cur so entren adores 2014

8/17/2019 Cur So Entren Adores 2014

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Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Curso de entrenadores 2014

Edición: Leonardo I. Mart́ınez Sandoval

9 de diciembre de 2014


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Índice general

1. Introducción 51.1. Curso de entrenadores 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Participantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Organizacíon estatal 72.1. La Olimpiada en Nuevo León . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Cómo ser un (buen) entrenador (de Olimpiada) . . . . . . . . 72.3. Álgebra en Cuernavaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3. Filosof́ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.4. El entrenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Álgebra y teoŕıa de números 173.1. Temario álgebra y teoŕıa de números . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Problemas álgebra y teoŕıa de números . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1. Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2. Propiedades de los números (operaciones: suma, pro-

ducto. Existencia de los inversos) . . . . . . . . . . . . 193.2.3. Sucesiones y patrones numéricos . . . . . . . . . . . . . 223.2.4. Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.5. Múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.6. Maximo común divisor y mı́nimo común múltiplo . . . 26

3.2.7. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.8. Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.9. Sumas de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.10. Operaciones básicas con lenguaje algebraico . . . . . . 323.2.11. Leyes de los signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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4 ´ INDICE GENERAL

3.2.12. Simplificación de fracciones algebraicas . . . . . . . . . 33

3.2.13. Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.14. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.15. Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.16. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.17. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.18. Desigualdades e inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Combinatoria 414.1. Temario introductorio para combinatoria . . . . . . . . . . . . 414.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5. Geometŕıa 45


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Caṕıtulo 1

Introducción

1.1. Curso de entrenadores 2014

Cada año la Olimpiada Mexicana de Matemáticas organiza un curso deentrenadores para preparar a estudiantes y profesores que quieran dar entre-namientos en los niveles estatales. En 2014 este curso se llevó a cabo del 10al 13 de abril en CIMAT, Guanajuato, Guanajuato.

Este es un documento que recopila el trabajo realizado en el curso. Poruna parte, se compartieron experiencias exitosas acerca de la organizaciónde algunas olimpiadas estatales. El ob jetivo de esto fue compartir la filosof́ıay la loǵıstica que se tiene en distintos estados del páıs. La participación eneste sentido fue rica y se compartieron varios puntos de vista.

También hubo una parte matemática importante. Se habló de los temasbásicos en cada una de las áreas de la Olimpiada: álgebra, combinatoria,geometrı́a y teorı́a de números. Una gran parte del trabajo fue realizadopor los asistentes. Ellos compartieron sus ideas y colaboraron para armar

temarios de estas áreas. Además, participaron en la creación de más de 160problemas que se compilan en las siguientes secciones. Esta enorme colecciónes un excelente punto de partida para la creaci ón de exámenes de primerasetapas y para la elaboración de listas de trabajo en las primras sesiones deentrenamiento.

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6 CAP ́ ITULO 1. INTRODUCCI ́ ON

1.2. Participantes

A continuación se enlistan los asistentes al curso de entrenadores. Se agra-dece su participación, sin la cual este documento no seŕıa posible: AlejandroContreras Balbuena, Alfredo Saracho Durán, Alicia Ramón Barrios, AntonioRosales Rivera, Ashley Antonio Olmedo Ortiz, Beatriz Adriana AlvaradoCastro, Benito Fernando Mart́ınez Salgado, Blanca Yazmı́n Radillo Mur-guı́a, Carlos Alberto Sánchez Torres, Carlos López González, Carmen Jazmı́nIsáıas Castellanos, Cecilia Edith Hernández Fregoso, Claudia Lućıa GuerreroGonzález, Delfo Urbina Hernández, Demian Espinosa Ruiz, Diego Terán Rı́os,Edward Melchisedech Navarrete Pineda, Efraı́n Casillas Carrillo, Eugenio Da-niel Flores Alatorre, Francisco Flores Maćıas, Francisco Gómez Hernández,

Gabriel Gutiérrez Garcı́a, Hernán Rafael D́ıaz Martı́n, Jair Remigio Juárez,Jesús Arturo Lucio Coronado, Jesús Eduardo Ŕıos Rochin, Jesús EduardoŔıos Torres, Jorge Fernández Hidalgo, José Félix Garcı́a Goitia, José Luis delÁngel Medelĺın, Juan Camacho Cordero, Juan Gabriel Geraldo Hernández,Julio Rodŕıguez Hernández, Marcelino Ramı́rez Ibáñez, Marı́a Araceli JuárezRamı́rez, Maŕıa del Rosario Soler Zapata, Maŕıa del Rosario Velázquez Ca-macho, Marı́a Guadalupe Russell Noriega, Mart́ın Velasco Hernández, MelidaCarranza Trejo, Miguel Santoyo Mondragón, Nancy Janeth Calvillo Gueva-ra, Norberto Ordoñez Ramı́rez, Owen Yael Mireles Briones, Paulina LinaresArroyo, Rafael Salgado Velázquez, Ramón Jardiel Llanos Portales, RogelioReyes Palma, Roger Ramos Ramos, Rosario Santillán Baltazar, Rosaura del

Carmen Garcı́a de la Rocha, Salvador Segovia Gastelum, Saúl Dı́az Alvara-do, Silvia Evelyn Ward Bringas, Ulises Juan Carlo González Reina, V́ıctorAntonio Aguilar Arteaga, Viviana Rivera Monjaras y Zeus Caballero Pérez.

Aśı mismo, el curso se llevó con agilidad y hacia el camino correcto graciasa cada uno de los encargados de las distintas secciones

Héctor Raymundo Flores Cantu

Luis Miguel Garcı́a Velázquez

Hugo Villanueva Méndez

César Octavio Pérez Carrizales

Rogelio Valdéz Delgado

Leonardo Ignacio Mart́ınez Sandoval


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Caṕıtulo 2

Organización estatal

En la parte de organización estatal se compartieron varias experienciasde cómo organizar entrenamientos o temas. Los participantes fueron los si-guientes:

Héctor R. Flores Cantú

Eugenio D. Flores Alatorre

Rogelio Valdéz Delgado

2.1. La Olimpiada en Nuevo León

Por Héctor Flores Cantú

2.2. Cómo ser un (buen) entrenador (de Olim-

piada)

Por Eugenio Daniel Flores Alatorre - [email protected] me propuse empezar a escribir este pequeño texto, quise hacer

memoria de cómo fueron mis primeros pasos como entrenador de Olimpiadaen San Luis. La verdad no recuerdo mucho pero fue algo bastante improvisa-do: nadie me dijo cómo, sólo me dieron una lista de problemas casi idénticaa la que habı́a tenido en mis manos un año atrás como participante. Cuandoquise recordar cómo han sido los primeros pasos de los nuevos entrenadores,

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8 CAP ́ ITULO 2. ORGANIZACI ́ ON ESTATAL

la verdad es que lo único que ha cambiado es que ahora ni siquiera les doy

una hoja de problemas. Supongo que la mayoŕıa de nosotros nos aventura-mos en esto tratando de imitar lo bueno que recibimos y evitar lo que no nosgustó tanto.

Aunque me he encontrado gente genuinamente talentosa en cada distintaactividad, estoy convencido de que la mayoŕıa de nosotros podemos suplirnuestras deficiencias con trabajo, esfuerzo y dedicación hasta llegar a fingirtalento que termina por ser indistinguible. Escribo esto pensando no s óloen ex-oĺımpicos que desean estar ahora del otro lado, tambíen en profesoresy hasta padres que quieren ayudar a preparar grupos de olimpiquitos decualquier nivel. En principio, me parece que lo que uno necesita para ser unbuen entrenador de Olimpiada no es distinto de lo que uno necesita para ser

un buen profesor, que resumiŕıa en un proceso ćıclico de tres tiempos.

1. Antes

La primera parte del trabajo empieza en la preparación, que es en dossentidos: tu preparación personal que te permite dominar los temaso estrategias que quieres trabajar en la sesión y la preparación de lasesión misma, ya sea elaborar una buena lista de problemas, algún ma-terial manipulable, analoǵıas, videos, ejemplos. Este antes se resume endos preguntas: qué y cómo. Entiendo que en nuestro contexto tengamosuna visión muy satanizada de la planeación; en la Olimpiada, ésta no estanto una traba burocrática con formatos ŕıgidos sino una gúıa para ti,un resumen de tu estrategia de combate que a lo mejor ni siquiera tienesque escribir: con qué problemas voy a motivar los temas, qué ejemplosayudan a empezar la generalización, cuáles contraejemplos pueden serútiles, de qué manera se puede ser más claro, qué problemas son re-tadores pero posibles y cuánto tiempo dedicar a cada actividad. Laventaja de tener todo escrito es que puede ser reutilizado, mejorado,compartido.

