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Differential- und Integralrechnung im Mathematikunterricht
Beispiele für die Unterstützung des Unterrichts durch einen CAS-Rechner.
Franz Schlöglhofer
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Verwendung eines Rechners im Mathematikunterricht
• Visualisieren
• Probieren
• Interpretieren
• Probleme analysieren
• Neue Inhalte und Methoden
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Inhalt:
1) Erzeugen von Figuren im Grafik-Fenster2) Messungen (Temperatur und Bewegung)
- Datenerfassung3) Visualisierung Tangente -
Ableitungsfunktion4) Beispielhaft einige Aufgaben zur
Differentialrechnung5) Modellierung: Der Torabstoß beim
Fußball
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1) Erzeugen von Figuren mit Funktionen 5. Klasse
Wir verwenden:
• Lineare Funktionen
• Quadratische Funktionen
• Abschnittsweise definierte Funktionen
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Quadratische Funktionen
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Verschiebung - Transformation
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Abschnittsweise definierte Funktionen
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Auch für lineare Funktionen:
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Ein kleines Projekt:
Nach eigenen Ideen Figuren erzeugen mit elementaren Funktionen
Einige Ergebnisse:
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Ein einfaches Beispiel
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Erstes Experiment mit einer Blume
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Der traurige König (Parametrische Linien)
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Qualle
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Raupe
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Parametrische Kreisdarstellung
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Schmetterling
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Kreisbögen
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Im nächsten Schuljahr
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piranha
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2) Physikalische MessungenModellbildung
Temperatur
Bewegung
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Temperaturmessung mit dem NSPIRE
Messung der Temperatur sowie Speicherung und Verarbeitung der Daten.
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Lists & Spreadsheet
Spalte A:
Zeit (Sekunden)
Spalte B:
Temperatur
(beginnt mit 41,6° C und endet mit ungefähr 16° C)
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Scatter-Plot mit der gesamten Datenmenge
Temperatur-anpassung.
Zwei Probleme:
Messung zu lang
Transformation des Graphen günstig für das Auffinden von passenden Funktionen.
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Verkürzte Tabelle (Spalten C und D)
Zeit (Spalte C):
=seq(i,i,0,25)
Temperatur (Spalte D):
=B-16
(Approximation an die x-Achse.)
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Neuer Scatter-Plot
Zeit von 0 to 25 s
Temperatur von 25° to 0° C
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Approximation durch Funktionen
Naheliegend ist der erste Versuch mit einer Quadratfunktion – funktioniert nicht besonders gut.
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Bessere Approximation
Nur der erste Wert macht Schwierigkeiten.
Kubische Funktion
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Exponentialfunktion
Nach einigen Versuchen einigen sich die Schüler auf diese Funktion als beste Approximation.
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The motion of a running ball –velocity
Sensor for the measurement of distance
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Schiefe Ebene Beschleunigte Bewegung
Die Distanz vom Sensor wird im Zeitintervall von 0.05s (50 Millisekunden) gemessen
Die Daten werden gespeichert.
Sensor
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Spreadsheet Spalte A:
Zeit
Spalte B:
Distanz vom Sensor beginnend mit 0,159 m.
(Spalten C and D sind v und a.)
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Scatter Plot Zeit – Distanz
Nach dem Beginn der Bewegung beschleunigte Bewegung
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Auswahl des Beschleunigungsbereichs
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Versuch mit einer quadratischen Funktion
Man findet relativ einfach eine gut passende Funktion
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Zeit – GeschwindigkeitSpalte C:
Mittlere Geschwindigkeit
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Distanz und Geschwindigkeit Lineare
Zunahme der Geschwindig-keit
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Entwicklung der Geschwindigkeit als Funktion
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Mittlere Geschwindigkeit – Funktionsaufruf
Mit dq(x,h) kann die mittlere Geschwindig-keit im Zeitintervall [x;x+h] berechnet werden
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Momentangeschwindigkeit
Begriffliche Einführung ohne Rechner
Grenzwert h geht gegen 0
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Grenzwert mit dem CAS
Lineare Funktion als Ergebnis der Grenzwert-berechnung.
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Geschwindigkeit als Zeit-Ort-Funktion
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Mittlere Beschleunigung berechnet aus den Messwerten
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3) Visualisierung Tangente-Tangentenfunktion
(Idee Zappe)
Grafikfenster
Graph der Funktion
Tangente an den Graphen (Menü)
Messung der Steigung
Bewegung des Punktes (und der Tangente)
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Graph der Tangentenfunktion - Ortslinie
Maßübertragung Tangentensteigung auf die y-Achse
Konstruktion des Punktes der Ableitungsfunktion (x-Koordinate des Punktes, Wert der Tangentensteigung)
Ortskurve (strichliert)
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Weitere Funktionen
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Exponentialfunktion
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Tangentengleichung
Von der Tangenten-darstellung mit den Anweisungen des Grafik-Menüs ausgehend soll ein Weg zur Darstellung der Gleichung einer Tangente mit Punkt und Ableitung gefunden werden.
