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I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” GEOMETRÍA

1º SECUNDARIA – II PERÍODO - 2008

IV. POLIGONOS1. DEFINICIÓNSe denomina polígono a la figura geométrica formada por la unión de tres o más segmentos de rectas que tienen sus extremos comunes dos a dos.

* Un polígono determina en el plano una región interior y una región exterior.* El polígono es la frontera entre la región interior y la exterior.* La unión de un polígono y su región interior recibe el nombre de región poligonal.

2. ELEMENTOSSea el polígono ABCDE, sus elementos son:

2.1)-Lados de un polígono, son cada uno de los segmentos que forman un polígono. Los lados del polígono ABCD son: .

2.2)-Vértices de un polígono, son cada uno de los puntos donde se unen los lados y se representan mediante letras mayúsculas .

Los vértices del polígono ABCD son:A, B, C, D, E.2.3)-Ángulos en un polígono, hay dos clases de ángulos:* Ángulos Interiores, son los que se encuentran dentro del polígono.- Un ángulo interior del polígono ABCD es: “”* Ángulos Exteriores, son los que se encuentran en el exterior del polígono.- Un ángulo exterior del polígono ABCD es: a°

2.4)-Diagonales de un polígono, son los segmentos que unen los vértices no consecutivos.

- Una diagonal del polígono ABCD es:.

2.5)-Perímetro de un polígono, es la suma de las longitudes de todos sus lados.

2P = AB + BC + CD + DE + EA

* OBSERVACIÓN: En todo polígono se cumple que el número de lados es igual al número de vértices e igual al número de ángulos.

# Lados = # Vértices = # Ángulos

3. CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS

3.1) SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS Los polígonos se nombran según el numero de lados que poseen. Se utilizan para ello los prefijos griegos.

3.2) SEGÚN LA FORMA DE SUS ELEMENTOSPueden ser:

a).- POLÍGONO CONVEXO: Es aquel polígono cuyos ángulos interiores son convexos. Un polígono es convexo cuando una recta secante lo corta como máximo en dos puntos.

b).- POLÍGONO NO CONVEXO: Llamado también cóncavo, es aquel polígono que tiene uno o más ángulos cóncavos. Un polígono es no convexo cuando una recta secante lo corta en más de dos puntos.

c).- POLÍGONO EQUILÁTERO: Todos los lados del polígono equilátero son congruentes. Esto no implica que sus ángulos sean congruentes.

d).- POLÍGONO EQUIÁNGULO: Todos los ángulos interiores del polígono equiángulo son congruentes.Esto no implica que sus lados sean congruentes.

e).- POLÍGONO REGULAR: Los lados y los ángulos interiores del polígono regular son congruentes.

4. PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

Para un polígono de “n” lados se cumple que: 4.1).-En todo polígono, la suma de sus ángulos interiores está dado por la siguiente relación :

Ejemplo:- Calcula la suma de ángulos interiores de un pentágono.

NÚMERO DE LADOS

NOMBRE DEL POLIGONO

3 lados Triángulo4 lados Cuadrilátero5 lados Pentágono6 lados Hexágono7 lados Heptágono8 lados Octágono9 lados Nonágono

10 lados Decágono11 lados Endecágono12 lados Dodecágono15 lados Pentadecágono20 lados Icoságono

51

C

D

E

B

A

Región exterior

Región interior

Frontera

E A

C

DB

a°

1

2

Recta secante

S Inter.= 180 (n - 2)

12

3

4

A C

D

B

EG

FH

D

B

A

E

C

F

E

D

B

A C

F

D

B

A

E

C

F

A

C

E

D

B



* Aplicando la propiedad: “n” es igual a 5, por ser un pentágono. S Inter.= 180 (n - 2) S Inter.= 180 (5 - 2)

S Inter.= 540°

4.2).-En todo polígono, la suma de sus ángulos exteriores es 360°.

Ejemplo:- Calcula la suma de ángulos exteriores de un pentágono.

* Aplicando la propiedad:En todo polígono la suma de ángulos exteriores es 360°.

4.3).- En todo polígono, el número total de diagonales está dado por la siguiente relación:

Ejemplo:

- Calcula el número total de diagonales de un pentágono.

* Aplicando la propiedad: “n” es igual a 5, por ser un pentágono.

