crystallography (part i) -...

دانشگاه کردستان، گروه فیزیک، ابراهیمی

(قسمت اول)بلورشناسی Crystallography (part I)

مراجع

ناصر تجبر: ، ترجمهX ،L.V. Azaroffبلورشناسی با پرتو -1•

• 2- Crystals and Crystal Structures, Richard J. D. Tilley, 2006 Wiley


(:1)فهرست مطالب

مقدمه1.

عناصر و عملهای تفارن2.

(خالصه)شبکه های بلوری 3.

گروههای نقطه ای4.

مروری بر اصل تقارن و مباحث گفته شده5.

شبکه دوبعدی6.

شبکه سه بعدی7.

نماد گذاری رخ های بلور8.

گروه های فضایی9.استریوگراف10.


مقدمه-1بلورها و ساختارهای بلوری


(1)تعاریف

می نامندبلور آرایه های اتمی دوره ای در سه بعد را-1•نامیده می شوندعنصر تقارن مکان هندسیی که حول آن تکرارها رخ می دهند -2•عمل های تقارن یک بلور ساختار آن را به شکل اولش برمیگرداند-3•های وترکیبعمل های نقطه ای دوران و بازتابو انتقال شبکه این عمل ها شامل -4•

توان در واقع حول نقاط شبکه ویا بعضی نقاط خاص ممکن است ب. آنها می باشند.دوران ها یا بازتاب هایی اعمال کرد که بلور را به حالت اولیه خود برگردانند

تقال و ترکیب عمل های انعمل های مرکب نیز می توانند وجود داشته باشند که از -5•حاصل می شوندنقطه ای

گروه تقارن فضا حول یک نقطه را می توان با مجموعه ای از عناصر تقارن به نام-6•نج گروههای نقطه ای از ترکیب پنج محو دوران مرتب و پ. توصیف کردنقطه ای

می رسد32محور دوران نامرتب ساخته شده اند و تعداد آنها به


عناصر وعمل های تقارن-2عمل های تقارن


:اعمالی كه موجب تكرار اجزاء سازنده بلور می شوند

له فاص)با اين عمل اجزاء سازنده بلور در يك جهت خطي و به فواصل معيني : انتقال-الف•.تكرار مي شوند( تعادلي

(: دوران)چرخش -ب•


(انعکاسی)بازتابی-د


:شبکه های بلوری-3

: یک بعدی-1•

:دوبعدی-2•

سه بعدی-3•


گروه های نقطه ای-4


(56و 55صفحات )در تقارن قابل قبول است؟ 6و4و3و2های nچرا فقط دوران های با :مسئله


دوران مرتب


وارون-بازتاب و دوران-عملها و محورهای دوران، دوران



هم ارز است؟6̃و 4 ̃،3 ̃،2 ̃،1̃کدام یک از محورهای تقارنی با محور های: مسئله

تقارن یک مکعب


به نام همچنان که اشاره شد، تقارن فضا حول یک نقطه را می توان با مجموعه ای از عناصر تقارنگروه

.توصیف کرد نقطه ای

دانشگاه کردستان، گروه فیزیک، ابراهیمی5

11 C 22 C

33 C

44 C 66 C

گروههای نقطه ای دورانی-1

+5 = 10

hCm 1 hC

m2

2

hCm

3

3

hCm

4

4 hC

m6

6

(آینه افقی)بازتابی -گروههای نقطه ای دورانی-2


+4 = 14

vCm 1 vCmm 22

vCm 33

vCmm 44 vCmm 66

hCm 1

(آینه عمودی)بازتابی -گروههای نقطه ای دورانی-3


12 S 21 S

36 S

44 S 63 S

hCm 1

hCm

3

3

+3 = 17

وارونی-گروههای نقطه ای دورانی-3

ه ای از ترکیب یک صفحه آیینه ای عمود بر محور دوران مرتب چند گروه نقط:مسئلهایجاد می شود؟( مختص به خود)جدید


a, b, g = "throw" of axis

i.e. 2-fold has 180° throw

2sin

2sin

2cos

2cos

2cos

cosba

bag

AB

Investigate: 180°, 120°, 90°, 60°

خودبخود تولید می شودCپس از آن عنصر . ترکیب شودBبا عنصر دیگر Aوقتی یک عنصر تقارن : نظریه گروهA.B=C


