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Technicien Supérieur

2ème année – 1er semestre

Cours de

Mathématiques Conception et Réalisation de Systèmes Automatiques

Fluides et Energie Domotique

« La rigueur vient toujours à bout de l’obstacle »

Léonard de Vinci

Conception des documents : Etienne Poulin

2017

BTS 1ère Année – Semestre 2 Conception ©E. Poulin2016


L’objectif aujourd’hui est d’introduire un nouvel ensemble de nombres qui convient pour donner une solution à

l’équation i2 1 .

1.1. Un peu d’histoire ! Son utilisation provient des équations du 3 et 4ème degré pour permettre leur résolution. Au XVIème siècle, Bombelli

les appelle impossible. En 1637, Descartes les appelle imaginaire. C’est avec Euler , en1777, que pour la première

fois, les imaginaires restent dans le calcul.

1.2. L’ensemble des nombres complexes Nous admettons ici l’existence d’un nouvel ensemble noté C, de nombres appelés nombres complexes.

Définition : Les nombres complexes sont de la forme a bi où a et b

sont des nombres réels quelconques et i un nombre nouveau tel que

i 2 1

Egalité : a bi a b i ssi a a et b b

1.3. Opérations sur les nombres complexes Théorème : (admis)

On peut définir dans une addition et une multiplication pour

lesquelles les règles de calcul sont les mêmes que dans R, avec

i 2 1

Addition : Multiplication :

z = a + ib et z = a’+ib’ z = a + ib et z = a’+ib’

z+z’ = (a + a’) + i(b+b’) zz’ = (aa’ – bb’) +

i(ab’+a’b)

L’ensemble des nombres réels est un sous-ensemble de l'ensemble

des nombres complexes.

EEttaappee 11.. NNoommbbrreess ccoommpplleexxeess

iz 32

iz 3

4z sont des complexes


Définitions

Soit z = a + bi un nombre complexe.

a est la partie réelle de z. Notation: a = Re(z).

b est la partie imaginaire de z. Notation: b = lm(z).

a·+ bi est la forme algébrique du nombre complexe z.

Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle s'écrit z = bi; il est dit

imaginaire pur.

Les identités remarquables suivantes restent vraies dans le cas où A et B

sont des nombres complexes:

Notons ce nouveau résultat dans : a2 + b2 = (a + i b)(a - i b).

1.4. Représentation géométrique d’un nombre complexe

Image et affixe

On considère le plan P muni du repère orthonormal O u v, ,

Définitions L’image d’un nombre complexe z = a + bi est le point M de coordonnées

(a,b).

L’affixe du point M de coordonnées (a, b) est le nombre complexe z = a + bi.

On peut aussi représenter géométriquement un nombre complexe par un vecteur.

Définitions

Le vecteur image du nombre complexe z = a + bi est le vecteur OM au bv

L'affixe du vecteur OM au bv

est le nombre complexe z = a + bi.

Opérations

Addition

Si z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i sont les affixes respectives de M1 et de M2 donc de

OM V

1 1 et de OM V

2 2 , alors z1 + z2 est l'affixe de V V1 2

Exemple

Multiplication par un nombre réel

Si z1 = a1 + b1i est l’affixe de M1 donc de OM V

1 1 , et si est un nombre réel,

alors z1 est l'affixe de V1

Exemple

Conséquence:

z2-z1 est l’affixe de V V M M2 1 1 2


1.5. Conjugué d’un nombre complexe

Définition

Le nombre complexe conjugué de z = a+ bi est le nombre complexe noté a- bi

noté z .

Exemple

Le conjugué de z = 3 + 2i est z = ……….

Remarque

Soit z = a + bi. En utilisant les règles de calcul dans C, on obtient : z z a 2 et zz a b 2 2

La somme et le produit d'un nombre complexe et de son conjugué sont des

nombres réels.

L’inverse d'un nombre complexe z non nul noté 1z

peut être mis sous la forme

bia en utilisant le conjugué z de z .

Exercice : Mettre sous la forme le nombre complexe i

z32

11

, puis

i

iz

32

412

Pour tous nombres complexes z, z', on a :

z z z z zz z z

1 1

z z

z

z

z

z

1.6. Résolution d’une équation du second degré à coefficients

réels

cbxaxxf 2 est un trinôme du second degré, avec a, b, c réels 0a .

Son discriminant est : = acb 42

Les solutions de l’équation 0xf dans l’ensemble sont !

Si 0 0 0

Solutions

deux solutions réelles :

a

bx

21

et

a

bx

22

Une solution double réelle :

a

bx

20

On pose

Deux solutions complexes

a

ibz

21

et

a

ibz

22

z

z


1.7. Activités

Forme algébrique

Exercice 1 :

Soit les nombres complexes iz 24 et iz 52

Mettre les nombres complexes sous la forme bia

a) 'zz b) 'zz c) 2'z d) '42 zz e) 3z f) '432 zz

Exercice 2 :

Soient les nombres complexes iz 52 et iz 21'

Mettre les nombres complexes suivants sous la forme bia

a) z

1 b)

'

2

z

c)

z

z' d)

z

z

1

1 e)

i1

1 f)

2

2

31

i

i g)

i

i

3

31

Résolutions dans d’équations

Exercice 3 :

a) On considère 92 zzP . En écrivant 22 9izzP factoriser zP . En déduire les

solutions de l’équation 092 z .

b) En utilisant une méthode analogue résoudre les équations

a) 0162 z ; b) 052 z ; c) 0412

z d) 014 z

Exercice 4 :

Résoudre dans les équations suivantes :

a) 0432 zz b) 0252 rr c) 0132 rr d) 09124 2 zz

e) 062 zz f) 03 2 rr g) 0232 2 rr h) 0962 rx

i) 052 2 zz j) 073 2 z k) 020115 2 rr l) 0310

1

1200

1 2 xx

Exercice 5 :

1) Résoudre dans l’équation 0222 xx . On notera 0x et 1x les deux solutions.

2) Résoudre dans l’équation 0422 zz . On notera 0z et 1z les deux solutions.

3) On désigne par A, B, C et D les points du plan complexe d’affixes respectives 0x , 1x , 0z et 1z .

Représenter le quadrilatère ABCD. Montrer que ce quadrilatère est un carré dont on précisera le centre.

Exercice 6 :

Soit 632 23 zzzzP .

1) Vérifier que z=2 est une solution de l’équation 0zP

2) Montrer que 32 2 zzzP

3) Résoudre dans l’équation 0zP


2.1. L’essentiel Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. La dérivée du produit uv est :

(uv)' = u'v + uv', d'où u'v = (uv)' - uv'.

Les fonctions u et v sont dérivables, donc continues; si de plus les fonctions u' et v' sont

continues sur I, alors u'v, (uv)' et uv' sont continues donc intégrables.

Soient a et b deux éléments de I, alors :

u t v t dt uv dt u t v t dta

b

a

b

a

b

' ' '

c’est à dire u t v t dt u t v t u t v t dta

b

a

b

a

b

' '

Théorème Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I dont les dérivées sont continues sur I,

alors, quels que soient les éléments a et b de I, on a :

u t v t dt u t v t u t v t dta

b

a

b

a

b

' '

Exemples

Calcul de l'intégrale: I te dtt 01

.

