cuaderno matematicas secundaria

7/16/2019 Cuaderno Matematicas Secundaria

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El cuaderno de trabajo de Matemáticas fue elaborado para el Programa Intensivo deReforzamiento Académico para Maestros de la Secretaría de Educación y Cultura del Estadode Coahuila, implementado con el propósito de mejorar los aprendizajes de niños, niñas y

jóvenes de Educación Básica.

Coordinación General

Secretaría Técnica de la SEC

Asesoría, Sección, Estrategias Generales:

Cudberto Barajas Coronado

Dolores Flores Ortiz

Guadalupe Villegas Díaz

Rosario García Rodríguez

Autores:

José Luis Ramírez Morales

Blanca Estela Yañez Alemán

Colaboradores:

Mario Gutiérrez Hernández

Rosa María González Contreras

Diseño

Jorge Alberto Cano Rosiles

Liliana Isabel Gutiérrez Orozco

Primera Edición Secretaría de Educación y Cultura



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Índice Página

Presentación 3

Introducción 4

Estrategias de activación escolar para el tratamiento de los contenidos dedifícil comprensión

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1. Eje: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico 10

1.1 Tema: Significado y Uso de las Operaciones 10

Lectura de Apoyo No. 1 “El papel de la geometría como herramienta para ladidáctica de la matemática” ……………………....Eduardo Mancera Martínez 37

2. Eje: Forma, Espacio y Medida 46

2.1 Tema: Formas Geométricas 46

2.2 Tema: Medida 46

3. Eje: Manejo de la Información 73

3.1 Tema: Análisis de la Información. Proporcionalidad 73

3.2 Tema: Análisis de la Información. Probabilidad 100

Bibliografía 119

Observaciones y Sugerencias 121



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Presentación

La Secretaría de Educación y Cultura de Coahuila se propone en el marco de la políticaeducativa, desplegar una serie de acciones para impulsar el mejoramiento de la enseñanza enla Educación inicial y básica. Con éste propósito se pone en marcha, para el ciclo escolar 2010-2011, el “Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros”.

Dentro de las acciones previstas, se asume el compromiso de proveer estrategias y recursosde enseñanza destinados a los maestros que han de capitalizar su funcionalidad. Este materialse incorpora a las escuelas para que los maestros dispongan de herramientas que faciliten suretroalimentación académica y el trabajo didáctico en el aula.

La voluntad de aportar al trabajo pedagógico de los docentes en las escuelas el siguientematerial a través de este programa, logrará mejores concreciones si se alimenta del análisis yde una reflexión compartida, de criterios a partir de los cuales se tomen las mejores decisiones.

Por ello, es fundamental que todo docente primero lo trabaje de manera personal y con elcolectivo escolar, para que después lo ponga en práctica con sus alumnos y alumnas. Seráindispensable además que a partir de ello, evalúe el material y haga llegar sus comentarios ysugerencias que permitan mejorar tanto las actividades sugeridas como la estrategia deformación docente implementada.

La participación de las autoridades educativas será fundamental ya que ellas tendrán la

responsabilidad de crear las condiciones que hagan posible el desarrollo de ésta propuesta, asímismo serán los responsables de identificar las fortalezas y debilidades de la misma al tiempoque se esté desarrollando de manera que les permita orientar sobre el rumbo qué deben tomare intervenir oportunamente.

Secretaría de Educación y Cultura

Coahuila



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Introducción

En la actualidad el papel de los docentes está centrado fundamentalmente en que las reformaseducativas lleguen a la escuela y a las aulas, por lo tanto, el docente se convierte en el actorclave del proceso de transformación educativa.

Se han desarrollado diversas iniciativas en este rubro, sin embargo en esta ocasión el reto es

analizar y reflexionar sobre la importancia de reconocer que la enseñanza de las matemáticas yel español se pueden guiar sólo y sí el docente tiene consolidado el contenido del currículo deEducación inicial y básica.

La principal forma de abordar esta acción es dándole énfasis al trabajo docente en colectivo,donde se encuentra una fuente inagotable de experiencias de aprendizaje decente que en lacotidianeidad del quehacer escolar se intercambia e impacta la práctica pedagógica, además,el colectivo es un elemento sustancial para dar fundamento a las decisiones didácticastomadas y acordadas en la escuela.

El colectivo, en su totalidad es el responsable del trabajo pedagógico en la escuela, de ellosdepende el éxito o el fracaso en cada una de las aulas, así como el resultado de las estrategias

pedagógicas y didácticas implementadas,La sociedad actual exige ciudadanos cada vez más competentes que logren obtener eidentificar información, que resuelvan problemas más complejos que aquellos que establecenuna relación directa y evidente, que realicen deducciones, que interpreten relaciones directasen contextos específicos y puedan llegar a conclusiones sobre temas relevantes que lespermita mejorar su nivel de vida.

Para estructurar este material, un equipo de asesores técnico pedagógicos se dio a la tarea deidentificar las problemáticas de aprendizaje, es decir se realizó un diagnóstico de losaprendizajes no consolidados que prevalecen en la educación de Coahuila, el referente

principal fueron los resultados de las evaluaciones internacionales, nacionales y estatales,aplicadas tanto a alumnos y alumnas como docentes, (ENLACE, EXCALE, Olimpiada delConocimiento, Diagnóstico Estatal y Exámenes Nacionales de Actualización para Maestros enServicio).

El análisis de resultados permitió identificar con precisión los contenidos de difícil comprensióny elaborar estrategias comunes, que con rumbo y eficacia, permitan a los docentes y colectivosescolares de educación inicial y básica decidir y actuar en forma racionalizada.

Este fue un análisis funcional, colectivo, participativo e inclusivo, ya que los diferentes niveles yáreas de la Secretaría de Educación y Cultura del Estado estuvieron representadas por losasesores técnico pedagógicos responsables de los procesos de la capacitación y actualizacióndocente.

En general a continuación se enlistan los contenidos de difícil comprensión identificados parallevar a cabo el “Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros”.



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Matemáticas Contextos numéricos y funciones del número

• Cardinal• Ordinal• Mixto• Códigos

• Cálculo• Memoria de la cantidad• Valores y equivalencias• Secuencias

Números fraccionarios y sus operaciones

ConteoResolución de problemas

• Aditivos• Multiplicativos (razones y proporciones)• Tablas y gráficas

• Escala

Geometría• Relaciones topológicas (área)• Relaciones tridimensionales (cuerpos)• Ángulos, lados, paralelismo, simetría

Principios de álgebra• Identifica regularidades numéricas y patrones• Complementos aditivos y multiplicativos• Fórmulas• La potencia• El porcentaje

Medición• Abstraer las propiedades de magnitudes continuas y discontinuas de los objetos-

sistema de medición decimal.

Cálculo mental• Descomposición de números• Regularidades numéricos• Complementos aditivos, multiplicativos• Desarrollos aritméticos



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Español

Interpretación del significado de un textoEstrategias de lectura

• Activación de conocimientos previos• Predicación•

Anticipación• Muestreo• Inferencia

Identificación y uso de diferentes tipos de textoTextos informativos

• Noticia• Folleto• Instructivo

Textos literarios• Cuento• Relato• Fábula• Leyenda• Anécdota• Historieta

Obtener y organizar información• Diccionario• Mapas• Planos• Cuadros sinópticos• Esquemas• Gráficas, etc.

Conocimiento y uso de estructuras lingüísticas• Sustantivos colectivos, propios, comunes, adjetivos, adverbios, verbos,

pronombres y artículos

Conocimiento y uso de la lengua escrita• Identificación y uso de reglas ortográficas• Función de los signos de puntuación

La función comunicativa de la escritura• Conocimiento y redacción de diferentes tipos de texto (reporte, reportaje,

entrevista, narración, resumen, crónica, reseña, informe, documentoslegal)• Revisión y escritura de texto (recuperación de contenido en textos

informativos, descriptivos, explicativos, manejo de conclusiones,paráfrasis, cita textual, ficha bibliográfica)



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Estrategia de activación escolar para el tratamiento de los contenidos de difícilcomprensión

El Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros de Educación Inicial yBásica es un programa de acompañamiento pedagógico, que se concibe como una alternativade mejora continua, para la escuela y en la escuela.

El programa pretende apoyar los esfuerzos educativos que se realizan en el aula, ofrece a losmaestros experiencias pedagógicas que le permitan generar aprendizajes integrales para eltratamiento de los contenidos de difícil comprensión.

Objetivos:1. Mejorar el rendimiento académico de los alumnos y alumnas de educación inicial

y básica.

2. Fortalecer los aprendizajes docentes que permitan a los profesores resolverproblemas, analizar, aplicar y producir conocimientos.

3. Implementar un modelo sistemático e integrador de actualización y capacitaciónsocioconstructivista en el que los docentes construyan y retroalimenten susconocimientos en colaboración con sus pares.

En el aula el maestro es el animador, es quien encarga de propiciar el desarrollo intelectual desus alumnos y alumnas, por lo anterior, el dominio y manejo didáctico de los contenidoscurriculares, son una exigencia para el desempeño profesional del docente.

El programa Intensivo de Reforzamiento Académico es una más de las acciones para laprofesionalización de los docentes de educación inicial y básica que la Secretaría de Educacióny Cultura emprende.

El siguiente esquema muestra las etapas de nuestro modelo de trabajo.



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El modelo de trabajo se fundamenta en la capacitación continua, como apoyo, se presenta esteCuaderno de Trabajo para el tratamiento de los contenidos de difícil comprensión, se buscapromover el aprendizaje en colectivo, la autodidaxia y el papel activo del maestro en y para suformación.

La práctica educativa cotidiana constituye el elemento central de nuestra propuesta, por lotanto, concebimos a la escuela como el espacio en donde la capacitación se concreta comomodelo de mejora de los aprendizajes.

El programa y su modelo de capacitación aspiran a la formación de un profesor responsable ycomprometido con su escuela, sus alumnos y alumnas y su profesión.

Estrategia Metodológica:

El Programa Intensivo de Reforzamiento Académico para Maestros es una propuesta didácticadirigida a docentes con el propósito de impactar el aprendizaje de los alumnos y alumnas, suimplementación se realiza dentro de la escuela y a través del colectivo docente como principalgenerador de estrategias áulicas.

El papel fundamental de esta estrategia de trabajo lo llevan quienes la hacen realidad en elcontexto escolar, los maestros, así entonces su participación comprometida y responsable es laclave para el éxito, el logro docente está centrado en la capacidad de aprendizaje interactivoque tiene lugar en la escuela.

Los directores serán promotores del desarrollo y participación comprometida de los docentesen esta tarea, deberán involucrarse en el proceso y evaluar el resultado de las actividadespropuestas, intervendrán de acuerdo a la necesidad para asegurar el éxito del colectivo, encoordinación con el supervisor de zona verificarán y apoyarán a los docentes para que en laplaneación diaria, incluyan las actividades para la atención de los contenidos de difícilcomprensión.

El desarrollo del trabajo comprende la siguiente ruta que presenta los diferentes momentos delproceso de aprendizaje y retroalimentación docente, en una secuencia lógica y organizada.

1.- Identificamos y discutimos a partir de la lectura general del material los retos, necesidadespersonales y del colectivo con respecto a los contenidos del documento y proponemosalternativas que contribuyan a su dominio académico y a la definición de formas efectivas deenseñanza.

2.- Definimos qué contenidos y de qué forma los revisaremos en colectivo, considerandosiempre que la interacción con el conocimiento y el intercambio de experiencias son la fuenteprincipal de aprendizaje.

3.- Revisamos juntos los ejercicios, retroalimentamos nuestros contenidos académicos,consultamos si es necesario y damos una amplia explicación a cada ejercicio, los resolvemos yaclaramos nuestras dudas.

4.- Conversamos acerca de la experiencia compartida, identificamos nuestros descubrimientos,aprendizajes, necesidades, dominios, gustos e intereses académicos relacionados con loscontenidos del material y tomamos acuerdos y decisiones colectivas.



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5.- Utilizamos los materiales para el fortalecimiento del trabajo en el aula y profundizamos enlos temas de los libros de texto.

6.- Promovemos el conocimiento y reforzamiento de los contenidos de difícil comprensión conlos alumnos y alumnas que así lo requieran, aplicando las actividades según las necesidades.

7.- Valoramos que los alumnos y alumnas logren la comprensión de los contenidos abordados

8.- Informamos a los padres de familia sobre la propuesta de trabajo y los contenidosabordados con el propósito de promover su participación en ella.

9.- Promovemos el apoyo y el dialogo con otros maestros invitándolos a participar con nuestrogrupo, ya sea como apoyo para abordar un contenido o como demostración de un logroalcanzado.

10.- Recibimos la visita de nuestras autoridades y mostramos en evidencias claras la atenciónen el aula de los contenidos de difícil comprensión, para retroalimentarnos y obtener laorientación necesaria cuando así se requiera.

11.- Empleamos diversos medios para hacer públicos nuestros resultados y las estrategias detrabajo implementadas en ésta experiencia.

12.- Participamos en las evaluaciones internacional, nacionales y estatales seguros de obtenermejores resultados, para posteriormente hacer análisis, reflexión, toma de decisión eintervención sobre los mismos.

Estrategia de implementación en la escuela



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PROGRAMA DE ESTUDIO 2006 DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS PARA LAREFORMA EN SECUNDARIA.

1. EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

1.1 TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES

SUBTEMA: NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES Grado Bloque Apartado

• Representar números fraccionarios y decimales en larecta numérica a partir de distintas informacionesanalizando las convenciones de esta representación.

1° I 2

SUBTEMA: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS Grado Bloque Apartado

• Resolver problemas que impliquen la multiplicación ydivisión con números fraccionarios en distintoscontextos. 1° II 2

• Resolver problemas que impliquen la multiplicación denúmeros decimales en distintos contextos. 1° II 3

• Resolver problemas que impliquen la división denúmeros decimales en distintos contextos. 1° III 1

SUBTEMA: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN Grado Bloque Apartado

• Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raízcuadrada y la potencia de exponente natural denúmeros naturales y decimales.

1° IV 2

SUBTEMA: OPERACIONES COMBINADAS Grado Bloque Apartado

• Reconocer y obtener expresiones algebraicasequivalentes a partir del empleo de modelosgeométricos.

2° I 3

• Utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesissi fuera necesario, en problemas y cálculos. 2° II 1

• Efectuar o simplificar cálculos con expresionesalgebraicas tales como: (x+a)2; (x+a) (x+b); (x+a) (x-a).Factorizar expresiones algebraicas tales como: x2+2ax+a2; ax2+bx; x2+bx+c; x2-a2.

3° I 1



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SUBTEMA: NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES

La representación de fracciones y decimales en la recta numérica no es una tarea sencilla, sinembargo, una vez que los alumnos han comprendido como hacerlo, la recta numérica seconvierte en un recurso eficaz para resolver problemas sobre el orden y la equivalencia denúmeros.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Representar números fraccionarios y decimales en larecta numérica a partir de distintas informaciones analizando las convenciones de estarepresentación.

CONSIGNA:

Anota los números que correspondan a los puntos señalados

Gráficos tomados de la Guía interactiva para Secundaria de Matemáticas. INEE 2008

CONSIGNA:

Utiliza los puntos dados en la siguiente recta numérica para ubicar los números 5

3

y 1.30

1.5



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En la siguiente recta numérica representa los números5

4 , 1.3,5

3y 1.35

Lo primero que deben hacer los alumnos es determinar el valor correspondiente a cada marcaentre 3.3 y 3.4; igual para cada una de las rectas. En la segunda y cuarta recta solo se pideuna aproximación porque el propósito es que los alumnos sepan encuadrar los decimales; porejemplo, el 4.56 está entre el 4 y el 5, pero como está marcado el 4.5 se espera que losalumnos lo coloquen entre el 4.5 y el 5.

La segunda consigna tiene que ver con la ubicación espacial del alumno; ya que no se da elpunto de origen de la recta numérica, y ellos tendrán que determinar la escala y la ubicación delcero como referencia. Por ejemplo, en la recta que tiene marcado el 1solamente, el cero debe

estar a la izquierda a una distancia tal que puedan colocarse con facilidad las fracciones5

4 y

53 al contar a partir de cero; de igual manera se procede para localizar el punto que

corresponde a 1.30. Se mide a la derecha de 1 la misma distancia que hay hasta cero y secoloca el entero 2 luego se divide el segmento en 10 partes iguales, cada parte corresponde aun décimo, entonces se procede a contar desde 1

Si el docente nota que algún alumno usa la hoja rayada para dividir un segmento en partesiguales, conviene detener la actividad y pedir al alumno que comparta con el grupo lo que estahaciendo. Las fracciones serán fácilmente ubicadas cuando esto se haya comprendido.Es necesario subrayar que los números se pueden representar de diferentes maneras y que larecta numérica es un recurso para ordenarlos.

Otros recursos para investigar

• En la Antología de Matemáticas. Primer Taller de Actualización sobre los Programas deEstudio 2006. Editado para la Reforma de Secundaria, contiene un artículo “Notas sobreel papel de la noción de razón en la construcción de las fracciones en la escuelaprimaria” paginas de la 33 a la 44 muy interesante pues atiende formas de pensamientode los alumnos de primaria con respecto a las fracciones.

• En el libro “Apuntes para la enseñanza Matemática”. Cálculo mental con númerosnaturales, propuesto por el Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría deEducación, Dirección General de Planeamiento, Dirección de Curricula; paginas de la57 a 68 trata el tema; los números naturales desde la denominación de monedas y

billetes a partir de equivalencias. Propone una serie de ejercicios prácticos y .. demanera distinta a como los abordamos en México, será interesante ponerlos en prácticay analizar los resultados y sobre todo el interés de los alumnos.

• El fichero de actividades didácticas , propuesto desde 1999 por la Secretaría deEducación Pública y un gran equipo de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal,en el tema 16 Pág. 40-41 trata la simplificación, reducción a un común denominador,adición y sustracción; de una manera muy interesante, Consulten en colectivo estasactividades que resultan ampliamente interesantes.



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• La Guía Interactiva, de Fortalecimiento Académico para la asignatura de Matemáticasprimer grado de Escuelas Secundarias elaborada por el INEE, en su versión completapara imprimir, propone ejercicios de reforzamiento como los que se proponen en esteapartado.

SUBTEMA: PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS

Las Fracciones y sus usos

El estudio de las fraccioneses importante por sí mismoy porque permite eldesarrollo de nocionesútiles para el conocimientode temas más avanzados,como son el razonamientoproporcional y el estudio delas expresiones racionales

en el álgebra. Suaprendizaje no es fácil, porlo que muchos alumnosterminan la educación secundaria y llegan a niveles superiores con un dominio insuficiente delas fracciones, a pesar de que su estudio comienza desde la preescolar.

Con objeto de facilitar la adquisición de un conocimiento permanente, los programas proponenque las fracciones y sus operaciones se estudien durante los dos primeros grados deeducación secundaria aunque en los tres grados se tendrá oportunidad de resolver problemasque impliquen operaciones con fracciones. En el primer y segundo grados se verán lasfracciones comunes, sus significados, operaciones y algoritmos para realizarlas. En el tercergrado se verán las expresiones racionales o fracciones algebraicas, lo que permitirá que los

alumnos revisen y practiquen las operaciones con fracciones comunes.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Resolver problemas que impliquen la multiplicación ydivisión con números fraccionarios en distintos contextos.

CONSIGNA: A partir de la figura de la derecha que representaalgunas fracciones unitarias llamadas así porque su numerador esla unidad, ordenarlas de mayor a menor y encontrar el factorconstante que se utilizar para obtener a partir de la primera todaslas demás.

Se espera que los alumnos logren aplicar sus conocimientos sobre

el orden y las operaciones con fracciones y determinen porcomparación que a medida que crece el denominador la fracción tendrá un valor menor conrespecto a un entero.



