cours statique 1ssi

Classe de S Sciences de l’Ingénieur

CENTRE D’INTERET :

CI.6 : Comportement statique des solides

Sommaire:

I DÉFINITIONS :1) Solide , Système matériel :

1.1) Le solide réel 1.2) Le solide indéformable 1.3) Le système matériel :

2) Actions mécaniques :2.1) Force, moment, couple2.2) Classification

2.2.1) Classification globale

2.2.2) Exemple : II MODÉLISATION :

1) Définition :2) Composantes d’un torseur :3) modélisation des actions mécaniques :

3.1) modélisation d’une action à distance : cas de la pesanteur:3.2) Modélisation des actions mécaniques de contact :

III ISOLEMENT D’UN SYSTEME MATERIEL :1) Définition :2) Frontière d’isolement :3) Actions mécaniques extérieures et intérieures :

IV PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE :1) Equilibre d’un solide, d’un ensemble de solides :2) Enoncé du principe fondamental de la statique :

2.1) Définition2.2) Théorèmes généraux :

2.2.1) Théorème de la résultante statique :2.2.2) Théorème du moment statique :

3) Principe des actions mutuelles :V APPLICATIONS :

1) Problèmes plans :1.1) Définition d’un problème plan :1.2) Propriétés :

2) Equilibre d’un solide soumis à l’action de deux forces :3) Equilibre d’un solide soumis à l’action de trois forces:4) Algorithme de résolution d’un problème de statique :

4.1) Schéma d’analyse du mécanisme :4.2) Algorithme de résolution :

5) Cas particulier d’un système soumis à trois forces parallèles coplanaires :

1 SSI Statique des mécanismes /15

THEMATIQUES :

E13: Principe de l’isolement et étude de l’équilibre statique d’un solide

TP N°xdurée : 2h

Lycée PE MARTIN

Cours


I DÉFINITIONS :

1) Solide , Système matériel :

Qu’appelle-t-on solide en mécanique ? Les réponses différent suivant l’objectif à atteindre. Le mot solide à une signification différente suivant qu’on le considère, dans la réalité, en résistance des matériaux, en statique ou en dynamique. Il est donc très important de bien définir cette notion.

1.1) Le solide réel :Le solide réel est le solide tel qu’il apparaît réellement. C’est un solide qui possède une masse constante et un volume dont les limites varient sous l’action d’un système d’actions mécaniques extérieures à sa frontière suivant une loi qui n’est pas connue à priori.

1.2) Le solide indéformable :Le solide indéformable possède une masse constante et un volume dont les limites sont invariantes quelles que soient les actions mécaniques auxquelles il est soumis. La distance entre deux points quelconques d’un solide indéformable est une constante.

1.3) Le système matériel :On appelle système matériel une quantité de matière, homogène ou non, dont la masse reste constante pendant son étude. Un ensemble de solides, un mécanisme peuvent être considérés comme des systèmes matériels.

2) Actions mécaniques :

On appelle action mécanique toute cause susceptible de modifier la vitesse et la trajectoire d’un objet, de déformer un corps ou de le maintenir au repos par rapport à un repère pris comme référence.

2.1) Force, moment

2.1.1 Notion de force

On appelle force, l'action mécanique (attraction ou répulsion) qui s'exerce mutuellement entre deux solides. Ces deux solides ne sont pas obligatoirement en contact.

Une force s’applique en un point. L’action mécanique exercée par une force sur une pièce dépend de : l’intensité de la force,

• la direction de la force,

• du sens de la force.

L’entité mathématique « Vecteur » est, lui,

aussi caractérisé par sa Norme, sa Direction

et son Sens. Une force sera donc modélisée par un vecteur, associé à un Point d’application.

Unité : Une force s’exprime en Newton

Notation :

Ordre de grandeur : Une personne de masse 70 Kg a un poids d’environ 700 N, soit, 70 daN.



2.1.2 Notion de moment

- Moment d’une force par rapport à un point

Considérons un utilisateur qui souhaite, à l’aide d’une clé, fixer la jante d’un véhicule automobile.

Il positionne sa main au point A.

Puis il commence par exercer une

force intégralement portée par . Malgré sa bonne volonté, il n’arrive pas à obtenir le serrage de la vis.

Il décide, alors, d’incliner légèrement son action mécanique pour obtenir la

force portée par . Le serrage semble s’amorcer.

Finalement il exerce une force

intégralement portée par . Son action mécanique semble être efficace… Pour retirer sa clé, il

exercera une force intégralement

portée par .

L’exemple précédent montre que les effets physiques d’une A.M. dépendent de la position du point d’application et de l’orientation dans l’espace (direction et sens)

de la force associée à cette A.M.

