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Cours d’automatique

T. Chateau

2008-2009

Table des matières

1 Comportement temporel des systèmes du 1er et 2ème ordre 1

1.1 Les modèles du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Intégrateur (1

p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1.1 Réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1.2 Réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1.3 Réponse à une rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1.4 Réponse à une entrée sinusoïdale . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Système de la formeK

1 + τp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2.1 Régime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2.2 Réponse impusionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2.3 Réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2.4 Réponse à une entrée rampe . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2.5 Réponse à une entrée sinusoïdale . . . . . . . . . . . 8

1.2 Les modèles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Etude de l’équation caractéristique sans second membre . . . . 9

1.2.1.1 ξ > 1 (Régime apériodique) deux racines réelles . . . 10

1.2.1.2 ξ = 1 (Régime critique) deux racines doubles réelles . 10

1.2.1.3 ξ < 1 (Régime pseudo périodique) deux racines com-plexes conjuguées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1.4 Régime libre pour ξ < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1.5 Réponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1.6 Réponse indicielle (échelon de commande)ξ < 1 . . . 13

1.2.1.7 Réponse à une rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1.8 Terme de retard e−τp = e−τjω . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Plan de Nyquist (lieu de Nyquist) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Prenons un exemple pour F (jω) = 1 + jωτ = 1 +jω

ω0

. . . . . 14

ii Table des matières

1.3.2 F (jω) =1

1 + jωτ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Lieu de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Représentation du gain k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 Termes en k(p)α ou encore k(jω)α . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Termes en (1 + τp)β : (1 + jωτ)β . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.4 Termes (1− Zp)β = (1− jωτ)β . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.5 Termes du second ordre (1 +2ξp

ωn+

p2

ω2n

)γ = (1− ω2

ω2n

+ j2ξω

ωn)γ 18

2 Stabilité des systèmes asservis 21

2.1 Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Critère d’application général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Critère de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Application à l’étude de la stabilité d’un processus . . . . . . 23

2.2.3 Critère de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Critère simplifié : critère du revers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Notion de robustesse de la stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.1 A partir de la réponse indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4.2 A partir de la réponse fréquentielle (facteur de résonnance) . . 25

2.4.3 Définition de la marge de phase et de la marge de gain . . . . 25

2.4.4 Définition de la marge de retard . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Précision des systèmes asservis 27

3.1 Précision dynamique d’un système du premier ordre à retour unitaire 27

3.1.1 En boucle fermée : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Précision dynamique d’un système du second ordre à retour unitaire . 29

3.2.1 Erreur du système à une entrée échelon (asservissement enposition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Précision statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 Définition des erreurs stationnaires : . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1.1 Pour une entrée de type échelon de commande . . . . 32

3.3.2 Pour une entrée de type rampe (commande en vitesse) . . . . 32

3.3.2.1 Pour une commande en accélération . . . . . . . . . 32

3.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Correction des systèmes continus asservis 35

4.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Notion de réglabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Polytech’ Clermont T. Chateau

Table des matières iii

4.3 Correcteurs classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.1 Résumé des objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.2 Définition des actions proportionnelle, intégrale et dérivée . . 37

4.3.3 Régulateur à action proportionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.4 Correcteur proportionnel dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.5 Correcteur à avance de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.6 Correcteur à action proportionnelle et intégrale . . . . . . . . 39

4.3.7 Correcteur à retard de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.8 Le correcteur à action proportionnelle, intégrale et dérivée . . 41

5 Systèmes numériques, régulation numérique 43

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Rappels sur les signaux à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.1 Description des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.2 Signaux fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.2.1 Echelon unitaire Γn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.2.2 Impulsion unitaire δn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.3 Outil mathématique pour les signaux discrets : la transforméeen Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.4 propriétés de la transformée en Z . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.4.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.4.2 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.4.3 Avance/retard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.4.4 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.4.5 Théorème de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.4.6 Théorème de la valeur initiale . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.5 Fonction inverse TZ−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.6 Equations récurrentes <=> TZ . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.3 Fonction de transfert, stabilité et performances . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.1 Fonction de transfert d’un processus muni d’un bloqueurd’ordre zéro (B0Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3.2 Transformée en Z modifiée (étendue) . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3.3 Stabilité des systèmes dans le plan Z . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3.4 Critère de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3.5 Forme standard de F (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3.6 Précision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3.7 La cadence d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


iv Table des matières

5.4 Modèle numérique du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Synthèse d’un correcteur aux instants d’échantillonnage 55

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.1 Factorisation et séparation d’une transmittance . . . . . . . . 55

6.2.1.1 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.1.2 Séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.2 Structure en cascade (boucle ouverte) . . . . . . . . . . . . . . 56

6.2.3 Système bouclé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.3 Synthèse de correcteurs numériques par la méthode des pôles dominants 58

6.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3.2 Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3.2.1 Modèle à atteindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3.2.2 Structure du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.3.2.3 Calcul des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.3.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3.3.1 Calcul du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3.3.2 Structure du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.3.3.3 Equation caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . 62


Chapitre 1

Comportement temporel des

systèmes du 1er et 2ème ordre

L’intérêt des modèles du premier et second ordre est que de nombreux phéno-mènes physiques peuvent être assimilés à des comportements de ce type :

– Télécommunications,– astronomie,– radar,– contrôle industriel,– économie,– géologie,– médecine...

Il est donc important d’en étudier la réponse aux différents signaux élémentaires.Notons que la réponse à une combinaison de ces signaux élémentaires sera donnéepar la combinaison des réponses à chacun de ces signaux.

1.1 Les modèles du 1er ordre

1.1.1 Intégrateur (1

p)

u(p) 1/p y(p)

F (p) =y(p)

u(p)=

1

p→{

py(p) = u(p)y = u

(1.1)

Dans un intégrateur, la sortie intègre le signal d’entrée.

Remarque : Attention aux conditions initiales :

Si u(t) = 0 et.y= 0 =⇒ y(t) = constante = y(t0)∀t ∈ t0

Alors, la sortie garde sa valeur initiale.

2 Comportement temporel des systèmes du 1er et 2ème ordre

1.1.1.1 Réponse impulsionnelle

u(t) = aδ(t− t0) et y(t0) = 0 pour t ≤ t0

y(t) =

∫ t

t0

aδ(λ− t0)dλ = a (1.2)

La réponse d’un intégrateur à une impulsion de dirac est une constante. Le mêmerésultat peut être obtenu en utilisant la Transformée de Laplace :

F (p) =Y (p)

U(p)=⇒ Y (p) = U(p)F (p)

si u(t) = aδ(t− t0) =⇒ U(p) = ae−top

d’où y(p) = a.e−top.1

p

Avec e−top.1

p→ échelon retardé

(1.3)

y(t) = a.Γ(t− t0) (1.4)

a

y(t)

t0

Remarque :

Si y(t0) = y0 6= 0, alors la réponse impulsionnelle s’ajoute à y0 :


1.1 Les modèles du 1er ordre 3

y(t)

t0

a + y0

t

y0

1.1.1.2 Réponse indicielle

La réponse indicielle est la réponse à un échelon de commande.

u(t) = aΓ(t− t0)→ U(p) =a

pe−top (1.5)

Nous avons toujours : y(p) = F (p)U(p)

=1

p.a

pe−top (1.6)

Y (p) =a

p2e−top : rampe retardée de t0 et de pente a (1.7)

Avec y(t) = a(t− t0) (1.8)



y(t)

t0

t

y0

Sortie

1.1.1.3 Réponse à une rampe

u(t) = a(t− t0), l’intégrateur aura en sortie une réponse parabolique.

1.1.1.4 Réponse à une entrée sinusoïdale

Si u(t) = a cos wt

y(t) =a

wsin wt =

a

wcos(wt− π

2)

(1.9)

Le signal de sortie est déphasé deπ

2et son amplitude est divisée par la pulsation w.

1.1.2 Système de la formeK

1 + τp

Ce sont des systèmes dont le fonctionnement est régi par une équation différen-tielle faisant intervenir une variable et sa dérivée :

τdy

dt+ y = Ku(t) (1.10)

Avec :– τ : constante de temps du système– K : gain statique. Si u(t) = u0 = constante et que le système est stable (il

n’évolue plus en sortie) :dy

dt= 0

y(t) = Ku0 (1.11)



Par Laplace, il vient (pour des conditions initiales nulles) :

τp Y (p) + Y (p) = KU(p) (1.12)

Y (p)

U(p)=

K

1 + τp(1.13)

1.1.2.1 Régime libre

Le régime libre est la réponse du système en l’abscence d’entrée. C’est la solutionde l’équation différentielle sans second membre.

τdy

dt+ y = 0 (1.14)

y = −τdy

dt→ y(t) = y(0)e−t/τ (1.15)

L’evolution de la sortie en fonction du temps est donnée par la courbe ci-dessous :

τ

y(0)

t0

y(0)

e

Dans la suite de ce chapitre, nous considérerons que les conditions initiales sontnulles.

1.1.2.2 Réponse impusionnelle

u(t) = δ(t) =⇒ U(p) = 1

F (p) =Y (p)

U(p)=

K

1 + τp=⇒ Y (p) =

K

τ.

1

p + 1/τ

(1.16)

d’où, avec la table des transformées :

y(t) =K

τe−t/τ (1.17)

La réponse impulsionnelle fournit donc le régime libre du système :



τ

y(t)K

τ

K

τ e

t

0

Elle peut être utilisée comme méthode d’identification des systèmes du premierordre.

Remarque : l’allure de la réponse impulsionnelle tracée précédemment appelleà un commentaire. En effet, comment obtenir instantanément la valeur (K/τ) pourla théorique et étant donnée la nature de l’impulsion de dirac envoyée la réponse sedécomposera en deux temps :

t ∈ [0, θ] : réponse à un échelon,

t ∈ [θ,∞] : réponse libre

1.1.2.3 Réponse indicielle

Il s’agit de la réponse à un échelon de commande u(t) = Γ(t), U(p) =1

p

y(p) =1

p.

K

1 + τp=

K

p− K

p +1

τd’où y(t) = K(1− e−t/τ )

(1.18)

Notons que la réponse impulsionnelle correspond bien à la dérivée de la réponseindicielle.



τ 2τ

y(t)

K

0, 87K

0, 66K

t

La réponse sera d’autant plus importante que θ sera petit devant τ , la constantede temps du système.

1.1.2.4 Réponse à une entrée rampe

u(t) = a(t− t0), t0 = 0, nous considérons que a = 1.