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Utilizando una hoja de papel puede doblarla en dos partes y obtener la fracción2

1; luego si

dobla nuevamente obtendrá4

1, y así sucesivamente obtendrá cada una de las otras

fracciones. Podrá observar entonces que al multiplicar por un medio también obtiene la fracciónsiguiente. Este procedimiento puede serle útil para comprender el proceso de la multiplicaciónde fracciones utilizando el modelo de áreas y aplicarlo en la resolución de otros problemascomo el siguiente:

Resuelve:

Una tableta de una medicina pesa7

4de onza, ¿cuál es el peso en gramos de

4

3de tableta?

(Se sabe que una onza equivale a 28.35 gr).

Para resolver el problema anterior es necesario reconocer que aun cuando los datos son

fracciones representan magnitudes diferentes; es decir la fracción

7

4representa una parte de

una unidad de medida (onza) por lo tanto es necesario conocer el valor de la unidad en

cuestión; por el contrario4

3representa la parte de la tableta que tiene ese peso.

Entonces, se calcula primero el producto de las fracciones4

3

7

4× para obtener el total en

onzas de la parte de la tableta (7

3

28

12= onzas). El alumno ya investigó el valor de una onza

como unidad de masa del sistema inglés de pesos y medidas, por tanto obtendrá el peso de la

tableta en gramos multiplicando la fracción 7

3

de onza por 28.35 gr, lo que da un total de12.15 gr de peso.

Otro procedimiento que puede surgir:

Lo importante en el problema es que los alumnos se den cuenta de que, dado que quieren

saber el peso de4

3de tableta y el peso de la tableta completa es de onza, lo que interesa

averiguar es4

3de

7

4. Este es el primer asunto que conviene que los alumnos tengan claro. A

partir de aquí se puede ver que 7

4

se puede dividir en cuatro partes iguales y que cada una de

esas partes es7

1, de manera que

4

1de

7

4es

7

1,

4

2son

7

2y de

7

4son

7

3. Una vez que se

ha hecho esta reflexión conviene pasar a la escritura formal para ver que4

3de

7

4es lo mismo

que7

3

28

12= de onza.



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Gráficamente se pueden plantear el problema mediante el modelo de áreas:

La figura rectangular representa una onza (entero), ¿Qué representa la parte sombreada? __________________________________.

La dificultad de representar gráficamente una fracción es la interpretación de la misma comoentero y luego definir la parte fraccionaria (sombreada). En el caso de este problema el peso

de la tableta son7

4de onza por lo tanto al dividir el rectángulo en 7 partes iguales y

sombrear 4 estamos representando el peso de la tableta

¿Cómo representamos en la figura anterior 3 cuartas partes de la tableta?

Si observamos la grafica nos damos cuenta que la parte que representa la fracción de la

tableta7

4está dividida a su vez en cuatro partes iguales; entonces si sombreamos con otro

color solamente 3 de esas 4 partes estaremos representando el peso de la porción de tableta

que queremos pesar. La fracción de tableta corresponde entonces a un peso de7

3de onza.

De otra manera podemos llegar al mismo resultado:

La parte sombreada naranja representa el peso la tableta en onzas (7

4de onza); la parte

sombreada en café representa fracción de tableta que se desea pesar en onzas (4

3de

tableta). La intersección representa en peso en onzas de la fracción de tableta (7

3

28

12= ).

En cualquiera de los procedimientos anteriores hemos obtenido el peso de la tableta enfracción de onza ahora debemos convertirlo a gramos.



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onza gramos

1 28.35

4

3

¿?

Representa una regla de tres simple que se resuelve: grs26.2135.284

3=× (Respuesta al

problema)

Resuelve el siguiente problema:

La superficie total de un terreno es de 3750 m2. Las5

2partes del terreno se usaron para

construcción y el resto para jardín;3

2 de jardín tiene pasto y el resto otras plantas. ¿Qué área

del terreno tiene pasto?

Al multiplicar 3750 x5

2 se obtiene que 1500 m2 es el área destinada a construcción, luego el

área de jardín es de 2250 m2, Luego la parte de jardín que tiene pasto se obtiene de3

2x

2250 = 1500 m2.

Otros Problemas

Los alumnos también podrán utilizar este modelo para resolver problemas como los siguientes.

1. Una botella con capacidad de 11/2 litros está llena de leche en sus 4/5 partes. ¿Quécantidad de leche contiene?

2. Un edificio de planta rectangular hace esquina con dos calles. Uno de sus frentesocupa un tercio de una calle y el otro ocupa dos quintos de la otra. ¿Qué parte de lamanzana está ocupada por el edificio?

3. Un pedazo de lámina rectangular mide 3/4 de metro de ancho y 5/6 de metro de largo.¿Cuál es su superficie?

4. Las tres quintas partes de un terreno son cultivables y en el resto no se puede sembrar.De la parte cultivable, tres cuartos están dedicados al maíz y un cuarto a hortalizas.¿Qué parte está dedicada al cultivo del maíz? ¿Qué parte a las hortalizas?



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El aprendizaje de las fracciones presenta dificultades que los alumnos tardan en dominar. Ellosno sólo deberán acostumbrarse a sus usos en diferentes contextos y a las diferentesrepresentaciones de un mismo número fraccionario, sino también a nuevos significados yformas de operar. Muchos no alcanzan a comprender por qué si al multiplicar fracciones semultiplican numerador por numerador y denominador por denominador, no se procede en formasimilar cuando se suma.

El profesor deberá diseñar actividades que ayuden a resolver dudas como las anteriores ypermitan comprender las diferencias de significados y formas de operar que hay entre losnaturales y las fracciones.

También debe dar la oportunidad de que se utilicen con frecuencia las nociones yprocedimientos aprendidos y estar preparado para, cada vez que sea necesario, recordarbrevemente aquello que los alumnos hayan olvidado.

Información y documentación para tratar con mayor seguridad estos temas los podemosencontrar en la variedad de apoyos con los que cuenta Matemáticas en Secundaria: Porejemplo; En el libro Apuntes para la enseñanza.- Matemática. Cálculo mental con númerosracionales, propuesto por el Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaría de Educación,

Dirección General de Planeamiento, Dirección de Curricular; Paginas de la 21 a 68

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Resolver problemas que impliquen la multiplicación denúmeros decimales en distintos contextos.

“Una de las grandes ventajas de los números decimales sobre lasfracciones comunes es la relativa facilidad con la que se puedeoperar con ellos”

Analiza y resuelve la siguiente actividad:a) Calcula el promedio de las dos fracciones que aparecen en

cada una de las rectas,

b) Coloca el resultado en el punto correspondiente sobre larecta.c) Calcula el promedio de la primera fracción y la que haya

obtenido como promedio en el inciso a) y coloca el resultado en el puntocorrespondiente de la recta.

d) Repite la operación al menos 5 veces.e) Coloca en la recta numérica todas las fracciones obtenidas



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Problemas que implican multiplicar fracciones y decimales.1. En una escuela, 240 alumnos presentaron un examen.

a) Si de estos 240 alumnos solo aprobaron las 3/5 partes, ¿cuántos lo aprobaron?b) Si 2/6 de los alumnos que aprobaron son mujeres, ¿cuántas mujeres aprobaron?c) Del total de alumnos que presentaron el examen, 5/12 están en primer grado, y de

estos, 4/5 lo aprobaron. ¿Cuántos alumnos de primer grado lo aprobaron?

Para resolver el problema 1 inciso a) se multiplican 1443485

3240

5

3240 =×=

×=×

aprobados

Para saber cuántos alumnos aprobados son mujeres: 486

288

6

2144

6

2144 ==

×=× mujeres

Para resolver el inciso c) De 240 alumnos que presentaron 5/12 son de primer año y 4/5 loaprobaron; La quinta parte de 5/12 es 1/12 entonces 4/12 es equivalente a los 4/5 que

aprobaron el examen. Por lo tanto: 8012

4

240 =× alumnos de primer año que aprobaron.

De igual manera podemos resolver el siguiente problema.2. Don José tiene una parcela de forma cuadrada.

a) Si aró las4

3partes de su parcela y sembró

5

4partes de la parte arada, ¿qué parte de

la parcela sembró?b) En la parte de la parcela que está sin arar construyó un corral que ocupa la tercera

parte de ésta. ¿Qué parte de la parcela ocupa el corral?c) Si la parcela mide de largo 2/3 de kilómetro. ¿La parcela mide mas o menos de un

kilómetro cuadrado?

d) ¿Cuáles el área en kilómetros cuadrados de la parcela de don José?Sobre la multiplicación de fracciones y decimales.

Para calcular la multiplicación de un número fraccionario por un natural se puede sumar lafracción tantas veces como indique el número natural, o multiplicar el numerador por el naturalescribiendo el mismo denominador.

Por ejemplo:

Para una tabla gimnástica, a 5 niños les dieron dos listones a cada uno. Un listón era rojo y

medía3

1de metro y el otro amarillo que medía

3

2de metro. ¿cuánto medirá una tira de listón

formada por todos los listones rojos?

5 x3

1=

3

1+3

1+

3

1

3

1

3

1++ =

3

5



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Otra forma de representar una fracción común es con números decimales, los cuales se

obtienen al calcular el cociente del numerador entre el denominador. Por ejemplo4

3tres

cuartos al dividir 475.0

000020

00.3

En seguida se proponen algunos problemas que puedes aplicar a los grupos:• José Luis y Moises podarán el pasto del parque de su colonia, por lo que decidieron

dividirlo en 9 partes iguales; si diariamente cada uno poda una parte, ¿en cuántos diasterminarán de podar todo el parque?

• Sobre una báscula se han colocado 8 bolsas, si cada bolsa pesa2

11 de kg, ¿cuál será

la lectura que registra la báscula? Expresa el resultado en fracciones de kg.• En una fábrica de cadenas de acero se ensamblan 4 eslabones por minuto, y en una

hora forman una cadena de 18 metros de largo. En cada eslabón se utilizan 20 cm deacero. La longitud de dos eslabones unidos es de 15 cm, ¿cuántos metros de acero seutilizarán para formar una cadena de 7.5 metros de largo?

• Con los números del cuadro encuentra al menos 6 formas diferentes de que al sumarlosel resultado sea 25.

En la primaria, los alumnos utilizaron la multiplicación de números decimales al resolverproblemas de proporcionalidad directa, en particular mediante el uso del valor unitario. En esecontexto reflexionaron sobre el significado de esa operación y de su resultado. Ahora se tratade fortalecer esos significados y extenderlos a otros contextos. Para ello puede pedirse a losalumnos que elaboren una tabla que represente una situación de proporcionalidad directa.

Por ejemplo, la siguiente:Una lancha recorre 7.20 metros por segundo.

a) ¿Qué distancia recorrerá en 2 segundos?

b) ¿Y en 1.9, 1.8, 1.7, …, 1.1 segundos?

c) ¿Y en 0.9, 0.8, 0.7, …, 0.1 segundos?

d) ¿Por qué unos productos son mayores y otros menores que 7.20?.

Otros contextos en los que se usa la multiplicación de decimales y en los que convienereflexionar sobre el significado de los factores y el producto se ejemplifican enseguida:

• El hierro pesa 0.88 veces lo que pesa el cobre. Una pieza de cobre pesa 7.20 gramos.¿Cuánto pesa una pieza de hierro del mismo tamaño? ¿Por qué el resultado es menorque 7.20 gramos?

• Hallar el área de una tarjeta rectangular que mide 7.20 por 4.5 cm.



20

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Resolver problemas que impliquen la división denúmeros decimales en distintos contextos.

CONSIGNA: Resuelve los siguientes problemas sin utilizar calculadora.a) Una cinta elástica puede alargarse hasta 3.3 veces su longitud

original. Cuando está totalmente alargada alcanza una longitud de13.86 metros. ¿Cuál es su longitud normal?.

b) Una canica pesa 0.026 kg. ¿Cuántas canicas tendrá una bolsaque pesa 1.222 kg? (suponemos que todas las canicas pesan lomismo).

c) Si un automóvil recorre 680 km en 4 y media horas ¿A quévelocidad va el automóvil?

Son dos los componentes fundamentales de esta habilidad: saber efectuar la operación quemodela el problema e interpretar correctamente el resultado.

El primer componente implica que los alumnos enfrenten una diversidad de casos en los quesea pertinente usar la propiedad de multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número, a

sabiendas de que el resultado no cambia.

El algoritmo para efectuar la división ya se ha estudiado en la primaria; ahora se presenta laoportunidad de reafirmar su conocimiento al aplicarlo a resolver problemas.

Existen varios modelos para dividir con decimales, sobre todos para la colocación correcta delpunto decimal en el cociente. Por ejemplo en el caso del problema a) se tiene que:

2.433

6.13810

3.3

86.13

3.3

86.1386.133.3 ==×==

Lo anterior significa que la longitud normal de la cinta elástica es de 4.2 m

El procedimiento anterior tiene que ver con representar la división como una fracción donde elnumerador es el dividendo y el denominador es el divisor; luego se multiplica por 10 la fracciónpara eliminar el punto decimal en el denominador y obtener la fracción decimal equivalente.Luego se procede a dividir de la forma acostumbrada y se sube el punto decimal al cociente enforma vertical.

Esta propiedad se vincula con la equivalencia de fracciones y con la idea de proporción.

El segundo componente, la interpretación del resultado, se refiere al significado de losnúmeros decimales, que se ha trabajado ampliamente en la primaria, pero vale la pena repasarporque muy probablemente muchos alumnos siguen pensando que, por ejemplo, 2.5 horas

son dos horas con cinco minutos, cuando en realidad se trata de dos horas con treintaminutos.

Mas problemas similares.1. El área de un rectángulo es de 43 cm². Si uno de sus lados mide 2.38 cm ¿cuánto mide

el otro lado?



21

Analiza las siguientes situaciones:a) El resultado de multiplicar 2.38 por otro número es igual a 43. ¿Ese número es menor

que uno?, ¿está entre 1 y 2?, ¿es mayor o menor que 10?b) Sin hacer operaciones, aproxima el resultado de 43 ÷ 2.38.c) ¿Se obtiene el mismo resultado al dividir 43 ÷ 2.38 que 4300 ÷ 238?d) ¿Se obtiene el mismo resultado al dividir 43 ÷ 2.38 que 430 ÷ 23.8? Verifícalo.

e) Sin hacer operaciones, aproxima el resultado de 180.6 × 2.38. ¿Es menor o mayor que180.6?, ¿es más del doble de 180.6?, ¿más del triple?

2. Una jarra contiene 3.9 litros de agua, que deben vaciarse en vasos a los que les cabe0.12 litros ¿cuántos vasos completos e incompletos se tendrán?

Analiza y contesta cada pregunta:• El resultado de multiplicar 0.12 por otro número es igual a 3.9. ¿Crees que ese número

será menor que uno?, ¿estará entre 1 y 10?, ¿será mayor que 10?, ¿será mayor que100?

• Sin hacer operaciones ¿el resultado de 3.25 × 0.12 es menor o mayor que 3.25?, ¿esmenos de la mitad de 3.25?, ¿menos de la cuarta parte? Recuerda que lo que le cabe

a cada vaso (0.12 litros) multiplicado por el número total de vasos (3.25) debe ser iguala la cantidad de agua (3.9 litros).

3. Utiliza la calculadora y completa la siguiente tabla anotando en la casillacorrespondiente el valor faltante



22

4. ¿Cuántas bolsas de galletas podrá llenar la señora Leonor si a cada una le caben .250kg y horneó un total de 5.500 kg?

5. Sara tiene un terreno de 255.75 m2. Si desea dividirlo en lotes de 51.15 m2, ¿cuántoslotes de esta dimensión tendrá?



23

SUBTEMA: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Resolver problemasque impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia deexponente natural de números naturales y decimales.

CONSIGNA: Comparen, sin realizar las operacionescorrespondientes, argumenta tu respuesta en cada caso

¿Qué es mayor? 0.52 ó 0.052:

¿Qué es mayor? la raíz cuadrada de 0.09 ó la raíz cuadrada de 0.0625

Los alumnos deben comprender que la raíz cuadrada de un número que no es cuadradoperfecto constituye una aproximación. Se puede recurrir a contextos geométricos para discutireste hecho; por ejemplo, cabe preguntar cuál es la medida del lado de un cuadrado de 40 cm2 de área.

Algunos recursos de aproximación a la raíz cuadrada de números naturales y decimales

mediante algoritmos son, por ejemplo, el uso de procedimientos recursivos y de ensayo y error.Es conveniente que los alumnos comparen las soluciones alcanzadas con los resultados queobtengan al emplear la calculadora. Se sugiere generalizar la idea de que la potenciación y laradicación son operaciones inversas, puesto que si un número se eleva a una potencia n y alresultado se le extrae la raíz n dicho número no se altera.

El cuadrado de un número.

Antes de definir lo que es el cuadrado de un número, vamos a realizar una actividad.

Un piso cuadrado se adorna con mosaicos de diferentes colores. ¿Cuántos Mosaicos hay en lafigura?

Vemos que en la base hay 4 cuadrados y en la altura hay 4 cuadrados, por lo tanto, el total de

cuadrados unitarios es:

44 × = 16



24

Como hay dos factores iguales, otra manera de escribir este producto es la siguiente:

Se lee de la siguiente manera: cuatro al cuadrado, o cuatro a la segunda potencia

Siete al cuadrado se escribe de la siguiente manera:

27 y se calcula así:

497772

=×=

Potencia de exponente natural.

Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en sucuaderno su árbol genealógico:

Ella tiene 2 papás (un padre y una madre).Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, yo tengo 2*2 = 4 abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego yo tengo 2*2*2 = 8 bisabuelos.Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; yo tengo 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.



25

Operación Resultado

Padres 2 = 21 2

Abuelos 2*2 = 22 4

Bisabuelos 2*2*2 = 23 8

Tatarabuelos 2*2*2*2 = 24 16

En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Paraabreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 24 y lo llamaremos potencia.

2

4

se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".52 se lee "5 elevado a 2" o también "2 elevado al cuadrado", que es más habitual.

Una potencia de exponente natural es el resultado de multiplicar un número -la base- por símismo varias veces, tantas veces como indique el exponente.

an = a*a*a* ...(n veces) ... *a

Números Cuadrados perfectos

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Los utilizaremos mucho en la

clase de matemáticas a partir de ahora.

3. Calcula los cuadrados de los primeros 15 números naturales y completa la siguiente tabla entu cuaderno.

Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Cuadrado



26

El cubo de un número.

La siguiente figura está compuesta por cubos chicos. ¿Cuántos de estos cubos componen lafigura?

Una forma fácil de contarlos es por capas. La figura anterior se puede separar en tres capas:

El total de cubos chicos por capa son 9 = 3 × 3 . Como hay tres capas, el cubo grande tendrá:

3 × 3 × 3 = 27

Otra manera de escribir esta operación es la siguiente:

3 × 3 × 3 = 33 =27

Para calcular el cubo de un número basta multiplicar ese número por si mismo de la siguientemanera:

83 = 8 × 8 × 8 = 512

103 = 10 × 10× 10 = 1,000

Práctica Realiza cada una de las siguientes operaciones y completa el espacio en blanco:

32 =

53 =

103 =

912 =



27

Observa la secuencia de figuras:

a. Dibuja los puntos de la Fig. 5b. ¿Cuántos puntos componen la figura 10?c. ¿Cuántos puntos componen la figura 100?

Base, exponente y potencia de un número.

Ya hemos estudiado que

43 = 4 × 4 × 4 = 64

La base es el factor que se repite en la potenciación, en este caso la base es 4.

El exponente es el número de veces que se repite el factor, en el ejemplo anterior elexponente es 3.