Nous sommes donc conduits à introduire la notion de moment de la force par rapport à un point pour caractériser complètement l’A.M.

On appelle moment par rapport au

point A de la force appliquée au point M, le vecteur d’origine A ci-contre

Unité : Newton mètre (N.m)

Ce vecteur moment sera représenté par une double flèche. Il possède les

caractéristiques suivantes :

Une origine : Le point A



Une direction : perpendiculaire au plan formé par les vecteurs .

Un sens : Le trièdre est direct.

Une norme :

- Application aux problèmes Plans

Lorsque nous étudions un problème plan, les vecteurs moments sont nécessairement portés par l’axe perpendiculaire au plan d’étude. Nous introduisons donc la notion de moment d’une force par rapport à un axe : .

Il est judicieux d’utiliser la relation ditedu « Bras de Levier ». En effet, moyennant l’utilisation d’un peu de trigonométrie, il est aisé de déterminer

la longueur d.

La longueur d sera affectée d’un signe plus (+) si la force tend à faire tourner le système dans le sens positif, du signe moins (–) dans le cas contraire. C’est donc une grandeur algébrique.

2.1.3 Notion de couple

Notre opérateur souhaite desserrer la vis bloquée installée sur la jante. Après avoir utilisé le premier modèle de clé sans grande réussite, il préfère utiliser un modèle de type « croix ». Il pose ses mains en A et en B et exerce deux forces

et telles que :

Un rapide calcul lui donne les moments par rapport au point O de ces deux forces:

et

Le bilan des A.M. exercées par l’utilisateur sur la croix est composé :

• d’une résultante des forces :

• d’un moment résultant par rapport au point O :

La résultante de ces deux forces est nulle. Par contre, ces mêmes deux forces génèrent un moment que l’on appellera : un Couple.



2.2) Classification :

2.2.1) Classification globale :

Les actions mécaniques s’exerçant sur des systèmes matériels peuvent être de deux natures différentes :

Les actions mécaniques de contact qui agissent au niveau des différentes liaisons entre les solides (on les appelle aussi actions mécaniques surfaciques).

Les actions mécaniques à distance qui agissent sur l’ensemble des systèmes matériels. Ce sont par exemple les actions de pesanteur, les actions dues à un champ électrique. (on les appelle aussi actions mécaniques volumiques)

2.2.2) Exemple

Un ensemble de corps étant défini (isolement), on distingue les actions mécaniques extérieures des actions mécaniques intérieures à cet ensemble.

Soient trois solides S1, S2 et S3.

Soit E l'ensemble constitué par les corps S1 et S2 : E={ S1, S2 }.

Le bilan des actions mécaniques extérieures qui agissent sur l’ensemble E s’établit ainsi:

Poids de l’ensemble E (Action Mécanique à distance : Poids de S1 et S2).

Actions mécaniques de contact exercées par S3 sur l’ensemble E aux points A, C et D (Actions Mécaniques de contact).

II MODÉLISATION :

1) Définition :

D’un point de vue global, les actions mécaniques, sont représentées (modélisées) par un torseur, appelé torseur statique.Par exemple l’action mécanique du solide (1) sur le solide (2) sera représentée en un point A par :



On voit apparaître ici que le torseur est avant tout caractérisé par deux vecteurs, appelés aussi éléments de réductions du torseur :

La force qui représente la force exercée par (1) sur (2) en A, son unité est le Newton (N)

Le moment qui représente le moment mécanique exercé par (1) sur (2),

son unité est le newton mètre (N.m)

2) Composantes d’un torseur :

Un torseur étant composé de deux vecteurs, il est possible en déterminant les composantes de chaque vecteur dans une même base de préciser ainsi les composantes du torseur.Soit un repère où O est l’origine et la base de projection associée.

Ecrivons les composantes des deux vecteurs du torseur statique représentant

l’action de (1) sur (2) dans cette base :

La résultante s’écrit et le moment : donc

finalement le torseur peut s’écrire en projection dans de la manière suivante :

3) modélisation des actions mécaniques :

3.1) modélisation d’une action à distance : cas de la pesanteur:Cette action mécanique à distance se modélise par le torseur suivant, écrit au centre de gravité G du système que l’on étudie.

Exemple : Modélisation de l’action de la pesanteur sur le solide (1) :

Cette action se représente par :

G étant le centre de gravité du solide (1), représentant le poids du solide (1) , on rappelle que (m étant la

masse du solide (1) et l’accélération de la pesanteur,

Nota : le poids est toujours dirigé par la verticale descendante.