U(p) =1

p2

Y (p) =1

p2.

1

1 + τp= K(

1

p2− τ

p+

τ

p + 1/τ)

(1.19)

D’où y(t) = K(t− τ + τ.e−t/τ (1.20)

Définitions :

On appelle régime permanent, l’état de la sortie pour t → ∞ (Notion Basse

Fréquence)ds

dt→ φ ou cte.

On appelle régime transitoire l’état pour les valeurs de t faibles (Notion Haute

Fréquence)ds

dt→ δ



τ

τ

e

y(t)

K = 1

entrée

sortie

t0

1.1.2.5 Réponse à une entrée sinusoïdale

u(t) = a sin ω0t→ U(p) = a.ω0

p2 + ω02

soit Y (p) = aω0

p2 + ω02.

K

1 + τp

(1.21)

=aω0K

τ.

1

p2 + ω20

.1

p + 1/τ(1.22)

On décompose en éléments simples

1

p2 + ω20

.1

p +1

τ

=Ap + B

p2 + ω20

+C

p +1

τ

(1.23)

Ap + B

p2 + ω20

est le produit des racines complexes conjuguéesA′

p− jω0

+B′

p + jω0

=(Ap + B)(p +

1

τ) + C(p2 + ω2

0)

(p2 + ω20)(p +

1

τ)

(1.24)

=⇒ par identification =⇒

A + C = 0 (p2)

B +A

τ= 0 (p)

B

τ+ Cω2

0 = 1 (cte)

(1.25)


1.2 Les modèles du second ordre 9

=⇒ A = − τ 2

1 + ω20τ

2, B =

τ

1 + ω20τ

2, C =

τ 2

1 + ω20τ

2(1.26)

D’où :

Y (p) =aω0K

τ.

τ

(1 + ω20τ

2)[−τp + 1

p2 + ω20

+τ

p + 1/τ]

Y (p) =aK

1 + ω02τ 2[− ω0τp

p2 + ω20

+ω0

p2 + ω20

+ω0τ

p + 1/τ]

(1.27)

On en déduit y(t) :

y(t) =aK

1 + ω20τ

2[−ω0τ cos ω0t + sin ω0t +ω0τe−t/τ ] (1.28)

Avec

–aK

1 + ω20τ

2: le gain

– −ω0τ cos ω0t + sin ω0t : une fonction sinusoïdale– ω0τe−t/τ : une exponentielle décroissante

1.2 Les modèles du second ordre

Les modèles du second ordre, caractérisent les systèmes régis par une équationdifférentielle du second ordre :

d2y

dt+ 2ξω0

dy

dt+ ω2

0y = kω20.u (1.29)

=⇒ La fonction de transfert associée est :

F (p) =kω2

0

p2 + 2ξp ω0 + ω20

(1.30)

L’équation précédente est sous une forme canonique, avec des conditions initialesnulles. Il existe une très grande variété de processus physiques (mécanique, ther-mique, thermodyn, électrique) dont le fonctionnement obéit à de telles équations.

1.2.1 Etude de l’équation caractéristique sans secondmembre

p2 + 2ξω0p + ω20 = 0 (1.31)

. L’équation (1.29) admet deux racines.

Suivant la valeur de ξ, trois cas se présentent :– Si ξ > 1, deux racines réelles : P1,2 = −ξω0 ± ω0

√ξ2 − 1

– Si ξ = 1, deux racines doubles réelles : P1,2 = −ξω0

– Si ξ < 1, deux racines complexes conjuguées : P1,2 = −ξω0 ± jω0

√1− ξ2



1.2.1.1 ξ > 1 (Régime apériodique) deux racines réelles

La solution de l’équation différentielle est donc

y(t) = Aep1t + Bep2t (1.32)

On retrouve la somme de deux termes du premier ordre déjà étudiés.

Les racines de l’équation caractéristique sont alors les pôles de la fonction detransfert :

F (p) =Kω2

0

p2 + 2ξpω0 + ω20

=Kω2

0

(p− p1)(p− p2)

p1, p2 : réels

(1.33)

Dans ce cas de figure, la fonction du second ordre est équivalente à deux fonctionsdu premier ordre en cascade.

1.2.1.2 ξ = 1 (Régime critique) deux racines doubles réelles

1.2.1.3 ξ < 1 (Régime pseudo périodique) deux racines complexes conju-guées

1.2.1.4 Régime libre pour ξ < 1

u(t) = 0 y(to) = y0 6= 0

La forme générale de l’évolution de y(t) est la suivante :

y(t) = Aep1t + Bep2t (1.34)

On en déduit : { .y (t) = p1Aep1t + p2Bep2t

.y (0) = p1A + p2B

(1.35)

Si t = 0, on a :y(0) = A + B =⇒ B = y(0)− A

D’où.y (0) = p1A + p2y(0)− p2A

(1.36)

On en déduit les valeurs de A et de B :

A =

.y (0)− p2y(0)

p1 − p2

B =p1y(0)−

.

y(0)

p1 − p2

(1.37)

Dans le cas ξ < 1, les racines ont pour valeur :

p1 = −ξω0 + jω0

√1− ξ2 = ω0e

jφ

p2 = −ξω0 − jωo

√1− ξ2 = ω0e

−jφ

(1.38)



Avec :

cos φ = −ξ

sin φ =√

1− ξ2

(1.39)

Généralement, 0 < ξ < 1, d’où cos φ < 0

On en déduit :

φ = π − Arc sin√

1− ξ2 (1.40)

Les paramètres ω0, ωp = ω√

1− ξ2 et ξ, se définissent comme suit :

ω0 = pulsation naturellewp = pulsation propreξ = coefficient d’amortissement

(1.41)

D’où y(t) =

y(t) =1

p1 − p2

[(y(0)− p2y(0))ep1t + (p1y(0)− y(0))ep2t]

=1

p1 − p2

[y(0)[ep1t − ep2t] + y(0)[p1ep2t − p2e

p1t]]

=1

2jω0

√1− ξ2

[.

y(0) e−ξω0t[ejω0

√1ξ2t − e−jω0

√1−ξ2t]+

y(0)e−ξω0t.ω0[ejφe−jω0

√1−ξ2t − e−jφejω0

√1−ξ2t]]

(1.42)

=e−ξω0t

2jω0

√1− ξ2

[.

y(0) .2j sin ω0

√1− ξ2t + y(0)2jω0 sin[ φ− ω0t

√1− ξ2t]

(1.43)Or φ = π − arc sin

√1− ξ2

y(t) =e−ξω0t

√1− ξ2

[

.

y(0)

ω0

sin(ω0t√

1− ξ2 + y(0) sin(ω0t√

1− ξ2 + arc sin√

1− ξ2)]

(1.44)

1.2.1.5 Réponse impulsionnelle

F (p) =Y (p)

U(p)=

Kω20

p2 + 2ξωop + ω20

(1.45)

On applique une impulsion : u(t) = λ(t) = 0 U(p) = 1

Y (p) =Kω2

0

(p− p1)(p− p2)(1.46)



Avec :

{p1 = −ξω0 + jω0

√1− ξ2

p2 = −ξω0 − jω0

√1− ξ2

(1.47)

Décomposons Y (p) en éléments simples :

Y (p) = Kω20(

A

p− p1

+B

p− p2

)

On obtient A =1

P1 − P2

et B =1

P2 − P1

D’où Y (p) =Kω2

0

p1 − p2

[1

p− p1

− 1

p− p2

]

y(t) =Kω2

0

2jω0

√1− ξ2

[ep1t − ep2t]

y(t) =Kω0√1− ξ2

e−ξω0t[ejω0t√

1−ξ2 − e−jω0t√

1−ξ2

2j]

(1.48)

y(t) =Kω0e

−ξω0t

√1− ξ2

sin(ω0t√

1− ξ2) (1.49)

Remarque : y′(0) = Kω20



1.2.1.6 Réponse indicielle (échelon de commande)ξ < 1

u(t) = (t) =⇒ U(p) =1

p

Y (p) =1

p.

Kω20

p2 − 2ξω0p + ω20

= Kω20

1

p(p− p1)(p− p2)p1 et p2 (indices)

On décompose en éléments simples :

= Kω20[

A

p+

B

(p− p1)+

C

(p− p2)]

Y (p) = Kω20[

1

p1p2p+

1

p1(p1 − p2)(p− p1)+

1

p2(p2 − p1)(p− p2)]

Or p1.p2 = ω20, d’où

Y (p) = K[1

p+

1

(p1 − p2)[

p2

p− p1

− p1

p− p2

]]

D’où

y(t) = K[1 +1

(p1 − p2)(p2e

p1t − prep2t)]

(1.50)

y(t) = K[1− e−ξω0t

1− ξ2sin(ω0t

√1− ξ2 + arc sin

√1− ξ2)] (1.51)

1.2.1.7 Réponse à une rampe

u(t) = t =⇒ U(p) =1

p2

Y (p) =1

p2.

Kω20

p2 + 2ξω0p + ω20

On décompose en éléments simples :

y(p) = Kω20[

A

p2+

B

p+

C

(p− p1)+

D

(p− p2)] P1, P2

D’où y(t) = Kω20[Bt + ye(t)]

avec ye(t) : réponse du système à un échelon

(1.52)



Courbe de phase :

ϕ = arctg2ξ

10

ωn

1− ω

ωn

2

ω → 0, ϕ→ 0ω →∞, ϕ→ +180

ω → ωn, ϕ =π

2

(1.53)

Remarque :

Dans la pratique, les termes du second ordre apparaissent généralement au dé-nominateur des fonctions de transfert. La courbe d’amplitude et de phase sont doncinversées et la même étude conduit à :

Il existe un maximum du gain pour ξ < 0.7

Gmax =1

2ξ.√

1− ξ2pour ωr = ωn

√1− 2ξ2 (1.54)

1.2.1.8 Terme de retard e−τp = e−τjω

{GdB = 20log

√cos τy2 + sin (τω2)− odB

ϕ = −τω → ϕ varie de 0 à −∞ (1.55)

Les termes de retard sont très souvent présents dans les processus physiques réels.Lorsque ces retards sont petits on peut utiliser l’équivalence

e−Tp = (1 + Tp)−1 = 1− Tp (1.56)

1.3 Plan de Nyquist (lieu de Nyquist)

Le plan de Nyquist est le plan complexe permettant de représenter la partie réelleet imaginaire de F (jω). La courbe aussi obtenue est graduée en ω.

