d. ciołek ekonometria – wykład 1

D. Ciołek EKONOMETRIA – wykład 1

I Model ekonometrycznyModel ekonometryczny - jest podstawowym narzędziem w

ekonometrii, służącym do analizy zależności zachodzących między różnymi zjawiskami.

Model - jest uproszczonym odwzorowaniem rzeczywistości, uproszczoną reprezentacją realnego obiektu, realnej sytuacji lub realnego procesu.

- uwzględnia tylko istotne cechy, najważniejsze z punktu widzenia określonego celu.

- nie jest dokładną reprezentacją rzeczywistości.

(Pawłowski 1978): „Model ekonometryczny jest to konstrukcja formalna, która za pomocą jednego równania lub układu równań przedstawia zasadnicze powiązania występujące pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi.”


Ogólna postać modelu:

y – zmienna objaśniana w modelu – endogeniczna,

x – zmienne objaśniające, wyjaśniają kształtowanie się zmiennej endogenicznej,

- składnik zakłócający,

f( ) - oznacza postać analityczną funkcyjnej zależności miedzy zmienną endogeniczną i zmiennymi objaśniającymi.

Zmienne objaśniające (w modelach jednorównaniowych):

- zmienne egzogeniczne,

- zmienne endogeniczne opóźnione w czasie.

),( xfy


Przykład 1: Analizujemy popyt na pomidory.

a) Z teorii ekonomii wiemy, że istnieje ujemna zależność między wielkością popytu, a ceną danego dobra.

Możemy zapisać:

(Jest to model ekonomiczny model ekonomii matematycznej)

gdzie: q - wielkość popytu na pomidory w kg,

c - cena pomidorów w zł/kg.

b) Wiemy jednak, że jest to tylko model, może on przyjmować różne postaci. Możemy zapisać np:

Model ekonomiczny (model ekonomii matematycznej

gdzie: q - wielkość popytu na pomidory w kg,

c - cena pomidorów w zł/kg,

itd…

)(cfq

,...),,,,,( psccdcfq pw


Przykład 1 cd: c) Zgodnie z przedstawioną wcześniej definicją modelu

ekonometrycznego np:

Teoretyczna postać modelu ekonometrycznego, który zostanie oszacowany dla T obserwacji (t=1,2,…,T), aby zweryfikować założoną z góry (apriori) teorię ekonomiczną.

),...,,,,,,( tttttttt pscpcwdcfq


Przykłady modeli o konkretnej postaci analitycznej:

Model liniowy – regresja prosta:

Model liniowy – regresja wieloraka:

- są to nieznane, stałe w czasie parametry strukturalne.

- parametr strukturalny wyrazu wolnego,

- parametry strukturalne przy zmiennych - odzwierciedlają siłę i kierunek wpływu zmiennej objaśniającej na zmienną endogeniczną, i=1,2,…,k.

k – liczba zmiennych objaśniających w modelu.

ttt xy 10

0i

ttkkttt xxxy ...22110


Klasyfikacja zmiennych w modelu:

Zmienne egzogeniczne

1)

2)

Zmienne endogeniczne

1)

2)

ttttt dscy 3210

ttttt dscy 3210

tttt dcc 2110

tttt dcc 2110


Składnik zakłócający - losowyPrzyczyny uwzględniania składnika losowego w modelu:

- pominięcie niektórych czynników objaśniających (niektóre czynniki są nierozpoznane przez teorię, inne są niemierzalne),- wybór niewłaściwej postaci analitycznej funkcji; postać analityczna modelu zwykle nie jest dokładnie określona przez teorię ekonomii,- błędy w pomiarze zmiennych ekonomicznych, - losowy charakter zmiennych ekonomicznych.

Składnik zakłócający jest zmienną losową i jak każda zmienna losowa charakteryzuje się pewnym rozkładem prawdopodobieństwa.

Cechy rozkładu składnika zakłócającego są ważnym elementem modelu ekonometrycznego.