3.2) Modélisation des actions mécaniques de contact :

Nom de la liaison

Schéma Nombre de degré de liberté

Torseur transmissibleCas général (espace)

Torseur transmissible cas du problème plan(projection dans

)1 SSI Statique des mécanismes /15


Ponctuelle de normale 5

Linéaire rectiligne de

normale d’axe

4

Linéaire annulaire

d’axe 4

Appui plan de normale 3

Rotule de centre O 3

Pivot glissant

d’axe 2

Hélicoïdale à droite d’axe 1

(2 mobilités liées)

Pivot d’axe 1

glissière d’axe 1

encastrement 0

III ISOLEMENT D’UN SYSTEME MATERIEL :Pour conduire l’analyse d’un système matériel, on est amené souvent à le fractionner en sous-systèmes, qu’il faut séparer de leur environnement. Cette opération est désignée sous le nom « isolement ».



1) Définition :Un système isolé est tout ou partie d’un système matériel que l’on rend distinct de son environnement. Ce peut-être par exemple une partie de pièce, une pièce ou un ensemble de pièces appartenant à un mécanisme.L’isolement consiste à couper l’espace en deux parties disjointes de façon à séparer le système étudié E de son environnement puis à remplacer cet environnement par des actions mécaniques que l’on appelle actions mécaniques extérieures

2) Frontière d’isolement :La frontière d’isolement d’un système matériel E est la surface fermée qui sépare E de l’extérieur .

Exemple :

Supposons que la figure ci-dessous représente le graphe des liaisons d’un mécanisme. si on considère que le système matériel E est constitué des solides 3 et 4, la frontière d’isolement sépare E = {3,4} de l’extérieur = {0,1,2}.

3) Actions mécaniques extérieures et intérieures :

- Une action mécanique extérieure au système matériel E est une action mécanique provenant de et agissant sur E.

- Une action mécanique intérieure au système matériel E est une action mécanique s’exerçant mutuellement entre deux éléments de E.

Dans l’exemple précédent, les actions mécaniques extérieures à E sont :

- L’action mécanique de contact de 1 4 (lire 1 sur 4)- L’action mécanique de contact de 2 3- L’action mécanique à distance de pesanteur E

les actions mécaniques intérieures sont :

- L’action mécanique de contact de 3 4- L’action mécanique de contact de 4 3

IV PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE :

1) Equilibre d’un solide, d’un ensemble de solides :

Un système matériel E est en équilibre par rapport à un repère Ro, si à instant donné tous ses éléments sont immobiles par rapport à Ro. Ceci s’explique par le fait que la vitesse d’un point M quelconque du système E est nulle par rapport au repère Ro :

1 SSI Statique des mécanismes /15E est en équilibre


2) Enoncé du principe fondamental de la statique :

2.1) Définition : Pour qu’un système matériel E soit en équilibre par rapport à une repère galiléen, il faut que le torseur représentatif de toutes les actions mécaniques extérieures à E appliqué à E soit égal au torseur nul.

Remarques :

- Pour la plupart des mécanismes étudiés en laboratoire, un repère lié à la terre constitue une bonne approximation d’un repère galiléen.

- Il existe des systèmes matériels pour lesquels le torseur des actions mécaniques extérieures est nul, mais qui ne sont pas en équilibre.

- La condition nécessaire est suffisante pour qu’un système matériel soit en équilibre s’énonce de la manière suivante :

- Le système doit être en équilibre au début de l’étude

- Pour tout système matériel e de E :

2.2) Théorèmes généraux :

En écrivant qu’en tout point de l’espace, les éléments de réduction du torseur des actions mécaniques extérieures à E sont nuls, on obtient deux équations vectorielles appelées théorèmes généraux de la statique.

Posons :

2.2.1) Théorème de la résultante statique :Pour un système matériel en équilibre par rapport à un repère galiléen, la résultante du torseur des actions mécaniques extérieures à E est nulle :

2.2.2) Théorème du moment statique : Pour un système matériel en équilibre par rapport à un repère galiléen, le moment du torseur des actions mécaniques extérieures à E est nul.

3) Principe des actions mutuelles :

Soit une partition du système matériel E en sous systèmes E1 et E2, appliquons le Principe fondamental de la Statique successivement à E, E1 et E2 :



Principe Fondamental de la Statique appliqué à E :

Principe Fondamental de la Statique appliqué à E1 :

Principe Fondamental de la Statique appliqué à E2 :

En réalisant la combinaison -- on obtient :

Théorème : L’action mécanique d’un système matériel E1 sur un système matériel E2 (E1 ) est opposée à l’action mécanique de E2 sur E1

V APPLICATIONS :

1) Problèmes plans :

1.1) Définition d’un problème plan :

- Lorsque les mouvements des solides constituant le mécanisme s’effectuent dans des plans parallèles, il est possible de représenter toutes les liaisons dans un même plan.



