dinamica de turbomaquinas - petrobras

8/15/2019 Dinamica de Turbomaquinas - Petrobras

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DINÂMICA DETURBOMÁQUINASAdhemar Castilho RH/UP/ECTAB/PCEQUIP

RH/UP/ECTAB



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NP-1

DINÂMICA DE TURBOMÁQUINAS

Adhemar Castilho RH/UP/ECTAB/PCEQUIP

Este material contém informações identi cadas como empresariaise classi cadas com o nível de proteção NP-1 pelo RH/UP/ECTAB

É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização por escrito da PetróleoBrasileiro S/A-Petrobras, Recursos Humanos, Universidade Petrobras. Este material foi desenvolvido parauso exclusivo em treinamento no Sistema Petrobras.



SUMÁRIO—

1 INTRODUÇÃO ÀS TURBOMÁQUINAS......................................................................................................................

1.1 INTEGRIDADE DE TURBOMÁQUINAS.................................................................................................. 1.1.1 Integridade da Carcaça ...................................................................................................................... 1.1.2 Integridade da Selagem...................................................................................................................... 1.1.3 Integridade do Rotor e do Mancal..................................................................................................... 1.1.4 Integridade das Palhetas..................................................................................................................... 1.2 CONFIABILIDADE DE TURBOMÁQUINAS............................................................................................ 1.3 ROTODINÂMICA DE TURBOMÁQUINAS...............................................................................................2 INTRODUÇÃO À MECÂNICA VIBRATÓRIA............................................................................................................. 2.1 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES....................................................................................................

2.2 INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA DA VIBRAÇÃO.................................................................................... 2.3 PARÂMETROS PARA ACOMPANHAMENTO DE VIBRAÇÃO.............................................................. 2.4 INTRODUÇÃO À DINÂMICA DA VIBRAÇÃO (1 GDL )........................................................................ 2.4.1 Introdução a vibração livre de sistemas com 1 GDL (Frequência Natural).......................................3 MEDIÇÃO MONITORAÇÃO ANÁLISE DE VIBRAÇÃO........................................................................................ 3.1 SENSORES PARA MEDIÇÃO DE VIBRAÇÃO......................................................................................... 3.2 SENSOR DE DESLOCAMENTO POR CORRENTE PARASITA “EDDY CURRENT”........................................... .............. 3.3 ACELERÔMETRO.......................................................................................................................................

3.4 SENSOR DE VELOCIDADE....................................................................................................................... 3.5 MONITORAÇÃO DOS SINAIS DE VIBRAÇÃO....................................................................................... 3.6 CONCEITO – ESPECTRO DE VIBRAÇÃO................................................................................................ 3.7 CONCEITO – ÓRBITA DO EIXO................................................................................................................ 3.8 CONCEITO – POSIÇÃO DO CENTRO DA ÓRBITA................................................................................. 3.9 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DOS SINAIS DE VIBRAÇÃO.....................................................................

3.9.1 Classifcação dos sinais de vibração quanto à origem.............................................................................. 3.9.2 Conceito - ruído ou erro de sinal (Run Out )................................................................................................ 3.9.3 Classifcação dos sinais de vibração quanto à amplitude.................................................................... 3.9.4 Escalas logarítmicas para amplitudes de vibrações, o decibel [dB]..................................................

3.9.5 Análise dos sinais de vibração............................................................................................................ 3.9.5.1 Filtros................................................................................................................................. 3.9.5.2 Escalas logarítmicas de frequência ltros de oitava)..........................................................

3.9.5.3 Digitalização do sinal de vibração......................................................................................4 DIAGNOSE DE FALHAS EM TURBOMÁQUINAS TROUBLESHOOTING ...................................................................................... 4.1 DESBALANCEAMENTO............................................................................................................................ 4.2 DESALINHAMENTO.................................................................................................................................. 4.3 EMPENAMENTO......................................................................................................................................... 4.4 FOLGA EXCESSIVA ou APERTO INSUFICIENTE................................................................................... 4.5 PEÇA SOLTA............................................................................................................................................... 4.6 ROÇAMENTO.............................................................................................................................................. 4.7 INSTABILIDADE ROTODINÂMICA......................................................................................................... 4.8 RESSONÂNCIA...........................................................................................................................................

4.9 VELOCIDADE CRÍTICA.............................................................................................................................4.10 PROBLEMAS DE ENGRENAMENTO.......................................................................................................

4.11 PROBLEMAS AERODINÂMICOS............................................................................................................. 4.11.1 Stone Wall..............................................................................................................................................................

4.11.2Surge......................................................................................................................................................................... 4.11.3Stall..........................................................................................................................................................................

4.11.4Rotating Stall........................................................................................................................................................ 4.12 DEFEITOS DE ROLAMENTO..................................................................................................................... 4.13 FALHAS ELÉTRICAS .................................................................................................................................

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5 MODELAÇÃO MATEMÁTICA DA VIBRAÇÃO......................................................................................................... 5.1 MODELOS DE UM GRAU DE LIBERDADE, EXEMPLOS......................................................................... 5.1.1 Comportamento elástico de vigas e eixos.........................................................................................

5.1.2 Comportamento elástico de mancais hidrodinâmicos...................................................................... 5.1.3 Dinâmica de movimento em sistemas amortecidos............................................................................... 5.1.4 Conceito - Amortecimento crítico e Frequência natural amortecida................................................ 5.1.5 Conceito - Fator de amortecimento................................................................................................... 5.1.6 Conceito – Decremento logarítmico....................................................................................................... 5.1.7 Conceito – Instabilidade dinâmica.......................................................................................................... 5.1.8 Vibração forçada em sistemas de 1 GDL................................................................................................. 5.1.9 Resposta dinâmica em modelos de 1 GDL....................................................................................... 5.1.10 Conceito - Desbalanceamento de rotores em balanço...................................................................... 5.1.11 Conceito - Desbalanceamento de rotor amortecido.......................................................................... 5.1.12 Resposta dinâmica - Transmissíveidade...........................................................................................

5.1.13 Modelo matemático de um acelerômetro (1 G.D.L )........................................................................ 5.2 MODELO DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE (EXEMPLOS).................................................................... 5.2.1 Conceito - Modo normal de vibração............................................................................................... 5.2.2 Resposta dinâmica no modelo massa-mola 2GDL........................................................................... 5.2.3 Vibração forçada em sistemas de 2 GDL.......................................................................................... 5.2.4 Discussão sobre rigidez dos mancais de turbomáquinas................................................................. 5.2.5 Discussão sobre o amortecimento dos mancais............................................................................... 5.2.6 Frequências naturais em rotores 2 GDL........................................................................................... 5.2.6.1 Equações básicas de equilíbrio do rotor.............................................................................. 5.2.6.2 Equação de frequência........................................................................................................ 5.2.6.3 Análise das curvas de frequência........................................................................................ 5.2.7 Autovalores de um rotor bi-apoiado - Modelação matemática......................................................... 5.3 MODELO COM N GRAUS DE LIBERDADE (EXEMPLOS)...................................................................... 5.3.1 Sistema discreto de abordagem matricial.......................................................................................... 5.3.2 Exemplo ilustrado com três graus de liberdade................................................................................6 MODELAÇÃO ROTODINÂMICA SISTEMAS CONTÍNUOS ............................................................................... 6.1 FREQUÊNCIAS MODOS DE VIBRAÇÃO HAMILTON : Rotores Flexíveis Bi-apoiado Suspensão Elástica e Discos ................................................................................. 6.1.1 Hipóteses Simplifcadoras do Modelo............................................................................................... 6.1.2 Parcelas da Energia do Rotor - Equilíbrio Dinâmico......................................................................... 6.1.2.1 Energia Cinética do Eixo EC............................................................................................ 6.2 FREQUÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA............................................................................... 6.3 COORDENADAS GLOBAIS DE UM VOLANTE.........................................................................................

6.4 ORIENTAÇÃO ANGULAR DO DISCO EM TERMOS DA ELÁSTICA...................................................... 6.5 VELOCIDADES E ACELERAÇÃO ANGULARES DO DISCO................................................................... 6.6 ENERGIA CINÉTICA DO DISCO................................................................................................................. 6.6.1 Energia Cinética do Impelidor........................................................................................................... 6.6.2 Energia Potencial do Eixo.................................................................................................................... 6.6.3 Energia Potencial das Molas................................................................................................................. 6.7 OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO.......................................................................................... 6.7.1 Dedução da Equação Diferencial............................................................................................................ 6.7.1.1 Energia Cinética de Translação do Eixo............................................................................. 6.7.1.2 Energia Cinética do Impelidor........................................................................................... 6.7.1.3 Energia Potencial do Eixo.................................................................................................. 6.7.1.4 Energia Potencial das Molas..............................................................................................

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6.8 Solução da Equação Diferencial...................................................................................................................... 6.8.1 Condições de contorno com Mola.......................................................................................................

6.8.2 Solução da Equação Diferencial de Movimento......................................................................................... 6.8.3 Cálculo dos Coefcientes a determinar.................................................................................................

6.8.4 Defnição da Elástica : Auto-Vetor....................................................................................................... 6.8.5 Equação da elástica.................................................................................................................................

6.9 RESULTADOS OBTIDOS DOS CÁLCULOS DE COMPUTADOR............................................................ 6.10 CONCLUSÕES SOBRE A PERTINÊNCIA DO MÉTODO........................................................................

7 ELEMENTOS FINITOS............................................................................................................................................................ 7.1 ELEMENTOS FINITOS NA VIBRAÇÃO TORSIONAL............................................................................. 7.2 ELEMENTOS FINITOS NA VIBRAÇÃO LATERAL.................................................................................. 7.2.1 Diferentes formas de energia...............................................................................................................

7.2.2 Discretização do eixo em elementos fnitos......................................................................................... 7.2.3 Estabelecimento das matrizes de elementos fnitos............................................................................. 7.2.4 Matriz de rigidez do rotor.................................................................................................................... 7.2.5 Matrizes de massa/inerciais/giroscópica do rotor em YZ...................................................................8 MANCAIS HIDRODINÂMICOS.................................................................................................................................... 8.1 PROPRIEDADES DOS LUBRIFICANTES...................................................................................................................... 8.1.1 Viscosidade Absoluta e gradiente de velocidade................................................................................ 8.1.2 Viscosidade cinemática e Densidade.................................................................................................. 8.1.3 Sistema de Unidades para Viscosidade de Lubrifcantes..................................................................

8.1.4 Conversão de Unidades....................................................................................................................... 8.1.5 Medição de Unidades..........................................................................................................................

8.2 TEORIA BÁSICA DE LUBRIFICAÇÃO...................................................................................................... 8.2.1 Equação de Reynolds.......................................................................................................................... 8.2.2 Cálculo das Pressões nos Mancais (raio R e largura B).................................................................. 8.2.3 Cálculo das Forças nos Mancais (raio R e largura B)............................................................................... 8.2.4 Cálculo dos Coefcientes dos Mancais (raio R e largura B)..............................................................9 MANUTENÇÃO PREDITIVA......................................................................................................................................... 9.1 BENEFÍCIOS DA MANUTENÇÃO PREDITIVA........................................................................................ 9.1.1 Redução dos custos de manutenção 50 a 80%...................................................................................

9.1.2 Redução de falhas nas máquinas 50 a 60%........................................................................................ 9.1.3 Redução do tempo de parada das máquinas 50 a 80%.............................................................................. 9.1.4 Redução de estoque de sobressalentes 20 a 30%................................................................................ 9.1.5 Aumento na vida das máquinas 20 a 40%.......................................................................................... 9.1.6 Aumento da produtividade 20 a 30%................................................................................................. 9.1.7 Melhoria na segurança do operador..................................................................................................... 9.1.8 Verifcação das condições do equipamento novo................................................................................. 9.1.9 Verifcação dos reparos......................................................................................................................... 9.2 TÉCNICAS USUAIS NA MANUTENÇÃO PREDITIVA............................................................................ 9.2.1 Monitoração de vibração.....................................................................................................................

9.2.2 Termografa........................................................................................................................................... 9.2.3 Tribologia.............................................................................................................................................9.2.4 Ferrografa............................................................................................................................................ 9.2.5 Acompahamento dos parâmetros de processo.................................................................................... 9.2.6 Inspeção Visual....................................................................................................................................... 9.2.7 Ultrassonografa...................................................................................................................................

9.3 ESCOLHENDO O SISTEMA DE PREDITIVA............................................................................................ 9.4 PLANEJANDO O PROGRAMA DE PREDITIVA.......................................................................................

REFERÊNCIAS........................................................................................................................................................................

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237237244244247248248251257259260261261262263266267269272275283284284

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Capítulo 1

INTRODUÇÃO ÀSTURBOMÁQUINAS



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1 INTRODUÇÃO ÀS TURBOMÁQUINAS

O alto custo das turbomáquinas empregadas na indústria de processo, bem como a elevadíssima pde produção por falha destes equipamentos, justi cam uma análise dinâmica criteriosa dos mesmomau desempenho no funcionamento de uma turbomáquina é geralmente caracterizado por elevados nívede vibração, o qual deve estar dentro de valores de nidos garantindo um funcionamento adequado equipamento.

A análise dinâmica, cada vez mais so sticada, se faz necessária na fase de projeto, objetivandos riscos do investimento, sendo importante registrar que um bom projeto dinâmico de uma turbomé garantia real de que este equipamento vá funcionar bem no campo, quando o mesmo for instalado em berço de trabalho.

Segundo o API-617, a rigidez da base de uma máquina deve ser no mínimo 3,5 vezes superior à rdo mancal. Caso esta exigência não seja cumprida, as Frequências naturais preditas pelo estudo rotoestarão comprometidas e as margens de separação (segurança) esperadas serão diferentes. O nível dexigido pelo API-617 pode, em alguns casos, ser muito elevado e tornar-se inexequível na prática. esta recomendação ajuda a diminuir os riscos envolvidos no processo, mas não é su ciente para garsucesso do projeto pois sabemos que existe uma acentuada queda do amortecimento dos mancais, aredução da rigidez da fundação.

A dinâmica de rotores é pouco estudada em nossas universidades, notadamente pela inexistêfabricantes de máquinas no Brasil. Os fabricantes de turbomáquinas são os usuários que mais demaconhecimento. A Petrobras, na qualidade de maior operadora de grandes máquinas do Brasil, tem para desenvolver esta particular área da Disciplina Dinâmica.

Um bom projeto dinâmico, não só reduz a vibração dos mancais como pode também mudar per l de deformações do eixo dentro da máquina, trazendo ganhos expressivos no desempenho, atrmelhor funcionamento dos selos internos, e na con abilidade das máquinas. Esse projeto pode tamconferir ao eixo uma grande insensibilidade ao desbalanceamento, de forma que nem a sujeira do rocorrosão, nem seu desgaste por erosão ou abrasão possam alterar o seu per l de vibração ou seu de

1.1 INTEGRIDADE DE TURBOMÁQUINAS

Uma boa forma de apresentação da disciplina Turbomáquinas a um leitor é através da discussão e validação de sua integridade estrutural, a qual pode estar associada a uma das seguintes situações:

• Veri car se a máquina permanece em condições de funcionamento (com o grau de con aoperacional adequado), após muitos anos de operação ou após algum incidente.

• Veri car a possibilidade de ampliação do grau de severidade do funcionamento de uma mobjetivando sua adequação a novas condições de serviço, através do aumento de sua capapotência ou qualquer outro parâmetro relativo às suas condições operacionais.

• Veri car a viabilidade de uma transformação da máquina objetivando adequá-la a um nooperacional.• Veri car o desempenho de uma máquina, objetivando adequá-la a um nível maior de con

Os turbocompressores especi cados pela norma API-617, (que regulamenta o projeto desse máquina para aplicação na indústria de petróleo), devem atender a uma vida mínima de 20 anos, pardepreciação, e a uma operação contínua de pelo menos 3 anos, com uma con abilidade de 100%. Jespeci cados pela norma API-612, devem atender a uma operação contínua de pelo menos 5 anos cde con abilidade.