La potencia es el resultado de multiplicar determinado número de veces la base por sí misma,en el ejemplo la potencia es 64.

Los exponentes pueden ser distintos de dos y de tres. Por ejemplo:

54= 5 × 5 × 5 × 5 = 625

Práctica

Encuentra la base, el exponente y la potencia en cada uno de lossiguientes casos:

a. 53 b. 47 c. 25 d. 36

¿Cuál es el último dígito de 740 ? Argumenta tu respuesta. Luego Comprueba tu resultadoutilizando una calculadora científica

Redacta un párrafo donde describas la manera de construir cualquier figura de la secuenciaanterior.



28

Realiza algunas potencias con la ayuda de la calculadora como 71, 72, 73, 74, etc. Escribe elúltimo dígito de cada una de estas potencias. ¿Encuentras alguna regularidad?

Raíz cuadrada

Encuentra un número que multiplicado pos sí mismo te de 25.

La respuesta es 5 Porque 5x 5 = 25.

A partir de lo anterior contesta la siguiente actividad:

Encuentra un número que multiplicado por si mismo de:a. 81= ____ x ____ = ___ 2

b. 144= ___ x ___ = ___ 2

c. 225=

d. 10,000=

La raíz cuadrada de un número a es otro número b tal que:

ab =2

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es igual a 3 porque: 3x3 = 9.

Podemos realizar cálculos aproximados o estimaciones de las raícescuadradas. Por ejemplo, ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de

11?

Para responder esta pregunta debemos encontrar números que al multiplicarse por sí mismosaproximadamente den 11. por ejemplo 3x3 = 9 es menor que 11 y 4x4= 16 es mayor que 11.De esta manera, podemos decir que la raíz de 11 está entre 3 y 4.

Práctica

¿Entre qué valores está la raíz cuadrada de los siguientes números?a. La raíz cuadrada de 26.b. La raíz cuadrada de 69.c. La raíz cuadrada de 196.d. La raíz cuadrada de 1234.



29

Método Babilónico para encontrar la raíz cuadrada de un número

Vamos a encontrar una aproximación de la raíz cuadrada de 11. Podemos iniciar el procesobuscando un número que multiplicado por sí mismo de aproximadamente 11. Por ejemplo 3.

Posteriormente dividimos 11 entre 3: ...666.3

3

11=

Luego se suma 3 y el resultado de 3 entre 11 y se divide entre 2: 333.32

...666.33=

+

Nuevamente dividimos 11 entre el promedio anterior: ...300.3...333.3

11=

Iteramos este proceso y lo que obtenemos al final es una aproximación de la raíz de 11:

3165.32

...300.3333.3=

+

3167.33165.3

11= 3166.3

2

...3167.33165.3=

+

3166.33166.3

11=

Entonces 3166.311 ≅ Se lee “La raíz cuadrada aproximada de 11 es 3.3166”

Práctica del método babilónico para obtener la raíz cuadrada de un número

1232579

1890

Un cuadrado tiene área igual a 167. ¿Cuánto mide el lado de este cuadrado?a) Observa la secuencia

¿Cuál es el número que va en el lugar de la interrogación?_______________

¿Qué número va en el quinto lugar de la secuencia? ____________________

4 9 ?1



30

¿Puedes encontrar alguna regularidad para construir estos números? _____________________

b) Observa la secuencia

¿Cuál es el número que va en el lugar de la interrogación?

¿Qué número va en el quinto lugar de la secuencia?

¿Puedes encontrar alguna regularidad para construir estos números?c) Ejercita el cálculo mental y obtén las potencias sin realizar operaciones escritas:

1) 303 =

2) 902 =

3) 3 al cubo + 3 ÷10, a la cuarta + 5 =

4) 2 al cubo x 6 + 2 ÷10 + 75 ÷100 =

Leyes de exponentes

En esta sección se estudiarán algunos conceptos importantes como los de potencia, base yexponente. Estos conceptos se pueden aplicar para calcular áreas y volúmenes de sólidos ypara encontrar propiedades de los números naturales.

4 8 ?2



31

Imágenes tomadas de Wikipedia en Internet.

Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural deexponentes. Mira este ejemplo:



32

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: primero "m" veces, después otras "n"veces, en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5 Así que x2x3 = x(2+3) = x5

La ley que dice que xm /xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces,después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4 /x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo lalínea" puedes cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0=1 :

Ejemplo: x2 /x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que (xm)n = xmn

Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×nveces.

Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12 Así que (x3)4 = x3×4 =x12

La ley que dice que (xy)n = xnyn

Para ver cómo funciona, sólo piensa en ordenar las "x"s y las "y"s como en esteejemplo:

Ejemplo: (xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3



33

La ley que dice que (x/y)n = xn /yn

Parecido al ejemplo anterior, sólo ordena las "x"s y las "y"s

Ejemplo: (x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3 /y3

La ley que dice quePara entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m):

Ejemplo:

Y eso es todo

Si te cuesta recordar todas las leyes, acuérdate de esto: siempre puedes calcular todo si entiendes las tres ideas de la parte de arriba de esta página.

Ah, una cosa más... ¿Qué pasa si x= 0?

Exponente positivo (n>0) 0n = 0

Exponente negativo (n<0) ¡No definido! (Porque dividimos entre 0)

Exponente = 0 Ummm ... ¡lee más abajo!

El extraño caso de 00

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 00 podría ser 1, o quizás 0, así que

alguna gente dice que es "indeterminado":

x0 = 1, así que ... 00 = 1

0n = 0, así que ... 00 = 0

00 = "indeterminado"



34

SUBTEMA: OPERACIONES COMBINADAS

OPERACIONES MÁS COMPLEJAS

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES Utilizar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis sifuera necesario, en problemas y cálculos.

CONSIGNA. Resuelve las siguientes operaciones combinadas; puedes utilizar la calculadora.a) 0.42 x 5 -7 =

b) -25 +34 x3

6=

c)8

17−+ 3 x 6 =

d)5

3−x 8 + 5.25 =

e) -28 + 35 + 2.5 ÷ 1.5 =

Es importante que los alumnos se familiaricen con el uso de paréntesis en las operaciones, demanera que sepan establecer el orden correcto para efectuar los cálculos. Hay que tener encuenta que los paréntesis pueden usarse en cálculos numéricos, en ecuaciones o al operarcon expresiones algebraicas. Para empezar a reflexionar sobre este aspecto se sugiererealizar cálculos como los de la consigna usando una calculadora que jerarquiza operaciones yotra que no; se pide a los alumnos que expliquen por qué se obtienen distintos resultados yqué tendría que hacerse para obtener el mismo resultado con la calculadora que no jerarquiza.

La siguiente información y la de las leyes de los exponentes son necesarias para realizarcorrectamente las operaciones combinadas. Es importante dirigir el análisis de las operacionesanteriores a determinar el orden correcto realizando con la calculadora las operacionesseñaladas.

La siguiente Información fue tomada de Wikipedia en Internet:

Jerarquía de las operaciones1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.2º.Calcular las potencias y raíces.3º.Efectuar los productos y cocientes.4º.Realizar las sumas y restas.

Tipos de operaciones combinadas

Operaciones combinadas sin paréntesis• Combinación de sumas y diferencias.

9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 =Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 - 7 + 5 + 2 -6 + 8 - 4 = 7• Combinación de sumas, restas y productos.

3 · 2 - 5 + 4 · 3 - 8 + 5 · 2 =Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 =Efectuamos las sumas y restas.



35

= 6 - 5 + 12 - 8 + 10 = 15• Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.

10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 2 - 16 : 4 =Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramosporque las dos operaciones tienen la misma prioridad.= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 =Efectuamos las sumas y restas.= 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 8 - 4 = 10

• Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 22 - 16 : 4 =

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 - 5 · 2 - 8 + 4 · 4 - 16 : 4 =Seguimos con los productos y cocientes.= 8 + 5 + 15 + 4 - 10 - 8 + 16 - 4 = Efectuamos las sumas y restas.= 26

Operaciones combinadas con paréntesis(15 - 4) + 3 - (12 - 5 · 2) + (5 + 16 : 4) -5 + (10 - 2 3)=Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos.= (15 - 4) + 3 - (12 - 10) + (5 + 4) - 5 + (10 - 8 )=Quitamos paréntesis realizando las operaciones.= 11 + 3 - 2 + 9 - 5 + 2 = 18

Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 - (23 - 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 - 4 )] - 3 + (8 - 2 · 3 ) =Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 - (8 - 5 )] · [5 + (6 - 4 )] - 3 + (8 - 6 ) =Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.= [15 -3 ] · [5 + 2 ] - 3 + 2=Operamos en los paréntesis.= 12 · 7 - 3 + 2Multiplicamos.= 84 - 3 + 2= Restamos y sumamos. = 83

Con fracciones

Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero yoperamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplificamos.



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Realizamos las operaciones del paréntesis.

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

Otros problemas:

Resuelve manualmente y luego verifica el resultado obtenido utilizando la calculadora.14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 23 : 2) =

¿En qué orden se deben efectuar los cálculos en las siguientes expresiones para obtener losresultados que se indican? Pongan paréntesis a los cálculos que se hacen primero.

a) 25 + 40 x 4 – 10 ÷ 2 = 180 d) 8 – 2 ÷ 3 + 4 x 5 = 22

b) 15 ÷ 3 – 7 – 2 = 0 e) 18 + 4 x 3 ÷ 3 x 2 = 6

c) 21 – 14 ÷ 2 + 7 x 2 = 28

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Reconocer y obtener expresiones algebraicas

equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES: Efectuar o simplificar cálculos con expresiones

algebraicas tales como: (x+a)2; (x+a) (x+b); (x+a) (x-a). Factorizar expresiones algebraicas tales

como: x2+2ax +a2; ax2+bx; x2+bx+c; x2-a2.

Para la ampliación del trato de álgebra y cálculo con expresiones algebraicas; con apoyo demodelos geométricos tenemos este muy interesante y útil escrito, Lectura de Apoyo: “El papelde la geometría como herramienta para la didáctica de la matemática” de Eduardo ManceraMartínez.



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Lectura de Apoyo

“El papel de la geometría como herramienta para la didáctica de la matemática”

Introducción

Aunque los vínculos entre las diversas ramas de la matemática son frecuentes, las propuestascurriculares presentan una perspectiva de parcelación del conocimiento matemático ysolamente se indican relaciones entre diferentes áreas para realizar ejercicios o presentaralgunos problemas. Sin embargo en el desarrollo conceptual es importante conocer puntos deenlace importante entre diversos contenidos.

La aritmética o el álgebra se utilizan para resolver problemas geométricos y frecuentemente sehace lo contrario, emplear algunas nociones de geometría para resolver problemas aritméticoso algebraicos. Pero sobre todo no se promueven formas de enseñanza basadas enconfiguraciones geométricas para introducir algunos conceptos o procedimientos de contenidospropios de la aritmética y al álgebra.

En esta participación se presentarán algunas formas de enseñanza basadas enconfiguraciones geométricas para resaltar algunas relaciones numéricas o algebraicas, ademásde resaltar la importancia de las relaciones geométricas para enfatizar relaciones entrerepresentaciones algebraicas y gráficas para apoyar la enseñanza del cálculo de funcionesreales de una variable real.

Bloques de DienesA través del tiempo han permanecido algunas consignas “pedagógicas” en la enseñanza de lamatemática:

Partir de lo concreto para llegar a lo abstracto. Ir de lo fácil a lo difícil

Pero esto se ha interpretado de muchas maneras. El problema de la enseñanza se transfiere adeterminar lo que es concreto o lo que fácil . Hasta hoy no se ha resuelto satisfactoriamenteeste asunto, es un pendiente. También en este espacio se dejará pendiente, pero convienemostrar los candidatos a materiales concretos y la forma de enfocar la sencillez del tratamiento.

Se considerarán unos materiales denominados Bloques de Dienes , dichos materiales fueronpromovidos de manera importante en los años sesentas y setentas, pero por alguna razón no

tuvieron el impacto esperado. Estos materiales se promueven también en la actualidad pordistribuidores de “manipulativos” como el de Algebra Tiles o los Algeblocks , entre otros.Algunos presentan variaciones importantes que amplían las posibilidades de uso como es elcaso de los Algeblocks .

Los Bloques de Dienes constan de varios cuadrados grandes y pequeños y regletas de ciertasdimensiones:

Eduardo Mancera MartínezComité Interamericano de

Educación MatemáticaMéxico



38

En diversas partes utilizaremos una variante de estos materiales que se construyen a partir delos mismos bloques seccionándolos por la mitad:

Cualquier maestro puede elaborar sus propios Bloques de Dienes con diversos materiales yconsiderando las dimensiones adecuadas que más le acomoden. Pueden utilizar acrílico paraser utilizados con un retroproyector, con cartulina y fragmentos de tiras imantadas si se utilizaun pizarrón magnético, con cartón y lijas u otros materiales para usarlos con una franela, entreotras formas.

Los alumnos pueden elaborar sus propios bloques con cartulinas, madera, plásticos u otro tipode materiales.

Regla de construcción:Para construir los propios Bloques de Dienes es importante señalar que el lado del cuadradopequeño es uno de los lados de las regletas (rectángulos) y el otro lado de éstas es el lado delcuadrado mayor:

Otro detalle importante digno de considerar es que con los cuadrados pequeños no se puedecubrir de manera exacta el largo de las regletas ni con éstas se puede cubrir de manera exactalos lados del cuadrado grande.



39

Estos manipulativos han sido utilizados durante mucho tiempo en la enseñanza pero requierende una planeación rigurosa por parte del maestro, su uso sin ello está condenado al fracaso.

Supuestos constructivistas

El uso de estos materiales está afiliado con algunas corrientes “constructivistas”, pero dada lapolémica en torno al constructivismo (la cual ha sido expuesta ampliamente en diversas obrascomo la compilación de Carretero, Castorina y Baquero, 1998) solamente se plantearánalgunos supuestos compartidos para el desarrollo del tema en esta participación. Por otraparte, la exposición trata de evitar el enciclopedismo innecesario en este tipo de exposición quepretende abarcar diversos tipos de audiencia.

Al inicio las actividades deben ser un tanto libres, sin pretender incorporar los conocimientosformales, solamente se tratará de establecer algunas características del material empleado yen su caso establecer reglas para su uso, dejando libertad al estudiante para crear sus propiossignificados. Este es el sentido de sencillez que se asume.

El conocimiento se construye, los conceptos y procedimientos no se adquieren de manerainstantánea, definitiva y estable, no se “aprenden” en el sentido de tenerlos para sí, deatraparlos, como se asume en corrientes como el platonismo.

Generalmente, el término “aprendizaje”, se asocia a un proceso en el cual se considera que losconocimientos están por ahí y de repente, por alguna situación, nos percatamos de suexistencia y nos apropiamos de ellos, los tomamos para sí de manera completa. En otrosentido, la “construcción de conocimientos”, indica un proceso en el que se forman ideas,

representaciones o imágenes mentales de los conceptos o procedimientos, pero como parte deun proceso de aproximaciones sucesivas, no necesariamente es un proceso concluyente.

Renovamos constantemente las nociones construidas y lo vamos enriqueciendo con otrasexperiencias. Se van reformulando con el tiempo y de acuerdo con nuestras experiencias.

En la matemática, disciplina caracterizada por sus conceptos abstractos, es indispensablepasar de un contacto con situaciones en las que el estudiante pueda realizar algunasindagaciones y formular sus propias ideas sobre lo que sucede, antes de arribar a lasimbolización y el manejo abstracto. La enseñanza ha puesto mayor énfasis en el manejo derepresentaciones escritas, como si esto asegurara que se han construido significados o se leda algún sentido a lo que expresan. El proceso de construcción de conocimientos se realiza pormedio de un proceso constante de construcción de significados y representaciones mentales,en construcción de representaciones escritas propias, antes de arribar a las representacionesescritas convencionales.

Este proceso de construcción de significados es inevitable, muestra de ello es una broma,difundida en escuelas formadoras de docentes, en la cual se dice que en las clases dematemáticas:

El maestro piensa una cosa, dice otra, escribe otra, explica otra y al final el alumno también entiende otra cosa muy diferente.



40

Relaciones aritméticas

Desde la antigüedad se han trabajado representaciones geométricas para resaltar propiedadesde los números naturales, por ejemplo los números triangulares o los números cuadrados:

Adición y substracción de números enterosLos cuadraditos de colores, pueden ayudar a entender la regla de los signos. Consideremos alos obscuros como unidades positivas y a los blancos como unidades negativas3:

El cero en los números enteros 0 es un equilibrio, por ello se puede representar con loscuadritos de las siguientes maneras:

De esta manera también los números enteros tienen representaciones diferentes, por ejemplo,+1 o -1 se pueden representar de las siguientes maneras:

Esto permite hacer algunas adiciones y substracciones de números enteros:



41

También es posible explicar con estos materiales la multiplicación y división de enteros:

Otra consigna pedagógica que es frecuente comentar en cursos de matemáticas es:

Lo nuevo debe parecerse a lo anterior

Lo cual hace ver que el manejo de expresiones algebraicas puede trabajarse como se hace con

números enteros:

En efecto, consideremos que el cuadrado pequeño tiene una unidad de medida como longitudde su lado, luego entonces su área será 1. Podemos considerar que de acuerdo al colorestemos hablando de +1 o -1, como ya se trabajo antes:

Si en las regletas, la longitud de uno de sus lados es la unidad y consideramos que el otro ladoes x, entonces el área sería 1×x=x, además podemos convenir que de acuerdo al color se hagareferencia +x o -x .



42

En el mismo orden de ideas como el cuadrado mayor tiene como longitud de su lado el ladomayor de la regleta, o sea x, entonces con el se pueden representar +x2 y de acuerdo al color-x2

De acuerdo con estas convenciones podemos representar expresiones algebraicas con losbloques de Dienes. Por ejemplo:

Utilizando mitades de las figuras anteriores también se pueden manejar algunos polinomios concoeficientes fraccionarios:



43

El uso de los bloques de Dienes permitirá establecer reglas para el manejo de términos

semejantes y operaciones entre ellos:Si se toma en cuenta la suma:



44



45



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2. EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

2.1 TEMA: FORMAS GEOMÉTRICAS

SUBTEMA: FIGURAS PLANAS Grado Bloque Apartado

• Construir polígonos regulares a partir de distintasinformaciones. 1° II 5

• Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar lascondiciones de posibilidad y unicidad en lasconstrucciones.

1° III 3

• Construir círculos a partir de diferentes datos o quecumplan condiciones dadas. 1° IV 4

SUBTEMA: RECTAS Y ÁNGULOS Grado Bloque Apartado

• Utilizar las propiedades de la mediatriz de unsegmento y la bisectriz de un ángulo para resolverdiversos problemas geométricos.

1° II 4

• Explorar las propiedades de las alturas, medianas,mediatrices y bisectrices en un triángulo. 2° IV 3

• Determinar mediante construcciones las posicionesrelativas entre rectas y una circunferencia y entrecircunferencias. Caracterizar la recta secante y latangente a una circunferencia.

3° I 3

• Determinar la relación entre un ángulo inscrito y unángulo central de una circunferencia, si ambosabarcan el mismo arco.

3° I 4

2.2 TEMA: MEDIDA

SUBTEMA: ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR Grado Bloque Apartado

• Resolver problemas que impliquen calcular elperímetro y el área de triángulos, romboides ytrapecios. Realizar conversiones de medidas desuperficie.

1° III 4

• Resolver problemas que impliquen calcular el área yel perímetro del círculo. 1° IV 6

• Resolver problemas que impliquen el cálculo de

áreas en diversas figuras planas y establecerrelaciones entre los elementos que se utilizan paracalcular el área de cada una de estas figuras.

1° V 3

• Calcular la medida de ángulos inscritos y centrales,así como de arcos, el área de sectores circulares yde la corona.