On pose pour tout nombre t de [0, 1]

u t e

v t t

t'

donc

u t e

v t

t

' 1

d'où

I te e dt

I e e e e

t t

t

0

1

0

1

0

1

1

1 1

Recherche de la primitive de la fonction logarithme népérien, s'annulant pour x = 1

Soit F cette primitive. Pour tout réel x de 0; on a:

F x tdtx

ln1

On pose pour tout nombre t de 0;

u t

v t t

'

ln

1 donc

u t t

v t t

' 1

d'où F x t t dt x x t x x xx x x

ln ln ln1 1 1

1

EEttaappee 22.. IInnttééggrraattiioonn ppaarr ppaarrttiieess


2.2. Exercices Exercice 1 :

Calculer en utilisant une intégration par parties, l’intégrale : e

xdxex1

ln

Exercice 2 :

Soit f la fonction définie sur IR par tettf 2 .

A l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale 2

0dttfI .

Vérifier le calcul à l’aide de votre calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel

Exercice 3 :

A l’aide d’une intégration par parties calculer la valeur exacte des intégrales suivantes :

01

1

2

1

0

2

3

3

0

1

0

2

4

0

1

0

2

2

1

0

3

)2sin()1(H )ln()5(E

)2ln()53(J )32(

)3cos(3K )46(

)cos()1(G )13(

)sin()12(F )5(

dtttdttt

dttttdtetD

dtttdtetC

dtttdtetB

dtttdtetA

e

et

t

t

t

Vérifier chaque résultat à l’aide de votre calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel.

Exercice 4 : Deux Intégrations par parties.

A l’aide de deux intégrations par parties successives, calculer l’intégrale : 2

0

222 dxexI x .

Vérifier votre calcul à l’aide de votre calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel.

Exercice 5

On désigne par n un entier relatif différent de –1.

1) Calculer l’intégrale : . ln1

e

n

n dtttI à l’aide d’une IPP.

2) En déduire le calcul de l’intégrale : . )² (ln1

e

n

n dtttJ

(Aide : appliquer au départ une IPP)


On considère dans tout ce qui suit une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une

probabilité.

Préambule : Lois de probabilités – Loi binomiale

Loi de probabilité

Lorsqu’on associe à chaque issue d’une expérience aléatoire un nombre réel, on définit

une variable aléatoire notée X.

On note « ixX » l’événement formé de toutes les issues auxquelles on associe le réel

ix .

La loi de probabilité de la variable aléatoire X est définie dans le tableau ci-dessous

xi x1 x2 x3 … xm

P(X = xi) p1 p2 p3 … pm

La somme de toutes les probabilités vaut 1.

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X est le réel noté

m

i

ii xpXE1

Loi de Bernoulli

La loi de Bernoulli de paramètre p ( 1;0p ) est la loi de probabilité de la variable

aléatoire X qui prend comme valeur 1 en cas de succès, avec une probabilité égale à p, et

0 en cas d’échec.

Loi Binomiale

La loi binomiale de paramètre n et p est la loi de probabilité de la variable aléatoire X

égale au nombre de succès lors de la répétition de n épreuves de Bernouilli de paramètre

p de façon indépendante.

Le coefficient binomial

k

n est le nombre de chemins réalisant k succès pour n

répétitions sur l’arbre d’un schéma de Bernouilli.

Pour une variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètre n et p :

knk ppk

nkXP

1

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X suivant la loi binomilae de

paramètre n et p est npXE .

Activité 1 On lance 5 fois de suite un dé tétraédrique équilibré dont les faces portent les numéros 1, 2, 3 et 4. X est la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où le numéro 2 est le numéro de la face contre la table.

a) Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres b) Calculer les probabilités P(X=2)

P(X4) c) Calculer l’espérance de X

EEttaappee 33.. LLooiiss àà ddeennssiittéé


3.1. Variable aléatoire continue Dans de nombreux domaines, on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant

prendre, du moins théoriquement, toutes les valeurs d’un intervalle I de .

Par exemple, la variable aléatoire qui à toute ampoule associe sa durée de bon

fonctionnement en heures est une variable aléatoire continue. Elle peut prendre toutes les

valeurs comprises dans I=[0 ;20000].

On peut alors calculer les probabilités 1500010000 XP , ou 5000XP . Pour cela on

utilise une fonction f définie sur I. La probabilité bXaP est définie comme l’aire du

domaine plan compris entre l’axe des abscisses, la courbe Cf et les droites d’équation x=a et x=b.

Définition 1 :

Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue de Ω associe un nombre

réel d’un intervalle I de .

3.2. Loi de probabilité à densité Définition 2 :

X est une variable aléatoire continue à valeurs dans un intervalle I et f est une fonction continue,

positive sur I telle que :

1b

adttf si baI ; 1lim

x

axdttf si ;aI

Dire que P est la loi de probabilité de densité f de X signifie que pour tout intervalle J inclus dans

I, JXP est égale à l’aire du domaine xfyJxyxM 0et ;;

bXaP =1 dXcP

Activité 2 f est la fonction définie sur [20 ;100] par la courbe ci-contre

a) Vérifier que l’aire du domaine coloré, en unité d’aire est égale à 1.

b) X est une variable aléatoire continue à valeurs dans [20 ;100] dont la loi de probabilité a pour densité la fonction f précédente. Calculer

8040 XP

705060 XPX

O a c d b

Cf

O a b

Cf

O a b

Cf


Conséquences :

(1) Pour tout nombre réel c de I, cXP

En effet, cXcPcXP = 0c

cdttf

(2) On déduit immédiatement de (1) que :

dXcPdXcPdXcPdXcP

Aussi note-t-on parfois dc; l’intervalle de borne c et d

(3) Si J= dc; , alors JXP = d

cdttf

En effet, on sait que l’aire du domaine xfydcxyxM 0et ;;; est égale, en

unités d’aire, à d

cdttf

(4) Si ;aI et si c est un nombre réel tel que ac :

cXaPcXP 1 = c

adttf1

Remarque :

Les propriétés des probabilités d’événements rencontrées dans le cas discret s’étendent

naturellement au cas continu. Par exemple :

Si J est le complémentaire de J dans I, alors JPJP 1

Si II et 0' IP , si IJ , alors IP

JIPJPI

(voir exemple)

3.3. La loi uniforme sur [a ;b]

Définition et propriétés

Définition :

a et b désignent deux nombre réels distincts.

Dire qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l’intervalle ba; signifie que la densité

de probabilité de la loi X est une fonction constante sur ba; .

Propriété :

La densité de probabilité de la loi uniforme sur ba; est la fonction f définie sur ba; par ab

1

Preuve :

f est une fonction constante sur ba; définie par xf

On doit donc avoir 1b

adt soit 1

b

at , c’est-à-dire 1 ab D’où ab

1

Propriété :

X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ba;

Pour tout intervalle dc; inclus dans ba; , ab

cddXcP

Preuve :

dXcP = d

cdttf =

ab

cdc

abd

abt

abdt

ab

d

c

d

c

1111

a 0 c

Cf cXP


Remarque :

Par convention, choisir un nombre au hasard dans l’intervalle ba; , c’est le choisir selon

la loi uniforme sur ba;

En particulier, pour la loi uniforme sur 1;0 , la probabilité de choisir un nombre au

hasard entre c et d (dans l’intervalle 1;0 ) est égal à la distance entre c et d.