Na prática, vemos que estes equipamentos normalmente não se deterioram nesse prazo (de 3

e com a ajuda do fabricante, quase sempre podem ser vantajosamente restaurados ao estado de novo a umcusto bem inferior ao de uma máquina nova. Acrescente-se a essa diferença de custos, aqueles assoclonga parada, necessária à montagem de uma nova instalação que requer mudanças nas fundações, tmontagem propriamente da nova máquina.



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Os eixos das turbomáquinas são construídos para uma vida muito longa, na medida em que pser projetados para funcionar sem desgastes e submetidos a níveis de tensões relativamente baixos, de tolerar bem os efeitos de fadiga associados às solicitações cíclicas inerentes à rotação. As tempencontradas em turbomáquinas industriais são normalmente baixas e su cientes para não expor os scomponentes aos efeitos de uência, havendo, porém exceções.

Discutiremos na sequência algumas das questões importantes que precisam ser tratadas em ude avaliação e veri cação da integridade estrutural de uma turbomáquina.

1.1.1 Integridade da Carcaça

Num certo sentido a geometria externa da carcaça limita a capacidade e a pressão máxima qupoderemos associar a uma turbomáquina existente. Todavia a possibilidade de se trabalhar com rot vez maiores e tecnologias cada vez mais so sticadas nos permitem pensar em ampliações com capcrescentes, dentro de certos limites de pressão e vazão.

O limite natural de capacidade de uma carcaça normalmente está ligada à velocidade máximem seus bocais o que depende da geometria dos bocais. Esta velocidade não deverá ser muito supeda velocidade sônica do gás na sucção e na descarga. Velocidades superiores a esta (Mach 0,3) tornaruidosas, com eleva a perda de carga.

Estacionários: O grupo estacionário é constituído pela carcaça, bocais de sucção, descarga e diafragma, sendo este últimcondutos como o difusor, curva de retorno e canal de retorno.

Rotativos: O grupo rotativo é constituído pelos impelidores, eixo, pistão de balanceamento e anel de escora.

Figura 1.1: Montagem rotor estator de uma turbomáquina

O material da carcaça, bem como o seu projeto, está sempre intimamente ligado ao gás que está scomprimido ou às condições do vapor, no caso de turbinas. No caso de Revisão e Ampliação de Pr“REVAMP” de uma máquina, nunca devemos nos afastar muito da composição original do gás, peqmodi cações são possíveis. Caso contrário uma cuidadosa análise dos materiais se faz necessária, em suas características de corrosão e vazamento.



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Os mecanismos de corrosão existentes em carcaças de turbomáquinas são plenamente conhecpodem ser administrados com a seleção de materiais adequados para o serviço. As carcaças podemde corrosão pequenas, e com sobre espessuras de corrosão moderadas podem assegurar “vida in niequipamento. Os limites de pressão das carcaças estão associados ao projeto de seus anges de entao projeto de partição de carcaça e ao projeto de sua selagem. Normalmente estes limites não são aao projeto da espessura de parede da carcaça, o qual é sempre projetado para atender às questões de ao risco de acidentes internos na maquina tais como desintegração dos rotores, entrada indevida de obestranhos.

Durante a sua fabricação toda máquina é submetida a um teste hidrostático de 1,5 vezes a mápressão de projeto da carcaça, sendo para esta condição que normalmente é feito o projeto dos anpartição da carcaça.

As condições de estanqueidade das carcaças são particulares para cada uido e são itens impno processo de aceitação das máquinas. O uido comprimido e suas condições de admissão e descadeterminantes na de nição do modelo da carcaça (de nem se deveremos usar partição Horizontal o- Barril). Como exemplo, podemos citar o hidrogênio, que atravessa frestas com grande facilidade.sempre nos preocupar quando o teor de hidrogênio em um gás sofrer grandes elevações.

Figura 1.2: Montagem rotor estator com detalhes da selagem entre eles

São muitas as tecnologias utilizadas para impedir o vazamento de gás através dos pontos de passaeixo de uma máquina pela carcaça. Em cada caso torna-se importante o perfeito entendimento da selagem empregada antes de analisar a sua efetividade.

Vazamentos de gás ou vapor pela junta de vedação da carcaça normalmente denunciam umadeterioração da qualidade do acabamento super cial da partição da máquina. Muitas vezes estes vapodem ser suprimidos com a aplicação de selantes mais modernos, mais adequados para o serviço outros casos, de maior gravidade, é necessário levar a carcaça da máquina para a retí ca do fabricanrecuperação da superfície de vedação será feita.



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Figura 1.3: Turbina a vapor da General Eletric - GE

É comum encontrarmos nas próprias re narias artesãos capazes de restaurar a vedação dos partições, através de um cuidadoso trabalho manual de lapidação das partições.

Figura 1.4: Tambor de balanceamento do compressor C-5302/REDUC

Figura 1.5: Soprador axial (rotor) Figura 1.6: Soprador da axial-carcaça



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Vazamentos de gás ou vapor pela selagem do eixo do compressor ou turbina normalmente ddeterioração da função selagem desta máquina.

Figura 1.7: Alojamento do selo de gás do compressor C-5302/REDUC

1.1.2 Integridade da Selagem

A selagem de turbinas a vapor de contrapressão e de sopradores é geralmente feita com a ajuda dlabirintos, já que não se faz necessária uma completa estanqueidade, como mostrado na Fig. 1.8.

Em turbinas de contrapressão, a pressão no interior da carcaça é normalmente muito elevadnão existe possibilidade de entrada de ar pelo selo, isto traz grande simplicidade para o projeto dEntretanto o risco de contaminação do óleo lubri cante a partir de um vazamento excessivo de vaponecessidade de instalação de um sistema de ejetores e condensadores de selagem, os quais deverão cont

vazamentos de vapor em níveis aceitáveis.Para máquinas com potência inferior a 6000 Hp, a perda de vapor na selagem é pequena e nonão compensa o esforço para recuperação do condensado. Nestes casos um simples ejetor de selagedescarregando para a canaleta se mostra uma solução econômica e con ável.

Para turbinas acima de 6000Hp torna-se economicamente atrativa a recuperação do vapor emcondensadores de superfície, o que aumenta consideravelmente a complexidade da selagem.

No caso de turbinas condensantes que trabalham com elevado vácuo, o risco de entrada de ar pelaselagem exige cuidados especiais de projeto, tornando-a bem mais complexa e cara. Em alguns casproblema pode tornar-se um ponto fraco na con abilidade da máquina, caso não se tome os devidos

Vazamentos exagerados de vapor são normalmente associados ao desgaste excessivo dos labinternos ou ao mal funcionamento dos sistemas ejetores/condensadores.

Os problemas de ejetores estão associados ao desgaste da geometria interna, alimentação do vapomau funcionamento dos condensadores, devido a furos nos tubos, entupimentos e baixa pressão de da água de resfriamento.

Os labirintos internos de turbinas e compressores normalmente são de alumínio ou outros materiaanticentelhantes. Devem voltar ao estado de novo após cada manutenção (de cinco em cinco anos API - 612).

Materiais modernos como oPolyetherkethone ‘PEEK’ são usados e podem permitir uma importantemelhoria da qualidade da selagem interna de compressores, pois permitem o funcionamento estável, comainda menores que o alumínio. O alumínio é alargado, toda vez que o eixo entra em contato com a o “PEEK ” retorna à sua geometria anterior, após o roçamento, pois tem memória geométrica estandocondicionado à temperatura máxima de operação. A vibração excessiva do eixo junto à região de selagem, fruto de uma rotodinâmica de cientecausa de um vazamento exagerado pela selagem interna, já que o contato eixo labirinto produz o ardos labirintos de alumínio.



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Outra causa possível de mau funcionamento de turbomáquinas está associada à selagem de labirintambor de balanceamento, já que esta afeta o equilíbrio das forças axiais que agem no rotor. O corrdas folgas internas e o uso de materiais modernos agregam con abilidade ao funcionamento do maescora ao longo de toda a campanha.

A selagem externa de compressores centrífugos é muito diversi cada e foge ao escopo desta sendo merecedora de um curso especí co. Todavia podemos destacar dentre as diversas alternativasselagem de compressores centrífugos, a selagem a gás, que vem se tornando mais utilizada em nov

Embora esta tecnologia venha se tornando mais robusta e con ável nos últimos tempos, podeuma boa idéia usá-la em substituição à selagem convencional de uma velha máquina. O espaço dispcâmaras de selagem existentes pode não ser adequado para a construção de uma selagem con ável importante registrar que a selagem a gás elimina o papel nocivo do selo convencional na geração da instcausada pelo acoplamento cruzado “Cross coupling ”.

Figura 1.8: Selo de labirinto em soprador axial

Selagem do Compressor C-5302/REDUC - Caso Histórico

O compressor de propano C-5302/REDUC apresentou na campanha 2003 a 2007 um vazamexcessivo de gás propano, notadamente durante as paradas do compressor. Este vazamento reduziasubstancialmente, quando a máquina entrava em operação.

Na parada não programada do C-5302, ocorrida em abril de 2007, foi encontrada uma graveconformidade neste compressor. Ela justi cava largamente o vazamento anormal de propano.Foi encontrado um furo passante na carcaça desta máquina na posição de instalação do estojode uma das selagens, o qual está posicionado e pode ser visto na Figura seguinte.

Discussões realizadas junto ao pessoal da REDUC revelaram que este problema era do conhda REDUC, há muitos anos. Este defeito já veio com esta máquina quando nova, sendo que o mesmeliminado inicialmente, com o uso de recursos de manutenção com a vedação do furo.

A causa provável desta falha foi a morte da carcaça seguida de um processo de maquiagem do prcom objetivo de encobrir o mesmo. Este problema só pode ser identi cado muitos anos após a primdeste compressor.



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Figura 1.9: Estojo na posição do furo passante

1.1.3 Integridade do Rotor e do Mancal

Os rotores das máquinas industriais atuam isentos de contato metálico direto, e devem ser fabricacom materiais que os tornem praticamente imunes à corrosão. Em alguns tipos de serviços, pode ocformação de compostos aderentes à superfície dos rotores, provocando eventualmente algum tipo dedeterioração. Caso contrário, a durabilidade dessas peças costuma ser grande.

Rotores de grandes máquinas são peças projetadas para ter vida longa e se convenientementee guardados poderão durar por mais de vinte anos sem necessidade de manutenção desde que não ocorra

acidentes graves. Os eixos destes rotores são normalmente feitos de aço liga 4140 ou 4340, aço liganíquel para tempera e revenido.

Figura 1.10: Rotor e estator de um compressor axial

O rotor de um compressor projetado segundo os padrões do API-617 não sofrem desgaste jánão existe contato metal/metal em projetos bem feitos. Somente durante as partidas pode ocorrer umcontato metal/metal e, por conta disto, são indesejáveis as paradas de máquinas desnecessárias. Os n vibração dos rotores podem ser mantidos bem abaixo das folgas mecânicas ao longo do eixo quandrotodinâmico dos mancais é bem feito. É comum encontrarmos em máquinas antigas co mais de 25



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projetos rotodinâmicos de cientes; rotodinâmica é uma ciência moderna que começou atingir a suaa partir dos anos 80. Nestes casos a modi cação do projeto dos mancais pode trazer ganhos exprescon abilidade e robustez destes equipamentos.

O limite de rotação de um compressor centrífugo pode ser ampliado em algumas oportunidado uso da rotodinâmica podemos fazer alterações de baixo custo nos mancais e com isso disponibilizda máquina acima dos limites praticados. Algumas vezes esta disponibilidade ca comprometida pedesintegração do rotor por ação das forças centrífugas. “O Maximus continuous speed – MCS ” das máquinas émanipulado pelo fabricante.

Na prática todavia encontramos rotores operando abaixo de seu limite estrutural de tal formaelevações de rotação de 10% são normalmente possíveis, com ganhos fabulosos na capacidade da mpequeno custo.

Em sopradores axiais e em turbinas o aumento de rotação não deve ser admitido sem um criterestudo no projeto de todas as palhetas.

Os mecanismos que mais frequentemente frustram as expectativas de um “REVAMP” e produo mau funcionamento e a deterioração prematura dos rotores e dos seus mancais são: corrosão, depdesgaste, descargas elétricas nos mancais, redução da rigidez relativa pedestal/mancal, deterioração do tensões internas.

a) CORROSÃO- Os mecanismos de corrosão existentes em rotores de turbomáquinas sãoplenamente conhecidos e podem ser minimizados para aqueles serviços dominados pelo f

Com a seleção de materiais adequados para os impelidores podemos ter taxas de corrosãoe com pequenas sobrespessuras de corrosão poderemos ter vida ilimitada para estes rotorecorrosão também ocorre para os materiais usados na carcaça. Em alguns casos pode ocorra instalação de um mecanismo de corrosão não esperado, que pode reduzir a vida do rotordrasticamente como ocorreu com o rotor da turbina (101-TJ FAFEN-BA).

Um caso típico e plenamente conhecido de falhas prematuras em rotores é a instalação de um

processo de corrosão chamado corrosão fadiga. Este fenômeno costuma ocorrer em palhturbinas a vapor ou em palhetas de sopradores de ar axiais e está associado a ocorrência dem suas diversas formas, no uido de trabalho.

Este fenômeno ocorre na maioria dos materiais empregados na confecção de palhetas e seatravés da redução do limite de resistência dos materiais à fadiga, sempre que existe a precontaminante.

A corrosão fadiga não costuma ocorrer nos eixos porque sabemos que neles o nível de tenesperado, centrífugo + vibratório é muito baixo. Já nas palhetas somos obrigados a convivníveis de tensões elevados, centrífugo + vibratório sendo sempre possível o risco do aparedeste mecanismo.

O grande segredo para a confecção de rotores con áveis é a manutenção do estado de tende todos os seus componentes em valores muito baixos. Só assim poderemos garantir a vin nita para estes rotores. Projetos que não zelam por esta característica, baixo nível de tecomponentes, não são de alta con abilidade.

Em alguns projetos, como no caso de rotores de turboexpansores usados em plantas UFCo carregamento excessivo das palhetas sendo encontrados valores de tensão iguais a 80 %de resistência a fadiga do material e nestes casos tem-se a certeza de que estamos diante dprojeto de baixa con abilidade.



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Na maioria dos serviços existentes para turbomáquinas na indústria do petróleo as temperdos componentes das carcaças e dos rotores é mantida em valores baixos. Desta forma nãnenhuma deterioração dos eixos por efeito da temperatura sendo, portanto sua vida in nitExistem ainda muitos outros mecanismos de falha prematura dos eixos a partir da conjugdos fatores: tensão, corrosão, temperatura, contaminantes do uido e materiais empregadrevestimento coating ` das palhetas. Entretanto estes casos são exceção e não regra geral, deveser tratados cada um de um jeito diferente no processo de revitalização (“RETROFIT ”) dasturbomáquinas.

b) DEPÓSITOS - Os mecanismos de depósito de sujeira no estator ou nos rotores dasturbomáquinas são altamente indesejáveis. Pequenos depósitos de materiais são aceitáveconstituem ameaça para o bom funcionamento dos equipamentos.

Figura 1.11: Rotor de um compressor centrífugo obstruído por depósito

Processos que produzem grandes depósitos são inaceitáveis e representam grande ameaçafuncionamento destas turbomáquinas. Depósitos exagerados desbalanceiam os equipamenobstruindo as passagens do gás. Deformam completamente as suas curvas de desempenhos seus rendimentos para valores muito baixos, colocando os compressores em surge, redua potência das turbinas, prejudicando o funcionamento dos trocadores de calor, reduzin vazão dos equipamentos.