3° I 5

SUBTEMA: JUSTIFICACIÓN DE FÓRMULAS Grado Bloque Apartado



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• Justificar las fórmulas de perímetro y área detriángulos, cuadriláteros y polígonos regulares. 1° II 6

• Determinar el número Pi como la razón entre lalongitud de la circunferencia y el diámetro. Justificarla fórmula para el cálculo de la longitud de lacircunferencia y el área del círculo.

1° IV 5

PATRONES Y FÓRMULAS

Conocimientos y habilidades. Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulasgeométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posibleoperar.

Problema

Si se tiene que cercar un terreno cuadrado con malla ciclónica, ¿qué tomarías en cuenta delterreno, para comprar la malla suficiente? ......._______________________________

Si el terreno tiene 50 m por cada lado, ¿cuántos metros compras de malla? ___________

Si el lado mide 63.25 m, ¿cuánta malla? ..................................... ___________

Para cualquier terreno con figura cuadrada , ¿qué fórmulausarías cuando necesites protegerlo en su derredor?................................................. P = ___________

Si la figura no es cuadrada y tiene cualquier otra forma poligonal, ¿qué fórmula utilizarías?

__________________________

Áreas

En todo terreno, no sólo se requiere protegerlo en su derredor, sino también es necesarioregistrarlo como propietario del mismo; por lo cual, se necesita conocer de cuántos metroscuadrados está formado.

¿Cómo se obtendrán los metros cuadrados de los dos terrenos que se cercaron en la actividadanterior?

SUPERFICIE: Es todo aquello que tiene dos dimensiones: Largo y Ancho .ÁREA: Es la medida interna de una superficie.



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Ilumina de rojo la superficie del círculo, de café la superficie del cuadrado, de verde la

superficie del trapecio y de azúl la superficie del triángulo y contesta las siguientes preguntas.

Realiza cálculos y operaciones y contesta.

¿Cuál figura crees que tenga mayor área? ______________________

¿Cuál crees que tenga menor área? ......... ______________________

Con el objeto de que los alumnos interpreten las literales que aparecen en las fórmulas comonúmeros generales y no como simples etiquetas que evocan las dimensiones de las figuras, esnecesario plantear preguntas que apunten hacia la generalización de procedimientos. Porejemplo:

• Dada una figura que representa un marco cuadrado que mide 15 cm por lado, ¿cómose puede saber el perímetro del marco? (nótese que no se trata de calcular elperímetro sino de enunciar el procedimiento).

• Suponiendo que el lado del marco midiera 28 cm, ¿cómo se determina el perímetro delmarco? ¿Y si midiera 35 cm? En general, ¿cómo se determina el perímetro de

cualquier cuadrado?Como en el caso de las sucesiones numéricas y figurativas, se insiste primero en que losalumnos expresen en forma verbal el procedimiento o fórmula en cuestión y luegoalgebraicamente.

Problema

Obtén el perímetro de un terreno irregular que tiene las medidas que la figura indica.



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MOVIMIENTOS EN EL PLANO

SIMETRÍA AXIAL

Conocimientos y habilidades. Construir figuras geométricasrespecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades quese conservan en figuras tales como: triángulos isósceles ytriángulos equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

En la primaria los alumnos llegan a explicitar las propiedades dela simetría axial sin utilizar la nomenclatura formal.

En secundaria se pretende que, dada una figura, analicen las propiedades que se conservan alconstruir su simétrica respecto de un eje (igualdad de lados y ángulos, paralelismo yperpendicularidad).

Entender lo que es la SIMETRÍA AXIAL, resulta demasiado sencillo si analizamos lo siguiente:

Recordemos que dos números son SIMÉTRICOS, cuando al representarlos en la recta

numérica, la distancia de cada número al CERO, es la misma: + 3, es simétrico de - 3; - 8, essimétrico de + 8

Ahora nos damos cuenta, que la palabra AXIAL se refiere a lo que puede ser dividido en dosparte iguales, por medio de un EJE.

Observa los EJES DE SIMETRÍA de un CUADRADO.

Traza con regla y compás los ejes de simetría que tengan cada una de las siguientes figuras.

La SIMETRÍA AXIAL, es pues, una propiedad que tienen las figuras que al trazarles uneje de simetría, éstas se convierten en dos, cuyos puntos al ser dobladas en dicho eje,coinciden perfectamente.



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ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Realiza la siguiente construcción geométrica:1- Dado un punto P, trazar su punto P' simétrico con respecto al EJE DE SIMETRÍA yy',

utilizando la escuadra.

2.- Dada una figura, trazar su simétrica con respecto a un eje de simetría, con el uso de la

escuadra.



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3. Dadas las rectas, traza su SIMÉTRICA con respecto al EJE DE SIMETRÍA yy'

LAS RECTAS Y LOS ÁNGULOS

Conocimientos y Habilidades. Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la

bisectriz de un ángulo para resolver problemas geométricos.

La GEOMETRÍA es una de las ramas de las Matemáticas conuna aplicación importante. El ingeniero, el mecánico, el sastre,el carpintero, el pintor, usan la GEOMETRÍA para hacer sus

trazos, medidas y cálculos.

CONSIGNA: Con ayuda de tus instrumentos de dibujo y medida,reproduce exactamente igual las siguientes figuras, a la derechade cada una de ellas.

BLO



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Utilizando escuadras comprueba que los segmentos de recta MN y CD son paralelos.

Investiga y redacta el procedimiento a seguir para trazar los segmentos paralelos

____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________:

Utilizando escuadras, comprueba que los segmentos de recta CD y FG son perpendiculares.Describe el procedimiento para comprobar lo anterior

En el Plan y Programa de Estudios se sugiere explorar las ideas que tienen los alumnos derecta, semirrecta y segmento. En caso de haber confusión, es necesario que el maestroexplique cuál es la diferencia entre ellas, de manera que haya un lenguaje común en la clase.

En relación con la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, se sugiere que losalumnos, a partir del trazo, describan las características de cada una de estas figuras yelaboren definiciones. El maestro puede apoyarlos con preguntas y contraejemplos hasta quelogren definiciones precisas. De esta manera, los alumnos podrán utilizar la definición quemejor convenga según el problema que se les presente y argumentar su uso según lasituación.

Actividades complementarias

Utiliza tu estuche de geometría para realizar los siguientes trazos por separado.

1.- Traza un segmento de recta de 4 cm de longitud y a sus extremos llámales C y D.

2.- Traza un círculo de 2 cm de radio en el punto C.

3.- Traza una perpendicular al segmento de recta CD en el punto D y llámala "a".

4.- Traza un círculo de 3 cm de radio en el punto medio del segmento CD.



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MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

¿Cómo harías para pasar una perpendicular por el punto medio de un segmento de rectadado?

Prueba con este segmento

¿Qué hiciste? ________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

¿Usaste sólo las escuadras? Sí o No

Actividad complementaria

Haciendo uso de la MEDIATRIZ traza un rombo y un cuadrado, sobre las líneas dadas:

Usando el proceso para trazar una MEDIATRIZ, dibuja: Un triángulo isósceles, sobre la

línea dada; un triángulo isósceles dentro de la circunferencia y un triángulo isósceles

dentro de la elipse .

Define con tus propias palabras ¿qué es la línea que es la MEDIATRIZ?

____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________



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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Traza el eje de simetría del triángulo ABC que pasa por el vértice C; usando regla y compás.

Identifica el punto de intersección del lado AB y el eje simétrico con la letra O

Con base en la figura, completa:

AO = __________

AC = __________ ACO = __________, Entonces

ACO = __________

Traza con el compás, el EJE DE SIMETRÍA, a cada uno de los siguientes ángulos. Pregunta atu profesor cual es el procedimiento correcto.

En todo triángulo isósceles la BISECTRIZ del ángulo diferente siempre es unEJE DE SIMETRÍA (Mediatriz), puesto que divide a la figura en dos partesiguales.



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Traza la MEDIATRIZ de cada lado y la BISECTRIZ de cada uno de los siguientes polígonos

¿En qué casos coinciden las diagonales con las mediatrices y bisectrices trazadas?.

Explica ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Explorar las propiedades de las alturas, medianas,mediatrices y bisectrices en un triángulo.

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

Problema

Organizados en equipos de tres, realicen las siguientes instrucciones.

a. Usando dobleces construya un triángulo y repase los dobleces con el lápiz, luego

nombre los vértices con letras mayúsculas y los lados opuestos a estos con letras

minúsculas.

b. Construya con un doblez la mediatriz en cada lado del triángulo y márquelas con colores.

1.- Que sucedió con las tres mediatrices.______________________________________

2.- Expresa tu opinión respecto al punto de corte de las mediatrices. ______________

______________________________________________________________________

El maestro podría presentar a los alumnos diferentes definiciones de las líneas del triángulo ypedir que las analicen con el fin de establecer su utilidad, o bien, si la definición que se da es



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satisfactoria. De igual modo, se puede pedir a los alumnos que tracen las medianas dediferentes triángulos y que hagan pasar un hilo por el punto donde se cortan las tres líneas,para comprobar que ése es el punto de equilibrio (baricentro) del triángulo. Otra opción espresentar diferentes afirmaciones y que los alumnos determinen si son verdaderas o falsas yque argumenten para justificar su respuesta. Por ejemplo: cualquiera de las alturas del triángulosiempre es menor que uno de sus lados; la altura de un triángulo es menor que la mediana quecorresponde al mismo lado; cuando la mediana correspondiente a un lado de un triángulo estambién mediatriz de éste, el triángulo es isósceles.

CONSIGNA:

Organizados en equipo analicen las líneas que aparecen en los triángulos y anoten una en

la tabla frente al triángulo cuando las características sí se cumplan y una X cuando no se

cumplan.



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Características

Las líneas

son

perpendicula

res a los

lados del

triángulo o ala

prolongació

n de éstos

Las líneas

pasan por

un vértice

del

triángulo

Las líneas

cortan los

lados del

triángulo en

los puntos

medios

Las líneas

dividen a la

mitad los

ángulos del

triángulo

Las líneas

se cortan

en un punto

Las líneas son

paralelas a los

lados del

triángulo

Las líneas

cortan los

lados del

triángulo

en una

razón de 2a 1

Triángulo 1

(mediatrices)

Triángulo 2

(medianas)

Triángulo 3

(alturas)

Triángulo 4

(bisectrices)

Al llenar la tabla se sugiere confrontar las ideas de los alumnos, antes de anotar lascaracterísticas debe consensarse con el grupo a partir de la siguiente secuencia:

a) Ir preguntado a cada equipo y anotar en cada casillero de la tabla tantas palomitas y/o

cruces como fueron anotadas por los equipos.b) Analizar los casilleros en los que haya diferencias, animar a los alumnos para quebusquen argumentos que fundamenten su respuesta.

c) Cuando todos estén de acuerdo en los resultados de la tabla, anotar por separado elnombre de cada tipo de rectas y las características que le corresponden.

Es probable que algunos alumnos no sepan a qué se refiere la última columna, en cuyo casohay que aclarar que es como si el lado se dividiera en tres partes iguales, de las cuales quedandos a un lado de la recta y una al otro lado.



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Actividad Complementaria

Consigna:

Analizar los puntos donde se cortan la medianas, mediatrices, bisectrices y alturas en untriángulo cualquiera y anoten una donde se cumplan las características señaladas y una Xdonde no se cumplan.

Características

Siempre se

encuentra

en el

interior del

triángulo

Se puede

localizar

en un

vértice

del

triángulo

Puede

localizarse

fuera del

triángulo

Es el

centro de

un círculo

que toca

los tres

vértices de

triángulo

Es el

centro de

un círculo

que toca

los tres

lados del

triángulo

Es el

punto de

equilibrio

de un

triángulo

Está a la

misma

distancia de

los vértices

del

triángulo

Se

encuentra

alineado

con otros

puntos

notables

del

triángulo

Incentro (punto

donde se cortan

las bisectrices)

Baricentro

(punto donde se

cortan las

medianas)

Ortocentro

(punto donde se

cortan las

alturas)

Circuncentro

(punto donde se

cortan las

mediatrices)

Hay que prever que los alumnos tengan tijeras, hilo o cordón, aguja, cartulina y juego degeometría. Se les indicará a los alumnos que para saber si el punto encontrado es el punto deequilibrio del triángulo, deberán recortar éste y hacer pasar la aguja con hilo por el puntoobtenido, sosteniendo el hilo en forma vertical. Se les puede decir que también recibe elnombre de punto mediano o centroide (inclusive, en física, le llaman centro de gravedad por serlugar de equilibrio de tres cuerpos de la misma masa colocados en los vértices del triángulo).La última columna se refiere a la alineación del ortocentro, baricentro y circuncentro.



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RESOLVIENDO PROBLEMAS

1. En una ciudad pequeña se quiere construir un quiosco que quede a la misma distanciadel Palacio Nacional, de la Secretaría de Educación y del Edificio del Congreso, ¿dóndedeberán construirlo?

2. Se tiene un terreno de forma triangular y se va a construir en él una fuente circular de talmanera que toque los tres lados del terreno y la parte restante se cubrirá de pasto.Dibuja cómo quedaría la fuente en dicho terreno.

3. Se quiere construir la estación del tren de tal forma que esté sobre la vía y a la mismadistancia del pueblo Arania y del pueblo Mosconia. ¿Dónde debe construirse laestación?



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4. Las esferas siguientes representa cuerpos celestes que interactúan entre si paramantenerse unidos por fuerzas de atracción en equilibrio ¿Dónde se encuentra elcentro de gravedad de estos tres cuerpos celestes?

FIGURAS PLANAS

Conocimientos y habilidades. Construir polígonos regulares a partir de distintasinformaciones.

El desarrollo de esta habilidad ayuda a consolidar el conocimiento sobre las propiedades delas figuras.

Se sugiere presentar una variedad de maneras de construir polígonos. Por ejemplo, haciendoun nudo con una tira de papel; con compás, regla y transportador (a partir de la medida delángulo central); con regla graduada y transportador (a partir de la medida de un ángulointerior); con regla y compás (se basa en el trazo de mediatrices, bisectrices yperpendiculares); con escuadras graduadas. Ejemplo

Problema.

Construye un HEXÁGONO dentro de una circunferencia que tengacomo radio 3 cm. Guíate con la figura de la izquierda y usa losinstrumentos de Geometría necesarios.

Después de construido el Hexágono contesta y realiza lo que se pide a continuación:

a) Encuentra el centro del HEXÁGONO.

b) Traza líneas rectas del centro a cada uno de los vértices.

c) ¿Qué figuras formaste al interior del HEXÁGONO? _________________

d) ¿Cuánto medirá cada ángulo que tiene su vértice en el centro? .......... ______



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e) ¿Cuánto sumarán todos los ángulos centrales? .............................. ______

f) ¿Qué nombre reciben los polígonos formados dentro del HEXÁGONO?

Actividad complementaria

Teniendo en cuenta la medida del ángulo central en cada polígono; construye polígonosregulares de 3, 4 y 5 lados.

¿Qué proceso seguiste para obtener el valor del ángulo central? .. _______________________

Escribe el proceso que seguiste para construir polígonos .............. _______________________

____________________________________________________________________________

¿Qué nombre especial reciben los triángulos formados al interior de cada uno de los polígonosconstruidos? .....................................................................................

_______________________

Ángulo central = _______ Ángulo central = _______ Ángulo central = _______

CONSTRUCCION DE POLÍGONOS

Conocimientos y Habilidades. Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

En contraste con las construcciones geométricas que se realizan en primaria, se sugiere eneste grado que con base en procedimientos específicos, se pruebe y justifique los datos queson necesarios y suficientes para llevar a cabo una construcción. Asi mismo se habilite el

alumno en comuicsr con claridad procedimientos de construcción para mostrar a los demássus procesos. Por ejemplo:



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Problema

Construye un rectángulo, sabiendo que tiene un área de 24 u². Compara con tus compañeros.

Construye un triángulo de 3, 4 y 7 unidades, en cada uno de sus lados. ¿Se puede? ¿Porqué?

TRIÁNGULOS

A) EQUILÁTEROS

Trazar un triángulo equilátero de 4 cm por cada lado.

1) Se traza con regla el lado AB de 4 cm de longitud.

2) Se abre el compás 4 cm igual que AB.

3) Con centro en A se traza el arco 1

4) Con centro en B se traza el arco 2



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5) Se une A con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

6) Se une B con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

B) ISÓSCELESTrazar un triángulo isósceles cuyos lados iguales seande 4 cm y el diferente 3 cm.

1) Se traza con regla el lado MN de 3 cm de longitud.

2) Se abre el compás con un arco de 4 cm que es la

medida de los lados iguales.

3) Con centro en N se traza el arco 1.

4) Con centro en M se traza el arco 2.

5) Se une M con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

6) Se une N con el punto de cruce de los arcos 1 y 2.

CUADRADOS

Trazar un cuadrado de 3 cm de DIAGONAL.

1) Trazamos un círculo con diámetro de 3 cm2 )Trazamos a l círculo otro diámetro perpendicular al anterior.

3) Unimos los extremos de los diámetros para formar el cuadrado.

Conocimientos y habilidades. Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y elárea del triángulo, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superficie.

Problemas

1.- Calcula el precio de un terreno que tiene forma rectangular y mide 24.5 m de largo por 12.5m de ancho a $ 78.50 el metro cuadrado.

2.- El jardín de una casa tiene forma circular y la medida del radio es 6.5 m. Si el jardinerocobra $ 4.50 por cada metro cuadrado de jardín que arregla, ¿cuánto cobra por todo el jardín?



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3.- Encuentra el área de un trapecio cuya base menor es la mitad de la base mayor y su basemayor mide 6.8 m si se sabe que la altura es de 3.54 m

4.- Calcula el área que se pide en la siguiente figuracompuesta.

Área del rectángulo = _________

Área del círculo = _________

Área de la parte de corcho = _________

5.- Un tapete de forma circular, de cierta tela, tiene un costo de $ 6000.00. Suponiendo que el costo es proporcional a la cantidad detela. ¿Cuánto costaría otro tapete en el que se utilizarán las tres

cuartas partes de esa misma tela?

6. Los alumnos de la escuela secundaria viajaron enel camión escolar a una misma velocidad promedio,visitando cuatro ciudades. La siguiente tablacontiene información de cada recorrido, complétala

y después contesta lo que se pide.

¿Cuántos kilómetros recorrieron en total? . . . . . . . . . . ___________

¿Cuánto tiempo emplearon en las cuatro etapas? . . . . ___________

Con la variación se pueden establecer vínculos a partir de situaciones como las siguientes:

Encuentren las medidas enteras de los lados de todos los rectángulos cuya área es 24 cm2 ycalculen el perímetro de cada uno.

Si uno de los vértices de un triángulo se desplaza sobre una recta paralela a la base, ¿quésucede con el área de cada uno de los triángulos que se forman? ¿Qué sucede con elperímetro? ¿Por qué creen que suceda esto?

Si la base menor de un trapecio se desplaza sobre una recta paralela a la base mayor, ¿quésucede con el área de cada uno de los trapecios que se forman? ¿Qué sucede con elperímetro?



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GEOMETRÍA DEL CÍRCULO.

Conocimientos y Habilidades. Construir círculos a partir de diferentes datos o que cumplancondiciones dadas.

Problema de construcción

En la parte inferior, se encuentran tres círculos, reunidos en equipo hagan lo que se pide:

a) En el primero, traza su diámetro y una cuerda que a su vez sea el diámetro de otro círculo.Coloreen las distintas áreas que se forman entre los círculos.

b) En el segundo, traza su diámetro y dos cuerdas que sean el diámetro de dos círculosdiferentes. Coloreen las áreas que resulten al cruzarse los círculos.

c) En el tercero, traza un círculo en cada una de las cuerdas que se les señalan. Coloreen a sugusto, la figura que les resulte.

