deret pangkat tak hingga [compatibility mode]
TRANSCRIPT
DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT
TAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGA
DERET PANGKATDERET PANGKAT
Definisi deret pangkat :
( ) ( ) ( ) ( ) ...33
221
0
+−+−+−+=−∑∞
=
axcaxcaxccaxC on
nn
adalah konstantancdimana dan ax adalah variabel
Perhatikan bahwa dalam notasi deret pangkat telah sengaja memilihindeks nol untuk menyatakan suku pertama deret, c0, yangselanjutnya disebut suku ke-nol. Hal ini dilakukan untuk memudahkanpenulisan, terutama ketika membahas pernyataan suatu fungsi dalamderet pangkat
Beberapa contoh deret pangkat
Selang konvergensi deret pangkatSelang konvergensi deret pangkat
Deret pada contoh (a)
Selang konvergensi deret pangkat dapat ditentukan dengan menggunakan konsep uji rasio (uji nisbah), sbb :
Menurut syarat uji nisbah suatu deret akan konvergen jika :
1<ρ
Sehingga :
12
<= xρ
atau :
2<x
atau :
22 <<− x
Jadi selang konvergensinya adalah untuk nilai x antara - 2 dan 2
PertanyaannyaPertanyaannya sekarangsekarang adalahadalah apakahapakah untukuntuk titiktitik--titiktitik ujungujungselangselang yaituyaitu padapada nilainilai x=x=--22 dandan x=x=22 deretderet konvergenkonvergen atauatau divergendivergen??????
Untuk x = -2, deret menjadi :
........11111 ++++++Deret ini akan tak hingga jumlahnya, maka untuk x = 2 deret menjadidivergen. Dengan demikian 2 tidak termasuk dalam selangkonvergensi deret (a)
Untuk x = 2, deret menjadi :
Sehingga selang konvergensi deret pangkat (a) adalah
Untuk x = 2, deret menjadi :
........11111 +−+−+−Merupakan deret bolak-balik dengan |an| = 1. karena |an+1| = |an| makaderet ini juga divergen. Dengan demikian 2 juga tidak termasuk dalamselang konvergensi deret (a)
22 <<− x
TUGASTUGAS
Tentukan selang konvergensi deret pangkat pada contoh (b), (c), dan (d)
TEOREMATEOREMA--TEOREMA PENTING TEOREMA PENTING TERKAIT DERET PANGKATTERKAIT DERET PANGKAT
TEOREMA-TEOREMA PENTING
1. Integrasi dan diferensiasi deret pangkat dapat dilakukan per suku,yaitu:
∑∑
∫ ∑ ∑∫∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−=−
≤−∈−=−
00
0 0
)()(
,,)()(
n
nn
n
nn
q
pn n
q
p
nn
nn
dxaxCdx
daxC
dx
d
raxqpdxaxCdxaxC
Selang konvergensi seragam deret pangkat yang dihasilkan,sama seperti yang semula. Untuk kedua titik ujungnya, perludiselidiki.
2. Dua deret pangkat dapat di-jumlah/kurang-kan, dan diperkalikan;deret yang dihasilkan memiliki selang konvergensi masing-masing deret. Jadi, misalkan I1 dan I2 selang konvergensi masing-masing deret, maka selang konvergensi deret yang dihasilkanadalah ( lambang teori himpunan bagi irisan).
21 II ∩ ∩
== 00 nn dxdx
3. Dua deret pangkat dapat pula dibagi asalkanpenyebutnya tak-nol di x = a, atau nol di x = a,tetapi tercoretkan (seperti ). Selangkonvergensinya harus dicari kembali.
4. Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalam
x
x)1ln( +
4. Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalamderet pangkat lainnya, asalkan selangkonvergensi deret yang disisipkan terkandungdalam deret lainnya. Jadi, misalkan I1 selangkonvergensinya I2, maka ( lambangteori himpunan bagi himpunan bagian).
21 II ⊆ ⊆
5. Pernyataan suatu fungsi f(x) dalam deret pangkatkonvergen, adalah tunggal. Artinya ada satupernyataan deret pangkat untuk satu fungsi,sejauh variabel x berada dalam selangkonvergensi deret.konvergensi deret.
URAIAN TAYLOR SEBUAH FUNGSI
• Seperti telah diungkapkan di atas, bahwa suatu fungsif(x) yang dapat dinyatakan dalam deret pangkat.Kenyataan ini menguntungkan, karena deret pangkatsangat mudah ditangani secara analitis, ketimbangfungsi f(x) itu sendiri. Misalnya, dalam perhitunganintegral dari fungsi f(x), bila seandainya f(x) adalahsuatu fungsi rumit yang integralnya tak terdapatsuatu fungsi rumit yang integralnya tak terdapatdalam tabel integral, maka penyelesaiannya akansulit. Penanganan dalam pernyataan deret dari f(x)mungkin dapat lebih mudah ditangani.
