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Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Decaimiento alfa
Rodolfo M. Id Betan1,2
1Instituto de Física Rosario - Conicet. Argentina2Facultad de Ciencias Exactas - Universidad Nacional de Rosario. Argentina
Curso: Física Nuclear
03/06/2014
Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Outline
1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Outline
1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
Motivación Generalidades Ecuación de Geiger-Nuttall Modelo de una partícula Formación de la partícula alfa Práctica
Descubrimiento de nuevos núcleos
Descubrimiento del núcleo Z = 117
Crédito: Yu. Ts. Oganessian, et al., Physical Review Letters 104, 142502, 2010.
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1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Generalidades
La partícula alfa es el núcleo de 42He2.
Tiene spin 0: |Ji − Jf | 6 L 6 Ji + Jf .
Tiene paridad +: πiπf = 1(−1) ⇒ L : par(impar).
Su energía de decaimiento viene dada por
Qα = M(Z ,A)c2 − M(Z − 2,A − 4)c2 − M(4He)c2
Utilizando la fórmula semiempírica de masa de Weizsäcker (en
MeV)
Qα = 28.3 − 4av +8
3
as
A1/3+ 3
acZ
A1/3
(
1 − Z
3A
)
− 4aa
(
1 − 2Z
A
)2
Los núcleo que decaen espontáneamente son A & 150.
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Generalidades
El tiempo de vida medio depende fuertemente de la energía de
decaimiento:Q ∼ 4 MeV 1016 años
Q ∼ 8 MeV 10−6 seg
A diferencia de los decaimientos β y γ, el decaimiento α es sólo
lévemente inhibido por los cambios de momento angular.
El efecto dominante es la barrera Coulombiana.
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1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Constante de decaimiento radiactiva
Constante de decaimiento λ
dN
dt= −λN ⇒ N(t) = N0e−λ(t−t0)
Tiempo de vida τ
N(τ) =N0
e⇒ τ =
1
λ
Tiempo de vida media T1/2
N(T1/2) =N0
2⇒ T1/2 =
ln 2
λ
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Ecuación de Geiger-Nuttall
Rango Rα
Distancia que puede viajar la partícula alfa en el aire a la presión
atmosférica.Está directamente relacionado con la energía de la partícula alfa.
Ecuación de Geiger-Nuttall(1911) (ver paper pag. 618)
log λ = a + b log Rα
Crédito: P. Marmier, E. Sheldon. Physics of Nuclei and Particles. 1971.
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Ecuación de Geiger-Nuttall
Regla de Geiger
Rα∼= cte v3
con v la velocidad inicial de la partícula log Rα ∼ log v yv ∼
√Eα ⇒ log Rα ∼ log
√Eα ∴ Rα ∼ Eα .
Combinando al ecuación de Geiger-Nuttall (log λ = a + b log Rα) y la
regla de Geiger, se espera que exista una relación entre la constantede decaimiento λ (o el tiempo de vida media) y la energía Eα.
Gamow y Condon-Gurney (1928) (ver paper Gamow pags. 208 y209)
λ = g − h
[
(
1 +4
A
)−1/2
Z E−1/2
]
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Ecuación de Geiger-Nuttall
Explica los órdenes de magnitud de diferencia en los tiempo de vida
como función de la energía.
Crédito: P. Marmier, E. Sheldon. Physics of Nuclei and Particles. 1971.
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1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Modelización del decaimiento alfa
Crédito: K. Heyde. Basic Ideas and Concepts in Nuclear Physics. 2004
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Potencial barrera rectangular
V (x) =
0 −∞ < x < 0
U 0 < x < b0 b < x <∞
ψI(x) = eikIx + A−e−ikIx kI =
√2mE
~
ψII(x) = B+eikIIx + B−e−ikIIx kII =
√
2m(E − U)
~
ψIII(x) = C+eikIIIx kIII = kI =
√
2mE)
~
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Potencial barrera rectangular
Coeficiente de transmisión T
T =|C+|2
1=
4k2I k2
II
(k2I − k2
II )2 sin2 bkII − 4k2
I k2II
Aproximación de barrera ancha
T =
1 +U2
4E(U − E)
[
1
4
(
ei2kIIb + e−i2kIIb)
− 1
2
]−1
Fórmula de Gamow
T ≈ e− 2b~
√2m(E−U)
m pequeño (ejemplo: electrón) =⇒ T grande.
Límite clásico ~ → 0 =⇒ T = 0.
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Probabilidad de decaimiento
Sea I0 la intensidad de partículas α dentro de la barrera de potencial.