1.3.1 Prenons un exemple pour F (jω) = 1 + jωτ = 1 +jω

ω0

Re.[F (jω)] = 1Im[F (jω)] = ωτ =⇒ La représentation est une demi droite

(1.57)

1.3.2 F (jω) =1

1 + jωτ

F (jω) =1− jωτ

1 + jω2τ 2=

1

1 + ω2τ 2− j

ωτ

1 + ω2τ 2(1.58)


1.4 Lieu de Black 15

Re =1

1 + ω2τ 2

Im = − ωτ

1 + ω2τ 2

(1.59)

On peut toujours tracer la courbe pant à pant.

ω = 0 Re = 1 Im = 0

ω =1

τRe =

1

2Im = −1

2ω =∞ Re = 0 Im = 0

(1.60)

Ou bien l’équation du lieu :

x = Re =1

1 + ω2τ 2, y = Im = − ωτ

1 + ω2τ 2

→ x(1 + ω2τ 2) = 1 y = x(−ωτ) = −x1

τ

√1

x− 1.τ

→ ω2 = (1

x− 1).

1

τ 2

y

x= −

√1

x− 1

(1.61)

Notons que le rapporty

x< 0, et que y < 0, donc le lieu de Nyquist se situera sur le

demi plan inférieur complexe.

On en déduity2

x2=

1

x− 1

y2 = x− x2 =⇒ y2 + x2 − x = 0

(1.62)

y2 + (x− 1

2)2 − 1

4= 0 (1.63)

=⇒ équation d’un cercle de rayon1

2, centre en (

1

2, 0)

Notons que chaque pant de la courbe peut être repéré par ses coordonnées po-laires |F (jω)| et ϕ = Arg(F (jω)). De ce fait, il est donc possible de tracer le lieude Nyquist à partir du lieu de Bode.

1.4 Lieu de Black

Le lieu de Black représente la fonction de transfert F (p) en portant en abscissela phase exprimée en degrés et en ordonnées le gain en dB.

Ce tracé se déduit facilement de celui de Bode, la courbe ainsi obtenue est graduéepar les différentes valeurs de la pulsation ω.



L’utilisation du lieu de Black trouvera toute son utilité lors du calcul des réseauxcorrecteurs.

Exemple :

F (p) =k

1 + τp=

k

1 + jωτ(1.64)

ω =1

τ=⇒

{ϕ = −arctg1 = −45GdB = 20 log k − 10log2

(1.65)

Important :

Puisque toute fonction de transfert peut se mettre sous la forme de produitde base, le module exprimé en dB sera en fait la somme de l’influence de chaqueélément pris séparemment et l’argument total de F (jω) sera la somme des argumentsélémentaires.

Le tracé GdB|F (jω)| = f(ω) est appelé diagramme d’amplitude.

Le tracé 1 Arg F (jω) = f(ω) est appelé diagramme de phase.

1.4.1 Représentation du gain k

G = 20 log|k| = cte (1.66){

ϕ = 0 si k > 0= −π si k < 0

(1.67)

1.4.2 Termes en k(p)α ou encore k(jω)α

Rappelons que α > 0 =⇒ terme de dérivation

Rappelons que α < 0 =⇒ terme d’intégration

GdB = 20 logK|jω|α = 20 logkωα = 20 logk + 20α log ω (1.68)

GdB = kdB + 20α log ω (1.69)

Cette expression montre que si on utilise comme variable log 10, GdB est une droite.

Alors le diagramme d’amplitude est donc tracé sur papier semi-logarithmique enabscisse.

On définit :– l’octave comme étant l’intervalle (ω, 2ω)– la décade comme étant l’intervalle (ω, 10ω)

Dans notre cas, on en déduit :

G(2ω)−G(ω) = 20α log2ω

ω= 6αdB/octave

G(10ω)−G(ω) = 20α log 10 = 20αdB/dcade

(1.70)



La droite ainsi définie coupe l’axe des φdB pour

20 log k + 20α log ω = 0log k = log ω−α (1.71)

ω = (1

k)−1/α (1.72)

Pour ω = 1, GdB = kdB

La courbe de phase est donnée par Arg k(jω)α = ϕ

=⇒ ϕ = απ

2, quelque soit ω

1.4.3 Termes en (1 + τp)β : (1 + jωτ)β

Etude β = 1, τ > 0 :

{GdB = 20 log|1 + jωτ |ϕ = Arg|1 + jωτ | (1.73)

d’où :

GdB = 20 log√

1 + ω2τ 2 = 10 log(1 + ω2τ 2) (1.74)

Etude asymptotique

ω → 0 GdB → odB : asymptote confondue à l’axe odBω →∞

GdB → 10 logω2τ 2 = 20 logωτ20 logτ + 20 logω

(1.75)

→ droite de pente GdB/oct coupant l’axe des odB en log ω = − log Z

=⇒ ω =1

τ: pulsation de coupure (1.76)

Attention le tracé asymptotique ne donne que l’allure de la caractéristique.

Valeurs réelles :

ω =1

ZGdB ≈ 3dB (d’où le nom de pulsation de coupure) ↔ filtre

ω =2

ZGdB ≈ 7dB

(1.77)Diagramme de phase :

ϕ = Arg(1 + jωτ) = Arctgωτ (1.78)



ω → 0 ϕ→ 0

ω →∞ ϕ→ π

2= 90

ω =1

Zϕ = 45

(1.79)

Remarque : Si β > 1

Il suffira de réaliser la somme (addition) graphique, gain et phase, de chaqueélément (1 + Z : p) pris séparemment.

1.4.4 Termes (1− Zp)β = (1− jωτ)β

(β = 1)

GdB = 20 log√

1− ω2Z2 = 10 log(1 + ω2Z2)ϕ = Arg(1− jωZ) = −Arctg τω (1.80)

La courbe du gain est identique à la précédente.

La courbe de phase a un signe opposé.

Remarque : si β < 0

Les β sommes deviennent autant de soustractions à réaliser puisque les courbesde phase et gain changent toutes de signe.

1.4.5 Termes du second ordre (1+2ξp

ωn

+p2

ω2n

)γ = (1−ω2

ω2n

+j2ξω

ωn

)γ

γ = 1, ξ > 0

GdB = 20 log[(1− ω2

ω2n

) + (2ξω

ωn)2]1/2 (1.81)

Etude asymptotique :

ω → 0 GdB → odB

ω →∞ GdB ≈ 20 log(ω

ωn)2 = −40 log ωn + 40 logω (1.82)

=⇒ droite de pente 12dB/oct, coupant l’axe des φdB pour ω = ωn

L’allure de la courbe d’amplitude va dépendre de la valeur de ξ.

G = ((1− ω2

ω2n

)2 + (2ξω

ωn)2)1/2 (1.83)



Soit la dérivée de G/ω : pulsation de résonance

σG

σω= 0 si et seulement si (u′ = 0)2(1− ω2

ω2n

)(−2ω

ω2n

) + 4ξω

ωn.2

ξ

ωn= 0

d’où − ω

ω2n

(1− ω2

ω2n

) + 2ξ2ω

ω2n

= 0

=⇒ −1 +ω2

ω2n

+ 2ξ2 = 0 =⇒ ωR = ωn

√1− 2ξ2

(1.84)

Avec ωR = ωn

√1− 2ξ2 la pulsation de résonance

– Cette pulsation n’existe que si 2ξ2 < 1

=⇒ ξ < 0.7 et Gmin = 2ξ√

(1− ξ2) (1.85)

– ξ = 0.7, ωR = 0 et Gmin = 0dB– ξ > 0.7, G > 1 d’où GdB > 0dB


Chapitre 2

Stabilité des systèmes asservis

2.1 Définition générale

Tout système physique est caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t) qui estaussi sa fonction de transfert.

L’évolution de cette réponse dans le temps permet de dire si un système eststable ou non.

Définition : Un système est asymptotiquement stable si

limt→∞

h(t) = 0 (2.1)

Ce qui implique que les pôles de la fonction de transfert soient à partieréelle négative.

– Si on considère le système à retour unitaire suivant :

+

-

X(p)ε(p)

Y (p)T (p)

L’étude de la stabilité reviendra à calculer les solutions de l’équation caracté-ristique : 1 + T (p) = 0En effet :

F (p) =T (p)

1 + T (p)=⇒ les pôles sont donnés par :

(2.2)

1 + T (p) = 0 : équation caractéristique (2.3)

– Deux cas peuvent se présenter :

1. Le système est dit à déphasage minimal si la fonction de transfert enboucle ouverte ne possède ni zéros instables, ni pôles instables ni retard.

22 Stabilité des systèmes asservis

2. Le système est dit à déphasage non minimal dans les autres cas

– Premier cas : on pourra appliquer des critères simplifiés de stabilité.– Deuxième cas : un critère d’application général devra être utilisé.

2.2 Critère d’application général

2.2.1 Critère de Routh

C’est un critère algébrique qui permet de déterminer le nombre de racines àpartie réelle > 0 d’un polynome P (λ) à coefficients réels.

P (λ) = a0 + arλ + ... + anλn (2.4)

Construction du tableau de Routh

ligne 1 an an−2 an−4 an−6

Ligne 2 an−1 an−3 an−5 an−7

Ligne 3 a31 a32 a33 a34

Ligne 4 a41 a42 a43 a44

a31 =an−1.an−2 − an.an−3

an−1

a32 =an−1.an−4 − an.an−5

an−1

(2.5)

On remplit ainsi toutes les lignes jusqu’à obtenir des 0.– Le tableau de Routh associé à un polynôme d’ordre n comporte (n + 1) lignes

(en général) et le nombre de changement de signe dans la première colonne dutableau indique le nombre de racines de P (λ) à partie réelle > 0.

– Si dans la construction du tableau, l’un des pivots est nul, les autres coefficientsde la ligne étant non nuls, cela implique l’existence d’au moins une racine àpartie réelle > 0.Si on veut continuer la construction du tableau pour connaître les autres signesdes racines, on peut remplacer le pivot nul par un nombre ξ arbitrairementpetit de signe quelconque.

– Si tous les coefficients d’une ligne (k + 1) sont nuls, le polynôme P (λ) possèdedes racines imaginaires . Ces racines sont des solutions du polynôme P (λ) = 0.

– Si tous les éléments de la première colonne sont nuls (sauf le premier) onapplique le critère de Routh au polynôme (λ + α)P (λ) avec α < 0.

