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DatalogDatalogDatalogDatalog

S. CostantiniS. Costantini

S. Costantini / Datalog e ASP 2

Datalog base: notazione, esempi, semantica


Datalog• A language for Deductive Databases

– Extensional part: tables– Intensional part: rules


Logic: Intuition


Datalog Terminology: Atoms

• An atom is a predicate, or relation name with variables or constants as arguments. E.g.,

in(alan,r123)

part_of(r123,cs_building)

p(X,a)


Datalog Terminology: Atoms

• Conventions: – Databases: Predicates begin with a

capital, variables begin with lower-case. Example: P(x,’a’) where ‘a’ is a constant, i.e., a data item.

– Logic Programming: Variables begin with a capital, predicates and constants begin with lower-case. Example: p(X,a).


Datalog Terminology: Rules

• The head of a rule is an atom; the body of a rule is the AND of one or more atoms. E.g., in(X,Y):- part_of(Z,Y), in(X,Z).

where “:-” stands for “”


Datalog Terminology: Rules

• Rules without body: E.g., in(alan,r123).


Datalog and Transitivity• Rule

in(X,Y):- part_of(X,Z),in(Z,Y)

defines in as the transitive closure of part_of


Arithmetic Subgoals• In addition to relations as predicates,

a predicate of the body can be an arithmetic comparison.– We write such atoms in the usual way,

e.g.: x < y.


Example: Arithmetic• A beer is “cheap” if there are at least

two bars that sell it for under $2.

cheap(Beer) :-sells(Bar1,Beer,P1),sells(Bar2,Beer,P2), P1 < 2.00,P2 < 2.00, Bar1 <> Bar2.


DatalogTerminology: p q, not r. or p :- q, not r.

is a rule, where p is the head, or conclusion, or consequent, and q, not r is the body, or the conditions, or the antecedent. p, q and r are atoms.

A rule without body, indicated as p . or p.Is called a unit rule, or a fact.

This kind of rules ale also called Horn Clauses.


DatalogTerminology:

p q, not r

Atoms in the body can be called subgoals. Atoms which occur positively in the body are positive literals, and the negations are negative literals.


DatalogTerminology:

p q, not r

We say that p depends on q and not r.

The same atom can occur in a rule both as a positive literal, and inside a negative literal

(e.g. rule p not p).


Datalog Programs• A Datalog theory, or “program”, is a

collection of rules.• In a program, predicates can be

either1. EDB = Extensional Database = facts.2. IDB = Intensional Database = relation

defined by rules.


Expressive Power of Datalog

• Without recursion, Datalog can express all and only the queries of core relational algebra.

• But with recursion, Datalog can express more than these languages.

• Yet still not Turing-complete.


Examplep(X) r(X),q(X).r(Z) s(Z).s(a).s(b).q(b).• In every rule, each variable stands for the same

value.• Thus, variables can be considered as

“placeholders” for values.• Possible values are those that occur as

constants in some rule/fact of the program itself.


Datalog

Its grounding can be obtained by:• considering the constants, here a,b.• substituting variables with constants in any

possible (coherent) way)• E. g., the atom r(Z) is transformed by grounding

over constants a, b into the two ground atoms r(a), r(b).


Grounding

• E. g., the atom r(Z) is transformed by grounding over constants a, b into the two ground atoms r(a), r(b).

• Rule r(Z) s(Z). is transformed into the two rulesr(a) s(a).r(b) s(b).


DatalogGrounding of the programp(a) r(a),q(a).p(b) r(b),q(b).r(a) s(a).r(b) s(b).s(a).s(b).q(b).

Semantics: Least Herbrand ModelM = {s(a),s(b),q(b),r(a),r(b),p(b)}


Datalog

A shortcut of the grounded program

p1 r1,q1.

p2 r2,q2.

r1 s1.

r2 s2.

s1.

s2.

q2.

M = {s1,s2,q2,r1,r2,p2}


Datalog semantics

• Without negation (no negative literal in the body of rules): Least Herbrand Model– The head of a rule is in the Least

Herbrand Model only if the body is in the Least Herbrand Model.