Possible Rotor Combinations


تا را بیابید2همه گروههای نقطه ای شامل یک محور ( 5-1)با به کار بردن معادله : مسئله

Allowed Combinations of Pure Rotations


.مشروط بر آنکه دو به دو بر هم عمود باشند. تا می توانند در یک نقطه ترکیب شوند2نشان دهید که سه محور :مسئله

Rotations + Perpendicular 2-foldsDihedral (Dn) Groups


2222 D 332 D

4422 D 6622 D

+4 = 21

Dihedral Groups + sh


hDmmm 2 hDm 326

hDmmm

4

4 hDmm

m6

6

+4 = 25

Dihedral Groups + sd


dDm 224 dDm 33

?4dD ?6dD

m28 m212

+2 = 27

Isometric GroupsRoto-Combination with no Unique Axis


T Groups


T23

hTm3 dTm34

+3 = 30

T Groups


O Groups


O432

hOmm3

+2 = 32

O Groups


پاسخ )واقع شود چه گروه نقطه ای نتیجه می شود؟ 2¯نسبت به محور 90˚در2وقتی محور : مسئله(را با رسم شکل پیدا کنید

مروری بر اصل تقارن و مباحث گفته شده-5

يکتوسطساختاريکازقسمتيبودنمتناظريامشابه:(symmetry)تقارن•گويندتقارنراصفحهونقطه،خط

:تقارنازهدف•باشيمداشتهمولکوليابلوريکازبيشتريشناختتوانيمميماتقارنازاستفادهبا•

پراش،(NMR)هستهمغناطيسرزونانس،جملهازمباحثازبسياريتوصيفودربهمربوط)(MO)مولکولياوربيتالو،(IR)قرمزمادون،((X-rayايکسپرتو

.کنيماستفادهآناز(مولکول:تقاروناصلياجزاي•

تقارنعناصر-٢تقارناعمال-١:تقارناعمال•

امانجازپسبطوريكهشود،ميانجامجسميکرويکهعمليازعبارتتقارنعمل.يردگقراراوليهموقعيتدر(نقطههمانشايديا)معادلنقطهرويجسمنقطههرآن،

نآازبعدوقبلجسمجهتگيريووضعيتدوكهاستتقارنصورتيدرعمل.باشدتشخيصقابلغيرحركت،


ه با نگاه کردن به بعضي از سطوح ،يال ها و گوشه ها متوجه مي شويم کدر واقع، •ا عناصر، به دليل تاثير عوامل ي(موتيف يا طرح الگويي)تکرار منظم اجزا خارجي بلور

.تقارني است:عناصر تقارن•وقارنتمركزتقارن،محورترتيببهكهباشندميصفحهيانقطهخط،صورتبه

.هستندتقارنيعملچنديايکدارايهرکداموميشوندناميدهتقارنصفحه

خطي است فرضي که از مرکز جسم : محور تقارن-1•مي گذرد و اگر جسم را در حول آن بچرخانيم اجزا همشکل

.به فواصل زاويه اي معيني تکرار مي شوند


اجسامويرتصکهگرفتنظردرايآينهمانندتوانميراتقارنسطح:تقارنسطح-2•حالتتقارنسطحبهنسبتسطوحودهدمينشانقرينهخودسطحبهنسبترا

.دارندراراستوچپدست


كل مركز تقارن يك نقطه فرضي در مركز بلور است كه اجزا هم ش: مرکز تقارن-3•.درجه قرينه آن قرار دارند180بلور نسبت به آن و در فاصله مساوي و با زاويه