El círculo y la circunferencia , ¿son figuras geométricas diferentes? ______ ¿Por qué? ________________________________________________________________

Investiga y escribe el nombre de la recta o segmento marcado sobre el círculo.

Usualmente un círculo se construye a partir de la medida del radio, pero es importante que losalumnos sepan determinar esta medida con base en otros datos y ubicar el centro del círculopara que éste cumpla con ciertas condiciones.



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Por ejemplo:

Dados tres puntos no alineados, tracen la circunferencia que los contiene.

Dada una cuerda, construyan el círculo al que ésta pertenece. ¿Es única la solución? ¿Cuántoscírculos se pueden construir si se trata de la máxima cuerda?

¿CÍRCULO O CIRCUNFERENCIA?

Conocimientos y Habilidades. Determinar el número π como la razónentre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar y usar lafórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia.

Observando cada una de las figuras, acuerda con tus compañeros de equipo, las respuestascorrectas.

a) Teniendo en cuenta el número de lados de cada polígono, anota en la línea inferior de lafigura, el orden secuenciado, según el número de lados.



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b) A medida que crece el número de lados del polígono, ¿cómo es su área, comparadacon el área del círculo?

_____________________________________________________________________

c) ¿En cuál de los polígonos, la diferencia de áreas es mayor? _____________________

d) ¿Cuántos lados tiene el polígono cuya área está más cercana al área del círculo? _____________________________________________________________________

e) Considerando la cuadrícula como una guía para identificar la unidad de un área, ¿cuálpolígono tiene un área más cercana a la del círculo? __________________________

f) Iniciando en el polígono de 5 lados, porque ya conoces el área del triángulo y delcuadrado, localiza el centro de cada círculo y partiendo de él, traza líneas que vayan acada uno de los vértices. ¿Qué figuras se forman en el interior? __________________,¿cómo son dichas figuras? _______________, ¿cuántas figuras se forman en cadapolígono analizado? _____________________________________________________

Aunque este aspecto se trabaja en la primaria, es necesario que en este grado se profundiceen el análisis sobre la relación entre la circunferencia y su diámetro y que los alumnos sefamiliaricen con la diversidad de problemas que se pueden plantear. Por ejemplo:

• ¿Cuánto aumenta la longitud de la circunferencia si la longitud del diámetro aumenta aldoble?

• ¿Y si aumenta al triple?• ¿Y si aumenta cuatro veces? • ¿Qué conclusión se obtiene de este hecho?

PROBLEMAS1. Si conoces que la llanta de un vehículo tiene un radio de 35 cm, ¿cuánto medirá la

longitud del piso de la llanta?

2. Si conoces que el diámetro de un plato de vajilla mide 16.5 cm, ¿cuánto medirá lalongitud de una cinta que adorne su derredor?

3. Para poner un listón a una pelota de regalo, se requiere, como mínimo 80 cm.Encuentra la longitud del diámetro de la pelota.

4. Los cinturones que usamos en la cintura tienen un número que indica la talla. Siescoges en el grupo un cinturón cualquiera, ¿qué circunferencia cubrirá?

5. Las llantas de un automóvil tienen un diámetro de 40 cm. Hallar el número de vueltasque da cada llanta, cuando el auto recorra 100 metros.

6. Tres engranes cuyos diámetros son 10, 15 y 20 cm, sucesivamente; ¿cuántas vueltastiene que dar cada uno, para encontrarse de nuevo en el mismo punto cuando iniciaronsu giro?

7. Un neumático de una super máquina, tiene un diámetro que mide 5.5 veces el de unauto normal. Si la longitud del piso de la llanta de la máquina es de 12.5664 metros,¿cuál será la medida del radio de la llanta del carro normal?



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8. Al comparar los diámetros de dos volantes de autos diferentes, se encuentra que unomide 15 in (pulgadas), mientras que el otro mide 12 in. ¿Qué relación (razón) hay entrelas medidas de los diámetros y, entre las longitudes de las circunferencias de losvolantes?

9. La decoración de un plato de ornato de 15 cm de radio, se cobra a $ 2.50 pesos el cm².Encuentra el costo del plato decorado.

10. La tapa y base de un tambo cilíndrico de 90 cm de alto, tiene un diámetro de 60 cm.Investiga la cantidad de material necesario para lograr su construcción.

MÁS PROBLEMAS DE PERIMETRO Y ÁREA DEL CÍRCULO

Conocimientos y Habilidades. Resolver problemas que impliquen calcular el área y elperímetro del círculo.

Como ocurre con el estudio de las otras figuras, nosólo se trata de calcular el área y el perímetro, sino

también, conocidos el perímetro y el área, se debecalcular la longitud del radio o del diámetro, asícomo resolver problemas de cálculo de áreassombreadas (corona circular); también se debeanalizar la relación entre la longitud del radio y elárea del círculo, como punto de contraste con la

relación entre la longitud del diámetro y la longitud de la circunferencia.

11. Tomando la medida de una tapa de un recipiente de leche o de jugo, mídele eldiámetro y la altura y encuentra la cantidad de material que se usó para construirlo.

12. El empaque de una manguera tiene un diámetro exterior de 2.5 cm y uno interior de 1.5cm. Encuentra la superficie que protege el empaque.

13. Un vaso de vidrio, tiene un radio de 3.5 cm en su base circular y una altura de 20 cm.¿Cuál fue la cantidad de lámina de vidrio utilizada para producirlo?

14. Una tuerca de seis caras laterales, tiene una medida de 1 cm en cada una de ellas.Encuentra la longitud de la circunferencia que pasa por todas sus esquinas.

15. Una mesa con base de prisma rectangular, tiene una superficie circular con un diámetrode 1.5 m. Encontrar la cantidad de madera usada en su superficie si tiene un espesorde 3 cm.

16. Al construir un portavaso de forma cuadrada con lados de 12 cm, encontrar lasuperficie sobrante, para soportar un vaso que tiene un radio de 5 cm.

17. Un anillo matrimonial tiene 2.25 cm en su circunferencia exterior y 1.9 cm en la interior.¿De qué grosor es el anillo?

18. Una loseta rectangular de 22 por 18 cm, tiene un dibujo de un círculo con radio igual a7 cm. Encuentra la superficie libre, del área del círculo.



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19. Se necesita forrar con tela, 5 botones para cada uno de los 6 uniformes de la escoltaescolar. Si cada botón tiene un diámetro de 2 cm, ¿cuál será la mínima cantidad de telanecesaria para lograr el forrado?

20. Se debe construir una caja cilíndrica donde pueda guardarse una jarra que tiene unamáxima circunferencia de 62.8318 cm. Encuentra la longitud del radio mínimo quedebe tener la caja en su base.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Determinar mediante construcciones las posicionesrelativas entre rectas y una circunferencia y entre circunferencias. Caracterizar la recta secantey la tangente a una circunferencia.

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES. Determinar la relación entre un ángulo inscrito y unángulo central de una circunferencia, si ambos abarcan el mismo arco.

CONSIGNA: Reconociendo ángulos

En cada una de las circunferencias dadas marquen con azul el arco que subtienden los

ángulos centrales y con rojo el arco que subtienden los ángulos inscritos.

¿En que circunferencias se cumple que el ángulo central subtiende el mismo arco que elángulo inscrito?

Midan con su transportador los ángulos centrales y los ángulos inscritos y anoten los datosobtenidos.



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Los lados de cualquier ángulo en una circunferencia, inscrito o central, determinan un arco enla circunferencia. En estas circunferencias el arco determinado por los ángulos dados estaremarcado, Se dice que los arcos son subtendidos por los ángulos que los determinan.

A estas alturas de su educación secundaria, los alumnos conocen el ángulo central y susrelaciones con la construcción de los polígonos regulares. Ahora se trata de que, mediante laexploración en el trazado y la medida de diferentes ángulos inscritos cuyos arcos coincidan conel arco de un ángulo central, encuentren que la medida de cualquier ángulo inscrito en una

circunferencia es igual a la mitad del ángulo central, siempre

y cuando los arcos coincidan. Deberán explorar con ángulos inscritos cuyo arco coincida con eldiámetro, es decir, con un ángulo central de 180°. Utilizando esta relación, los alumnos podránconcluir que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo rectángulo.

Observa la figura:

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?a) La distancia de la recta q al centro O de la circunferencia es igual al radio OV.b) La recta r es la más cercana al centro O de la circunferencia.c) La distancia de la recta s al centro O de la circunferencia es igual a la medida del

segmento OP.d) La recta r es perpendicular al radio OT.

En cada caso anterior justifica tu respuesta mediante dibujos o afirmaciones verbales.

En este reactivo los alumnos deben utilizar la relación entre un ángulo inscrito y un ángulocentral que subtienden un mismo arco para determinar la medida del ángulo RPS.



71

PROBLEMAS MAS COMPLEJOS

El hexágono regular mide 3 cm de lado. El punto P se mueve describiendo una circunferenciacon centro en el vértice O que pasa por otros dos vértices del hexágono.

Considera la parte de la circunferencia que es externa al hexágono regular, ¿cuánto mide superímetro?

Si observa que algunos alumnos tienen dificultades en la comprensión de la situación inicial,puede abrir el espacio `para una discusión en la que pida que dibujen la figura que se forma almover el punto P.

Los alumnos pueden elegir la opción a) si erróneamente utilizan la fórmula π r para calcular elperímetro de la circunferencia o porque calculan la parte de la circunferencia que es interior alhexágono.

En el caso de los alumnos que elijan la opción b), pida que expliquen sus argumentos para daresa respuesta. Tal vez, algunos contesten que la parte sombreada es aproximadamente deltotal. También es posible que

hayan medido el área de la circunferencia y no su perímetro y que luego calculen la medida dela parte de la circunferencia que esté por dentro del hexágono.

Algunos alumnos seleccionan la opción d) porque calculan el área de la circunferencia y no superímetro. Si no recuerdan la fórmula para calcular el perímetro puede pedirles que la busqueno que señalen en dónde podrían buscarla.

Si lo considera conveniente, puede pedirle a sus alumnos que sustituyan el valor de π poralguna aproximación (3.14 o 3.1416) y que obtengan el perímetro en centímetros.



72

Observa el dibujo de una fuente y sus dimensiones.

¿Cuánto mide el área de la cara superior de la fuente?

Para contestar correctamente este reactivo los alumnos deben saber que el área de unacorona circular es la sección que se forma entre dos circunferencias concéntricas.

Si observa que algunos alumnos tienen dificultades en la comprensión de la situación inicial,puede abrir el espacio para una discusión en la que les pregunté, por ejemplo, cuál es la caralateral de la fuente o cuánto mide su profundidad. Algunos alumnos pueden considerar que lacara superior de la fuente es la parte en la que se ve el agua y elegir como respuesta el valordel perímetro de la circunferencia, aunque la unidad de m², no corresponde. Otros alumnospueden creer que es la respuesta correcta porque están considerando toda el área que ocupala fuente. El cualquier caso serán los alumnos quienes validen lo acertado o no de lasrespuestas y procedimientos utilizados.



73

3. EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN

3.1 TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN. PROPORCIONALIDAD

SUBTEMA: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD Grado Bloque Apartado

• Identificar y resolver situaciones de proporcionalidaddirecta del tipo valor “faltante” en diversos contextos,utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

1° I 6

• Elaborar y utilizar procedimientos para resolverproblemas de reparto proporcional. 1° I 7

• Identificar y resolver situaciones de proporcionalidaddirecta del tipo “valor faltante” en diversos contextos,utilizando operadores fraccionarios y decimales.

1° II 7

• Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva defactores constantes de proporcionalidad en situacionesdadas.

1° II 8

•

Resolver problemas del tipo valor faltante utilizandoprocedimientos expertos. 1° III 5

• Identificar y resolver situaciones de proporcionalidadinversa mediante diversos procedimientos 1° V 5

• Determinar el factor inverso dada una relación deproporcionalidad y el factor de proporcionalidadfraccionario.

2° I 7

• Elaborar y utilizar procedimientos para resolverproblemas de proporcionalidad múltiple. 2° I 8

• Resolver problemas de comparación de razones conbase en la noción de equivalencia. 2° II 6

¿QUÉ ES LA PROPORCIONALIDAD?

Generalmente estamos tratando con cantidades que varían. Por ejemplo nos interesa saber latalla que tenemos, la cantidad de dinero que gastamos, el ahorro en un consumo de energía,etc.

Concepto de razón

Una razón es el cociente de comparar dos cantidades o magnitudes, por ejemplo: 6 de cada 10 humanos viven en Asia. 2 de cada tres miembros de la familia de Humberto son mujeres.

La razón 2: 7 se lee “2 es a 7”, también la podemos escribir como una fracción así7

2 siendo

el primer número el antecedente y el segundo el consecuente.



74

Las fracciones como resultado de una razón

Todas las razones se pueden expresar como una fracción, por ejemplo 2: 3, que se lee “2 es a3”, se puede escribir como

4

2 y significa la relación entre dos cantidades.

Ejemplo: Hice una encuesta sobre los deportes que practican mis amigos:

Descubrí que 3 de cada seis de mis amigos practican fútbol americano.

Esta razón se puede expresar como una fracción:

6

3

Este tipo de relaciones ya se estudiaron en la escuela primaria sin embargo, tal vez, losalumnos no recuerden los procedimientos formales, es necesario indagar qué procedimientosconocen al resolver problemas que implican comparar dos o más razones.

Conocimientos y habilidades. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directadel tipo valor “faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversosprocedimientos.

En la vida corriente utilizamos el término PROPORCIÓN con distintossentidos:

Cuando decimos que alguien está bien proporcionado damos a estetérmino un sentido de armonía y estética: "este niño ha crecido mucho,pero está bien proporcionado"

• Si comentamos que el éxito de una persona esproporcional (o está en proporción) a su trabajo ponemosde manifiesto la correlación entre estas dos variables:ÉXITO y TRABAJO.

1. También solemos utilizarlo para comparar fenómenos en distintos ámbitos: "proporcionalmente una hormiga es más fuerte que un elefante " (el hombre no resiste lascomparaciones con otros animales: un escarabajo puede levantar 850 veces el peso de supropio cuerpo. Proporcionalmente equivaldría a que un hombre levantara sobre su cabezaun tanque de 50 Tm. Una pulga puede saltar hasta 130 veces su altura. Para competir conella un hombre debería saltar limpiamente la Giralda de Sevilla).



75

También se cometen errores:

• Hace años se estudió la reacción de un elefante macho al LSD (una droga). Los científicoscalcularon la dosis que se debía administrar a partir de la cantidad que pone a un gato enestado furioso. Esta proporción fue trágica para el elefante pues inmediatamente empezó acorrer y a trompetear, tuvo convulsiones y expiró.

En matemáticas la palabra Proporción tiene un significado más restringido que trataremos deprecisar.

Consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintary la pintura empleada.

m2 de valla a pintar 1 1.5 2 4

Litros de pintura empleados 0.33 0.495 0.66 1.32

Ejemplo 2

Desde que un conductor ve un obstáculo, reacciona, pisa el freno y el coche realmente sedetiene, se recorre una distancia que depende de la velocidad:

Velocidad que lleva (Km/h) 20 40 60 80 100

Distancia total de detención (m) 7 20.5 39.5 64 95



76

Ejemplo 3

Observa el dibujo y construye una tabla querelacione la altura de cada rectángulo con subase.

Base delrectángulo

4

Altura delrectángulo

12

¿Son proporcionales las medidas de losrectángulos?

___________Argumenta tu respuesta_________________________________________ ________________________________________________________________________

Ejemplo 4

El precio de un aparcamiento es:

En todos estos ejemplos existe una relación entre dosmagnitudes. Además, cuando una varía provoca que varíe laotra. Podemos precisar aún más:

En el ejemplo 1:

- Al doble de m2 de valla corresponde doble cantidad de litros depintura.

- Al triple de m2 de valla corresponde triple cantidad de litros depintura.

- A la mitad de m2 de valla corresponde la mitad cantidad de litros depintura.

En el ejemplo 3:

- A doble base corresponde doble altura.

- A triple base corresponde triple altura.

- A cuádruple base corresponde.... altura.

Tiempo Precio

hasta 1 hora $ 1

hasta 2 horas $ 2

.................. .............



77

Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:

a doble .............. doble, a mitad.............. mitad, a triple ............. triple, a un tercio.....untercio, etc

decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales.

"La superficie de valla a pintar es directamente proporcional al volumen de litros de pintura".

"Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de lasalturas".

En el ejemplo 4 es conveniente observar que si sólo tomamos valores enteros puede parecerque existe proporcionalidad. No es así, como ponen de manifiesto los siguientes valores:

Tiempo Precio

30 minutos $ 1

60 minutos $ 1

70 minutos $ 2

140 minutos $ 3

En este caso diremos que el precio del estacionamiento no es directamente proporcional altiempo aparcado.

¿Y el ejemplo 2 ? Averígualo y Argumenta tu respuesta.



78

Regla de tres

¿Cómo reconocer una proporcionalidaddirecta con tablas?

Esta tabla es de proporcionalidad directa.

Observa:

Al multiplicar un valor de la 1ª serie por un número, el valor de la 2ª serie queda multiplicadopor dicho número (o al revés), en consecuencia:

El cociente entre dos números correspondientes de cada serie es constante:

¿?...12

3

6

5.1

4

1

2

5.0=====

A esta constante ( en el caso anterior 0.25) lo llamaremos razón de proporcionalidad.

Actividades

1. De las siguientes tablas de valores, identifica cuáles corresponden a unaproporcionalidad directa:

2. Dibuja los segmentos correspondientes sabiendo que la razón de proporcionalidad es3/4.

3. Completa la serie de dibujos sabiendo que la razón de proporcionalidad es 2/3.



79

4. ¿Cuál es la razón de proporcionalidad ?

5. Un estudiante pesó algunas bolas de acero. He aquí los resultados:

¿ Son directamente proporcionales las magnitudes diámetro y peso?_______ compruebatu conclusión.

6. Vertemos diferentes cantidades deagua en un vaso cónico. En cadavertido medimos la altura del agua y suvolumen:

¿ Es el volumen directamenteproporcional a la altura ? Argumenta turespuesta: ____________________

PROPORCIONALIDAD, TABLAS Y GR{AFICAS

CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad

directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando operadores fraccionarios ydecimales.

Tablas de variación proporcional directa.

Una proporción es la igualdad entre dos razones donde se comparanmagnitudes, por ejemplo: si el cambio del dólar está a $ 9.30mexicanos, completemos veamos la siguiente tabla:

Tabla de proporcionalidad directa

Dólares 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Pesos 93 186 279 372 465 558 651 744 837 930

En la tabla anterior vemos que a mayor cantidad de dólares, más pesos nos dan en elcambio. Una representación gráfica de los datos anteriores es la siguiente:



80

Práctica

El papá de Francisco vende automóviles y la ganancia por cada 5 autos vendidos es de $35,000. Si ha llevado un registro de sus ventas en los últimos 5 semanas ayúdale a completar

la siguiente tabla teniendo en cuenta la constante de proporcionalidad.

Cantidad de autos vendidos 5 10 15 20 25 38

Ganancia

Resuelve1. José viaja alrededor de la pista circular de 0.4 km, hace un total de 60 vueltas.

Cuando da diez vueltas ha viajado 4 km, sin embargo, su cuenta kilómetros registra 3.4km. José se da cuenta que el cuentakilómetros de su coche se ha descompuesto ycontinua dando medidas equivocadas. Ayúdale a José a completar la siguiente tabla:

Número de Vueltas 0 10 20 30 40 50 60Distancia que el cuentakilómetros deJosé midió (km) 0 3.40Distancia que Josérealmente viajó (km) 0 4

Encuentra una regla con la que José pueda cambiar sus lecturas del cuentakilómetros en



81

distancias reales que ha recorrido en su coche.