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Tangente an eine quadratische Funktion
Tangente im Grafikmenü ermitteln.
Messung der Steigung und der Tangenten-gleichung
Experimentieren
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Bewegung der Tangente
Anpassung der Steigung und der Gleichung
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Tangente mit Hilfe der Ableitung:
Die Tangente im Punkt (p/f(p)) des Graphen der Funktion f hat die Ableitung f´(p) als Steigung.
Lineare Funktion:
y=k.x+d ,
f(p)=f´(p).p+d d=f(p)-f´(p).p
Tangente:
ta(p):=f´(p).x+f(p)-f´(p).p
ta(p):=f´(p).(x-p)+f(p)
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Eingabe im Calculator-Fenster
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Darstellung der Tangente im Grafikfenster
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Bewegung der Tangente mit einem Schieberegler
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It´s easy to change the function.
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4) Eine Extremwertaufgabe - Beleuchtung
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b=10, a=11
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x=5 in die zweite Ableitung einsetzen
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b=10, a=8
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Funktionsgraphen
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Darstellung der „Einzelgraphen“
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Allgemeine Untersuchung der Funktion
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Zweite Ableitung
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5) Fußball: Torabstoß
Annahmen treffen.
Zunächst Bewegung ohne Luftwiderstand - Parabelbahn
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Quadratische Funktionen
Beschreibung der Bahn:
Z.B.:
f(x)=0.01(x-10)(x-70) - Nullstellen
Bahn gegeben durch drei Punkte
Hochpunkt
Steigung beim Abschuss
…
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Der Einfluss des Luftwiderstandes Experimente von
John Wesson (Britain) in seinem Buch:
„The Science of soccer“
Der Luftwiderstand des Balls ist direkt proportional zur Geschwindigkeit des Balls (nicht quadratisch).
Daher:
Einfaches Modell
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Einige Grundlagen:Beschreibung der Bewegung durch die Zeit-Ort-Funktion s(t)
Die Geschwindigkeit v(t) ist die Ableitung von s(t) (angenähert der Differenzen-quotient).
Die Beschleunigung a(t) ist die Ableitung von v(t) (angenähert der Differenzen-quotient).
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Ausgangspunkt ist die Beschleunigung
Üblich ist die Beschreibung der Bahn durch die Beschleunigung und Ziel ist die anschließende Lösung der Differentialgleichung.
Mit Hilfe der Differenzenquotienten kann auch simuliert werden.
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Modellbeschreibung
ax(t) = -r*vx(t)
ay(t) = -g – r*vy(t)
vx(t+h) = vx(t) + h*(-r*vx(t))vy(t+h) = vy(t) + h*(-g – r*vy(t))
sx(t+h) = sx(t) + h*vx(t)sy(t+h) = sy(t) + h*vy(t)
Beschleunigung für x und y-Koordinate.
Berechnung der Geschwindigkeit
Berechnung der Zeit-Ort-Funktion
Anfangswertev(0)=(v0*cos(w) , v0*sin(w)) s(0)=(0 / 0)
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Spalte A:Konstante:v0=30 (m/s)w=43 (Winkel)r=0.3 (Konstante Widerstand)h=0.1 (Schrittweite)
Berechnung Geschwindigkeit
Spalte B: =v0*cos(w) =b1+h*(-r*b1) =b2+h*(-r*b2) ….
Spalte C: =v0*sin(w) =c1+h*(-9.81--r*c1) =c2+h*(-9.81--r*c2) ….
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Calculation of position:
Column D: =0 (start of motion) =d1+h*b1 =d2+h*b2 ….
Column E: =0 =e1+h*c1 =e2+h*c2 ….
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Streu-Plot von (sx/sy).
Verkürzung im abfallenden Teil
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Lösung der Differentialgleichung
Lösung der Differentialgleichung mit dem CAS-System im Calculator-Fenster, getrennt x- und y-Koordinate:
Aus ax=vx´=-r*vx mit den Anfangswerten erhält man vx
Zweiter Schritt von vx zu sx(t) Anfangsbedingung Lösung
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Analog für die y-Koordinate:
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Daraus kann eine Funktion f(x) für die Bahn
berechnet werden:
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Experimentieren it dem Graphen von f(x):
Durch Wahl der Konstanten können die Charakteristika der Bahn untersucht werden.