Tema 4 Sistema de partculas y slido rgido. 4.1.- Definicin y clasificacin de sistemas de partculas. 4.2.- Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partculas. 4.3.- Momento angular de un sistema de partculas. Variacin temporal del momento angular. 4.4.- Momento angular interno y orbital. 4.5.- Cinemtica del slido rgido. 4.6.- Movimiento de traslacin de un slido rgido. 4.7.- Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido. 4.8.- Movimiento de traslacin y rotacin combinados de un slido rgido. Movimiento de rodadura. 4.9.- Movimiento giroscpico. 4.10.- Condiciones de equilibrio. 4.11.- Energa cintica de un sistema de partculas. 4.12.- Energa propia, energa total y energa interna de un sistema de partculas. 4.13.- Energa cintica de un slido rgido. 4.14.- Energa total de un slido rgido. 4.15.- Colisiones.Bibliografa: Ttulo: Fsica. Aut.: M. Alonso, E. J. Finn Ed.: Addison-Wesley Ao: 1995. Temas: 13 y 14.Ttulo: Gua para un curso de Fsica General-Mecnica I. Aut.: P. Martel Escobar. Ed.: Servicio de reprografa de la ULPGC. Ao: 1994. Temas: 4 y 5.

4.1 Definicin y clasificacin de los sistemas de partculas.Qu es un sistema de partculas? Modelo ms complejo que el de la partcula. Considera los objetos como agregados de partculas que interaccionan. Se usa cuando el modelo de partcula no es adecuado y considera las dimensiones del objeto en estudio.Clasificacin de los sistemas de partculas. Discretos n finito de partculasContinuos distribucin continua de materia Deformables RgidosCambia distancia No cambia Deformables Rgidos Cambia forma No cambia

4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partculas.Centro de masa (CM) Para un sistema de partculas discreto el CM es un punto cuya posicin, velocidad y aceleracin vienen dadas porSe puede colocar un sistema de referencia en el CM llamado sistema C (SC), distinto del sistema inercial donde se encuentra el observador que se llama sistema laboratorio o sistema L (SL).

Para un sistema de partculas continuo la posicin, velocidad y aceleracin del CM vienen dadas porCentro de masa de algunos sistemas de partculas continuos4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partculas.

Momento lineal de un sistema de partculas Para un sistema de partculas discreto se define el momento lineal del sistema como Para un sistema de referencia colocado en el CM del sistema de partculas (sistema C) el CM est en reposo (su velocidad es nula). Por tanto en relacin con el sistema C el momento lineal del sistema es nulo.4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partculas.

Fuerzas internas y fuerzas externas Sistema SFuerza externa resultante que acta sobre el sistema SPara el sistema S se puede demostrar queSi el sistema S se encuentra aislado4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partculas.

Trayectoria del CM de sistemas de partculas sometido a fuerzas externasTrayectoria del CM de un sistema de partculas aislado4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partculas.

4.3 Momento angular de un sistema de partculas. Para un sistema de dos partculas el momento angular del sistema respecto de un punto O se define comoY el momento de las fuerzas externas respecto de un punto O se define comoPara el sistema de partculas se puede demostrar queSi no hay fuerzas externas, o la suma de sus momentos respecto al punto O es nula, entonces

4.4 Momento angular interno y orbital. Se define el momento angular interno de un sistema de partculas como el momento angular total calculado con respecto al CM o sistema CPara el sistema de partculas se puede demostrar queTambin se puede demostrar queSe define el momento angular orbital de un sistema de partculas como el momento angular del CM calculado con respecto a O o sistema L

Momentos angulares interno y orbital de algunos sistemas de partculas4.4 Momento angular interno y orbital.

4.5 Cinemtica del slido rgido.Un slido rgido puede presentar los siguientes movimientosMovimiento de traslacin Movimiento de rotacin (alrededor de un eje) Todas las partculas describen trayectorias paralelas.En un instante dado todos los puntos del slido poseen la misma velocidad y aceleracin.Todas las partculas describen trayectorias circulares alrededor de una lnea llamada eje de rotacin.En un instante dado todos los puntos del slido poseen la misma velocidad y aceleracin angular.

Movimiento general RotacinEste movimiento siempre puede considerarse como una combinacin de una traslacin y una rotacin.4.5 Cinemtica del slido rgido.

4.6 Movimiento de traslacin de un slido rgido.Como todas las partculas del slido se mueven con la misma velocidad y aceleracin, el estudio del movimiento de traslacin del slido se puede llevar a cabo analizando el movimiento de su CM.El movimiento del CM viene dado porPor tanto, tomando el CM y usando los mtodos explicados en el tema anterior para la dinmica de la partcula, se puede analizar el movimiento de traslacin del slido rgido. Ecuacin del movimiento para la traslacin de un slido rgido.