• Sebagai contoh, integral tentu berikut:
• Muncul dalam persoalan fisika, yaitu pada persoalandifraksi Fresnel gelombang cahaya oleh sebuahcelah. Integral jenis ini tak terdaftarkan dalam tabelintegral, karena hasilnya tak dapat diungkapkan
∫1
0
2sin dxx
integral, karena hasilnya tak dapat diungkapkandalam pernyataan suatu fungsi primitif tertentu.Sehingga sulit diselesaikan secara analitik denganmenggunakan teknik dasar integral.
• Integral seperti ini dapat dengan mudah diselesaikandengan metode aproksimasi menggunakan metodederet pangkat.
• Misalkan kita ingin menyatakan sebuah fungsi f(x)yang diketahui dalam pernyataan deret pangkat,maka mula-mula kita tulis bentuk umum sepertiberikut :
LL +−++−+−+= nn axCaxCaxCCxf )()()()( 2
210
• Tetapan a dapat pula bernilai nol. Masalahselanjutnya adalah:
a. Menentukan nilai-nilai koefisien Cn, sebagai fungsidari n, sehingga penulisan di atas berupa suatuidentitas (berlaku bagi semua nilai x).identitas (berlaku bagi semua nilai x).
b. Menentukan selang konvergensi deret pangkatnyadalam mana identitas (a) berlaku.
• Dengan menerapkan teorema diferensiasi deretpangkat, kita peroleh:
nn
nn
nn
CCnnCaf
CnCCCaf
CCCCCaf
................................................................................
!2)0()1(1.200)("
)0()0(20)('
)0()0()0()(
22
2
11
21
02
210
=+−++++=
=+++++=
=+++++=
−
−
LL
LL
LL
nnn CnCnaf !0!000)(
................................................................................
=++++++= LL
)(!
1 )( afn
C nn =
Jadi:
• Dengan demikian,
nn axafn
axafaxafafxf
1
))((!
1
))(("!2
1))((')()( 2
−=
+−+
+−+−+=
∑∞
L
L
nn
n
axafn
xf ))((!
1)(
0
−=∑∞
=
Uraian Taylor dari fungsi f(x) disekitar x = a
Khusus untuk x = 0, uraian deret pangkat dari fungsi f(x) disebutderet McLaurin
Misalkan kita ingin menyatakan fungsi sinus xdalam deret pangkat disekitar x = 0
Bentuk umum :
Tugas kita adalah mencari a0, a1, a2, a3, .... dst
Turunan pertama dari fungsi sin x terhadap x adalah :Turunan pertama dari fungsi sin x terhadap x adalah :
Pada x = 0,
Jadi : a1 = 1
( ) ( ) ...03020 2321 +++= aaaCos
Turunan kedua dari fungsi sin x terhadap x adalah :
pada x = 0
Jadi : a = 0
...3.42.32sin 2432 +++=− xaxaax
( ) ( ) ...03.402.320sin 2432 +++=− aaa
Jadi : a2 = 0
Dst........lakukan proses yang sama untuk turunan ke-tiga, ke-empat, ke-lima, akan didapat :
Interval konvergensi deret sin x
Notasi umum :
( ) !12
12
−
−
n
x n
Dengan uji nisbah didapat :
( ) !12 −n
( )( )
12
121 !12
!12 −
++ −×
+==
n
n
n
nn x
n
n
x
a
aρ
( ) ( )( )( )
( )( )nn
x
x
n
nnn
xn
n
n 212
!12
122!12
2
12
12
+=−×
+−= −
+
ρ
didapat :
10 <=ρ
( )( ) 0212
lim2
=+
=∞→ nn
xn
ρ
Untuk x berapa pun, jadi selang konvergensi untuk deret sin x adalah semua nilai x. Dengan kata lain deret sin x konvergen untuk semua nilai x.