Toda a ação para evitar os mecanismos de formação dos depósitos é responsabilidade do de processo e pouco pode ser feito na máquina para mudar esta realidade. Algumas tentainjeção de uido de lavagem de depósitos em compressores não têm se mostrado muito e

Em compressores de Gás Úmido de unidades UFCC ( Wet Gás Compressor ) existe uma elevadaprobabilidade de formação de depósitos no rotor e no estator, caso não seja realizada a limdo gás com água de lavagem, antes da passagem do mesmo pelos condensadores de topo ouinterestágio.

c) DESGASTES – As turbomáquinas podem ainda se deteriorar por intermédio dos mecanismode erosão e abrasão.

Em sopradores axiais ou em turbinas a gás é muito importante a utilização de ltragem adpara o ar de entrada, caso contrário as partículas encontradas em suspensão poderão produzirincrustações ou danos severos nas palhetas.



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Já em turbinas a vapor podemos ver os efeitos do ataque do vapor vivo nas válvulas parcipalhetas dos primeiros estágios. Nas palhetas dos estágios nais de algumas turbinas podobservar a erosão causada por condensado arrastado pelo vapor. Estes problemas são noreliminados pela seleção dos materiais e pelo projeto adequado de seu tratamento térmico e deendurecimento super cial. (Hastes e luvas de vapor das parcializadoras, ângulo de incidênbordo de ataque das palhetas, erosão nas últimas palhetas de turbinas condensantes).

Em compressores centrífugos normalmente são empregadas menores velocidades e o protermodinâmico afasta o gás de sua condição de condensação. É muito importante que todlíquido porventura trazido pelo processo junto com o gás seja eliminado no vaso de sucção, predução da velocidade do gás no vaso de sucção adequadamente projetado (“demisters ”).

d) DESCARGAS ELÉTRICAS NOS MANCAIS - Outro problema que pode ser encontradocom certa Frequência, quando estamos interessados na revitalização de uma máquina é adeterioração dos mancais produzida a partir da formação de descargas elétricas entre os mancos rotores.

Toda vez que se estabelece uma diferença de potencial entre a carcaça e o rotor os mancais setornam o ponto provável de disparo da centelha, pois é nos mancais que encontramos a menodistância entre o eixo e a carcaça.

As descargas e elétricas podem ter origem estática ou dinâmica:

ESTÁTICA – É o caso de sopradores de ar em plantas de amônia. Nestes casos o ar secoatritar com a superfície metálica do rotor, produz arrancamento acumulativo de elétrons, queaumentando progressivamente a diferença de potencial entre o rotor e o estator, até que salte ucentelha. A única forma de se contornar este problema é pelo bom aterramento entre o eixmancal, com o uso de escovas de aterramento bem dimensionadas.

DINÂMICA – É o caso de máquinas em geral em que existe magnetismo residual em algpartes do rotor ou do estator. Nestes casos o movimento do rotor gera uma corrente parassalta do eixo para a carcaça ou vice-versa, dando origem a um centelhamento contínuo qudeteriorar o mancal em poucas horas. Para contornar este problema devemos desmagnetduas partes, rotor/carcaça e estabelecer bom aterramento entre o eixo e o mancal.

Outro ponto que sempre requer cuidados especiais, quando se deseja realizar uma mudança dprojeto de mancais, é a rigidez do sistema de suportação do eixo. Quando se muda o projemancal podemos ter problemas caso o suporte do mancal não tenha a rigidez mínima requeridnesse caso o resultado será uma drástica redução do amortecimento do mancal.

Segundo o API-617 o suporte do mancal deverá ter no mínimo 3,5 vezes a rigidez do maconsiderarmos que o mancal anterior possuía uma baixa rigidez é fácil imaginar que o novcom rigidez 10 vezes maior irá facilmente romper esta barreira tênue. Normalmente a riestrutura civil de suportação das máquinas são adequadas para a nova condição desde que o nmancal consiga reduzir a vibração.

e) ROTOR COM TENSÕES INTERNAS- Embora os rotores sejam projetados paralonga vida é comum encontrarmos rotores doentes, em muitos casos já em estado avançado ddeterioração. Isto ocorre sempre que os rotores são submetidos a condições inadequadas dcomo no caso de armazenamento inadequado, roçamentos excessivos entre rotor e o estatquando o rotor é submetido a constantes situações de surge.



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Após longos períodos de maus tratos o rotor pode desenvolver em sua estrutura metálica complexo campo de distorções e de tensões internas, tornando-se desta forma imbalanceá

Toda vez que este rotor for submetido a um campo de forças centrífugas ou campo de deftérmicas, ele se deformará, cada vez de uma forma diferente. O balanceamento se torna pe caz, pois a cada rodada o vetor desbalanceamento tentativa, se apresentará de forma di

A solução provisória para este tipo de problema é em alguns casos. o balanceamento a quprogressivo, (no caso de turbinas), no qual se tenta uma convergência para níveis aceitáve vibração. No caso de compressores o rotor deverá ser balanceado por tentativa e erro, atrtentativas sucessivas, na rotação de operação, sem nenhuma garantia de sucesso.

A solução adequada é a eliminação deste rotor e a substituição do mesmo por um novo, aa solução dos problemas que fazem com que esta máquina opere tão mal. Como regra gesempre recomendável, em caso de dúvidas, o balanceamento do rotor na rotação de operação,que esta é a única forma concreta de identi cação do bom estado do rotor. Rotores com teinternas exageradas ou desbalanceamentos residuais excessivos, explicitam este problemafase de balanceamento na rotação de operação. Estes rotores são de difícil balanceamento

CUIDADOS COM O PROJETO NA FASE DE REPROJETO DO ROTOR

Sempre que for necessária a aquisição de um novo conjunto rotor mancais, o fabricante do rotor dfornecer no mínimo uma completa análise de resposta dinâmica do conjunto para variações de velozero até a velocidade de desarma(“trip”). Estes estudos normalmente consideram o suporte da caixa de mancomo completamente rígidos.

Este estudo deverá conter pelo menos as análises seguintes:Características de rigidez e amortecimento para todas as rotações, e deve levar em conta as ca

de rigidez da fundação da carcaça e da caixa de mancais. Na prática os fabricantes de máquinas nã

analisar as características da fundação, considerando-as rígidas, transferindo toda a responsabilidade pelresultados ao projetista da fundação.No cálculo do amortecimento e da rigidez do lme de óleo deverão ser considerados sempre

seguintes valores (como mínimo): variações de rotação, carga, pré-carga, temperatura, tolerância d(folga máxima e mínima), cargas assimétricas (como no caso de arco parcial de admissão de vapor forças direcionais produzidas por engrenamentos.

O fornecedor dos novos rotores deverá ainda fornecer completo estudo sobre as Frequências torsionais do trem de eixos, contemplando pelo menos os seguintes aspectos relativos às excitações (diagrama de Campbell).

Problemas com redutores, transiente torsional de partida de motores síncronos, excitações torno caso de motores de indução, governadores hidráulicos e eletrônicos com retroalimentação “ feed-back” (pararessonância do loop de controle), primeiro e segundo harmônicos da frequência da rede, rotação de

CASO HISTÓRICO - Turbina a vapor da RPBC TC-V2402

Este caso de recuperação de uma turbina que operava mal é um excelente exemplo da compleapresentada na recuperação de uma máquina. Esta turbina durante muitos anos foi responsável por perdas de produção da UFCC da Re naria RPBC/PETROBRAS, sendo a causa básica do problemaexcessiva desta turbina.

Após muitos anos tentando balanceá-la, sem êxito, e sabendo a RPBC que esta máquina operpróximo a segunda crítica de seus mancais, a RPBC decidiu contratar o fabricante desta máquina pamudanças de projeto em seus Mancais. A proposta apresentada pelo fabricante, e aprovada pela PETconsistia no enrijecimento dos mancais originais (quadrilobulares) pela troca dos mesmos por mancais rigidez com sapatas utuantes “tilting-pad ”. A rigidez esperada no novo mancal deveria ser aproximadamen vezes superior à rigidez do mancal anterior.



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Após substituição dos mancais e partida da máquina, constatou-se que a máquina continuavatrabalhando sobre a segunda critica e que as vibrações continuavam excessivamente elevadas, exigde mancais a cada quatro meses.

O motivo do insucesso desta tentativa de recuperação do bom funcionamento da máquina foi abaixa rigidez de seu pedestal. A máquina estava apoiada sobre o ange de uma viga I e tinha sua ricomprometida pelo movimento fácil dos anges desta viga.

Após esta constatação tornou-se claro para todos a razão do insucesso, o qual foi provocado predução da capacidade de amortecimento do mancal. Em consequência desta adversidade a rigidez enão se alterou e o rotor continuou operando sobre a sua segunda crítica.

A solução nal só foi obtida através de uma solução de compromisso. O pedestal foi parcialmenrijecido pelo contraventamento das orelhas dos anges da viga em I. Um novo projeto de mancafoi implementado com uma substancial redução da sua rigidez, conjugada com uma grande elevação doamortecimento do mancal.

Estas providencias culminaram por eliminar a segunda crítica insistente, que não queria se dfora da faixa operacional ( over-damped ).

Figura 1.12: Mesanino daTurbina a vapor da RPBC TC-V2402

1.1.4 Integridade das Palhetas

Palhetas de turbomáquinas são componentes do rotor que apresentam elevado grau de complem seu projeto.

Em máquinas novas este item representa um ponto do projeto com grande risco potencial de No caso particular de compressores axiais, o projeto aerodinâmico é complexo principalmente quanfalando da iteração projeto mecânico/aerodinâmico, tecnologia que ainda hoje é parcialmente conhe

Máquinas antigas, com longo histórico de bom funcionamento das palhetas, não representamproblema no processo de revitalização de máquinas. O problema se inicia quando solicitamos ao fabo mesmo modi que algumas palhetas com o objetivo de repotencialização do equipamento, ou em caumento de rotação do eixo. O fabricante normalmente não está interessado em gastar recursos no uma palheta nova para uma máquina antiga, pois na sua experiência ele considera que suas chances



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são elevadas, seguindo a “recita de bolo” normalmente usada no projeto de palhetas, graças a sua laCabe ao usuário, nestes casos, a tarefa de zelar pelo bom resultado do projeto.

Outro ponto que exige cuidados especiais é o armazenamento de rotores reservas, pois existeassociados ao comprometimento das palhetas dos rotores a partir de sua contaminação com partículas esuspensão no ar ou no ambiente de armazenamento, como cloretos e produtos sulfurosos, que iniciam oprocesso de corrosão fadiga. No armazenamento de rotores também corremos o riscos de deforma(longos períodos de armazenamento podem afetar a estabilidade geométrica e o desbalanceamento corrosão assimétrica).

O armazenamento seguro deve manter os rotores na vertical e promover controle da atmosfera oumeio no qual o rotor está inserido. A simples substituição de um rotor por seu rotor reserva, nuncaanteriormente, pode criar um grande problema.

Os principais pontos de análise no projeto de uma palheta são:

1) Cálculo preciso das Frequências naturais das palhetas ou do pacote de palhetas (Palhetashroud ). Esta tarefa é particularmente difícil pois qualquer programa de elementos nitos pfazer este cálculo, só que os resultados não terão nenhum comprometimento com a realidSomente uma sólida experiência neste tipo de cálculo pode produzir resultados representamais quando se tem grupos de palhetas unidas através do “shroud ” e da introdução da rotação daspalheta, introduzindo as forças centrífugas e o efeito giroscópico).

2) Evitar a coincidência das Frequências naturais da palheta com os cinco primeiros harmrotação, para todas as palhetas. Harmônicos da rotação são Frequências que naturalmentas palhetas de uma turbina ou compressor axial.

3) Garantir que os dois primeiros harmônicos da Frequência de passagem das palhetas (“blade pass frequence ”) de cada roda não venha a coincidir com nenhuma de suas Frequências naturais d

mesmas. Excitações na frequência de passagem das palhetas e em seus primeiros harmônperigosas, já que elas possuem energia su ciente para dani cá-las.

4) Fazer o estudo das “wake-waves ” e das frequências primas para impedir que algum harmônicperigoso possa vir a coincidir com as frequências naturais das palhetas. As diferenças entre o número de palhetas do rotor e o estator anterior e posterior são Freque naturalmente excitam cada palheta, alem disso se o número de palhetas a montante/jucada palheta não for primos, também teremos novas Frequências de excitação.

5) Fazer o estudo da distribuição do número de palhetas por roda para reduzir o ruído da Este é um item que a grande maioria dos fabricantes de turbomáquinas não atendem, sendprincipal explicação para o ruído agudo que a maioria dos projetos de turbinas a gás apre

6) Fazer CFD (análise de elementos nitos do gás na entrada das palhetas xas e móveisgarantir a estabilidade do uxo na entrada.

7) Fazer CFD (“Fluid Dynamic Codes ”) para garantir a estabilidade do uxo na entrada através dutos de admissão e no pleno da máquina.

8) Garantir que não ocorrerá “FLUTER ” e “rotating stall ”.

Existem alguns critérios de projeto que protegem as máquinas do “ futer ” e do “rotating stall ”, todaviaestes fenômenos ainda não são completamente conhecidos.



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CASO HISTÓRICO - Soprador Axial da RECAP

Trata-se de um caso particular de falha no projeto das palhetas do primeiro estágio do compressoaxial da RFCC/RECAP. Três meses após a entrada em operação este soprador “blower da UFCC” apresentoufalha total. Após a abertura da máquina o rotor foi encontrado totalmente destruído após a ingestão das palhetas do primeiro estágio de compressão.

A falha das paletas ocorreu em duas de suas linhas nodais com nítidas características de fadiga (amarcas de praia eram claramente observadas). O fabricante, com objetivo de isentar-se da responsanão assumir os enormes prejuízos produzidos por esta falha, concluiu o relatório associando a falhfadiga. Culpou a PETROBRAS pela ingestão excessiva de umidade e pela elevada contaminação dcloretos, elementos catalisadores do processo corrosão fadiga.

A RECAP não satisfeita com a solução simplista apresentada pelo fabricante, contratou umaamericana especializada em diagnósticos e simulações de performance, para analisar a falha e estabparecer.

Conforme mencionada, a falha foi por corrosão fadiga em um contesto de corrosão extremamsevero potencializado pelas causas descritas abaixo:

1) Enxofre e cloretos vindos do ar em proporções normais;

2) Condensação de vapor d’água do ar, na medida em que é acelerado pela palheta até umde Mach “ Mach number ” não usual em projetos desta natureza. O revestimento NCC“coating” empregado no projeto que muito intensi cou a corrosão galvânica.

O uso do NCC“coating” foi um sério engano devido à corrosividade do ar e a condensação excessprovocada pela exagerada aceleração do ar na entrada das palhetas do primeiro estágio.

A nova Pás Guias de Ebtrada “IGV” proposta pelo fabricante eliminou o risco de corrosão faeliminou as suas causas, atuando nos seguintes fatores:

1) Reduzindo as tensões provocadas pela vibração, por trabalhar a palheta fora de suas freqnaturais.2) Emprego de novo material na confecção das novas palhetas, material este um pouco msusceptível à corrosão fadiga.3) Pela modi cação do material do“coating”, que agora é à base de alumínio“aluminiun based sermentelcoating” uma a proteção adequada para ambientes úmidos com enxofre e cloro.

Resta ainda uma questão que pode ser enunciada:Qual será o tempo de duração deste“coating”, na medida em que o novo per l da palheta é mais espe

e também é responsável por uma elevação da capacidade de condensação da entrada do soprados. Io ataque químico sobre as palhetas.

Só a experiência poderá mostrar.Dois erros de concepção inicial levaram a este estado de coisas: A decisão pela utilização de “blower” de rotação xa e a decisão de utilizar um pequeno diâm

externo das palhetas, como ca muito claro durante o relatório. De posse destas informações a RECdesquali car o projeto e planejar a sua melhor estratégia de convivência com o problema.



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1.2 CONFIABILIDADE DE TURBOMÁQUINAS

Outra forma de introdução da disciplina Turbomáquinas ao leitor interessado é através da discussua con abilidade.