...(شیمی، )نحوه نام گذاری عنصرهای تقارن


(گروههای نقطه ای دو بعدی)تقارن در شیمی


مولکول C2مثالي از محور تقارن CH6


(تخت)شبکه دو بعدی -6

ک نقطه که تنها ی( سلول)هر یاخته : یاخته بسیطشبکه را دار باشد

بکه شامل بیش از یک نقطه ش: یاخته چندگانهاست

5را گاهی ( دوبعدی)شبکه تخت 5: تعریف شبکه براوه می نامند


: مسئله


شناسیربلوي هامحور

گرفته می شوند که منطبق بر رشناسی به کاربلوي هاربه محوم فرضی موسوي هارشناسی محوربلودر •کهرند ینظر می گري در طو cو b ،aبارا ها ده و آن اضی بویي رهارمحو

xور حبر مaبردار -1•yمحور بر bدار بر-2•منطبق استzبر محور cبردار -3•


سایتز-سلول ویگنر


(فضایی)شبکه سه بعدی -7، با زاویه ها و اندازه های متفاوت( در فضا)انتقال در سه جهت •



شبکه براوه می نامند14شبکه فضایی توزیع شده بین شش سیستم بلوری را گاهی 14: تعریف

hcp


:مثال


Simple Cubic (SC)• a₀ & atomic radius relation: a₀ =2r

• APF: 0.523

• Coordination number: 6

• Atomic per unit cell: 1


Body Centered Cubic (BCC)• a₀ & atomic radius relation: 3a₀ =4r

• APF: 0.6798




Face Centered Cubic (FCC)• a₀ & atomic radius relation: 2a₀ =4r

• APF: 0.74




Hexagonal Close Packed(HCP)• a₀ & atomic radius relation: a₀ =2r , c₀ =1.63 a₀

• APF: 0.74




:مثال

را با یک اتم پایه بدست آورید bccضریب تراکم اتمی ساختار بلوری •


را با یک اتم پایه بدست آورید hcpضریب تراکم اتمی ساختار بلوری •


گروه نقطه ای32

(Stereographic projection)تصویراستریوگرافیک•


Crystal system

Point group

Space groups (international short symbol)Hermann-

Mauguin

Symbol

Schoenflies

Symbol

Triclinic (میلسه)

(2)

1 C1 Chiral P1

1 Ci P1

Monoclinic تک )

(میل (13)

2 C2 Chiral P2, P21, C2

m Cs Pm, Pc, Cm, Cc

2/m C2h P2/m, P21/m, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c

Orthorhombic

(راست گوشه) (59)

222 D2 Chiral P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121

mm2 C2v

Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21,

Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2, Fmm2,

Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2

mmm D2h

Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam,

Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmce,

Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca,

Imma


http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_system

http://en.wikipedia.org/wiki/Point_group

http://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_system

http://en.wikipedia.org/wiki/Triclinic

http://en.wikipedia.org/wiki/Monoclinic

http://en.wikipedia.org/wiki/Orthorhombic

Tetragonal چار )

(گوشی (68)

4 C4 Chiral P4, P41, P42, P43, I4, I41

4 S4 P4, I4

4/m C4h P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a

422 D4 Chiral P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122

4mm C4v

P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc, I4mm, I4cm,

I41md, I41cd

42m D2d

P42m, P42c, P421m, P421c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2, I4m2, I4c2,

I42m, I42d

4/mmm D4h

P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm,

P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm,

P42/nmc, P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd

Trigonal سه )

(گوشی (25)

3 C3 Chiral P3, P31, P32, R3

3 S6 P3, R3

32 D3 Chiral P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32

3m C3v P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c

3m D3d P31m, P31c, P3m1, P3c1, R3m, R3c,

Hexagonal شش )

(گوشی (27)

6 C6 Chiral P6, P61, P65, P62, P64, P63

6 C3h P6

6/m C6h P6/m, P63/m

622 D6 Chiral P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322

6mm C6v P6mm, P6cc, P63cm, P63mc

6m2 D3h P6m2, P6c2, P62m, P62c

6/mmm D6h P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc

Cubic

(مکعبی) (36)