Zapis macierzowy modelu ekonometrycznego

Dany jest liniowy model ekonometryczny:

t =1, 2, …, T,

Ogólnie postać macierzową tego modelu można zapisać jako:

gdzie: y – wektor obserwacji na zmiennej endogenicznej,

X – macierz obserwacji na zmiennych objaśniających,

- wektor parametrów strukturalnych,

- wektor składników losowych.

ttkkttt xxxy ...22110

Xy


Zapis macierzowy modelu ekonometrycznego

T – liczba obserwacji,

k – liczba zmiennych objaśniających,

k+1 – liczba parametrów strukturalnych.

1

3

2

1

TTy

y

y

y

y

)1(1

331

221

111

1

1

1

1

kTTkT

k

k

k

xx

xx

xx

xx

X

1

3

2

1

TT

1)1(

1

0

kk


Klasyfikacja modeli ekonometrycznychPrzykład 2:

gdzie:

Li – nakład pracy w i-tym przedsiębiorstwie (w osobach);

Ki – wartość brutto zakładu lub fabryki (mln $);

Qi – wartość dodana brutto wypracowana w i-tym przedsiębiorstwie (mln $).

Model: - opisowy, - statyczny,

- stochastyczny, - mikroekonomiczny,

- nieliniowy, - *

- jednorównaniowy, - przyczynowo–skutkowy.

ieLKQ iii 21

0


II Estymacja modelu - MNKOszacować (estymować) model oznacza znaleźć oceny

parametrów strukturalnych na podstawie konkretnej próby.

Metody szacowania parametrów strukturalnych:

- Metoda Momentów,

- Metoda Najmniejszych Kwadratów,

- Metoda Największej Wiarygodności,

- i wiele innych…

Twierdzenie Gaussa-Markowa:

W klasycznym modelu regresji liniowej najlepszym nieobciążonym estymatorem linowym parametrów jest estymator uzyskany Metodą Najmniejszych Kwadratów (MNK).


Własności estymatorów

Nieobciążoność – g jest nieobciążonym estymatorem , jeżeli E(g)= , co znaczy, gdy wartość oczekiwana w rozkładzie z próby g jest równa .

Oznacza to, że gdybyśmy obliczali wartość g dla każdej z prób, którymi dysponujemy i powtarzali ten proces nieskończenie wiele razy, to średnia z uzyskanych ocen byłaby równa .

Efektywność – estymator jest efektywny, jeżeli wartości g wyliczone dla różnych prób nie różnią się między sobą znacznie tzn. jeżeli wariancja estymatorów jest mała.

Estymator z najmniejszą wariancją – najbardziej efektywny.


Własności estymatorówZgodność – (własność dużych prób) zwiększanie liczebności

próby umożliwia uzyskiwanie estymatora o wartości coraz bliższej szacowanego parametru, z prawdopodobieństwem bliskim jedności:

Można wykazać, że:

Metoda Najmniejszych Kwadratów jest estymatorem

- nieobciążonym,

- zgodnym,

- najbardziej efektywnym w klasie estymatorów nieobciążonych.

BLUE –Best Linear Unbiased Estimator

1lim

gPn


Założenia MNKZałożenia numeryczne – warunki stosowalności:

1) T > (k+1), czyli liczba obserwacji musi być większa niż liczba szacowanych parametrów.

2) r(X)=(k+1), czyli rząd macierzy X musi być równy liczbie szacowanych parametrów.

Drugi warunek oznacza brak współlinowości zmiennych objaśniających, tzn. że zmienne objaśniające są liniowo niezależne, *(czyli nie tworzą ze sobą takiej kombinacji liniowej, która w wyniku daje wektor zerowy).


Przykład współlinowości zmiennych: X1-liczba pracowników w przedsiębiorstwie,

X2-liczba pracowników na stanowiskach kierowniczych,

X3-liczba pracowników na stanowiskach niekierowniczych.

X1=X2+X3, czyli X1-X2-X3=0

Rząd macierzy X=3 < k+1=4

Nie da się zastosować MNK!

