋅= ∑Trasformando ambo i membri otteniamo:

( ) [ ] fTnj

n

senwfP π2−+∞

−∞=

⋅= ∑

131

n

qualunque sia l’interpolatore

( )sks

fTnjs

n

TkfXT

eTnx s −⋅= ∑∑+∞

−∞=

−+∞

−∞=

1)( 2π

( ) ( )sks

TkfWT

fP −⋅= ∑+∞

−∞=

1

Seconda formula di somma di Poisson



s

Interpolazione a mantenimento

132s s s

sss

s

67



Interpolazione a mantenimento (Sample & Hold):

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Π=

s

s

TTttp 2 Impulso rettangolare

In questo caso il segnale ricostruito è una replica distorta del segnale originale. Infatti:

s

133

( ) ( ) sfTjss

s

s efTTTTtfP π−⋅=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Πℑ= sinc2

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅= ∑+∞

−∞=

−

sk

fTjs T

kfWeTffW sπsincˆ( ) ( ) ( )sks

TkfWT

fPfW −⋅= ∑+∞

−∞=

1ˆ



Lo spettro del segnale ricostruito differisceLo spettro del segnale ricostruito differisce apprezzabilmente da quello del segnale analogico di partenza in due aspetti fondamentali:

il segnale interpolato non è limitato in bandaanche la replica principale dello spettro del segnale ricostruito differisce dallo spettro del segnale di partenza

134

(distorsione di ampiezza)

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅= ∑+∞

−∞=

−

sk

fTjs T

kfWeTffW sπsincˆ

Distorsione di ampiezza

ss Tf

T 21

21

≤≤−

( ) ( )fWeTf fTjs

sπ−⋅⇒ sinc

68


Interpolazione cardinale

Si deve allora scegliere l’impulso interpolante in modo che la

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Π=

ss f

fTfP

Si deve allora scegliere l impulso interpolante in modo che la sua trasformata sia costante nell’intervallo [-1/2T, 1/2T] e nulla al di fuori, cioè:

Infatti, in assenza di aliasing, otteniamo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Π= ∑

+∞

s TkfW

TffT 1( ) ( ) ( )sTkfW

TfPfW −⋅= ∑

+∞1ˆ ( )fW=

Segnale originale

( ) ( )sTttp sinc=

135Bfs 2≥

1. x(t) abbia banda limitata B;2. sia stata rispettata la condizione di Nyquist

Assenza di aliasing:

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝

∑−∞= skss

s Tf

TfksT ∑−∞=

( )f

Con l’interpolazione cardinale è possibile ricostruire il segnale originale da una sequenza, purchè sia stata ottenuta campionando con la

condizione di Nyquist


Applicazione del teorema del campionamento

È possibile riprodurre un segnale a banda limitata utilizzando un f d d l lnumero N finito di campioni del segnale

Supponiamo di voler riprodurre il segnale in figura in un intervallo T0

136

69


Applicazione del teorema del campionamento

Indichiamo con: ⎟⎞

⎜⎛ − sTntsincϕ )()(

1

tatwNn

ϕ∑+

=Indichiamo con: ⎟⎠

⎜⎝

=s

sn T

sincϕ )()(1

tatw nnnn

ϕ∑=

=

È ffi i t i t tt i i f i

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅= ∑

+∞

−∞= s

ss

n TnTtTnwtw sinc)()(

137

È sufficiente memorizzare o trasmettere i pesi an per fornire una rappresentazione del segnaleIl numero minimo di campioni necessari per ricostruire il segnale su di un intervallo di lunghezza T0 secondi è:

00 2 TBfTN s =⋅= Dimensionalità del segnaleBfs 2≥


Teorema della dimensionalitàTeorema:

U l l ò l t t ifi t dUn segnale reale può essere completamente specificato da:

02 TBN =informazioni indipendenti che descrivono il segnale su un intervallo di durata T0

Quindi, l’informazione che si DEVE trasportare per trasmettere un segnale a banda limitata è proporzionale al prodotto tra la banda del

138

segnale a banda limitata è proporzionale al prodotto tra la banda del segnale e la durata dell’informazione stessaApplicazioni:

se è dato un certo segnale e si vuole memorizzare un certo numero di campioni del segnale su un file per poter poi ricostruire l’andamento in un intervallo T0 dobbiamo salvare almeno N valori [calcolo del numero di campioni --> quantità di memoria]

corso di fondamenti di telecomunicazioni - pagina principale · 3 fondamenti di tlc - prof. g....

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