Os turbocompressores especi cados pela Norma API-617 devem atender a uma vida mínimanos e a uma operação contínua de pelo menos 3 anos. Já as turbinas especi cados pela Norma APdevem atender a uma operação contínua de pelo menos 5 anos com 100% de con abilidade.

Sabemos da Engenharia de Con abilidade que para sistemas em série a con abilidade total destá associada ao produto da con abilidade de todos os seus subsistemas. Consequentemente será que a con abilidade do componente de pior qualidade colocado em toda a cadeia.

Con ablidade em série

Con abilidade Esperada→ 100% em 5 anos

Em uma turbomáquina existe uma grande quantidade de subsistemas que trabalham em paralcada um deles pode ser desmembrado em dezenas ou até centenas de subsistemas em série.

A con abilidade de sistemas em paralelo cresce com a sua multiplicação e pode ser quanti cajuda da equação abaixo:

Con abilidade em paralelo

Con abilidade Esperada→ 100% em 5 anos

Entre os muitos subsistemas independentes que precisam funcionar antes da entrada em operturbocompressor, podemos destacar o sistema de desarme “TRIP ”, sistema de lubri cação, sistema antissurge,sistema de selagem, sistema de controle de capacidade, sistema de monitoração de vibração, etc.

Todos estes sistemas estão associados em série, na medida em que a máquina só parte se todoestiverem em plena operação. Desta forma, podemos registrar que a con abilidade exigida de cadasubsistemas é 100% para 5 anos de operação.

Dentre todos os subsistemas encontrados em uma turbomáquina, o mais importante é o sistemade “TRIP ” na medida em que todos os outros estão intimamente conectados a ele, de tal sorte que uturbomáquina não pode operar sem o perfeito funcionamento do seu “TRIP ”.

Toda a loso a de funcionamento de uma turbomáquina está edi cada sobre a certeza defuncionamento do “trip” em caso de necessidade. Por esta razão a função “trip” de uma turbomáquina precisaatuar através de dispositivo de controle do tipo desenergiza para “tripar”. Esta atitude de controle rmínimo o risco de falhas ocultas.

Constatação de uma observação curiosa

Toda a loso a de funcionamento de um motor elétrico de alta tensão está baseada na losocontrole do tipo energiza para “tripar”.

1) É feita para energizar em caso de curto circuito (principal proteção de um motor elétrico)2) Caso fosse de loso a desenergisa para “tripar” necessitaria de fonte externa de partida.



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Esta ambiguidade acima referida é uma importante causa de baixa con abilidade das funçõestrip”,frequentemente sofridas em nossas re narias e sendo a causa constantes de acidentes em nossos coacionados por motores elétricos.

Faremos uma discussão detalhada do sistema de “trip”, com o objetivo didático.Con abilidade Exigida → 100% em 5 anos

Figura 1.13 A: Quadro esquemático do “trip ” de uma Turbina à vapor (A)

Somente nos casos em que todos os contatos da régua de “trip” estejam fechados “energizados”, a válvula “re-set” poderá ser condicionada para partida. A seguir apresenta-se uma sequência de esqentendimento da função “trip”.



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A válvula A estará fechada quando todos os contatos estiverem fechados, dando assim condição partida.

TRIP = TRIP(sobrevelocidade) + v TRIP(remoto) + TRIP(manual)

Figura 1.13 B: Quadro esquemático do “trip ” de uma Turbina à vapor (B) A válvula B estará fechada quandoTRIP OVERSPEED estiver fechado, dando assim condição de

partida à máquina.

Figura 1.13 C : Quadro esquemático do “trip ” de uma Turbina à vapor (C)



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A válvula C estará fechada quandoTRIP Mecânico Remoto estiver fechado dando assim condição dpartida.

Figura 1.13 D: Quadro esquemático completo do “trip ” de uma Turbina à vapor

Figura 1.14: Corte Axial de uma Turbina à vapor



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Figura 1.15: Subsistema -trip de lubri cação



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Figura 1.16:Subsistema -trip de selagem



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Figura 1.17: Subsistema -trip de antissurge



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Figura 1.18: Sistema -trip de vibração



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1.3 ROTODINÂMICA DE TURBOMÁQUINAS

O alto custo das turbomáquinas empregadas na indústria de processo, bem como o elevadíssimo cassociado à perda de produção por falha destes equipamentos, justi cam uma análise dinâmica critemesmos. A nalidade é que sejam minimizados os riscos de aparecimento de elevados níveis de vibconsequentemente os riscos para os investimentos, com a parada da planta por mau funcionamento daturbomáquina.

Nesta análise rotodinâmica criteriosa inserem-se o cálculo das Frequências naturais de vibraçresposta dinâmica ao desbalanceamento, a estabilidade dos rotores e muitas outras fontes geradorasnos equipamentos.

O mau desempenho no funcionamento rotodinâmico de uma turbomáquina é geralmente carapor um elevado nível de vibração do eixo, o qual precisa ser contido dentro de valores de nidos, paum funcionamento adequado deste equipamento (con abilidade).

Vibração elevada é sinônimo de:

1) Elevado ruído, inadmissível em navios da Marinha;2) Baixa con abilidade dos equipamentos (baixo tempo médio entre falhas);3) Desgaste excessivo dos componentes com mancais e acoplamentos;4) Custos elevados de manutenção;5) Perdas elevadas por lucro cessante, etc.

A análise dinâmica, cada vez mais so sticada, se faz necessária na fase de projeto, objetivandos riscos do investimento. A identi cação tardia de um problema, na fase de fabricação/montagemé pelo menos dez vezes mais custosa do que a sua identi cação na fase de projeto.

Analogamente, podemos dizer que a identi cação de um problema na fase de partida da planpelo menos muitas vezes mais cara do que a sua identi cação na fase de fabricação. Se o problemaidenti cado na fase de produção, a perda por lucros cessantes, é ainda maior. Em alguns casos a plcondenada permanentemente a uma vida de operação inaceitável.

Todo o esforço feito na fase de projeto, para garantir o baixo nível de vibração e consequentebom funcionamento de uma turbomáquina, pode ser perdido se a base de suporte da mesma não foReforçando este ponto, é muito importante registrar que um bom projeto rotodinâmico de um

turbomáquina, não é garantia real de que este equipamento vá funcionar bem no campo, com baixos vibração, quando o mesmo for instalado em seu berço de trabalho. Este problema é ainda mais sériem que sabemos que a engenharia de construção civil, aeronáutica e naval não dominam esta tecnol

Nos projetos de construção civil são aplicados métodos simpli cados de projeto das fundaçõtêm a sua e cácia comprovada. Todavia existe um risco inerente ao processo de simpli cação, queem alguns casos os níveis de vibração observados no campo sejam bem superiores àqueles medidos no realizado no fabricante. Em alguns casos estes níveis são tão elevados que comprometem o bom fun

da turbomáquina. A utilização de programas de elementos nitos para o projeto dos suportes, empregada na enaeronáutica e naval, aumenta as chances de sucesso do projeto. Todavia não é su ciente para represo acoplamento dinâmico entre as diversas partes relacionadas dinamicamente exigindo custosos esfexperimentais após a construção do primeiro protótipo, para garantir a inexistência de problemas.

Enfatizando esta idéia podemos registrar que as frequências naturais do rotor poderão ser difecon gurações diferentes do suporte. Importantes variações são percebidas, da ordem de 10%. Solidtambém as Frequências naturais do suporte são alteradas quando o rotor é acoplado à estrutura, quamenores variações são observadas. Somente a simulação da interação rotor/estrutura/mancais é sunecessária para representação do modelo real, viabilizando a idéia de um protótipo digital do rotor

Um trem de compressão pode ser composto de diversas turbomáquinas, trabalhando com diferentrotações. Em algumas oportunidades reais, a estrutura de sustentação dos equipamentos, pode ser exuma grande gama de harmônicos e sub-harmônicos das rotações de suas múltiplas turbomáquinas,grandemente o risco desta estrutura.



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Segundo o API-617 a rigidez da base de uma máquina, deve ser no mínimo 3,5 vezes superior à do mancal. Caso esta exigência não seja cumprida, as frequências naturais preditas pela rotodinâmicomprometidas e consequentemente as margens de separação serão diferentes. O nível de rigidez e API-617 pode ser muito elevado e tornar-se inexequível na prática. Além disso, esta instrução ajudos riscos envolvidos no processo, todavia não é su ciente para garantir o sucesso do projeto.

Sabe-se que existe uma acentuada queda do amortecimento dos mancais com a redução da rigfundação. Caso a rigidez do suporte tenha valor inferior a 10 vezes a rigidez dos mancais, as conseserão notadas no fator de ampli cação da máquina.

As estruturas de suporte acima discutidas podem ser:

1) Um mezanino em uma planta industrial.2) O casco de um submarino ou de um navio da Marinha.3) Uma plataforma de petróleo “offshore ”.4) A asa de um avião responsável pela suportação das turbinas a gás, etc.

Um equipamento rotativo típico é constituído de vários subsistemas, tais como: rotor, mancacarcaça, impelidores, selagem, fundação, etc. Quando o rotor é submetido a distúrbios internos ou como desbalanceamento, Frequência de engrenamento, desalinhamento, instabilidade rotodinâmicada rede elétrica. Estes componentes interagem entre si em um processo dinâmico de absorção e dienergia.

Em um rotor de turbomáquina, estes distúrbios combinam-se em um complexo regime defuncionamento do rotor, caracterizado por deformações do eixo, que gira com rotação W (“spin ”). Estemovimento, caracterizado por precessões independentes da rotação W é o w (“whirl ”).

O eixo deforma-se em uma curva espacial, denominada curva elástica do rotor reversa no espcurva tem grande importância no projeto das máquinas, na medida em que de ne as tensões máximprojeto do eixo, bem como as folgas internas mínimas da máquina.

A obtenção da curva elástica tem sido facilitada pelo uso de programas de computador, cujo objet

determinação da in uência da rotação do eixo nas suas Frequências naturais, sua elástica e sua respOs programas permitem a aquisição do conhecimento teórico e o desenvolvimento do sentimento fícomportamento destes rotores quando suportados em estruturas exíveis.

A Ciência Rotodinâmica é pouco estudada em nossas universidades, notadamente pela inexifabricantes de turbomáquinas no BRASIL. Os fabricantes de turbomáquinas são os que mais demaconhecimento. A Petrobras, como maior operadora de turbomáquinasm do Brasil, tem se esforçaddesenvolver esta particular área da Dinâmica.

Um bom projeto rotodinâmico, não só reduz a vibração dos mancais, mas pode também mudper l de deformações do eixo dentro da máquina.

O projeto adequado traz ganhos expressivos no desempenho, através do melhor funcionamenselagens internas, e na con abilidade das máquinas, já que baixa de forma importante o nível das tinternas do rotor, seja pelo menor nível de vibração ou seja porque elimina o risco de introdução detérmicas no eixo, a partir dos roçamentos.

Um bom projeto rotodinâmico pode também conferir ao eixo uma grande insensibilidade aodesbalanceamento de forma que nem a sujeira do rotor, nem sua corrosão, nem seu desgaste por erosão abrasão possam alterar o seu per l de vibração ou seu desempenho signi cativamente. É interessancom o devido cuidado podemos transformar uma máquina velha, com mais de vinte anos, em uma máqumuito melhor do que era antes do “RETROFIT ”, não só em seu comportamento vibratório como também eseu desempenho.



Capítulo 2

INTRODUÇÃO ÀMECÂNICA VIBRATÓRIA



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2 INTRODUÇÃO À MECÂNICA VIBRATÓRIA

Nos últimos anos a disciplina Vibração de Máquinas vem ganhando mais e mais importânciaadvento dos sistemas computacionais. Hoje é possível a modelação analítica de estruturas estáticas bem como uma efetiva monitoração dos equipamentos mecânicos durante o seu funcionamento.

Os níveis de vibração das máquinas estão sempre relacionados com a qualidade do equipamento emanutenção. O analista de vibração desempenha um papel análogo ao de um médico de máquinas.

Figura 2.1: Médico de Máquinas

Porque as medições de vibrações são tão importantes no diagnóstico dos problemas das turboEsta pergunta pode ser respondida observando-se a tabela abaixo:

Tabela 2.1: Esquema de Falha de Equipamentos

Temperatura Pressão Fluxo Análise de óleo VibraçãoDesbalanceamento XDesalinhamento eixo

etioX X

Rolamento dani cado X X XMancal dani cado X X X X XEngrenagem desgastada X XPeça solta XRuído XTrinca X

As vibrações estão sempre presentes nas estruturas mecânicas, sejam elas dinâmicas ou estátiser compreendidas como elemento de comunicação entre o homem e a máquina. Alguns exemplos podem ilustrar de forma mais nítida esta a rmação:

• carro → roda desbalanceada, ruído estranho, vibração diferente;• ventilador → desbalanceamento, passagem pela crítica;• moto → ruído de peça solta, vibração no retrovisor;• avião → desigualar da rotação de motores em bimotores, causando o batimento.

As vibrações medidas em um determinado ponto da estrutura ou equipamento têm a sua origpróprio equipamento ou no exterior.

As máquinas vibram naturalmente em seu funcionamento normal, já que a dinâmica do movide seus componentes internos transmite forças de intensidade e direção variáveis a elementos exív

estruturas elásticas. As vibrações pequenas são consideradas normais, ao passo que as vibrações elinaceitáveis, pois geram:

• grandes deslocamentos, produzindo tensões elevadas, que levam a falhas por fadiga, corrosob tensão ou roçamento;



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• grandes velocidades, produzindo a degradação da energia mecânica em uma forma danoenergia causando ruído excessivo;

• grandes acelerações, produzindo tensões internas localizadas como na palheta de turbina, dde engrenagens, esfera de rolamentos.

Neste ponto ca claro que a caracterização do instante em que a vibração deixa de ser normatornar-se elevada, é uma questão de referencial.

Uma referência usualmente empregada é: se o nível de vibração se elevar 10 dB, a máquina tedegrau em sua escala de comportamento.Sendo: N1 a Vibração antes e N2 a Vibração depois

10dB =

Degraus na escala de funcionamento: ótimo → bom → sofrível → mau → péssimo

É claro que não existem referenciais absolutos e que, na melhor das hipóteses poderíamos terreferenciais por classe de máquinas (compressor alternativo, centrífugo etc.). Na prática, entretanto,relativo, conforme pode ser visto abaixo:

• compressor de coque da REGAP (3 micras no teste);• turbocompressor de SS/8 (37,5 micras);• turbocompressor de SS/19 (67,5 micras);• compressor de amônia Ultrafertil (125 micras após 17 anos de operação);• soprador de Cubatão (180 micras de vibração durante 20 anos).

Limite de vibração do API

Existem alguns trabalhos estatísticos, no sentido da normalização daqueles que seriam os nívde vibração, para algumas classes de equipamentos rotativos (Normas para valores aceitáveis de vibseção 6.6.2 este assunto é discutido de forma simpli cada, com um objetivo informativo.



39

2.1 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

Dentro de uma abordagem analítica, a forma mais simples e fundamental de se abordar o problemcomplexo das vibrações é através do clássico modelo massa-mola de um grau de liberdade (GDL).

O tratamento matemático adequado a este problema simpli cado é o mesmo utilizado na desmovimento circular uniforme, sendo comumente identi cado como: movimento harmônico simples

A vibração em sua manifestação mais simples (modelo massa-mola de um grau de liberdade) pod

retratada através de uma função senoidal, conforme pode ser visto na Figura 2.2.Denominamos de sinal de vibração, a senoide gerada para documentar o movimento vibratórcentro de gravidade (CG) da massa abaixo.

Figura 2.2: Movimento Harmônico Simples

Conceito - Sinal de Vibração

O sinal de vibração pode ser então de nido como uma representação grá ca do movimento vde um equipamento (centro de gravidade do modelo massa-mola), objetivando a sua análise, paraidenti cação de comportamentos anormais.