5010601

173201

416471

488561

264301

X


Założenia MNKZałożenia stochastyczne (dotyczą składnika losowego):

1) dla wszystkich t - wartość oczekiwana składnika losowego jest równa zero.

2) dla wszystkich t – wariancja jest jednakowa dla wszystkich obserwacji -

homoscedastyczność.

3) i są niezależne dla - składniki losowe dla różnych obserwacji nie zależą od siebie, nie są skorelowane; brak autokorelacji składników losowych.

4) i są niezależne dla wszystkich t – zmienne objaśniające nie zależą od składnika losowego, tzn. zmienne objaśniające są nielosowe.

5) - składnik losowy dla każdej obserwacji ma rozkład normalny.

0tE

22 t

i j

tx t

ji

2,0~ Nt


Założenia MNKJeżeli nie są spełnione założenia numeryczne – nie jesteśmy w

stanie zastosować matematycznych formuł na MNK.

Jeżeli nie są spełnione stochastyczne założenia 1), 2), 3), 4) estymator MNK, przestaje być BLUE, daje obciążone oceny parametrów strukturalnych.

Założenie 5) nie ma znaczenia dla własności MNK. Jego spełnienie jest konieczne, aby można było zastosować testy statystyczne pozwalające sprawdzić wszystkie powyższe założenia.

Większość testów statystycznych bazuje na złożeniu, że analizowana zmienna losowa ma rozkład normalny.


Model z jedną zmienną objaśniającą:

to równanie opisuje, zachowanie rzeczywistych wartości zmiennej endogenicznych.

MNK to metoda, która do punktów dopasowuje taką prostą, która przechodzi najbliżej wszystkich punktów równocześnie. Równanie prostej:

to równanie opisuje, teoretyczne wartości zmiennej endogenicznych, (wartości, które leżą na dopasowanej prostej).

ttt xy 10

tt xy 10ˆˆˆ


x

y

yt

ty

t

tt xy 10ˆˆˆ


Odległość rzeczywistego punktu od prostej nazywana jest odchyleniem, albo resztą:

Reszta nie jest składnikiem losowym, jest to oszacowany składnik losowy (błąd) w modelu.

Na szeregu reszt sprawdzane będą założenia stochastyczne.

ttt yy ˆˆ


Idea MNKMNK dopasowuje prostą do punktów, w taki sposób, aby

odległości od wszystkich punktów były jednocześnie jak najmniejsze.

Każda odległość podnoszona jest do kwadratu, ponieważ mają różne znaki.

MNK minimalizuje sumę kwadratów odchyleń (reszt):

minˆ1

2

T

tt

minˆˆˆ1

2

101

2

T

ttt

T

ttt xyyy


Estymator MNKMacierzowa postać modelu:

Oznacza to, że:

Suma kwadratów odchyleń to:

Po wymnożeniu otrzymujemy:

Przyrównując pochodną po do zera otrzymujemy:

Xy Xy

min XyXy TT

min2 XXyXyy TTTTT

022 XXyX TT yXXX TT 1ˆ


Estymator MNKPo dokonaniu minimalizacji sumy kwadratów reszt

otrzymujemy następującą macierzową formułę pozwalającą wyznaczyć oceny parametrów strukturalnych modelu liniowego MNK:

yXXX TT 1ˆ

- wektor ocen parametrów strukturalnych

y – wektor obserwacji na zmiennej endogenicznej,

X – macierz obserwacji na zmiennych objaśniających.


III Weryfikacja modeluWeryfikacja ekonomiczna:

- Sprawdzenie zgodności wyników oszacowania z teorią ekonomiczną.

Weryfikacja ilościowa:

- Sprawdzenie dobroci dopasowania modelu do danych rzeczywistych,

- Sprawdzenie poprawności doboru postaci analitycznej modelu,

- Sprawdzenie istotności zależności między zmienną endogeniczną a zmiennymi objaśniającymi.