4.7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.Momento angular y momento de inercia. Considrese una placa delgada slida que rota alrededor de un eje de rotacin fijo.El momento angular del elemento Ai de la placa respecto O esEl momento angular de toda la placa respecto al punto O esDefiniendo el momento de inercia para el eje ZZ que pasa por O comoEcuacin vectorial. El momento angular tiene la misma direccin que la velocidad angular para un slido plano.

Considrese ahora un slido rgido de forma arbitraria rotando alrededor de un eje fijo.El momento angular del punto Ai del slido respecto a O esEl momento angular total del slido respecto al punto O esSin embargo para cada cuerpo independientemente de su forma se verifica que existen al menos tres direcciones mutuamente perpendiculares para las que el momento angular es paralelo al eje de rotacin. Estos son los tres ejes principales de inercia (XO, YO, ZO) y sus correspondientes momentos de inercia se conocen como momentos principales de inercia (I1, I2, I3). Si el eje de giro coincide con una de estas direcciones se cumpleEcuacin escalar. Vlida independientemente de la forma del cuerpo.No obstante se cumple siempre que la componente del momento angular a lo largo del eje de rotacin Z es4.7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.

Cuando el cuerpo posee algn tipo de simetra, los ejes principales coinciden con los ejes de simetra.Dos teoremas importantes relacionados con el clculo del momento de inercia son:Teorema de Steiner Teorema de los ejes paralelos 4.7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.

Hemos visto que el momento de inercia para un sistema de partculas discreto se definePara un objeto continuo el sumatorio anterior se reemplaza por una integral4.7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.

El momento de las fuerzas exteriores para un slido rgido que gira alrededor de un eje principal de inercia que pasa por O se expresa Ecuacin del movimiento para la rotacin de un slido rgido que gira en torno a un eje fijo (que es principal de inercia). Rotacin en torno a un eje4.7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.

4.8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados. Movimiento de rodadura.Ecuaciones del movimiento de traslacin y rotacin combinados de un slido rgido.Para un slido rgido que se traslada y que gira alrededor de un eje que pasa por su CM, las ecuaciones del movimiento sonTipos de movimientos de un slido rgido de forma cilndrica que se mueve sobre una superficie planaEl cilindro deslizaTodos los puntos del slido tienen la misma velocidad para cualquier instante de tiempo.El cilindro tiene un movimiento de traslacin.El mismo punto del slido permanece en todo momento en contacto con la superficie.TraslacinRotacin en torno a un eje

El cilindro rueda sin deslizar. Movimiento de rodadura.Un punto distinto del slido en cada instante permanece en contacto con la superficie verificndose.REl cilindro tiene un movimiento de traslacin y rotacin combinados.TraslacinRotacin+La velocidad del punto de contacto con la superficie es nula. Si existe fuerza de rozamiento sta es esttica.4.8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados. Movimiento de rodadura.

El cilindro rueda y desliza.Al rodar y deslizar en este caso se tiene queEl cilindro tiene un movimiento de traslacin y rotacin combinados, pero la velocidad del punto de contacto no es nula.Si existe fuerza de rozamiento sta es dinmica.4.8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados. Movimiento de rodadura.

4.9 Movimiento giroscpico.Un giroscopio (o girscopo) es un dispositivo en el que el eje de rotacin puede cambiar libremente de direccin. Un ejemplo se ilustra en la siguiente figura.Si la rueda gira libremente alrededor del eje de simetra AB de forma que respecto a O el momento de fuerzas es nulo, entonces,Si se mueve el giroscopio alrededor de una habitacin el eje de simetra AB apuntar siempre en la misma direccin.Si el eje del giroscopio se coloca de modo que AB sea horizontal y apunte en la direccin este-oeste, debido a la rotacin terrestre el eje se inclinar y despus de seis horas est en posicin vertical.Esta caracterstica de los giroscopios a mantener su eje de rotacin fijo, hace que tenga una gran aplicacin como sistema de nivelacin y estabilizador (en aviones, barcos y sondas espaciales).

Si el giroscopio ahora se encuentra apoyado en un extremo O entonces el momento de las fuerzas respecto O no es nulo y se tieneSi en primer lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda desprovista de giro y se deja en libertad, entonces la rueda caer girando alrededor de un eje horizontal que pasa por O. Este giro se debe a que el momento de las fuerzas externas respecto a O no es nulo (debido al peso de la rueda), actuando en la direccin horizontal y. Inicialmente el momento angular es nulo al no haber rotacin.Despus de un cierto intervalo de tiempo se produce un cambio en ste que viene dado por4.9 Movimiento giroscpico.