Least Herbrand Model: Intuition


Least Herbrand Model: Intuition

In the example: Least Herbrand Model

M0 = {in(alan,r123), part_of(r123,cs_building)}

M1= {in(alan,r123), part_of(r123,cs_building), in(alan,cs_building)}


Least Herbrand Model: How to find itp g,h.g r,s.m p,q.r f.s.f.h.

Step 1: facts M0 = {s,f,h}Step 2: M1 = M0 plus what I can derive from facts M1 = {s,f,h,r}Step 3: M2 = M1 plus what I can derive from M1

M2 = {s,f,h,r,g}Step 4: M3 = M2 plus what I can derive from M2

M3 = {s,f,h,r,g,p}If you try to go on, no more added conclusions: fixpoint


Datalog con Negazione


Negated Subgoals

• We may put NOT in front of an atom, to negate its meaning.

• Example:at_home(alan):- not at_work(alan).


Negated Subgoals: Intuition

• Given atom A, not A holds if A cannot be proved

• Negation as finite failure


Minimal Models

• When there is no negation, a Datalog program has a unique minimal model (one that does not contain any other model).

• But with negation, there can be several minimal models.


Cos’è un modello minimo: è un insieme di atomi

Data una regolaA:- B1,...,Bn,not C1,...,not Cm• Un modello è un insieme di atomi che se

NON contiene C1,...,Cm e contiene B1,...,Bn allora deve contenere A

• Un modello minimo non è sovrainsieme di un altro modello


Datalog semantics

• With negation: several proposals, in deductive databases Answer Set Semantics.

• Based on Answer Set Semantics: Answer Set Programming, new logic programming paradigm


Safe Rules• A rule is safe if:

1. Each variable in the head2. Each variable in an arithmetic subgoal,3. Each variable in a negated subgoal,

also appears in a nonnegated,subgoal in the body.

• We allow only safe rules.


Example: Unsafe Rules

• Each of the following is unsafe and not allowed:

1. s(X) :- r(Y).

2. s(X) :- r(Y), not r(X).

3. s(X) :- r(Y), X < Y.• In each case, an infinity of X ’s can satisfy

the rule, even if R is a finite relation.


Non-Monotonicità• Aggiungere nuove conoscenze può

portare a ritrarre precedenti conclusioni.

• Vi possono essere conclusioni alternative tramite cicli sulla negazione.


Non-Monotonicità = Problema?

• No, se gestita con opportuni strumenti semantici

• Non-Monotonic Reasoning (NMR) = campo di ricerca in– Intelligenza Artificiale – Database deduttivi

• si propone di sfruttare la non-monotonicità


DATALOG senza Negazione

• Semantica del Least Herbrand Model• Paradigma procedurale della ricerca

per tentativi ripetuti • Linguaggio Prolog (numerosi

interpreti fra i quali SICSTUS-Prolog, SWI-Prolog)


DATALOG + Negazione• Semantica degli Answer Sets• Paradigma dell’Answer Set

Programming (ASP)• Negazione, insiemi-risposta

alternativi• Numerosi solver


Esempio NMRpersona(anna).persona(carlo).persona(giorgio).malato(giorgio).

a_casa(X):- persona(X), not in_ufficio(X).in_ufficio(X):- persona(X), not a_casa(X).

:- in_ufficio(X),malato(X). % constraint


Risultato atteso• Anna e Carlo sono o a casa

oppure in ufficio.• Giorgio non può essere in ufficio

perchè è malato e quindi sarà a casa.


NMR in pratica• Vi sono vari linguaggi logici che

consentono non-monotonicità.• Sono dotati di motori inferenziali

(inference engines, o solvers) in grado di gestirla.

• Possibili soluzioni inesistenti o altrernative.•Uno di essi: smodels


Risultato di smodels (inference engine per NMR)

• Answer: 1malato(giorgio) a_casa(giorgio) a_casa(carlo)

in_ufficio(anna)

• Answer: 2malato(giorgio) a_casa(giorgio)

in_ufficio(carlo) in_ufficio(anna)


Risultato di smodels (inference engine per NMR)

• Answer: 3malato(giorgio) a_casa(giorgio)

in_ufficio(carlo) a_casa(anna) • Answer: 4malato(giorgio) a_casa(giorgio) a_casa(carlo)

a_casa(anna)


Datalog con negazione: nuovo Paradigma

di Programmazione Logica Answer Set Programming

(ASP)basato su Answer Set

Semantics


Uno sguardo sull’Answer Set Programming (ASP)


Example: 3-coloring in ASPAssigning colors red/blue/green to vertices of a

graph, so as no adjacent vertices have the same color.node(0..3).col(red).col(blue).col(green).

edge(0,1).edge(1,2).edge(2,0).edge(1,3).edge(2,3).