23 T Chiral P23, F23, I23, P213, I213

m3 Th Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3

432 O Chiral P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132

43m Td P43m, F43m, I43m, P43n, F43c, I43d

m3m Oh Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m, Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c, Im3m, Ia3dدانشگاه کردستان، گروه فیزیک، ابراهیمی

http://en.wikipedia.org/wiki/Tetragonal

http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonal

http://en.wikipedia.org/wiki/Hexagonal_crystal_system

http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_crystal_system

نمادگذاری رخهای بلور-8

(محورهای دوران موجود در یک بلور به عنوان محورهای مرجع آن بلور انتخاب می شوند)انتخاب محورهای بلور -1•

برخوردگاههای صفحه را در امتداد هریک از سه -1: در سه مرحله تعیین می شود( (hkl)شاخص صفحه )شاخص های میلر -2•اگر کسر اعشاری حاصل شد هر یک را در کوچکتری مضرب -3. وارونه آنها را یادداشت کنید-2. محور بلورنگاری معین کنید

مشترکشان ضرب کنید


برای محورهای ششگوشی اثبات a1+a2=-a3را برای شاخص ها و رابطه h+k=-iرابطه : مسئلهکنید

Intercepts → 1 Plane → (100)

Family → {100} → 6

Intercepts → 1 1

Plane → (110)

Family → {110} → 6

Intercepts → 1 1 1

Plane → (111)

Family → {111} → 8

(Octahedral plane)

Cubic lattice

X

Y

Z

The purpose of using

reciprocal of intercepts and

not intercepts themselves in

Miller indices becomes clear

→ the are removed

شبکه مکعبي


دشاخص های صفحه ضخیم و نزدیکترین صفحه به مبدا، در شکل زیر بدست آوری: مثال


د با مجموعه دیگری از صفحات که به فراوانی به کار گرفته می شوند مجموعه صفحاتی هستن•قطع می این راستای مشترک، راستایی است که در امتداد آن صفحات یکدیگر را. راستای مشترک

شود که نامیده می شود صفحاتی که در یک مجور منطقه مشترکند گفته میمحور منطقه کنند و نشان [uvw]قرار داده شده در دوبند محور منطقه باسه عدد درست یک . تعلق دارندیک منطقهبه

t=ua+vb+wcبنابر معادله برداری tکه بردار . داده می شود

.را تعریف می کند

uh+vk+wl=0: شاخصهای محور منطقه و صفحه از رابطه جبری زیر پیروی می کند

:و باالخره، محور منطقه مربوط به دو صفحه متقاطع را می توان به قرار زیر تعیین کرد

u=k1l2-k2l1v=l1h2-l2h1

w=h1k2-h2k1...وb[010]و به موازات a[100]راستا یا محور منطقه به موازات : مثال

است فهرست [111]حداقل شش صفحه مختلف متعلق به منطقه ای را که محور منطقه آن : مسئلهکنید


منطقه ها وشکل ها-3

نماد گذاری محورها و صفحات: مثال


Related to ‘k’ index

Related to ‘h’ index

Related to ‘i’ index

Related to ‘l’ index

Hexagonal crystals → Miller-Bravais Indices

(h k i l)

i = (h + k)

a1

a2

a3 Intercepts → 1 1 - ½

Plane → (1 12 0)

The use of the 4 index notation is to bring out the equivalence between

crystallographically equivalent planes and directions (as will become clear in coming slides)

a1

a2

a3

Intercepts → 1 -1

Miller → (0 1 0)

Miller-Bravais → (0 11 0)

Intercepts → 1 -1

Miller → (1 1 0 )

Miller-Bravais → (1 1 0 0 )

Examples to show the utility of the 4 index notation

Obviously the ‘green’ and

‘blue’ planes belong to the

same family and first three

indices have the same set of

numbers (as brought out by the

Miller-Bravais system)

Intercepts → 1 1 - ½ 1

Plane → (1 12 1)