¿Qué estrategia seguiste para encontrar la regla que convierta las lecturas delcuentakilómetros en distancias reales?

¿Cómo reconocer una proporcionalidad directa a partir de una gráfica?

Para comenzar realiza estas actividades:

a) Traza unos ejes cartesianos y dibuja una gráfica con los datos del ejemplo 1.

b) Haz lo mismo con el ejemplo 3.

Observa la gráfica:

La altura del agua en la probeta es directamente proporcional al tiempo que permanece abierto

el grifo.

Dos magnitudes M y M´ directamente proporcionales dan lugar auna gráfica de este tipo:

Si la gráfica de dos variables es una línea recta que pasa porel origen de coordenadas, entonces una variable esdirectamente proporcional a la otra.



82

Actividades de proporcionalidad y medida

2. Si el policía de la foto mide alrededor de 1'90 m de altura, estima la estatura del más bajo.

LOS FACTORES CONSTANTES DE PROPORCIONALIDAD, REGLA DE TRES

Conocimientos y habilidades: Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factoresconstantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

Conocimientos y habilidades: Resolver problemas del tipo valor faltante utilizandoprocedimientos expertos.

CONSIGNA: Analiza y Resuelve el siguiente problema:

En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de marcontendrán 5200 gramos de sal?

Se espera que identifiquen que en el doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad desal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente

proporcionales.

Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos lasiguiente tabla:

Litros de agua 50 x

Gramos de sal 1300 5200

Se verifica la proporción: 52001300

50 x=

Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos, resulta:

(50)(5200)=1300x

Es decir 2001300

)5200)(50(== x



83

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

2001300

5200.50

5200_____

1300____50

5200

130050==⇒

xgl x

gl

saldeghabrál x En

saldeghayl En

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el

nombre de regla de tres simple directa.

Otro problema:

Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos

kilómetros podrá recorrer el coche?

1205

100.6

______6

100______5==⇒

xkm xl

kml

Luego con 6 litros el coche recorrerá 120 km

Conocimientos y habilidades: Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa

mediante diversos procedimientos.

FACTOR DE PROPORCIONALIDAD. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas las otradisminuye o viceversa.

Por ejemplo, que vamos en un viaje y que llevamos en nuestro coche el tanque con 20 litros de

gasolina. Supongamos que el coche consume 1 litros por cada 10 kilómetros recorridos. En lasiguiente tabla vamos a ver la tabla de consumo de gasolina del coche a medida que hacemosel recorrido:

En general, podemos hacer un esquema para dos magnitudes que sean



84

Tablas de variación proporcional de la cantidad de gasolina consumida

Cantidad de gasolina 20 19 18 17

Kilómetros recorridos 0 10 20 30

Como podemos ver a medida que aumenta la cantidad de kilómetros recorridos en el viaje,disminuye la cantidad de gasolina en el tanque del coche. Por esto decimos que estas doscantidades varían de manera inversa:

Problemas por resolver:

Juan se propuso ahorrar $ 25 diarios. Completa la siguiente tabla, realiza la gráfica de lavariación de la cantidad de dinero a medida que pasa el tiempo y contesta las preguntas quevienen al final:

Cantidad de pesos ahorrados 9125

Cantidad de días 2 8 100

Discute con un compañero de tu clase sobre la manera como resolviste el problema.

a) ¿La variación entre la cantidad de pesos ahorrados y la cantidad de días de ahorro esdirecta o es inversa?

b) ¿Cuántos días deben pasar para tener ahorrados más de $2,000?c) Si en lugar de $25 pesos diarios ahorra 30 pesos diarios, ¿Qué cambios notas



85

Más ProblemasProblema 1

Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos díaspodrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

Vemos que con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad dedías; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto son magnitudesinversamente proporcionales.x= número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Se cumple que: 220.45=450.x, de donde22

450

45.220x ==

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

22450

45.220

_____450

45____220

450

45220

==⇒

xdías xvacas

díasvacas

días x paratienenvacas

días paratienenvacas

Luego 450 vacas podrán comer 22 días

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con elnombre de regla de tres simple inversa.

Problema 2

Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cadauno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser lacapacidad de esos toneles?

5032

200.8

____32

200_____8==

x

litros xtoneles

litrostoneles

Pues la cantidad de vino=8.200=32.x

Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad devino.

Nº de vacas 220 450

Nº de días 45 x

Podemos esquematizar la relación de dos magnitudes que son inversamenteproporcionales: Esta relación se llama regla de tres simple inversa



86

Conocimientos y habilidades: elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas dereparto proporcional.

PROPORCIONALIDAD, REPARTOS PROPORCIONALES

Un padre regala a sus dos hijos $ 1000 para que se los repartan de forma directamenteproporcional a sus edad que son 8 y 12 años ¿Cuánto corresponde a cada uno?.

Si llamamos x a la cantidad que corresponde al pequeño e y al mayor, x + y = $1,000.

La anterior es una tabla de proporcionalidad directa por lo que se cumple: con lacondición de que x + y = 1,000.

Se puede resolver utilizando la propiedad En este caso:

Por lo tanto: 40050820

1000

8=•=⇒= x

x y 600501220

1000

12=•=⇒= y

y

El pequeño recibe 400 y el mayor 600.

Resuelve el siguiente problema:

Juegas a la lotería con un cachito (1 de 20) de $ 50, para el que tú pusiste 17 y tu amigo 23.Si obtienen un premio de $ 180,000 ¿Cuánto debería de corresponder a cada uno?

Repartos inversamente proporcionales

Reparte $24,000 en partes inversamente proporcionales a 2 y 3.

La tabla:

a.... 2 3

...lecorresponde x y

Edad 8 12

Cantidad x y



87

es de proporcionalidad inversa por lo que sus productos son iguales: 2 · x = 3 · y es

decir, , y como x + y = 24000, resolviendo, se obtiene que x = 14,400 e y =9,600.

Algo más sobre repartos proporcionales

Las dos aplicaciones más importantes de los repartos proporcionales son las llamadasreglas de compañía y reglas de aligación:

La regla de compañía tiene por objeto repartir entre varios socios la ganancia o pérdidaque ha tenido la sociedad.

Comentaremos dos casos:

Caso 1: Que los capitales aportados sean diferentes y estén el mismo tiempo.

Para crear un negocio tres socios aportan 70,000, 40,000 y 50,000 pesos respectivamente. Si

al final obtienen una ganancia de $24,000. ¿Cuál es la parte que corresponde a cada uno?

Aporta 70,000 40,000 50,000 160,000

Gana x y z 24,000

Esta tabla es de proporcionalidad directa, con lo cual:

. Por tanto, x = 10,500; y = 6,000; z = 7,500.

Caso 2: Que los capitales sean iguales y los tiempos diferentes.

Tres socios ponen capitales iguales, el primero por 11 meses, el segundo por 10 y eltercero por 9, sufriendo una pérdida de 15,000 pesos. ¿Cuánto pierde cada uno?

La siguiente tabla es de proporcionalidad directa:

Tiempo 11 10 9

Pérdidas x y z



88

Con lo cual . Despejando, x = 5,500; y = 5,000 ; z = 4,500.

Actividades de práctica

a. Una sociedad formada por 4 socios que han aportado cada uno $ 10,000, ha

obtenido el primer año un beneficio de $ 2,500. ¿Cuánto corresponde a cadauno?

b. Dos señores forman una sociedad aportando cada uno $ 4,000 de capital. Alcabo de un año ingresa un tercer socio con el mismo capital y dos años mástarde ingresa un cuarto socio que aporta también $ 4,000. A los 6 años de sufundación se liquida, teniendo un beneficio a repartir de $11,000. ¿Cuántocorresponde a cada uno?

c. Dos socios en el primer año de su negocio, obtienen un beneficio de $30,000.¿Cuánto corresponde a cada uno si el primero aportó $ 30,000 y el segundo, $70,000?

Reglas de Combinación: Mezclas y Aleaciones

Mezclas

Si mezclamos 20 Kg de una sustancia cuyo precio es de $ 500/Kg. con 30 Kg. de otra cuyoprecio sea de $300 /Kg. Obtenemos una mezcla. ¿Cuál es el precio del Kg de mezcla?

Evidentemente, el precio de la mezcla ha de ser proporcional a la cantidad de mezcla y, portanto, (20+30) Kg de mezcla costarían 20x500+30x300 pesos.

Cantidad de mezcla 20+30 1

Precio de la mezcla 20·500+30·300 x

Resolviendo:

También se puede plantear el problema inverso:

Se desean 150 Kg de mezcla de las sustancias anteriores que resulte a 45 pesos el kilogramo.¿Cuánto deberá ponerse de una y de otra ?.

Llamemos C a la cantidad de la de 50 pesos el Kg. Por lo tanto, 150 - C será la cantidad desustancia de 30pesos



89

Por (1): y resolviendo, C = 112.5

C = 112.5 Kg de sustancia de 50 pesos/kg y 150 - C = 47.5 Kg de sustancia a 30 pesos/Kg.

Aleaciones

Para mejorar ciertas cualidades de los metales se suelen "alear" con otros, es decir, se fundencon éstos hasta constituir masas homogéneas, llamadas aleaciones. Para fijar la proporción enque entran los metales fundidos se suele dar la cantidad de cada metal contenida en cadaunidad, o cien o mil unidades, de peso de la aleación, es decir se fijan los tantos por uno, porcien o por mil de cada metal.

Así, por ejemplo, si nos dicen que un bronce tiene el 83% de cobre, el 9% de estaño, el 5% decinc y el 3% de plomo, significa que:

En cada 100 Kg de aleación hay 83 Kg de cobre, 9 Kg de estaño, 5 de cinc y 3 Kg de plomo.

Actividades resueltas

a) Calcular el peso de cada uno de los metales que debemos tomar para fundir una pieza debronce de 400 kg de peso y con la composición indicada.

El problema se reduce a repartir proporcionalmente 400 entre las cantidades 83, 9, 5 y 3.

83 9 5 3

x y z t

Por lo tanto x = 4.83, y = 4.9, z = 4.5, t = 4.3.

b) Se han fundido 300 Kg. de una aleación de cobre y cinc que tiene 0.92 por uno de cobre(0.08 de cinc) con 200 Kg. de otra aleación con los mismos materiales con 0.85 por uno de

cobre (0.15 de cinc). Calcular los tantos por uno de cobre y cinc de la aleación resultante:

Cantidad de cobre en la 1ª aleación:.... 0.92 · 300 = 276 Kg

Cantidad de cobre en la 2ª aleación:.... 0.85 · 200 = 170 Kg

Cantidad total de cobre........................:................= 446 Kg

Tanto por uno de cobre:............ 446 : (300 + 200) = 0.892



90

Tanto por uno de cinc :............................1 – 0.892 = 0.108

Actividades no resueltas

1. Un almacenista tiene aceites de 120, 90, 60 y 50 pesos por litro y desea mezclarlopara venderlo al precio medio de 77 pesos. ¿En qué proporción efectuará la mezcla?

(27,17,13,43)2. Mezclamos 6 kg. de café de 4.2 pesos el kg con cierta cantidad de café de 3 pesos. yqueremos que la mezcla resulte a 3.8 pesos el kg. ¿Qué cantidad debemos tomar dela 2ª clase?

3. Se mezclan dos líquidos de densidades 1.2 y 0.8 ¿Qué cantidad hay que tomar decada clase para tener una mezcla de 3 litros y densidad 0.9?

Conocimientos y habilidades: Determinar el factor inverso dada una relación deproporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

Conocimientos y habilidades: Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de

proporcionalidad múltiple.

PROPORCINALIDAD MÚLTIPLE O COMPUESTA

La proporcionalidad compuesta nos permite resolver problemas en los que intervienen más dedos magnitudes que mantienen entre sí relaciones de proporcionalidad

Un problema es de proporcionalidad compuesta si intervienen tres o más magnitudes. Alintervenir más de dos magnitudes las relaciones proporcionales dos a dos de las magnitudespueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B y C, la relación proporcionalentre A y B puede ser directa o inversa y entre B y C puede ocurrir lo mismo.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE LAS MAGNITUDES

Para calentar 2 litros de agua desde 0ºC a 20ºC se han necesitado 1000 calorías. Si queremoscalentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC ¿Cuántas calorías son necesarias?En este problema intervienen 3 magnitudes, la cantidad de agua, el cambio de temperatura y lacantidad de calorías.

¿Cuál es la relación entre las magnitudes?Si se quiere calentar más cantidad de agua habrá que usar más calorías (relación directa)Si se quiere dar un mayor salto térmico habrá que usar más calorías (relación directa).Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad, es decir, vamos acalcular cuantas calorías hacen falta para subir un grado un litro de agua.

Litros de agua Salto térmico Calorías

2 20 1000

1 20 1000/2 =500 Para calentar un litro de agua 20ºChacen falta 500 calorías



91

1 1 500/20=25 Para calentar un litro de agua 1grado hacen falta 25 calorías

3 50 25x3x50=3750 Luego para calentar 3 litros 50ºCharían falta 3750 calorías

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA ENTRE LAS MAGNITUDES

Se han necesitado 2000 calorías para calentar 2 litros de agua desde 10ºC a 50ºC. Si a 5 litrosde agua a la misma temperatura inicial le suministramos 8000 calorías ¿Qué temperaturaalcanzarán?

¿Cuál es la relación entre las magnitudes?A mayor cantidad de calorías más se calienta el agua (relación directa)Con las misma calorías a mayor cantidad de agua menos se calienta, menor salto térmico(relación inversa).Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad, es decir, vamos acalcular cuántos grados sube un litro de agua al que se le aplica una caloría.

Calorías Lítros de agua Salto térmico

2000 2 40

1 2 40/2000=0.02Si aplicamos una caloría a 2 litros de

agua su temperatura subirá 0.02grados

1 1 0.02x2=0.04

Si en lugar de calentar 2 litros

queremos calentar 1 se subirá latemperatura en 0.04 grados

8000 5 0.04x8000/5=64 Luego la temperatura del agua subirá64ºC y será de 74ºC

PROPORCIONALIDAD INVERSA ENTRE LAS MAGNITUDES

Cuatro obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 9 días en hacer la estructura de unanave industrial. Otra cuadrilla trabajando 6 horas diarias realiza el mismo trabajo en 12 días¿Cuántos obreros tiene la otra cuadrilla?

¿Cuál es la relación entre las magnitudes?A mayor cantidad de horas hacen falta menos obreros (relación inversa)A más días trabajando hacen falta menos obreros (relación inversa).

Para resolver este tipo de problemas vamos a hacer un paso a la unidad.

Horas Días Obreros



92

10 9 4

1 9 4 x 10 = 40Si en lugar trabajar 10 horas trabajan 1 haran falta

40 obreros para hacer el trabajo que hacen 4

1 1 40 x 9= 360

Si en lugar de hacer el trabajo en 9 días lo

queremos hacer en 1, habrá que aumentar la

plantilla hasta 360 obreros

6 12 360/(6x12) = 360/72=5 Luego la otra cuadrilla tiene 5 obreros.

Los procedimientos anteriores se pueden generalizar para resolver de manera sistemáticacualquier tipo de problemas de proporcionalidad compuesta sea, directa, inversa o mixta.

Analiza los gráficos siguientes y establece con tus propias palabras como se aplica cadaregla.

Directa

.

Inversa

Mixta

Ejemplo:

Un crucero por el Mediterráneo para 200 personas durante 15 días necesita, para gastos dealojamiento y comida, 54.000 euros. ¿Cuántos euros gastarán para alojar y alimentar a 250personas durante 10 días?



93

G = Gasto en euros(€)

P = Nº depersonas D = Nº de días

54000 200 personas 15 días

x 250 personas 10 días

Procedimiento:

Veamos qué relación de proporcionalidad, directa o inversa, mantiene la magnitud G de laincógnita con las otras dos magnitudes. Es fácil observar que si P es constante entonces "adoble número de días, doble gasto; o que a triple número de días triple gasto ; o que si

reducimos las vacaciones a la tercera parte, el gasto se reducirá a la tercera parte;........Resumiendo G es directamente proporcional a D.

De igual manera, si D es constante entonces G es directamente proporcional a P.

En la siguiente tabla intentaremos reducir el estudio de las magnitudes conocidas (en este casopersonas y días) a uno.

Gastos (€) Personas Días

54000 200 15

1 15

1 1



94

1 10

250 10

Por lo tanto:

Escrito de otra forma:

Con un mismo nº de máquinas, para mover doble o triple cantidad de tierra, se necesitaránel doble o el triple número de días, respectivamente. Por lo tanto la relación deproporcionalidad es directa.

Para una misma cantidad de m3 de tierra, doble o triple cantidad de máquinas tardarán lamitad o la tercera parte, respectivamente. Por tanto, esta relación de proporcionalidad esinversa.

y despejando, x = 12.

Problemas por resolver



95

• Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta obra. Al cabode 9 días sólo han hecho los 3/7 de la obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que serreforzados para terminar la obra en el tiempo fijado?

• Se emplean 10 hombres durante 5 días, trabajando 4 horas diarias, para cavar una zanjade 10 m de largo, 6 m de ancho y 4 m de profundidad. ¿Cuántos días necesitarán 6hombres, trabajando 3 horas diarias, para cavar otra zanja de 15 m de largo, 3 m de anchoy 8 m de profundidad, en un terreno de doble dificultad?

• Si18 máquinas mueven 1200 m3 de tierra en 12 días, ¿cuántos días necesitarán 24máquinas para mover 1600 m3 de tierra?

• Un motor funcionando durante 10 días y trabajando 8 horas diarias ha originado un gastode 1200 ptas. ¿Cuánto gastará el motor funcionando 18 días a razón de 9 horas diarias?

Otros problemas para evaluar los contenidos:1. ¿Cuál de las siguientes situaciones es de proporcionalidad directa?

A) B)

C) D)

2. La tabla representa la relación de proporcionalidad directa que existe entre el número devueltas que dan las ruedas chicas y la rueda grande de un triciclo. Escribe el valor que falta

Vueltas de la rueda grande Vueltas de la rueda chica

3 65

3. El rendimiento de un automóvil es el numero de kilómetros que recorre con un litro degasolina. Un automóvil que mantiene un rendimiento constante hace un recorrido de 234



96

kilómetros con 18 litros de gasolina. ¿Cuál es la expresión algebraica que permite saber ladistancia (y) recorrida por el automóvil a partir de la gasolina(x) consumida?

a) y = 18x b) y = 13x c) y = 18x + 23 d) y = 13x + 23

4. Una compañía renta autobuses con la siguiente tarifa:

x = Distancia recorrida(km)

y = precio (pesos)

1 2,557.00

2 2,564.00

3 2,571.00

4 2,578.00

5 2,585.00

10 2,620.00

¿Qué expresión sirve para calcular el precio que hay que pagar por la renta del autobús (y) apartir de saber la distancia recorrida (x)?

A) y = 7x + 2550B) y = 2550xC) y = 2550x + 7D) y = 7x

5. Si 15 pesos mexicanos equivalen a 30 quetzales guatemaltecos. ¿Cuál de las gráficas es laque corresponde al tipo de cambio entre el peso mexicano y el quetzal guatemalteco?

a) b)



97

c) d)

6. La siguiente es una parte de la gráfica asociada a dos conjuntos de cantidades

¿Cuál de las siguientes situaciones está asociada a la gráfica anterior?a) El peso de un objeto en Júpiter y su correspondiente peso en la tierra; si se sabe que

un objeto en Júpiter pesa 400 kg. Cuando en la tierra pesa 160 kg.b) Las edades de Lupe y Carlos, si se sabe que cuando Lupe cumpla 20 años, Carloscumplirá 8 años?

c) El peso de un objeto en Júpiter y su correspondiente peso en la tierra; si se sabe queun objeto en en la tierra pesa 160 kg. Y en Júpiter pesa 400 kg.

d) El cambio de pesos a yuanes chinos si se sabe que 100 pesos mexicanos equivalen a50 yuanes chinos

7. Si un cuarto de kilo de jamón cuesta $35, elabore tablas del precio medio de 1 kilo, 2kilos, medio kilo, 800 gramos, 5 kilos, etc.