3-coloring in Answer Set Programming

color(X,red) | color(X,blue) | color(X,green) :- node(X).

:- edge(X,Y), col(C), color(X,C), color(Y,C).

% I constraint (regole con conclusione vuota)% specificano cosa *non può* essere vero


Come “eseguire” il programma?

• Si usa un “Motore Inferenziale”, ad esempio SMODELS (ma ce ne sono diversi)

• Esso fornisce le soluzioni al problema dato come “insiemi risposta, appunto “Answer Set”

…


Come “eseguire” il programma?

• Sintassi: lparse < 3col.txt | smodels 0

• lparse effettua il parsing del programma dato e ne produce il grounding

• smodels calcola le risposte (smodels 0 le chiede tutte)

…

…


Cosa si ottiene nell’esempio?

Answer1color(0,red), color(1,blue), color(green), color(3,red)

Answer2color(0,red), color(1,green), color(blue), color(3,red)…% e tutte le altre colorazioni, ognuna come % “Answer Set”

…


Answer Set Semantics: su cosa si basano gli Answer Set e come si

ottengono


Cos’è un modello minimo: è un insieme di atomi

Data una regolaA:- B1,...,Bn,not C1,...,not Cm• Un modello è un insieme di atomi che se

NON contiene C1,...,Cm e contiene B1,...,Bn allora deve contenere A

• Un modello minimo non è sovrainsieme di un altro modello


Modelli minimi Datalog• I fatti fanno parte di tutti i modelli

minimi• Tutto ciò che si deriva in modo

aciclico dai fatti fa parte di tutti i modelli minimi

• not A vale solo se non vale A


Esempioa:- not b.

b:- e, not c.

c.

e.

M = {c, e, a}


Esempioa:- not b.

b:- not a.

d:- c.

c

M1 = {c, d, a} M2 = {c, d, b}

Cicli: vari modelli (diversi Answer Sets)


Cos’è un Answer Set• E’ un modello minimo dove però dati

due qualunque atomi che ne fanno parte, nessuno di essi può dipendere (direttamente o indirettamente) dalla negazione dell’altro

• (negazione coerente)


Esempio

a:- not b.

b:- not a.

p:- not p, not a.

{b,p} modello minimo, NO answer set

{a} modello minimo, answer set


Come si trovano gli Answer Set

• Cicli pari (dipendenze cicliche che coinvolgono un numero pari di atomi)

a:- not b.

b:- not a.

M1 = {a} M2 = {b}



• Cicli pari a:- not b.

b:- not c.

c:- not d.

d:- not a.

M1 = {a,c} M2 = {b,d}



• Ogni ciclo pari ha due Answer Set, uno costituito dagli atomi “pari” del ciclo, l’altro da quelli “dispari”.

• Se vi sono diversi cicli pari, gli answer set si combinano



a:- not b. e:- not f.

b:- not c. f:- not e.

c:- not d.

d:- not a.

M11 = {a,c,e} M12 = {a,c,f}

M21 = {b,d,e} M22 = {b,d,f}



• Cicli dispari (dipendenze cicliche che coinvolgono un numero dispari di atomi)

p:- not p.