Exemple 1 :P (λ) = λ4 + 4λ3 + 7λ2 + 16λ + 12 (2.6)

L1 1 7 12L2 4 16 0L3 3 12 0L4 0 0 0


2.2 Critère d’application général 23

Le système est stable car tous les éléments de la première colonne sont de mêmesigne.

Exemple 2 :

p(λ) = λ6 − 5λ5 + 11λ4 − 25λ3 + 34λ2 − 20λ + 24 (2.7)

L1 1 11 34 24L2 −5 −25 −20 0L3 6 30 24 0L4 0 0 0 0

L’analyse de la première colonne révèle l’éxistence d’au moins deux racines à partieréelle supérieure à 0

2.2.2 Application à l’étude de la stabilité d’un processus

X(p)ε(p)

Y (p)4p + 1

p(p2 + 0.3p + 1)(5p− 1)k

Choisir k pour que le système reste stable.

Equation caractéristique :

1 + T (p) = 0

T (p) =k(4p + 1)

p(p2 + 0.3p + 1)(5p− 1)

=⇒ p(p2 + 0.3p + 1)(5p− 1) + k(4p + 1) = 0

5p4 + 0.5p3 + 4.7p2 + p(4k − 1) 6= k = 0

(2.8)

L1 5 4.7 k

L2 0.5 (4k − 1) 0

L3 (14.7− 40k) k 0

L4 [(14.7− 40k)(4k − 1)− 0.5k

14.7− 40k] 0



=⇒ Système stable si et seulement si il y a le même signe sur la première colonne(partie réelle inférieure à 0).

=⇒{

(14.7− 40k) > 0 k < 0.3675et (14.7− 40k)(4k − 1)− 0.5k > 0

(2.9)

(k − 0.2572)(k − 0.357) > 0

k > 0.357ouk < 0.2572

(2.10)

=⇒ k > 0

D’où stabilité du système si

0.357 < k < 0.3675 (pas beaucoup de marge) !

ou 0 < k < 0.2572

(2.11)

2.2.3 Critère de Nyquist

(NON TRAITE)

2.3 Critère simplifié : critère du revers

Exprime dans le plan de BLACK, la condition de stabilité stipule que pour lepoint ω0 correspondant à |T (jω)| = 1 (ou 0dB) on ait un déphasage < −180 .

O

G/dB

−180

ϕ/o

instable

stable

En d’autre terme, si on parcourt le lieu de Black pour des ω ↑ on laisse le point[OdB,−1800)] sur la droite.


2.4 Notion de robustesse de la stabilité 25

2.4 Notion de robustesse de la stabilité

Les critères précédents permettent de dire si un système est "mathématique-ment" stable, oscillant ou divergeant. Mais il ne renseigne pas sur la proximité del’instabilité.

Cette notion de degrés de stabilité est importante car elle conditionnera la ro-bustesse du processus asservi face aux perturbations extérieures ou aux erreurs demodélisation de F (p).

Analyse à postériori :

2.4.1 A partir de la réponse indicielle

Un système du second ordre présente des oscillations plus ou moins importantessuivant la valeur du coefficient d’amortissement ξ.

=⇒ Plus il est stable, moins le dépassement est important, mais plus tm (tempsde montée) est long. (Notion de compromis).

=⇒ Vouloir une réponse trop rapide entraîne un système plus instable.

2.4.2 A partir de la réponse fréquentielle (facteur de réson-

nance)

Nous avons vu que pour ξ < 0.7, la réponse fréquentielle présente un maximumd’amplitude caractérisé par le facteur de résonance λ = 1 qui augmente quand ξbaisse.

En pratique, un amortissement satisfaisant est obtenu pour ξ > 0.7 =⇒ Dépas-sement indiciel < 4%.

=⇒ Rappelons que le facteur de résonance (pour un système à retour unitaire)peut se déduire du lieu de Black (utilisation des ABAQUES) et qu’il est d’autantplus grand que l’on se rapproche du point (−180 , OdB).

2.4.3 Définition de la marge de phase et de la marge de gain

Ces deux informations permettent d’estimer la proximité de T (jω) du poit(−180 , OdB) (dans le plan de black).

– Marge de phase : Mϕ : caractérise l’écart en phase entre T (jω) et (−180 )lorsque |T (jω)| = 1 (OdB)

– Marge de gain : MG : caractérise l’écart en gain par rapport à OdB pour undéphasage de −180 .



G/dB

−1800

Mϕ

MG ϕ/o

Remarque : Pour certaines configurations du système, la stabilité impose qu’undes paramètres soit compris entre deux bornes. On parle alors de stabilité condi-tionnelle.

En pratique :– La marge de gain est exprimée en réel en non dB. Elle indique le gain maximal

que peut supporter le système sans être déstabilisé.– La marge de phase s’exprime en degrés. On admet que Mϕ d’au moins 45

assure une très bonne stabilité.

2.4.4 Définition de la marge de retard

L’introduction d’un retard pur du système e−Trp est source d’instabilité (retardentre la commande et la réponse du process).

Ces retards interviennent souvent dans la modélisation des systèmes réels.

|e−TRp| = 1 Arg(e−TRp) = −TRω (2.12)

Dans Black, on aura donc translation horizontale de la courbe d’une valeur −TRω(Donc du côté −180 ).

La valeur maximale de TR avant l’instabilité :

TRω0 + ϕ0 = π (2.13)


Chapitre 3

Précision des systèmes asservis

Ce chapitre a pour objectif d’étudier les performances des systèmes asservis etd’évaluer les erreurs éventuelles par rapport aux consignes de commande. Soit lesystème suivant : (nous supposerons que l’étude de stabilité a été réalisée.)

e(t)

+

+

−

−H1

H2

ε(t)

Fs(t)

L’erreur du système bouclé est définie par ε(t) = e(t)− s(t)

=⇒ La précision du système est définie à partir de l’analyse du comportementde ε(t) :

– Précision statique : limt→∞ ε(t) (erreur en régime permanent)– Précision dynamique : elle dépend de l’évolution de ε(t) (erreur pendant le

régime transitoire)Nous allons étudier les précisions statique et dynamique des systèmes du premier etsecond ordre à retour unitaire.

3.1 Précision dynamique d’un système du premier

ordre à retour unitaire

On considère un système du premier ordre, régi par la fonction de transfert T (p)suivante :

T (p) =K

1 + τp=

S(p)

E(p)en boucle ouverte (3.1)

28 Précision des systèmes asservis

+

-

E(p)ε(p)

T (p)S(p)

ε(p) = E(p)− S(p) (3.2)

L’étude de la précision peut être conduite pour n’importe quel type de signal d’en-trée. On a coutume d’utiliser un échelon unitaire, ce qui simplifie les calculs.

3.1.1 En boucle fermée :

F (p) =T (p)

1 + T (p)=

K/(1 + τp)

1 + K/(1 + τp)=

K

K + 1 + τp

=K/(K + 1)

1 +τ

K + 1p

=K1

1 + τp(Fonction du premier ordre)

(3.3)

K1 =K

K + 1

τ1 =τ

K + 1

(3.4)

Comme on applique un échelon à l’entrée :

ε(p) = ε(p)[1− F (p)] (3.5)

e(t) = 1 =⇒ ε(t) = 1− s(t)= 1−K1(1− e−t/τ1)

(3.6)

– t→∞, ε(t) = 1−K1 =1

K + 1– La décroissance exponentielle est d’autant plus rapide que τ1 est petit [(tr =

3τ) temps de réponse du système ] et donc que K1 est grand.On parle alors de rapidité ou raideur qui est liée à l’évolution du signal d’erreur.

Relation rapidité/réponse en fréquence : Cette caractéristique représente lemodule de F (p) en fonction de la fréquence. Nous voyons que c’est un filtre passebas. On note que plus τ est petit et plus ω0 augmente laissant passer davantage dehautes fréquences. Un système capable de réagir rapidement a donc nécessairementune bande passante large : dualité (temps/fréquence).


3.2 Précision dynamique d’un système du second ordre à retour unitaire29

G/dB

20. log

(K

K + 1

)

1/τ ω

Remarques :– La fréquence de coupure est directement mesurable dans l’abaque de Black

sans connaître l’expression analytique de T (jω).– Pour une constante de temps τ , fixée, la vitesse du système sera d’autant plus

importante que le gain en boucle ouverte K sera grand.

3.2 Précision dynamique d’un système du second

ordre à retour unitaire

La fonction de transfert en boucle ouverte d’un tel système est de la forme

T (p) =K

p(1 + τp)(3.7)

Soit encore

F (p) =T (p)

1 + T (p)=

K

p(1 + τp) + K=

1

1 +p

K+

τ

Kp2

(3.8)

et donc de la forme canonique :

F (p) =1

1 + 2ξ

ωnp +

1

ω2n

p2

ωn =

√K

τ

2ξ

ωn

=1

K

ξ2 =1

2.

1√Kτ

(3.9)



3.2.1 Erreur du système à une entrée échelon (asservissementen position)

ε(t) = Ae−ξωn t sin(ωpt + ϕ) (3.10)

(0 < ξ < 1)

e(t)

t0

1

Remarques– La forme de ε(t) est caractérisée par la valeur de ξ. plus ξ devient faible et

plus le système présente des oscillations avant l’amortissement final.– Rapidité de réponse : le système est d’autant plus rapide que son régime tran-

sitoire est court (tr est défini à ±5%). tr augmente lorsque ξ diminue (régimeoscillant), mais tr peut être également très grand quand ξ est important (amor-tissement long dans le temps). =⇒ En dérivant on montre que tr minimumest obtenu pour ξ voisin de 0, 7.

– Relation entre amortissement et rapidité sur la représentation en fréquence :nous avons vu que plus ξ est petit, plus Q, le facteur de résonance, est impor-tant. le module de F (p) passe donc par un maximum important qui peut êtrenéfaste au système (surtensions).Par contre, la pulsation de coupure (donc la bande passante) qui caractérise laraideur du système augmente. Il est donc nécessaire de trouver un compromisafin d’avoir un bon temps de réponse tout en limitant les surtensions du gain.

– Relation précision dynamique gain : Idem, plus K augmente, plus ωc aug-mente (et donc la bande passante) permettant au système de réagir rapide-ment (hautes fréquences). Cependant attention aux oscillations dues à ξ quidécroît.

– Fonction d’ordre > 2 : Pour les systèmes d’ordre > 2, on peut généralementconduire les mêmes analyses que pour les systèmes du second ordre. Les ré-ponses fréquentielles de tels systèmes sont en fait très voisines.

– Si ξ > 1 la réponse ressemble à celle d’un premier ordre.