2. Durante

Este paso del proceso tiene que ver con la ejecución de tu estrategia y tu

desempeño general frente al grupo de olimpiquitos. Una de las primerascosas que hay que hacer es ayudar a generar y mantener un ambientede mucha confianza y respeto: cuando los olimpiquitos no tienen miedode preguntar, de comentar sus intentos de solución, ni de equivocarsefrente a sus compañeros se puede trabajar mucho mejor.


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2.2. C ́ OMO SER UN (BUEN) ENTRENADOR (DE OLIMPIADA) 9

Muchos de los aspectos que tienen que ver con la comunicación los irás

perfeccionando con la experiencia: a cuidar tus palabras y expresiones,tus gestos, atender con la mirada a todo el grupo, reconocer cuándoalguien tiene dudas, ayudarte de los alumnos más avanzados, etcétera;es por eso que es tan importante el ambiente de respeto: todos puedenequivocarse, tú inclúıdo, y no tiene nada de malo.

Por supuesto, aquı́ entra en juego tu capacidad para hacer un diagnósti-co rápido sobre si tu estrategia está o no funcionando y cambiar elrumbo, a veces improvisar. También, es algo que irás ganando con ex-periencia: proponer rápidamente un contraejemplo, señalar el error enun razonamiento, guiar las respuestas con preguntas, inventar ejercicios,contar chistes y anécdotas, buscar una explicación desde otro ángulo,

anticipar dudas y errores comunes.

3. Después

Cuando termina la sesión es hora de la reflexión: qué hice bien, qué pu-de haber hecho mejor. La reflexión es también doble, sobre el qué ysobre el cómo: ¿me entendieron? ¿me salté algún tema necesario? ¿lesdi suficiente tiempo para pensar los problemas? ¿terminé resolviendotodos los problemas yo? ¿los problemas fueron muy dif́ıciles o muy sen-cillos, demasiados o muy pocos? ¿mis explicaciones fueron suficientes,mis ejemplos buenos? Las respuestas que tú mismo encuentres a estas

preguntas, o las que puedan darte tus olimpiquitos, deben ayudarte apreparar tu próxima sesión y aśı volvemos a empezar.

Aunque el t́ıtulo de este texto pudiera aśı sugerirlo, la verdad es que nohay recetas; lo que funciona es trabajar mucho y trabajar bien. Si trabajasmuy bien, a lo mejor no hace falta trabajar demasiado; pero si trabajas bien,probablemente tuviste que trabajar mucho antes. No es cosa de que necesitestodo esto antes de empezar, al principio te alcanza con tus ganas de ayudar,lo que sabes y algo de sentido común.

Además de estos pasos, hay algunas cosas que permean todo el procesoy es importante que tengas en cuenta, más como consejos que no se me

ocurrió juntar de otra manera:

Contagia entusiasmo

Si has estado cerca de la Olimpiada, seguro sabes que la mayoŕıa deltrabajo se hace en el tiempo libre de todos, el tuyo, el de los alumnos, y


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que, además, es escasamente recompensado, sobre todo económicamen-

te. El punto aqúı es: si ya todo mundo le está dedicando sus vacacionesa trabajar en la Olimpiada, ayuda a que sea una experiencia agradablepara todos. Muéstrales que hay belleza en las ideas, en los teoremas ylas soluciones, emociónate genuinamente de sus avances, interésate porsus dudas y sus metas, disfruten el tiempo de descanso juntos, plat́ıcalestus anécdotas de participante, si es el caso.

No tengas miedo a experimentar

Lo más sencillo y normal para todos es tratar de repetir la maneraen que nos enseñaron a nosotros, sobre todo si funcionó bien. Proba-blemente los que son profesores de escuela ya tienen una din ámica de

trabajo, algunos ejemplos, métodos y orden: tu grupo de Olimpiada esun buen lugar para jugar con los ĺımites, ver qué tanto puedes empujartus métodos y teoŕıas didácticas, poner a prueba otros órdenes en loscontenidos, otras explicaciones.

Tus alumnos te van a superar

Al menos eso esperamos todos y es una buena señal de que hacemos unbuen trabajo. Esto sigue presentando un reto importante y una oportu-nidad para seguir mejorando. Sobre todo, intenta ser de ayuda: propónproblemas retadores aunque no los sepas resolver, mucho mejor si almenos tienes una idea de cómo empezar, y sigue muy de cerca sus ra-zonamientos para poder encontrarles un error y ofrecer contraejemplos,ideas, sugerencias.

Comparte experiencias y pide ayuda

Según he podido observar, el tema favorito de muchos de los que tra-bajan cerca de la Olimpiada es la propia Olimpiada. No tengas miedode acercarte a los entrenadores que admiras o reconoces para pedirlesconsejo pues en general no te lo negarán, aunque seguramente no tienenmucho tiempo libre ası́ que muestra paciencia. En particular, es impor-tante que tengas esta buena comunicación con la gente que entrena en

tu mismo estado para que sepan coordinarse y mejorar. Conforme vayasganando experiencia, te toca compartirla con los demás: haz públicaslas estrategias que te han servido, los problemas que crees más útiles,los ejercicios que te parecen más ilustrativos, las soluciones que más tegustan, etcétera.


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2.3. ´ ALGEBRA EN CUERNAVACA 11

Está bien tomar un descanso

Este, como casi todos, es más fácil decirlo que hacerlo. Si te das cuentaque tu práctica ha ido decayendo, ya no tienes ganas de preparar tusentrenamientos, te cansas más rápido, nunca andas de humor, sientesque pierdes el tiempo, a lo mejor es momento de descansar un rato,tomar un año sabático por ejemplo. La Olimpiada no debeŕıa ser unobstáculo para tu desarrollo personal o profesional, no es una excusapara no terminar tu tesis, por ejemplo. Debeŕıa ser una motivación yun lugar feliz de trabajo.

Al final, lo que me parece que marca tu manera de entrenar se resumeen qué tanto dominas lo que quieres enseñar y en todo eso que llamamos

“vocación”: las ganas que tienes de hacer todo lo posible porque tus alumnosaprendan eso que tú sabes.

2.3. Álgebra en Cuernavaca

Por Rogelio Valdéz Delgado

2.3.1. Introducción

Álgebra se ha convertido en un área fundamental en las olimpiadas. Sonfrecuentes los problemas de ese tema que aparecen en los concursos, y sontambién frecuentes los problemas de otras áreas que hacen uso del álgebrapara su solución. Es importante entonces señalar las principales herramientasde álgebra que un alumno deberá asimilar paso a paso en su preparación paralos concursos y olimpiadas de matemáticas.

Durante esta discusión mostraremos el desarrollo del entrenamiento deálgebra, en el estado de Morelos, que se lleva a cabo de mayo a noviembrede cada año, como preparación de los alumnos participantes en la olimpiadadel estado.

2.3.2. Descripción

La olimpiada de matemáticas en el estado de Morelos, los exámenes yentrenamientos, está dividida en varias etapas con un número decrecientede alumnos al pasar de una etapa a la otra. La primera etapa empieza con


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un examen estatal de opción múltiple, este examen consiste de 20 pregun-

tas, dentro de las cuales siempre aparece al menos un tercio de problemasalgebraicos o de otra área que necesitan conocimientos básicos de álgebra.Hay que tomar en cuenta que temas de combinatoria y teoŕıa de números seestudian muy poco a nivel secundaria o preparatoria.

A los alumnos seleccionados con este primer examen, se les imparte unentrenamiento de 4 sábados consecutivos, el primero de estos 4 entrenamien-tos está dedicado al álgebra. En este primer entrenamiento de álgebra se lesimparte una clase de 2 horas en temas muy básicos de álgebra como son:

Productos Notables

Factorizacíon

Valor absoluto

Desigualdad básica (todo número elevado al cuadrado es mayor o igualque cero)

Sumas simples (suma de los primeros n naturales, suma de los cuadra-dos de los primeros n naturales)

Una vez que se concluye esta clase, los alumnos se dividen en grupospequeños de 20 alumnos y se les imparte un taller de 3 horas en resoluciónde problemas de álgebra, donde los problemas se resuelven usando las ideasvistas en la clase. La manera en como se ha trabajado en años anteriores,es el hecho de darle al alumno una serie de problemas tipo olimpiada, paralos cuales, el estudiante debe tener un tiempo razonable para resolverlos.El profesor eventualmente deberá resolver los problemas, ya sea pidiendo aalgún estudiante que pase al pizarrón o el mismo, pero siempre asegurándosede que la mayor parte de los alumnos entienda la soluci ón.

