OSCILATII SI UNDE

Cursul4

1.1 Oscilatorul armonic

Miscarea unui corp sub actiunea unei forte constante a fost descrisa indetaliu in cursul nr. 2. Asa cum s-a aratat, in acest caz acceleratia esteconstanta iar legea de miscare si a vitezei sunt date de expresiile (2.24-2.26).In acest curs vom studia cazul in care forta care actioneaza asupra corpuluinu este constanta, ea variind in timpul miscarii. Exemplul cel mai cunoscutde forta care yaflaza in timp este forta elastica , F = -l

)k(D;--.m

*t! - -fu6 sat) mtl*bc=g.dt' dt'

Ecuatia @j) este o ecuatie diferentiala omogena de ordinul doiacestei ecuatii, x

-

x(t), rcprezinta ecuatia de miscare a corpuluim.lmpartind cu mectatia g'1) devine,d'x . ^,, +A[x=0,dt-

unde

x(t) -

x(t)* .Aceasta conditie este satisfacuta daca

(4.1)

. Solutiade masa

(4.2)

(4.3)

(4.5)

Aplicand metoda de rezolvare a ecuatiei diferentiale omogene de ordinul doiprezentatain anexa I, obtinem urmatoarea solutie generala a ecuatiei (4.3) :

x(t) -

crei@ot + cre-iaot , (4.4)

unde Clsi C2 sunt doua constante arbitrare complexe, care urmeaza a frdeterminate din conditiile la limita pe care trebuie sa le indeplineasca solutia(4.4\ In primul rand, deoarece solutia (4.4) reprezinta deplasareacorpului fata de pozitia de echilibru (r = O)ea trebuie sa fie o marime reala,adica

cr (4.6)

In plus, daca consideram ca miscarea incepe din pozitia de echilibru, adica lamomentul initial al miscarii, t = 0,corpul se gaseste in .tr = 0, obtinem ca

-- c;

ReC2 = 0. Cu alte cuvinte constanta complexa C2 este de forma

Cz=iC,

unde C este un numar real.Tinand cont de relatiile (4.6-4.8) si de formula lui Euler

sind-ie

-iee -e

solutia generala 9.4) se poate scrie sub forma:

Ct = -Cz'

Din relatiile (4.6) si 9.7) rentlta caadevarata daca partea rcala a constantei

unde I -- (Dyt + 9O poartafazala momentul initial sau

(4.7)

Ci =-C2. Aceasta egalitate estecomplexe C, este egala ctJ zero,

2i

(4.8)

(4.e)

(4.10)

unde A-2C.La deducerea ecuatiei (4.10) am considerat ca la momentul intial corpul segasea in pozitia -r = 0 . Daca consideram cazul general cand la momentult = 0 corpul se gaseste in pozitia x = x0, atunci solutia (4.10) devine,

(4.11)

denumirea de faza oscilatiei, iar marime (pg estef aza initial a a oscil atiei .

In figura 4.2. este reprezentata grafic ecuatia de miscare (4.10) . Asa cumse observa din figura 4.2, corpul are o miscare periodica de du-te-vino injurul pozitiei de echilibru x = 0. Valoarea deplasarii x la momentul tpoarta denumirea de elongatie. Elongatia maxima a miscarii A poartadenumirea de amplitudinea oscilatiei. Timpul in care corpul efectueaza ooscilatie completa se numeste perioada oscilatiei si se noteaza cu Tg,

Fblr, =s(secunde). Din punct de vedere matematicdefineste ca fiind intervalul de timp minim dupa care punctulin aceeasi stare :

Asin[ats (t +To)]= asin arsr.Din aceasta conditie rczulta:

cq(t +fo)-- tht +27r,sau

perioada ZO t"material se afla

Numarul de oscilatii efectuate in unitate de timp reprezinta frecventaoscilatiei, V , fvlg = ,-1 = HZ (Hertz). Este usor de aratat ca intre perioadasi frecventa exista relatia:

(4.14)

Yiteza oscilatorului este data de relatia:

(4.12)

(4.13)

(4.15)

l

unde v-a* - AAo. Asa cum rezulta din (4.15) ,vitezaeste maxima atucicand corpul trece prin pozitia de echilibru, r(0), adica in momentelet

-- nT, unde n=I,2,3...este un nufiuu intreg.