3.3 Précision statique 31

3.3 Précision statique

3.3.1 Définition des erreurs stationnaires :

On appelle erreur stationnaire d’ordre n, la limite de εn(t) lorsque t → ∞,lorsqu’on applique à l’entrée du système un signal :

en(t) =tn−1

(n− 1)!Γ(t) (3.11)

Soit, dans le plan de Laplace

En(p) =1

pn

(3.12)

Ainsi n = 1 e1(t) = Γ(t) E1(p) =1

p[ échelon de position ]

n = 2 e2(t) = t E2(p) =1

p2[ échelon de rampe ]

n = 3 e3(t) =t2

2E3(p) =

1

p3[ échelon d’accélération ]

(3.13)

En utilisant le théorème de la valeur finale sur la transformée de Laplace, il vient :

limt→∞

ε(t) = limp→0

p ε(p) (3.14)

Si on considère un système bouclé à retour unitaire :

ε(p) = E(p)− S(p) = E(p)− T (p)ε(p)

ε(p) =E(p)

1 + T (p)

(3.15)

Nous exprimons T (p) sous la forme :

T (p) =K

pα.N(p)

D(p)(3.16)

avec pα : pôles en p = 0 aussi appelés pôles à l’origine ou intégrateur

=⇒ T (p) =K

pα.1 + a1p + a2p

2...

1 + bp + b2p2...

si p→ 0 alors T (p) ≈ K

P α

(3.17)



3.3.1.1 Pour une entrée de type échelon de commande

E1(p) =1

p=⇒ ε(p) =

1

p(1 + T (p))

limp→0 pε(p) = limp→0

1

1 + T (p)= limp→0

1K

pα

(3.18)

– si α = 0 (système du premier ordre)

ε1∞(t) =1

1 + K=

1

Kp← constante d’erreur de position (3.19)

– si α ≥ 1→ (précense d’au moins un pôle à l’origine)

ε1∞(t) = 0 ← erreur statique nulle : la sortie est asservie sur l’entrée

(3.20)

3.3.2 Pour une entrée de type rampe (commande en vitesse)

E2(p) =1

p2=⇒ ε(p) =

1

p2(1 + T (p))

limp→0 pε(p) = limp→0

1

p(1 +K

pα)

(3.21)

si α = 0 ε2∞ =∞

si α = 1 ε2∞ = limp→0

1

p(p + K

p)

=1

K=

1

Kvconstante d’erreur en vitesse

si α ≥ 2 ε2∞ = 0(3.22)

3.3.2.1 Pour une commande en accélération

α = 0 ε3∞ =∞α = 1 ε3∞ =∞α = 2 ε3∞ =

1

K=

1

Kaα ≥ 3 ε3∞ = 0

(3.23)


3.3 Précision statique 33

nombre de pôles à l’origine 0 1 2 α > 2

εp (position)1

Kp0 0 0

εv (vitesse) ∞ 1

Kv0 0

εa (accélération) ∞ ∞ 1

Ka

0

3.3.3 Conclusion

On constate généralement que si le système en boucle ouverte possède α pôles àl’origine son erreur stationnaire s’annule pour une entrée fonction du temps de degrè(α− 1).

S’il en possède (α−1) alors cette erreur est constante et décroît pour des valeursde K importantes (gain).

L’erreur stationnaire dépendra donc du nombre de pôles à l’origine de la fonctionde transfert en boucle ouverte mais également du gain.

Notons le rôle important de ce gain à la fois dans le comportement statique etdynamique du système.


Chapitre 4

Correction des systèmes continus

asservis

4.1 Problématique

L’étude précédente des système asservis a mis en évidence l’intérêt d’introduireles systèmes à automatiser au sein d’une boucle d’asservissement pour :

– améliorer la précision statique et dynamique– améliorer la stabilité (un système instable en BO peut devenir stable et BF)– diminuer l’influence des perturbations– diminuer l’influence des variations des paramètres du système

Cependant, même bouclés, il est parfois nécessaire de modifier le comportementglobal de ces processus de manière à répondre aux spécifications d’un cahier descharges. Les problèmes envisagés sont alors les suivants :

– comment diminuer les erreurs stationnaires du système (augmenter le gain enboucle ouverte) sans pour autant modifier le facteur de résonance (donc labande passante) ?

– comment augmenter la bande passante sans modifier le facteur de résonance ?– comment augmenter le degré de stabilité sans modifier le gain en boucle ou-

verte ?– Comment diminuer le temps de réponse ?– ...

Pour apporter une réponse à toutes ces questions, il est alors nécessaire d’introduire,dans la boucle d’asservissement, un système appelé correcteur ou régulateur agis-sant sur le signal d’erreur (cf fig. 4.1) Dans la littérature, les correcteurs sont séparésen 2 classes :

1. les correcteurs spécifiques : ils sont conçus et réalisés pour une applicationparticulière,

2. les correcteurs « classiques » : la structure de leur fonction de transfert eststandard, seul les paramètres peuvent être modifiés pour satisfaire à l’applica-

36 Correction des systèmes continus asservis

E(p)

C(p)S(p)

e(p)+

-

T(p)

CORRECTEUR

Fig. 4.1 – Place du correcteur dans la boucle de commande

tion (ils sont réalisés et commercialisés, donc leur temps de mise en place esttrès court).

De nombreuses méthodes existent pour réaliser la synthèse des correcteurs. Dansle cadre de ce document, seule l’étude dans le plan de Black est abordée.

La régulation analogique est toujours très présente dans le milieu industriel. Ilfaut noter que les techniques modernes utilisent de plus en plus l’informatique ets’orientent vers une régulation numérique, abordée dans le prochain chapitre.

4.2 Notion de réglabilité

Cette notion est principalement utilisée pour les systèmes présentant un retardpur important. La réponse indicielle d’un tel système est donnée figure 4.2

t

y(t)

Tr Tu Ta

Fig. 4.2 – Notion de réglabilité

On distingue 3 phases :


4.3 Correcteurs classiques 37

1. TR : temps de retard,

2. TU : temps de décollement,

3. TA : temps de montée.

TD = TR +TU , Délais nécessaire pour qu’une commande ait une action significative.

On appelle réglabilité le rapportTA

TD

; il se détermine expérimentalement. En

pratique, un système sera d’autant plus facile à réguler queTA

TD

sera grand :

1. Réglabilité élevée :TA

TD> 10. Le système réagit dès qu’on lui applique une

consigne, il est très facile à réguler.

2. Réglabilité faible :TA

TD< 4. Le système est en limite de commandabilité. Il y

a un délais important entre l’application d’une entrée et la réaction en sortie.

4.3 Correcteurs classiques

4.3.1 Résumé des objectifs

La conception d’un correcteur doit prendre en compte les objectifs suivants :

1. accroître la stabilité : éloigner processus du point d’instabilité. Pratiquement,un réglage de 450 pour la marge de phase et 10db pour la marge de gain.

2. augmenter le gain du système en boucle ouverte, du coté des basses fréquences,pour augmenter la précision statique.

3. augmenter la bande passante pour diminuer le temps de réponse (glissementdes fréquences élevées vers les gains importants)

4. provoquer une avance de phase en fréquences moyennes pour aider la stabili-sation et diminuer les distorsions

4.3.2 Définition des actions proportionnelle, intégrale et dé-

rivée

Action proportionnelle Le signal de commande est proportionnel au signal d’er-reur. C(p) = k (translation verticale dans le plan de Black)

Action Intégrale C’est une action en régime permanent et en basses fréquences.

C(p) =1

τiP



Action dérivée C’est une action en régime dynamique et en hautes fréquences.C(p) = τdP .

Remarque : Les actions intégrale et dérivée ne s’emploient jamais seules, maistoujours associées à une action proportionnelle.

4.3.3 Régulateur à action proportionnelle

Le correcteur proportionnel est le plus simple des correcteur. Il s’agit de modifierla consigne à appliquer au système asservi en d’amplifiant ou en atténuant le signald’erreur. Son expression est :

C(p) = k (4.1)

où k est un gain constant positif. Dans le diagramme de Black, l’influence de cecorrecteur se traduit par une translation verticale du lieu de Black .Si la valeur dek est inférieure à 1, le signal est atténué et le lieu de black est translaté vers lebas. Dans un cas général, cela traduit une augmentation de la robustesse du signalet une détérioration de son erreur statique. Si la valeur de k est supérieure à 1, lesignal est amplifié et le lieu de black est translaté vers le haut. Dans le cas général,cela traduit une diminution de la robustesse du système et une amélioration de sonerreur statique. La figure 4.3.3 montre l’effet d’un correcteur proportionnel sur lelieu de Black.

4.3.4 Correcteur proportionnel dérivé

La forme théorique de ce correcteur est :

C(p) = k(1 + τd.p) (4.2)

Comme l’effet de l’action proportionnelle a été vu ci-dessus, posons k = 1. Ce typede correcteur provoque un accroissement de gain et de phase vers les fréquencesélevées. La figure 4.3.4 montre cet effet sur le lieu de Black

Le but de ce correcteur est d’augmenter la marge de gain, et, ainsi, d’accroitrela stabilité du système. Pour qu’il fonctionne correctement, il doit être correctementréglé :

1

τd

< ωR (4.3)

où ωR est la pulsation de résonance du système. Si la marge de phase est augmentée,il est possible de jouer sur le gain k pour améliorer le temps de réponse et la précisiondu système.

4.3.5 Correcteur à avance de phase

Le correcteur proportionnel dérivé n’est pas réalisable physiquement. Un correc-teur à avance de phase est alors utilisé pour produire un effet semblable dans une



-180

G/db

phi/deg

O

k>1

k=1

0<k<1

Fig. 4.3 – Action proportionnelle

gamme de fréquence importante. Son expression est la suivante :

C(p) =1 + aτp

1 + τp, a > 1 (4.4)

L’effet de ce correcteur dans le diagramme de Black est représenté sur la figure 4.3.5.

Un réglage correct de ce correcteur est indispensable pour le bon fonctionne-ment du système asservi. Un mauvais réglage peut avoir un effet déstabilisant sur lesystème.

De plus, il convient de remarquer que le gain du système est amplifié pour lestrès hautes fréquences. Il en résulte qu’il faut limiter le gain a (souvent à 10) poureviter une déstabilisation lors des régimes transitoires.