Al resolver un problema, se puede intercalar la solución con alguna expli-cación extra de la teoŕıa que se crea pertinente, y siempre contestando todaslas dudas de los estudiantes. Siempre hay que motivar y propiciar la partici-pación de los estudiantes, en la manera que sea crea conveniente, teniendo un

dialogo con el alumno lo más personal que se pueda. La idea es hacer sentiral alumno, que las matemáticas en la olimpiada son diferentes y mejores quelas que se les enseña en sus escuelas.

Despúes de estos cuatro entrenamientos se les aplica un segundo exa-men, ya tipo olimpiada el cual nos permite seleccionar el grupo con el cual se


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trabajará durante los siguientes meses. A partir de este momento, los entrena-

mientos son dos d́ıas a la semana, 8 horas cada d́ıa, durante aproximadamente5 meses.

2.3.3. Filosof́ıa

Existen cuatro áreas de las matemáticas en la olimpiada de matemáticas:álgebra, geometrı́a, combinatoria y teoŕıa de números. Cada una de estasáreas requiere técnicas diferentes para su enseñanza y cada una tiene susproblemas espećıficos de aprendizaje. Además, para dominar cada una deellas se requiere la resolución de gran cantidad de problemas.

Durante nuestro proceso de entrenamiento, se le da más importancia al

álgebra que a las otras áreas, en el sentido de que alrededor de una terceraparte del entrenamiento se dedica exclusivamente al álgebra. La razón deesto es que nosotros consideramos que el álgebra es formativa para los alum-nos, además de que gran cantidad de problemas de las otras áreas requierenconocimientos de álgebra. Los temas que se enseñan en álgebra, no estánpensados en el sentido de esperar algún problema que se resuelva con esetema en espećıfico, sino con la idea de que ese conocimiento particular deltema pueda ayudar al estudiante a resolver varios problemas, que requieranese tema como una parte de la solución global del problema.

Como un ejemplo importante a lo anterior, se podrı́a mencionar el princi-pio de inducción el cual, si se entiende y domina, es una herramienta poderosaen la resolución de problemas, no sólo en cualquier área de la olimpiada, sinoen las matemáticas en general.

2.3.4. El entrenamiento

Primera parteAqúı se presentan los temas que consideramos preliminares del álgebra,

es decir, los cuales se podrı́an considerar básicos. Usualmente estos temas loscubrimos en tres sesiones de entrenamiento de 8 horas cada una, haciendoénfasis en la teoŕıa, con problemas como ejemplos, y no tanto en la resolución

de problemas tipo olimpiada. Esto se les presenta a los alumnos entre mayoy junio.

1. Números. Definir los diferentes tipos de números con los cuales se tra-baja, es decir, naturales, enteros, racionales, reales, etc. Su localización


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en la recta real, propiedades de las operaciones básicas de suma y mul-

tiplicación, aśı como la noción de orden. Sistemas numéricos. Ejemplot́ıpico de problema: mostrar que la raı́z cuadrada de un primo no es unnúmero racional.

2. Valor absoluto. Es importante que el alumno tenga claro este conceptopues nos lleva directamente a la desigualdad de triángulo. Además dela definición, es conveniente ver las propiedades y resolución de ecua-ciones con valor absoluto. En el concurso nacional del 2004 apareció unproblema con valor absoluto.

3. Productos notables. Entre más productos notables se conozcan, más

herramientas y rapidez tiene el alumno para resolver cierto tipo deproblemas. Una buena referencia es el libro de Baldor. Es muy im-portante conocer, por ejemplo, como elevar al cuadrado un binomio,trinomio, o alguna expresíon con más de 3 términos. Ejemplo, examenestatal segunda etapa 2014.

4. Factorización. En general, la factorización es el proceso inverso de losproductos notables, por lo cual puede ser un poco más dif́ıcil de do-minar. Es importante para el alumno conocer los diferentes tipos defactorización de sumas y diferencias de potencias n-ésimas, aśı como laidentidad de Sophie Germain. En problemas del tipo de mostrar que

ciertas expresiones son compuestas, el conocimiento adecuado de fac-torización puede ser una herramienta muy útil. Un manejo adecuadode la factorización y productos notables, permite atacar problemas desistemas de ecuaciones.

5. Desigualdades. Aqúı consideramos sólo la desigualdad básica de que to-do número elevado al cuadrado es mayor o igual que cero, aśı como lasdesigualdades entre las medias. Es esencial el manejo de la desigualdadentre la media aritmética y geométrica. Una combinación de desigual-dades y factorización nos lleva a la desigualdad útil.

6. Parte entera y parte fraccionaria. Este tema es de los últimos que he-mos incorporado ya que en muchos paı́ses es frecuente ver este tipo deproblemas. Los problemas t́ıpicos son ecuaciones con parte entera.

Segunda parte


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Consideramos ahora sumas y sucesiones muy particulares de números.

Esta parte es cubierta en dos sesiones de 8 horas cada una, durante el mesde julio.

1. Progresiones aritméticas. Se empieza con la pregunta t́ıpica de calcularla suma de los primeros n naturales, los primeros n pares o los primerosn impares. Se generaliza un poco, esto introduciendo el concepto deprogresión aritmética. Ejemplo el problema de los triángulos.

2. Progresiones geométricas. Estas se introducen con el ejemplo t́ıpico decalcular la suma de las primeras n potencias de un número fijo. Ejemploel problema de la pelota que rebota, además nos da pie para empezar

a hablar del infinito.3. Otras sumas. Ver casos de sumas de números que no forman parte de

progresiones geométricas o aritméticas, como la suma de los cuadradoso cubos de los primeros n naturales.

4. Sumas telescópicas. Es una herramienta útil el hecho de conocer queciertas sumas pueden ser calculadas de manera muy rápida, si los su-mandos se comportan de cierta forma. También se puede introducir elconcepto de producto telescópico.

Tercera partePara formalizar algunas cosas que han sido estudiadas en las primeras

dos partes, es necesario el Principio de Inducción matemática. En esta partedamos un estudio detallado del principio, teorice y practico. Esta parte escubierta en tres sesiones de 8 horas cada una, durante el mes de agosto.

1. El principio de inducción matemática. Se presenta la primera versióndel principio y se les muestran a los estudiantes varios ejemplos queles permitan ver como se usa y el poder que tiene en matem áticas.Los ejemplos son para resolver problemas de distintas áreas de las ma-temáticas. Es de especial inteŕes mostrarles ejemplos donde al parecer

la inducción no funciona, sin embargo al hacer ciertas modificaciones alproblema, es posible mostrar un resultado más fuerte con la ayuda deinducción. También se estudian las distintas versiones del principio consus respectivos ejemplos. Aqúı la filosof́ıa es aprender por repetición,aśı que hay que resolver varios problemas.


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2. Coeficientes binomiales. Con la idea de estudiar el teorema del binomio

de Newton, es necesario hacer un estudio detallado de los coeficientesbinomiales desde el punto de vista algebraico. Además de que es otrolugar donde es muy común usar inducción. Ejemplo cualquier identidadcon coeficientes binomiales.

3. Descenso infinito. Esta técnica es un poco más avanzada, pero la in-cluimos como complemento a lo ya visto de inducci ón, y aplicada aproblemas sencillos ya vistos, como mostrar que la ráız cuadrada de 2no es un numero racional.

4. Pruebas erróneas por inducción. Es común durante el proceso de in-ducción, cometer algunos errores en los pasos, por lo cual mostramos

varios ejemplos de situaciones donde hay errores y no son tan claros deidentificar. Ejemplo todas las potencias de 2 son iguales a 1.

Cuarta parteAqúı introducimos la teoŕıa de polinomios en los casos de grados pequeños

como 2 y 3. En particular se estudian las relaciones de Vieta y el discriminantede un polinomio cuadrático. Este material es cubierto en dos sesiones de 8horas cada una, en el mes de septiembre.

1. Definición y propiedades de polinomios cuadráticos y cúbicos. Presen-tamos las definiciones básicas de polinomios de estos grados que sepueden extender a un polinomio de grado arbitrario. También se in-troducen las relaciones de Vieta entre las ráıces de un polinomio y suscoeficientes. Ejemplo Alemania 1970.

2. Ráıces. Para conocer un polinomio es necesario conocer sus ráıces. Enel caso de polinomios cuadráticos, es posible analizar las ráıces ha-ciendo un estudio detallado del discriminante. Aqúı presentamos esteestudio con un tinte geométrico, que nos puede llevar a entender lospuntos extremos de esta clase de polinomios. Ejemplo factorización dela identidad cubica o una demostración sencilla de la desigualdad deCauchy-Schwarz.