Espérance

Définition :

L’espérance d’une variable aléatoire X de densité f sur ba; est le nombre réel b

adtttfXE

Propriété :

X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur ba; . Son espérance est 2

baXE

Preuve :

b

a

b

a

ab

ab

abab

ab

a

ab

bt

abdt

abtXE

22

1

2

1

2

1

2

11 222

Activité 3 Caroline a dit qu’elle passerait voir Julien entre 18 h 15 et 20 h. Quelle est la probabilité qu’elle arrive pendant le feuilleton préféré de Julien qui dure de 19 h à 19 h 30 ? Activité 4 Un programme permet d’afficher sur sa calculatrice un nombre aléatoire sur l’intervalle [0 ;1[. X est la variable aléatoire égale au nombre affiché avec ce programme.

a) Calculer 7895,0357,0 XP

b) Sachant que X<0,3, quelle est la probabilité de l’événement E : « Son chiffre des centièmes est 1 » ?

c) Calculer l’espérance de X


3.4. Les lois exponentielles Définition : désigne un nombre réel strictement positif.

Dire qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre sur ;0 signifie que la

densité de probabilité est définie sur ;0 par f t e t .

Propriétés : X est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre

Pour tout intervalle dc; inclus dans ;0 ,

dc eedXcP

cecXP

Démonstration :

dccdd

c

t

d

c

t eeeeedtedXcP

ccc eeeecXPcXP 11101 0

Espérance

L’espérance d’une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre est :

1XE

Démonstration :

xt

x

x

xdtetdtttfXE

00limlim

En utilisant une intégration par partie, on démontre que

1lim

0

xt

xdtetXE

Activité 5 La durée de vie d’une ampoule d’un certain type peut être modélisée par une variable

aléatoire X qui suit une loi exponentielle.

a) Quel est le paramètre de cette loi sachant que 2,0800 XP ?

(donner l’arrondi au millième)

Aide utiliser la propriété : cecXP pour déterminerle paramètre

b) Déterminer l’espérance de la durée de vie de ce type d’ampoule c) Déterminer la probabilité 1000300 XP

1lim0

xt

xdte


3.5. Activités Lois à densité

Exercice 1 :

1) f est la fonction définie sur 7;2 par la courbe ci-dessous.

Vérifier que l’aire du domaine coloré, en unité d’aire est égale à 1.

2) X est une variable aléatoire continue à valeurs dans 10;2 dont la loi de probabilité a pour

densité la fonction f précédente. Calculer

63 XP 654 XPX

Exercice 2 :

f est une fonction définie sur 1;0 par 23ttf .

1) Tracer cette courbe à l’aide d’un logiciel de calcul formel ou de votre calculatrice

2) Vérifier que f peut être une fonction de densité de probabilité sur 1;0 .

3) X est une variable aléatoire dont la loi de probabilité a pour densité f. Sur le graphique,

lire une valeur approchée de 4,02,0 XP puis en donner une valeur exacte par le

calcul.

Exercice 3 :

f est une fonction définie sur e;1 par t

tf1

.

1) Vérifier que f peut être une fonction de densité de probabilité sur e;1 .

2) X est une variable aléatoire dont la loi de probabilité a pour densité f. Calculer

21 XP , puis 2,28,15,1 XPX

Lois uniforme

Exercice 4 :

X est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l’intervalle 2;2 .

a) Calculer 1XP et 5,0XP

b) Calculer 10 XPX

c) Donner l’espérance de X.

Exercice 5 :

On choisit un nombre aléatoire au hasard dans l’intervalle 2;0 . Sachant qu’il est supérieur à

1,8, quelle est la probabilité que sa deuxième décimale soit 4 ?

Exercice 6 :

Pierre n’apas de monnaie. Il a laissé sa voiture en stationnement durant 2 h sur un parking

payant. Es agents municpaux passent aléatoirement une fois par jour durant les heures de

stationnement payant de 9 h à 19 h et verbalisent les contrevenants. Quelle est la probabilité que

Pierre soit verbalisé ?


Lois exponentielles

Exercice 7

La variable aléatoire Y représente la durée de vie d’un certain composant électronique qui suit

une loi exponentielle de paramètre 0,01.

a) Calculer 3YP

b) Sachant que Y est supérieur à 2, quelle est la probabilité que Y soit supérieure à 5 ? (on

écrira en notation mathématique la probabilité recherchée).

Exercice 8

X est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre . Donner l’arrondi au

dix-millième du paramètre dans cahcun des cas ci-dessous.

En déduire une valeur approchée de E(X) au centième près.

a) 1,0600 XP

b) 2,0400 XP

Exercice 9

Alain fabrique en amateur des appareils électroniques. Il achète pour cela des composants en

apparence tous identiques, mais dont certains présentent un défaut.

On estime que la probabilité qu’un composantvendu en magasin soit défectueux est égale à à,02.

Partie A (de la loi binomiale…)

On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important

pour que l’achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remises.

On appelle X le nombre de composants défectueux achetés. Alain achète 50 composants.

1) Déterminer la loi de probabilité suivie par X

2) Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux ?

3) Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ?

4) Quel est, par lot de 50 composants achté, le nombre moyen de composants défectueux ?

Partie B (à la loi exponentielle)

On suppose que la durée de vie T1 en heures d’un composant défectueux suit la loi exponentielle

de paramètre 4

1 105

On suppose que la durée de vie T2 en heures d’un composant défectueux suit la loi exponentielle

de paramètre 4

2 10

1) Calculer la probabilité que la durée de vie d’un composant soit supérieure à 1000 heures

a) Si le composant est défectueux

b) Si le composant n’est pas défectueux.

2) Calculer la probabilité que la durée de vie d’un composant non défectueux soit supérieur

à 2000 h sachant qu’il fonctionne encore parfaitement après 1500 h d’utilisation.

Arrondire au millième.

3) Soit T la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard.

Démontrer que la probabilité que ce composant soit en état de marche après t heures de

fnctionnement est : tt eetTP44 10105 98,002,0

4) Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1000 heures après son

installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ? arrondir au

millième.


4.1. Loi normale centrée réduite

Une approche historique

nX est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n ;p)

La variable aléatoire centrée réduite associée à nX est

pnp

npXZ n

n

1 ;

Son espérance est 0nZE et son écart type est 1nZ

A la loi discrète de nZ on associe des aires de rectangles afin d’obtenir un histogramme comme

ci-dessous (cas n=100 et p=0,5)

Plus n est grand, plus les bords supérieurs des rectangles se rapprochent d’une courbe régulière

et symétrique. Le mathématicien Abraham de Moivre (XVIIème siècle) a découvert que cette

courbe représente la fonction : 2

2

1

2

1:

x

exf

en 1718.

Karl Friedrich Gauss étudiera par la suite cette courbe en 1809.

Ainsi bZaP n tend vers b

adxxf lorsque n tend vers

La loi normale centrée réduite

Définition :

Dire qu’une variable aléatoire T suit la loi normale centrée réduite, notée N (0 ;1), signifie que

sa densité de probabilité est la fonction f définie sur par 2

2

1

2

1 x

exf

EEttaappee 44.. LLooiiss nnoorrmmaalleess


REMARQUE : les calculatrices donnent directement bTaP .

CASIO MENU F5 (DIST) F1

(NORM) F2 (NCD); Lower: a, Upper : b,

=1, =0

TEXAS 2nd Var 2: normalFRép(a, b,

0, 1)

Pour aTP , faire aTP 05,0 ou aTP 9910

Première propriétés

(1) f est continue sur

(2) Pour tous nombres réels a et b, bTaP =

(3) L’aire totale sous la courbe est égale à 1 ; elle représente la probabilité ;TP

(4) La courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, donc 2

1;0 TP

On dit que la courbe f est une « courbe en cloche »

(5) Pour tout nombre réel u :

uTPuTP (du fait de la symétrie)

uTPuTP 1 donc

uTPuTP 1

Un résultat particulier important

(6) 95,096,196,1 TP . Environ 95% des

réalisations de T se trouvent entre -1,96 et 1,96.