4.3.6 Correcteur à action proportionnelle et intégrale

Le correcteur à action proportionnelle et intégrale est utilisé pour augmenter laprécision statique. Son expression est la suivante :

C(p) = 1 +1

τip=

1 + τip

τip(4.5)



-180

G/db

phi/deg

O

avantcorrection

aprèscorrection

Fig. 4.4 – Action proportionnelle et dérivée

La figure 4.3.6 montre l’effet de ce correcteur sur le lieu de Black.

On remarque que l’influence du correcteur proportionnel intégrale apparaît uni-quement en basse fréquence. Il est important, pour avoir un réglage satisfaisant, de

respecter la condition1

τi< ωR. Dans ce cas, ni la pulsation de résonance, ni le fac-

teur de résonance ne sont modifiés. La précision dynamique du système reste doncinchangée.

4.3.7 Correcteur à retard de phase

Le correcteur à retard de phase est une approche du correcteur ProportionnelIntégral. Sa transmittance est la suivante :

C(p) =1 + τp

1 + bτp, b > 1 (4.6)

C(p) s’écrit également :

C(p) = k′1 + aτ ′p

1 + τ ′p, a < 1 (4.7)

On retrouve une expression similaire à celle de l’équation (4.4). Il est donc possible,à partir de ce type de réseau, de constituer, soit un correcteur à avance de phase(a > 1), soit un correcteur à retard de phase (a < 1). La figure 4.3.7 montre l’effetde ce correcteur sur le lieu de Black. Les conditions de réglage du correcteur à retard



-180

G/db

phi/deg

O

avantcorrection

aprèscorrection

Fig. 4.5 – Correcteur à avance de phase

de phase sont :1

τ< ωR (4.8)

Ce type de correcteur permet d’augmenter la marge de phase tout en conservant unbon gain en basse fréquence. En d’autres termes, il est alors possible d’augmenterle gain statique (translation vers le haut du lieu de Black), c’est à dire la précisionstatique, tout en maintenant le même facteur de résonance et les mêmes marges degain et de phase.

Lorsqu’il est mal réglé, le correcteur à retard de phase peut devenir déstabilisantpour le système.

4.3.8 Le correcteur à action proportionnelle, intégrale et dé-rivée



-180

G/db

phi/deg

O

avantcorrection

aprèscorrection

Fig. 4.6 – Correcteur proportionnel intégral

-180

G/db

phi/deg

O

avantcorrection

aprèscorrection

Fig. 4.7 – Correcteur à retard de phase


Chapitre 5

Systèmes numériques, régulation

numérique

5.1 Introduction

Nous avons vu dans les chapitres précédents l’analyse et la régulation d’un pro-cessus analogique. Les correcteurs associés à de tels systèmes sont généralementcâblés.Une évolution toute logique de l’automatisme est d’intégrer un calculateur numé-rique dans la boucle. Cette intéraction n’est pas sans conséquence sur l’approchethéorique car il est alors nécessaire d’utiliser des outils propres aux signaux dis-crets. Dans l’exemple (a) de la figure 5.1, l’ensemble des signaux est numérique. Lecalculateur est positionné à la place du correcteur. Sur l’exemple (b), on parle deboucle tout numérique. Le calculateur gère tous les signaux (comparateur, chaînede retour...).

Remarque sur la nature du processus à régulerLa nature continue du processus à réguler (moteur, vanne, enceinte ther-mique,...) impose une commande de type analogique. Le passage desinformations discrètes de commande depuis l’ordinateur jusqu’au pro-cessus s’effectue par un bloqueur d’ordre zéro (B0Z) qui maintient lesinformations entre deux échantillons. Par conséquence, une fonctionde transfert du processus à réguler dans une boucle numériqueincluera obligatoirement un bloqueur d’ordre zéro

5.2 Rappels sur les signaux à temps discret

Tout comme les signaux continus, les signaux discrets sont une appélation sim-plifiée des ’signaux à temps discret’. La variable discrétisée est le temps.t ∈ {t1, .., tn} et le signal x(t) est défini uniquement pour ces instants. L’intervalleséparant deux valeurs de x(t) peut être variable. Cependant, pour la majorité des

44 Systèmes numériques, régulation numérique

y(k)

y(k)

y

ε(k)

(a)

(b)

calcul

calcul

CN

A

CN

A

CA

N

CA

N

process

process

u(k)yc(k)

u(k)

Fig. 5.1 – Exemples de systèmes numériques

applications, celui-ci est fixe :

tn+1 − tn = ∆t = T : période d’échantillonnage

L’introduction des signaux à temps discret est liée à l’utilisation sans cesse croissantedes calculateurs numériques. Le signal discret x{tn} est noté xn ; la suite desvaleurs {xn} se dénomme également “séquence”.

5.2.1 Description des signaux

La façon la plus simple de définir un signal discret xn est de lui affecter un tableaude valeurs. Toutefois, il est possible de définir des échantillons par des relations dutype :

xn = a + bn + cn

où a, b et c sont des paramètres qui définissent xn.

5.2.2 Signaux fondamentaux

Aux équations linéaires à coefficients et aux signaux exponentiels dans le domainecontinu, il est possible de faire correspondre des équations récurrentes à coefficients


5.2 Rappels sur les signaux à temps discret 45

constants et des suites géométriques :

Continu Discret.x −ax = 0 , x(0) = c xn+1 − axn = 0 , x0 = cx(t) = ceat xn = can

5.2.2.1 Echelon unitaire Γn

{Γn = 0 pour n < 0Γn = 1 pour n ≥ 0

La représentation de ce signal est donnée figure 5.2.

0 2

1

Γn

n

Fig. 5.2 – Echelon unitaire Γn

5.2.2.2 Impulsion unitaire δn

{δn = 0 pour n 6= 0δn = 1 pour n = 0

La représentation de ce signal est donnée figure 5.3.Un signal discret peut s’écrire comme une somme d’impulsions de dirac retardées :

xn =∞∑

k=−∞

xk.δn−k (5.1)

Remarque : On travaillera souvent pour des signaux causaux (dé-finis uniquement pour n > 0)



0 2

1

δn

n

Fig. 5.3 – Impulsion unitaire δn

5.2.3 Outil mathématique pour les signaux discrets : la trans-

formée en Z

L’outil mathématique d’analyse des signaux continus est la transformée de La-place :

X(p) =

∫∞

−∞

x(t)e−ptdt ; p : variable complexe (5.2)

Un outil analogue a été développé pour les signaux discrets : la transformée en Zqui associe à une suite {xn} une fonction X(z) de variable complexe :

X(z) =

∞∑

n=−∞

xnz−n (5.3)

L’existence de la transformée en Z est liée à la convergence de la série.Nous travaillons avec des signaux discrets où xn = 0 si n < 0. La formule de latransformée en Z devient alors :

X(z) =∞∑

n=0

xnz−n (5.4)

Exemple : calcul de la transformée en Z de x(t) = e−at :

x(nT ) = e−anT =(e−aT

)n= An

X(z) =

∞∑

n=0

An.z−n =

∞∑

n=0

(A

z

)n

= 1 +A

z+

(A

z

)2

+ ... +

(A

z

)n

C’est une suite géométrique de raisonA

zD’où :

X(z) =1

1− Az

=z

z −A=

z

z − e−aT


5.2 Rappels sur les signaux à temps discret 47

Le plus souvent, le calcul de la transformée en z peut s’effectuer en utilisant unetable de conversion x(t)→ X(p) pour chaque sous-élément de x(t).

5.2.4 propriétés de la transformée en Z

Tout comme la transformée de Laplace, la transformée en Z possède certainespropriétés remarquables.

5.2.4.1 Linéarité

Z[a.xm + b.ym] = a.X(z) + b.Y (z) (5.5)

avec a, b ∈ IR

5.2.4.2 Convolution

Soit {cm} = {xn ∗ yn} : produit de convolution tel que cm =∑+∞

m=−∞xm.yn−m

Z[c] = X(z).Y (z)

5.2.4.3 Avance/retard

La figure 5.4 illustre cette propriété :

f : k → f(k)

g : k → g(k) = f(k − k0)

les fonctions f et g sont causales (f, g(k) = 0 si k < 0).

G(z) = z−k0F (z) (5.6)

On en déduit :Z(xn+1) = z.X(z) (5.7)

Z(xn−1) = z−1.X(z) (5.8)

Cette relation est très importante car elle permet de calculer la transfor-mée en Z d’une fonction très simplement si elle est exprimée sous formerécurrente.

5.2.4.4 Somme

∞∑

n=0

xn = limz→1

X(z) (5.9)



00

11

g(k)f(k)

nn k0

Fig. 5.4 – Avance, retard

5.2.4.5 Théorème de la valeur finale

x+∞ = limz→1

(z − 1)X(z) (5.10)

5.2.4.6 Théorème de la valeur initiale

x0 = limz→∞

X(z) (5.11)

5.2.5 Fonction inverse TZ−1

Plusieurs méthodes sont envisageables pour retrouver une expression temporelledu signal xn(t) :

– Il est possible de calculer l’intégrale de transformation inverse par la méthodedes résidus (non traité dans ce cours).

– Une méthode plus pratique consiste à exprimer X(z) sous la forme d’unesérie

∑∞

n=−∞xn.z−n par une division polynomiale. Le passage à xn(t) est alors

immédiat grâce au théorème avance/retard.– Une troisième méthode consiste à décomposer l’expression de X(z) sous forme

d’éléments simples (pôles+résidus), et d’utiliser les tables inverses.

5.2.6 Equations récurrentes <=> TZ

Soit le système suivant :


5.3 Fonction de transfert, stabilité et performances 49

X(z)

G(z)

Y (z)0, 5.z−1

1− z−1 + 0, 5.z−2

Y (z)

X(z)= G(z) =

0, 5.z−1

1− z−1 + 0, 5.z−2

Y (z)(1− z−1 + 0, 5.z−2) = 0, 5.z−1.X(z)

Y (z)− z−1.Y (z) + 0, 5.z−2.Y (z) = 0, 5.z−1.X(z)

yn − yn−1 + 0, 5.yn−2 = 0, 5.xn−1

On cherche yn+1 en fonction des valeurs précédentes :

yn+1 = yn − 0, 5.yn−1 + 0, 5.xn

On obtient l’expression de l’échantillon yn+1 en fonction de la nouvelle entrée xn etdu passé du système matérialisé par les valeurs yn et yn−1.On note alors l’intérêt de la TZ pour la programmation numérique des asservisse-ments. En effet, ses équations sous forme récurrentes sont très faciles à programmer.