.'ls

fAff}i

,iha:

lfii.iiri::t:li i*':::.:.:'l#

miscare x(t), a vitezeiFigura 4.2 Reprezentare grafica a ecuatieiv(r) si a aceleratiei a(t).Conform relatiei (2.15) acceleratia oscilatorului este data de relatia:

Energia totala a oscilatorului este egalasi energia potentiala U :

E=Er+U.

cu suma dintre energia cinetrca E"

(4.16)

unde a^a^ = A(8. Spre deosebire de vrteza, acceleratia este maxima inmometele in care elongatia este maxima.Miscarea descrisa de ecuatiile (4.10) (4.15) si (4.16) poarta denumireade rniscare armonica. Daca asupra corpului actioneaza numai forta elasticaF

- -l

tl

Tinand cont de expresia vitezei (4.15) , obtinem pentrurelatia:

energia cinetica

E, -4 -!*r,f A2 cos2 c,4t.

'22(4.18)

Energia potentiala este egala cu lucrul mecanic al fortei elastice pentru adeplasa corpul la distanta xfata de pozitia de cehilibru:

du -- -Fdx ; (J = -i r* -iwa* -Ito' =!nq' sin2 a4t (4.1e)oo22

Inlocuind (4.18) si (4.19) in (4.17) rcztlta:

(4.20)

unde am tinut cont ca k = md. Deoarece amplitudinea A si pulsatia 0foaoscilatiilor sunt constante in timp, rczalta ca energia totala a oscilatoruluieste la randul ei constanta in timp. In concluzie, relatia (4.20) reprezintalegea de conservar"e a energiei pentru un oscilator armonic. Deoarece energiamecanica a oscilatorului se conserva rentlta ca fortele elastice sunt forteconsen'ative.

Oscilatiile armonice reprezinta o clasa larga de fenomene din fizica si dinpractica. Astfel, este suficient sa aratam ca orice corp efectaeaza o miscareoscilatorie atunci cand acesta este deplasat pe distante mici din pozitia deechilibru. Pentru a demonstra acest lucru vom tinem cont ca in pozitia deechilibru energia potentiala este minima, asa cum este ilustrat in figura 4.3.

6

Figura , 4.3 Pozitia de echilibru stabil a coqpului este in punctul in careenergia sa putentiala are un minim. Riginea sistemului de coordonata a fostastfel aleasa incat pozitia de echilibru a corpului sa fie in punctul x=0,iarenergia potentiala in pozitia de echilibru sa fie egala cu zero, U (x)

-

Q .

Daca dezvoltam functia U(*) in serie Taylor in jurul punctului x=0,obtinem

(4.21)

Deoarece in punctul x = 0 energia potentiala U (x)este minima , derivatade ordinul intai se anuleaza in acest punct,(4!\

-o\ dx )*=oIn plus, asa am ales origine sistemului de coordonate incat in punctul x = 0energia potentiala este egala cu zero, U(0) = 0. Daca consideram numaicantl deplasarilor mici in jurul pozitiei de echilibnr, x

Forta care actroneaza asupraechilibru este data de formula

corpului pentru al readuce in pozitia de

dU (4.23)F_ - -kx,

unde

Din relatia (4.23) rczulta ca forta care actiorLeaza asupra corpului este oforta de tip elesatic si, ca rezultat, corpul va efectua oscilatii armoniceatunci cand ele este scos din pozitia de echilibru. Atragem atentia ca acestlucru este valabil atat timp cat amplitudinea este mica si , ca urmare, inrelatia (4.21) termenii de ordin superior in x pot fi neglijati.De exemplu, atomii, ionii sau moleculele unei retele cristaline efectueazamiscari oscilatorii in jurul pozitiei de echilibru. Aceste oscilatii suntresponsabile atat de proprietatiele termice, cat si de dependenta detemperatura arczistivitatii electrice a unui metal.