Pernyataan deret dari fungsi Selang konvergensi
...,!7!5!3
.1753
+−+−= xxxxxSin Semua nilai x
...,!6!4!2
1.2642
+−+−= xxxxCos Semua nilai x
...,1.3432
+++++= xxxxex Semua nilai x...,
!4!3!21.3 +++++= xxx
xex Semua nilai x
( ) ...,432
1ln.4432
+−+−=+ xxxxx -1 < x ≤ 1
( ) ( ) ( )( )...,
!3
21
!2
111.5
32
+−−+−++=+ xpppxpppxx p |x| < 1
Disebut deret Binomial, dengan p adalah bilangan real positif atau negatif
Teknik-teknik untuk mendapatkan pernyataan deret suatu fungsi
A. Perkalian suatu deret dengan suatu polinomial atau perkalian deret
dengan deret
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari : ( ) xx sin1+Maka kita lakukan perkalian ( )1+x xsinDengan deret Sbb :
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari : xex cos
Maka kita lakukan perkalian deretxe xcosDengan deret Sbb :
B. Pembagian suatu deret dengan deret lainnya atau dengan suatu polinomial
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari : ( )xx
+1ln1
Maka kita lakukan pembagian ( )x+1ln xDengan deret Sbb :
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari :x+1
1
Maka kita lakukan pembagian 1 ( )x+1Dengan Sbb :
Contoh 3
Untuk mencari pernyataan deret dari : xtan
Maka kita lakukan pembagian deret xcosdengan deret Sbb :xsin
C. Menggunakan deret Binomial
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :1
1
+x
Digunakan deret Binomial Sbb :
(contoh B2)
Hasilnya sama dengan contoh B2
D. Substitusi suatu polinomial atau suatu deret untuk variabel dalam deret lain
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :2xe−
Maka kita lakukan substitusi 2x− pada variabel x dalam deret Sbb :xe
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari : xe tankita lakukan substitusi sbb :
E. Metode Kombinasi
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari : xarc tanDigunakan metode Sbb :
karena
Kita tuliskan 1
Sebagai deret Binomial sbb : Kita tuliskan 21
1
t+Sebagai deret Binomial sbb :
sehingga
Soal latihan
x
ex
−1.1
xsec.2 xsec.2
∫ −=
−+ x
t
dt
x
x
0211
1ln.3
2cosh.4
xx eex
−+=
E. Uraian Taylor melalui uraian Mc-Laurin
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret taylor dari fungsi xlndisekitar x = 1, kita tuliskan:
Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :
( )432
+−+−=+ xxx( ) ...,432
1ln432
+−+−=+ xxxxx
Kemudian ganti x dengan (x-1), didapat :
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )...,
4
1
3
1
2
1111lnln
432
+−−−+−−−=−+= xxxxxx
Contoh 2
Cari uraian Taylor dari fungsi xcos disekitar 23π=x
Kita tuliskan:
Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :
...,!7!5!3
753
+−+−= xxxxxSin
Kemudian ganti x dengan (x - 3ππππ/2), didapat :
( ) ( ) ( ) ( )...
!52
3
!32
3
23
23
53
+−
+−
−−=−=ππ
ππ xxxxSinxCos
Soal Latihan
Cari uraian Taylor dari fungsi-fungsi berikut melalui uraian McLaurin :
11
)(.1 == adisekitarx
xf
25)(.2 == adisekitarxxf
Beberapa penggunaan deret
A. Perhitungan secara numerik
Contoh 1
hitunglah di x = 0,0015
Contoh 2
hitunglah
Lakukan diferensiasi empat kali dan masukan x=0,1, didapat :
B. Penjumlahan deret
Contoh 1
hitunglah
Mulai dengan deret :
Ambil x = 1
Jadi
69,0....4
1
3
1
2
11 =+−+−
Soal latihan
.........7
1
5
1
3
11.1 =+−+−
.........!7!5!3
.2642
=−+− πππ
Gunakan xarc tan
Gunakan x
xsin!7!5!3
( ) ( ).........
!3
3ln
!2
3ln3ln.3
32
=+++
x
Gunakan 1−xe
C. Menghitung integral tertentu
Contoh :
hitunglah
Mulai dengan deret :
Integral Fresnel, dijumpai pada persoalan Difraksi Fresnel
....!5!3
sin106
22 −+−= xxxx
Jadi
!5!3
D. Menghitung Limit
Contoh :
hitunglah
Jawab :
Soal latihan
dtet t−∫01,0
0
.1
01,01
.22
3
3
=
−xdi
x
ex
dx
d x
13
− xdx
( )x
xx
−→
1lnlim.3
0
E. Menentukan nilai e
Gunakan pernyataan deret pangkat untukxe dengan x = 1
...,!4!3!2
1432
+++++= xxxxex
...,111
11432
+++++=e ...,!4
1
!3
1
!2
111 +++++=e
..718,2...,...017,05,02 =++++=e
F. Menentukan akar suatu bilangan
Tentukanlah niali 9 dengan deret Binomial
Kita tidak bisa menulis
Deret Binomial :
( ) ( ) ( )( )...,
!3
21
!2
111
32
+−−+−++=+ xpppxpppxx p
9 dengan 81+ atau ( ) 2/181+Kita tidak bisa menulis 9 dengan 81+ atau ( ) 2/181+
Karena konvergensi deret Binomial adalah 1<x
Untuk menyelesaikan ini gunakan resep berikut :
( )nn
n
b
ca
c
ba
/1
/1
= Dengan b >> c
Jadi nilai 9
( )2/12
2/1
10
29
2
109
=
( ) ( ) 2/12/12/1
2/1 64,015100
64
100
1005
100
3659 −=
−=
=
Itulah hasilnya
( ) ( ) ( )3...
