rotaciÓn de cuerpo rigido i

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Segundo L. Gallardo Z.

CUERPO RÍGIDO. Es un cuerpo ideal indeformable. Esto significa que la distancia entre pares de partículas permanece constante bajo la acción de fuerzas o torques externos.

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ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJOALREDEDOR DE UN EJE FIJO

Es decir que la posición relativa entre las partículas mi y mj del cuerpo rígido de la Fig.1 es:

Todos los cuerpos son deformables en alguna forma, pero nuestro modelo es útil en situaciones en las cuales no se toma en cuenta la deformación. Los sóli-dos son considerados como cuerpos rígidos.

ri j = ri – rj = constante

Figura 1

Z

YX

F1

F2

F3

Fn

mi

ri

mj

rj

ri j

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje, sus diferentes partes tienen diferentes velocidades y aceleraciones lineales.


ENERGIA CINÉTICA DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO.

Z

X

Y

Figura 2

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Consideremos un cuerpo sólido como el de la Fig.2, girando con velocidad angular constante “ “, alrededor del eje Z.

Si en el cuerpo tomamos una partícula cualquiera de masa mi observaremos que ésta gira alrededor del eje Z con velocidad angular y velocidad lineal vi describiendo una circunferencia de radio Ri .La energía cinética de rotación o energía cinética rotacional de una partícula es

Eki = ½ mi vi2

Donde vi = Ri , porque todas las partículas giran con la misma velocidad angular del cuerpo rígido.

(1)

mi

Ri

vi


Usando este valor. la Ec. (1) se puede escribir en la forma

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Eki = ½ mi Ri2 2

La energía cinética rotacional de todo el cuerpo rígido es la suma de las energías cinéticas rotacionales de todas las partículas que lo componen

Ekr = ½ mi Ri2 2

El término

(2)

se denomina momento de inercia o inercia rotacional del cuerpo.

(3) mi Ri2 = I

El momento de inercia es una característica propia de todo cuerpo que gira y, según la Ec.3, depende de la distribución de su masa respecto al eje de rotación.


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Las unidades del momento de inercia son:

[kg.m2 ], [g.cm2 ], [lb.pie2 ]

(4)Ekr = ½ I 2

Esta ecuación es muy similar a la energía cinética de traslación o energía traslacional, con la diferencia de que en el movimiento de rotación se consideran dos nuevas propiedades:

Usando el momento de inercia la energía cinética rotacional se puede escribir en la forma

- El momento de inercia o inercia rotacional (I) y - La velocidad angular ()

en vez de las propiedades del movimiento de traslación - la masa inercial (m) y - la velocidad de traslación (v), respectivamente.


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CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA

En general, para un cuerpo rígido compuesto de un gran número de partículas, como el de la Fig.3, el momento de inercia se calcula reemplazando la sumatoria de la Ec. (3) por la integral

Donde dm es un elemento de masa del cuerpo de volumen dV. Este elemento de masa gira con el cuerpo alrededor del eje Z, describiendo una circunferencia de radio R.

dm

El momento de inercia de un sólido de masa homogénea y distribuida en forma uniforme respecto al eje de rotación, pode-mos usar el cálculo diferencial e integral para calcular su valor

I = R2 dm (5)

R

Ryx

z

Z

Y

X

o

Figura 3


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Si es la densidad del cuerpo, entonces dm = dV

Si el cuerpo es homogéneo su densidad es constante, entonces

Según esta ecuación, el cálculo del momento de inercia de cualquier cuerpo se reduce a un factor geométrico, el cual depende de la forma del cuerpo y de la ubicación del eje de rotación.

I = R2 dV (6)

I = R2 dV (7)


Aplicando la Ec.(7) a sólidos de forma regular permite obtener la Tabla 1 que muestra los denominados radios de giro de algunos cuerpos según el eje principal de rotación.

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Tabla 1. Radios de giro respecto a su eje principal de algunos cuerpos simples.

