deret kompleks
TRANSCRIPT
5. Deret Kompleks
5. DERET KOMPLEKS
Seperti halnya dalam bilangan riil, dalam bilangan kompleks juga
dikenal istilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat
kekonvergenannya. Hal penting dalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik
dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret MacLaurin atau
deret Laurent). Sebelumnya, perlu pengertian barisan dan deret bilangan
kompleks, deret pangkat, dan jari-jari kekonvergenanan. Setelah membaca
Bab 5, mahasiswa diharapkan dapat :
mengerti definisi barisan dan deret pangkat beserta sifat
kekonvergenannya.
Menyajikan fungsi analitik dalam deret Taylor, deret
MacLaurin atau deret Laurent.
49
5. Deret Kompleks
5.1 Barisan dan Deret Bilangan Kompleks
5.1.1 Barisan Bilangan Kompleks
Definisi Barisan Bilangan Kompleks
Barisan bilangan kompleks :
merupakan fungsi yang memetakan setiap
bilangan bulat positif n dengan suatu bilangan
kompleks.
Notasi barisan bilangan kompleks :
atau , .
Kekonvergenan Barisan
Barisan konvergen jika ada sehingga
.
Jika sehingga untuk .
Contoh 1Tunjukkan barisan konvergen ke -2.
Penyelesaian :
Jadi .
Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku beberapa
teorema berikut.
Teorema 5.1
Jika dengan dan , maka
konvergen ke jika dan hanya jika konvergen ke
dan konvergen ke . □
Teorema 5.2
Jika dan berturut-turut konvergen ke dan , dan konstanta kompleks, maka
1. konvergen ke .
2. konvergen ke .
3. konvergen ke .
4. konvergen ke asalkan dan untuk setiap
. □
50
5. Deret Kompleks
5.1.2 Deret Bilangan Kompleks
Diberikan deret bilangan kompleks dengan suku-suku deret yaitu .
Misalkan,merupakan jumlah suku pertama
merupakan jumlah dua suku pertama
merupakan jumlah tiga suku pertama
merupakan jumlah suku pertama
Bilangan menyatakan jumlah deret di atas apabila . Jadi deret
konvergen ke jika dan hanya jika , dan ditulis .
Teorema 5.3
Diberikan deret bilangan kompleks dengan , dan
bilangan riil, maka berlaku sifat-sifat berikut :
1. konvergen dan konvergen.
2. konvergen .
3. konvergen terdapat bilangan riil sehingga
.
4. konvergen konvergen . □
Seperti dalam deret bilangan riil, kekonvergenan deret dapat diuji dengan
beberapa uji kekonvergenan berikut.
1. konvergen .
divergen.
2. konvergen konvergen mutlak.
konvergen dan divergen konvergen bersyarat.
3. konvergen mutlak konvergen.
51
5. Deret Kompleks
4. Uji Banding
dan konvergen konvergen.
dan divergen divergen.
5. Ratio Test
6. Root Test
7. Deret Geometri
Bentuk umum :
Jika maka deret konvergen. Jika maka deret divergen.
8. Deret p
Bentuk umum :
Jika maka deret konvergen. Jika maka deret divergen.
5.2 Deret Pangkat
Bentuk Deret Pangkat
Deret pangkat dalam berbentuk :
denga dengan bilangan kompleks, bilangan kompleks
sebarang yang disebut pusat deret, konstanta kompleks yang disebut koefisien deret.
Apabila diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat dalam
yaitu
52
5. Deret Kompleks
Untuk setiap deret pangkat terdapat bilangan tunggal
dengan yang dinamakan jari-jari kekonvergenan deret. Sedangkan
disebut lingkaran kekonvergenan deret.
Teorema 5.4
Misal diberikan deret pangkat . Jika
, dengan maka adalah jari-jari
kekonvergenan. □
Teorema 5.5
Misal diberikan deret pangkat .
Jika , dengan maka adalah jari-
jari kekonvergenan. □
Sifat jari-jari kekonvergenan deret pangkat.