Activité 5 : T est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. Donner l’arrondi au millième de :

96,196,1 TP

4,01,2 TP

1TP

5,0TP


4.2. La loi normale N( ;²)

Loi normale d’espérance et d’écart type

Définition

Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi normale N( ;²) signifie que la variable aléatoire

suit la loi normale N(0 ;1)

Propriétés (admises)

Si une variable aléatoire suit une loi normale N( ;²), alors son espérance est , sa variance est ²

et son écart-type est .

Remarque : Une loi normale N( ;²) est une loi à densité, donc il existe une fonction g définie sur

telle que pour tous nombres réels a et b bXaP = b

adxxg (ces fonctions ne sont pas au

programme)

Influence des paramètres

Courbe représentative de la fonction de densité lorsque =1 : elle admet la droite d’équation

x pour axe de symétrie

4 =0 =3

Courbe représentative de la fonction de densité lorsque 3 : plus l’écart-type est grand,

plus la cloche est élargie.

=0,5 =1 =2


Les intervalles « un, deux, trois sigmas »

X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N( ;²) et

XT suit la loi normale

N(0 ;1)

11 TPXP

Avec la calculatrice, 68,011 TP Donc 68,0 XP

De la même façon, on détermine que 95,022 XP

997,033 XP

Remarque : cela signifie que la probabilité d’obtenir une valeur de X distante de plus de 3 est

presque nulle

- +

-2 +2

-3 +3

Obtenir une probabilité dans le cadre d’une loi N( ;²) avec une

calculatrice

X est une variable aléatoire qui suit la loi normale N( ;²) et

XT suit la loi

normale N(0 ;1)

Pour et connus, les calculatrices disposent de commandes spécifiques pour calculer :

La probabilité de l’événement X , et donné

CASIO

MENU F5 (DIST) F1 (NORM) F2

(NCD); Lower: , Upper : , ,

TEXAS

2nd Var 2: normalFRép( , , , )

Le réel x tel que axXP , a étant donné

CASIO

MENU F5 (DIST) F1 (NORM) F3

(InvN); Area:a, ,

TEXAS

2nd Var 3: FracNormale(a, , )

68%


Une astuce pour calculer la probabilité de l’événement X , donné

On ne peut pas écrire sur la calculatrice xXP . On utilise la symétrie de la loi normale.

Ainsi XPXP 05,0

Une astuce pour calculer la probabilité de l’événement X , donné

XPXPXP 05,01

Activité 6 Les températures du mois de juillet autour du lac Léman suivent la loi normale d’espérance 18,2°C et d’écart-type 3,6 °C. Une personne part camper en juillet sur le pourtour du lac Léman. Indiquer la probabilité que la température un jour de juillet soit

a) Inférieure à 16°C Indice : définir en premier lieu la variable aléatoire, puis utiliser la calculatrice après avoir fait un dessin

b) Comprise entre 20 °C et 24,5°C

c) Supérieure à 21°C Activité 7 Lors d’un test de connaissances, 70% des individus ont un score inférieur à 60 points. On admet que les résultats obtenus à ce test suivent une loi normale d’écart-type 20.

Calculer l’espérance de cette loi normale. Indice :

définir en premier lieu la variable aléatoire qui donne le résultat au test d’un individu,

Traduire l’énoncé en terme de probabilité.

poser

XT pour ce ramener à la loi normale

centrée réduite et utiliser la calculatrice

Ne jamais

hésiter à faire

un croquis !

BTS 2ème Année – Semestre 1 Conception ©E. Poulin2017

4.1. Somme de deux variables aléatoires

Indépendance de deux variables aléatoires

Définition Soit X une variable aléatoire discrète prenant un nombre fini de valeurs k1, k2, …, ki, …kn.

Soit Y une variable aléatoire discrète prenant un nombre fini de valeurs k’1, k’2, … k’j, …k’n.

X et Y sont indépendantes si pour tout i, 1 i n , et pour tout j, 1 j p , on a:

P(X = ki et Y = k’j) = P(X = ki) x P(Y = k’j).

Exemple 1 On peut vérifier que dans l’exemple 1, les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes .

Exemple 2 On a remarqué que, les tirages étant effectués avec remise, le résultat d'un tirage est indépendant du résultat d'un

autre tirage, et cela quels que soient ces résultats.

Ainsi, les variables aléatoires X1 et X2 sont indépendantes.

Remarque

On peut démontrer qu'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p) est la somme de

n variables aléatoires de Bernoulli indépendantes de même paramètre p.

Espérance mathématique d’une somme de variables aléatoires

Proposition

E(X + Y) = E(X) + E(Y), si ces nombres existent.

Variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes

Proposition

X et Y étant des variables aléatoires indépendantes,

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Somme de variables aléatoires suivant les lois usuelles

Lois normales

Proposition

si X1 et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois normales respectives.

N(m1, ) et. N(m2, ), alors X1+X2 suit la loi normale de moyenne m1+m2 et d'écart type

1

2

2

2

Cette propriété des lois normales est très importante.

Remarque

Avec les mêmes hypothèses, X1 + X2 suit la loi normale de moyenne m1 +m2 et d'écart type 2

2

2

1

Le résultat sur une somme s'étend à une somme de n variables normales indépendantes.

Lois de Poisson

Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois de Poisson respectives

P() et P() alors leur somme X1+X2 est une variable aléatoire suivant la loi de Poisson

P(+)


4.2. Activités de l’étape Exercice 1 : Gestion de parc automobile

Une entreprise de transport a un parc total de 150 camions. On désigne par X la variable aléatoire qui, à

chaque camion choisi au hasard dans le parc, associe la distance qu'il a parcourue dans une journée. (Les

distances sont mesurées en kilomètres.) Une étude statistique permet d'admettre que cette variable aléatoires suit la loi normale de moyenne 120 et d'écart type 14.

Déterminer à 10-4 près la probabilité qu’un camion parcoure un jour donné une distance comprise entre

110 et 130 kilomètres.

Exercice 2 : Loi normale à propos de productique

Une usine produit des bobines de fil d'acier. On désigne par X la variable aléatoire qui, à toute bobine

tirée au hasard de la production d'une journée associe la longueur du fil, en mètres, de cette bobine. On

admet que X suit la loi normale de moyenne 50 et d'écart type 0,2. 1) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

a) la longueur du fil de la bobine est inférieure à 50,19 m ;

b) la longueur du fil de la bobine est supérieure à 50,16 m ; c) la longueur du fil de la bobine est comprise entre 50,16 m et 50,19 m.

d) la longueur du fil est inférieur à 50,4 sachant que la longueur est supérieure à 50.

2) Déterminer le nombre réel positif a tel que 9,05050 aXaP

Exercice 3 :

La variable aléatoire X suit la loi normale. N(20 ; 52). Calculer à l’aide de sa calculatrice ou d’un logiciel

adapté:

a) 28XP ; b) 28XP ; c) 12XP ; d) 12XP ; e) 2812 XP ; f) 2819 XPX

Exercice 4 :À consommer avec modération

On ajoute du SO2, dans un vin pour le protéger d'une part des attaques des levures et des bactéries, d'autre part de l'oxydation.

Après embouteillage on prélève des échantillons de 50 bouteilles sur la chaîne d'embouteillage et on dose

dans chaque bouteille la concentration en SO2 libre qui sera exprimée en mg.L-1. La production étant très importante, on assimile ce prélèvement à un prélèvement non exhaustif. Voici les

résultats du dosage du SO2, dans un échantillon.