Ko2

R2

2

R2

4+

L2

12

a2 + b2

12

a2 + b2

12

b 2

12

Ejes

L

R

ab

c

a

b

a

b

Cilindro

Paralelepípedo

Placa Rectangular

Ko2

L2

12

R2

2

R2

4

2 R2

5

R2

EjesVarilla Delgada

Disco

Anillo

Esfera

R

R

R

L

R


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EJES PRINCIPALES DE ROTACIÓN. Son los ejes que pasan por el centro de masa del cuerpo y respecto a los cuales hay una distri- bución simétrica de masa. Estos ejes se representan mediante las coordenadas (X0, Y0, Z0), y se consideran fijos al cuerpo de forma tal que, se trasladan y giran con él.El momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje principal se denomina momento de inercia principal y se representa por Io. El momento de inercia principal se calcula multiplicando la masa por el correspondiente radio de giro de la Tabla 1.


Io = m Ko2 (11)

RADIO DE GIRO. Es la distancia, perpendicular al eje de rotación, a cual debe colocarse toda la masa de un cuerpo para producir el mismo momento de inercia que se obtiene en su forma regular. El radio de giro se representa por Ko

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Ejemplos:


1.- Para la esfera de la de la Fig.3, un eje principal es el eje Zo, o cualquier otro eje que pase por su centro O. Su momento de inercia principal es:

R

m

o

Zo

Figura 4

Io = m Ko2 = m ( )2R2

5Que según la Tabla 1

2R2

5Ko

2 = ( )

Esto significa que el momento de inercia principal de la esfera es equivalente al de una masa puntual m, de igual valor a la del cuerpo, ubicada a la distancia Ko respecto al eje de rotación principal. Fig.5

Z o

mK o o

Figura 5

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2. Para el cilindro, de la Fig. 6, un eje principal es el eje de simetría Zo y cualquier eje Xo ó Yo que pase por el centro de masa (C) y sea perpen-dicular al eje de simetría. Los momentos de iner-cia principales respecto a estos ejes son:

Ioz = m ( ) R2

23. Para el paralelepípedo, de la Fig.7,.un eje principal es cualquier eje perpendicular a una cara y que pase por su centro geométrico. Los momentos de inercia principales son:

Iox = m ( ), b2+ c2

12 Ioy = m ( ),

a2+ c2

12 Ioz = m ( )

a2+ b2

12

Zo

Xo

Yo

R

LC

Figura 6Zo

c

b

a

Xo

Yoo

Figura 7

Iox = Ioy = m ( + ) R2

4

L2

12y


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TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS (TEOREMA DE STEINER).

Este teorema relaciona el momento de inercia I de un cuerpo respecto a un eje (Z´), paralelo al eje principal (Zo), con el momento de inercia Io , respecto al eje principal (Fig.7).

Si d es la distancia entre los ejes paralelos Z` y Zo.

I = Io + m d 2 (12)

Donde Io el momento de inercia respecto al eje principal.

Io = m Ko2

El radio de giro Ko2 para algunos cuerpos

de forma geométrica regular se muestra en la Tabla 1.

C.M

d

Z’ Zo

Eje paralelo

Eje principal

Figura 8


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Ejemplo 5. El paralelepípedo de la Fig.9 gira a razón de 1800 r.p.m alrededor del eje Z’. Si m = 4 kg, a = 2 b = 60 cm, calcular su energía cinética de rotación.

Solución

Donde I se obtiene aplicando el Teorema de los Ejes Paralelos

I = Io + m d 2

El momento de inercia respecto al eje principal es

Io = m Ko2

y según la Tabla 1

La energía cinética de rotación esEkr = ½ I 2

a2 + b2

12Ko

2 =

Z’Zo

d

ab

cm

Figura 9


11/04/23 08:38 14


Entonces a2 + b2

12Io = m ( )

Para calcular la distancia “d ” entre ejes paralelos visualizamos frontalmente la cara superior, como se muestra en la Fig. 10.

