Diff „Entdecken mit dem PC“

Fraktale und iterierte Funktionensysteme

Beispiel: Kochkurve

Eine Abbildungsvorschrift für die Koch-Kurve lautet:

Man nehme eine Strecke, teile sie in 3 Strecken der Länge l und nehme die Mittlere heraus. Danach setze man auf das fehlende Stück in Form eines Daches 2 Strecken mit ebenfalls der Länge l . Auf die entstandenen 4 Strecken wende man wiederum die Vorschrift an, usw.

Diese Vorschrift läßt sich auch als ein System mathematischer Funktionen ausdrücken, wobei diese Vorschrift ständig wiederholt wird. Die Ausgangsgrößen sind jeweils Eingangsgrößen für die nächste Iteration, wobei diese Ein- und Ausgangsgrößen Bilder darstellen, das heißt, zweidimensionale Strukturen. Das Ergebnis dieses Beispiels wird die Koch-Kurve sein.

Selbstähnlichkeit

Fraktale

F=? U =?

Die Kurve erinnert vor allem bei größeren Indizes an eine natürliche Figur, etwa an eine Schneeflocke. Es ist uns also gelungen, eine komplexe Figur durch eine sehr einfache Rekursionsvorschrift darzustellen.

Außerdem wächst die Länge der Kurve Mn mit steigendem Index ins "Unendliche", obwohl sie in einem beschränkten Flächenstück liegt.

Wir können schwer sagen, ob die Grenzmenge eine Linie oder eine Fläche ist, also ob es sich um ein ein- oder ein zweidimensionales Gebilde handelt. Da man mit dem traditionellen Dimensionsbegriff nicht weiter kommt, spricht man auch von gebrochenen oder "fraktalen" (frangere - lat. zerbrechen) Dimensionen bzw. kurz "Fraktalen".

Was ist ein Fraktal?

Was ist das Besondere an diesen klassischen Fraktalen?

Es ist ihre Selbstähnlichkeit, d. h. ein kleiner Teil dieser Kurve sieht vergrößert genauso aus wie das Gesamtbild.

Diese Eigenschaft entsteht zwangsläufig durch die wiederholte Anwendung der Abbildungsvorschrift. Das Urbild wird bei einer Transformation jeweils 4-mal abgebildet, d.h., jedes Ausgangsbild besteht aus 4 Eingangsbildern und auch diese bestehen aus 4 Eingangsbildern der vorherigen Iteration. Und genau deshalb, weilweil die Koch-Kurve ein selbstähnliches Fraktal ist - läßt sie sich durch die Parameter einer einzigen Abbildungs-vorschrift darstellen. Der Verkleinerungsfaktor ist hierbei 1/3.

Fraktale

Das Sierpinski-Dreieck- ein weiteres Fraktal

Iterierte Funktionensysteme IFS - Fraktale in der Natur oder

entsprechend am PC generiertFür die nachfolgenden Fraktale verwenden wir, anders als bei der Koch'schen Kurve oder beim Sierpinski-Dreieck, nicht nur reine Ähnlichkeitsabbildungen, sondern auch die verschiedensten affinen Abbildungen.

Erlaubt sind hier neben Verschiebung, Drehung und Verkleinerung auch X- und Y-Skalierung (unabhängig voneinander), Spiegelung und Scherung. Mehrere solcher Abbildungen zusammen nennt man auch Funktionssystem.

Ein Beispiel: der Barnsley-FarnBeim Barnsley-Farn (nach Michael F. Barnsley)

verwendet man ein Funktionssystem aus vier affinen Abbildungen. Das Funktionssystem wird auf ein Anfangsbild mehrmals angewandt und heißt daher IFS. Im folgenden Beispiel besteht das Anfangsbild aus einem Quadrat.

Barnsley-Farn: Schritt 50

Andere IFS

oder zurück zu Logo?

Nein, hin zu GIMP

IFS: Ahornblatt

IFS: Pflanzenformen

Bild erzeugt mit einem IFS-Generator

ErzeuBild erzeugt mit GIMPg

Weitere Pflanzen-Varianten- mit IFS oder LOGO erzeugt

Und so sieht es aus bei Künstlern …

Tipps dazu unter: http://www.computergrafiken-digitale-kunst.de/ -> Gewusst wie -> Waldrand

Aber nicht nur digital: Beispiele der Natur

Romanesco Farn

SchneckeBlitzPilze