4.2. Oscilatii amortizate

In paragraful precedent s-a neglijat influenta fortelor de frecare asupramiscarii oscilatorii a unui co{p. In realitate, asupra unui corp intotdeaunaactioneaza pe laga celelalte forte si fortele de frecare care se opun miscarii.De exemplu, daca corpul se misca intr-un mediu fluid ( gaz san lichid)asupra lui vor actiona fortele de vascozitate, care se opun miscarii. Ingeneral fortele de frecare sunt proportionale cu viteza corpului si au sensinvers vitezei

dx

Ff =-|fr, (4.24)unde coeficientul de proportionalitate / se numeste coeficient de frecare saucoeficient de rezistenta.In figura 4.4 este ilustrat cazul in care pe langa forta elastica asuprapunctului material actioneazasi forta de frecare , F, = -l*.J

r#iiriiiiiiiiiaiiiir#:iiiiiiiiiilf**.+ffi

Figura 4.4 In realitate pe langa forta elastica F - -ki, asupra corpului

actioneaza si forta de frecare F.f = -]fr , care intotdeauna se opune miscarii.

Tinand cont de forta de frecare, se obtine uramatoarea ecuatie de miscare:

ecuatia miscarii amortizate devine

unde dse numeste coeficientoscilatiilor in absenta frecarii.

(4.25)

(4.26)

(4.27)

de amortizarc, iat 0\ este pulsatia proprie a

d2x dzx dxnt .r--l$-yvint n+T- *kx=U.dt" dt' dtFacand notatiile

26=L, t8m

k,

m

Ecuatia caracteristica a ecuatieieste

r2+26r+d=0.

diferentiale omogene de gradul doi 9.27)

(4.28)

Tl,z = -t t

Valoarea acestor solutii depinde de relatia care exista intrecoeficientului de amortizare 6 si valoarea frecventei proprii de0fo. Astfel, distingem doua canJrr importante:a) In caz:ul in care 6 a ch solutiile 9.29) sunt imaginare si potsub forma

(4.2e)

valoareaoscilatie

fi scrise

(4.30)

(4.31)

este

(4.32)

rr,2=-5+i

unde

- -6 liat,

Tinand cont de (4.30) solutia generala a ecuatiei de miscare (4.27)

x(t) -

Crertt * Crerzt = ,-& (rrrt* + C2e-i*),unde C1 si C2 sunt constante arbitrare in general complexe. Determinareaacestor constante se face din conditiile la limita impuse solutiei (4.32\ inasa fel incat aceasta solutie sa aiba sens fizic. In primul rand, elongatia xtrebuie sa fie o marime reala 1x = x* ). Aceasta conditie este indeplinita dacaCt = Ci.Utilizand formulele lui Euler , ,!i* = cos xlisin x, solutia (4.32) poarefi scrisa sub forma

^1-d'

10

x(t) -

,-* lQ, + Cz) cos o t + i(Cr - C) sin arf , (4.33)unde este usor de demonstrat ca combinatiile (C1 *Cz) si i(C1

-Cz)sunt constante reale deoarece Ct = Cl.facand notatiile

i(q- c2) C, +C,-- ct89, = 4,

sn (p(4.34)

Ct + C,,

solutia (4.33) devine

(4.35)

unde 4 ri Q se determina din conditiile initiale, t -0, pe care trebuie sale satisfaca elongatia. Din relatia (4.35) rcntlta ca punctul material executao miscare periodica cu perioada

(4.36)

Este de remarcat ca aceasta perioada este mai mare decat perioada proprie amiscarii oscilatorii libere (in absenta fortei de frecare) sub influenta aceleiasiforte elastice.Spre deosebire de oscilatiile libere in acest caz amplitudinea miscarii este ofunctie de timp,

(4.37)

care descreste in timp dupa o lege exponentiala, asa cum este aratat in figura4'5 , Asa cum se poate observa din acesta figura, dupa un timp suftcient de

lung amplitudinea miscarii devine zero si oscilatia dispare. O astfel demiscare poarta denumirea de miscare arnortizata.Amortizarea oscilatiilor se caracterizeaza ct ajutorul unei marimi numitaclecrement logaritmic al amortizartt, definit prin relatia

11

l ]f$#ff# i::. :!:::,:-:!!*,:!*: :iJ!:

(4.38)

(4.3e)

Figura 4.5 Reprezentarea grafica a ecuatiei de miscare (4'35) pentrumiscarea oscilatorie amortrzata.