Parte finalEn las últimas semanas del entrenamiento, ya con un número reducido de

estudiantes (alrededor de 10), las sesiones de algebra consisten en listas deproblemas de algebra de diferente dificultad con las cuales se trabaja duranteuna o varias sesiones.


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Caṕıtulo 3

Álgebra y teoŕıa de números

En las áreas de álgebra y teoŕıa de números se estableció un temario básicoy se trabajó en la creación de problemas introductorios. Los problemas fueronclasificados por tema. Los encargados de dirigir la sección fueron César PérezCarrizales y Leonardo I. Mart́ınez Sandoval.

3.1. Temario álgebra y teoŕıa de números

Clasificación de los números

Propiedades de los números (operaciones, inversos)

Operaciones básicas (simplificación y factorización)

Números primos, múltiplos y divisores

Criterios de divisibilidad

Descomposición factorial

Máximo común divisor y mı́nimo común múltiplo

Algoritmo de la división

Teorema del residuo

Paridad

Sumas notables (incluye Gauss)

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18 CAP ́ ITULO 3. ´ ALGEBRA Y TEOR ́ IA DE N ́ UMEROS

Sucesiones y patrones

Razones, proporciones, porcentajes y regla de tres

Fracciones (comparaciones y operaciones)

Jerarquı́a de operaciones

Leyes de los exponentes

Factorización y productos notables en álgebra

Ecuaciones (lineales, cuadráticas, sistemas)

Lenguaje algebraico

Desigualdades

Fracciones algebraicas

Ley de los signos

3.2. Problemas álgebra y teoŕıa de números

3.2.1. Números naturales

Problema 1 Paridad ¿Cu´ al de los siguientes n´ umeros es par?

a) 2013 b) 201 × 3 c) 201 − 3 d) 201/30.5cm

Problema 2 Paridad Encontrar las parejas de primos p y q tales que p + q = pq .

Problema 3 Paridad ¿Cu´ al de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n?

a) 2003n b)n2 + 2003 c) n2 d) 2n2 + 2003


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3.2. PROBLEMAS ´ ALGEBRA Y TEOR ́ IA DE N ́ UMEROS 19

Problema 4 Paridad

Hay 2001 puntos en el plano. Dos jugadores A y B juegan a trazar ĺıneas entre los puntos por turnos. Empieza A. Gana el primero que complete un ciclo. ¿Cu´ al de los jugadores tiene estrategia ganadora?

Problema 5 Paridad Si sabemos que el ´ ultimo d́ıgito del n´ umero 9n + 99n + 999n es igual a 3,muestra que n es par.

Problema 6 Paridad En el pizarr´ on est´ an escritos once n´ umeros 1. Una posible operaci´ on es tomar dos n´ umeros y sumarle a ambos 1, restarle a ambos 1 o sumarle 1 a uno de los n´ umeros y restarle 1 a otro. ¿Es posible mediante estas operaciones tener

escritos en el pizarr´ on once n´ umeros 10?

Problema 7 Paridad En un cuarto hay dos focos y dos apagadores. Al principio, los dos est´ an apagados. Totoro juega con los apagadores en total 15 veces. Cuando termina de jugar, ¿cu´ antos focos siguen apagados?

3.2.2. Propiedades de los números (operaciones: suma,producto. Existencia de los inversos)

Problema 8 Propiedades de los n´ umeros Cuatro tarjetas tienen un n´ umero escrito de un lado y una frace del otro. Las cuatro fraces son “m´ ultiplo de 7”, “primo”, “impar” y “mayor que 100”. Los cuatro n´ umeros son: 2,5,7 y 12.En cada tarjeta el n´ umero escrito de un lado no corresponde con la frace escrita del otro. ¿Cu´ al es el n´ umero que est´ a escrito en la tarjeta que dice “mayor que 100”?.

a) 2 b) 5 c) 7 d) 12 e) imposible de determinar

Problema 9 Operaciones b´ asicas Si efectuamos el producto de todos los impares comprendidos entre el 1 y el

2014, ¿Cu´ al es la cifra de las unidades del n´ umero ası́ obtenido?

Problema 10 Operaciones b´ asicas Utilizando los d́ıgitos 1, 9, 9 y 8 en ese orden, y los śımbolos +, −, × y /,expresa los n´ umeros 7 y 10.


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Problema 11 Operaciones b´ asicas

En una tarea Alberto saco 80 de calificaci´ on y aśı elevo su promedio de 68 a 69 ¿Cu´ antas tareas hab́ıa antes de la ´ ultima?

Problema 12 Operaciones b´ asicas Una de las siguientes expresiones no es igual a −1. ¿Cu´ al es?

a) − 13√ 169

b) −100+99−98+...+2−125

c)

63

3√ 6

38

−6 d)

− 201 × 19

2 × 18

3 × . . . × 1

20

Problema 13 Operaciones b´ asicas El producto de tres enteros positivos es 1500 y su suma es 45, ¿Cu´ al es el mayor de esos tres n´ umeros?

Problema 14 Sumas Calcula el valor de la siguiente suma 99 − 97 + 95 − 93 + · · · + 3 − 1.

Problema 15 Sumas ¿Cu´ al es el resultado de la siguiente operaci´ on?

1

−2

−3 + 4 + 5

−6

−7 + . . .

−1998

−1999

−2000

Problema 16 Sumas Si S = 1 + 2 + 3 + . . . + 100, ¿Cu´ antos signos + hay que cambiar por signos − para obtener 19991 en lugar de S ?

Problema 17 Sumas ¿Para que entero positivo n se satisface la ecuaci´ on siguiente?

1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)2 + 4 + 6 + . . . + 2n

= 2006

2007

Problema 18 Sumas Si m y n son enteros y m < n, definamos m ⊕ n como la suma de todos los enteros entre m y n, incluyendo a m y n. Por ejemplo, 3⊕6 = 3+4 +5+ 6 =18. ¿A qué es igual (1 ⊕ 18) − (2 ⊕ 17) + (3 ⊕ 16) − · · · + (9 ⊕ 10)?


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Problema 19 Sumas

Observa que:

13 = 1

23 = 3 + 5

33 = 7 + 9 + 11

43 = 13 + 15 + 17 + 19

Entonces 503 es igual a:

1. a) 2061 + 2063 + · · · + 2157 + 2159

b) 2161 + 2163 + · · · + 2257 + 2259c) 2257 + 2259 + · · · + 2353 + 2355d) 2353 + 2355 + · · · + 2499 + 2451e) 2451 + 2453 + · · · + 2547 + 2549

Problema 20 Propiedades de los n´ umeros Si Y es un n´ umero tal que 2006 = 2005 + 2007 − Y . Entonces Y vale

a) 2005 b) 2006 c) 2007 d) 2008

Problema 21 Propiedades de los n´ umeros Si se sabe que

1 + 1

4 +

1

9 +

1

16 + . . . = A

¿cu´ al es el valor de

1 + 1

9 +

1

25 +

1

49 + . . .?

a) 34

A b) 43

A c) 54

A d) 45

A

Problema 22 Propiedades de los n´ umeros Un n´ umero de tres cifras es equilibrado si una de sus cifras es el promediode las otras dos, por ejemplo, 258 es equilibrado pues 5 = 2+8

2 . ¿Cu´ antos

n´ umeros equilibrados de tres cifras hay?


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Problema 23 Propiedades de los n´ umeros

Muestra que la siguiente igualdad no es posible para enteros positivos x, y y z : x2

+

y3

+

z 5

= 2.

Aqúı {a} denota la parte fraccionaria de a.

Problema 24 Propiedades de los n´ umeros En la expresi´ on AAB×B = CB5B, cada una de las letras A, B y C denota un d́ıgito diferente. ¿Cu´ ales son los valores de A, B y C ?

3.2.3. Sucesiones y patrones numéricosProblema 25 Sucesiones Considera la sucesi´ on 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, . . .. El n´ umero colocado en el lugar 100 es...

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16

Problema 26 Patrones Empiezas con el n´ umero 1. Una “operaci´ on” consiste en multiplicar el n´ umeropor 3 y sumarle 5. ¿Cu´ al es la cifra de las unidades despueés de aplicar la

operaci´ on 1999 veces?

a) 1 b) 2 c) 8 d) 9

Problema 27 Patrones Analiza los dibujos que se muestran a continuaci´ on

1. a) Dibuja dos V que contiene la sucesi´ on dada.

b) ¿Es posible que una V tenga 100 puntos?, ¿Por qué? c) ¿Cu´ antos puntos tendr´ a el sexto términos de la sucesi´ on?

d) ¿A qué sucesi ́on de n´ umeros corresponder´ a esta sucesi´ on V? ¿Cu´ al serı́a la expresi ́on general que describe a la sucesi´ on?