40

2.2 INTRODUÇÃO À CINEMÁTICA DA VIBRAÇÃO

Este sinal de vibração é normalmente apresentado com a variável tempo, na abscissa, e um va voltagem (amplitude) na ordenada, valor este proporcional à variável observada.

Da mesma forma como a vibração pode ser retratada pelo deslocamento da superfície observada sua ordenada), ela também pode ser apresentada tendo como parâmetros velocidade ou a aceleraçãmesma superfície conforme Figura 2.3.

No processo de análise das vibrações, qual destas formas deve ser usada?

Figura 2.3: Deslocamento, Velocidade, Aceleração

A vibração de um sistema mecânico simples (um grau de liberdade) pode ser perfeitamente c

com a ajuda de um sistema de monitoração de vibração, o qual transforma este movimento em um sinalmecatrônico, perfeitamente identi cado por três parâmetros operacionais:

• amplitude - parâmetro que de ne o valor máximo do deslocamento;• frequência - parâmetro que retrata o comportamento dinâmico do sistema, e que está assperíodo da oscilação;• fase - parâmetro que retrata o atraso temporal do pico de vibração relativamente a um insreferência, em um sistema dinâmico com amortecimento. É sempre um ângulo.



41

Na Figura 2.4 visualizamos o signi cado da fase e da frequência:

Figura 2.4: Aceleração, Velocidade, Deslocamento

A faseθ retrata a distância do pico à referência de interesse “referência de fase, triger”.

A frequência( ) f é a grandeza física associada ao tempo de oscilação do sistema (dois picos sucesda senoide), e seu valor é dado pelo inverso do período T.

Frequência f = 1/T

Figura 2.5: Exemplo de Tabela de Cálculo



42

O valor da amplitude do sinal de vibração pode ser de nido de diversas formas diferentes,independentemente da natureza do sinal medido. Portanto, não importa se o sinal de vibração é de deslocamento ou velocidade. O mesmo pode ser apresentado como um sinal de amplitude A, confo2.6.

• vibração ZERO A PICO → 0-P;• vibração PICO A PICO → P-P;• vibração RMS (tem sentido de energia)→ RMS;• vibração MÉDIA → M.

Figura 2.6: Amplitude de Vibração

A vibração de um sistema mecânico real pode ser perfeitamente caracterizada como uma exteconceitos anteriormente apresentados: amplitude, frequência e fase.

Figura 2.7: Sinal de Vibração no Domínio do Tempo



43

2.3 PARÂMETROS PARA ACOMPANHAMENTO DE VIBRAÇÃO

O parâmetro velocidade de vibração, na maioria das máquinas, é o que parece apresentar umadistribuição de energia ao longo de suas diversas frequências, e desta forma poderia ser o melhor paacompanhamento das turbomáquinas.

Na prática, entretanto, outros fatores se impõe e fazem com que a escolha do melhor parâmetacompanhamento seja diferente em cada caso particular.

No caso das turbomáquinas, as baixas frequências são mais importantes do que as altas frequcom isto o sensor de deslocamento “eddy current” é o mais recomendado.Em bombas, normalmente, os sinais de velocidade extraídos de um acelerômetro são os mais

para a veri cação da saúde da máquina. Em redutores, o parâmetro aceleração é o mais indicado poas suas altas frequências.

Um sinal de aceleração poderá ser facilmente transformado em sinais de velocidade e deslocamenintegração. Já um sinal de deslocamento não poderá ser transformado em sinais de velocidade e aceo ruído não permite a derivação.

Nas Figuras 2.8 e 2.9, são apresentados diagramas onde ca evidenciado a melhor aplicação um dos sensores em função de suas faixas de aplicação.

Figura 2.8: Faixa Típica para transdutores de Vibração

Figura 2.9: Espectro Típico de Vibração



44

A Figura abaixo dá uma boa idéia da faixa mais adequada de utilização de cada um dos diferede sensores.

Figura 2.10: Faixa Operacional dos Transdutores de Vibração

2.4 INTRODUÇÃO À DINÂMICA DA VIBRAÇÃO 1 GDL

Aplicando uma pequena força senoidal em um bloco apoiado sobre uma superfície plana e rígida,observaremos que o mesmo não se desloca, permanecendo aparentemente parado.

Figura 2.11A: Dinâmica de Movimento do Massa Mola



45

A força externa pode ser aplicada através de diversos dispositivos diferentes.

Figura 2.11B: Dinâmica de Movimento do Massa Mola.

Fazendo crescer a amplitude desta força, teremos uma mudança do comportamento do bloco,

esta força for maior que o peso. (Exemplo de não linearidade)

Figura 2.11C: Dinâmica de Movimento do Massa Mola.

É possível aplicarmos esta força utilizando apenas um rotor desbalanceado?Neste caso, a amplitude da força de excitação do sistema seria dada pela fórmula:



46

Portanto é proporcional ao quadrado da frequência de rotação da máquina geradora de força s

Figura 2.11D: Dinâmica de Movimento do Massa Mola.

Aplicando a mesma força senoidal em um bloco, posicionado sobre uma mola, teremos a movime

do centro de gravidade desta massa conforme mostrado abaixo:

Figura 2.11.e: Dinâmica de Movimento do Massa Mola

Observamos que o pico de amplitude da força e do deslocamento são coincidentes. Esta reali

ser alterada pela aplicação do amortecimento, conforme veremos posteriormente.

Figura 2.12: Dinâmica do Massa Mola Amortecido



47

Conceito - Sistemas Elásticos Lineares

Dizemos que uma estrutura elástica comporta-se linearmente quando a resposta é proporcional àaplicação de uma força.

Kx F −=Uma estrutura elástica com comportamento linear, sempre responde (vibra) na mesma frequêexcitação, sendo válida esta a rmação inclusive em cenários de múltiplas excitações. Estrutunão lineares respondem de forma “imprevisível”.

2.4.1 Introdução a vibração livre de sistemas com 1 GDL (Frequência Natural)

A segunda Lei de Newton estabelece que, em umsistema inercial, as forças que agem em um corpoproduzem uma aceleração deste corpo na direção da resultante das forças, onde o somatório das foragem no corpo rígido é igual ao produto:

massa x aceleração →

Para estabelecer a equação de movimento do sistema massa-mola, devemos impor um deslocame vertical e aplicar a Lei de Newton, objetivando estabelecer o equilíbrio das forças reinantes.

O peso não entra no equilíbrio dinâmico, servindo apenas para determinar a de exão estáticaequilíbrio .

Figura 2.13: Equação para o modelo Massa Mola

Sendo: 0.. =+ X K X m , a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem decoe cientes constantes que representa o movimento. A unidade de frequência é o Hertz (ciclo/segupor:

A unidade da velocidade angular é rad/seg



48

Exercício com conversão de unidades:

Calcular a frequência natural em Hertz de um sistema massa mola sabendo que: a massa pesap = 3062 Lbf; K = 1.200.000,00 Lb / in

Solução: A rigidez K é:

A massa pesada é

A frequência natural deste sistema é dada por:

Conceito – Ressonância em sistemas mecânicos

Ressonância é um fenômeno físico, caracterizado pela primeira vez em 1602 por Galileu Galirefere ao estado de identi cação de um sistema mecânico. Dizemos que este sistema está emressonância quando o mesmo encontra-se trabalhando em sua frequência natural.



Capítulo 3

MEDIÇÃO MONITORAÇÃOANÁLISE DE VIBRAÇÃO



51

3 MEDIÇÃO MONITORAÇÃO ANÁLISE DE VIBRAÇÃO

3.1 SENSORES PARA MEDIÇÃO DE VIBRAÇÃO

Sensores de vibração são dispositivos mecatrônicos capazes de transformar o movimento associaprocesso vibratório em um sinal de vibração, permitindo desta forma a sua medição, monitoração e

Esse sinal pode ser então tratado dentro das técnicas de análise de sinal de vibração, que se tra

disciplina responsável pela monitoração/análise e diagnóstico das causas de mau funcionamento dasObjetivando um melhor entendimento desta disciplina, convém uma breve discussão sobre osdispositivos utilizados na captação dos sinais de vibração.

Um dispositivo mecânico puro, usado no passado para medição e registro de vibrações, é apreseguir:

Figura 3.1: Sensor de Vibração Mecânico

O movimento vibratório da maioria dos nossos equipamentos dinâmicos é geralmente capturde dispositivos eletrônicos (corrente ou tensão), os quais permitem uma manipulação bem mais confortáinformação, viabilizando todo o seu tratamento com a ajuda dos sistemas computacionais.Os principais transdutores de vibração encontrados no universo das turbomáquinas são: acelesensores de deslocamento (Corrente Parasita ou Eddy Current ), transdutores de velocidade, extensmetros (strain

gauges), sensores óticos etc.

3.2 SENSOR DE DESLOCAMENTO POR CORRENTE PARASITA “EDDY CURRENT ”

Figura 3.2: Sensor de Vibração Eletrônico



52

O sinal de vibração que sai dooscilador demoduladoré um sinal de tensão proporcional ao deslocamento doeixo, e se constitui de uma parcela de sinal CC (portador da informação da folga “ gap” ) e de uma parcela de sinalCA (portador da informação de vibração).

A curva de calibração do sensor pode ser construída na Figura 3.3, para diferentes materiais. materiais usualmente empregados em turbomáquinas o sensor é normalmente calibrado com CC≈ 10V e umsinal CA≈ 200 mV/mil.

Figura 3.3: Sensor de Vibração Corrente Parasita “Eddy Current ”

Figura 3.4: Sonda do Sensor de Vibração “ pick up ”



53

Figura 3.5: Componentes do Sensor de Vibração Corrente Parasita

Figura 3.6: Órbita de Vibração de um Osciloscópio

O sensor de corrente parasita eddy current indica valores de vibração relativos à posição de sua ancoragefornecendo um valor relativo.

Caso a máquina apresente vibração acentuada em sua caixa de mancais, a vibração indicada pde deslocamento pode estar comprometida, como mostrado na Figura 3.8, exigindo que seja feita um vetorial entre as vibrações do sensor e as vibrações da carcaça. Os dois sinais deverão estar referidomesmo Gatilho ( Triger ou Key Fasor).

Um exemplo de subtração de sinais de vibração com um mesmoKey Fasor será apresentado quandoestivermos discutindo a subtração do ruido “Run Out” de um sinal de vibração.



54

Figura 3.7: Erro de medição causado pela Carcaça

3.3 ACELERÔMETRO

Figura 3.8: Sensor de vibração acelerômetro

O cristal piezo-elétrico produz um sinal de carga proporcional à força aplicada.O pré-ampli cador de carga produz um sinal de tensão proporcional à aceleração do acelerôm

Figura 3.9: Curva Representativa do Sensor Acelerômetro



55

Podemos encontrar diversos tipos de acelerômetros na indústria, sendo os mais comuns mostradoabaixo:

Figura 3.10: Faixa de aplicação de acelerômetro

Figura 3.11: Detalhes Construtivos do Acelerômetro

Figura 3.12: Carteira de Identidade de um Acelerômetro



56

3.4 SENSOR DE VELOCIDADE

Figura 3.13: Sensor de Velocidade de Vibração

O sensor de velocidade produz um sinal de tensão proporcional à velocidade experimentada pO valor da amplitude de um sinal de vibração pode ser de nido de diversas formas independe

da natureza do sinal medido. Não importa se o sinal é de aceleração, deslocamento ou velocidade, pode ser apresentado como um sinal de amplitude.

• vibração ZERO A PICO → 0-P;• vibração PICO A PICO → P-P;• vibração RMS (tem sentido de energia)→ RMS;• vibração MÉDIA → M .

Figura 3.14: Transdutores de velocidade de vibração



57

Figura 3.15: Faixa operacional dos transdutores de vibração

3.5 MONITORAÇÃO DOS SINAIS DE VIBRAÇÃO

O sinal pode ser apresentado de diversas formas, para efeito de monitoração e análise das vibturbomáquinas:

• espectro de vibração;• órbita;• posição do centro do mancal, etc.

Figura 3.16: Apresentação do sinal de vibração



58

3.6 CONCEITO ESPECTRO DE VIBRAÇÃO

O espectro de vibração é uma representação grá ca do movimento vibratório de uma turbomÉ apresentado em um diagrama que possui a frequência como abscissa e a amplitude como ordenadrepresentado pela projeção do sinal no domínio da frequência, após transformação do sistema de co

Figura 3.17: Espectro de frequência da vibração

3.7 CONCEITO ÓRBITA DO EIXO

A órbita pode ser de nida como uma representação grá ca do movimento do eixo dentro do objetivando a sua análise para identi cação de comportamentos anormais. É construída usando-se o

gura deLissajour . Os dois sinais de vibração apresentados no domínio do tempo (CA) são coletados psensores independentes, separados a 90º graus em um mesmo mancal.

Figura 3.18: Órbita do eixo



59

Figura 3.19: Órbita do eixo



60

3.8 CONCEITO POSIÇÃO DO CENTRO DA ÓRBITA

O diagrama de posição do centro da órbita é uma representação grá ca da posição do centro objetivando sua análise para identi cação de comportamentos anormais. É construída a partir da re“plotagem”, do valor médio dos sinais de vibração (CC) no domínio do tempo, coletados por dois sindependentes posicionados com 90ª graus de separação, em um mesmo mancal, mostrado na Figur

Figura 3.20: Posição da órbita do eixo dentro do mancal



61

3.9 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DOS SINAIS DE VIBRAÇÃO

3.9.1 Classifcação dos sinais de vibração quanto à origem

Neste ponto é interessante fazer uma breve re exão sobre a classi cação dos sinais de vibraça sua origem, apresentando rápida discussão acerca das ferramentas matemáticas utilizadas no tratamensinais.

O esquema mostrado na Figura 3.21, dá uma visão panorâmica das diferentes formas em quede vibração analógico/digital se apresenta, tendo em vista a multiplicidade de suas possíveis origensEle pode ser:

• determinístico;• não determinístico.

Figura 3.21: Classi cação dos sinais de vibração

Os sinaisaleatórios ou não determinísticos são aqueles para os quais a evolução de seu valorinstantâneo, não pode ser explicitada por intermédio de uma expressão matemática fechada, sendo ntratados através de uma formulação estatística. São divididos emestacionários ou não estacionários.

Nos sinaisestacionários, todas as informações importantes estão contidas em uma única amostrae giram em torno de um valor médio. Como exemplo, apresentamos o processo de análise experimetensões em uma asa de avião durante um teste de campo.

Nos sinaisnão estacionários, nem todas as informações importantes estão contidas em uma únicamostra. Como exemplo, apresentamos o processo de análise experimental das ondas do mar (conccentenária).

Os sinaisdeterminísticos são aqueles para os quais a evolução do seu valor instantâneo pode serperfeitamente determinado. São divididos em periódicos e não periódicos.

Os sinais periódicos se dividem emharmônicos e genéricos, sendo em ambos os casos tratados com aferramenta matemática Série de Fourier.



62

Exemplo de sinal periódico harmônico:

Figura 3.22: Série de Fourier de um sinal harmônico

A seguir é apresentada uma visualização desta metodologia:

Figura 3.23: Decomposição tridimensional do sinal harmônico



63

Exemplo de sinal periódico genérico:

Figura 3.24: Série de Fourier

Os sinaisnão periódicos dividem-se em:quase periódicos e transitórios.Os sinaisquase periódicos são aqueles gerados nas turbomáquinas e são tratados pelo conceito de

Transformada de Fourier.Exemplo de sinal não periódico quase periódico:

Figura 3.25: Transformada de Fourier

Os sinaisnão periódicos transitórios também podem ser encontrados nas turbomáquinas,estando associado ao conceito de Análise Modal, e podem ser tratados com as ferramentas matemát Transformada de Fourier.