Weryfikacja stochastyczna:

- Sprawdzenie prawdziwości założeń dotyczących składnika losowego – badanie własności estymatora MNK w tym modelu.

- Sprawdzenie własności prognostycznych modelu.


Błędy szacunku parametrów strukturalnych Oszacowany model regresji wielorakiej można zapisać:

Interpretacja:

Szacując parametr mylimy się średnio in plus, in minus .

lub

uwzględniamy błąd szacunku w interpretacji parametru

strukturalnego.

i

tkktt xxyk

ˆˆ

1ˆˆ

1ˆˆ

0ˆ...ˆˆˆ

10

i ˆˆ


Syntetyczne miary dopasowania 1) Średni błąd resztowy (odchylenie standardowe reszt)

określa o ile jednostek (in plus; in minus), przeciętnie rzecz biorąc, zaobserwowane wartości zmiennej endogenicznej odchylają się od wartości teoretycznych (wyznaczonych na podstawie oszacowanego modelu) tej zmiennej.

2) Współczynnik zmienności losowej

Informuje o tym, jaki jest procentowy udział średniego błędu reszt w średniej wartości zmiennej endogenicznej.

2 ˆˆ

100y

V


Syntetyczne miary dopasowania 3) Współczynnik determinacji

informuje jaka część całkowitej zmienności zmiennej endogenicznej została ,,wyjaśniona'' przez model empiryczny.

4) Współczynnik zbieżności (indeterminacji)

Informuje, jaka część rzeczywistej zmienności zmiennej endogenicznej nie została ,,wyjaśniona'' przez model empiryczny, tj. kształtuje się pod wpływem czynników nieuwzględnionych w modelu empirycznym.

T

t t

T

t t

yy

yyR

1

2

1

2

2

)(

)ˆ(

T

t t

T

t t

yy1

2

1

2

2

)(


Syntetyczne miary dopasowania Jeżeli w modelu występuje wyraz wolny, to:

oraz

W każdym przypadku suma obu współczynników:

Należy pamiętać, że:

W przypadku szacowania modelu dla niestacjonarnych szeregów czasowych, wraz ze wzrostem liczebności próby, obie miary stają się obciążone i oceniają dopasowanie zbyt optymistyczne.

10 2 R 10 2

122 R


Efekt pozornego wyjaśniania

Suma kwadratów reszt zależy od liczby zmiennych objaśniających w modelu – im większa liczba zmiennych tym mniejsza suma kwadratów reszt.

W modelu z bardzo dużą ilością zmiennych objaśniających możemy uzyskać sumę kwadratów reszt = 0.

Wartość współczynnik determinacji wzrasta wraz z dodawaniem nowych zmiennych objaśniających, niezależnie od tego czy nowe zmienne mają istotny wpływ na zmiany zmiennej endogenicznej.

Oba współczynniki należy skorygować uwzględniając liczbę zmiennych objaśniających w modelu.


Syntetyczne miary dopasowania Korekta o liczbę stopni swobody:

5) Skorygowany współczynnik zbieżności (indeterminacji)

6) Skorygowany współczynnik determinacji

Po uwzględnieniu liczby stopni swobody w modelu, informuje, jaka część całkowitej zmienności zmiennej endogenicznej została ,,wyjaśniona'' przez model empiryczny.

22

1

1

kT

T

2222

11

kT

kRR


Syntetyczne miary dopasowania

Wartość zwykłego współczynnika determinacji wzrasta wraz z dodawaniem do modelu nowej zmiennej objaśniającej.

Wartość skorygowanego współczynnika wzrasta tylko wówczas, gdy dołączane zmienne mają istotny wpływ na zmienność zmiennej endogenicznej.

Miary skorygowane:wykorzystuje się do porównywania różnych modeli, z różną liczbą zmiennych objaśniających.

Niewielka różnica miedzy i świadczy o braku efektu ,,pozornego wyjaśnienia’’.

2R 2R


Model regresji bez wyrazu wolnego Regresja przez początek układu współrzędnych:

- gdy wymaga tego teoria ekonomiczna,

- gdy wyraz wolny znika w wyniku przekształceń zmiennych.