5.3 Fonction de transfert, stabilité et performances

5.3.1 Fonction de transfert d’un processus muni d’un blo-

queur d’ordre zéro (B0Z)

xn

B0Z

F (p)y(t)

Analyse du B0Z Son rôle est de maintenir la valeur de l’échantillon jusqu’à lacommande suivante. Le bloqueur s’exprime de la façon suivante :

B0(p) =1− e−∆p

p(5.12)

Calculons la transformée en Z de B0(p).F (p) :

Z[B0(p).F (p)] = Z

[F (p)

p

]−[

F (p)

p.e−∆p

]

G(z) = (1− z−1).Z

[F (p)

p

](5.13)



5.3.2 Transformée en Z modifiée (étendue)

La transformée en Z permet de connaître et de contrôler un processus aux ins-tants d’échantillonnage. Il ne nous renseigne pas sur l’état du process aux instantsintermédiaires. On introduit alors la transformée en Z modifiée (T (z, m)) qui pourm ∈ {0; 1} introduit un retard sur l’échantillonnage et permet de voir le comporte-ment entre 2 échantillons. La formule générale est la suivante :

G(z, m) =

∞∑

k=0

g(k + m)z−k (5.14)

Il existe des tables de transformée en Z modifiées.

5.3.3 Stabilité des systèmes dans le plan Z

Tout comme pour les systèmes continus, les pôles caractérisent la dyna-mique du processus. Un système est dit stable s’il s’amortit dans le tempslorsque l’on applique une impulsion de dirac à l’entrée.

Définition : un système numérique n’est stable que si tout ses pôlessont à l’intérieur du cercle unitaire. Il est d’autant plus stable que lespôles sont à l’intérieur.

Lorsque les pôles d’un système ne peuvent pas être extraits de manière simple,la calcul de la stabilité s’effectue à l’aide d’un critère algébrique, par exemple lecritère de Jury.

5.3.4 Critère de Jury

Le critère de jury permet de savoir si les racines d’un polynôme sont de moduleinférieur à 1. Si le polynôme étudié est l’équation caractéristique d’un système as-servi, ce critère informe sur la stabilité du système. La forme de ce critère est définiepour un polynôme de degrès quelconque. Dans le cadre de ce cours, seuls le cas despolynômes d’ordre 2 et 3 est présenté :

Cas d’un système de degrè 2

F (z) = a2.z2 + a1.z + a0,

avec a2 > 0. F (z) admet des zèros de module inférieur à un (|Z0| < 1) si :

1. |a0| < a2

2. F (1) > 0


5.3 Fonction de transfert, stabilité et performances 51

3. F (−1) > 0

Cas d’un système de degrè 3

F (z) = a3.z3 + a2.z

2 + a1.z + a0,

avec a3 > 0. F (z) admet des zèros de module inférieur à un (|Z0| < 1) si :

1. |a0| < a3

2. F (1) > 0

3. F (−1) < 0

4. a20 − a2

3 < a0a2 − a1a3

5.3.5 Forme standard de F (z)

La représentation de F (z)sous une forme standard nous renseigne rapidement surle nombre de zéros, pôles, avance ou retard, phénomène d’intégration du système :

Gainm

F (z) =K

(z − 1)m.z−r.

N(z)

D(z)m m m

intégration retard sortie/entrée

(5.15)

Le gain K se détermine de la façon suivante :

K = limz→1

(z − 1)m.F (z) (5.16)

5.3.6 Précision

+

-

X(z)ε(z)

G(z)Y (z)

Soit ε(z) l’erreur, dans le plan en z, liée au système. Cherchons l’erreur ε∞(k) =limk→∞ ε(k) correspondante dans le domaine temporel en régime permanent stabi-lisé.

ε∞(k) = limz→1

(z − 1)ε(z) : Th. de la valeur finale



5.3.7 La cadence d’échantillonnage

La période d’échantillonnage T ne doit pas être choisie aléatoirement. En effet :– Il est inutile de perdre du temps à calculer les signaux de commande en choi-

sissant T très petit.– T trop grand ne peut convenir non plus, il faut respecter le théorème de Shan-

non : 1

T> 2.la fréquence la plus haute du signal à échantillonner.

Premier ordre Deuxième ordre1

1 + T0p

1

1 + 2ξ pωn

+(

pωn

)2

Fc =1

2πT0

Fc ≈ Fn =ωn

2.π(ξ = 0.7)

T0

4< T < T0 0, 25 < ∆ωn

< 1, 25

5.4 Modèle numérique du second ordre

Le but de ce chapitre est de donner des outils pour calculer les paramètres d’unmodèle numérique du second ordre, connaissant les caractéristiques du système quel’on souhaite. Soit :

F (p) =1

1 + 2ξ pωn

+(

pωn

)2(5.17)

On échantillonne ce système muni d’un bloqueur d’ordre zero. Soit G(z) la fonctionde transfert en z du système obtenu. Cette fonction peut s’écrire sous deux formes :

– Sous forme polynomiale

G(z) =b1z + b0

z2 + a1z + a0

(5.18)

– Sous la forme de pôles +zéros

G(z) =(z − z0)

(z − z1)(z − z∗1)(5.19)

Le but est de calculer les valeurs des différents coefficients ( b1, b0, a1 et a0 dans lecas de la forme polynomiale et z0 et z1 dans le cas de la forme pôles +zéros) en fonc-tion du modèle de comportement que l’on désire (Dépassement, temps de montée,amortissement). Nous utiliserons les propriétés suivantes, sans les redémontrer dansle cadre de ce cour.

α = e−ξωn∆

ωp = ωn

√1− ξ2


5.4 Modèle numérique du second ordre 53

a0 = α2

a1 = −2.α. cos(ωp.∆)

b0 = α2 + α

[ξωn

ωpsin(ωp.∆)− cos(ωp.∆)

]

b1 = 1− α

[ξωn

ωpsin(ωp.∆) + cos(ωp.∆)

]

z1, z∗

1 = exp[(−ξωn(+/−)jωp)∆]

z0 = −b0

b1


Chapitre 6

Synthèse d’un correcteur aux

instants d’échantillonnage

6.1 Introduction

Ce chapitre présente des méthodes de synthèse de correcteurs numériques aux ins-tants d’échantillonnage. Les systèmes concernés sont des systèmes linéaires à tempsinvariant.

6.2 Généralités

6.2.1 Factorisation et séparation d’une transmittance

6.2.1.1 Factorisation

Soit une transmittance échantillonnée H(z−1). H(z−1) est dite factorisée (onparle aussi de factorisation spectrale) si on peut l’écrire sous la forme :

H = H+.H− (6.1)

avec :– H+ : terme regroupant les pôles et les zéros stables de H– H− : terme regroupant les pôles et les zéros instables de H

Si H s’identifie à H+, la transmittance est dite positive. Elle correspond à un mini-mum de phase et à un système stable.

6.2.1.2 Séparation

H(z−1) est dite séparée si on peut l’écrire sous la forme :

H = H+ + H− (6.2)

avec :

56 Synthèse d’un correcteur aux instants d’échantillonnage

– H+ : terme regroupant les pôles et les zéros stables de H– H− : terme regroupant les pôles et les zéros instables de H

Souvent, il est pratique de décomposer une transmittance en pôles et zeros, stableset instables (pour des raison de simplification de notations, le paramètre z est omis) :

H =HN

HD=

H+

N .H−

N

H+

D.H−

D

(6.3)

avec H+ =H+

N

H+

D

et H− =H−

N

H−

D

6.2.2 Structure en cascade (boucle ouverte)

On considère le schéma de la figure 6.1. Soit H(z−1) =Y (z−1)

E(z−1)la transmittance

e(t) e ∗ (t) y(t) y ∗ (t)C(z−1) B0(p) G(p)

GBo(z−1)

Fig. 6.1 – Mise en cascade de transmittances

du système en Boucle ouverte. La structure en cascade est stable si H(z−1) peutêtre écrite de la forme :

H(z−1) =HN (z−1)

H+

D(z−1)(6.4)

Les deux conditions nécessaires et suffisantes qui permettent de vérifier (6.4) sont :

1. La trasmittance GBo(z−1) est stable :

GBo(z−1) =

GBo+

N(z−1).GBo−N(z−1)

GBo+

D(z−1)(6.5)

2. Le correcteur est stable et il a pour expression :

C(z−1) =GBo+

D(z−1).B(z−1)

GBo+

N (z−1).A(z−1)(6.6)

où B(z−1) et A(z−1) sont deux polynômes satisfaisants aux équations :

{GBo−N(z−1).B(z−1) = HN(z−1)A(z−1) = H+

D(z−1)(6.7)


6.2 Généralités 57

6.2.3 Système bouclé

La figure 6.2 représente un schéma d’asservissement classique d’un système parun correcteur numérique. Le système continu est échantillonné à la cadence Te. Lebloc G(p) représente la fonction de transfert du système linéaire continu à asservir.On considère que cette fonction de transfert a été déterminée, soit par identification,soit par une modèlisation physique su système. Le bloc C(z) représente la transmit-tance du correcteur. Enfin, le bloc B0(p) est un bloqueur d’ordre zéro, qui maintientla valeur numérique fournie par C(z) entre deux échantillons. Il permet donc la re-constitution d’un signal continu (approximé à l’ordre 0) à partir d’un signal discret.

+

-

+

-

Asservissement numerique

schema equivalent aux instants d’echantillonnage

E(z)

E(z)

S(z)

S(z)

ε(z)

ε(z)

C(z−1)

C(z−1)

G(p)Te

BO(p)

GBo(z−1)

Fig. 6.2 – Système en boucle fermée

La transmittance de la boucle d’asservissement est donnée par :

H(z−1).=

Y (z−1)

E(z−1)=

C(z−1).GBo(z−1)

1 + C(z−1).GBo(z−1)=

HN(z−1)

H+

D(z−1)(6.8)

H(z−1) définie la transmittance du système bouclé corrigé. C’est le modèle que l’onveut obtenir après correction. Comme il est naturel que le comportement à obtenirsoit stable, le dénominateur de H(z−1) ne contient pas de partie instable.