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Problema 28 Patrones

Analiza la siguiente sucesi´ on de n´ umeros 85, 83, 81, 79, 77, 75, . . .1. a ) ¿Cuál es el patrón utilizado para formarla?

b) ¿Qué propiedad poseen los números de la sucesión?

c ) ¿Puedes anticipar que tipo de números no estarán en ella?

d ) Escribe una fórmula para está sucesión.

Problema 29 Patrones Empiezas con el n´ umero 1. Una operaci´ on consiste en multiplicar el n´ umeropor 3 y sumarle 5. ¿Cu´ al es la cifra de las unidades despúes de aplicar la operaci´ on 1999 veces?

Problema 30 Progresi´ on aritmética Se tiene una progresi´ on aritmética continua donde la suma de sus cuatrotérminos es 200 y la diferencia de sus extremos es 28, encuentra al extremomayor.

Problema 31 Progresi´ on geométrica En una progresi´ on geométrica se sabe que el producto de extremos es 600.Si los términos medios son consecutivos ¿Cu´ al es la suma de los términos medios?

Problema 32 Sumas

Se tienen n n´ umeros enteros tales que su suma es 1230, al primero se le suma 1, al segundo se le suma 3, y aśı sucesivamente hasta el n-ésimo al cual se le suma 2n − 1.Después de esto el resultado de la suma es 2014. ¿Cu´ antos n´ umeros habı́a originalmente ?.

3.2.4. Porcentajes

Problema 33 Porcentajes A un empleado le han aumentado un 20 % a su sueldo anterior y ahora gana 6000 pesos. ¿Cu´ anto ganaba antes?

Problema 34 Porcentajes Un contenedor de 5 litros se llena con jugo de naranja. Se le quitan 2 litros de jugo y se llena nuevamente con agua. Se mezcla muy bien y nuevamente se quitan 2 litros de mezcla y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué porcentaje de jugo hay en la mezcla final?


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a) 24 % b) 36 % c) 30 % d) 27 %

Problema 35 Porcentajes Si Juan ganaba $15000 mensuales y este mes le pagaron $17250. ¿En qué por-centaje aument´ o su sueldo?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 25

Problema 36 Porcentajes A una fiesta el 25 % de los asistentes son mujeres. Si hay 90 hombres,¿cu´ antas mujeres fueron a la fiesta? a) 30 b) 25 c)15 d) 45

Problema 37 Porcentajes En una tienda, una blusa costaba $1200, pero por ser fin de temporada reba-

jaron su costo en 50 %. Como segúıa sin venderse, hicieron un descuento del 25 % sobre el nuevo precio. ¿Cu´ anto cuesta ahora la blusa?

a) 150 b) 300 c) 450 d) 500

Problema 38 Porcentajes David compr´ o un panqué. Reparti´ o la mitad con sus compa˜ neros. De lo que

qued´ o, reparti´ o la mitad con sus amigos y del ´ ultimo pedazo reparti´ o la mitad con su familia. ¿Qué porcentaje del panqué le qued´ o?

a) 25 b) 12,5 c) 50 d) 75

Problema 39 Porcentajes Dos lados paralelos de un cuadrado se aumentan un 10 % y los otros dos lados se disminuyen en un 10 %. ¿C´ omo cambia el ´ area del cuadrado original?

a) Aumenta 10 % b) Aumenta 1 % c) Disminuye 10 %d) Disminuye 1 %

Problema 40 Porcentajes Si M es el 30 % de Q, Q es el 20 % de P y N es el 50 % de P . ¿Cu´ anto vale M N

?


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3.2.5. Múltiplos y divisores

Problema 41 Criterios de divisibilidad Considera los n´ umeros de cinco d́ıgitos x = 2014b y y = 4102a (es decir, ay b son d́ıgitos, no est´ an multiplicados). Sabemos que 4 divide a y, que 2 nodivide a x y que 3 divide a y−x. ¿Cu´ ales son los posibles valores para |a−b|? Problema 42 Criterios de divisibilidad Si N = 20142014a2014b en donde a y b son d́ıgitos y sabemos que 132 divide a N , ¿cu´ anto vale a + b?

Problema 43 Criterios de divisivilidad ¿Cu´ al es la suma de todos los enteros positivos n que dejan 15 como residuo

al dividir 141 entre n?

Problema 44 Criterios de divisivilidad ¿Cu´ antos m´ ultiplos de 33 menores a 102014 hay que todos sus d́ıgitos sean unos?

Problema 45 Criterios de divisivilidad El n´ umero d456d es divisible entre 18. Si d es un d́ıgito, ¿cu´ al es su valor?

Problema 46 Criterios de divisivilidad Encuentra el menor entero positivo que sea igual a 5 veces el producto de sus

dı́gitos.Problema 47 Divisores Se ordenan de menor a mayor los enteros positivos ai que tienen exactamente 3 divisores: a1 < a2 < a3 < . . .. ¿Qué n ́umero es a6?

a) 9 b) 49 c) 121 d) 169

Problema 48 Divisores Se ordenan de menor a mayor los enteros positivos ai que tienen exactamente 7 divisores: a1 < a2 < a3 < . . .. ¿Qué n ́umero es a3?

a) 64 b) 729 c) 15625 d) 3125

Problema 49 Descomposici´ on de factores Sea n un entero mayor que cero tal que los n´ umeros n × 1998 y n × 2695 son cuadrados perfectos. Encuentra el menor valor que cumple el enunciado.


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Problema 50 Ecuaciones en enteros

Ver´ onica y su amigo Julio entraron a una libreŕıa de Bah́ıa Blanca y com-praron por valores enteros diferentes, superiores a $10. Cada uno quiso pagar con un billete de $20, pero el due˜ no no teńıa cambio para cobrarle a ningunode los dos. Entonces Julio ofreci´ o pagarle con un billete de $50 y ası́ pudodarle el vuelto. Al ver esto, Ver´ onica sac´ o un billete de $50 y el librero pudocobrarle a ella también.¿Cu´ al es el n´ umero mı́nimo de billetes que pod́ıa tener el librero cuando lle-garon los amigos?.NOTA: Los billetes en circulaci´ on son de $100, $50, $20, $10, $5, $2, $1.

Problema 51 Ecuaciones en enteros

En sus primeros cinco ex´ amenes, que el profesor califica con notas enteras entre 0 y 10 inclusive, Ramiro obtuvo: 3, 4, 7, 10 y 9. Después de rendir el siguiente examen, el promedio de sus seis notas result´ o un n´ umero entero.Al rendir el séptimo examen, el promedio de sus siete notas fue nuevamente un n´ umero entero. Calcular las notas que pudo sacarse Ramiro en el sexto y séptimo examen. Dar todas las posibilidades.

Problema 52 Ecuaciones en enteros Un n´ umero se multiplica por 2, después se le suma 1, luego el resultado se multiplica por 3 y finalmente se le suma 2. ¿Cu´ al de los siguientes n´ umeros no puede ser el resultado?

a) 59 b) 71 c) 77 d) 85

3.2.6. Maximo común divisor y mı́nimo común múlti-plo

Problema 53 MCD Se tienen tres varillas de 60cm, 80cm y 100cm de longitud respectivamente.Se quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre, ni falta nada. Encuentra tres longitudes posibles para cada pedazo.

Problema 54 MCD Se tienen 3 cajas que contienen 1600 kg, 200 kg y 3392 kg de jab´ on res-pectivamente. El jab´ on de cada caja est´ a divido en bloques del mismo pesoen todas las cajas y es del mayor peso posible. ¿Cu´ anto pesa cada bloque y cu´ ants bloques hay en cada caja?


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Problema 55 MCD

Juan tiene un terrreno de forma rectagular de 40 metros de ancho y 96 metros de largo. Si se divide su terreno en parcelas cuadradas iguales y planta en el interior de cada parcela tres ´ arboles, ¿Cu´ al es el mı́nimo n´ umero de ´ arboles que podŕıa sembrar en todo su terrreno?