8. Si 3 niños tardan cuatro horas en decorar el patio, cuánto tardarán 6 niños en decorar elmismo patio, y cuánto tardarán 4 niños en decorarlo.



98

9. En una tienda venden el kilo de pollo a $ 20 . En una compra mayor a cinco kilos, latienda te descuenta 5 pesos por cada kilo adicional.

a. ¿Cuánto debes pagar por 7 kilos de pollo?b. Si compras 20 kilos de pollo cuánto dinero ahorraste.

10. El encargado de la tienda escolar, se dio cuenta que a medida que aumenta latemperatura, aumenta el consumo de refresco en la escuela. Ayúdanos a completar lasiguiente tabla:

Temperatura promedio

En un día 150 200 250 350

Venta de refrescos

Al día 30 40 18

11. Formular 3 ejemplos de dos cantidades que cambien de manera directa.

12. Formular 3 ejemplos de dos cantidades que cambien de manera inversa.13. En cada una de las siguientes tablas debes decidir si la variación es directa o esinversa y debes realizar su respectiva representación gráfica:

Cantidad 1 1 2 3 4

Cantidad 2 15 30 45 60



99

Cantidad 1 100 50 25 12.5

Cantidad 2 1 10 100 1,000

14. Un auto recorre 540 Km . cada 6 horas con una velocidad constante. Si incrementa lavelocidad hasta llegar a los 100 Km. por hora, ¿ Cuánto tiempo tardará en recorrer 540Km.?

A partir del problema anterior contesta:a. ¿La variación es directa o es inversa?b. ¿Qué estrategia seguiste para resolver el problema?c. Si este mismos auto viaja con velocidad constante y recorre los 540 kilómetros en 3

horas. ¿A qué velocidad viajaba?d. Realiza una gráfica en el sistema de coordenadas en el eje x pones el tiempo y en el eje

y la distancia recorrida.

15. Surgió una terrible epidemia en un país asiático. Un grupo de científicos mexicanosdesarrolló una medicina para combatir la enfermedad y se dieron cuenta que cuandoaplicaban masivamente el medicamento, al día siguiente la cantidad de personas enfermasse reducía a la mitad. Contesta las siguientes preguntas:

a. ¿La variación entre estas dos cantidades es directa?b. Si el día de hoy hay 20, 000 contagiados, ¿Cuántos enfermos habrá mañana?c. ¿Cuánto tiempo pasará, aproximadamente para que la enfermedad se extinga?

16. Con 15 máquinas de escribir durante 6 horas, se escriben 220 folios. ¿ Cuantos foliosse escribirán con 45 máquinas durante 12 horas?.

17. Con 14 rollos de moqueta se ha cubierto un pasillo de 16 m. de largo por 75 cm deancho. ¿Cuál será la longitud del pasillo de otra casa cuya anchura es de 80 cm si se

han necesitado 12 rollos?.18. Un caminante recorre 120 Km. andando 8 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántas horas

necesitará para recorrer 129 Km en 12 días?.19. Un depósito puede suministrar 12 litros diarios de agua para 25 familias durante 150

días.20. ¿Cuántos litros podrán suministrar a 40 familias durante 200 días?.



100

3.2 TEMA: ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN. PROBABILIDAD

SUBTEMA: NOCIÓN DE PROBABILIDAD Grado Bloque Apartado

• Enumerar los posibles resultados de una experienciaaleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1y vincular diferentes formas de expresarla. Establecercuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoriatiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar larespuesta

1° III 9

• Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción deresultados equiprobables y no equiprobables.

1° V 4

• Distinguir en diversas situaciones de azar eventos queson independientes. Determinar la forma en que sepuede calcular la probabilidad de ocurrencia de dos omás eventos independientes.

2° IV 4

•

Distinguir en diversas situaciones de azar eventos queson mutuamente excluyentes. Determinar la forma enque se puede calcular la probabilidad de ocurrencia.

2° V 4

• Utilizar la simulación para resolver situacionesprobabilísticas. 3° II 6

La Probabilidad

Muchos de los eventos que ocurren en la vida diaria no pueden serpredichos con exactitud desde antes por diversas razones, pues lamayoría de los hechos están influidos por factores externos. Además,existen aquellos sucesos que están directamente influidos por el

azar, es decir, por procesos que no se está seguro de lo que va aocurrir. Sin embargo, la probabilidad nos permite acercarnos aesos sucesos y estudiarlos, ponderando las posibilidades de suocurrencia y proporcionando métodos para tales ponderaciones.

Precisamente, algunos de esos métodos proporcionados por laprobabilidad nos llevan a descubrir que algunos sucesos tienenuna mayor o menor probabilidad de ocurrir que la ponderaciónasignada a través del sentido común. Nuestros sentidos, la información previa que poseemos,nuestras creencias o posturas, nuestras inclinaciones, son algunos de los factores queintervienen para no permitirnos hacer ponderaciones reales y sistemáticas. La probabilidad nospermitirá estudiar los eventos de una manera sistemática y más cercana a la realidad,

retribuyéndonos con información más precisa y confiable y, por tanto, más útil para lasdisciplinas humanas. A continuación te presentamos algunas definiciones y actividades quete servirán de apoyo para reafirmar tus conocimientos de los contenidos del programa deestudios en relación con el tema de probabilidad.



101

Conteo y Diagramas de Árbol

Conocimientos y habilidades: Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria.Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla.Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad deocurrir y justificar la respuesta.

Un recurso muy útil para conocer todos los posibles resultados de un experimento aleatorio sonlos diagramas de árbol.

Ejemplo: Al lanzar dos dados, ¿cuántos resultados posibles hay en total?

¿Cuántos de los resultados posibles son favorables al evento: la suma de los números quesalen es un número impar?

Para encontrar la respuesta, en tu cuaderno elabora y completa un diagrama de árbol como elsiguiente:

Tomado de la Guía Interactiva para Secundaria 2008.

Una vez que los alumnos hayan calculado los resultados posibles de varios experimentos,llámele “Espacio muestral” a cada uno de dichos conjuntos y pida a los alumnos que ellosescriban su definición con sus propias palabras.

Si fuera necesario consolidar la noción de experimentos aleatorios y la descripción del espaciomuestral, se les puede pedir a los alumnos que ellos inventen experimentos aleatorios y



102

determinen el espacio muestral. Seguro que recordarán algunos de los que manejaron en laescuela primaria. Pueden intercambiar experimentos para determinar los espacios muestrales.

En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar el número de vecesque pueden ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello se utiliza el principiofundamental de conteo:

Si un suceso se puede presentar de n 1 formas, y otro se puede presentar de n 2 formas,entonces el número de formas en que ambos sucesos pueden presentarse en ese orden es den 1·n 2.

Ejemplo: Al lanzar dos dados cada uno de estos puede caer de seis formas diferentes;entonces el número de formas en que pueden caer al ser lanzados juntos es 6 x 6 = 36

En otras palabras, basta multiplicar el número de formas en que se puede presentar cadauno de los sucesos a observar.

Eventos

Cuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que produce unresultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A esteconjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espaciomuestral.

Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (EM ) es EM ={1,2,3,4,5,6}.

Si existen más de una variable, el espacio muestral está formado por las combinaciones devalores de cada una de las variables.

Si tomamos un subconjunto cualquiera del espacio muestral tenemos lo que se denomina un

evento, y si éste consta de un solo elemento entonces es un evento elemental.

Como se puede uno imaginar, existen eventos que siempre, no importa elnúmero de experimentos o su situación, ocurren, y en cambio existen otrosque nunca ocurren. Los que siempre ocurren son los eventos seguros, y losque nunca son los eventos imposibles.

Ejemplo: “días de la semana en que sale el sol” es un evento seguro ya quetodos los días sale el sol (aunque esté nublado)

Al lanzar un dado “el numero que cae es mayor que 6”; es un evento imposible ya que el dadosolamente tiene seis caras enumeradas.

NOTA: Solicitar a los alumnos que nombren algunos eventos seguros y otros imposibles.

Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un experimento es cualquier procesoentonces los resultados pueden tomar cualquier tipo de valor. Por esta razón, se define comoexperimento aleatorio al proceso en el que se pueden predecir con certeza la ocurrencia desus eventos, con excepción del seguro o del imposible. Hay que hacer la observación que esta



103

definición habla en términos generales y no específicamente sobre algún experimento enparticular.

A aquélla variable que está asociada a un experimento de este tipo se le denomina variablealeatoria.

Probabilidad empírica y teórica de un evento.Una urna contiene 3 canicas, una azul (a), una blanca (b) y otra café (c). Después derevolver las canicas, se extrae una al azar, se anota su color y se regresa a la urna. Elexperimento anterior se repitió 20 veces y se obtuvieron los siguientes resultados:

a) ¿Cuál crees que será el color de la canica que se extraiga la próxima vez y porqué?

Se repitió varias veces el experimento anterior y se obtuvieron las siguientes series de 20extracciones:

Solicitar a los alumnos que realicen el mismo experimento y anotar los resultados queobtuvieron en la serie de 20 extracciones.

Guiar el análisis con las siguientes preguntas:

¿Obtuviste los mismos resultados que en las series anteriores?

¿Cuántas veces te salió una canica blanca?

¿Cuántas veces salió una canica azul?

¿Cuántas veces una café?

De acuerdo con el experimento, una vez que se extrae y anota el color de la canica seregresa a la urna. Entonces, antes de realizar una nueva extracción ¿cuántas canicas y de quécolor hay en la urna?

Si un color aparece dos veces seguidas, ¿es más probable que la próxima canica sea o no delmismo color? ¿por qué?

Si repites 10 veces el experimento podrías predecir cuántas veces extraerás una canica

café?, ¿y una blanca?



104

Realiza este experimento solamente 10 veces y completa la tabla siguiente:

Evento No. De vecesque se extrae

Frecuencia relativa No. De veces quese espera extraer

Una canica azul __ /10

Una canicablanca

__ /10

Una canica café __ /10

Total 1

El problema que se plantea en esta pregunta implica que los alumnos pongan en juego susintuiciones y conocimientos sobre cómo determinar los resultados posibles al realizar unexperimento aleatorio. Particularmente se averigua sobre las reflexiones y los argumentos enlos que los alumnos se basan para dar sus respuestas. En este caso, los valores de lasprobabilidades frecuenciales de los eventos simples: extraer una canica de color azul; extraeruna canica de color blanco y extraer una canica de color café, no son iguales a los valores desus probabilidades clásicas (que son de 1/3). Esto sucede porque 20 extracciones podrían ser“pocas” para que el valor de la probabilidad frecuencial (frecuencia relativa) se acerque o seaigual al de la clásica. Los alumnos deben saber que la probabilidad frecuencial es una medidaobtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar afuturo un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva por lo que es importante saberinterpretar los resultados que se obtienen.

Algunos alumnos considerarán que los resultados obtenidos en las 20 extracciones son“suficientes” y “representativos” para determinar que en la próxima extracción la canica será decolor blanco. En este caso, en la retroalimentación se busca que los alumnos reflexionen siexisten otras combinaciones en que se pudieran dar las 20 extracciones.Los alumnos que seleccionan la opción b) sólo consideran la información proporcionada por laúltima repetición del experimento aleatorio. Los alumnos que seleccionan la opción c),observan la aparición de una racha a favor de un resultado, por ejemplo, el número de vecesque se ha extraído la canica blanca y creen que eso disminuye la probabilidad de salga blanca.Para cualquiera de esas situaciones, se le sugiere dar a los alumnos la oportunidad de resolverproblemas que requieran la recolección o simulación de sus propios datos para la toma dedecisiones. Lo cual significa, introducir la enseñanza de la probabilidad de modo experimental yconfrontar las creencias personales de sus alumnos, de carácter determinista.

Finalmente, los alumnos deben saber que para obtener la probabilidad clásica de un evento, nose requiere de la realización de experimentos como en la probabilidad frecuencial, sino deconocer dos datos: el de todos los resultados posibles que se pueden dar en el experimento, yel de los resultados favorables del evento que se observa. Por lo que la probabilidad clásicaque un evento es diferente de la probabilidad frecuencial. Después de realizar muchosexperimentos, la probabilidad frecuencial debe parecerse a la clásica.

Ahora considera los 60 resultados que aparecen en las series 1, 2 y 3 al inicio del problema yrealizando el conteo completa la siguiente tabla:



105

Evento: extraer No. De veces que seextrae

Frecuencia relativa

Una canica

blanca

___ /60

Una canica azul

Una canica café

Totales 1

Calcula la probabilidad clásica de cada evento

Evento: extraerposiblesresultadosdetotalNo.

eventoalfavorablesresultadosdeNo.

Una canica blanca

Una canica azul

Una canica café

Totales

Si comparamos el valor de la frecuencia relativa del evento ”extraer una canica azul” con elvalor de su probabilidad clásica ¿cuál valor es mayor?

Compara los demás valores y describe qué sucede:

Ejemplo: En el diagrama siguiente aparecen marcados los resultados favorables

al evento: “que se obtenga 2 o 3 en alguno de los datos”, del espacio muestral

que corresponde al experimento de “ lanzar dos dados al aire”.

Si la probabilidad de que ocurra un evento es mayor que cero (probabilidad de un eventonulo) y menor que 1 (probabilidad de un evento seguro) se dice que es un evento aleatorioa un caso especial de un experimento o acción efectuada, como lanzar una moneda, undado, sacar una carta, tirar un dardo a la ruleta, etc.

En cambio, a un experimento no aleatorio se le denomina experimento determinístico



106

¿Cuántos resultados posibles tiene el evento: que se obtenga 2 o 3 en alguno de los datos?

¿Qué fracción representa este conjunto del total de resultados posibles del experimento delanzar dos dados al aire?

El propósito de la pregunta es que los alumnos identifiquen el evento que tiene mayorprobabilidad clásica (o teórica) de ocurrir. Al lanzar los dados hay 36 resultados posibles, que

corresponde al espacio muestral del experimento de lanzar dos dados; cada uno con la mismaprobabilidad de ocurrir. Es posible que, cuando se considera la suma de los números que seobtienen, los alumnos determinen que hay 11 resultados posibles: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y12; sin embargo, no todos tienen la misma probabilidad de ocurrir (para la suma 7 hay 6 formasde obtenerla y la suma 2 se obtiene de una sola forma: cuando cae 1 en ambos dados.).Pida a estos alumnos que le comenten sobre los resultados posibles hasta completar elespacio muestral del evento: que sume 2 o 3. Puede ser que estén considerando por separadoel número de resultados en el que se obtiene 2 y en el que cae 3; es decir, que supongan queen el primer dado hay 6 formas de obtener 2 y 6 cuando cae 3, y que consideren la mismacantidad de resultados para el segundo dado. La conclusión errónea sería entonces queexisten 24 resultados favorables. Pídales que cuenten los resultados favorables que se señalanen la retroalimentación, resalte que (3,2) y (3,3) se consideran solamente una vez.

Aunque en la primaria los alumnos ya han resuelto ejercicios semejantes, es posible quealgunos tengan dificultades para abordarlos, si esto ocurre, hay que promover una discusiónpara recordar que la probabilidad de obtener un resultado puede expresarse con la razón delnúmero de casos favorables entre el número total de resultados posibles.

Algunos problemas un poco más complejos podrían ser los siguientes: Al realizar el experimento de lanzar simultáneamente dos dados y sumar los puntos

obtenidos: ¿Cuál es el espacio muestral de obtener 2 puntos? ¿Cuál es el espacio muestral de obtener 10 puntos? ¿De cuántas maneras posibles se puede obtener un número mayor que 3 y menor

que 6? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número par o uno impar? ¿Por qué? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número múltiplo de 2, un número

múltiplo de 3 o un múltiplo de 4? ¿Por qué?• Experimento: Lanzas dos monedas al mismo tiempo y observas las caras que caen.

Obtener el espacio muestral Evento R: "En la primera moneda cae sol". ¿Cuántos resultados posibles hay? Evento S: "En la segunda moneda cae sol". ¿Cuántos resultados posibles hay?



107

Se tiene un disco giratorio dividido en 10 sectores circulares iguales, tres de los cualesestán marcados con 1, dos con 2 y cinco con 3.

¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con 1? ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con 2? ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo se clave en un sector marcado con un

número diferente a 1? ¿Qué es más probable, que el dardo se clave en un sector marcado con 1 o en uno

marcado con 3?

Al realizar el experimento de lanzar simultáneamente dos dados y sumar los puntosobtenidos:

¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 puntos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 puntos? ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3 y menor que 6? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número par o uno impar? ¿Por qué? ¿Qué es más probable, que se obtenga un número múltiplo de 2, un número

múltiplo de 3 o un múltiplo de 4? ¿Por qué?

• Al realizar el experimento de lanzar un dado:

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 10? ¿Por qué?

c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 7? ¿Por qué?

La intención de las preguntas es que los alumnos descubran que la escala para calcular laprobabilidad clásica va desde 0, es decir desde que el evento es imposible que ocurra, hasta el1 cuando es seguro que el evento suceda. Algunas preguntas adicionales que permiten esteanálisis son las siguientes:

¿Se podría dar el caso en que el número de resultados favorables sea mayor que el númerode resultados posibles?

¿Cuál es el mayor valor que puede tener la medida de la probabilidad? ¿Y el menor?

¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad cero de ocurrir?

¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad uno de ocurrir?

La clave para que el alumno adquiera un aprendizaje significativo tiene que ver con laspreguntas que hagamos al respecto del objeto de estudio y la reafirmación del conocimientoadquirido.

Cuando se ha terminado el análisis de las preguntas puede pedírseles que intenten representarlas probabilidades encontradas con otras expresiones equivalentes. Concluir que laprobabilidad puede expresarse con una fracción, con un decimal o con un porcentaje. Así larespuesta a la pregunta c) es ½, 0.5 o 50%.



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Predicción

Conocimientos y habilidades: Reconocer las condiciones necesarias para que un juego deazar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

Al lanzar dos dados, ¿cuál de los siguientes eventos tiene mayor probabilidad de ocurrir?a) Que la suma de los números que salgan sea parb) Que se obtenga dos o tres en alguno de los dadosc) Que la suma de los números que salgan sea menor o igual a 7d) Que la suma de los números que salgan sea impar

Es recomendable que se propicie el análisis de las predicciones y compararlas con losresultados del juego; de ser posible aclarar las confusiones a partir del espacio muestral delexperimento “lanzar dos dados y sumar los puntos que salgan”; así mismo elaborar eldiagrama de árbol o arreglo cartesiano que muestre todas las posibles soluciones ycontrastarlas con los resultados reales al lanzar varias veces dos dados; entendiendo por“salir”, las caras que quedan hacia arriba en cada dado.

a) Que la suma de los números que salgan sea par

b) Que se obtenga dos o tres en alguno de los dados

c) Que la suma de los números que salgan sea menor o igual a 7d) Que la suma de los números que salgan sea impar

Es recomendable que se propicie el análisis de las predicciones y compararlas con losresultados del juego; de ser posible aclarar las confusiones a partir del espacio muestral delexperimento “ la suma de las caras superiores al lanzar dos monedas al aire”, que se puederepresentar mediante un diagrama de árbol o arreglo rectangular.