Concentration (mg.L 1)

Nombre de bouteilles

[20 ; 20,2[ 3

[20,2 ; 20,4[ 9

[20,4 ; 20,6[ 20

[20,6 ; 20,8[ 13

[20,8 ; 21[ 5

1) Statistique : Donner des valeurs approchées à 10-3 près de la moyenne m et de l'écart type de cet échantillon.

2) Probabilités À chaque production obtenue après avoir ajouté du S02 on associe la concentration en

S02 libre. On définit ainsi une variable aléatoires. On admet que X suit la loi normale de moyenne 20,5 mg.L-1 et d'écart type 0,2 mg.L-1.

On estime que le vin est impropre à la consommation si la concentration en S02 libre est supérieure ou

égale à 20,9 mg.L-1. Quel est à 1 % près, sous ces hypothèses, le pourcentage de bouteilles impropres à la consommation ?

Lecture inverse de la table (exercices 5 et 6)

Exercice 5 : La variable aléatoire X suit la loi normale. N(20 ; 52). Déterminer le nombre réel a tel que

a) aXP = 0,99

b) aXP = 0,01 d) aXP = 0,90

c) aXP = 0,05 e) aXaP 2020 = 0,95 .


Exercice 6 :

On désigne par X une variable aléatoire.

1) X suit la loi normale N(2 ; 0,12). Calculer 2,2XP .

2) X suit la loi normale N (m ; 0,12) ;

a) calculer m pour que 05,02,2 XP

b) calculer m pour que 95,02,2 XP .

3) X suit la loi normale. N (2 ; 2) :

a) calculer pour que 9,02,2 XP ;

b) calculer pour que 9,02,28,1 XP ;

Tous les résultats seront donnés à 10-2 près.

Exercice 7 : Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

Dans cette activité chaque probabilité demandée sera calculée à 10-3 près.

Une enquête réalisée par la Sofres permet d'estimer que la probabilité qu'une lettre, choisie au

hasard dans le courrier d'une entreprise, parvienne à son destinataire en France, le lendemain, est

0,7. Dans la suite on ne considère que les lettres à destination de la France.

À l'agence de Marne-la-Vallée d'une grande entreprise on admet que l'on expédie 100

lettres par jour. On note X la variable aléatoire qui, à un jour choisi au hasard, associe le nombre

de lettres qui parviendront à leur destinataire le lendemain. On suppose que les acheminements

de ces lettres se font en toute indépendance.

1) a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

b) Calculer l'espérance mathématique de X puis la valeur arrondie à l'entier le plus proche

de l'écart type de X.

c) A l’aide d’un outil de calcul, déterminer la probabilité que 60 lettres exactement, sur

les 1 00 expédiées un jour choisi au hasard, parviennent à leur destinataire le lendemain.

2) On décide d'approcher la loi de la variable discrète X par la loi normale de paramètres m = 70

et = 5 . On note Y une variable aléatoire suivant la loi normale . N(70, 52). En utilisant cette

approximation calculer :

a) la probabilité qu'au moins 80 des 100 lettres, expédiées un jour choisi au hasard

parviennent à leur destinataire le lendemain, c'est-à-dire 5,79YP ;

b) la probabilité que le nombre de lettres, sur les 100 expédiées un jour choisi au hasard,

parvenant à leur destinataire le lendemain, soit strictement compris entre 55 et 85, c'est-à-

dire 5,845,55 YP .

Exercice 8 : Somme de variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales

Pour réaliser un de ses produits une entreprise doit procéder à l'assemblage d'une pièce de

type A fabriquée en grande série par un sous-traitant et d'une pièce de type B réalisée par ses

soins. Le cahier des charges précise que la masse totale d'un dispositif assemblé doit être

comprise entre 590 et 610 grammes. On désigne par X la variable aléatoire qui, à la pièce du

type A, prélevée au hasard dans la production, associe sa masse, exprimée en grammes. On

suppose dans cette question que X suit la loi normale de moyenne 390 et d'écart type 4 g. On

désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque pièce du type B, prélevée au hasard dans la

production, associe sa masse, exprimée en grammes. Cette variable aléatoire Y suit la loi

normale d'espérance mathématique 208 g et d'écart type 3 g. La pièce de type A et la pièce de

type B à assembler sont choisies au hasard et de manière supposée indépendante. On désigne par

Z la variable aléatoire définie par Z = X + Y. On admet que Z suit une loi normale.

1) Vérifier que la loi normale suivie par Z a pour moyenne 598 et pour écart type 5.

2) Calculer à 10-3 près, la probabilité de l'événement E : « la pièce ne répond pas au cahier des

charges ».


5.1. Définition Soit x et g deux fonctions dérivables définie sur une partie de , un réel.

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation qui peut s’écrire :

tgxx , où x représente la fonction inconnue et x sa fonction dérivée.

Résoudre l’équation différentielle du premier ordre tgxx sur un intervalle I, c’est

déterminer l’ensemble des fonctions f dérivables sur I, telles que, pour tout t de I :

tgtftf

L’équation 0 xx est appelé équation sans second membre

Résoudre ou intégrer une équation différentielle, c’est rechercher l’ensemble des

fonctions solutions.

L’ensemble des fonctions solutions est appelé solution générale de l’équation

différentielle

Une fonction donnée qui est solution est appelé solution particulière.

5.2. Equation différentielle sans second membre x x 0

Théorème

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle x x 0 , où est un nombre réel fixé,

est l’ensemble des fonction définies sur par t Ce t où C est une constante réelle

quelconque.

Exemple : L’équation différentielle (E1) 2 0 x x , équivalente à x x1

20 , a pour solution

les fonctions x : t Cet

1

2 où C est une constante réelle quelconque.

5.3. Equation différentielle avec second membre tgxx

Théorème

La solution générale de l’équation différentielle s’obtient en ajoutant à la solution générale de

l’équation sans second membre 0 xx une solution particulière de l’équation

tgxx

Comment rechercher une solution particulière

La nature de la fonction g(t) permet d’orienter les recherches :

EEttaappee 55.. EEqquuaattiioonn ddiifffféérreennttiieellllee dduu 11eerr oorrddrree


Si g(t) est un polynôme, chercher une solution particulière x(t) sous la forme d’un

polynôme

Si g(t) est de la forme Ccost ou Dsint ou la somme de ces deux expressions, C, D,

étant des constantes, chercher x(t) sous la forme x t A t B t cos sin . On est alors

amené à résoudre un système d’inconnues A et B.

Si g(t) est le produit d’une exponentielle e t , où est une constante, et d’un polynôme ou

d’un sinus ou d’un cosinus, en éffectuant le changement de fonction inconnue x e zt ,

on se ramène à une nouvelle équation différentielle d’une des deux formes précédentes

où l’inconnue est la fonction z de la variable t.

Exemple : Résolvons dans l’équation (E) : 122 2 txx .

Résolution sans second membre (E0) : 2 0 x x équivaut à 02

1 xx .

On pose 2

1 . Les solutions de E0 s’écrivent 2

0

t

t CeCetx

avec C constante.

Recherche d’une solution particulière

g(t) est un polynôme de degré 2. Cherchons donc une solution particulière de la forme

cbtattg 2

On a : battg 2

Remplaçons x et x par g et g dans (E). On a :

122 2 tgg 1222 22 tcbtatbat

1224 22 tcbtbaat

Par identification :

17

8

2

12

04

2

c

b

a

cb

ba

a

La solution particulière s’écrit : 1782 2 tttg

Solution générale de (E)

La solution générale s’obitent en ajoutant à la solution particulière la solution de

l’équation sans second membre. On a 1782 220

ttCetgtxtx

t

, avec C constante.