Problema 56 MCD En una fiesta se tienen canastas con fruta. En la de manzanas hay 24, en la de los pl´ atanos hay 16, en la de las peras hay 80, en la de los mangos 32 y en la de los kiwis 40. Si a cada persona en la fiesta le toco la misma cantidad de fruta de cada clase, ¿cu´ al es el m´ aximo n´ umero de personas que hab́ıa?

a) 10 b) 6 c) 8 d) 5

Problema 57 MCM Andrea, B´ arbara y Carlos van a una dulceŕıa, Andrea compra cajas con 5 chocolates, B´ arbara compra cajas con 10 paletas y Carlos compra cajas con 9 chicles. Si quieren tener la misma cantidad de dulces, ¿cu´ antas cajas mı́nimocomprar´ an entre los 3?

Problema 58 MCM Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercerocada minuto. A las 6 : 30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volver´ an a coincidir en los 5 minutos siguientes.

Problema 59 MCM ¿Cu´ al es el menor n´ umero que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48,en cada caso, da de residuo 9?

Problema 60 MCM Blanca, Rogelio y Maŕıa tienen cuadernos, los quieren llevar a las escuelas y est´ an empacados en cajas de 15 cuadernos chicos, 28 cuadernos medianos y 17 cuadernos grandes. Si quieren dejar el mismo n´ umero de cuadernos de cada tama˜ no, ¿cu´ antas cajas deben dejar como mı́nimo en cada escuela?

Problema 61 MCM Ana, Antonio, Rodrigo y Maŕıa corren en una pista circular. Ana tarda 12 minutos en completar una vuelta, Antonio tarda 15, Rodrigo 20 y Maŕıa 16.Si a las 10:28 empiezan juntos en la meta, ¿a qué hora se vuelven a encontrar ahı́ mismo?


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Problema 62 MCM

Juan y Antonio tienen la misma cantidad de dinero; se sabe que si la cantidad de dinero que tiene Juan se divide entre 11 le sobran 6 y que si la de Antoniose divide entre 13 a el le quedaŕıan 2, ¿Cu´ al es la cantidad de dinero que tienen?

Problema 63 MCM Un sol de cierta galaxia emite 3 diferentes rayos de la siguiente manera: el rayo alfa cada 16 segundos, el rayo beta cada 45 segundos y el rayo gama cada 140 segundos. Si en este momento se emiten al mismo tiempo los 3 rayos, ¿dentro de cuantos segundos se volver´ an a emitir los 3 rayos al mismotiempo?

3.2.7. Fracciones

Problema 64 Fracciones Una bandera est´ a formada por tres tiras del mismo tama˜ no como indica la

figura. Cada una de las tiras se ha dividido en dos, tres y cuatro partes respectivamente. ¿Qué fracci´ on del ´ area de la bandera est´ a coloreada?

a) 59

b) 47

c) 35

d) 23

Problema 65 Fracciones Una pastilla pesa 4/7 de onza, Juan toma 3/4 partes de ella, ¿Qué fracci´ on del total consumi´ o Juan?

Problema 66 Fracciones Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastel que hay en el momento de cortar. ¿Qué fracci´ on del pastel qued´ o después de cortar 3 veces?

Problema 67 Fracciones La maestra dej´ o leer un libro. Mariana ha léıdo 3

4 partes, Juan lleva 1

3y

Daniela 58

. Del libro. ¿En cu´ al de las opciones se indica el orden del que ha leı́do m ́as al que ha léıdo menos?


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1. Mariana, Daniela, Juan

2. Mariana, Juan, Daniela

3. Juan, Daniela, Mariana

4. Daniela, Mariana, Juan

Problema 68 Fracciones ¿De cu´ antas formas se puede escribir 1

14 en la forma a

7 + b

2 con a y b enteros?

Problema 69 Fracciones Considerando el orden de las fracciones 6

9, 7

6, 9

7, ¿d´ onde debe ir 8

7?

1. Antes de 69

2. Entre 69

y 76

3. Entre 76

y 97

4. Después de 97

Problema 70 Fracciones Si x > 5, ¿cu´ al de las siguientes fracciones es la menos?Mariana, Daniela,Juan

1. 5x

2. 5x+1

3. 5x−1

4. x5

5. x+15

Problema 71 Fracciones

Si ab = b+ca , ¿cu´ al es el valor de cb?

5

x

1. a2+b2

b2

2. a2−b2b2


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3. a3−bb2

4. a3−b3a+b

5. a2

b2

Problema 72 Fracciones ¿A qué es igual el producto:

1

2 − 1

3

1

3 − 1

4

1

4 − 1

5

1

5 − 1

6

1

6 − 1

7

1

7 − 1

8

· · ·

1

48 − 1

49

1

49 − 1

50

?

3.2.8. Orden

Problema 73 Orden ¿Qué n ́umero es menor, (−1)5 o (−1)4? Problema 74 Orden Ordena los siguientes n´ umeros de menor a mayor: 15, 20

3 , 18

5 , 6 y 72

7 .

Problema 75 Orden Ordena de menor a mayor los n´ umeros (−2)(19)(53), (−2)(19)(−53) y (2)(−19)(52).Problema 76 Orden Ordena los siguientes n´ umeros de mayor a menor: 0,5, 3

2, 4

7, 1

5 y 3

4.

Problema 77 Orden

Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El total de los asientos se enumera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y hacia atr´ as ¿en qué n ́umero de fila est´ a el asiento 375?

Problema 78 Orden De la lista 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, · · · ¿Qué n ́umero est´ a en la po-sici´ on 2016?

a) 65 b) 45 c) 56 d) 63

Problema 79 Orden Se tienen 6 tarjetas con los siguientes n´ umeros 309, 41, 2, 5, 68, 7 . ¿Cu´ al es el mayor n´ umero que se puede formar usando sumas, multiplicaciones y paréntesis.


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3.2.9. Sumas de Gauss

Problema 80 Sumas de Gauss Ubicar los n´ umeros 1-2-3-4-5-6-7-8-9 en los casilleros de esta cuadŕıcula de modo que: el 9 ocupe el centro, los n´ umeros de la primera fila sean todos impares y la suma de los n´ umeros de cada fila y de cada columna sea la misma.

Problema 81 Sumas de Gauss ¿Cu´ al es el d́ıgito de las unidades de (1+ 12)+(2+22) + . . . +(2000+20002)?

Problema 82 Sumas de Gauss Para hacer una torre de naipes de 1 piso se usan 2 naipes, para hacerla de 2 pisos se usan 7 naipes, para hacerla de 3 pisos se usan 15 naipes, como se muestra en la figura.

¿Cu´ antos naipes hay que usar para hacer una torre de 100 pisos?

Problema 83 Sumas de Gauss ¿Cu´ antas perlas en total (blancas y negras) tiene este collar?

Problema 84 Sumas de Gauss Observa c´ omo est´ a construida la pared; de ella s´ olo se muestran los ´ ultimos cuatro niveles. La base de esta pared tiene 17 bloques. ¿Cu´ antos bloques se utilizaron en total para, construir esta pared?


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Problema 85 Sumas de Gauss De los siguientes n´ umeros ¿cu´ al es m´ as grande?

x = 1998(1 + 2 + 3 + . . . + 1999)

y = 1999(1 + 2 + 3 + . . . + 1998)

Problema 86 Sumas de Gauss

Dividir al conjunto de los enteros positivos desde 1 hasta 100 inclusive en dos conjuntos A y B tales que A contenga 70 n´ umeros, B contenga 30 n´ umeros, y la suma de todos los n´ umeros de A sea igual a la suma de todos los n´ umeros de B.

Problema 87 Sumas de Gauss Hallar la suma de todos los n´ umeros que son permutaciones de los d́ıgitos 1,2,3,4 y 5. Esto es 12345 + 12354 + . . . + 54321.

Problema 88 Sumas de Gauss Calcule la suma de todas las fracciones positivas irreducibles (simplificadas)

menores que uno y cuyo denominador es 1991.

3.2.10. Operaciones básicas con lenguaje algebraico

Problema 89 Expresiones algebraicas El peŕımetro de un tri´ angulo est´ a determinado por la expresi´ on 26a + 4b − 9y dos de sus lados por las expresiones 13a − b − 8 y 5a + 7b − 5. Determina la expresi´ on del lado faltante.