Konsekwencje:

• Współczynnik determinacji może przyjmować wartości mniejsze niż 0 i wartości większe niż 100%.

• Uzyskujemy niedoszacowane błędy szacunku parametrów strukturalnych.

• Nie możemy korzystać z niektórych testów statystycznych.

Współczynnik determinacji powinno się liczyć jako kwadrat współczynnika korelacji miedzy wartościami rzeczywistymi i teoretycznymi zmiennej endogenicznej.


Istotność parametrów strukturalnych

1) Test t-Studenta indywidualnej istotności parametru strukturalnego

Hipotezy:

Statystyka z próby:

Iloraz ten na rozkład:

),...,1,0(0:

0:0ki

H

H

iA

i

),...,1,0()ˆ(ˆ

ˆkit

i

ii

1~ kTi tt


Istotność parametrów strukturalnych W hipotezie zerowej mamy równość stąd:

obszar krytyczny jest obszarem dwustronnym

Pole obszaru krytycznego w każdym teście jest równe poziomowi istotności (stąd konieczność podzielenia na 2).

W teście t-Studenta H0 odrzucamy gdy:

Mówimy wówczas, że:

Parametr statystycznie różni się od zera, jest statystycznie istotny. Zmienna objaśniająca stojąca przy tym parametrze ma statystycznie istotny wpływ na zmienną endogeniczną.

2/|| tt i


Istotność parametrów strukturalnych

2) Test F łącznej istotności parametru strukturalnego

Hipotezy:


Statystyka na rozkład:

0:

0...:*21

*0

A

k

H

H

2

21*

R

k

kTF

kkTFF 1~*


Estymacja przedziałowa Otrzymujemy:

Jest to przedział ufności dla parametru strukturalnego.

Z prawdopodobieństwem równym współczynnikowi ufności, powyższy przedział zawiera nieznany parametr strukturalny

1)ˆ(ˆ

ˆ2/2/ ttP

i

ii

1)ˆ(ˆˆ)ˆ(ˆ 2/2/ iiii ttP

1)ˆ(ˆˆ)ˆ(ˆˆ2/2/ iiiii ttP

i


Weryfikacja stochastyczna:- Weryfikacja hipotezy o braku autokorelacji składników

losowych.

- Weryfikacja hipotezy o stałości wariancji składników losowych.

- Weryfikacja hipotezy o normalności rozkładu składnika losowego.

Jeżeli powyższe hipotezy są prawdziwe wówczas:

estymator MNK parametrów strukturalnych liniowego modelu ekonometrycznego jest estymatorem nieobciążonym, zgodnym i najbardziej efektywnym w klasie estymatorów nieobciążonych – BLUE.


A) Autokorelacja składników losowych

Autokorelacja w modelu może być autokorelacją dodatnią:

Wtedy, gdy obok siebie występować będą seriami składniki losowe takich samych znaków

1ˆ0 1

Reszty modelu - autokorelacja dodatnia

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

reszt

y 909,0ˆ1



Autokorelacja w modelu może być autokorelacją ujemną:

Wtedy, gdy obok siebie występują składniki losowe o różnych znakach.

0ˆ1 1

Reszty modelu - autokorelacja ujemna

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

reszt

y

964,0ˆ1



W praktyce jednak badanie autokorelacji składników losowych nie jest takie proste.

Reszty modelu - brak autokorelacji

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

reszt

y

164,0ˆ1



W modelach dla danych przekrojowych występowanie autokorelacji należy rozważać w inny sposób.

- Jeżeli kolejność ustawienia badanych jednostek jest dowolna wówczas nie można ustalić wiarygodnej wartości współczynnika autokorelacji.

- Jeżeli kolejność ustawienia jednostek jest określona: sąsiednie regiony lub państwa, sąsiadki na osiedlu, itp. wówczas występowanie autokorelacji składników losowych możemy interpretować jako efekt naśladowanictwa.