N° D =

N° D = 5

4.4).- Para calcular el número de diagonales desde un solo vértice se utilizará la siguiente relación:

4.5).- En todo polígono, el número de diagonales medias está dado por la siguiente relación.

4.6).- En todo polígono, el número de diagonales trazadas desde “P” vértices consecutivos está dado por la siguiente relación.

Donde “P” = N° de vértices consecutivos.En todo polígono de “n” lados, si se empieza a trazar las diagonales desde cada vértice consecutivo, se cumple que del primer y segundo vértice se puede trazar el mismo número de diagonales, pero a partir del tercer vértice el número de diagonales disminuye de uno en uno.

N° orden de vértices N° de diagonales1° n - 32° n - 33° n – 44° n – 5

K° n - k

* OBSERVACIÓN:Para un polígono regular o equiángulo se cumple:a)- Medida de un ángulo interior

Ejemplo:- Calcula la suma de ángulos interiores de un pentágono regular.

* Aplicando la propiedad: “n” es igual a 5, por ser un pentágono

=

= 108°

b)- Medida de un ángulo exterior

Ejemplo:- Calcula el ángulo exterior de un pentágono regular.


= = = 72°

c)- Medida de un ángulo central

Ejemplo:

- Calcula el ángulo central de un pentágono regular.


cent =

cent = 72°

IMPORTANTE: También debemos saber que la suma de los ángulos centrales es 360°.

52

S ext.= 360°

N° D =

int =

ext =

cent =

N° de diagonales = n – 3

A

C

E

D

B

A

C

E

D

B

A

C

E

D

B

A

C

E

D

B

c

A

C

E

D

BN° D.M. =

N° d = (2n – p - 3) – 1



PROBLEMAS RESUELTOS

1).-¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un dodecágono?.

Solución:* Como: n = 12

# D =

#D = 54

2).- ¿En qué polígono el número de diagonales es igual al número de vértices?.

Solución:

Dato : = n n(n-3) =

2n n – 3=2 n = 5

En un pentágono

3).- Calcula la suma de los ángulos interiores de un dodecágono.

Solución:

n =12 Si = 180°(n-2)

Si = 180(12- 2) Si = 180(10)

S = 1800°

4).- ¿Cuántas diagonales parten de uno de los vértices de un polígono, en el cual la suma de sus ángulos internos y externos es igual a 3780°?.

Solución:Sea : n # de lados del polígono :

Por dato : 180(n-2) + 360 = 3780

180(n-2) = 3420

n – 2 =

n-2 = 19 n = 21

Nos piden :

n – 3 = 21- 3 = 18

5).- Halla el número de lados de un polígono convexo cuyos ángulos interiores suman 11 veces sus ángulos exteriores.

Solución:Sea: n # de lados del polígono :

Por dato : 180 (n-2) = 11 . 360 n –2 = 11. 2 n – 2 = 22

n = 24

6).- Quince veces el ángulo interior de un polígono regular, equivale al cuadrado de su ángulo exterior. Halla su número de lados.

Solución:

Sea : n # de lados del polígono.Por dato :

15 . (n-2) =

(n-2) =

n – 2 =

n (n-2) = 48

n = 8

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 04

NIVEL II).- Calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos:

a).-Pentágono ................................b).-Heptágono ................................c).-Octágono ................................d).-Nonágona ................................e).-Dodecágono ................................f).-Icoságono ................................

II).-Calcula el número de diagonales totales de los siguientes polígonos: a).-Pentágono ............................b).-Hexágono .............................c).-Octágono .............................d).-Decágono .............................e).-Eneágono ..............................f).-Pentadecágono ........................

NIVEL IIII).- Subraya la alternativa correcta.