109

La probabilidad clásica de un evento E , que denotaremos por P (E ), se define como elnúmero de eventos elementales que componen al evento E , entre el número de eventoselementales que componen el espacio muestral:

Es la definición más utilizada porque supone de antemano, y se necesita como requisitoindispensable, que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Eventos independientes o mutuamente excluyentes

Conocimientos y habilidades: Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que sonindependientes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia dedos o más eventos independientes.

Determinar el espacio muestral que resulta al hacer el experimento de lanzar dos dados ycontesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos dados caigan en número par?b) ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número?c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 10?d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea un 10 o un 6?e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus caras sea 10 y en ambas aparezca el

mismo número?

La idea fundamental de esta actividad es retomar elementos básicos de la probabilidadmediante diversos cálculos.

Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol son recursos que, si no surgenespontáneamente de los alumnos, pueden sugerirse para determinar el espacio muestral del

experimento. Si se considera pertinente puede darse incompleta una de estas herramientaspara que los estudiantes la terminen, por ejemplo el arreglo rectangular siguiente:

1 2 3 4 5 6

1 (1,1)

2 (2,5)

3 (3,4)

4 (4,3)

5 (5,2)

6 (6,6)



110

NOTA: Es importante que los alumnos se percaten que en los eventos d y e se están utilizandoconectivos y que para el caso del primero (o) significa que se trata de la probabilidad de queocurra cualquiera de dos eventos, mientras que el conectivo y implica que deben ocurrir amboseventos a la vez.

Si se presentan las diferentes formas de expresar la probabilidad (fracción, decimal o %),aprovechar para analizar sus equivalencias y conversiones.

Situación 1. Representa en forma decimal las siguientes situacionesa) Calcular la probabilidad de obtener 1 y águila al lanzar un dado y una moneda.b) Calcular la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado, sabiendo que ya salió águila al

lanzar la moneda.

Situación 2. Representa en % la probabilidad de cada evento siguientea) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor que 4 al lanzar un dado?b) Sabiendo que ya salió par, ¿cuál es ahora la probabilidad que sea menor que 4?

Igual que en la actividad anterior, las probabilidades pedidas pueden obtenerse a partir de ladeterminación del espacio muestral correspondiente. La atención de estas consignas se centraen identificar la dependencia o independencia de los eventos que se presentan en cadasituación: en la primera se trata de eventos independientes, el resultado de uno no tiene efectoen el resultado del otro, la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado no depende del resultadode lanzar la moneda, siempre es 1/6, aún sabiendo que la moneda ya cayó en águila. Encambio en la segunda situación se trata de eventos dependientes, la probabilidad de que elnúmero sea menor que 4 es ½ (1, 2 y 3), pero si se sabe que ya salió par, el espacio muestrase reduce a (2, 4 y 6), de los cuales uno (el 2) es menor que 4, por lo tanto la probabilidad es2/6 =1/3.

Es conveniente que se analicen otras situaciones que incluyan eventos independientes,

algunos ejemplos son:

1. Se lanzan cinco volados consecutivos y en todos ellos ha caído sol. ¿Cuál es laprobabilidad de que en el sexto volado también caiga sol?

2. Se va a realizar una rifa con 200 boletos que han sido numerados del 1 al 200. Todoslos boletos se han vendido. El boleto ganador será el primero que se saque de unaurna. Ana compró los boletos 81, 82, 83 y 84. Juan adquirió los boletos 30, 60, 90 y 120.¿Quién tiene más oportunidades de ganar?

En ocasiones un evento o más eventos dependen de otro evento previo, es decir, unevento A ocurre dado que ocurrió un evento B . Si existe este tipo de relación entre eventosse dice que son eventos dependientes o condicionados (A/B) (el evento A depende delevento B , o el resultado del evento A está condicionado al resultado del evento B ).

Por otro lado, si no existe tal relación entre eventos se dice que son eventosindependientes o mutuamente excluyentes.



111

3. La mamá de Enrique y la Tía de Ana están embarazadas y próximamente darán a luz asus bebés. ¿Qué probabilidad hay de que las dos tengan un hijo varón?

4. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de quecaiga sol y el número 4?

Es muy probable que los alumnos obtengan por separado las probabilidades de cada eventoen cada problema, para el primero ½ y ½ y para el segundo 1/6 y ½; sin embargo el asunto esaveriguar cómo se relacionan estas medidas para obtener la probabilidad de que ocurran, encada caso, los dos eventos a la vez, para el primero ¼ y para el segundo 1/12. Un arreglorectangular o un diagrama de árbol permiten visualizar el espacio muestral y los casosfavorables de cada situación.

Otros problemas que permitirán aplicar la regla encontrada son los siguientes:Variantes del problema 2.

- ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y 2?- ¿Cuál es la probabilidad de que caiga sol y 6?- ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila y un número mayor que 4?

Pedro y Mario van a extraer sin mirar una canica de una caja que contiene dos amarillas, unaverde y tres rojas. Si después de cada extracción se regresa la canica a la caja, ¿cuál es laprobabilidad de que Mario tome una canica roja y Pedro una amarilla?

Características de los eventos mutuamente excluyentes

Conocimientos y habilidades: Distinguir en diversas situaciones de azar eventos que sonmutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad deocurrencia.

Las siguientes figuras representan un tetraedro (poliedro regular de cuatro caras) y una ruleta. En forma individual resuelve los problemas que se plantean y comenta tus resultados con tresde tus compañeros más cercanos.

1.- Al girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en...a) el número 5?b) un número menor que 4?c) un múltiplo de 2?d) un número impar?

2.- Si se lanza el tetraedro, ¿cuál es la probabilidad de que la cara que quede sobre lasuperficie plana, sea…



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a) color rojo?b) verde o rojo?c) verde o blanco o rojo?

Es conveniente plantear primero el problema uno y hacer una puesta en común para analizarlos resultados de los cuatro incisos. Debe quedar claro que el espacio muestra en elexperimento de la ruleta es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y que a cada elemento lecorresponde una probabilidad de 1/8. Con base en esto se podrán contestar las cuatropreguntas. Si los alumnos preguntan cuáles son los múltiplos de dos hay que decirles que sontodos los resultados de la tabla del dos.

En el segundo problema también conviene destacar el espacio muestra y enfatizar el hecho deque en los incisos b y c, se trata de eventos compuestos y que los conectivos “o” indican quese trata de la probabilidad de que suceda cualquiera de los dos o de los tres eventos, adiferencia del conectivo “y”, que se refiere a la probabilidad de que sucedan dos o más eventosa la vez. Por lo tanto, la probabilidad en el inciso b) es ¼ + ¼, mientras que en c) es ¼ + ¼ +¼.

El experimento consiste ahora en girar la ruleta y observar en qué número se detiene. Con

base en esto contesten las siguientes preguntas:a) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par?b) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número impar?c) ¿Pueden ocurrir al mismo tiempo los eventos a) y b)?, ¿porqué?d) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par o un

número impar?d) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par o

múltiplo de tres?e) ¿Cuál es la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número par y

múltiplo de tres?

(Se hace referencia al tetraedro y ruleta nuevamente).

Se lanza el tetraedro y se hace girar la ruleta simultáneamente, ¿qué probabilidad hay de quela ruleta se detenga en el número 4 y el tetraedro caiga sobre su color verde?

En la primera consigna es importante discutir y confrontar las respuestas de los incisos d y f,estableciendo en primer lugar la diferencia entre los conectivos “o” e “ y”. Mientras que elconectivo o implica que suceda cualquiera de los dos eventos o ambos, el conectivo y implicala ocurrencia de los dos eventos a la vez. En este caso el único número que cumple con las

Si dos eventos son independientes o mutuamente excluyentes, es decir que no ocurrensimultáneamente, entonces la frecuencia relativa de su unión es la suma de las frecuenciasrelativas de cada uno.

Propiedad 1. Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A o B es igual a lasuma de las probabilidades de ocurrencia de A y de B , menos la probabilidad de que ocurranA y B simultáneamente. Es decir,

P (AUB ) = P (A) + P (B ) - P (AΠB )



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dos condiciones (ser número par y a la vez múltiplo de tres) es el seis, por lo tanto el resultadoen el inciso e es 1/8.

El problema de la segunda consigna resultará un poco más difícil para los alumnos porque elevento compuesto (cuatro y color verde) proviene de dos experimentos distintos y hay quesaber cómo relacionar la probabilidad particular de cada evento: P {caer 4} = 1/8; P {colorverde} = ¼. Es probable que algunos alumnos sumen estos valores y obtendrán 3/8. En talcaso se puede cuestionar: ¿Consideran que la probabilidad de que ocurran dos sucesos a lavez puede ser mayor que la probabilidad de que ocurra sólo uno de esos sucesos? Si losalumnos caen en cuenta de que no puede ser, hay que explicarles que el resultado es elproducto de las probabilidades particulares.

Más situaciones.

1. Si se tienen los eventos:A. Que la ruleta se detenga en un número menor que cuatro.

B. Que se detenga en un número múltiplo de cuatro.

a) ¿Cuál es la probabilidad del evento A? p(A) = ___________

b) ¿Cuál es la probabilidad del evento B? p(B) = ___________

c) ¿Qué significa que ocurra A o B? ___________________________________

d) ¿Qué significa que ocurra A o B? ___________________________________

e) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? p(A o B) = ______________

f) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A y B? p( A y B)= ________________

Expliquen su respuesta en cada caso.

2. Ahora se tienen los eventos siguientes:C. Que la ruleta se detenga en un número mayor que cuatro.D. Que la ruleta se detenga en un múltiplo de cuatro.

a) Obtengan: p(C) = __________ p(D) = ____________

Dos eventos A y B son dependientes si y sólo si la Probabilidad del evento A dado queocurra B es igual a la probabilidad de A; o bien, La probabilidad de B dado que ocurra Aes igual a la Probabilidad B. o lo que es lo mismo:

P (A|B ) = P (A) y P (B |A) = P (B )Por lo tanto la probabilidad de que ocurra A y B es el producto de las probabilidades deambos eventos

P (AI B ) = P (A) · P (B )



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b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra C o D? P(C o D) = ____________

3. Comparen los resultados de d) del ejercicio 1 y de b) del ejercicio 2 y comenten las formasde obtenerlos.

¿Existe alguna diferencia en estos eventos? ¿Cuál?

Es conveniente que siempre que los alumnos calculen la probabilidad de un evento compuestoobtengan primero el espacio muestra y la probabilidad particular de cada evento, esto lespermitirá apreciar si hay elementos comunes o si no los hay. Si no los hay ya saben que elresultado es la suma de las probabilidades particulares, si los hay, es probable que por sí solosconcluyan que no se puede contar dos veces el mismo elemento del espacio muestra.

Simulación

Conocimientos y habilidades: Utilizar la simulación para resolver situaciones probabilísticas.

Analizar los siguientes experimentos, realizarlos y registrar sus resultados:a) Lanzar 30 veces un dardo a una ruleta dividida en 10 sectores circulares iguales y

numerados del 1 al 10.b) Hacer girar una perinola hexagonal (comúnmente llamada toma todo ), 80 veces.c) El lanzamiento de un dado 50 veces.

Es muy probable que los alumnos no entiendan en qué consiste simular los experimentos, ental caso el profesor podrá intervenir para dar una idea al respecto, “simular consiste en explorarel comportamiento de una experiencia aleatoria observando otra experiencia equivalente, peromás fácil de realizar o de estudiar”.

Ante la dificultad de tener en el momento una ruleta y un dardo, si a los alumnos no se lesocurre como simular este experimento, se les puede sugerir meter en una bolsa o caja 10papeles numerados del 1 al 10, extraer uno, registrar el resultado y devolverlo a la bolsa;

realizar 29 extracciones idénticas.

El experimento de la perinola puede simularse de manera semejante al de la ruleta, únicamenteque ahora serían 6 papeles y en cada uno se escribe uno de los seis posibles resultados (tomauno, toma dos, toma todo, pon uno, pon dos y todos ponen), no olvidar después de cadaextracción, regresar el papel a la caja o bolsa.

Para registrar los resultados de cada experimento puede utilizarse una tabla, como porejemplo, para el caso de la perinola:

Un agente comercial sabe que cada vez que visita un cliente tiene 20% de probabilidad dehacer dos ventas, 50% de probabilidad de hacer sólo una y 30% de no vender nada. Un díatiene cita con cinco clientes. ¿Cuánto puede esperar ganar ese día si por cada venta querealiza gana $200.00?



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Dado que en la consigna se sugiere la simulación del problema, la dificultad radica en buscaralgún material manipulable que se adapte a las condiciones del problema. Una estrategia desimulación consiste en colocar en una caja o bolsa dos canicas azules, cinco blancas y tresrojas. Posteriormente, extraer una a una y al azar cinco canicas (los cinco clientes),devolviendo cada vez la canica antes de extraer la siguiente (el profesor puede preguntar a losalumnos por qué es necesario devolver las canicas).

Si sale canica azul, el agente hizo dos ventas y ganó $400.00

Si sale blanca, sólo hizo una venta y ganó $200.00

Si sale roja, no hizo ninguna venta y no ganó.

Una vez que cada equipo obtiene una respuesta, conviene registrarlas en el pizarrón y ver sialguna se repite más veces. Ésta sería la mejor estimación hecha en el grupo. Es importanteagregar, que si el experimento se repitiera muchas más veces, se llegaría a estimar con mayorexactitud la cantidad que el agente puede ganar ese día.

Evaluación de los aprendizajes

Problemas de Probabilidad.1. María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dos dados

sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es 7 gana María; y encualquier otro caso hay empate.

a) Calcular la probabilidad de que Laura gane el juegob) Calcular la probabilidad de que gane Maríac) Que probabilidad es mayor; ¿Qué gane cualquiera de las dos o que

empaten?2. Dos parejas de novios deciden ir al cine. Si se sientan al azar en cuatro butacas

contiguas, ¿cuál es la probabilidad de cada uno esté al lado de su pareja?3. Una urna A contiene 5 bolas blancas y 4 negras; y otra urna B contiene 1 blanca y 2

negras. Se extrae una bola al azar de la urna A y se introduce en la B. Después seextrae de la urna B una bola al azar.a) Calcular la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea blanca.b) Supongamos que la bola extraída de la urna A sea blanca, calcular la

probabilidad de que la extraída de la urna B también sea blanca.

Eventos independientes1. Los siguientes pares de eventos son independientes, a excepción de uno de ellos.

Identifica cuál es el par de eventos que no son independientes

a) Experimento: Lanzas dos monedas al mismo tiempo y observas las caras quecaen.

Evento R: "En la primera moneda cae sol".Evento S: "En la segunda moneda cae sol".

b) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 rojas,sacas primero una canica, anotas su color, la regresas y sacas otra canica.

Evento R: "En la primera extracción la canica es roja".Evento V: "En la segunda extracción la canica es verde".



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c) Experimento: Lanzas dos veces una moneda y observas la sucesión de carasobtenidas.Evento S: "En el primer lanzamiento cae sol".Evento A: "En el segundo lanzamiento cae águila".

d) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 rojas,sacas primero una canica, no la regresas a la bolsa y sacas otra canica.Evento R: "En la primera extracción, la canica es roja".Evento V: "En la segunda extracción, la canica es verde".

2. De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 rojas, sacas primero una canica,anotas su color, la regresas y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de que en laprimera extracción la canica sea roja y en la segunda, verde?

3. ¿Cuál de los pares de eventos que se definen a continuación son mutuamenteexcluyentes?

a) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.Evento S : “Cae un número mayor que 4 ”.Evento T : “Cae un número impar ”.

b) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.Evento S : “Cae un número mayor que 5 ”.Evento T : “Cae un número impar ”.

c) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior.Evento S : “Cae un número mayor que 4 ”Evento T : “Cae 6”.

d) Experimento: Extraer al azar una canica de una bolsa que contiene canicas grandes

y chicas en color azul y blanco.Evento J : “la canica que se extrae es blanca ”.

Evento K : “la canica que se extrae es chica ”.4. Dados dos sucesos aleatorios A y B, se sabe que:

(Bc indica complemento del suceso B)a) ¿Son los sucesos A y B independientes? Argumenta tu respuestab) Calcular =)( B AP U

5. En la Urna1 hay 4 bolas blancas, numeradas del 1 al 4 y 2 bola negras, numeradasdel 1 al 2; mientras que en la Urna2 hay 2 bolas blancas numeradas del 1 al 2 y 4

bolas negras numeradas del 1 al 4. Se extraen al azar dos bolas de cada urna. Hallar:(a) La probabilidad de que tengan el mismo número(b) La probabilidad de que sean del mismo color

6. La probabilidad de que cierto equipo de futbol gane un partido es 0.4 y la de que pierdaes 0.3 ¿Cuál es la probabilidad de que empate?



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7. La probabilidad de que un estudiante universitario termine su carrera en los años

establecidos por el plan de estudios es de5

3y la de que su hermana finalice la suya

sin perder ningún año es de3

2. Hallar la probabilidad de:

a) Ambos terminen sus estudios en los años establecidosb) Solo el varón los termine en los años fijadosc) Al menos uno de los dos termine en los tiempos establecidos

8. Una urna contiene 3 canicas, una azul (a), una blanca (b) y otra café (c). Después derevolver las canicas, se extrae una al azar, se anota su color y se regresa a la urna. Elexperimento anterior se repitió 20 veces y se obtuvieron los siguientes resultados:

b) ¿Cuál crees que será el color de la canica que se extraiga la próxima vez y porqué?

9. Al lanzar dos dados; ¿Cuál de los siguientes eventos tiene mayor probabilidad deocurrir?

a) “Que la suma de los números que salgan sea par”b) “Que se obtenga 2 o 3 en alguno de los lados”c) “Que la suma de los números que salgan sea menor o igual a 7”d) “Que el producto de los números que salga sea par”

10. Los siguientes pares de eventos son independientes, a excepción de uno de ellos.Identifica cuál es el par de eventos que no es independiente.

a) Experimento: Lanzas dos monedas al mismo tiempo y observas las caras que caenEvento R: “En la primera moneda cae sol”Evento S: “En la segunda moneda cae sol”

b) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 son rojas,sacas primero una canica , anotas su color , la regresas y sacas otra canica.Evento R: “En la primera extracción la canica es roja”

Evento V: “En la segunda extracción la canica es verde”c) Experimento: lanzas dos veces una moneda y observas la sucesión de caras

obtenidas.Evento S: “En el primer lanzamiento cae sol”Evento R: “En el segundo lanzamiento cae águila”

d) Experimento: De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 son rojas,sacas primero una canica , no la regresas y sacas otra canica.Evento R: “En la primera extracción la canica es roja”Evento V: “En la segunda extracción la canica es verde”

11. De una bolsa con 5 canicas, en la que 3 son verdes y 2 son rojas, sacas primero unacanica , anotas su color , la regresas y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad deque en la primera extracción la canica sea roja y en la segunda sea verde?

12. ¿Cuál de los pares de eventos que se presentan a continuación son mutuamenteexcluyentes?a) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superior

Evento P: “Cae un número mayor que 4”Evento Q: “Cae un número impar”

b) Experimento: Extraer una canica al azar de una bolsa, en la que 3 son verdes y 2son rojasEvento R: “Extraer la canica roja”Evento V: “Extraer la canica verde”



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c) Experimento: Lanzar un dado y observar el número que cae en la cara superiorEvento S: “Cae un número mayor que 4”Evento T: “Cae seis”

d) Extraer al azar una canica de una bolsa que contiene canicas grandes y chicas decolor azul y blancoEvento C: “La canica que se extrae es blanca”Evento D: “La canica que se extrae es chica”

13. Considera el experimento y los eventos que se definen:Evento S: “Cae un número menor que 4”Evento T: “Cae un número mayor que 4”¿Cuál es la probabilidad de que el numero de la cara que cae hacia arriba sea menorque 4 o sea mayor que 4?



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Observaciones y Sugerencias

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