La condition nécessaire et suffisante pour que le système bouclé soit stable, detransmittance H(z−1), est que le correcteur ait pour expression :

C =GB

+

oD.B

GB+

oN .A, (6.9)



avec A(z = 0) 6= 0. B(z−1) et A(z−1) sont deux polynômes en (z−1), qui possèdentles propriétés suivantes :

1. B(z−1) ne contient pas les pôles instables du système (GB−

oD),

2. A(z−1) ne contient pas les zéros instables du système (GB−

oN),

3. B(z−1) vérifie la relation :

GB−

oN .B = HN

4. A et B vérifient la relation :

GB−

oN .B + GB−

oD.A = H+

D

Les deux premières contraintes expriment le fait que le correcteur ne doit pascompenser les pôles et les zéros instables du système. De plus, les deuxdernières relations se démontrent facilement et calculant l’expression de la transmit-tance globale de la boucle d’asservissement :

H =HN

H+

D

=GB

−

oN .B

GB−

oN .B + GB−

oD.A(6.10)

L’équation 6.10 est fondamentale et elle permet, connaissant un modèle de systèmeà atteindre et une structure de correcteurs, d’identifier les différents paramètres dece dernier.

6.3 Synthèse de correcteurs numériques par la mé-

thode des pôles dominants

6.3.1 Introduction

La synthèse d’un correcteur numérique par la méthode des pôles dominants,aussi appelée méthode de ZDAN, consiste à choisir, comme modèle à atteindre, unsystème d’ordre 2. Ainsi, le modèle pourra être spécifié sous la forme, par exemple,d’un temps de montée et d’un dépassement maximum. A partir de ces objectifs àatteindre, il est alors possible de calculer l’expression numérique du modèle, puis deproposer une forme de correcteur qui conduise aux performances souhaitées. Danscette partie, on considère que la transmittance bloquée du système (GBo(z

−1)) estconnue, à la période d’échantillonnage Te.

6.3.2 Description de la méthode

6.3.2.1 Modèle à atteindre

Le modèle à atteindre est fixé par un cahier des charges, qui, lorsqu’il est complet,contient :


6.3 Synthèse de correcteurs numériques par la méthode des pôlesdominants 59

1. Des informations sur le comportement dynamique du modèle. Elles permettentde calculer son modèle numérique du second ordre. Ces informations peuventêtre directement le coefficient d’amortissement et la pulsation propre. Il peutaussi s’agir de spécifications sur la réponse indicielle du système à obtenir,par exemple le temps de montée et le dépassement. Dans ce cas, ξ et ωn sontcalculés à partir de ces valeurs. Le gain statique statique est généralementunitaire.

2. Des informations sur le comportement statique du modèle. Il s’agit des erreursstationnaires. En fonction de l’ordre maximum pour lequel on désire une erreurstationnaire nulle, et du nombre d’intégateurs déjà présents dans le système,ces informations permettent de déterminer le nombre d’intégrateurs présentsdans le correcteur.

La dynamique du modèle est fixée par la position de ses pôles. Dans le cas d’unmodèle d’ordre 2, ces derniers sont deux complexes conjugués obtenus par la relationsuivante :

Z1, Z∗

1 = exp[−ξωnTe ± j√

1− ξ2ωn.Te] (6.11)

Le dénominateur de H(z−1) =HN(z−1)

H+

D(z−1)s’exprime uniquement en fonction de Z1 et

Z∗

1 par la relation :

H+

D(z−1) = (1− Z1z−1)(1− Z∗

1z−1) = 1− (Z1 + Z∗

1 )z−1 + Z1Z∗

1z−2 (6.12)

6.3.2.2 Structure du correcteur

La structure générale du correcteur est donnée par l’équation 6.9 page 57, rapelléeci-dessous :

C(z−1) =GB

+

oD(z−1).B(z−1)

GB+

oN(z−1).A(z−1), (6.13)

Le polynôme B(z−1) se décompose en deux parties :

B(z−1) = Kc.B′(z−1)

où Kc représente le gain associé au correcteur. B′(z−1) est un polynôme enz. Le polynôme A(z−1) se décompose également en deux parties :

A(z−1) = (1− z−1)r.A′(z−1)

où r est le nombre d’intégrateurs à ajouter au système afin d’obtenir les performancesstatiques fixées par le cahier des charges. A′(z−1) est un polynôme en (z−1).

6.3.2.3 Calcul des paramètres

Le gain Kc et les paramètres des polynômes A′(z−1) et B′(z−1) sont calculésen identifiant l’expression du dénominateur du système corrigé avec le modèle à



obtenir :

GB−

oN (z−1).B(z−1) + GB−

oD(z−1).A(z−1) = 1− (Z1 + Z∗

1 )z−1 + Z1Z∗

1z−2 (6.14)

Cette relation est de degrès 2. Cette contrainte limite le choix des degrès de A′(z−1) etde B′(z−1). De plus, la mise en équation de cette relation (identification de chaque de-grè du polynôme) conduit à un système de deux équations. Cela permet de résoudreun problème à deux inconnues. Dans la pratique, on choisi souvent B′(z−1) = 1 etA′(z−1) = 1 + A0z

−1. Lorsque l’ordre du système impose A′(z−1) = 1, il est possiblede choisir B′(z−1) = 1 + B0z

−1. Une autre solution peut aussi être de fixer unecontrainte sur les zéros du système à obtenir (numérateur de H(z−1)), ce qui fixe leparamètre B0.

6.3.3 Exemple

On souhaite réguler un processus dont la fonction de transfert est donnée par :

GBo(z−1) =

0.26z−1

1− 0.74z−1

Les performances du modèle à obtenir sont les suivantes :

1. un dépassement de la réponse indicielle négligeable,

2. un temps de montée de la réponse indicielle tm = 225ms,

3. une erreur de position nulle (ordre 1) nulle.

La période d’échantillonnage est de Te = 0.075ms

6.3.3.1 Calcul du modèle

Le modèle est donné par H(z−1) =NH(z−1)

D+

H(z−1). La dynamique du système est fixée

par son dénominateur, soit D+

H(z−1), composé de deux racines complexes conjuguéesobtenues par la relation :

Z1, Z∗

1 = exp[−ξωnTe ± j√

1− ξ2ωn.Te] (6.15)

Le dépassement de la réponse indicielle doit être faible. Or, le dépassement estdirectement lié au coefficient d’amortissement ξ. Le tableau de la figure 6.3 présenteles relations entre la pulsation propre ωn, le coefficient d’amortissement ξ et lescaractéristiques de la réponse indicielle.

Un faible dépassement (4.6%) est obtenu pour une valeur de ξ de 0.7. D’autrepart, le cahier de charges impose un temps de montée tm = 0.225s. La tableau desvaleurs numériques fournit le produit ωn.tm = 3.29 pour ξ = 0.7. On en déduit :

ωn = 3.29/0.225 = 14.6rd/s



L’équation 6.15 permet de calculer les deux racines complexes conjuguées de H+

D :

Z1, Z∗

1 = −0.3297± j0.3274

Z1 + Z∗

1 = 0.6593 et Z1 ∗ Z∗

1 = 0.2159

On en déduit H+

D :H+

D = 1− 0.6593z−1 + 0.216z−2

Fig. 6.3 – Tableau des valeurs numériques liant les coefficients d’un système dusecond ordre aux caractéristiques de la réponse indicielle

6.3.3.2 Structure du correcteur

Le correcteur utilisé a la structure suivante :

C(z−1) = Kc

GB+

oD(z−1).B′(z−1)

(1− z−1).GB+

oN(z−1).A′(z−1)=

CN(z−1)

CD(z−1),

avec :GB

+

oD(z−1) = 1− 0.74z−1 et GB+

oN(z−1) = 1

Un intégrateur a été ajouté au dénominateur du correcteur pour satisfaire aux exi-gences statiques du cahier des charges (erreur de position nulle). A′(z−1) et B′(z−1)sont des polynômes en z−1.



6.3.3.3 Equation caractéristique

L’équation caractéristique du système est le dénominateur de la fonction de trans-fert du système bouclé corrigé, soit :

Eq(z−1) = CN(z−1).GBoN + CD(z−1).GBoD(z−1)

Soit,

Eq(z−1) = 0.26.Kcz−1B′(z−1) + (1− z−1)A′(z−1)

Cette équation caractéristique doit être identifiée avec le dénominateur du modèle :

Eq(z−1) = H+

D = 1− 0.659z−1 + 0.216z−2

l’ordre du polynôme (2) fixe l’ordre les polynômes A′ et B′ :

A′(z−1) = 1 + A0z−1 et B′(z−1) = 1 + B0z

−1

On en déduit l’expression de l’équation caractéristique :

Eq(z−1) = 1 + (0.26Kc + A0 − 1)z−1 + (0.26KcB0 −A0)z−2

L’identification des différents degrés de cette équation avec le modèle recherchéconduit au système d’équation suivant :

1 = 10.26Kc + A0 − 1 = −0.6580.26KcB0 − A0 = 0.215

(6.16)

Il s’agit d’un système à 2 équations et 3 inconnues. Ce dernier n’est pas suffisementcontraint pour conduire à une seule solution. Il existe alors deux possibilités :

1. Une contrainte est ajoutée. Classiquement, cette dernière peut s’appliquer surla valeur du zéros souhaité dans le modèle, qui règle l’avance de la commande,donc son dépassement indiciel.

2. Si aucune contrainte n’est ajoutée, un des paramètres est fixé. Il faut toutefoiss’assurer que le correcteur obtenu reste alors causal (degrès du dénominateursupérieur ou égal au degrès du numérateur). Généralement, le coefficient B0

est choisi nul.

En posant B0 = 0 le système d’équations devient :

{0.26Kc + A0 − 1 = −0.658−A0 = 0.215

(6.17)

D’où les valeurs des paramètres du correcteur :

A0 = −0.215 et Kc = 2.14



Fig. 6.4 – Schéma de simulation Matlab Simulink du système corrigé

L’expression du correcteur est alors :

C(z−1) = 2.141− 0.74z−1

(1− z−1)(1− 0.215z−1)

La figure 6.4 montre le synoptique de simulation du système, aux instants d’échan-tillonnage, corrigé par la méthode de Zdan. La figure 6.5 montre l’évolution del’erreur, de la commande, et de la sortie du système, pour un signal d’entrèe de typeéchelon. On observe que les performances statiques et dynamiques du système sontatteintes.



S(p) : sortie

E(p) : entree

ε(p) : erreur

U(p) : commande

Fig. 6.5 – Réponse à un échelon du système corrigé. Cette réponse a été calculée àl’aide du module Simulink de Matlab.


Tables de transformée de Laplace et

de transformée en z

Fig. 6.6 – /9


Fig. 6.7 – /9



Fig. 6.8 – /9



Fig. 6.9 – /9



Fig. 6.10 – /9



Fig. 6.11 – /9



Fig. 6.12 – /9



Fig. 6.13 – /9



Fig. 6.14 – /9


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