Pe langa decrementul logaritmic, un alt parametru care caracteizeazamiscarea amortizata este timpul de relaxare, care reprezintatimpul ? dupacare amplitudinea oscilatiei scade de e-2,718 ori:

A(t +q -N).

eInlocuind in aceasta relatie de definitie expresia amplitudinii data de relatia(4.37) si luand logaritmul natural din expresia astfel obtinuta, rezu,Itapentru timpul de relaxare urmatoarea expresie:

(4.4o)

Timpul de relaxare este o masurq a timpului de viata a oscilatiei amortizate.O alta marime forte des utilizata pentru caractenzarea unui sistem oscilanteste factoml de calitate, 0. Acest parametru este folosit mai ales in

t2

caracterrzarea circuitelor electrice in curent alternativ, dar este aplicabiltuturor sistemelor oscilante, indiferent de natura oscilatiilor (mecanice,electrice, electromagnetice, etc.). Factorul de calitate Q defineste viteza cucare sistemul oscilant pierde energie datorita existentei fortelor disipative sise defineste ca fiind produsul dintre 2n si raportul dintre energia lamomentul t,E(t), si pierderea de energie intr-un interval de timp egal cu operioada de la momentul t , LE

-

E(t +T) -

E(t) :

(4.41)

In relatia (4.41) s-a introdus lAEl deoarece in cazul unei oscilatiiamortizate energia sistemului scade si , in consecinta, variatia energieiAE este negativa. Deoarece, prin conventie, factorul de calitate este omarime pozitla, Q > 0, este necesar ca in relatia de definitie (4.41) sa seutllizezein locul lui AE modulul sar, lAEl.Inlocuind in expresia energiei oscilatorului $.20) amplitudinea oscilatieicu relatia (4.37) obtinem:

E(t) -f,ne' =),,"n|r-?tt .

Conform relatiei (4.42) energia oscilatoruluicu timpul, coeficientul de amortizare firnd 26 .este

dE - -zaE .dt

unde semnul minus arata ca energia sistemului scadeobtinem ca varratia energiei, AE, intr-o perioada,relatia:

LE = -ZEIE .

(4.42)

amortizat scade exponentialYrteza de variatia a energiei

(4.43)

Din @'43)este data de

(4.44)

in timp.dt=7,

13

ITinand cont de relatia de definitie r (4.41)calitate expresia:

obtinem pentru factorul de

O=2tt E ,=ZrL=Zr!.: lAEl T6 runde am tinut cont ca t =U 6. Daca invaloarea perioadei (4.36) si consideram,Ch >> d , atunci relatia (4.45) devine

b. In cazll in care fortele de frecare,6, ch, radacinile 929) ale ecuatieiecuatiei de miscare (4.27) devine

x(t) =g tr-{a+1@ -r'fi)' * Crr-(u-

(4.46)

In tabelul de mai jos sunt date valorile lui Q pentru cateva sisteme oscilante.

Pamantul, pentru o tmda seismicaCavitate de cupru rezonanta indomeniul microuidelorCoarda de vioaraAtom excitatNucleu excitat

(4.45)

relatia de mai sus se inlocuiestecazll oscilatiilor slab amortrzate

sunt mai mari decat cele elasticecaracteristice sunt reale, iar solutia

(4.47)

unde Cpi C2 sunt constante reale. Conform relatiei 9.47) , in acest cazelongatia tinde asimptotic catre zero si miscarea este aperiodica, asa cumeste ilustrat in figura 4.6.Din relatia (4.40) este usor de aratat ca daca 5 > ft4, atunci factorul decalitate este subunitar, Q l. Tinand cont de aceasta observatie se poate afirma ca un

-dt,)

t4

F, = Fgsinat, (4.48)

(4.4e)

:#*$a''r,-,*=rntfl$i$d'$iffi

Figura 4.7 , In cazul oscilatiilor intretinute pe langa forta elastica si cea defrecare actioneaza si o forta exterioara, F" = Fgsin at .

unde A este frecventa cu care actioneaza forta exterioara. In acest cazecuatia de miscare se poate scrie sub forma:

d2x dx*#* G+kx - Fo sin rrr,sau

(4.50)

unde 6 si rt4sunt date de relatiile W26) .Solutia ecuatiei diferentiale neomogene (4.50) poate fi scrisa ca suma adoi termeni: primul termen il reprezinta solutia ecuatiei omogene (faramembrul drept), care este data de relatia (4.35)

,rf-52t+eo),

l;:5KX,,

:-!>.:r.!!n!rlr..r r ..:!

iF;sftsin&)t

\(t)= ,Aoe-t sin(16

(4.51)

sistem oscilant va efectua oscilatii armonicesistemul va efectua oscilatii anarmonice.

daca Q>I, iar pentru Q Tenergia pierduta de sistem este mica si, prinurmare, la sfarsitul perioadei sistemul are suficienta energie pentru acontinua oscilatia. ln cazul Q Ch.