(2d ) 2 = a 2 + b 2

Como a = 2b (2b)2 + b2

12Io = m ( )

5

12Io = m b 2

4d 2 = (2b ) 2 + b 2

Aplicando el Teorema de Pitágoras se tiene:Z’Zod db

aFigura 10

d 2 = b 25

4


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Entonces

Con una frecuencia de rotación de f = 1800 r.p.m = 30 rev/s, la velocidad angular del cuerpo es

5

12I = m b2 + m ( b 2 )

5

4

I = m b25

3

= 2 f = 2 (30)

= 60 rad/sLuego

Usando valores

I = (4)(0.30)25

3I = …....... kg.m2

Ekr = ……….. JEkr = ½ (0.6)(60)2


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Ejemplo 7. Calcular la energía cinética de rotación del sólido de la Fig. 11, el cual gira a razón de 4500 r.p.m alrededor del eje Z’. Además se sabe que m = 2 kg y L = 5R = 25 cm.

Solución.

Donde el momento de inercia del sólido es la suma de los momentos de inercia de cada una de sus partes.

I = I1 + I2

La energía cinética de rotación esEkr = ½ I 2

Para calcular el momento de inercia de cada parte, que es un cilindro, dibujamos en forma completa el cilindro que se está analizando, mientras que al otro lo dibujamos con líneas punteadas (forma virtual).

R

R

Z’

L

L/2

L/2m

m

Figura 11


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Aplicando el Teorema de los Ejes Paralelos al cilindro vertical de la Fig.12, se tiene:

I1 = Io1 + m d12

El momento de inercia respecto al eje principal Zo es

Io1 = m K012

Según la Tabla 1, el radio de giro es K01

2 = R2/2. LuegoI01 = m R2/2

Según la figura, la distancia entre ejes paralelos es d1 = R. Entonces

I1 = m R2/2 + m R2

I1 = m R23

2

Z’

R

L/2

L/2m

d1 = R

Zo1

Figura 12


11/04/23 08:38 18


Ahora, para el cilindro horizontal de la Fig. 13, por el Teorema de los Ejes paralelos, se tiene:

I2 = Io2 + m d22

El momento de inercia respecto al eje principal Zo es

Io2 = m K022

K022 = +

R2

4

L2

12

Según la Tabla 1, el radio de giro es

Entonces

I02 = m ( + )

R2

4

L2

12

R

Z’

L/2

L/2

L/2m

L/2

d2

R

Zo

2

Figura 13


11/04/23 08:38 19


Usando la relación L = 5R se tiene

I02 = m ( + )

R2

4

25R2

12

I02 = m R27

3Según la figura, la distancia entre ejes paralelos es d2 = 2R + L/2 y como L = 5R tendremos que: d2 = 2R + 5R/2 = 9R/2.

I2 = m R2 + m ( )7

3

81R2

4

I2 = m R2 271

12

Entonces


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Finalmente, el momento de inercia total del cuerpo es

I = m R2 + 3

2m R2

271

12

I = m R2 289

12

Usando los valores numéricos m = 2 kg y R = 5 cm = 0,05 m, obtenemos

I = (2)(0.05)2 289

12

I = …… kg.m2


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Como la frecuencia de giro es f = 4500 r.p.m = 75 rev/s, entonces la velocidad angular del cuerpo es

= 2 f = 2 (75)

= 150 rad/s

Ekr = …………. J

Finalmente, la energía cinética de rotación del cuerpo es

Ekr = ½ (0.12)(150)2


RELACION ENTRE TORQUE Y ACELERACION ANGULAR


Sabemos que uno de los efectos de la fuerza neta es la rotación del cuerpo sobre la cual actúa.

Consideremos que el cuerpo de la Fig.14 está formado por un número infinito de partículas de masa mi . Si el cuerpo gira alrededor del eje Z, cada una de estas partículas gira describien-do una circunferencia de radio ri.

FTi = mi aTi

La aceleración tangencial aTi de cada partícula, es producida por la fuerza tangencial externa

FTiri

Z

i

mi aTi

Figura 14

11/04/23 08:38 22Segundo L. Gallardo Z.