5.4. Activités Exercice 1 :

Intégrer les équations différentielles suivantes

a) 02 yy b) 03

yy c) 05 yy d) 032 yy

e) 03 yy f) 054 yy

Exercice 2 :

Résoudre les équations différentielles suivantes et déterminer la fonction associée à la condition

donnée.

a) 0 yy b) 05

2 y

y c) 03

2 yy d) 032 yy

31 y ey 410 20 y 50 y

Exercice 3 :

Résoudre les équations différentielles suivantes

a) 3 yy b) 75

2 y

y c) xyy 33

2

d) 132 xyy e) 7763'2 2 ttxx

Exercice 4 :

Résoudre les équations différentielles suivantes. On cherchera une solution particulière de

la forme xBxA sincos , étant choisi d’après la forme du second membre.

a) txx 5sin b) txx 2cos c) xxyy cossin43

Exercice 5 : Une machine à compacter est constituée d’un bloc d’acier appelé marteau. Ce marteau se

déplace le long d’une tige placée verticalement.

L’étude physique montre que la vitesse v (exprimée en mètres/seconde) est une fonction

du temps t (exprimé en secondes) solution de l’équation différentielle : teyy 55 (E)

où y est une fonction de la variable t, définie et dérivable sur ;0 et y’ sa dérivée.

1° Résoudre 0 yy

2° Déterminer une solution particulière de (E) de la forme tbteay où a et b sont deux

nombres réels à déterminer.

3° a) Résoudre (E)

b) En déduire tv en supposant que 00 v

4° Etudier les variations de la fonction 5)55( tettf sur ;0

5° Calculer la valeur exacte de la distance parcourue par le marteau entre les instants t=0 et t=2,

c’est à dire :

2

0

5)55( dtet t. Donner en mètres, une valeur approchée de cette longueur au

centième près.


Exercice 6 :

Soit (E) l’équation différentielle texx t cos2' où l’inconnue x est une fonction de la variable

t, définie et dérivable sur IR, et où x’ est la dérivée de x.

1° Résoudre l’équation différentielle (E’) : x’-2x = 0

2° Déterminer une fonction numérique u, définie et dérivable sur , telle que la fonction

tetuth : soit solution de (E).

3° Quel est l’ensemble des solutions de (E) ?

4° Déterminer la solution particulière g de (E) vérifiant la condition initiale g(0)=0.

Exercice 7 : Sujet BTS 2007

On étudie dans cet exercice une fonction susceptible d’intervenir dans la modélisation du

trafic Internet au terminal informatique d’une grande société. Pour un réel t positif, t est la

probabilité que le temps séparant l’arrivée de deux paquets de données soit inférieur à t

secondes.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

A. Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle (E): 710710 yy

où y est une fonction de la variable réelle t, définie et dérivable sur ;0 , y , la fonction

dérivée de y.

1) Déterminer les solutions sur ;0 de l'équation différentielle (E0): 0710 yy

2) Soit h la fonction définie sur ;0 par 1xh

Démontrer que la fonction h est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

3) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

4) Déterminer la solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale

00 .

B. Étude d'une fonction

Soit la fonction définie sur ;0 par tet 7101 .

On désigne par C la courbe représentative de dans un repère orthonormal jiO

;; où on

prend comme unités : 10 cm pour 0,01 sur l’axe des abscisses et 10 cm pour 1 sur l’axe des

ordonnées.

1) Montrer que la fonction est croissante sur ;0

2) a) Démontrer que le développement limité à l’ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction

est

ttt

tt 2

2

2

710710 avec 0lim

0

t

t .

b) En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0, ainsi que

la position relative de C et t au voisinage de ce point.

3) Tracer sur la copie la tangente T à la courbe C dans le repère jiO

;; défini au début de

la partie B. On pourra se limiter à la partie de C correspondant à l’intervalle 01,0 ;0

4) a) Déterminer par le calcul le nombre réel positif tel que 5,0 . Donner la valeur

exacte de , puis sa valeur approchée arrondie à 510 .

b) retrouver sur la figure le résultat obtenu au a) : faire apparaître les constructions utiles.

Le nombre représente le temps médian en secondes séparant l’arrivée de deux paquets de

données.


6.1. Loi faible des grands nombres Considérons un événement A de probabilité p ; par exemple, A consiste à obtenir pile avec une pièce usuelle

p

1

2ou un as avec un dé usuel p

1

6 ou un coeur dans un jeu de 32 cartes p

1

4

Effectuons n expériences indépendantes ; par exemple, effectuons n lancers d'une pièce ou d'un dé, ou n tirages au

hasard avec remise d'une carte dans un jeu de 32 cartes.

Pour la i-ème expérience (1 i n), notons Xi la variable aléatoire qui, si l'événement A apparaît, prend la valeur

1, sinon la valeur 0. Ainsi, la variable aléatoire Sn = X1 + X2 + ... + Xi + ... + Xn permet de compter le nombre

d'apparitions de l'événement A au cours des n expériences.

Nous savons que Sn suit la loi binomiale de paramètres n et p. Donc E(Sn) = np et V(Sn) = npq , où q = 1 - p.

La variable aléatoire S

n

n prend pour valeur la fréquence d'apparition de l'événement A au cours des n expériences.

ES

n nE Sn

n

1 ; donc E

S

npn

VS

n nV Sn

n

12

; donc

VS

n

p p

n

n

1

L'écart type de S

n

n est

p p

n

1

L'événement «S

n

n prend une valeur appartenant à l’intervalle

p

p p

np

p p

n

1 1, » s’écrit

S

np

p p

n

n 1

Son événement contraire s’écrit S

np

p p

n

n 1

Théorème (admis)

p Etant fixé dans [0,1], pour tout nombre entier n > 0 et pour tout nombre réel t > 0,

PS

np t

p p

n t

n

1 12

Ce théorème indique que, pour n'importe quels nombre réel t > 0 et nombre entier n > 0, la variable S

n

n mesurant la fréquence

d'apparition d'un événement A de probabilité p au cours de n expériences indépendantes prend une valeur extérieure à l'intervalle

p t

p p

np t

p p

n

1 1, avec une probabilité inférieure ou égale à

12t

Exemple : A est l’événement « choisir au hasard un garçon dans une classe composée de 18

filles et 12 garçons »

EEttaappee 66.. TThhééoorrèèmmee ddee llaa lliimmiittee cceennttrrééee -- EEcchhaannttiilllloonnnnaaggee


p = 0,4 ; n = 200 ; t = 10.

PS200

2000 4 10

0 4 1 0 4

200

1

100

,

, , donc P

S200

2000 4 0 35 0 01

, , ,

0,05 0,4 0,75

À l'issue de 200 tirages, la fréquence d'apparition d'un garçon est inférieure à 0,05 ou supérieure à 0,75 avec une probabilité inférieure ou égale à 0,01. En conséquence, cette fréquence est comprise entre 0,05 et 0,75 avec une probabilité supérieure ou

égale à 0,99.

Théorème :

Avec une probabilité 112

t

choisie aussi grande que l'on veut, S

n

n prend une valeur aussi proche

que l'on veut de p lorsque n est suffisamment grand: c'est la loi faible des grands nombres.