W modelach przekrojowych mamy do czynienia z autokorelacją przestrzenną.


Przyczyny autokorelacja składników losowych

- Pominięcie w modelu ważnej zmiennej egzogenicznej.

- Niewłaściwy dobór opóźnień zmiennych objaśniających.

- Efekt „wygasającego echa” – czynnik przypadkowy, który w pewnym momencie zadziałał ze znaczną siłą i jego działanie ma swoje skutki w następnych okresach – autokorelacja dodatnia.

- Wybór niewłaściwej postaci analitycznej modelu.

- Uwzględnienie w modelu zbyt dużej liczby zmiennych objaśniających przypadkowo dobranych.

- Pominięcie efektu sezonowości analizowanej zmiennej endogenicznej.


Skutki autokorelacja składników losowych

- MNK przestaje być BLUE – nadal jest estymatorem nieobciążonym, ale przestaje być najefektywniejszy.

- Wariancja resztowa staje się obciążonym estymatorem wariancji składników losowych.

- Obciążone i nieefektywne stają się estymatory błędów szacunku parametrów strukturalnych.

- Błędne są wyniki testów istotności.

- Niewiarygodne syntetyczne miary dopasowania.


Testowanie występowania autokorelacji

Testowanie zachowania składników losowych przeprowadzamy na szeregu reszt uzyskanych z modelu oszacowanego MNK.

1) Test Durbina-Watsona

- Służy do badania autokorelacji rzędu pierwszego


Jeżeli w modelu podejrzewamy występowanie autokorelacji dodatniej, wówczas hipotezy testu:

T

t t

T

t ttDW

1

2

2

21

ˆ

)ˆˆ(

4,0DW

2,0DW

0:

0:

1

10

AH

H



Jeżeli w modelu podejrzewamy występowanie autokorelacji ujemnej, wówczas hipotezy testu:

W takim przypadku wyliczamy nową wartość statystyki:

W obu przypadkach z tablic testu Durbina-Watsona odczytujemy dwie wartości krytyczne (dla liczby obserwacji T i liczby zmiennych objaśniających k):

0:

0:

1

10

AH

H

4,2DW

DWDW 4*

ul dd



Reguła decyzyjna:

- Jeżeli , to odrzucamy hipotezę zerową.

- Jeżeli , brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

- Jeżeli , to wartość statystyki znajduje się w tzw. obszarze niekonkluzywności testu, test DW nie daje odpowiedzi, czy w modelu występuje autokorelacja składników losowych.

Relacja między statystyką DW a współczynnikiem autokorelacji:

ldDWDW )lub( *

udDWDW )lub( *

ul dDWDWd )lub( *

)ˆ1(2 1DW



Warunki stosowania testu Durbina-Watsona:

- W modelu musi występować wyraz wolny.

- Zmienne objaśniające muszą być nielosowe.

- Wśród zmiennych objaśniających nie może znajdować się zmienna endogeniczna opóźniona w czasie.

- Liczba obserwacji powinna być wystarczająco duża: im mniejsza liczba obserwacji tym szerszy przedział niekonkluzywności testu.

Należy pamiętać, że test DW bada tylko autokorelację rzędu pierwszego (pomiędzy sąsiednimi obserwacjami).


Testowanie występowania autokorelacji Dla modeli, w których zmiennymi objaśniającymi są zmienne

endogeniczne opóźnione w czasie:

3) Test h Durbina

Hipotezy testu:


gdzie jest empiryczną wariancją błędu estymacji parametru , T oznacza liczebność próby, zaś oznacza współczynnik autokorelacji reszt MNK.

0:

0:

1

10

AH

H

)ˆ(ˆˆ

121

1

T

Th

)ˆ(ˆ 12

1

tttKKtt yxxy 11110 ...