Intercepts → 1 1 1

Plane → (1 01 1)

Find intercepts along axes → 2 3 1

Take reciprocal → 1/2 1/3 1

Convert to smallest integers in the same ratio → 3 2 6

Enclose in parenthesis → (326)

Miller Indices for PLANES Miller indices for planes is not as intuitive as

that for directions and special care must be

taken in understanding them

Illustrated here for the cubic lattice

بلور واقع در شکل زیر را بررسی کنید و همه عناصر تقارن را که در آن می یابید فهرست کرده سپس رده : مسئلهدرست و سیستم بلور را تعیین کنید


را تعیین Cu, Fe, Mgفلزات گروههای نقطه ای سلول های واحد ساختار بلوری : مسئلهکنید


زاویه بین صفحات


گروه های فضایی

شود تا کنون نشان دادیم که چگونه ترکیب دو عنصر تقارن منجر به عنصر سوم می•(گروه های نقطه ای)

تا شبکه فضایی ترکیب کنیم14گروه نقطه ای را با 32اکنون تنها این باقی می ماند که •چنین نتیجه می شود که عنصرهای تقارن. همه گروه های فضایی ممکن حاصل شود

+ اب بازت. )موجود در شبکه های فضایی می توانند مولفه های انتقال را تکرار کنند(پیچش=انتقال+لغزش ودوران=انتقال


از ترکیب یک دوران مرتب با یک زیر انتقال می توان یک محور پیچی به دست آورد

فاصله انتقال جمعی باید برابرθدوران به زاویه nو Tانتقال nپس از :باشد tدر انتقال شبکه mحاصلضرب عدد درست

nT=mt T=mt/n

(می باشدmدر شکل های روبه رو شاخص پایین )


شبکهبااینقطههایگروهممکنهایترکیبتعیینبرایکوششدر•آمدهدستبهتاکنونکهرااینقطهگروه32بایدتنهانهفضایی،های

ولیکسان،یایزاویهروابطباتقارنیهایگروهبلکهبگیریم،کاربهاندلعزشیصفحاتوخالصدورانمحورهایجایبهپیچیمحورهایباهایهگروایناگر.بگیریمنظردرنیزخالصبازتابصفحاتجایبه

230تنهاکهشودمینتیجهچنین.آوریمحساببهراهمدیستقارن.داردوجودهاشبکهباتقارنیچنینترکیببرایمختلفراه


استریوگراف•

تصویر بلورها •


استریوگرافhttp://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/stereographic/projection.php


http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/stereographic/projection.php

تصویر بلورها(شبکه ولف)


یک تصویر پرسپکتیو یعنی قرار دادن نقاطی از فضا بر یک سطح،: تصویرهای پرسپکتیوبه همان صورتی که آن نقاط از نقطه ثابتی از فضا روی آن سطح دیده شوند

.هر یک از نقاط بر کره را، که برخوردگاه هر خط عمود با کره است، قطب می نامند: قطب

قرار گیرد به سادگی یافت می شود90˚ محور منطقه ای هر دو صفحه، با توجه به این نکته که قطب آن محور باید به فاصله ؛ مثل یک کره (دایره های عرضی)می توان کره را با دایره های عظیمه همفاصله، به نام نصف النهارها، و دایره های کوچک به نام مدارها

تصویر کردن مشگل اصلی این تصویر جابجا کردن آن است، بنابراین می توان از . )جغرافیایی و قطب های گوناگونی به چنین مختصاتی نسبت داد(کره بر یک صفحه تخت استفاده کرد

انواع تصویرها


چهار نوع تصویر سمت الراسی معمولی


Wulff)شبکه ولف Net)


:مسئله

• Using the Wulff net, plot the {101} poles on the …

• Using a Wulff net, plot the {100} poles on a stereogram aligned so that the paper is in the x-y plane. By measuring angles along great circles, with rotation of the Wulff net if necessary, plot (320), (323), (510) and (511). Find the angle between (323) and (511).


crystallography (part i) -...

Documents