4.3 Oscilatii intretinute. RezonantaIn natura nu exista un oscilator armonic ideal, care sa oscileze un timp

infinit. In realitate asupra oricarui corp care efectaeaza o miscare oscilatorieactioneaza forte de frecare de tipul Ff

---7r'I , care Consuma energiaoscilatorului, avand ca efect amortizarca oscilatiilor. Pentru a intretineoscilatiile este necesar sa se actioneze din exterior cu o forta periodica, caresa intretina oscilatiilor. Din punct de vedere energetic acest fapt se traduceprrn pomparea penodica de energie in sistem pentru a compensa energiapierduta datorita fortelor de frecare.

Sa presupunem ca asupra oscilatorului de masa mactioneaza (Fig.+-7) pe langa forta elastica si de frecare si o forta exterioara periodica de

forma

15

Datorita faptului ca termenul x1(r) descrie o oscilatie amortizata el devinezero dupa un timp suficient de lung, t > T, iar solutia ecuatiei (4.S0)devine

x(t) - \(t) + x2Q) - xz(t) - Asin(at + e) . (4.53)

Pentru t < t iar miscarea se numeste in regim tranzitoriu, iar pentrut > t miscarea oscilatorie este in regim stationar. In regim stationar sistemuloscileaza cu o frecventa a egala cu cea a fortei de intretinere si nu cufrecventa proprte a sistemului, Ct\.

Amplitudinea, A, si faza ,(p, a oscilatiei fortate se determina dinconditia ca (4.53) sa fie o solutie a ecuatiei (a.50) :

- Aaz sin(ctr + g) +2loAcos(u + g) + Aaflsin(ra + g)

--

&.rrn c,tm

si o solutie x2(t)datorata partii neomogene de forma:

xzQ)-Asin(m+O.

Dezvoltand sin(at + g) si cos(ca + g)sin at si cos @t din membru stang cu ceirenilta urmatorul sistem de ecuatii :

AGE -

02) cos g-2Satasing= 4 ,

m

AGIE -

02) sin p- 26oAcos p - 0.

(4.52)

si identificand coeficientii luidin membru drept ai relatiei,

(4.54)

(4.55)

Prin rezolvarea acestui sistem rczlltapentru Asig urmatoarele valori:

QE --ozf ++62af

t7

25at89 - o'

- c,t

Asa cum rezulta din ecuatiile (4.55)amplitudine si faza oscilatiilor intretinutea a fortei de intretinere si pulsatia 4fo aValoarea amplitudinii A este o functie demaximul sau fiind determinat de conditia

4-oda

(4.56)

si (4.56) in regim stationardepind de raportul dintre pulsatiaoscilatiilor proprii ale sistemului.pulsatia a a fortei de intretinere,

(4.57\

Inlocuind in (4.57) expresia aplitudinii (4'56) obtinem ca amplitudineaoscilatiei intretinute este maxima daca pulsatia fortei de intretinere este

(4.58)

Pulsatia a, poartadenumirea de pulsatie de rezonanta, iar V, = A, f 2nse numeste tiecventa de rezonanta. Fenomenul de aparitie a unui maxim deamplitudine al oscilatiilor intretinute poarta denumire de rezonanta. Valoareamaxima a amplitudinii se obtine inlocuind (4.58) in (4.56)

(4.5e)

Din relatia (4.59) rezulta ca maximul amplitudinii este cu atat mai mare cucat coeficientul de amortizare 6 este mai mic, tinzand la infinit cand dtindela zerc. Tinand cont de expresia factorului de calitate (4.56) , relatiile(4.58) si (4.59) pot fi scrise sub forma,

(4.60)

respectiv

18

Dependenta amplitudinii (4.55) inintretinere pentru diferite valori ale lui

(4.61)

functie de pulsatia a a forteiQeste prezentatain figura 4.8

de

Figura 4.8. Dependenta amplitudinii oscilatiei intretinute de frecventa fortei deintretinere pentru diferite valori ale factorului de calitatea Q. Linia punctata reprezintadependenta frecventei de rezonanta A, de factorul de calitate conform relatiei (4.60)Pentru Q+ oo frecventa de rezonanta este egala cu frecventa propie de oscilatie asistemului, A, = C0g.

