MATERIA: METODOS NUMERICOS

TEMA:INTERPOLACION DE NEWTON-LAGRANGE PARA EL CALCULO DE UN POLINOMIO DE 3, 4, 5 y 6to GRADOREALIZADO POR: JUAN PLAZA

PROFESOR: ING. PAUL TORRES

2015-2015

I. RESUMENEn el presente trabajo de investigacin trata acerca de deducir la ecuacin para un polinomio de hasta 6to grado de la interpolacin polinomial tanto de Newton como de LaGrange, tambin profundizar conocimientos en los temas de coeficientes de un polinomio de interpolacin y la interpolacin inversa, para lo cual trataremos de realizar una explicacin breve y sencilla, estudiando detalladamente dichos temas, seguidamente para un mayor entendimiento realizaremos un breve ejemplo a cerca de los temas a estudiar.

II. INTRODUCCION

InterpolacinEn ciertos casos el usuario conoce el valor de una funcin f(x) en una serie de puntos x1, x2, , xN, pero no se conoce una expresin analtica de f(x) que permita calcular el valor de la funcin para un punto arbitrario. La idea de la interpolacin es poder estimar f(x) para un x arbitrario, a partir de la construccin de una curva o superficie que une los puntos donde se han realizado las mediciones y cuyo valor si se conoce. Se asume que el punto arbitrario x se encuentra dentro de los lmites de los puntos de medicin, en caso contrario se llamara extrapolacin.En este trabajo se discute exclusivamente la interpolacin, aunque la idea es similar. Existe un sinnmero de mtodos de interpolacin, incluyendo las interpolaciones antes mencionadas a estudiar.De tal forma que:Polinomios de interpolacin de newton[2]. Newton ide una tcnica de diferencias divididas que evita construir explcitamente la matriz del sistema. Para realizar la deduccin de las siguientes frmulas de interpolacin nos basaremos en la forma general de la interpolacin de polinomios de Newton.

La primera diferencia dividida finita en forma general se representa como:

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas, se expresa en forma general como:

De forma similar, la n-esima diferencia dividida finita es:

As obtenemos el polinomio de interpolacin quedando de la siguiente manera:

Polinomios de interpolacin de Lagrange[2]. Mientras que el mtodo de la LaGrange proporciona una expresin explcita del polinomio de interpolacin sin tener que realizar ningn clculo. La idea, debida a LaGrange, consiste en expresar el resultado como combinacin lineal de polinomios que cumplen condiciones especialmente simples en los nodos de interpolacin, de modo que los coeficientes de la combinacin lineal son precisamente los valores deseados en los nodos correspondientes.El polinomio de interpolacin de Lagrange es simplemente una reformacin del polinomio de Newton que evita el clculo de las diferencias divididas, y se representa de manera concisa como: Donde

Los polinomios de Newton y LaGrange son muy adecuadas para implementarse en computadora en este caso utilizaremos el software Matlab.

Coeficientes de un polinomio de interpolacin[2]. Sabiendo aunque los temas ya estudiados son adecuados para determinar valores intermedios entre puntos, no ofrecen un polinomio adecuado de la forma convencional

Un mtodo directo para calcular los coeficientes de este polinomio se basa en el hecho de que se requiera n+1 puntos asociados con daros para determinar los n+1 coeficientes. As, se utiliza un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultneas para calcular las a.

Interpolacion inversa[1]. Este es un mtodo que resulta especialmente adecuado cuando no se dispone de una ecuacin que defina la funcin f(X) y lo nico que se tiene son valores de la funcin para diferentes valores de la variable independiente X, las cuales se representan en forma tabular.Para estos casos en que necesitamos saber qu valor de X corresponde a uno de la funcin f(X) igual a cero, es conveniente la interpolacin inversa, la cual consiste en obtener mediante la tcnica de interpolacin, el valor de la variable independiente que corresponde a un valor de la funcin f(X) de cero, situacin contraria a la interpolacin normal, donde se busca el valor de la funcin f(X) para un valor de la variable independiente X dado, de ah del nombre de este mtodo.Esta tcnica lo que hace es utilizar la ecuacin que se muestra a continuacin la cual proviene del mtodo del polinomio de Lagrange para la interpolacin y es la siguiente:

Dnde:

En el cual el smbolo P representa la multiplicacin de todos los trminos indicados desde j=i hasta n con excepcin de aquel cuando j=i

III. SITUACION FISICA Ejercicio a resolverSea la siguiente tabla de datos tomada de una experienciaX1234567

Y-225-30-15

Evalu en x=4.5

IV. MODELO MATEMATICO

POLINOMIOS DE INTERPOLACION DE NEWTON

Interpolacin lineal (grado 1)

Interpolacin cuadrtica (grado 2)

Interpolacin cubica (grado 3)

