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ASTRONOMIE ET MATHÉMATIQUES :
DES RELATIONS TOUJOURS AUSSI FERTILES
Albert BijaouiObservatoire de la Côte d’Azur
Société Astronomique de Cannes14 novembre 2001
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Plan de l’exposé• Astronomes / Mathématiciens• Mathématiques pour interpréter
– La Géométrie et l’Univers– Le chaos cosmique– L’analyse spectrale et la turbulence– Modélisation et simulation
• Mathématiques pour analyser– Astro Statistiques– Le traitement du signal– Le traitement des images– L’analyse des images
• Les mathématiques expérimentales
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Astronomes et Mathématiciens• L’antiquité
– La géométrie– Le calcul– Quelques astronomes marquants
• La période Arabe• Les temps modernes
– Kepler : les logarithmes et les ellipses– Newton : le calcul différentielle et intégral– Laplace : le potentiel– Lagrange : la mécanique analytique
• Poincaré et le chaos
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Thalès de Milet (-624/-547)
• Un des premiers philosophe, savant, mathématicien et astronome
• Aucun écrit • Prédiction d’une
éclipse de Soleil ?• Théorèmes de
Géométrie?
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Eratostène (-276/-194)
• Directeur de la bibliothèque d’Alexandrie
• Crible d’Eratostène• Mesure du diamètre de
la Terre• Distances du Soleil et
de la Lune• Orientation de l’axe de
la Terre
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Hipparque (-190/-120)
• La précession des équinoxes
• Catalogue de positions d’étoiles
• Distance de la Lune• Mouvement de la
Lune• Contributions à la
trigonométrie
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Ptolémée (85-165)
• L’Almageste– Théorie Géocentrique du
mouvement du Soleil, de la Lune et des planètes
– Épicycles• Positions géographiques• Optique
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Omar Khayyam (1048-1131)
• Tables astronomiques
• Longueur de l’année• Algèbre
– L’équation du 3ième degré
• Les Rubaiyats• Samarcande
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Jean Kepler (1571-1630)
• Collaborateur de Tycho-Brahé
• Orbites elliptiques• L’Harmonie du
Monde• Les logarithmes
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Isaac Newton (1643-1727)
• Le calcul différentiel et intégral
• Optique– Décomposition de la
lumière– Télescope– Théorie de l’émission– Anneaux
• La Gravitation Universelle
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Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
• Calcul des variations• Mécanique
– Principe moindre action
– Énergie cinétique– Lagrangien– Mécanique analytique
• Libration de la Lune• Stabilité du système
solaire
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Pierre-Simon Laplace(1749-1827)
• La théorie du Potentiel– Le Laplacien– Équation de Laplace
• Mécanique Céleste– Mouvements planétaires– Stabilité du système solaire
• Exposition du système des Mondes– L’astrophysique– Nébuleuse primitive– Les trous noirs
• Le calcul des probabilités
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Jules Henri Poincaré(1854-1912)
• Professeur de physique mathématique– Topologie – Homotopie
• Co-découvreur de la Relativité Restreinte
• Le problème de trois corps– Mouvement chaotique
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Les Mathématiquespour Interpréter
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La Géométrie et l’Univers• Interpréter l’attraction
universelle– La Relativité Restreinte– La métrique de Minkovski
• Intuition d’Einstein : – Principe de Mach– Lier la métrique aux
masses présentes
• Métriques et surfaces : Gauss/Riemann– La géométrie
différentielle– L’algèbre tensorielle– L’équation d’Einstein
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Relativité et Modélisation• Résoudre l’équation d’Einstein
– Objectifs scientifiques• Orbites près d’un objet massif• Modèles d’Univers• Étoile à neutrons binaire
– Solutions analytiques• Métrique de Schwarzschild• Métrique de Friedmann – Robertson –
Walker– Solutions numériques
• Échantillonnage de l’espace
• Les ondes gravitationnelles– Prédiction– Détection de ces ondes
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L’instabilité des orbites
• Poincaré et le problème des 3 corps– Sensibilité aux
conditions initiales– Instabilité du système
solaire• Le théorème KAM
– Conditions d’instabilitédes orbites
– L’exposant et le temps de Lyapunov
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Le chaos cosmique• Chaos / système solaire
– Les risques de collision– L’évasion de la Lune
• Attracteurs étranges
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La Musique des Sphères
• Systèmes linéaires• Opérateur associé
– Fonctions et valeurs propres
• Analyse spectrale– Invariance par translation:
transformation de Fourier
• La vibration des étoiles:– L’hélioséismologie– L’astroséismologie
• Voir l’intérieur des étoiles
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La Turbulence
• Les systèmes non linéaires– Hydrodynamique :
introduction de la viscosité
• Mouvements turbulents– Équation de Navier-
Stokes– Phénomène
d’intermittence
• Turbulence et Chaos
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Les fractales
• Autosimilarité• Cascades de
Richarson• Les Grandes
Structures de l’Univers
• La fragmentation des nuages interstellaires
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L’île de Von Koch
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L’ensemble de Mandelbrot
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Modélisation et Simulation• Créer des astres virtuels
– Variables et équations
• Passage des équations à la solution– Problèmes mathématiques
• Méthode de Monte-Carlo– Transfert de rayonnement
• Gaz sur réseau– Règle d’automates cellulaires
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Les MathématiquesPour Analyser
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Astro-Statistiques
• Croissance exponentielle des données• Construction des bases de données• Méthodes d’exploration des bases• Classifications
– Réseau de neurones artificiels
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Le Traitement du Signal• Analyse de
Fourier• Transformation
en ondelettes
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Le Traitement de l’Image• Corriger l’image
– Distorsions géométriques et radiométriques
• Restaurer les images– La déconvolution– Le cas du HST
• La synthèse d’ouverture– CLEAN
• Comprimer les images– Transmettre sur un
réseau
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Restauration en synthèse d’ouverture (CLEAN)
1. Image initiale2. Couverture
en fréquence3. Image
observée4. Image
restaurée
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L’analyse de l’image
• La vision par ordinateur– Détecter– Identifier– Mesurer– Classer
• La Morphologie Mathématique
• La vision multi échelles
A B C
D E F
G H I
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Les Mathématiques Expérimentales• Les mathématiques permettent de
définir des êtres de manière précise et de démontrer des théorèmes les concernant : ils conduisent aux modèles
• Les mathématiques appliquées fournissent les outils de simulation et d’analyse avec un ordinateur.
• Des logiciels permettent d’expérimenter les modèles pour analyser et pour interpréter les phénomènes célestes