1).- ¿Cuántas diagonales tiene un octágono?a) 14 b) 20 c) 27d) 35 e) 44

2).- Calcula la suma de los ángulos interiores de un decágono.a) 180° b) 1260° c) 540°d) 1440° e) 900°

3).- ¿En qué polígono, el número de diagonales es igual al número de lados?a) Pentágono b) Icoságonoc) Hexágono d) Decágonoe) N.A

4).- Si la suma de los ángulos internos de un polígono es 1260°,¿cuántas diagonales tiene el polígono?a) 90 b) 20 c) 27d) 35 e) 54

5).- ¿Cuántos lados tiene el polígono cuya suma de ángulos internos y externos es 7200°?a) 24 b) 40 c) 45d) 36 e) 50

6).- Calcula el número de lados de aquel polígono en el cual su número de lados más su número de diagonales es 28.a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 10

7).- El ángulo interior de un hexágono regular mide:a) 60° b) 120° c) 72°d) 108° e) 150°

8).- ¿Cómo se llama el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 40°a) Hexágono b) Heptágonoc) Nonágono. d) Octágonoe) Decágono

9).- Si el ángulo central de un polígonoregular mide 30°. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono?a) 35 b) 54 c) 44d) 90 e) 100

10).- En un polígono regular la suma de los ángulos internos es igual a 4140°.Halla el número de diagonales.a) 275 b) 325 c) 265d) 425 e) N.A.

11).- Determina la suma de ángulos internos de aquel polígono que tiene tantas diagonales como número de lados.a) 180° b) 360° c) 540°d) 720° e) 900°

12).- Calcula el número de diagonales de un polígono regular cuyo ángulo interior mide 144°.a) 40 b) 35 c) 70d) 10 e) 44

13).- ¿Cuántos lados tiene un polígono convexo, cuya suma de medidas de sus ángulos internos y externos es 2160°?.a) 11 b) 12 c) 10d) 18 e) 14

14).- Calcula el número de lados de un polígono si la suma de ángulos interiores más la suma de sus ángulos exteriores es igual a 3960°.a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23

53



15).- Calcula el número de diagonales del polígono regular cuyo ángulo interior mide 135°.a) 20 b) 35 c) 44d) 27 e) 14

V. TRIÁNGULOS

1. DEFINICIÓN Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.

2. ELEMENTOS Sea el triángulo ABC, sus elementos son:

2.1. LADOS DE UN TRIÁNGULO Son cada uno de los segmentos que forman un triángulo. Los lados del triángulo ABC son:

2.2. VÉRTICES DE UN TRIÁNGULO

Son cada uno de los puntos donde se unen los lados y se representan mediante letras mayúsculas .Los vértices del triángulo ABC son:A, B, C.

2.3. ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO,

Hay dos clases de ángulos:* Ángulos Interiores, son los que se

encuentran dentro del triángulo.- Un ángulo interior del triángulo ABC es:

“”* Ángulos Exteriores, son los que se

encuentran en el exterior del triángulo.- Un ángulo exterior del triángulo ABC es:

°

2.4. LONGITUD DE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO,

Son las medidas de cada lado.Una longitud del lado del triángulo es: “a”

2.5. PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO

Es la suma de las longitudes de sus tres lados.

2P = AB + BC + CA

Observación :P Punto interior del triángulo ABC.QPunto exterior del triángulo ABC.

3. CLASIFICACIÓN Veamos dos formas de clasificar a los triángulos:

3.1. POR LA RELACIÓN ENTRE SUS LADOSPueden ser:

a).- Triángulo Equilátero.-Cuando sus tres lados son de igual medida.

b).- Triángulo Isósceles.- Cuando dos de sus lados son de igual medida.

c).- Triángulo Escaleno.-Es aquel que tiene sus tres lados de diferente medida.

3.2. POR LAS MEDIDAS DE SUS ÁNGULOS

Pueden ser:a).- Triángulo Rectángulo.-Cuando uno de sus ángulos internos mide 90°.

b).- Triángulo Acutángulo.- Cuando cada uno de sus tres ángulos internos son agudos.

c).- Triángulo Obtusángulo.- Cuando uno de sus ángulos internos es obtuso.

4. TEOREMAS BÁSICOS SOBRE TRIÁNGULOS

4.1) La suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°.

54

B

CA

c a

P

Q

b

a

CA

B

a

B

bA

C

ac

A C

ac

b

B

B

A

C

CA

B

B

A

C

+ + =180°

CA

B

a a

a

= 60°

> 90°

CA

B

Región interior

Región exterior

< 90° < 90° < 90°

“El error más grande que puedes cometer es tener miedo de cometer un error”.