Remarques 1. Jacques Bernoulli avait mis ce phénomène en évidence vers 1700, comme le rappelle Laplace un siècle plus tard : « En multipliant indéfiniment les observations et les expériences, le rapport des événements de diverses natures qui doivent arriver, approche de celui de leurs possibilités respectives, dans des limites dont l'intervalle se resserre de plus en plus et devient moindre qu'aucune quantité assignable. » 2. La loi faible des grands nombres justifie le point de vue des « fréquentistes » qui attribuent comme probabilité d'un

événement une valeur autour de laquelle la fréquence d'apparition de cet événement se stabilise lorsque le nombre d'expériences indépendantes devient très grand. Cependant, par exemple en économie, il n'est pas toujours possible d'effectuer de telles expériences, et on peut alors être conduit à fixer a priori la valeur attribuée à la probabilité d'un événement ; on contrôle et éventuellement valide ce choix a posteriori, en étudiant ses conséquences. 3. La loi faible des grands nombres a une grande importance théorique, mais elle conduit, dans bien des cas, à choisir des valeurs de n beaucoup trop grandes. En effet, cette loi s'appuie sur un résultat de portée très générale, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev qui, dans des cas particuliers, peut être amélioré.

6.2. Théorème de la limite centrée Comme on ne rencontre pas toujours des variables aléatoires normales, il est nécessaire d'étudier quelle propriété possède la

variable aléatoire X n (moyenne de n variables aléatoires de même loi) lorsque l'hypothèse de normalité des n variables

aléatoires Xi n'est plus satisfaite.

Théorème de la limite centrée (admis)

Soit X1, X2, …, Xn, n variables aléatoires indépendantes, suivant toute la même loi, admettant

une moyenne et une variance ( 0 ). Pour n suffisamment grand, la variable aléatoire

XX X

nn

n 1 ...

suit approximativement la loi normale N

2

,n

Conséquence

Pour n suffisamment grand, X

n

nXn n

suit approximativement la loi normale N(0, 1).

Remarques

1. On a encore ici E X n , V Xn

n 2

et l’écart type de X n est

n.

Mais Y ne suit plus une loi normale pour tout n ; ce n'est que pour les « grandes » valeurs de n que la loi suivie par X n se

rapproche d'une loi normale.

2. L’interprétation statistique de ce résultat sera faite aux paragraphes suivants dans deux cas fondamentaux. C'est en vue de cette étude que l'hypothèse selon laquelle les Xi suivent toutes la même loi a été choisie ; on aurait pu prendre une hypothèse un peu moins restrictive.


6.3. Distribution d’échantillonnage des moyennes

Le problème de l’échantillonnage La théorie de l'échantillonnage consiste, connaissant des propriétés d'une population, à déterminer des propriétés d'échantillons prélevés dans la population.

En réalité, on est le plus souvent confronté au problème inverse, celui de l'estimation : on possède des renseignements sur un ou plusieurs échantillons, et on cherche à en déduire des informations sur la population totale. Cependant, il est important de s'intéresser d'abord à l'échantillonnage, car nous obtiendrons ainsi des résultats utiles pour

l'estimation. Pour cela, à l'aide du calcul des probabilités, nous allons chercher un modèle théorique décrivant au mieux une situation de statistique descriptive. Pour y parvenir, nous ne considérerons ici que des échantillons aléatoires, c'est-à-dire constitués d'éléments pris au hasard dans la population. Ils sont obtenus par tirage dans une urne ou par utilisation d'une table de nombres aléatoires ; certaines calculatrices permettent également d'obtenir des nombres « pseudo-aléatoires ». Nous ne nous intéresserons donc pas aux échantillons obtenus suivant la méthodes des quotas, qui consiste à chercher à créer une ou plusieurs « populations en miniature » : par exemple, même proportion d'individus par âge, sexe, catégorie socioprofessionnelle, région, ... dans la population et dans un échantillon.

Le tirage des éléments d'un échantillon aléatoire peut être sans remise, ou exhaustif ; dans ce cas, la composition de l'urne est modifiée à chaque tirage : les tirages ne sont pas indépendants. Sinon, le tirage est avec remise, ou non exhaustif ; dans ce cas, les tirages sont indépendants.

Remarque Dans la plupart des cas où la population a un grand effectif dont on tire une faible proportion d'éléments, on assimile un tirage sans remise à un tirage avec remise.

Distribution d’échantillonnage des moyennes

Considérons une population d'effectif N, de moyenne m et d'écart type .

Prélevons dans cette population, un échantillon (aléatoire) de taille n ; on note x la moyenne de cet échantillon et ’ son écart type.

Considérons les n variables aléatoires X1 , X2, .... Xi, ... Xn où chaque variable aléatoire Xi, 1 i n , associe au i-ème tirage le nombre correspondant à l'élément choisi. Si nous supposons que le tirage des n éléments de l'échantillon a été effectué avec remise, alors les variables aléatoires X i sont

indépendantes. Elles suivent toutes la même loi, ont toutes la même moyenne m et le même écart type .

La variable aléatoire XX X

nn

n 1 ...

associe alors à cet échantillon sa moyenne x ; plus généralement, X n associe à

tout échantillon de taille n la moyenne de cet échantillon.

effectif n n n

moyenne x1

x 2

... x i

écart type 1

'

2

'

i

'

Échantillon 1 Échantillon 2 Échantillon i

Population : effectif N, moyenne m, écart type .

X n prend pour valeurs les moyennes x x x i1 2, , , , de tous les échantillons de même effectif n, prélevés avec remise

dans la population.

D'après le théorème de la limite centrée, pour n suffisamment grand, X n suit approximativement la loi normale N

nm

2

,

Nous pouvons alléger l'écriture en notant X la variable aléatoire X n car ici, n étant fixe, il n'y a pas de risque de confusion.

Conséquence du théorème de la limite centrée

Considérons une population de moyenne m et d'écart type . Soit la variable aléatoire qui, à tout

échantillon aléatoire prélevé avec remise et d'effectif n fixé, associe la moyenne de cet

échantillon. Pour n suffisamment grand, X suit approximativement la loi normale N

nm

2

,


Remarques 1. Dans la plupart des cas, on considère que n est « suffisamment grand » lorsque n atteint quelques dizaines, par exemple lorsque n > 30, mais cela dépend de la nature de la population et du contexte de l'étude. Naturellement, si la population est elle-

même normale, c'est-à-dire si les variables aléatoires Xi suivent la loi (m, ), on peut utiliser le résultat sur X avec n « petit ».

2. Lorsque les échantillons de taille n sont prélevés sans remise dans la population d'effectif N, on peut, dans certains cas,

utiliser le résultat précédent, en prenant

n

N n

N

1 au lieu de

n comme écart type de X .

3. Ne pas confondre l'écart type

n de la variable aléatoire qui prend pour valeurs les moyennes d'échantillons de taille n,

et l'écart type ' d'un échantillon.

6.4. Distribution d’échantillonnage des pourcentages Considérons une population d'effectif N dont un pourcentage p d'éléments possède une certaine propriété. D'une manière analogue, prélevons avec remise, dans cette population, des échantillons aléatoires de même effectif n et mesurons pour chacun d'eux le pourcentages des éléments possédant cette même propriété.

effectif n n n pourcentage f f2 ... fi ...

Echantillon 1 Echantillon 2 Echantillon i

Population : effectif N, pourcentage p. Nous obtenons avec les pourcentages un résultat analogue à celui figurant au paragraphe précédent à propos des moyennes

Considérons une population dont un pourcentage p d'éléments possède une certaine propriété.

Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire prélevé avec remise et d'effectif n

fixé, associe le pourcentage des éléments de cet échantillon possédant cette propriété.