8
64,0164,05,0159
22/1 =
+−−+=
Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika
Contoh 1
Selesaikan dengan menggunakan metode deret pangkat yang cocok !Sebuah kereta luncur bermassa m berada pada sebuah jalur tanjakandengan sudut kemiringan θ terhadap horizontal. Di dekat bagian bawah jalurterdapat sebuah tiang bermuatan listrik positif. Muatan positif yang samaditempatkan pula di atas kereta. Jika gesekan kereta luncur dengan lintasandiabaikan dan diasumsikan percepatan gravitasi g, berapakah besar gayatolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebut tetap diam ditolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebut tetap diam ditempatnya. Petunjuk tuliskan F dalam deret pangkat dari θ.
θ
Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika
Solusi : Agar kereta tetap di tempatnya, maka :
∑ = 0F
θsinwC FF = θsinwC FF =
θsinmgFC =
++−= ....
!5!3
53 θθθmgFC
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat
Cari solusi PDB berikut :
xyy 2'=
Dengan metode pemisahan variabel
xydy
2= xdxdy
2=xydx
2= xdxy
2=
∫∫ = xdxy
dy2
cxy lnln 2 +=2xCey =
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat
Mencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan :
PDB yang dicari solusinya berorde satu (y’), maka perlu dicari y’ :
...44
33
2210 +++++= xaxaxaxaay
...432' 34
2321 ++++= xaxaxaay 4321
xyy 2'=
PDB :
02' =− xyy
...2222 32
210 +−−−=− xaxaxaxy
...432' 34
2321 ++++= xaxaxaay
+..........................0 32 ++++= xxx
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat
Buat matriks seperti berikut :
2220 aaa −−−
4321 432 aaaa
320 xxxx
'y
xy2−210 2220 aaa −−−
+
( ) ( ) ( ) ( ) ....24232200 2413021 +−+−+−+−= aaaaaaa
xy2−
didapat :
001 =−a 022 02 =− aa
02 aa =023 13 =− aa013
23 == aa
24 24 aa =
021
242
4 aaa ==01 =a
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat
Dengan demikian :
...44
33
2210 +++++= xaxaxaxaay
....3
10
2
100 6
054
032
00 +++++++= xaxxaxxaxay32
....!3
1
!2
1 60
40
200 ++++= xaxaxaay
++++= ....
!3!21
642
0
xxxay
2
0xeay = Sama dengan hasil sebelumnya
Soal Latihan
xxyy +='.2
Cari solusi PDB Berikut dengan metode deret pangkat
yxy 23'.1 =
xyy 3sin4''.3 =+
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat
Cari solusi PDB berikut :
xxyy +='
Dengan metode pemisahan variabel
( )1' += yxy
( )1+= yxdy
( ) dxxdy =+( )1+= yx
dx ( ) dxxy
=+1
( ) ∫∫ =+
dxxy
dy
1
.......................................
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat
Mencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan :
PDB yang dicari solusinya berorde satu (y’), maka perlu dicari y’ :
...44
33
2210 +++++= xaxaxaxaay
...432' 34
2321 ++++= xaxaxaay 4321
PDB :
...32
210 +−−−=− xaxaxaxy
...432' 34
2321 ++++= xaxaxaay
+.......................... 32 ++++= xxxx
xxyy +=' xxyy =−'
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat
Buat matriks seperti berikut :
0 aaa −−−
4321 432 aaaa
320 xxxx
'y
xy−2100 aaa −−−
+
( ) ( ) ( ) ( ) ....4320 324
213021 +−+−+−+−= xaaxaaxaaax
xy−
didapat :
001 =−a 12 02 =− aa
22
1
2
1 002
aaa +=+=01 =a
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat
Buat matriks seperti berikut :
0 aaa −−−
4321 432 aaaa
320 xxxx
'y
xy−2100 aaa −−−
+
( ) ( ) ( ) ( ) ....4320 324
213021 +−+−+−+−= xaaxaaxaaax
xy−
didapat :
03 13 =− aa
0131
3 == aa
04 24 =− aa
88
1
2
1 0041
241
4
aaaa +=
+== dst
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat
Dengan demikian :
...44
33
2210 +++++= xaxaxaxaay
....088
10
22
10 540320
0 ++
+++
+++= xxa
xxa
xay8822
++++
++= ....
821....
82
42
0
42 xxa
xxy
....88
1
22
1 40200 +
++
++= xa
xa
ay