El torque, respecto al eje Z, producido por esta fuerza sobre la


i = ri mi ri

partícula es

i = (mi ri2)

De módulo i = ri FTi sen 90°

i = ri FTi

Usando el valor de la fuerza

i = ri mi aTi

y como la aceleración tangencial de mi es aTi = ri

i = ri x FTi


Es importante hacer notar que cada partícula del cuerpo tiene diferente aceleración tangencial aTi pero la misma aceleración

angular


i = I

Esta ecuación es denominada la Segunda Ley de Newton aplicada al movimiento de rotación.

Para obtener el torque total sobre el cuerpo rígido sumamos los torques sobre todas las partículas

i = ( mi ri2)

Donde: I = mi ri2 es el momento de inercia del cuerpo rígido.

Luego

(13)


Ejemplo 8. En la Fig.15 se tiene una pieza cilíndrica maciza que puede girar libremente alrededor del eje central Z. Una cuerda envuelta alrededor del cilindro mayor, de radio R1 = 1,0 [m] y masa m1 = 5,0 [kg], ejerce una fuerza F1 = 9,0 [N] hacia la derecha del cilindro. Una segunda cuerda envuelta alrededor del cilindro menor, de radio R2 = 0,50 [m] y masa m2 = 2,0 [kg], ejerce una fuerza F2 = 15,0 [N] hacia abajo sobre el cilindro.


Calcular: a) El torque neto que actúa sobre el cilindro con respecto al eje de rotación y en qué dirección gira el cuerpo partiendo del reposo? y b) La energía cinética de rotación después de haber girado 600 vueltas con acelera-ción angular constante.

X

Y

Z

R1

R2

F1

F2 Figura 15



Datos: F1 = 9,0 [N], R1 = 1,0 [m], F2 = 15,0 [N], R2 = 0,50 [m], m1 = 5,0 [kg], m2 = 2,0 [kg] y N = 600 vueltas

Solución:

i = – 1 + 2

Según la Fig.16, el torque neto, respecto al eje Z, que actúa sobre el cuerpo es:

i = I

i = – R1 F1 + R2 F2

a) Aplicando la segunda ley de Newton a la rotación, el torque neto sobre el cuerpo es:

Usando valores

i = ….. [m.N]

i = – (1)(9,0) + (0,50)(15,0)

Este resultado nos indica que el cuerpo gira en sentido ……….F2

F1

R1

R2°Z(+) (-)

Figura 16



b) La energía cinética de rotación es

Ekr = ½ I 2

Donde el momento de inercia del cuerpo es

I = I1 + I2

Según la figura, el eje Z es eje principal para los dos cilindros. Por lo tanto

I1 = ½ m1 R12

y I2 = ½ m2 R22

I = …….. [kg.m2]

I = ½ m1 R12 + ½ m2R2

2 Entonces:

I = ½ (5,0)(1,0)2 + ½ (2,0)(0.50)2



Para calcular la velocidad angular usamos la ecuación

donde la aceleración angular la podemos obtener de la ecuación del torque

i = I

2 θ = 2

Donde usamos el valor del torque neto (valor absoluto) y el el valor del momento de inercia obtenidos anteriormente.

1,5 = 2,75

= …… [rad/s2 ]

y el ángulo descrito se obtiene del número de vueltas realizadas

N = θ/2 θ = 2 N


Usando valores


θ = 2 (600) θ = 1200 [rad]

Entonces la velocidad angular es

2 = 2 θ = 2(1200 )(0,55)

2 = 4146,9 (rad/s)2

Por lo tanto, la energía cinética de rotación es

Ekr = ½ I 2 = ½ (2,75)(4146,8)2

Ekr = ……….. [J ]


MOVIMIENTO DE TRASLACION Y ROTACION SIMULTÁNEOS

r

o

Eje v

vCM = v

Figura 17.


Ahora analicemos el movimiento de traslación y rotación simul-táneos de un cuerpo rígido que gira respecto a un eje fijo y se traslada con él.