De tal forma para una de grado 3 quedara de la siguiente manera utilizando el mtodo descrito en la introduccin:

El polinomio de interpolacin de grado 3 es:

Interpolacin cudruple (grado 4)

De tal forma para una de grado 4 quedara de la siguiente manera:

El polinomio de interpolacin de grado 4 es:

Interpolacin quntuple (grado 5)

De tal forma para una de grado 5 quedara de la siguiente manera:

El polinomio de interpolacin de grado 5 es:

Interpolacin sxtuple (grado 6)

De tal forma para una de grado 6 quedara de la siguiente manera:

El polinomio de interpolacin de grado 6 es:

POLINOMIOS DE INTERPOLACION DE LAGRANGE

Polinomio de grado 1

Polinomio de grado 2

Polinomio de grado 3

Polinomio de grado 4

Polinomio de grado 5

Polinomio de grado 6

RESOLUCION MEDIANTE MATLABCon polinomios de Lagrange su programacin es la siguiente:function [y,p]=lagrange(xi,yi,x)[xi]=input('ingrese el valor de las "x" entre corchetes y separadas por un espacio:');[yi]=input('ingrese el valor de las "y" entre corchetes y separadas por un espacio:');x=input('ingrese el valor de "x" que desea interpolar:');n=length(xi);if length(yi)~=n error('"x" y "y" no tienen el mismo numero de datos');endy=0;p='0';for i=1:n pr=yi(i); ter=num2str(yi(i)); for j=1:n if i~=j pr=pr*(x-xi(j))/(xi(i)-xi(j)); ter=strcat(ter,'*(x-',num2str(xi(j)),')/(',num2str(xi(i)),'-',num2str(xi(j)),')'); end end y=y+pr; p=strcat(p,'+',ter);endp=sym(p);p=simplify(p);p=inline(char(p));display(p); Resolucion

Valores de X y Y 1 2 3 4 5 6 7

-2 2 5 -3 0 -1 5

Polinomio de Interpolacin : -2+4*(x-1)-0.5*(x-1).*(x-2)-1.6667*(x-1).*(x-2).*(x-3)+1.3333*(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4)-0.575*(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4).*(x-5)+0.18333*(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4).*(x-5).*(x-6) X interp = 4.5 Y interp (4.5) = -2.71161

Con interpolacin polinomial de Newton su programacin es la siguiente:function [yi,p,t]= int_newton(x,y,xi)[x]=input('ingrese el valor de las "x" entre corchetes y separadas por un espacio:');[y]=input('ingrese el valor de las "y" entre corchetes y separadas por un espacio:');[xi]=input('ingrese el valor de "x" que desea interpolar:');n=length(x);t=zeros(n);t(:,1)=y(:);for j=2:n for i=1:n-j+1 t(i,j)=(t(i+1,j-1)-t(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i)); endendxt=1;yi=t(1,1);for j=1:n-1 xt=xt.*(xi-x(j)); yi=yi+t(1,j+i)*xt;endp=num2str(t(1,1));xx=x*-1;for j=2:n s1=''; if t(1,j)>=0 s1='+'; end xt=''; for i=1:j-1 s2=''; if xx(i)>=0 s2='+'; end xt=strcat(xt,'*(x',s2,num2str(xx(i)),')'); end p=strcat(p,s1,num2str(t(1,j)),xt);endp=sym(p);p=simplify(p);p=inline(p)

Resoluciningrese el valor de las "x" entre corchetes y separadas por un espacio:[1 2 3 4 5 6 7]ingrese el valor de las "y" entre corchetes y separadas por un espacio:[-2 2 5 -3 0 -1 5]ingrese el valor de "x" que desea interpolar:4.5

p = Inline function: p(x) = x.*-5.6044282e2+x.^2.*4.8326862e2-x.^3.*1.9862225e2+x.^4.*4.204105e1-x.^5.*4.42493+x.^6.*1.8333e-1+2.35997e2

ans = -2.7109

V. CONCLUSIONES Como se observa en la demostracin y deduccin de las formulas es demasiado complicado calcularlo a mano de tal manera que surgiran confusiones en los clculos realizados. Tambin se puede observar que la interpolacin de Lagrange evita el clculo de las diferencias divididas de la interpolacin de Newton lo cual nos hace ms fcil los clculos. Este tipo de interpolaciones se recomienda realizar en un programa computacional especialmente para polinomios de grado mayor a 2 para as obtener resultados ms rpidamente y de manera correcta.

VI. BIBLIOGRAFIA[1].Mtodos Numricos para ingenieros. Steven C. Chapra 5 edicin [2]. Elementos de mtodos numricos para ingeniera. Juan Manuel Izar Landeta.[3]. http://personales.unican.es/gonzaleof/Sociales_1/interpolacion.pdf