3.2.11. Leyes de los signos

Problema 90 Ley de los signos Paty escoge dos n´ umeros de la lista −9,−7,−5, 2, 4, 6 y los multiplica. ¿Cu´ al es el menor resultado que puede obtener?

a) −63 b) −54 c) −18 d) −10


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Problema 91 Ley de los signos

¿Cu´ al es el valor de las siguiente operaci´ on: 3+ (2 − 4)×3 (5 − 2)− (7 − 2)?a) −20 b) 4 c) −27 d) 9

Problema 92 Ley de los signos ¿Cu´ al es el resultado de hacer la siguiente operaci´ on: 3 − (2 + 4 × 3 − 5) +4 (6 − 8 + 13 − 7)?

a) 6 b) 24 c) 10 d) 16

3.2.12. Simplificación de fracciones algebraicas

Problema 93 Fracciones algebraicas Si n > 1 y

n+1m

m−1n

= 1, entonces m es igual a

a) n − 1 b) n + 1 c) 2n d) √ n2 + 1

Problema 94 Fracciones algebraicas De la fracci´ on algebraica

2x3 − 3x2 − 5x + 62x3 + 3x2 − 8x − 12

obtenga otra equivalente y que sea reducida.

3.2.13. Exponentes

Problema 95 Exponentes ¿Qué n ́umero es mayor?

a)√

2 b) 31/3 c) 41/4 d) 51/5

Problema 96 Exponentes ¿Cu´ anto es la suma de las cifras del n´ umero N = 1092

−92?

Problema 97 Exponentes ¿Cu´ al de los siguientes n´ umeros es m´ as grande?

a) 212 b) 415 c) 811 d) 128 e) 326


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Problema 98 Exponentes

¿Cu´ antas cifras tiene el n´ umero 2

1998

× 52002

? Problema 99 Exponentes ¿Qué n ́umero es mayor, 2201352014 o 2201552013?

Problema 100 Exponentes Si 3x+y = 81 y 25y/2 = 5, ¿cu´ anto vale x?

Problema 101 Exponentes ¿Para qué entero positivo j es 22 + 25 + 2 j un cuadrado perfecto?

Problema 102 Exponentes Reduce la siguiente fracci´ on a su mı́nima expresi´ on:

22014 + 22012

22014 − 22012 .

Problema 103 Exponentes Si 4x − 4x−1 = 24, ¿cu´ anto vale (2x)x?

3.2.14. Productos notables

Problema 104 Productos notables

¿Cu´ al es el resultado de la siguiente suma?

1√ 1 +

√ 2

+ 1√ 2 +

√ 3

+ 1√ 3 +

√ 4

+ · · · + 1√ 49 +

√ 50

a) 6 b) 10 c)√

50 d) 1 e)√

50 − 1

Problema 105 Productos notables ¿Cu´ al es el valor de 653355792 − (56335591)(56335567)?


¿Cu´ al es le valor de 9999999992

− 1? Problema 107 Productos notables Sea N = 999 · · · 9

2014 veces

¿Cu´ anto vale la suma de los d́ıgitos de N 3?


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Sean a y b n´ umeros que cumplen a + b = 1 y a

2

+ b

2

= 2. Encuentra el valor de a3 + b3.

Problema 109 Productos notables Sean x y y dos n´ umeros tales que x + y = 3 y xy = 1. Encuentra el valor de x3 + y3.

Problema 110 Productos notables Encuentra dos n´ umeros enteros a y b que cumplan

a + b + ab = 2013.

Problema 111 Productos notables Si a y b son n´ umeros positivos distintos que cumplen a2 + b2 = 4ab, hallar el

valor de a+ba−b

2.

Problema 112 Productos notables Si x2 + y2 = 6xy con x = y, ¿a qué es igual x+yx−y?

3.2.15. Factorización

Problema 113 Factorizaci´ on Si a4+4b4 = 20 con a y b enteros positivos, determina el valor de a2−2ab+b2.

Problema 114 Factorizaci´ on Encuentra todos los n´ umeros m y n tales que:

m2

8! +

1

7! =

3n!

4 · 7! + 21

8!.

Problema 115 Factorizaci´ on El producto de las edades de Pedro, su hijo y su nieto es 2014. ¿A qué edad

tuvo el hijo de Pedro a su hijo?

Problema 116 Factorizaci´ on El producto de las edades de Pedro, su hijo y su nieto es 2014. ¿A qué edad tuvo el hijo de Pedro a su hijo?


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Problema 117 Factorizaci´ on

El producto de las edades de Pedro, su hijo y su nieto es 2014. ¿A qué edad tuvo el hijo de Pedro a su hijo?

Problema 118 Factorizaci´ on El producto de las edades de Juan y sus dos nietos es 2013. ¿Cu´ antos a˜ nos tiene el nieto m´ as joven?

Problema 119 Factorizaci´ on Encuentra todos los enteros n tales que el n´ umero

(n2 − n + 1)(n2 + 3n + 1)

sea un n´ umero primo positivo.

3.2.16. Ecuaciones

Problema 120 Ecuaciones Escribe los n´ umeros 21, 147, 2015 como suma de dos enteros consecutivos.

Problema 121 Ecuaciones ¿Es posible escribir al 21 como suma de 3 enteros consecutivos?

Problema 122 Ecuaciones

¿Es posible escribir a 21 como suma de 6 enteros consecutivos?

Problema 123 Ecuaciones La suma de cuatro enteros consecutivos es 1994. ¿Cu´ al es el menor de los cuatro n´ umeros?

Problema 124 Ecuaciones ¿Cu´ anto vale x en la siguiente figura?

81cm2

1 8 c m

2

x

x

a) 2cm b) 7cm c) 9cm d) 10cm e) 11cm


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Problema 125 Ecuaciones

Ra´ ul, Vı́ctor y Teresa recogen pelotas en un campo de golf. Ra´ ul junto el doble de pelotas que Teresa y ésta 5 m´ as que Vı́ctor. Si en total recogieron 35 pelotas, ¿cu´ antas recogi´ o Teresa?

Problema 126 Ecuaciones En una caja hay canicas rojas, verdes y azules. Las rojas son el triple de las azules y las azules el triple de las verdes y en total hay 65 canicas. ¿Cu´ antas canicas rojas hay?

Problema 127 Ecuaciones En el diagrama se ven dos reglas; la de arriba, de 10 cm de longitud, dividida

en 10 partes de 1 cm, y la de abajo, de 9 cm de longitud, tambíen dividida en 10 partes iguales. Si el extremo derecho de la cuarta divisi´ on de la regla de abajo coincide con el extremo derecho de la séptima divisi´ on de la regla de arriba, calcular la distancia entre los puntos marcados A y B.

A B

Problema 128 Ecuaciones cuadr´ aticas Hay s´ olo dos valores de a para los que la ecuaci´ on 4x2 + ax + 8x + 9 tiene una ´ unica soluci´ on para x. ¿Cu´ anto vale la suma de esos dos valores?

3.2.17. Sistemas de ecuaciones

Problema 129 Sistemas de ecuaciones El rect´ angulo de la figura est´ a formado por 6 cuadrados. La longitud de cada uno de los lados del cuadrado es 1 cm. ¿Cu´ al es la longitud del lado del cuadrado m´ as grande?

1

1


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a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

Problema 130 Sistemas de ecuaciones En una feria la entrada para los adultos cuesta $90 y para los ni˜ nos $55. Si cierto d́ıa el n´ umero de adultos que asisti´ o es una tercera parte del n´ umerode ni˜ nos y en las entradas se recaudaron $25500, ¿cu´ antos ni˜ nos fueron a la

feria?

a) 300 b) 100 c) 600 d) 200

Problema 131 Sistemas de ecuaciones Consideramos 48 canicas repartidas en tres montones A, B y C de manera que si del mont´ on A pasamos al B tantas canicas como hay en el B, luego

del B pasamos al C tantas canicas momo hay en C y del C pasamos al Atanta como existen ahora en el A, tendremos el mismo n´ umero canicas en cada mont´ on. ¿Cu´ antas canicas habı́a en principio en el mont´ on A?

Problema 132 Sistemas de ecuaciones El entrenador m´ as experimentado del circo necesita 40 minutos para lavar un elefeante. Su hijo lleva a cabo la misma tarea en 2 horas. ¿Cu´ antos minutos tardar´ an el entrenador y su hijo en lavar tres elefantes trabajando juntos?

Problema 133 Sistemas de ecuaciones La yerba en un prado crece con densidad y rapidez homoǵeneas. Sabiendo

que 70 vacas consumen la yerba en 24 d́ıas y 30 vacas la comen en 60 d́ıas,¿Cu´ antas vacas consumir´ an la yerba en 96 d́ıas?

Problema 134 Sistemas de ecuaciones Encontrar el valor de xyz donde x, y y z son n´ umeros positivos que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones

x2 + 1

y + z = 9

x2 + 1

y −z = 3

x2 − 1y

+ z = 5.

a) 115

b) 13

c) 12

d) 3


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Problema 135 Sistemas de ecuaciones

Encuentra las soluciones enteras positivas del sistema

w + x = yz

y + z = wx.