- Dans les problèmes réels étudiés, rares sont les cas où les efforts transmis possèdent toutes les composantes définies dans le repère local associé à la liaison. Si la répartition des efforts extérieurs est symétrique par rapport à un plan, il est possible de représenter toutes les actions mécaniques de liaison par des glisseurs dont la résultante appartient à ce plan.Finalement : Lorsqu’il est possible de représenter dans un même plan, les liaisons ainsi que les résultantes des glisseurs des Actions Mécaniques Extérieures et des Actions Mécaniques de liaison le mécanisme est dit plan.

1.2) Propriétés :

L’hypothèse du problème plan permet de simplifier l’étude de l’équilibre du système matériel choisi. En effet si, par exemple, le plan d’étude est le plan

de la base du repère général , le représentant type des Actions Mécaniques est de la forme :

En conséquence la résolution des deux équations vectorielles issues de l’écriture du Principe Fondamental de la Statique (PFS) :

Fait apparaître les trois équations scalaires :

- projection de sur l’axe (proj /x)- projection de sur l’axe (proj /y)- projection de sur l’axe (proj /z)

2) Equilibre d’un solide soumis à l’action de deux forces :



Soit le solide (S) en équilibre par rapport à un repère galiléen sous l’action de deux forces modélisées par les torseurs suivants :

Enoncé du PFS dans ce cas particulier :

Si un solide (S) est en équilibre sous l’action de deux forces alors les représentants des forces (les résultantes) sont directement opposés :- Ils ont le même support,- Les valeurs algébriques des résultantes sont opposées

3) Equilibre d’un solide soumis à l’action de trois forces:

Soit le solide (S) en équilibre par rapport à un repère galiléen sous l’action de trois forces modélisées par les torseurs suivants :



Enoncé du PFS dans ce cas particulier :

Si un solide (S) est en équilibre sous l’action de trois forces alors, les résultantes des trois torseurs représentants les trois forces sont :- coplanaires,- concourantes ou parallèles,- de somme vectorielle nulle.

4) Algorithme de résolution d’un problème de statique :

4.1) Schéma d’analyse du mécanisme :Le schéma d’analyse (ou d’architecture) d’un mécanisme, est construit à partir du graphe des liaisons du mécanisme, sur ce schéma figurent également les Actions Mécaniques Extérieures au mécanisme.

4.2) Algorithme de résolution :- Réaliser le schéma d’analyse du mécanisme,

- Faire l’isolement du solide ou du système matériel dont on désire étudier l’équilibre,

- Faire, si possible, des hypothèses au niveau :- des liaisons (parfaites ou non)- de la géométrie du système, de la symétrie des A.M. (problème plan ou spatial)- des A.M. à distance (peut-on négliger le poids du système devant les autres A.M. ?)- Etc.

- Faire un inventaire des Actions Mécaniques Extérieures agissant sur le Système Matériel isolé, modéliser ces A.M.E. par des torseurs,

- Enoncer le P.F.S.

- Résoudre (analytiquement ou graphiquement)

- Faire l’analyse et le commentaire des résultats

5) Cas particulier d’un système soumis à trois forces parallèles coplanaires :

Dans ce cas la résolution graphique n’est pas indiquée, on lui préfère une résolution analytique.

Le principe fondamental de la statique s’énonce donc de la manière suivante :


o

AB CS

a

d


Dans l’exemple ci-contre nous allons choisir par exemple le point A pour écrire le principe fondamental :

Avec :

A ce stade de la résolution deux options s’ouvrent à vous :

Soit vous lancez le calcul par le biais d’un logiciel Soit vous procédez « manuellement » de la manière suivante :

Principe : Le moment de la force par rapport au point A, noté

possède une intensité égale

au produit de l’intensité de

par le bras de levier d ( d longueur du segment AA’ avec A’ projeté orthogonal de A sur le support de )

Convention de signe : Si a tendance à faire « tourner » le solide autour de A dans le sens trigonométrique, le moment est compté positif (négatif dans le sens rétrograde)

En reprenant l’exemple de la page précédente : on calcule la somme des moments comme suis :

Lorsqu’on additionne ces trois termes et en les projetant sur l’axe z, il vient :


x

y

z

Sens positif de « rotation »

A

jiF

Solide j

d

A’


Le principe fondamental donnera les trois égalités suivantes :

de la somme des moments en A :

de la somme des forces : Nota : Pour que la résolution soit complète il faut au moins connaître une force complètement par exemple ici et bien entendu les longueurs a et d.


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