curs i vectori liberi

Denitia vectorilor liberi Adunarea vectorilor liberi Inmultirea vectorilor cu scalari Aplicatii Bibliograe

Lectia I Spatiul liniar al vectorilor liberi

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu

Lectia I


Table of Contents

1 2 3 4 5

Denitia vectorilor liberi

Adunarea vectorilor liberi

Inmultirea vectorilor cu scalari

Aplicatii

Bibliograe

Oana Constantinescu

Lectia I

Segmente orientate

Notam cu Denition Un

S

multimea punctelor spatiului.

(A, B ) S S.Il notam prin Dreapta

segment orientat AB .

este o pereche ordonata de puncte

A se numeste originea iar B extremitatea.

AB

(daca

segmentului orientat

A = B) AB .

se numeste

dreapta suport

a

AA

este segmentul orientat nul si dreapta lui suport este

nedeterminata.

Segmente orientate


S






AB

(daca


A = B) AB .

se numeste

dreapta suport

a

AA


nedeterminata.

Segmente orientate


S






AB

(daca


A = B) AB .

se numeste

dreapta suport

a

AA


nedeterminata.

Segmente orientate


S






AB

(daca


A = B) AB .

se numeste

dreapta suport

a

AA


nedeterminata.

Relatia aceeasi directie

Denition Doua segmente orientate dintre urmatoarele situatii:

au aceeasi directie

daca se aa intr-una

unul dintre ele este segmentul nul; segmentele orientate au aceeasi dreapta suport sau drepte suport

paralele.

Doua segmente orientate cu aceeasi dreapta suport se numesc

coliniare.Relatia au aceeasi directie este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate, deoarece relatia de paralelism este o relatie de echivalenta pe multimea dreptelor spatiului.



au aceeasi directie

daca se aa intr-una


paralele.





au aceeasi directie

daca se aa intr-una


paralele.





au aceeasi directie

daca se aa intr-una


paralele.





au aceeasi directie

daca se aa intr-una


paralele.



Relatia acelasi sens

Denition Doua segmente orientate cu aceeasi directie au se aa intr-una din situatiile:

acelasi sens

daca

sunt amandoua nule; dreptele suport sunt distincte si extremitatile lor sunt situate in

acelasi semiplan determinat de dreapta ce uneste originile lor;

Denition

dreptele suport coincid si exista un segment orientat necoliniar cu

ele si de acelasi sens cu amandoua.

Relatia au acelasi sens este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.

Observatie:

in gurile precedente am reprezentat segmentele

orientate prin sageti, punand varful sagetii in extremitatea segmentului orientat.

Denition




Observatie:



Denition




Observatie:



Denition




Observatie:



Denition




Observatie:



Relatia aceeasi marime

Denition Doua segmete orientate

AB si CD au aceeasi marime d (A, B ) = d (C , D ), unde d este distanta euclidiana d : S S [0, ).

daca

Evident relatia aceeasi marime este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.




daca





daca


Relatia de echipolenta

Denition Doua segmente orientate sunt au aceeasi marime. Notam

echipolente

daca au acelasi sens si

AB CD .

Relatia de echipolenta este o relatie de echivalenta pe multimea segmentelor orientate.



echipolente


AB CD .




echipolente


AB CD .


Vector liber

Denition Se numeste

vector liber

o clasa de echivalenta in raport cu relatia

de echipolenta pe multimea segmentelor orientate. Notam

AB .

AB = {CD | AB CD } egalidaca reprezentantii lor au

Deci doi vectori liberi sunt

acelasi sens si aceeasi marime. Notam cu

u , w , MN . Marimea vectorului u u = PQ . Ea se noteaza cu |u |.

V

multimea vectorilor liberi si elementele ei cu este

d (P , Q ), P , Q S

cu

Vector liber

Denition Se numeste

vector liber



AB .





V


d (P , Q ), P , Q S

cu

Vector liber

Denition Se numeste

vector liber



AB .





V


d (P , Q ), P , Q S

cu

Vector liber

Denition Se numeste

vector liber



AB .





V


d (P , Q ), P , Q S

cu

Vectori de pozitie

Theorem

Fie u V si O S. Atunci exista un singur punct P S astfel incat OP = u .

Vectorul

vectorul de pozitie al punctului P. Spunem ca am aplicat vectorul u in punctul P. Notam OP = r P . Fixand punctul O , se obtine astfel o bijectie multimea vectorilor liberi V si multimea punctelor spatiului S .se numeste

OP

intre


Adunarea vectorilor liberi

Lema a) b)

AB CD AC BD ; AB A B si BC B C AC A C .

Oana Constantinescu

Lectia I

Adunarea vectorilor

Denition Fie vectorii liberi punctele Denim

A S . Fie B , unice cu proprietatea u = AB , v = BC . suma vectorilor u + v = AC .si punctul

u, v V

respectiv

C,

Observatie Denitia nu depinde de alegerea punctului A datorita lemei anterioare.

Adunarea vectorilor



u, v V

respectiv

C,


Adunarea vectorilor



u, v V

respectiv

C,


Adunarea vectorilorRelatia lui Chasles

AB + BC = ACObservatie

Regasim denitia cunoscuta din liceu data de regula paralelogramului.

Adunarea vectorilorRelatia lui Chasles

AB + BC = ACObservatie

Regasim denitia cunoscuta din liceu data de regula paralelogramului.


Inmultirea vectorilor cu scalariDenition

R si vectorul u V. Produsul dintre si u este u , denit de urmatoarele proprietati: daca = 0 sau u = 0 atunci u = 0; daca = 0 si u = 0 atunci u are aceeasi directie cu u , acelasi sens cu u daca > 0 si sens contrar lui u daca < 0, iar marimea lui u este |u | = |||u |.Fie scalarul vectorul notat Denitia anterioara nu depinde de reprezentantii alesi ai vectorilor liberi.