Resumindo, podemos dizer que:Um sinal de vibração periódico harmônico, como o apresentado na Figura 3.23, pode ser decompos

utilizando-se o conceito de Série de Fourier.

• Série de Fourier → Sinais periódicos→ Fórmula da Série de Fourier:

( ) ( ) ( ) ( )t senbt senbt at aa

t x 121112110 2.....2coscos

2)( ω ω ω ω ++++=

( )∫−×= 2

211

1 .cos)(τ

τ ω

π ω

dt t nat xa n

;

( )∫−×= 2

211

1 .)(τ

τ ω

π ω

dt t n senat xbn

Um sinal não periódico, quase periódico pode ser decomposto utilizando-se os conceitos de Transformada de Fourier e TRF (Transformada Rápida de Fourier) ou FFT.



64

• Transformada de Fourier→ Sinais Reais das máquinas (Fig. 43):

∫∞

∞−−×= dt et x x t iω

π ω

ω ).()( 1

Figura 3.26: Visualização da transformada rápida Fourier (FFT)

Figura 3.27: Sinais de turbomáquinas (classi cação)

O valor médio quadrático da amplitude total do sinal de vibração composto (RMS, PP, 0P), mFigura 6.25, pode ser de nido não importando se estamos falando de um sinal de deslocamento, veaceleração. Como apresentado na Figura 3.28.



65

Figura 3.28: Nível total de vibração

3.9.2 Conceito - ruído ou erro de sinal (Run Out )

O sinal de vibração real de uma máquina, quando capturado através de sensores de proximidaeddycurrent” , normalmente está contaminado com um sinal indevido, usualmente chamado de “run out” .O run out ocorre porque o sensor percebe defeitos físicos, geométricos, imperfeições de materia

campos elétricos/magnéticos porventura existentes no rotor, como sendo um sinal de vibração.

Figura 3.29: Run out de um sensor eddy current

O valor máximo admissível para orun out de uma máquina nova é limitado pelo API – 617 em 0,25 mils = 6,3 micra.

O ruídorun out pode ser eliminado através dos procedimentos:burnishing , subtração vetorial ou micromartelamento. A subtração vetorial exige que a máquina tenha umkey fasor .



66

Figura 3.30 Eliminação do run out do sinal do sensor

A eliminação do “run out” também pode ser feita na órbita do sensor.

Figura 3.31: Eliminação do run out na órbita

O espectro derun out pode ter múltiplos signi cados físicos tais como: falta de simetria radial, rieixo, ovalização.



67

Figura 3.32: Espectro de run out de um sensor

3.9.3 Classifcação dos sinais de vibração quanto à amplitude

Quanto ao nível de amplitude das vibrações, as diversas normas se esforçam no sentido doenquadramento do estado de saúde das máquinas aos diversos níveis de amplitude apresentados pelos vadispositivos de medição de vibração.

A maioria destes critérios de normalização se baseia no valor RMS da velocidade, numa faixfrequência que vai de 10 Hz a 1.000Hz, já que se pretende associar o grau de severidade da vibraçãoproblemas.

Acredita-se que a energia vibratória residual tenha um forte componente conectado aos mecade deterioração do equipamento. Isto não é necessariamente verdade, já que em alguns casos ela poapenas componentes naturais e saudáveis (100% de con abilidade para 5 anos de operação). Alem ainda situações onde a energia destrutiva está associada a frequências muito acima de 1.000 Hz, Fre

engrenamento ( mesh frequence ). Alguns exemplos históricos são apresentados a seguir:

Figura 3.33: Critério de severidade pobre.(~VDI 2056, ISO 2372)



68

Figura 3.34: Critério de severidade VDI 2056

Esta abordagem é pouco aplicada e geralmente está associada a pessoas que não tem intimidaassunto. Dentro deste documento será priorizada uma visão histórica das normas, para que se tenhasistêmica da disciplina Vibração.

Um exemplo de critério aplicado para a avaliação do estado de saúde dos equipamentos é a ndo critério de severidade das vibrações, empregada pelo governo canadense, CDA/MS/NVSH 107. Norma de ne limites para máquinas especí cas (tipo e tamanho), conforme mostrado na Figura 3.3



69

Figura 3.35: Critério de severidade CDA/MS/NVSH 107

Algumas Normas “Standards”, como ISO 2372, especi cam seus limites admissíveis com base napotência do equipamento e na sua fundação. Esta Norma refere-se ao valor total da velocidade de vque para um range de frequência de 10 Hz a 10.000 Hz. Hoje esta norma já foi substituída pela ISS



70

Figura 3.36: Critério de severidade ISO 10816

A NormasISO 1940relaciona a qualidade de balanceamento de um rotor ao desbalanceamento resipermitido em rotores típicos,classi cados pela Norma

De ne o desbalanceamento residual especí co(E=U/M onde U é o desbalanceamento residual

permitido do Centro de Gravidade CG e M é a massa), relacionando-os com a velocidade da máqudiferentes graus de qualidade de balanceamento.



71

Figura 3.37A: Critério de severidade ISO 1940



72

Figura 3.37B: Critério de severidade ISO 1940

Uma indicação muito mais con ável das reais condições de saúde de um equipamento é a obsdas mudanças relativas das amplitudes de banda estreita (picos do espectro).

Para os especialistas de Turbomáquinas, os valores absolutos de vibração não são sempre relevansugerem que um aumento de nível real de vibração de 2,5 ou 8 dB implica na mudança do grau de Se a variação de banda estreita for da ordem de dez vezes (equivalente a 20 dB), estamos diante de uperigo.

Uma análise de Frequência é um indicador útil e rápido da avaliação das condições gerais de

máquina. O último nível medido será considerado mais ou menos severo, por comparação com nívanteriormente, segundo os critérios de severidade também anteriormente estabelecidos. A Figura 3.38 apresenta os padrões consagrados para a avaliação das vibrações de máquinas

compatível com as normas ( ISO 2372 e 2373, VDI 2056, BS 4675, DIN 45665).



73

Figura 3.38: Critério para mudança de severidade Bruel & Kjaer

A carta da Figura 3.39 mostra padrões consagrados para a avaliação das vibrações de máquinmedidas com sensores de deslocamento.

Figura 3.39: Critério de severidade das Vibrações mecânicas



74

3.9.4 Escalas logarítmicas para amplitudes de vibrações, o decibel [dB]

As escalas logarítmicas de vibração são muito utilizadas nas áreas de acústica e vibrações, topouco compreendidas.

Esta necessidade de aplicação das escalas logarítmicas vem da própria natureza, na medida eouvido humano possui uma larga faixa dinâmica de amplitude. A amplitude máxima que pode ser o(limiteda dor) é 1014 vezes maior que a mínima amplitude que pode ser percebida.

Graham Bell propôs uma escala logarítmica de base 10 para a representação dos níveis acústi

Na prática, o Bell é uma unidade grande, então se prefere o decibel [dB].

O decibel [dB] é a menor variação que o ouvido humano percebe. A Figura 3.40 a seguir dá da faixa de variação do nível de ruído, e as acelerações equivalentes.

Figura 3.40: Faixa de variação do nível de ruído.

A escala logarítmica também é usada na medição de vibrações, tal que:



75

Na Figura 3.41 vemos como os valores em dB podem se modi car para uma mesma vibraçãoalteremos o valor da sua referência.

Figura 3.41: Comparação de valores nas escalas dB e ms-

Podemos agora discutir o signi cado das escalas em dB[A], dB[B] e dB[C] largamente utilizaanálise de ruído.

Parecia relativamente simples construir um circuito eletrônico cuja sensibilidade variasse com afrequência de mesmo modo que o ouvido humano. Este objetivo foi perseguido e resultou em difecircuitos “Filtros” padronizados, a saber: dB[A], dB[B], dB[C] e dB[D].

Figura 3.42: Circuito de Compensação: “A”, ”B”, ”C”, ”D”

O circuito “A” mostrou ser aquele que melhor se aproxima da curva de audibilidade do ouvidpara baixos Níveis de Pressão Sonora NPS. Foi adotado como o mais empregado nos equipamentode nível de pressão sonora sendo equivalente ao ltro do ouvido humano.

A Carta mostrada na Figura 3.43 a seguir apresenta as curvas de mesma audibilidade para difníveis de ruído a pressão sonora.

Figura 3.43: Curva de mesma audibilidade



76

A Figura 3.44 apresentada a seguir demonstra a relação entre o nível de ruído permitido X oexposição para diferentes critérios de Segurança Meio Ambiente e Saúde SMS .

Figura 3.44: Tempo permitido de exposição normas

• OSHA - Occupation Safety and Health Administration (E.U.A);• IHAC - Industrial Health Advisory committee ( Inglaterra 1972);• NIOSH - National Institute Occupation Safety and Healt.

A curva NIOSH e a Portaria 3.214 de 08/06/74 do Brasil são iguais. Podemos dizer que eNorma é das mais rigorosas até o nível de 97 dB[A], Figura 3.42.

3.9.5 Análise dos sinais de vibração

Analisar um sinal de vibração é transformá-lo de tal forma que sejam evidenciadas as suas caractnormais e as anormais, o objetivo é a tomada de decisão necessária em um processo decisório regulinstituído dentro da função manutenção.

Quando precisamos analisar um sinal de vibração, devemos escolher qual a melhor ferramentaplicável ao tratamento. Frequentemente estamos interessados no levantamento do espectro de frequsinal. O sinal pode ser analisado no domínio do tempo ou da frequência.

Para uma análise no domínio do tempo, estaremos interessados na ltragem do sinal, no seucondicionamento, na análise de órbita ou ainda, na análise de posição do centro do eixo. Estas análser realizadas com auxílio das técnicas analógicas ou digitais.

A análise no domínio da frequência é a mais empregada, pois permite a decomposição de um vibratório qualquer em seus múltiplos componentes com frequências distintas, as quais poderão serdiferentes causas de deterioração dos sinais de vibração.

Para uma análise no domínio da frequência, as técnicas digitais são muito mais empregadas apara obtenção de espectros de vibração (FFT), embora no passado, antes dos computadores digitaisplenamente possível a construção de espectros de vibração com a ajuda de ltros analógicos com u

ltros paralelos, ou com o emprego de ltros de varredura (TK 80 da Bently Nevada).



77

Figura 3.45: Sensor de Vibração

Um exemplo de ltro analógico largamente empregado e já apresentado aqui neste texto, é o dB[A], o qual associa a um sinal sonoro de qualquer origem um número dB[A] total, que pode ser relacao grau de desconforto experimentado por um ser humano.

Na Figura 3.45 já anteriormente apresentada, vemos que o sinal analógico de vibração que vsensor de corrente parasita ( eddy current), está modulado pelo movimento do eixo e precisa ser condicionadoantes de ser disponibilizado para análise.

O dispositivo 1 é um diodoZener , que tem a função de ltrar as correntes positivas, só permitindo passagem das correntes negativas.

O dispositivo 2 é um ltro passa baixa, que tem a função de eliminar as altas frequências geoscilador demodulador ( oscilator demodulator).

O dispositivo 3 é um ltro passa alta, que tem a função de eliminar as corrente CC que compsinal original ( gap), permitindo a visualização do sinal CA, que é o portador da informação de vibraçãeixo.

Os ltros analógicos ou digitais são também muito usados nos modernos equipamentos digitao objetivo de impedir que o processamento de componentes dos sinais indesejáveis sejam admitidos par

processamento.3.9.5.1 Filtros

Quanto à aplicação ou tipo, os ltros podem ser apresentados com muitas características difersão ferramentas importantes no processo de aquisição de dados e podem ser usados com diversas

Os ltros são usados na entrada e na saída dos sinais ( input / output ), como mostrado no caso docondicionamento dos sinais do sensor Bently Nevada. Eles são empregados na remoção de ruído do vibração, objetivando a correta determinação de sua frequência e amplitude.

São também empregados para auxiliar a análise de sinais vibratórios quando associados a outinstrumentos, nos modernos equipamentos digitais, com o objetivo de impedir o processamento decomponentes dos sinais indesejáveis ao processo de análise.

Podem ser do tipo:

• passa alta;• passa baixa;• passa banda;• passa banda estreita;• rejeita banda, etc.



78

Ilustrado na Figura 46 a seguir:

Figura 3.46: Diversos tipos de ltros

Quanto à frequência de corte, os ltros não apresentam um comportamento ideal, pois admite vazamento, como mostrado na Figura 3.47:

Figura 3.47: Curva de corte para ltros reais

O ltro real (passa-alta/passa-baixa) em sua frequência de corte, reduz em 3 dB a amplitude

São ltros de meia potência 2

2

=

corte

ref

V

V , conforme a fórmula a seguir:



79

Vemos também que o ltro de 3 pólos se aproxima mais do ltro ideal do que o ltro de 2 pósua fase é mais distorcida. Os ltros “passa faixa” são quali cados quanto a sua largura de faixa atde qualidade “Q”.

Figura 3.48: Curva de corte para ltro “passa faixa”

Na Figura 3.49 a seguir é mostrado um ltro “passa faixa” real e o ideal equivalente. Os ltrofaixa” e “rejeita faixa”, com suas frequências de corte e seu fator de qualidade, são mostrados nesta

Figura 3.49: Filtro “passa faixa” para dois valores de Q



80

Figura 3.50: Filtro “passa faixa” e “corta faixa”

Quanto à de nição da frequência de corte, os ltros “passa faixa” podem ser:

FILTRO Cte F =∆ → é adequado para análise de sinais de vibração, pois sintoniza a frequde perturbação e revela o valor da sua amplitude.

FILTROCte F

F =∆ → é mais empregado na análise de problemas sonoros, pois apresenta

um comportamento similar ao do ouvido humano.

O funcionamento de um ltro “passa faixa”, como o antigo TK-80 da Bently, é mostrado na Fa seguir:

Figura 3.51: Funcionamento de ltro manual TK-80



81

A identi cação dos espectros de vibração de um sinal é mostrada na gura abaixo, com a ajudiversos ltros de varredura diferentes.

Figura 3.52: Diversos espectros de vibração para ltros diferentes

3.9.5.2 Escalas logarítmicas de frequência ltros de oitava

Já vimos anteriormente, que o ouvido humano tem uma larga faixa dinâmica, com resolução distinguir uma amplitude máxima de pressão sonora 1014 vezes superior à mínima amplitude que pode serpercebida. Relativamente às frequências, um ouvido humano normal pode distinguir as frequências uma faixa audível que vai de 20 Hz a 20.000 Hz.

Quanto à necessidade da aplicação das escalas logarítmicas de frequência, dizemos que ela veprópria natureza, na medida em que o ouvido humano possui a capacidade natural de distinguir/resofacilidade, o conceito de faixas de oitava. Este conceito retrata uma percepção logarítmica do ouvidque percebe a duplicação da frequência LA/LA/LA “220/440/880”, e não a soma das mesmas 220/4

As notas musicais se con guram dentro da faixa de frequência que se costuma chamar de oit

Figura 3.53: Frequências das notas musicais



82

O aumento de uma oitava na frequência equivale a dobrá-la, de tal forma que a frequência siuma oitava acima da frequência de 1 KHz será 2 KHz.

Podemos desta forma, dizer que as frequências de corte de um ltro de oitava sintonizado emserão:

O ltro, , apresentado acima, não é bom para a análise de vibração, mas é muito usado eanálise de ruído, visto que tem comportamento muito similar ao do ouvido humano.

Exemplos:

Figura 3.54: Espectro de vibração para dois ltros Cte F F =∆



83

3.9.5.3 Digitalização do sinal de vibração

O processamento de dados é grandemente dependente do fenômeno físico representado pelos daddos objetivos do processamento em termos de engenharia.

Os passos de um processamento são classi cados em:

• aquisição de dados;

• conversão analógico-digital;• conversão para as unidades de engenharia.

A partir da captação do sinal com um transdutor, a aquisição de dados pode incluir a transmissão,armazenamento e a discriminação de dados.