1. Jika maka deret konvergen hanya di (pusat deret).
2. Jika maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap
dengan dan deret divergen untuk setiap dengan .
3. Jika maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap
dengan .
Contoh 2Tentukan pusat dan jari-jari kekonvergenan deret .
Penyelesaian :
Misal , pusat deret yaitu .
Oleh karena itu : deret konvergen pada deret divergen pada
Apabila , maka
53
5. Deret Kompleks
(merupakan deret p dengan ), dan
konvergen . Sehingga konvergen pada .
Jadi, konvergen pada dan divergen pada .
5.3 Deret Taylor dan MacLaurin
Suatu fungsi tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret
pangkat dengan pusat deret yang sama. Apabila dapat dinyatakan
dalam deret pangkat dengan pusat , maka deret tersebut tunggal. Setiap
fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat. Apabila analitik di dalam
lingkaran maka dapat disajikan dalam deret Taylor atau deret
MacLaurin bergantung pada pusat deretnya.
analitik di dalam
•
Gambar 5.1 Lingkaran dengan pusat deret
Deret Taylor
Jika analitik di dalam lingkaran yang berpusat di
dan berjari-jari ( lihat Gambar 5.1 ), maka untuk setiap titik di dalam berlaku
. (5.1)
Persamaaan (5.1) disebut deret Taylor dari di sekitar titik .
Deret MacLaurin
Jika pada persamaan (5.1), maka untuk setiap titik di dalam berlaku
. (5.2)
Persamaan (5.2) disebut deret MacLaurin dari .
Beberapa contoh deret MacLaurin.
54
5. Deret Kompleks
1. ,
2. , .
3. , .
4. , .
5. , .
Contoh 3 Tentukan deret Taylor untuk di sekitar .
Penyelesaian :Titik singular yaitu . Dibuat lingkaran dengan pusat
dan jari-jari 1 ( ), sehingga analitik di dalam .
Menggunakan persamaan (5.1) diperoleh deret Taylor : Cara lain : ( menggunakan deret MacLaurin )
5.4 Deret Laurent
Apabila tidak analitik di , tetapi analitik untuk setiap di dalam
annulus , maka dapat diekspansi dalam deret Laurent.
55
5. Deret Kompleks
Deret Laurent
Jika analitik di dalam annulus ,
dan sebarang lintasan tertutup sederhana di
dalam annulus yang mengelilingi ,
maka untuk setiap di dalam ,
dapat dinyatakan sebagai
(5.2)
dengan
Persamaan (5.2) sering ditulis dengan
(5.3)
dengan
Ruas kanan persamaan (5.2) dan (5.3) disebut
deret Laurent dalam annulus .
□
Apabila analitik untuk , maka
dan , sehingga persamaan (5.2) menjadi
deret Taylor . Jadi deret Taylor merupakan
kejadian khusus dari deret Laurent.
Contoh 4
Tentukan deret MacLaurin dan deret Laurent dari
56
5. Deret Kompleks
Penyelesaian :
Titik singular yaitu dan . Dibuat annulus , sehingga dapat diperoleh deret MacLaurin untuk dan deret Laurent untuk dan .
a. Deret MacLaurin untuk . analitik untuk , sehingga
b. Deret Laurent untuk . analitik untuk .
.
Jadi,
c. Deret Laurent untuk . analitik untuk .
.
57
5. Deret Kompleks
Jadi,
Ringkasan
Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent) bergantung pada pusat deretnya.
Soal-soal
1. Tentukan jari-jari kekonvergenan deret
a. b.
2. Tentukan deret Taylor dari fungsi berikut dengan pusat deret .
a. ,
b. ,
c.
3. Ekspansikan fungsi berikut dalam deret Laurent dengan pusat deret .
58
5. Deret Kompleks
a. ,
b. ,
c.
4. Tentukan deret MacLaurin dan deret Laurent dari
a.
b.
c.
59