En la Fig.17 se tiene un disco que gira con velocidad angu-lar alrededor de su eje prin-cipal adherido al disco y paralelo a la superficie de rodadura

Este análisis es válido solamente para cilindros, esferas y aros, que ruedan (no se deslizan) sobre superficies planas ásperas. La fricción en este caso solamente produce el torque que hace girar al cuerpo y no afecta su energía cinética.

x

o


Al girar el disco, cada punto de contacto con la superficie tiene ve-locidad tangencial v = r, que a su vez, es la velocidad de trasla-ción de su centro de masa.


Como el cilindro se traslada y rueda sin patinar, adquiere dos energías cinéticas.

Energía cinética de traslación del centro del cilindro definida como

Ekr = ½ I 2

Ekt = ½ m v2

Energía cinética de rotación respecto al eje principal, definida como

Por lo tanto, la energía cinética total del cilindro es:


Ek = ½ m v2 + ½ I 2 (14)


Ejemplo 9. En la Fig.18 se tiene un disco de masa 3,5 kg y radio 6,0 cm que rueda sin deslizarse hacia arriba sobre un plano incli-nado en un ángulo θ = 37°. En el instante en que el disco está en la posición S = 2,0 m su velocidad es 2,40 m/s. El disco continúa ro-dando hacia arriba una distancia adicional S´, sin salirse del plano, y luego rueda de vuelta hacia abajo. Calcular la altura máxima “yB” que asciende el disco rodando sobre del plano

Datos

m = 3,5 kg,

r = 6,0 cm = 0,06 m,

S = 2,0 m,

vA = 2,40 m/s.

S

θ

S´ AvA

r

B

Figura 18

yB



Solución. El disco rueda hasta el punto B donde su velocidad es cero y desde allí retorna rodando hacia abajo.

Para calcular S´, aplicamos el principio de conservación de energía entre los puntos A y B.

EA = EB

(Ec + Ep)A = (Ec + Ep)B

½ m (vA)2 + ½ I (A)2 + m g yA = ½ m (vB)2 + ½ I (B)2 + m g yB

½ m [(vA)2 – (vB)2] + ½ I [(A)2 – (B)2] = m g( yB – yA)

yB = (S + S´) sen θ

La altura máxima que asciende el disco esta dado por

SvA

θ

S´

r

AB

yA

vB = 0

Figura 19

yB



Según la Fig.19 tenemos que:

vB = 0 y como B = vB/r, entonces B = 0, (yB – yA) = S´ sen θ

Sustituyendo estos valores se tiene:

½ m (vA)2 + ½ I (A)2 = m g S´ sen θ

Simplificando y despejando S´ tenemos

Como el disco rueda girando alrededor de un eje principal su momento de inercia es I = ½ m r2. Además A = vA / r

Entonces:½ m (vA)2 + ½ (½ m r2)(vA/r )2 = m g S´ sen θ

S´ = 3 (vA)2

4 g sen θ



Usando valores obtenemos:

yB = (2,0 + 0,73) sen 37

yB = ……. m

Por lo tanto, la máxima altura que asciende el disco, respecto a la base del plano, es

S´ = 3 (2,40)2

4 (9,81)sen 37°S´ = …… m


11/04/23 08:38 36

ANEXO: CÁLCULO DEL MOMENTO DE ANEXO: CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE SÓLIDOINERCIA DE SÓLIDO

CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN SÓLIDO

Donde dm es la masa de un elemento de volumen dV del cuerpo, que gira alrededor del eje Z, como en la Fig. 1, describiendo una circunferencia de radio R. Si es la densidad del cuerpo, entonces: dm = dV

dm

Como indicamos en la diapositiva (6) usando el cálculo integral y diferencial podemos calcular el momento de inercia usando la integral

I = R2 dm (1)

R

R

yx

z

Z

Y

X

o

Figura 1


11/04/23 08:38 37


Que si el cuerpo es homogéneo su densidad es constante

En la Fig.1. vemos que: R2 = x2 + y2, entonces el momento de inercia del cuerpo del cuerpo respecto al eje Z se puede expresar en la forma

I = R2 dV (2)

Iz = (x2 + y2) dv (3)


Iz = x2 dv + y2 dv (4)

Como se puede ver las dimensiones paralelas al eje de rotación Z no intervienen en esta expresión. Similares relaciones se pueden obtener para rotaciones del cuerpo alrededor del eje X o eje Y.