Decalajul in timp, caractenzat de unghiul (p, dintre elongatia oscilatieix= Asin(at+O si forta externa de intretinere F

- Flsinat este, de

asemenea, o functie dependenta de a, conform relatiei (4.60) Este usorde observat ca pentru valori mici ale lui A defazajul este zero, iar la

T9

1tfrecvente inalte este

- TT.Pentru O)=oydefazajul este egal

"" -; (vezi

figura 4.9)

fortei cu un sfert de perioada.

Fenomenul de rezonanta are o larga raspandire in fizica si tehnica: rezonantasistemelor mecanice, circuitelor electrice,la scara atomica si moleculara, etc.

4.4. Compunerea oscilatiilor

Sa consideram cazal in care un colp executa simultan doua miscarioscilatorii de forma:

\(t) =,4n sin( ffi + h),si

xzQ)= Azsin(ar +g).

(4.62)

(4.63)

20

Rezultatul suprapunerii oscilatiilor este tot o oscilatie armonica de aceiasifrecventa . Prin urmare, oscilatia rezultanta este de forma:

x(t)-Asin(at+O. (4.64)

Pentru determinare amplitudinii A si a fazei Q a oscllattei rczlltante vomtine cont ca

x(t)-\(r)+x2(t). (4.65)Din punct de vedere matematic, compunerea oscilatiilor (4'65) se reduceadunarea fazorilor corespunzatori, asa cum este aratat in figura 4.1O.

hgara 4'10. Reprezentarea fazoiala a oscilatiilor .X1si .X2. Oscilatia rezultanta seobtine prin adunarea fazorilor corespunzatoi dupa regula paralelogramului. Pentrudeterminarea fazei initiale I a oscilatiei rezultante, vectorul corespunzator a fostdescompus pe doua directii perpendiculare X

- ! .

Din aceasta figura rezultaimediat ca:

(4.66)

si

21

(4.67)

Conform relatiei (4.66) , amplitudinea oscilatiei rezultante depindediferenta de faza Qz - (fta oscilatiilor componente. Astfel,

de

A= At+ Az pentru Qz-h=2n7T,si

(4.68)

(4.6e)

ultimul caz sunt in opozitie de

x = xt * x2 = 2Acos|r, - c4)t. .o, J (q + (q,)t , (4.71)

,4 = lAr - 4l pentru gz - g, - (2n + l)n .In primul caz oscilatiile sunt in faza, iar infaza.

Este de remarcat ca daca frecventele oscilatiilor componente diferaintre ele, oscilatia rens,ltanta nu mai este armonica. In acest caz fazoi serotesc cu viteze unghiulare diferite, iar diferenta de faza (p2

- pl nu este

constanta in timp si, ca rezultat, amplitudinea oscilatiei rezultante (conformrelatiei (4.66) nu este constanta in timp.4.5. Fenomenul de batai

Un caz particular de compunere al oscilatiilor este acela in care secompun doua oscilatii de frecvente foarte apropiate intre ele, astfel incat:

0, = ohr lq - 0)21.. qsau a2. (4.70)

Daca consideram doua oscilatii de forma xt = Asin a4t si x2 = Asin a2t ,atunci oscilatia rezultata inurma compunerii celor doua oscilatii este:

22

unde am tinur cont ca: sina+sin B--z.orj @- B)sin(a+ b. Asacum reiese din relatia W71) , oscilatia rezultanta este sinusoidala cu

1pulsatia :(toitq), avand insa aplitudinea lent variabila in timp cuzI

frecventa ^ (Al-c\) . Acest fapt este ilustrat in figura 4.11 si el poarta2.Ldenumirea de fenomenul de batai. In acustica acest fenomen se manifesta

prin faptul ca sunetul de frecv "^o )Glt+r4.) se aude succesiv intarindu-se

si slabindu-se cu perioada batailor:

nL2n4nrb=',=f;;l=1'a-^,

ry4,4,t/,#;nr/?/r1 ,e-wahat

*,'v,iilti/

(4.72',)

pt/a/rA' kratfrhet