Intensidad dentro del núcleo
In = (1 − T )nI0 = I0en ln(1−T )
Aproximación de tiempo de decaimiento largos: ln(1 − T ) ≈ −T
In = I0e−nT
Número de choques en el tiempo t
n =t
tcaract=
v
2Rt = λ0t
Probabilidad de decaimiento
I(t) = I0e−λ0 tT
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Constante de decaimiento
Constante de decaimiento λ
I(t) = I0e−λ0 tT = I0e−λt ⇒ λ = λ0T
Aproximación Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)
Coeficiente de transmisión para un potencial arbitrario V (r)
T = e− 2~
∫
bR
√2m[V (r)−E]dr
Factor de Gamow G
λ = λ0e−G
G =2
~
∫ b
R
√
2m[V (r)− E ]dr
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Aplicación al potencial de Coulomb
Potencial de Coulomb
G =2
~
∫ b
R
√
2m
[
zZe2
r− E
]
dr
G =
(
8Zze2mb
~2
)1/2[
arccos
(
R
b
)1/2
−(
R
b− R2
b2
)1/2]
con b = Zze2
Eα.
Aproximación de barrera ancha
G =
(
8Zze2mb
~2
)1/2[
π
2−(
R
b
)1/2]
Eα ≪ ECoulomb .
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Deducción Geiger-Nuttall
Constante de decaimiento
λ = λ0e−G ≈ 1021e−
(
8Zze2mb
~2
)1/2
Ecuación de Geiger-Nuttall
log10 λ =
(
21 −√
8mze2
2.303~
)
Z E−1/2
1928
log10 λ = 21 − 1.0941 Z E−1/2
Comparar con la fórmula empírica:
1911
log10 λ = g − 1.7 Z E−1/2
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Variación de la intensidad con la energía
Decaimiento del239Pu1/2+ (T1/2 = 24110anos) →235 U(T1/2 = 7.04 × 108anos)
www.nndc.bnl.gov: Qα = 5.244 MeV
Transición E[MeV] Int. Rela. %
α1(235U1/2+) 5.156 70.77
α2(235U1/2+) 5.144 17.11
α3(235U5/2+) 5.105 11.94
Crédito: P. Marmier, E. Sheldon. Physics of Nuclei and Particles. 1971.
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1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Hamiltoniano en el decaimiento alfa
El siguiente paso es relajar la condición que la partícula alfa ya está
formada dentro del núcleo y considerar el decaimiento como unproceso de A cuerpos.
Ecuación de Schrödinge
HΦ(1, . . . ,A; t) = i~∂
∂tΦ(1, . . . ,A; t)
Hamiltoniano
H = Hα(1234) + HD(5 . . .A)−~
2
2M∇2
rel + V (α,D)
Autofunciones de los fragmentos
Hαχα = ǫαχα
HDΨD = EDΨD
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Hamiltoniano en el decaimiento alfa
Autofunciones del sistema
Φ(1, . . . ,A; t) = a(t)ΦPJM (1, . . . ,A)
+∑
jL
∫
dǫ bjL(ǫ, t)A
χα ϕL(R, ǫ)[YL(R)ΨDj ]JM
Estado inicial
ΦPJM(1, . . . ,A) = Φ(1, . . . ,A; t = 0)
Autofunción del movimiento relativo
[
− ~2
2MR
d2
dR2R +
~2
2MR
L(L + 1)
R2+
2(Z − 2)e2
R− ǫ
]
ϕL(R, ǫ) = 0
con ǫ > 0.
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Hamiltoniano en el decaimiento alfa
Solución de la teoría de perturbaciones dependiente del tiempo
i~a(t) = a(t)E0 +∑
jL
∫
dǫ bjL(ǫ, t)〈ΦPJM |H − E0|ΦJMjLǫ〉
i~bjL(ǫ, t) + i~a(t)〈ΦJMjLǫ|ΦPJM〉 = (ǫα + ED + ǫ)bjL(ǫ, t)
+a(t)〈ΦJMjLǫ|H|ΦPJM〉
con ΦJMjLǫ = AχαϕL[ΨDj YL]jmj
y E0 = 〈ΦPJM |H|ΦP
JM〉.