1



Statystyka h ma asymptotycznie rozkład normalny standaryzowany:

Wartości krytyczne dla testu h:

Hipoteza zerowa jest odrzucana wówczas, gdy:

Testu nie można zastosować, gdy:

)1;0(~ Nh

9,0)645,1|(| 1,0 zzP

95,0)96,1|(| 05,0 zzP

99,0)576,2|(| 01,0 zzP

zh ||

1)ˆ(ˆ 12 T



4) Test Godfreya

Służy do testowania autokorelacji dowolnego rzędu w modelach statycznych i dynamicznych.

Gdzie jest składnikiem czysto losowym.

Model ten jest szacowany MNK i reszty z pierwszego oszacowania wykorzystywane są jako zmienne objaśniające:

tststtkktt yyxxy ...... 11110

),...,2,1( Tt

),...,1(;...2211 Tpttptpttt

t

tptpt

tststtkktt yyxxy

ˆ...ˆ

ˆ......

22

1111110



Testowane hipotezy:

Statystyka z próby (dla dużych prób):

gdzie to suma kwadratów reszt dla modelu bez reszt w roli zmiennych objaśniających,

to suma kwadratów reszt w modelu, w którym reszty w kolejnych opóźnieniach są zmiennymi objaśniającymi.

Statystyka ma asymptotycznie rozkład z p stopniami swobody:

0:

0...: 210

ii

A

p

H

H

TS

SSk

pkk

p/

)()(

)()(2

)( )(kS

)( )( pkS

2.

2 ~)( p

asympt

p

2



Statystyka z próby (dla małych prób):

Statystyka ma asymptotycznie rozkład Fishera-Snedecora z (p, T-k-p-1) stopniami swobody:

Reguła decyzyjna:

- Jeżeli lub - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

- Jeżeli lub - odrzucamy hipotezę zerową – w modelu występuje autokorelacja składników losowych rzędu p.

)(

)()(1pk

pkk

S

SS

p

pkTF

ppKT

asympt

FF 1

.

~

)(1 p

pkTFF

)()( 22 pp )(1 p

pKTFF

)()( 22 pp


Sposoby eliminacji autokorelacji z modelu

1) Rozpoznanie przyczyn występowania autokorelacji i odpowiednia zmiana konstrukcji modelu:

- dołączenie nowej zmiennej objaśniającej,

- zdynamizowanie modelu, bądź zmiana opóźnień,

- dołączenie zmiennej lub funkcji tej zmiennej, by wyodrębnić nadzwyczajny efekt czynnika

losowego,

- zmianie postaci analitycznej modelu,

- redukcji liczby zmiennych objaśniających (zmniejszenie efektów pozornego wyjaśnienia),

- dołączeniu zmiennej cyklicznej dwuokresowej.


Sposoby eliminacji autokorelacji z modelu

2) Zastosowanie innej niż MNK metody szacowania parametrów strukturalnych – Uogólnione Metody Najmniejszych Kwadratów.

Metody te polegają na odpowiednim przekształceniu pierwotnych obserwacji zmiennych modelu, tak by wyeliminować z nich autokorelację i następnie na oszacowaniu modelu MNK


D) Stałość wariancji składników losowych

Homoskedastyczność – składniki losowe w modelu mają stałą wariancję.

Heteroskedastyczność – składniki losowe w modelu nie mają stałej wariancji.

Reszty są większe, im większe są wartości zmiennej objaśniającej.

tzn. Wariancja reszt jest zmienna.

Przykład heteroskedastyczności

-3-2,5

-2-1,5

-1-0,5

00,5

11,5

22,5

0 10 20 30 40 50X

reszt

y


D) Testowanie heteroskedastyczności

Z własności numerycznych MNK wynika, że reszty są nieskorelowane ze zmiennymi objaśniającymi.

Dlatego bada się np. zależność reszt od wartości zmiennych podniesionych do kwadratów, do potęgi trzeciej itd. – różne testy.