Si en segundo lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda provista de giro y se deja en libertad, entonces la rueda no caer sino que el eje de rotacin de la rueda se desplazar en el plano horizontal en la direccin del eje y, describiendo un movimiento circular. A este movimiento se le denomina precesin.En este caso el momento angular inicial no es nulo, y tiene un valor igual aLa variacin del momento angular (en la direccin del momento de fuerzas) ser en la direccin perpendicular a la del momento angular. Esto da lugar a que el momento angular cambie en direccin y no en mdulo describiendo un movimiento circular.4.9 Movimiento giroscpico.

La velocidad angular de precesin se puede calcular teniendo en cuenta que el cambio del momento angular en un tiempo infinitesimal esEl ngulo barrido por el eje en su movimiento esY la velocidad angular de precesin es por tantoAdems del movimiento de precesin, el eje de la rueda realiza una pequea oscilacin hacia arriba y hacia abajo. Este movimiento se llama de nutacin.4.9 Movimiento giroscpico.

Otro ejemplo de movimiento giroscpico lo realiza un trompo o peonza.La Tierra tambin realiza un movimiento de precesin y nutacin (precesin de los equinoccios).El plano del Ecuador forma un ngulo de 2327 con el plano de la rbita terrestre alrededor del Sol (eclptica). La interseccin de ambos se llama lnea de equinoccios.Debido a esta inclinacin y a que la Tierra no es una esfera (elipsoide), hay un momento de fuerzas (debido al Sol y la Luna), en la direccin perpendicular al eje de rotacin de la Tierra (que pasa por los Polos), que hace que ste tenga un movimiento de precesin y nutacin.4.9 Movimiento giroscpico.

4.10 Condiciones de equilibrio.Para el equilibrio de un slido rgido es necesario considerar el equilibrio con respecto tanto a la traslacin como a la rotacin. Las condiciones han de ser:Esta situacin implica quePor tanto, para que un slido rgido en equilibrio est quieto, es necesario que en el instante inicial se encuentre en reposo.

4.11 Energa cintica de un sistema de partculas.La energa cintica de un sistema de partculas (respecto un SRI o sistema L) se defineTeniendo en cuenta que el trabajo total lo podemos separar en el trabajo de las fuerzas externas y las internas, es posible expresar el trabajo total comoCon lo cual el teorema del trabajo y la energa cintica para un sistema de partculas se expresa comoSe define la energa cintica interna como la energa cintica referida a un sistema de referencia situado en el CM o sistema C.La relacin entre la energa cintica referida a un sistema C y un sistema L viene dada por:Un trmino para cada partculaTeorema de Koening

4.12 Energa propia, energa interna y energa total de un sistema de partculas.Si las fuerzas internas que actan en un sistema de partculas son conservativas entonces hay definida una energa potencial interna yDefiniendo la energa propia comoHay definido un trmino de energa potencial interna para cada par de partculasSi el sistema de partculas se encuentra aislado o el trabajo de las fuerzas externas es nuloSe define la energa interna comoLa energa potencial interna depende de la posicin relativa de las partculas y cambia segn vara la posicin relativa de las partculas durante el movimiento. Si las fuerzas son centrales la energa potencial interna slo depende de la distancia que separa a cada par de partculas.

Si las fuerzas externas que actan sobre el sistema son conservativas entonces hay definida una energa potencial externa y Definiendo la energa total como Hay definido un trmino de energa potencial externa para cada partcula del sistema4.12 Energa propia, energa interna y energa total de un sistema de partculas.

4.13 Energa cintica de un slido rgido.Sea un slido rgido que gira alrededor de un eje fijo.Como las partculas del slido describen un movimiento circular alrededor del eje, su energa cintica serSea un slido rgido que tiene un movimiento de traslacin. Como todas las partculas del slido se mueven con idntica velocidad, que ser igual a la de su CM y su energa cintica serRotacin en torno a un eje

Sea un slido rgido que gira alrededor de un eje que pasa por su CM y al mismo tiempo tiene un movimiento de traslacin respecto a un observador inercial. La energa cintica respecto a un observador inercial esY como el nico movimiento de las partculas respecto a un eje que pasa por el CM es de rotacin, la energa cintica interna ser de rotacin y por tanto4.13 Energa cintica de un slido rgido.

4.14 Energa total de un slido rgido.Para un slido rgido ya que es indeformable y la distancia relativa entre las partculas que lo constituyen no vara con el tiempo, se tiene que su energa potencial interna es constante y por tanto,De este modo, la energa total para un slido rgido se reduce aPara un slido rgido que rueda sin deslizar sobre una superficie, ya que si existe fuerza de rozamiento sta es esttica, se tiene que,Para un slido rgido que rueda y desliza sobre una superficie, ya que si existe fuerza de rozamiento sta es dinmica, se tiene que,

4.2 Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partculas.Para un sistema de partculas continuo la posicin, velocidad y aceleracin del CM vienen dadas porCentro de masa de algunos sistemas de partculas continuos