Pour n suffisamment grand, F suit approximativement la loi normale N

n

pqp, où q = 1 - p

Remarques 1. Soit Sn la variable aléatoire associant à tout échantillon de taille n, le nombre d'éléments de cet échantillon qui

possèdent la propriété considérée ; Sn suit la loi binomiale B(n, p).

Sn est une variable aléatoire discrète qui peut prendre pour valeur tout nombre entier k compris entre 0 et n.

FS

n

n est donc une variable aléatoire discrète qui prend pour valeurs les fractions k

n où 0 k n .

Aussi, dans l'approximation de la loi de F par la loi normale N

2

,n

pqp on peut être amené à effectuer une

correction de continuité sur les bornes de l'intervalle considéré.


6.5. Activités TP1 : Exemple de distribution d’échantillonnage de moyennes

On considère une population constituée des 100 points de mesure d’indice UV (de 0 à 10). Matérialiser ces cent

points de mesure par 100 papiers sur lesquels seront indiqués l’indice UV.

Indice UV 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Effectif 1 3 7 12 17 20 17 12 7 3 1

1) Calculer la moyenne m et l'écart type de cette population.

2) Prélever au hasard et avec remise un premier échantillon de 30 éléments de la population. Calculer sa moyenne

1x .

3) Recommencer avec 9 autres échantillons, chacun ayant 30 éléments, dont les moyennes respectives sont notées

102 xx .

4) Calculer la moyenne et l'écart type s de la nouvelle série statistique constituée des 10 moyennes

d'échantillons 101 xx

5) Comparer m et d'une part, et d'autre part 30

et s : leurs valeurs numériques sont-elles « proches » ?

6) Déterminer les bornes de l'intervalle

nm

nmI

96,1;96,1

placer sur un même graphique les dix moyennes d'échantillon 101 xx obtenues aux questions 2 et 3.

Quel pourcentage de ces nombres est situé dans l'intervalle I ?

Remarque Dans le chapitre suivant, nous nous intéresserons au problème inverse : à partir d'informations sur un échantillon, peut-on prévoir où se situe la

moyenne de la population ? On trouvera ci-après un début de réponse dans un cas particulier.

Pour chaque échantillon, déterminer les bornes de l'intervalle

3096,1;

3096,1

ii xx où 101 i et

placer ces dix intervalles sur dix axes parallèles en alignant verticalement les abscisses communes (par exemple, les

5 en dessous des 5, ...)

5 Quel pourcentage de ces intervalles contient 5

La moyenne m de la population ? 5

5

Exercice 1 : Loi faible des grands nombres

On considère une production de pièces métalliques dans laquelle 20% sont défectueuses.

À l'aide des inégalités intervenant dans la loi faible des grands nombres, déterminer à partir de combien de tirages la

fréquence d'apparition d'une pièces défectueuse est comprise entre 0,15 et 0,25 avec une probabilité supérieure ou

égale à 0,90. (On pourra commencer par déterminer t.)

Exercice 2 : Contrôle de qualité Une machine fabrique des pièces de forme circulaire en grande série. A chaque pièce tirée au hasard, on associe son

diamètre exprimé en millimètres ; on définit ainsi une variable aléatoire X.

On suppose que X suit la loi normale N , , où = 150 et = 0,21.

Soit M la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 400 pièces prélevées au hasard et avec remise, associe la

moyenne des diamètres des pièces de cet échantillon. M est une variable aléatoire qui suit une loi normale.

Déterminer le nombre positif h tel que : 95,0 hMhP

Exercice 3 : Contrôle de qualité

Une machine fabrique des pièces en grande série. À chaque pièce tirée au hasard, on associe sa longueur exprimée

en millimètres ; on définit ainsi une variable aléatoire X.

On suppose que X suit la loi normale N ,m , où m = 28,20 et = 0,027.


On admet que la variable aléatoire M qui, à tout échantillon aléatoire non exhaustif de taille n, associe la moyenne

des longueurs des n pièces de l'échantillon, suit la loi normale : N

nm

,

Déterminer n pour que 95,0205,28195,28 MP

Exercice 4 : fille ou garçon

Dans une population, on constate qu'il naît 52 % de garçons et 48 % de filles.

On suppose que la variable aléatoire F qui, à tout échantillon de taille n = 400 prélevé au hasard et avec remise dans

la population, associe de pourcentage de garçons dans cet échantillon, suit la loi normale

N

n

ppp

1, où p = 0,52.

On se propose de prélever un échantillon aléatoire non exhaustif de 400 nouveau-nés.

1) Quelle est la probabilité d'avoir, dans cet échantillon, un pourcentage de garçons compris entre 50% et 54% ?

2) Quelle est la probabilité d'avoir, dans cet échantillon, un pourcentage de filles inférieur à 45 % ?

Exercice 5 : Un tirage en classe

Une classe est constituée de 18 filles et 12 garçons. On considère une urne avec 30 boules correspondant aux 30

élèves.

On effectue n tirages aléatoires d'une boule en remettant chaque fois la boule tirée dans l'urne.

Les deux questions suivantes sont indépendantes. 1) À l'aide des inégalités intervenant dans la loi faible des grands nombres, déterminer à partir de combien de

tirages la fréquence d'apparition d'un garçon est comprise entre 0,39 et 0,41 avec une probabilité supérieure ou

égale à 0,95. (On pourra commencer par déterminer t.)

2) On considère que le nombre n de tirages est suffisamment grand pour que la variable aléatoire F qui, à tout

échantillon de taille n ainsi réalisé, associe la fréquence ou le pourcentage d'apparition d'un garçon, suive la loi

normale N

n

ppp

1, où, p étant la proportion de garçons dans la classe.

À l'aide de la table de la loi normale . N (0, 1), déterminer n pour que : 95,041,039,0 FP

3) Comparer les valeurs de n obtenues aux deux premières questions.

Exercice d'examen Exercice 6 : Loi normale, loi binomiale, loi de Poisson, échantillonnage

Une machine fabrique en grande série des pièces cylindriques. Les diamètres de ces pièces sont exprimées en

millimètres. Les résultats numériques demandés seront arrondis au millième.

1) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque pièce choisie au hasard dans la production, associe son diamètre. On

admet que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne m = 50 et d'écart type = 0,4 .

Une pièce est considérée comme défectueuse si son diamètre est inférieur à 49,1 ou supérieur à 50,9. Déterminer la

probabilité qu'une pièce soit défectueuse.

2) On suppose dans cette question que 2 % des pièces produites sont défectueuses. On effectue un prélèvement de

n pièces prises au hasard dans la production. Ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise. On

désigne par Y la variable aléatoire qui, à tout échantillon de n pièces ainsi réalisé, associe le nombre de pièces

défectueuses dans l'échantillon.

a) Quelle est la loi suivie par Y ?

b) Pour n = 10, calculer la probabilité P(Y = 2) .

Le client accepte un lot de 10 pièces s'il contient au plus une pièce défectueuse.

Quelle est la probabilité que le lot soit accepté ?

c) Pour n = 50, quel est le paramètre de la loi de Poisson par laquelle on peut approcher la loi de Y ?

En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu'il y ait plus d'une pièce défectueuse dans le lot.

3) Pour contrôler la fabrication, on prélève des échantillons aléatoires de 100 pièces ; ce prélèvement est assimilé à

un tirage avec remise.

On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 pièces, associe la moyenne des diamètres des

pièces de cet échantillon. On admet que X suit la loi normale de moyenne 50 et d'écart type 100

4,0

Déterminer le nombre réel b positif tel que 95,05050 bXbP .

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