1) Test White’a

W jednej z wersji wykorzystuje regresję kwadratów reszt ze względu na stałą i kwadraty wartości teoretycznej zmiennej endogenicznej:

Badamy, czy parametr α1 jest statystycznie istotny.

ttt uy 210

2 ˆˆ


D) Testowanie heteroskedastyczności

Hipotezy testu:

Ho odrzucamy, gdy parametr α1 okaże się statystycznie istotny, tzn. że wartości reszt wzrastają lub zmniejszają się wraz ze wzrostem wartości wszystkich zmiennych objaśniających w modelu – wariancja reszt nie jest stała.

Statystyka testu W wyliczana w pakietach komputerowych ma dwie wersje:

Dla dużych prób:

Dla małych prób:

stH

TtH

st

t

A

o

22

22

:

,...,2,1:

1~ 22

)2,1(~ TFF


D) Skutki heteroskedastyczności

- Estymator MNK parametrów strukturalnych nadal jest estymatorem nieobciążonym, ale staje się nieefektywny.

- Obciążone oceny błędów szacunku parametrów strukturalnych.

- Niewiarygodne wyniki testów istotności.

Sposoby rozwiązania problemu

- Stosujemy Ważoną Metodę Najmniejszych Kwadratów (WMNK).

- Wykorzystujemy tzw., deflatory, które zmieniają poziom wartości zmiennych.

- Transformujemy dane do postaci logarytmicznej.


C) Normalność rozkładu składnika losowego

Stosując wszystkie powyższe testy zakładaliśmy, że badana zmienna, a zatem składnik losowy, ma rozkład normalny.

Testowanie normalności rozkładu

Test Jarque,a-Bery

W rozkładzie normalnym: miara skośności S=0 miara kurtozy K=3

gdzie - drugi, trzeci i czwarty moment centralny rozkładu.

t

32

23

S 22

4

K

432 ,,



Hipotezy testu:


Statystyka ma asymptotycznie rozkład .

Prawostronny obszar krytyczny określony przez .

Test ma zastosowanie tylko dla dużych prób.

NmanieH

NH

tA

t

:

~:0

24

3

6

22 KSTJB

)2(2

)2(2



W przypadku niespełniania założenia o normalności:

- Zmodyfikować metody uwzględniając inny, lepszy w danym przypadku rozkład: gamma, log-normalny, itd.

- Dokonać transformacji zmiennych (np. zlogarytmować, podnieść do potęgi) tak, aby uzyskać rozkład normalny.

Przykładem takiej transformacji jest transformacja Boxa-Coxa.


B) Testowanie poprawności wyboru postaci analitycznej

Test Ramseya (RESET - test)

Testuje, czy postać liniowa jest poprawna, czy też należałoby wybrać wielomian wyższego stopnia.

W jednej z wersji testu sprawdzane jest, czy podniesione do kolejnych potęg wartości teoretyczne zmiennej endogenicznej nie są pominiętymi zmiennymi w modelu.

Hipotezy testu:

t

p

tptttkktt yyyxxy )ˆ(....)ˆ()ˆ(... 33

22110

0

0320

ii

A

p

H

H

:

...:


B) Testowanie poprawności wyboru postaci analitycznej

Statystyka dla dużych prób:

gdzie: - suma kwadratów reszt z modelu bez wartości teoretycznych y.

- suma kwadratów reszt z modelu poszerzonego.

Statystyka dla małych prób:

21

.

)(

)1()(2

1 ~/

)(

p

asymp

k

pkk

pTS

SS

)( )(kS

)( )1( pkS

12

.

)1(

)1()(

~)2/(

)1/(}{

ppkT

asymp

pk

pkk

FpkTS

kpkSSF


Do wszystkich testów statystycznych

Prawdopodobieństwo empiryczne – prob, p-value, wartość-p

Jest to prawdopodobieństwo przyjęcia przez statystykę wartości nie mniejszej od uzyskanej wartości statystyki z próby, przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa.

Reguła decyzyjna:

- brak podstaw do odrzucenia H0.

- odrzucamy H0.

Inaczej prob oznacza poziom istotności powyżej którego należy odrzucić hipotezę zerową.

prob

prob

d. ciołek ekonometria – wykład 1

Documents