3.2.18. Desigualdades e inecuaciones

Problema 136 Desigualdades ¿Cu´ antos enteros n hay tales que 22n ≥ n2 + 120?

Problema 137 Desigualdades Una f´ abrica de paletas vende cada paleta a $5 y hacer una paleta cuesta $3. Si adem´ as la f´ abrica gasta $600 cada mes en el transporte de las paletas, ¿cu´ al es el mı́nimo n´ umero de paletas que se deben vender para tener ganancias?

Problema 138 Desigualdades Beto tiene 16 a˜ nos menos que Pedro y las edades de Beto y Pedro suman menos de 70 a˜ nos. ¿Cu´ al es la m´ axima edad que puede tener Pedro? a) 43b) 42 c) 41 d) 44

Problema 139 Desigualdades

Rosa y Petra hacen suéteres y 2 veces el n´ umero de suéteres que hace Rosa,menos el n´ umero de suéteres que hace Petra es 24. Si el triple de suéteres que hace Petra es mayor que 51, ¿cu´ al es el mı́nimo n´ umero de suéteres que pueden hacer entre las dos? a) 22 b) 23 c) 24d) 25

Problema 140 Desigualdades Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57 encuentra la suma a + b.

Problema 141 Desigualdades Rosa y Petra hacen suéteres y 2 veces el n´ umero de suéteres que hace Rosa,

menos el n´ umero de suéteres que hace Petra es 24. Si el triple de suéteres que hace Petra es mayor que 51, ¿cu´ al es el mı́nimo n´ umero de suéteres que pueden hacer entre las dos?

a) 22 b) 23 c) 24 d) 25


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Problema 142 Desigualdades

Sean x, y, z enteros no negativos tales que x + y + z = 12. ¿Cu´ al es el valor m´ as grande de la suma xyz + xy + yz + zx?

a) 62 b) 72 c) 102 d) 112

Problema 143 Desigualdades Entre los n´ umeros

√ 7 +

√ 10 y

√ 3 +

√ 19 escribir el śımbolo adecuado, o =.

Problema 144 Desigualdades geométricas Demuestra que todos los rec´ angulos de un peŕımetro dado P , el cuadrado es

el que tiene mayor ´ area.

Problema 145 Desigualdades geométricas Demuestra que de los rect´ angulos que tienen la misma ´ area A, el de menor peŕımetro es el cuadrado.

Problema 146 Desigualdades geométricas Demuestra que la suma de los catetos de un tri´ angulo rect´ angulo nunca excede √

2.

Problema 147 Desigualdades geométricas

Demuestre que para cualquier ´ angulo agudo α se tiene que

tan(α) + cot(α) ≥ 2.

Problema 148 Desigualdad del tri´ angulo?Cu´ antos tri´ angulos diferentes puedes hacer de modo que sus medidas sean n´ umeros del conjunto {1, 2, 4, 8, . . . , 1024}?

Problema 149 Desigualdad del tri´ anguloTotoro tiene 10 popotes de distintos tama˜ nos y se dio cuenta de que no puede construir ning´ un tri´ angulo con ellos. Si el m´ as peque˜ no mide 1, ¿qué longi-

tudes puede tener el m´ as grande?


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Caṕıtulo 4

Combinatoria

En combinatoria la dinámica fue propuesta y dirigida por Luis MiguelGarcı́a Velázquez. Consistió en definir colaborativamente un temario y luegotrabajar en secuencias en función del temario propuesto.

Una secuencia es una lista de problemas que cumple un objetivo de en-seãnza espećıfico. En este caso el objetivo fue cubrir los distintos temas bási-cos en el área de combinatoria para olimpiada.

4.1. Temario introductorio para combinato-ria

El temario que se definió fue el siguiente

Uso de conjuntos (operaciones básicas, subconjuntos)

Organizar la información (listas ordenadas, separar por casos)

Principio de adicíon y multiplicación

Diagramas de árbol

Patrones en recursividad

Principio de las casillas (elemental)“Contar” con repeticiones

Patrones en problemas dinámicos: invarianza, estrategias ganadoras,coloraciones

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42 CAP ́ ITULO 4. COMBINATORIA

4.2. Problemas

A partir del temario, se trabajó por equipos para crear secuencias quetuvieran un problema de cada tema. A continuación se enlistan todos losproblemas propuestos. Para recuperar una secuencia para trabajo en el grupo,basta elaborar una lista tomando un problema de cada tema.

Problema 150 Principio de adici´ on y multiplicaci´ on En placalandia hay dos tipos de placas, las placas tipo A (alfabeto de 27 letras) y las placas tipo B que tienen 2 n´ umeros seguidos de 3 letras distintos.¿Cu´ antas placas distintas puede haber en placalandia?

Problema 151 Principio de adici´ on ¿Cu´ antos cuadrados existen que tengan sus lados en las aristas de la siguiente rejilla?

Problema 152 Principio de multiplicaci´ on En la siguiente figura se permite caminar en cualquier direcci´ on, exceptodirectamente hacia la izquierda. Si no se permite pasar dos veces por el mismositio, ¿cu´ antos caminos existen del punto A al punto B?

Por ejemplo, un camino v´ alido es el siguiente:


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4.2. PROBLEMAS 43

Problema 153 Problemas din´ amicos Se tienen 3 montones con 3, 4 y 5 piedras respectivamente, un jugador Acomienza tomando una cantidad de piedras, tomando al menos una piedra y a lo m´ as todas las piedras que puede en un mont´ on, un segundo jugador B

hace lo mismo en su turno. Aśi contin´ uan alternadamente Gana el jugador que toma la ´ ultima piedra. ¿Quién puede tener la estrategia ganadora?

Problema 154 Problemas din´ amicos En una cuadŕıcula de 4×4 se tiene un foco en cada casilla, ordenados como se presenta en la figura. Un movimiento permitido es elegir una fila (columna)y se encienden todos los focos apagados en esa fila (columna) y se apagan todos los focos encendidos en esa fila (columna). ¿Es posible mediante estos movimientos llegar a tener todos los focos encendidos? Nota: Los puntos negros son focos apagados, y los puntos blancos son focos encendidos.

Problema 155 Organizar informaci´ on ¿De cuantas formas se pueden escoger 3 n´ umeros entre el 1 y 9 tal que su

suma no sea m´ ultiplo de 3?

Problema 156 Organizar la informaci´ on Se tienen 6 casillas, tres blancas y tres negras. ¿De cu´ antas formas se pueden ordenar en una ĺınea recta?


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44 CAP ́ ITULO 4. COMBINATORIA

Problema 157 Conteo

En un intercambio de regalos hay 7 personas. ¿De cu´ antas maneras es posible hacer el arreglo si cada uno debe dar y recibir un regalo? (Nadie debe recibir su propio regalo)

Problema 158 Conteo¿Cu´ antas palabras diferentes pueden formarse utilizando todas las letras de la palabra matem´ atica? Las palabras pueden no tener sentido, por ejemplo,timc.

Problema 159 Patrones y recursividad Se tienen 2014 personas en un sal´ on rectangular con 53 filas con 38 asientos

cada una. Cada persona saluda a las personas que se encuentran a su alrede-dor (a lo m´ as cuatro: atr´ as, enfrente, izquierda y derecha) ¿Cu´ antos saludos se dieron en total?

Problema 160 Patrones y recursividad ¿Cu´ antas diagonales tiene un poĺıgono de n lados?

Problema 161 Conjuntos e inclusi´ on-exclusi´ on ¿Cu´ antos n´ umeros menores que 1000 no son m´ ultiplos de 3, ni de 5, ni de 7?

Problema 162 Conjuntos e inclusi´ on-exclusi´ on ¿Cu´ antos n´ umeros del 1 al 100 no son m´ ultiplos de 2, 3, y 5.

Problema 163 Principio de las casillas En un caj´ on se tienen 5 tipos de calcetines: azules, rojos, verdes, blancos y amarillos. ¿Cu´ antos calcetines tengo que sacar para asegurar que salgan 2 calcetines del mismo color?

Problema 164 Principio de las casillas Considera los n´ umeros 1, 4, 7, 10,..., 100. A lo m´ as, ¿cu´ antos n´ umeros se pue-den tomar de manera que la suma de cualesquiera dos de ellos no sea 104?

Problema 165 Coloraci´ on A un tablero de ajedrez se le cortan dos esquinas (opuestas), ¿ser´ a posible cubrir totalmente el tablero con fichas de domin´ o sin traslaparlas?


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Caṕıtulo 5

Geometŕıa

cur so entren adores 2014

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