Oana Constantinescu

Lectia I


Inmultirea vectorilor cu scalariDenition

R si vectorul u V. Produsul dintre si u este u , denit de urmatoarele proprietati: daca = 0 sau u = 0 atunci u = 0; daca = 0 si u = 0 atunci u are aceeasi directie cu u , acelasi sens cu u daca > 0 si sens contrar lui u daca < 0, iar marimea lui u este |u | = |||u |.Fie scalarul vectorul notat Denitia anterioara nu depinde de reprezentantii alesi ai vectorilor liberi.

Oana Constantinescu

Lectia I

Structura algebrica a multimii vectorilor liberi

Theorem

Multimea vectorilor liberi, impreuna cu adunarea vectorilor si inmultirea vectorilor cu scalari reali este un spatiu liniar real, adica (V, +, ) verica urmatoarele proprietati: 1) (V, +) este grup abelian: i) (u + v ) + w = u + (v + w ), u , v , w V; (asociativitatea) ii) 0 V a.i. u V, u + 0 = 0 + u = u ; (existenta elementul neutru 0 = AA, A arbitrar ) iii) u V, u a.i. u + (u ) = (u ) + u = 0; (ecare vector admite un opus u = AB , u = BA) iv) u + v = v + u , u , v V, (comutativitatea); 2) i) (u + v ) = u + v ; ii) ( + )u = u + u; iii) ()u = ( u ); iv) 1u = u , , R, u , v V.

Diferenta vectorilor

u v = u + (v ), u , v V,

AB = OB OA, O , A, B S,

AB = r B r A , A, B S.


Aplicatii

Example Asociativitatea adunarii vectorilor liberi ne permite denirea sumelor nite de vectori. Vericati ca, pentru linia poligonala relatiille urmatoare: 1)

A1 A2 An1 An ,

au loc

A1 A2 + A2 A3 + + An1 An = A1 An ;

2) in cazul unei linii poligonale inchise

A1 A2 + A2 A3 + + An1 A1 = 0.Indicatie: se aplica succesiv regula lui Chasles.

Oana Constantinescu

Lectia I


Aplicatii

Example Asociativitatea adunarii vectorilor liberi ne permite denirea sumelor nite de vectori. Vericati ca, pentru linia poligonala relatiille urmatoare: 1)

A1 A2 An1 An ,

au loc

A1 A2 + A2 A3 + + An1 An = A1 An ;

2) in cazul unei linii poligonale inchise

A1 A2 + A2 A3 + + An1 A1 = 0.Indicatie: se aplica succesiv regula lui Chasles.

Oana Constantinescu

Lectia I

Aplicatii

Example Fie triunghiul ABC si M mijlocul laturii BC. Demonstrati ca

AB + AC = 2AM r M = (r B + r C ).2

1

Indicatie:

AM = AB + BM , AM = AC + CM , BM = CM .

Aplicatii


AB + AC = 2AM r M = (r B + r C ).2

1

Indicatie:


Aplicatii


AB + AC = 2AM r M = (r B + r C ).2

1

Indicatie:


Aplicatii

Example Fie patrulaterul convex ABCD si E, N, F, M respectiv mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA. Demonstrati ca

EF = (AD + BC ), AC = MN + EF .2

1

Aplicatii

EF = EA + AD + DF , EF = EB + BC + CF , EA = EB , DF = CF . Se aplica relatia deja demonstrata si pentru MN : 2(MN + EF ) = (DC + AB ) + (AD + BC ) = (AD + DC ) + (AB + BC ) = 2AC .Indicatie:

Aplicatii

EF = EA + AD + DF , EF = EB + BC + CF , EA = EB , DF = CF . Se aplica relatia deja demonstrata si pentru MN : 2(MN + EF ) = (DC + AB ) + (AD + BC ) = (AD + DC ) + (AB + BC ) = 2AC .Indicatie:

Aplicatii

Example Vericati ca au loc urmatoarele relatii:

||u | |v || |u + v | |u | + |v |, u , v V,iar egalitatea are loc daca si numai daca vectorii sunt coliniari si de acelasi sens. Indicatie: Fie A, B, C a.i.

u = AB , v = BC .

Se aplica

inegalitatile cunoscute pentru lungimile laturilor triunghiului ABC. Egalitatea are loc daca si numai daca triunghiul este degenerat.

Aplicatii



u = AB , v = BC .

Se aplica


Aplicatii



u = AB , v = BC .

Se aplica



Bibliograe

I. Pop , Ghe. Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica, Ed. Plumb, Bacau, M. Ganga, Matematica, Geometrie, manual pentru clasa a IX-a, Ed. Mathpress, Ploiesti, 2002. I. Vaisman, Analytical Geometry, World Scientic, 1997. M. Postnikov, Lecons de geometrie, geometrie analytique, Ed. Mir, 1981.

Oana Constantinescu

Lectia I


Bibliograe

C. Ionescu-Bujor, O. Sacter, Exercitii si probleme de geometrie analitica si diferentiala, vol. 1, E.D.P., Bucuresti, 1963. Gh. D. Simionescu, Notiuni de algebra vectoriala si aplicatii in geometrie, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1982. O.N. Tuberbiller, Probleme si exercitii de geometrie analitica, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1952.

Oana Constantinescu

Lectia I

curs i vectori liberi

Documents

se numeste dreapta suport

paralelism este o relatie

relatia au acelasi

este o pereche ordonata

relatia acelasi

notam cu denition

echivalenta pe

deoarece relatia