O sistema de armazenamento pode ser analógico (gravação em ta magnética – muito convenpode guardar uma grande quantidade de dados) ou digital (em meio magnético após a conversão).

O meio mais comum de transmissão é através de cabos elétrico-óticos.

Figura 3.55: Sistema geral de aquisição de dados



84

Conversão analógico-digital

Digitalizar um sinal analógico signi ca representá-lo por um conjunto de palavras código-binequivalente à média do sinal amostrado em intervalos regulares de tempo.

Figura 3.56: Amostragem no domínio do tempo

Dois processos estão envolvidos, a quanti cação e a amostragem. Enquanto a amplitude de uanalógico passa por todos os níveis possíveis com resolução in nita, o número de níveis por que padigitalizado depende de quantos bits possui a placa de aquisição com Risco de “over fow”.

A Figura 72 mostra como uma função é amostrada no tempo por uma função pulso com període amostragem Ts e frequência de amostragem fs = 1/Ts. A cada período Ts é tomada uma amostra corresponde à média das amplitudes na abertura (intervalo Dt). Cada amostra será dada por uma pabinária.

Um erro grave em processamento e análise de sinais de vibrações, na manutenção preditiva éidenti cação erro de “aliasing error ”.

A Figura 3,57 ilustra o fato de que várias funções senoidais podem ser interpretadas pelo sistdigitalização de maneira única.

Para se resolver esse problema, a frequência de amostragem fs deverá ser xada de tal modo fN, onde fN é a frequência de interesse mais alta contida no sinal, a chamada frequência de Nyquist

Para se assegurar que o sinal não contém frequências acima da frequência de Nyquist, o mesmser ltrado em um ltro “passa baixa” com frequência de corte igual à frequência de Nyquist, antesamostrado.

Figura 3.57: Erro de identi cação (aliasing error)



85

Como um ltro ideal não existe, a sua faixa de operação deve ser levada em consideração. Nausa-se: fs/fN = A (A entre 4 e 10).

• fs: frequência de amostragem;• fN: frequência de interesse mais alta contida no sinal, frequência de Nyquist.

( ) N nk i N

n

en X /12..212/

0

.)12( +−−

=∑ + π

Figura 3.58: Erro de identi cação (aliasing error )



86

Figura 3.59: Erro de identi cação (aliasing error )

Conversor analógico-digital (busca/interpreta/executa)

Figura 3.60: Conversor analógico-digital

Conversão para Unidades de Engenharia

Uma série de passos são necessários para transformar a voltagem em um valor de Unidades deEngenharia. Valor este para o qual se conhece a relação das grandezas físicas com a voltagem. O fatconversão é introduzido no processador.

Exemplo:

Senor Bently Nevada:200 mV/mil→ 7,87 mV/micra P-P→ 0,127 micra/mV P-PLogo: EU será mV X .127 micra P-P



87

Figura 3.60 A: Conversor analógico-digital-tela do analisador

Um analisador atenderá ao conceito de tempo real se realizar o processamento da TRF ou FFtempo inferior ao seu tempo de amostragem, garantindo desta forma que todo o sinal será analisado



88

Figura 3.61: Problemas da FFT – truncamento



89

Figura 3.62: Erro de truncamento



90

Figura 3.63: Mitigação do erro de truncamento.

Figura 3.64A: Distorção da janela retangular: domínio do tempo.

Figura 3.64B: Transformada da janela uniforme



91

Podemos usar outras janelas na transformação, uma delas é a janela “ fat top” .

Figura 3.65: Erro de truncamento de três janelas – transformada das janelas uniform e hanning

Na Figura adiante é apresentado o erro máximo que se pode cometer, quando aplicamos a disdiversas janelas ( at top, hanning e uniform) ao sinal original.

O erro máximo ocorre entre quaisquer dois pontos da transformada discreta. Não existe erro da amplitude, nos pontos discretizados da transformada.

Figura 3.66: Erro de truncamento de três janelas

Na Figura adiante é apresentado o conjunto dos espectros de vibração de um mesmo sinal parjanelas diferentes.



Capítulo 4

DIAGNOSE DE FALHAS EMTURBOMÁQUINASTROUBLESHOOTING



95

4 DIAGNOSE DE FALHAS EM TURBOMÁQUINAS TROUBLESHOOTING

Como padrão de identi cação e diagnose das falhas reais das turbomáquinas, empregamos oacompanhamento preditivo dos sinais de vibração, conforme discutido no Capítulo 7. Ele é conhecmanutenção na condição, onde se considera cada máquina individualmente, substituindo a manutenção eintervalos xos pelas de medições em intervalo xo.

A vibração mecânica é um bom indicador do estado de funcionamento (saúde) da máquina, e

a razão pela qual a medição de vibração é o principal parâmetro utilizado no diagnóstico de problemturbomáquinas. Quase sempre é possível relacionar as Frequências de vibração encontradas com osexistentes. A premissa é que só se recomenda a manutenção de uma máquina quando as medidas inque ela é necessária e após a identi cação da real causa da deterioração da sua saúde. Isto também acordo com o instinto da maioria dos engenheiros mecânicos que sabem que não é uma boa idéia inmáquinas que estão funcionando suavemente.

Por meio de medidas regulares de vibração, falhas incipientes podem ser detectadas, identi cseu desenvolvimento acompanhado. Estas medidas podem ser extrapoladas para predizer quando os vibração atingirão valores inaceitáveis e quando a máquina deve ser parada para manutenção. A istomonitoração da tendência, o qual permite ao engenheiro planejar os reparos com antecedência, Fig

Figura 4.1: Evolução da tendência de vibração

O desenvolvimento de instrumentos baseados em microprocessadores viabilizou o monitoramentdas condições operacionais dos equipamentos mecânicos e com isso é possível a eliminação de repadesnecessários e previsão de falhas. A chave da manutenção preditiva é a análise de vibração, que ptambém usada no recebimento das máquinas, ou para reinício de operação aceitação das mesmas apjá que identi ca as anormalidades presentes.

Os equipamentos rotativos apresentam grande gama de mecanismos de falha, que podem ser causpor sobrecargas, manutenção de ciente, falha elétrica, mecânica, etc. A identi cação dos mecanismproduz aumento no índice de con abilidade. Em turbomáquinas o desbalanceamento é a causa mai

de alta vibração.



96

Listamos a seguir algumas causas mais frequentes de mau funcionamento de turbomáquias, aserão discutidos a seguir:

Desbalanceamento,Desalinhamento,Empenamento,Folga excessiva,Peça Solta,Roçamento,Instabilidade,Ressonância, Velocidade Crítica,Problemas com Engrenamento,Problemas Aerodinâmicos,Problemas em Rolamentos,Falhas elétricas, etc.

Figura 4.2: Defeitos típicos em turbomáquina

4.1 DESBALANCEAMENTOO Desbalanceamento ocorre em certo grau em todas as máquinas rotativas, sendo caracterizado p

uma vibração senoidal na Frequência de rotação, na direção radial. Dependendo da rigidez equivalcada mancal, poderá apresentar amplitudes diferentes nas direções vertical e horizontal. O rotor baapresenta distribuição equilibrada das massas em relação ao eixo geométrico de rotação; já no rotordesbalanceado estas massas estão desequilibradas.

O desequilíbrio destas massas pode ser estático ou dinâmico,



97

quando o centro de massa do rotor simplesmente não coincide com o centro de rotação do mesmo, e istoocorre por razões tais como: desgaste, erro de montagem e fabricação. Nestes casos o rotor é sensívmovimento pendular,

quando o centro de massa do rotor, mesmo coincidindo com o centro de rotação do mesmo encontra-sedinamicamente desbalanceado porque a linha que une o centro de massa de cada seção não coincidegeométrico do rotor.

A vibração causada pelo desbalanceamento está associada a um vetor girante com Frequênciasíncrona e amplitude “proporcional” à quantidade de desbalanceamento.

As principais causas de desbalanceamento são:

• Balanceamento não executado adequadamente (desbalanceamento residual);• Perda de parte do rotor;• Depósitos de material estranho no rotor;• Empeno permanente ou temporário;• Excentricidade entre componentes acoplados;• Forças provocadas pelo uido.



98

Figura 4.3: Espectro/órbita típicos de desbalanceamento

Níveis de desbalanceamento aceitáveis para rotor, são sugeridos pelo API 617 e, segundo ele,desbalanceamentos da ordem de 4 * U , no primeiro e no segundo modos, deveriam produzir níveimenores que 25,4 micra em toda a faixa operacional do rotor.

)(6350 mm g N

W U ××=

Sendo )( KgmW e )(rpm N



99

4.2 DESALINHAMENTO

O Desalinhamento é fonte comum de vibração em turbomáquinas sendo normalmente caracterizapor vibrações harmônicas e seus múltiplos (1N, 2N, 3N,...) na direção radial, além de vibrações axi

Há basicamente dois tipos de desalinhamento que são o desalinhamento paralelo e o desalinhangular. Na prática normalmente encontramos uma combinação dos dois desalinhamentos.

Figura 4.4: Tipos de Desbalanceamento.

O alinhamento de uma máquina é considerado adequado quando está contido dentro das tolerdesalinhamento aceitáveis no projeto de acoplamento.

O desalinhamento angular produz momento na ponta do eixo e consequentemente vibração 1N e 2N como pode ser visto na Figura 4.5. Para cada período de rotação o eixo executa um ou do vibração axial, dependendo do comportamento do eixo.



100

Angular ParaleloFigura 4.5: Detalhamento do movimento do eixo

O desalinhamento paralelo pode produzir elevadas vibrações em mancais radiais: 1N, 2N e 3prática a utilização de carretéis/acoplamentos duplos nas pontas transforma os dois casos em um caso únangular/paralelo, permitindo uma tolerância maior do conjunto rotativo ao desalinhamento; dependcomprimentoL do carretel.

O acoplamento também pode gerar 1N, 2N, 3N por assimetria de rigidez angular, conforme F

Figura 4.6A: Acoplamento de engrenagem com carretel

As principais causas de desalinhamento angular e paralelo são:

• Condições térmicas variáveis;• Esforços nas tubulações;• Tolerância de fabricação;• Imperfeições geométricas;• Folgas de montagem.

Figura 4.6B: Alinhado



101

O desalinhamento aumenta a carga nos mancais e altera o carregamento de projeto original, produdesta forma alterações na rigidez do K mancal.

Figura 4.6C: Engrenagem desalinhada

Assimetria do acoplamento ou ovalização do eixo + desalinhamento

Figura 4.6D: Assimetria do acoplamento/desalinhamento

Assimetria do acoplamento ou ovalização do eixo + desalinhamento

Figura 4.6E: Assimetria do acoplamento/desalinhamento

Estes desalinhamentos manifestam-se nas componentes 2N e 3N da rotação do eixo, principao acoplamento for do tipo engrenagens, podendo ser observada a variação da componente 1N. Elevade vibração axial são frequentemente associados a problemas de desalinhamento. As vibrações varcondição de carga da máquina.



102

Em acoplamentos rígidos usados nas termoelétricas este comportamento é menos observado.Na literatura encontramos com Frequência o diagramas como o mostrado na Figura 4.7

Figura 4.7: Espectro/órbita com diferentes severidades

Empeno do eixo ou desalinhamento produzem o efeito mostrado na Figura 4.8

Figura 4.8: Desalinhamento ou empeno



103

4.3 EMPENAMENTO

Empenamento de eixos é uma frequente causa de vibração em turbomáquinas, sendo os seus facilmente confundidos com os sintomas do desbalanceamento e do desalinhamento. O empenamen“frequentemente” estável no tempo e varia com a rotação da máquina.

O balanceamento e o alinhamento são pouco e cazes para corrigi-lo, sendo necessário o “desdo eixo.

Frequentemente o empenamento do rotor pode ser “identi cado” durante a operação de partparada da máquina, através do grá co “Bode” apresentado na Figura 4.9. Já a sua identi cação codesmontada é substancialmente mais simples, através do levantamento do “batimento do rotor”. Naencontramos com Frequência o diagrama seguinte:

Figura 4.9: Bode típico de um eixo empenado.

4.4 FOLGA EXCESSIVA OU APERTO INSUFICIENTE

Existe sempre um espaço livre entre as partes rotativas e as partes xas, denominado folga. Cfolga seja maior que o previsto no projeto pode-se ter problemas. Em algumas circunstâncias podeperda de rigidez (afrouxamento) entre partes estacionárias como caixa de mancal, base, pé de apoio

Os sistemas elásticos estão por toda parte na natureza e nem sempre conseguimos explicitá-lobjetiva. Com isto em foco, vamos falar um pouco sobre associação de molas em sistemas mecânic

Molas em série

21

21

k k k k k equiv +

=

Molas em paralelo

21 k k k equiv +=Molas tipo barra de tração

l EAk equiv =

Figura 4.10: Associação de molas elementares.



104

Normalmente as folgas excessivas em mancais produzem aumento da vibração na Frequênciarotação síncrona devido à queda da rigidez. Caso esta folga cresça acima de certos limites a senoideao seu movimento vibratório é distorcida caracterizando anão linearidade, dando origem ao apareciharmônicos desta vibração, sendo ainda possível em alguns casos o aparecimento de vibrações sub

Um outro caso comumente encontrado é o afrouxamento da xação da base, o que produz elda vibração em 1N. A rigidez da base cai quando existem parafusos soltos, corrosão ou rachadura ddeterioração da aderência do “ grouting ” , conforme Figuras 4.11/4.11C.

EXEMPLO: Caixa de mancal com peça pouco apertada.Um exemplo interessante para ser discutido neste ponto é o problema de manutenção associa

mancal pouco apertado. Podemos enunciar este problema perguntando:

Qual deve ser o aperto mínimo a ser dado no estojo do mancal?

Figura 4.11A: Caixa de mancal com estojo apertado (compressão)

a) Força centrífuga para baixo e a constante de mola da estrutura de suportação, K consta

Figura 4.11B: Caixa de mancal com estojos apertados + compressão

b) Força centrífuga para cima e a constante de mola da estrutura K constante.

Figura 4.11C: Caixa de mancal com estojos apertados + tração



105

c) Força centrífuga para cima (rompendo o contato) e mudando sua constante de mola.

Figura 4.12A: Caixa de mancal com monitoração de vibração

No momento em que há a separação das superfícies e a queda repentina da rigidez do sistema, o mexperimenta uma não linearidade em seu sistema dinâmico, o que produz diversos efeitos no espect vibração como mostrado nas Figuras 4.12A/4.12B.

Figura 4.12A: Caixa de mancal com monitoração de vibração

a) Efeito sub-harmônico (não linearidade) N 21 N 3

1 N 41

Figura 4.12B: Espectros para mancais pouco apertados

b) Efeito super-harmônico (impacto)

O aperto mínimo a ser dado no estojo do mancal é aquele que garante que em nenhuma circuhaverá separação das superfícies metálicas de suportação em contato.



106

4.5 PEÇA SOLTA

Dependendo das circunstâncias pode ocorrer impacto na operação do equipamento e isto gerharmônicos e em alguns casos sub-harmônicos.

Figura 4.13A: Caixa de mancal com peça solta

Os espectros desta anomalia podem apresentar qualquer um dos espectros da Figura 4.13B

Figura 4.13B: Espectro da caixa de mancal com peça solta

4.6 ROÇAMENTO



108

Algumas vezes o roçamento pode ser visto na forma de onda ou até na orbita análise esta que podusada como complementação do diagnóstico de roçamento.

Figura 4.15A: Roçamento frequente no domínio do tempo

Figura 4.14 B: Espectro de roçamento depende do impacto

4.7 INSTABILIDADE ROTODINÂMICAO mecanismo de excitação da instabilidade rotodinâmica é uma força propulsora tangencial

ao rotor. Esta força tangente à trajetória descrita pelo centro de gravidade do rotor e normalmente tcaracterística de ser proporcional à de exão do eixo, relativamente à linha de centro dos mancais.