Condiciones iniciales
a(t = 0) = 1
bjL(ǫ, t = 0) = 0
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Constante de decaimiento en el decaimiento alfa
Solución aproximada
a(t) ∼= e− i~(E0−i Γ
2)t
con
Γ
2∼= π
∑
jL
|〈ΦJMjLǫ|H − E0|ΦPJM〉|ǫ=E0−ǫα−ED
Parte discreta de Φ(1, . . . ,A; t)
Φ(1, . . . ,A; t) → a(t)ΦPJM (1, . . . ,A)
→ e− i~
E0e− Γ2~
t ΦPJM(1, . . . ,A)
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Constante de decaimiento
Probabilidad de decaimiento
|Φ(t)|2 → e− Γ~
t |ΦP(t)|2 = e−λt |ΦP(t)|2
Constante de decaimiento
λ =Γ
~
El problema se redujo a calcular 〈ΦJMjLǫ|H − E0|ΦPJM〉
Γ
2∼= π
∑
jL
|〈ΦJMjLǫ|H − E0|ΦPJM〉|ǫ=E0−ǫα−ED
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Constante de decaimiento
Elementos de matriz
〈ΦPJM |H − E0|ΦJMjLǫ0
〉 =
[(
Z
2
)(
N
2
)]1/2 (~
2
2M
)∫
dξαdξDdΩ
R20
[
ΦPJM
∂ϕL(R0, ǫ0)
∂R− ∂ΦP
JM(R0)
∂RϕL(R, ǫ0)
]
χα[YLΨDj ]JM
con ǫ0 = |E0 − ED − ǫα|.
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Constante de decaimiento
λ =2
~
∑
jL
PLγ2JjL
Penetrabilidad (WKB)
PL(ǫ0) = e−2
∫
bR0
√
2M
~2
[
2(Z−2)e2
R+ ~2
2ML(L+1)
R2−ǫ0
]
dR
Ancho reducido
γ2JjL
Calculando la penetrabilidad P y la amplitud del ancho reducido γ esposible calcular el tiempo de vida del núcleo padre, el cual decae por
emisión de una partícula alfa.
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1 Motivación
2 Generalidades
3 Ecuación de Geiger-Nuttall
4 Modelo de una partícula
5 Formación de la partícula alfa
6 Práctica
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Decaimiento del Plutonio 212
Decaimiento
212Po(0+) → α+208 Pb(0+)
Ji = Jf = 0 ⇒ L = 0.
Constante de decaimiento
λ =2
~P(R)γ2(R)
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Decaimiento del Plutonio 212
Penetrabilidad (Matriz R)
P(R) =ℜ(k0)R
|H+(k0R)|2
con Eα = ~k0
2µ la energía de la partícula α calculada a partir del valor
experimental de Qα.
Resonancia (Estado de Gamow)
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Decaimiento del Plutonio 212
Ancho reducido
γ(R) =
(
~2R
2µ
)1/2
F (R)
F (R) = 〈AφαφDY00|φP〉=
[√8] [√
4π]
∑
n,p
bnp
∫
d3ρ1
∫
d3ρ2
∫
d3ρ3
[
(
8β
π
)9/4
e−4β(ρ21+ρ2
2+ρ23)
]
[
(−)lnjn
4π√
2Rjn(r1)Rjn(r2)Pln (cos(θ12))
]
[
(−)lpjp
4π√
2Rjp(r3)Rjp (r4)Plp (cos(θ34))
]
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Decaimiento del Plutonio 212
Representación
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Decaimiento del Plutonio 212
Algunos estados de neutrón y protón
estado protón energía [MeV] estado neutrón energía [MeV]
0h9/2 -3.784 1g9/2 -3.926
1f7/2 -3.541 0i11/2 -2.797
0i13/2 -1.844 2d5/2 -2.0720j15/2 -1.883
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Decaimiento del Plutonio 212
Funciones de onda de dos nucleones
|Ψ2i,J〉 =∑
b≤a
Xab,J |ab, JM〉
Interacción
〈ab, JM|V |cd , JM〉 = −GJ f (ab, J)f (cb, J)
f (ab, J) =(−)la
√1 + δab
〈ja||YJ ||jb〉 I(ab)
Xab,J = NJf (ab, J)
ǫa + ǫb − EJ
(1)
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Decaimiento del Plutonio 212
Funciones de onda de dos protones y dos neutrones
|212Po〉 = |210Pb〉 ⊗ |210Po〉
Reemplazando todo en la constante de decaimiento
λ =2
~P(R)γ2(R)
y
γ(R) =
(
~2R
2µ
)1/2
F (R)
resulta...
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decaimiento del Plutonio 212
Γ = ~λ = 2P(R)γ2(R)
7 8 9 10 11R [fm]
1e-24
1e-23
1e-22
1e-21
1e-20
1e-19
1e-18
Abs
olut
e W
idth
[M
eV]
Pure configuration model spaceGendenning-Harada model spaceN7 model space
Γexp = 0.153 × 10−14 MeV ⇒ Texp1/2
= 0.3 × 10−3seg
Γcalc =Γexp
600MeV ⇒ T calc
1/2 = 180 × 10−3seg