No Answer Set: contraddizione sulla negazione {p}



• Cicli dispari (dipendenze cicliche che coinvolgono un numero dispari di atomi)

a:- not b.b:- not c.c:- not a.No Answer Set: contraddizione sulla negazione

Es. {a,c} {a,b} {b,c}



• Programmi con cicli dispari: possono avere Answer Set solo se:– vi sono anche cicli pari– vi sono connessioni fra cicli pari e dispari

che “rimuovono” le contraddizioni

• Chiamiamo queste speciali connessioni “Handle”


Come si trovano gli Answer Set: OR Handle

• OR Handle: legata a regola alternativa per uno degli atomi del ciclo dispari

a:- not b. p:- not p.

b:- not a. p:- a. OR handle

M = {a,p}



• OR Handle: legata a regola alternativa per uno degli atomi del ciclo dispari

a:- not b. p:- not q.b:- not a. q:- not r.

r:- not p.q:- not b. OR handle

M = {a,q,r}



• OR handle: regola alternativa per un qualche atomo che fa parte del ciclo dispari. Il corpo deve essere VERO per “supportare” l’atomo



• AND Handle: letterale aggiuntivo in una delle regole del ciclo dispari:

a:- not b. p:- not p, not a. AND

b:- not a. handle

M = {a}



• Cicli dispari: Answer set se Handle da cicli pari

a:- not b. p:- not p, a. AND

b:- not a. handle

M = {b}



• Cicli dispari: Answer set se Handle da cicli pari

• AND handle: letterale L (A oppure not A) nel corpo di una regola del ciclo dispari, dove A fa parte di un ciclo pari. L deve essere FALSO per “aprire” il ciclo dispari rendendo falso uno dei suoi atomi



1. Si cercano gli Answer Set della parte aciclica “di base” del programma

2. Si cercano gli Answer Set dei cicli pari3. Si combinano le due componenti 4. Si estendono alla parte aciclica “intermedia” (se

c’è)5. Fra gli Answer Set risultanti si selezionano quelli

(se vi sono) che forniscono handle ai cicli dispari6. Si riconsidera la parte aciclica “top” rimanente

(se c’è)



c. p:- not p.

d:- c. p:- e.

a:- not b. g:- p.

b:- not a.

e:- b.

h:- b,p.


Come si trovano gli Answer Set: parte aciclica di base

c.

d:- c.

M1 = {c,d}


Come si trovano gli Answer Set: ciclo pari e parte aciclica

intermedia

a:- not b.

b:- not a.

e:- b.

M1 = {c,d}

M11 = {a,c,d} M12 = {b,c,d,e}


Come si trovano gli Answer Set: ciclo dispari e parte aciclica”top”

p:- not p.

p:- e.

g:- p.

• Si seleziona M12 per dare la OR handle all’atomo p.

M = {b,c,d,e,p,g}


Caso problematicop:- not p, not a.

q:- not q, not b.

a:- not b.

b:- not a.

Per ciclo pari M1 = {a} M2 = {b}

ma non abbiamo le due AND handle per i cicli dispari (richiesta contraddittoria): no Answer Set


Caso problematico Risoltop:- not p, not a.p:- e.q:- not q, not b.a:- not b. e:- not f.b:- not a. f:- not e.Per cicli pari M11 = {a,e} M12 = {a,f}M21 = {b,e} M12 = {b,f}Con M21 otteniamo M1 = {b,p,e}


ASP più in dettaglio


Answer Set Programming

Constraints

:- v,w,z.

rephrased as

p :- not p, v,w,z.



Disjunction

v | w |z.

rephrased as

v :- not w, not z.

w :- not v, not z.

z :- not v, not w.



Choice (XOR)

v+w+z.

rephrased as

v | w | z.

:- w, z.

:- v, z.

:- v, w.



Classical Negation ¬p

- p :- q,r.

rephrased as

p' :- q,r.

:- p,p‘



A party: guests that hate each other cannot seat together,

guests that love each other should sit together

table(1..3).guest(1..5).

hates(1,3). hates(2,4).hates(1,4). hates(2,3). hates(4,5). hates(1,5).likes(2,5).



% Choice rules

1{at_table(P,T) : table(T)}1 :- guest(P).

0{at_table(P,T) : guest(P)}3 :- table(T).



% Choice rules

n { p(X,Y) : d1(X) } m :- d2(Y).

Meaning: forall Y which is a d2 we admit only answer sets with at least n atoms and at most m atoms

of the form p(X,Y), where X is a d1



% hard constraint

:- hates(P1,P2),at_table(P1,T),at_table(P2,T), guest(P1),guest(P2),table(T).



% should be a soft constraint!

:- likes(P1,P2), at_table(P1,T1), at_table(P2,T2),

T1 != T2, guest(P1),

guest(P2),table(T1),table(T2).

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Documents

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