CLAVES DE RESPUESTAS

NIVEL II

1) b 2) d 3) a 4) c

5) b 6) d 7) b 8) c

9) b 10) a 11) c 12) b

13) b 14) d 15) a



4.2) La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.

4.3) La suma de las medidas de los ángulos exteriores (uno por vértice) es 360°.

4.4) Dado un triángulo isósceles: a lados de igual medida se oponen ángulos de igual medida.

=

4.5) En todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos, pero mayor que su diferencia.

4.6) En todo triángulo se cumple que:Si : > > Entonces:

Propiedad de a > b > cCorrespondencia:

5. PROPIEDADES 5.1) Conocida también como la “Propiedad de la mariposa”.

5.2) Un cuadrilátero de 3 ángulos agudos y un cóncavo, se cumple que: la suma de los tres ángulos agudos interiores es igual al ángulo convexo exterior.

5.3) Se cumple que:

a + b + c + d + e = 180°PROBLEMAS RESUELTOS

1).-Calcula el valor de “x”

Solución :

: Ángulo exterior

:Ángulo Interior no adyacente al

3x + y + 10 = 2x + y + 40° 3x – 2x = 40° + 10°

x = 30°

2).-Calcula el máximo valor de x ; x Z.

Solución :

* Aplicamos existencia de triángulos

8 – 6 < x < 8 + 6 2 < x < 14

3).-De la figura, calcula el valor de “x”; si: NT = TI

Solución:

*Aplicando el teorema 2.

50° + 50° + x = 180° x = 80°

4) Si: AB = BC = CD =DE, calcula “x”

Solución:

* Aplicando el teorema 2.

75° + 75° + x = 180° 150° + x = 180°

x = 30°

5).-En la figura: MN = NC = BC. Halla “x”.

Solución:

Se observa:

40° + 60° + x° = 180°

55

x

x = +

B

zAC

x

y

x + y + z = 360°

a

CA

B

a

Si: Entonces:

a°

b°

x°

y°

a + b = x + y

x = + +

B

AC

3x+y+10°2x+y

40°

A C

B

6m8m

x

x = 13m

O

T

IN

30°

20° x°

25°

x°

A

B

C

D

E

N

T

50° 50°

O I30°

20° x°

A

B

CM

N

20°

40°

x°

CA

B

M

N

20°

40°

x°

60°

60°

60°

x°B

bA

C

ac

b + c > a > b - ca + c > b > a - ca + b > c > a - b

e°b°

c°d°

a°

25°

50°

50°

75°75°25°

x°

A

B

C

D

E

x



x° = 80°

6).-Calcula “a + b + c + d + e”, en la siguiente figura.

Solución:

La suma de ángulos interiores de un triángulo es 180° : en el triángulo PQR.

a + b + c + d + e = 180°

9).- De la figura calcula el mínimo valor entero que puede tomar “x”.

Solución:

Por propiedad de existencia :5< (x+1)+ (x-1) 5< 2x 2,5 < x

También : x – 1> 0 x >1

xmin = 3

10).- En el gráfico calcula “x”

Solución:

En la figura :

6x + 6x + 3x = 180°

15x = 180°

x = 12°


NIVEL I1).-Dos lados de un triángulo miden 6 y 8.

Calcula el mayor valor entero del tercer lado.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

2).-Dos lados de un triángulo miden 7 y 9. Calcula el mayor valor entero del perímetro del triángulo.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34

3).-La suma de las medidas de dos ángulos internos de un triángulo es 110 y su diferencia es 10. Calcula la medida del menor ángulo interno de este triángulo.

a) 10° b) 20° c)30° d) 40° e) 50°

4).-Las medidas de los ángulos externos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética. Calcula la medida de uno de los ángulos internos de dicho triángulo.

a) 30° b) 60° c) 40° d) 50° e) 27°

5).- Calcula “x”.

a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 70°

6).-¿Cuál es el lado mayor del triángulo ABC mostrando en la figura?

a)

b)

c)

7).-Dos lados de un triángulo miden 1 y 6. ¿De qué naturaleza es el triángulo?, si la medida del tercer lado es un número entero.a) Escaleno b) Isósceles c) Equilátero

8).-En la figura, calcula “x”

a) 12°b) 16°c) 15° d) 20°e) 18°

9).- Del gráfico, calcula “x”.

a) 150° b) 140° c) 155° d) 120° e) 118°

10).-Calcula “x”.

a) 20° b) 30° c) 18°d) 40° e) 32°

11).- En un triángulo ABC, AB = 2, BC = 5. Calcula la suma de los valores pares que puede tomar “AC”.

a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 1812).- Dos lados de un triángulo miden 3 y 4

el tercer lado es el doble de uno de estos dos lados. ¿Cuánto mide el tercer lado?

a) 6 b) 8 c) 16 d) 12 e) 10

13).- En la figura se cumple que: AB = BC = 9, calcula “BD”.