Ix = y2 dv + z2 dv (5)

Iy = x2 dv + z2 dv (6)

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Si el cuerpo es una placa delgada, como se indica en la Fig.2, el momento de inercia respecto a los ejes X y Y, se puede escribir en la forma

Porque la coordenada Z es esencialmente cero.

Sumando estas dos ecuaciones obtenemos:

Resultado que es similar al de la Ec. (3) y es válido solamente para placas delgadas.

Ix = y2 dv (7)

Iy = x2 dvy

X

Y

Z

o

xR

y

Figura 2 Iz = Ix + Iy (8) = ( x2 + y2 )dv


11/04/23 08:38 39


Ejemplo 1. Determinar el momento de inercia del paralelepípedo sólido de la Fig. 3, que gira con velocidad angular constante alre-dedor del eje de simetría Zo (Eje principal)

Solución

Consideremos que el sólido es homogéneo de densidad y centrado en el sistema (Xo ,Yo ,Zo ).

En primer lugar hallamos el momento de inercia de una placa delgada de área A = a b, paralela al plano (Xo ,Yo ), que gira alrededor del eje Xo.

La intersección de las líneas de puntos en cada una de las caras del paralelepípedo nos indican el punto por donde pasan los respec-tivos ejes de rotación Xo ,Yo ,Zo

a

b

Zo

Yo

Xo

c

o

Figura 3


11/04/23 08:38 40


Si en la placa de la Fig.4 tomamos un elemento de área dA = a dy, su momento de momento de inercia respecto al eje Xo es

Ixo = a b3 /12 = (a b )b2 /12

Donde: (a b ) = A, es el área de la base del paralelepípedo.

Luego entonces

Ixo = A ( ) b2

12

Ixo = a ∫- b/2 y2 dyb/2

Una expresión similar obtenemos para el momento de inercia de esta placa si consideramos que gira alrededor al eje Yo .

Yo

Zo

bXo

oy

ca

a

dy

b

Figura 4

Ixo = ∫ y2 dA = ∫- b/2 y2 a dy b/2


11/04/23 08:38 41


Tomando en la placa, de la Fig.5, un elemento de área dA = b dx, su momento de inercia respecto al eje Yo es.

Iyo = b a3 /12 = (a b ) a2 /12

Donde: (a b ) = A, es el área de la base del paralelepípedo.

Luego entonces

Iyo = A ( ) a2

12

Iyo = b ∫- a/2 x2 dxa/2

Yo

Zo

bXo

o

c

a

a

dxbX

Figura 5

Iyo = ∫ x2 dA = ∫- a/2 x2 b dx

a/2


11/04/23 08:38 42


El momento de inercia de la placa respecto al eje Zo se calcula usando la Ec.(8).

Izo = Ixo + Iyo

Izo = A ( ) +

b2

12 A ( )

a2

12

Izo = A ( ) a2 + b2

12

Ahora, consideremos que la placa de área A = a b, tiene un grosor c y una densidad . El momento de inercia respecto al eje Zo es

Izo = c A ( ) a2 + b2

12


11/04/23 08:38 43


El término c A = V = m, es la masa del paralelepípedo.

Entonces el momento de inercia del paralelepípedo respecto al eje Zo , que pasa por su centro de masa es

Izo = m ( ) a2 + b2

12

Como se notará en la fórmula no interviene el lado c, que es la arista paralela al eje de rotación. Esto indica que el momento de inercia solamente depende de la distribución transversal de masa respecto al eje de rotación.

La determinación del momento de inercia de otros sólidos regulares no es tema de análisis del presente curso, será tratado más adelante en los cursos de matemáticas II y dinámica.


Fin

rotaciÓn de cuerpo rigido i

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