56

e°b°

c°d°

a°

e°b°

c°

d°

a°

b+e a+dP

R

Q

x+1 x-1

5

3x

A

3x

B

C

3x3x

6x3x

6x

x°

120°

2°°

3°2°

D

B

CA

A C

60° 58°

B

C

x°

4x°

A

B

E

D

A

B

C

D

x°

°

4°

°+°

4°

°

2x+y

40°

3x+y+10°

A

B

C

D

40°

70°

60°



a) 12 b) 9 c) 4,5 d) 18 e) 5

14).- Los lados de un triángulo miden 3; x + 9; 2x - 6.Calcula el mayor valor entero que puede tomar “x” para que el triángulo exista.

a) 17 b) 18 c) 19 d) 16 e) 15

15).-En el gráfico, calcula “x”.

a) 25° b) 35° c) 38°d) 45° e) 32°

16).-Dos lados de un triángulo isósceles miden 6 y 15. Calcula el perímetro del triángulo.

a) 30 b) 27 c) 36d) 42 e) 28

17).-En la figura : AB = BD = DE = EC. Calcula “x”

a) 22° b) 24° c) 26°d) 28° e) 30°

18).-Halla “x”.

a) 10° b) 20° c) 30°d) 40° e) 50°

19).-Halla el suplemento del ángulo AOB.

a) 130° b) 60° c) 140° d) 120° e) 70°

20).-Si: AB = BC = CD = DE = EF. Calcula el valor de “x”.

a) 12° b) 14° c) 16°d) 18° e) 20°

VI. LÍNEAS NOTABLES EN LOS TRIÁNGULOS

1. MEDIANA Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

En todo triángulo hay tres medianas y una de ellas es:* : Mediana relativa a .

2. ALTURA Es el segmento que parte de un vértice y corta en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

- En todo triángulo hay tres alturas y dos de ellas son:* : Altura relativa a

* : Altura relativa a

3. MEDIATRIZ Es la recta perpendicular a un lado cualquiera del triángulo en su punto medio.

- En todo triángulo hay tres mediatrices y una de ellas es: L : mediatriz de .

4. BISECTRIZ

Es el segmento que biseca al ángulo interior o exterior del triángulo.

* : Bisectriz interior relativa a .

* : Bisectriz exterior relativa a .

5. CEVIANA

Es el segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su respectiva prolongación.Las medianas, las alturas, las bisectrices, son cevianas de un triángulo.En todo triángulo existe infinidad de cevianas.

57

M CA

B

n n

CH

P

A

B

B

l lA C

L

CM NA

B

A M N C PQ

Bx°

E

B

C

112°

DA

El matemático como el pintor o el poeta es un constructor de diseños.El hecho que sus sueños sean más permanentes que los otros se deben a que están hechos con ideas.

80°

x+50°

4x+10°

A C E Fx

D

B

2x

A

P

B

Q

O

CLAVES DE RESPUESTAS

NIVEL I

1) d 2) b 3) e

4) b 5) c 6) c

7) b 8) e 9) a

10) b 11) c 12) a

13) b 14) a 15)

16) c 17) d 18) d

19) d 20) d

A

B

CDx°

105°



* Ceviana Interior: relativa a .

* Ceviana exterior: relativa a .

6. PROPIEDADES a) Dado un triángulo, el mayor ángulo formado por dos de las bisectrices interiores es igual a la mitad del tercer ángulo más 90°.

b) Dado un triángulo, el ángulo formado por dos bisectrices exteriores es igual a la diferencia 90° menos la mitad de la medida del tercer ángulo.

3) Dado un triángulo, el ángulo entre una bisectriz interior y otra exterior es igual a la mitad del tercer ángulo.

PROBLEMAS RESUELTOS

1).-Calcula ”x”

Solución:

*Por la 1° propiedad:

x = 90° +

x = 90° + 24°

x = 114°

2).-Calcula “x”.

Solución:

*Por la 2° propiedad: x = 90° -

x = 55°

3).- En el gráfico es mediatriz del lado

si: mc = 28°. Calcula mCPM.

Solución:

Se sabe: 90° + 28° + x° = 180° x° = 62°

4).- Calcula “x”.

Solución:

* Por la 2° propiedad :90° - 60/2 = 180° - x 60° = 180° - x x = 120°

5).-En un triángulo ABC (B = 90°) se traza la altura y la bisectriz del ángulo ABH. Si NC = 5cm, halla “BC”.Solución:

El triángulo BCN es isósceles: NC = BC

BC = 5


NIVEL I1).- Si el ángulo “A” mide 40°, ¿Cuál sería el

valor del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos exteriores B y C del triángulo ABC?

a) 10° b) 70° c) 80° d) 40° e) 50°

2).-Calcula “”

a) 32° b) 34° c) 36° d) 38° e) 40°

3).-Calcula “ ”

a) 100°b) 125° c) 110° d) 120°e) 140°

4).-Calcula “”

58

a°

x°

x = 90° +

x = 90° -

x°

a

x =

x°

°

a°

°°

°

C

A

B

70°

20°

20°

35°35°

30°

30°

a°

50°

50°

A

B

C

D

x°°

°

48°

°

°

70°x

A

B

C

P

M

M

28°A

B

C

P

x°

A C

D

B

25°

25°

19°

/2

/2

120°

x

120°

x

60°

180° - x

C

90°-

°°90°- 2

2A

B

N H5

5



a) 10°b) 25° c) 50° d) 20°e) 40°

5).-Calcula “”

a) 110°b) 120° c) 130° d) 140° e) 150°

6).-Halla “x”

a) 120° b) 130° c) 140° d) 135° e) 145°

7).-Halla “x”

a) 20° b) 30° c) 40°d) 35° e) 50°

8).-¿Cuánto mide el ángulo formado por las bisectrices interiores de dos ángulos de un triángulo equilátero?.

a) 60° b) 80° c) 100°d) 120° e) 140°

9).- En la figura. Calcula “x”.

a) 30° b) 45° c) 40° d) 50° e) 80°

10).- En un triángulo ABC, mA = 20° y mC = 32°, se traza la bisectriz interior BD. Calcula mBDC.

a) 84° b) 74° c) 64° d) 35° e) 65°

11).- En un triángulo ABC, mA = 70° y mC = 60°, se traza la altura BH. Calcula mHBC.

a) 20° b) 30° c) 40° d) 35° e) 45°

12).- En un triángulo PQR, mP = 40° y mR = 80°, se traza la bisectriz exterior

. Calcula mRQF.

a) 70° b) 60° c) 40° d) 85° e) 75°

13).- Si : MN//AC. Halla .

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

14).-¿Cuánto mide un ángulo determinado por las bisectrices interiores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo?

a) 145° b) 115° c) 135° d) 127° e) 118°

15).-¿Cuánto mide un ángulo determinado por una bisectriz exterior y la prolongación de una bisectriz interior, en un triángulo equilátero?

a) 45° b) 15° c) 35° d) 30° e) 25°

16).-En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) el ángulo A mide 70°. Si se traza la altura BH (HAC), ¿Cuánto mide el ángulo HBC?

a) 50° b) 65° c) 75° d) 80° e) 70°

17).-Calcula “x”

a) 60° b) 30° c) 38° d) 65° e) 35°

18).-Calcula “x”

a) 65° b) 35° c) 45° d) 75° e) 55°

CLAVES DE RESPUESTASNIVEL I1) b 2) d 3) b4) e 5) c 6) a7) e 8) d 9) c10)a 11) b 12) b13) c 14) c 15) d16) e 17) a 18) e

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“El que no se prepara para el triunfo, se prepara para el

fracaso”

A

B

C

80°

60°

w

wx

80°

x

100° x

A C

B

I NM

97

120°

ww

x

110°

x

ctgeom 2s iip

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