Figura 4.16: Força propulsora de precessão

Este mecanismo consiste em que, havendo deslocamento do eixo em uma certa direção (X, poexemplo), o mesmo eixo experimenta uma força de reação com componentes nas direções X e Y reação acoplamento cruzado.

Consequentemente, um deslocamento não esperado surge na direção perpendicular à direção deslocamento.



109

Esta força tangencial tem origem em diversos mecanismos diferentes, sendo os principais apa seguir.

• instabilidade de hidrodinâmica ( oil whirl );• folga da selagem no topo da palheta – ( Alford force );• precessão devido ao atrito seco ( rubbing );• uido aprisionado no rotor ( fuid traped in the rotor );• instabilidade de compressores de alta pressão ( compressor whirl ).

O acoplamento cruzado é o denominador comum deste tipo de instabilidade.

Figura 4.17A: Força propulsora de precessão no mancal

Com o aumento da rotação (Ω ), o valor do acoplamento cruzado irá crescendo, até que tenhacondição de instabilidade. A rotação em que isto acontece é a velocidade limite da estabilidade ( threshold limit ).O diagrama cascata apresentado na Figura 4.17B é a forma mais objetiva de diagnosticarmos a ocinstabilidade rotodinâmica em um rotor de turbomáquina.

C o m p o n e n

t e H a r m

ô n

i c o

Instabilidade

1N 2N

3N

Frequência Khz

Figura 4.17B: Espectro de cascata de uma instabilidade



110

4.8 RESSONÂNCIA

A ressonância ca caracterizada quando uma frequência natural do equipamento ou do conjuequipamento/estrutura coincide com a frequência de rotação da máquina. Nestes casos normalmenmáquina vibrará muito, ainda que a mesma esteja bem balanceada. Quase sempre a ressonância denoperacional do rotor caracteriza algum erro de projeto que precisa ser corrigido. O balanceamentofrequentemente não resolve o problema.

Figura 4.18: Espectro de cascata de uma ressonância

4.9 VELOCIDADE CRÍTICA

A velocidade crítica em uma turbomáquina acontece quando a máquina está operando em uma roque coincide com a sua frequência natural. É importante lembrar que a constante de mola dos manhidrodinâmicos varia com a rotação e que, portanto o mesmo rotor apresenta diversas frequências ndependendo de sua rotação de operação. A ocorrência de uma velocidade crítica é equivalente à oc

um problema de ressonância.



111

4.10 PROBLEMAS DE ENGRENAMENTO

Figura 4.19: Informações típicas do espectro de um redutor

Os problemas de engrenamento são de fácil identi cação e de difícil interpretação, pois causa vibração é muito contaminada com os ruídos de medição. Normalmente estão associados a uma vibelevada que ocorre na Frequência de engrenamento. As bandas laterais desta frequência de engren(franjas) denunciam a gravidade do problema e podem ser usadas na interpretação e diagnóstico do

Algumas destas anormalidades são:

• Excentricidade de engrenagens - Centro de rotação não coincide com o centro do círculopela pitch line. Níveis elevados de vibração síncrona no plano que contém os eixos.

• Operação com baixa carga - Caixas de engrenagens de grande porte, onde carga muito abdo projeto sobrecarrega os mancais. Equilíbrio entre torque transmitido e peso dos eixos odurante carga nominal de projeto.

• Mais importante que níveis absolutos de vibração é o comportamento da evolução dascomponentes do espectro de vibração, harmônicos e bandas laterais da frequência deengrenamento, pois indica tendência do problema.

Picos acompanhados de bandas laterais, em frequência intermediária, indica existência de foentre dentes.

Problemas com engranagens:

- Defeitos de fabricação ou desgaste natural dos dentes;

- Desgaste excessivo;- Partículas/ sujeira nos dentes;- Imperfeição nos dentes;- Falhas de lubri cação.



112

4.11 PROBLEMAS AERODINÂMICOS

Compressores centrífugos apresentam restrições aerodinâmicas quando submetidos a algumaoperacionais adversas. Os fenômenos mais comuns são:

- Stone wall; - Surge;

- Rotating stall; - Flutter.

Estes fenômenos podem ser encontrados em diversas condições operacionais especí cas e deevitados através de atitudes de projeto consistentes com cada um deles.

- Para evitarsurge utiliza-se controleantissurge em compressores centrífugos e axiais.- Para evitarStonewall em compressores axiais usa-se controle especí co para este m.- Stall / Rotating stall podem ser observado ocasionalmente em condições operacionais particulcaracteriza erro de projeto.- Fluter não devem ocorrer em máquina e constitui grave erro de projeto que pode quebramáquina em poucos minutos.

Outros fenômenos aerodinâmicos diferentes destes também podem ser encontrados em turbo

Figura 4.20: Espectro de problemas aerodinâmicos típicos



113

DIAGNÓSTICO DE PROBLEMAS AERODINÂMICOS EM COMPRESSORES.

4.11.1 Stone wall:

Está associado a uma condição operacional onde a vazão atinge os limites físicos de operaçãmáquina.(aproxima-se da velocidade sônica).

Figura 4.21: Maquina operando em velocidade sônica

O olho do impelidor do primeiro estágio é o ponto onde o gás atinge normalmente a velocidade mpróxima da velocidade sônica nos projetos usuais.

4.11.2Surge

Trata-se de fenômeno associado à con guração máquina/sistema onde ocorre inversão de ucausada por efeitos dinâmicos da instalação de processo. Este fenômeno produz ruído e vem normaacompanhado de vibrações radiais e axiais que podem ter Frequência variando de 0.5 a 5 Hz estandbem abaixo da Frequência de rotação da máquina.

No Figura 4.22 a curva mostra a linha deSurgee a linha de controleantissurge , alem de dois pontos deoperação que se encontra entre as duas.

Frequentemente pode-se notar que um compressor experimentaStall ( surgeincipiente), antes de de agrarcondição desurge . Muitas vezes o uxo mínimo destall e surge encontram-se muito próximos, já em outros casonão.



114

Figura 4.22: Curva desurge e de controle de surge

4.11.3Stall :

É um fenômeno localizado e ocorre quando o uxo se torna localmente instável (deslocamencamada limite). Pode ocorrer ou na saída ou na entrada do impelidor, em ponto qualquer do mapaoperação da curva da máquina.

Algumas das características doStall são mostradas abaixo:

a) Cria zonas de pressões não uniformes que modi cam as vibrações do rotor.b) As células deStall são estacionárias e normalmente se formam nos difusores, ou nas palhetasguias Se formam quando o ângulo de incidência é insu ciente para propiciar a penetraçãnos canais de escoamento.c) OStall gera um ruído de larga faixa de Frequência o que normalmente excita a primeiraFrequência natural lateral do rotor.

d) Em alguns casos ostall estacionário pode gerar vibrações na Frequência do “blade passfrequence” ou seja, na Frequência NX, onde X é o número de palhetas do imelidor “Stallé a velocidade de rotação do compressor.

Figura 4.23: Espectro com a primeira Frequência natural do rotor



115

4.11.4 Rotating Stall

É um fenômeno que ocorre quando existe a formação da uma célula destall que gira ao redor da entradaou da saída do impelidor. Assim como ostall estacionário este fenômeno está associado ao sistema compostopelo gás e pelo compressor. ORotating Stallpode ser descrito como um campo de pressão circunferência nuniforme, que gira a uma velocidade distinta da rotação da rotor.

Este campo gera forças radiais dinamicamente desbalanceadas que atuam sobre o impelidor

uma vibração lateral subsíncrona na mesma direção e sentido da rotação do rotor.Existem dois tipos principais deRotating Stall :

a)Rotating Stallno impelidor. As forças subsíncronas possuem Frequência de excitação entre0.8 vezes a rotação.b)Rotating Stallno difusor. As forças subsíncronas possuem Frequência de excitação entre 00.33N. Esta componente é dependente da rotação da máquina.

O espectro de cascata completo mostrado abaixo apresenta uma vibração subsíncrona de 0.2 durante a partida do compressor. Podemos notar que a vibração varia linearmente com a rotação datendo a mesma direção e sentido do movimento do rotor.

Figura 4.25: Espectro de cascata de umrotating stall



116

Trata-se deRotating Stallno difusor, onde as forças de desbalanceamento aerodinâmicas subsíncrtem a direção e sentido do vetor rotação da máquina.

Frequentemente a amplitude da vibração subsíncrona é menor que a amplitude de vibração emsua órbita tem o aspecto mostrado abaixo.

Figura 4.25: Órbita de um rotating stall de baixa amplitude

A órbita doRotating Stallno difusor é mostrada na Figura 4.26 sendo que a vibração subsíncronacaso tem maior que a amplitude de 1N.

Figura 4.26: Órbita de umrotating stall de grande amplitude



117

Figura 4.27: Espectro de umrotating stall de grande amplitude

O quadro abaixo é apresentado um resumo desta discussão.

Tabela 4.1: Diagnose de problemas aerodinâmicos

Fonte Tipo FrequênciaSistema Surge axial 3 a 8 HzRotating Stall Inoelidor Movimento orbital 0.5X a 0.8XRotating Stall Difusor Movimento orbital 0.06X a 0.33XStall Movimento radial Crítica



118

4.12 DEFEITOS DE ROLAMENTO

Causa mais comum de falhas em máquinas de pequeno porte. A medição dos níveis totais de raramente conseguem detectar, devido à característica particular destes componentes a análise em Fé e ciente na identi cação precoce de problemas. As Frequências resultantes de defeitos dependemrolamento, da sua geometria e do defeito.

Figura 4.28: Rolamento de esferas

d = diâmetro da esferan = número de esferasD = diâmetro de pitch (centro das esferas)a = ângulo de contato depende do número de esferasN = rpm do eixoFrequências de defeitos em componentesGaiola = (N/2)[1-(d/D)(cos a)]Esfera = (N/2)(D/2)[1-(d/2)(cos a)]2x Esfera = N(D/d)[1-(d/D)(cos a)]Pista Externa = (N/2)n[1-(d/D)(cos a)]Pista Interna = (N/2)n[1+(d/D)(cos a)]



119

Figura 4.29: Espectro típico de problemas em rolamentos

4.13 FALHAS ELÉTRICAS

Além dos problemas comuns às demais máquinas rotativas, pode-se citar:• Rotor excêntrico apresenta-se em 1x rpm e 2x a Frequência da rede,• Folgas nas lâminas do estator produzem componentes de alta Frequência,• Rotor trincado apresenta bandas laterais na Frequência de rotação, moduladas por 2x a deescorregamento,

• Desbalanceamento da tensão da rede apresenta-se em 2x a Frequência da rede,• Problemas no estator (superaquecimento, curto, etc.) apresentam-se em 2x a Frequência dcom bandas laterais em 2x a Frequência de escorregamento,

• Folga no entreferro apresenta componente em 2x a Frequência da rede.



120Tabela 4.2: Simpli cada para Diagnósticos de Vibrações

Frequência: Possível Causa: Comentários:

1 x rpm.

Desbalanceamento; Fase Estável. Pode ser causada por variação de carga,dilatação do material ou cavitação.

Desalinhamento ouempenamento de eixo;

Altos níveis axiais com diferença de 180 grausnas fases medidas nos extremos. Normalmenteacompanhada de 2N elevada.

Tensionamento; Causada por distorção de carcaça ou fundação ouestruturas externas (por exemplo, tubulações).

Ressonância; Varia rapidamente com a rotação. Fase instável comgrande variação próximo a frquência de ressonância.

Elétrico. Quebra da barra do rotor em motores de indução.Bandas laterais de 2x frequência de escorregamentosão frequentes.

Tabela 4.3: Simpli cada para Diagnósticos de Vibrações

Frequência: Possível Causa: Comentários:2 x rpm. Desalinhamento ouempenamento doeixo.

Altos nívei de vibração axial.

Harmônicos. ComponentesFrouxos;

Onda truncada ou em forma de impulso;grande quantidade de harmônicos

Roçamento. Normalmente provoca danos imediatos,com desaparecimento das característicasprincipais.

Sub-harmônicos. Oil whirl. Tipicamente 0,43 a 0,48 RPM, faseinstável.

N x Rede. Elétrico. Curto no estator, rotor trincado ouexcêntrico

Ressonância. Fontes diversas, incluindo-se eixo, carcaça, fundação e estruturasexternas, frequência proporcional e rigidez e inversamenteproporcional à massa.

N x rpm Rolamentosdefeituosos

Veja fórmula normalmente moduladapela frquência de rotação.

Engrenagens. Frequência de engrenamento;

normalmente modulada pela rotação daengrenagem defeituosa.Palhetas ediafragmas.

No. X RPM com harmônicos.



Capítulo 5

MODELAÇÃO MATEMÁTICADA VIBRAÇÃO



123

5 MODELAÇÃO MATEMÁTICA DA VIBRAÇÃO

5.1 MODELOS DE UM GRAU DE LIBERDADE, EXEMPLOS:

Vibração Livre: Para estabelecer a equação de movimento do sistema massa-mola, devemos imdeslocamento vertical e aplicar a Lei de Newton, objetivando estabelecer o equilíbrio das forças reisomatório das forças que agem em um corpo rígido é igual ao produto da massa vezes a aceleração.

Figura 5.1: Modelo massa mola – Vibração livre

A equação da acima é uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem e coeconstantes.

Dentro da idéia de movimento harmônico simples, teremos um deslocamento linear da massa semhaja nenhum deslocamento angular (fase), se no início considerarmos posição e tempo iguais a zero

Uma solução mais geral tem a forma: ( )θω += t sen A X ... ou( )θω += t ie A X ...

Neste caso o argumento da função de posição é dado por( )θ ω +t . .

O ângulo( )θ

chamado de ângulo de fase, será igual a zero, quando a posição da massa no instzero for igual a zero.

No instante zero a posição inicial do corpo está relacionada ao ângulo de fase.( )θ ω +t .

A unidade de frequência é o Hertz

segundo

Ciclo

e é dada por:

Existem a s seguintes relações:( )π ω 2. =t , t F /1= sendo t período e f frequênciaEsta mesma idéia pode ser aplicada na Figura 5.2, onde temos uma massa suportada por uma

cilíndrica. Neste modelo, o deslocamento da ponta da viga é dado pela resistência dos materiais.

EI Pl X 3/3= ;onde: E → Modulo de Young; I → Momento de inércia de seção.



124

O valor da constante de mola equivalente é dado por:

33

l EI

X P K eqiv ==

Figura 5.2: Modelo massa mola – Rotor em balanço

Figura 5.2A: Modelo massa mola – Momento de inércia

Podemos estender o raciocínio anterior, apresentado a partir da Figura 5.3, para a de nição dde movimento de vibração torsional de uma viga cilíndrica, conforme mostrado nessa. Para tanto, daplicar, novamente, a Lei de Newton, segundo a qual o somatório dos momentos externos que agemdisco rígido suportado por um eixo exível é igual ao produto da in ércia de rotação pela aceleraçãodisco.

Figura 5.3: Vibração torsional



125

Dentro do movimento harmônico simples teremos deslocamentos angulares do disco sem nenhumdeslocamento nas coordenadas X e Y.

Na Figura 5.4 é proposta uma aplicação desta mesma idéia, que pode ser empregada na deterdas propriedades inerciais de um impelidor típico de uma turbomáquina.

Figura 5.4: Vibração torsional de um disco

Conforme mostrado na Figura 5.5, podemos calcular a inércia polar de um disco genérico com

formulação simples mostrada abaixo:

Figura 5.5: Cálculo da inércia polar



126



127

5.1.1 Comportamento elástico de vigas e eixos

Figura 5.6: Tabela de rigidez equivalente

A abordagem energética é uma boa forma de equacionamento do problema.

Energ. Potencial da mola = 1/2 KX 2

Estudo da rigidez distribuída e da energia potencial de uma viga em balanço.

Na teoria de exão de viga (eixo) proposta por Euler-Bernoulli, a energia de deformação de upode ser determinada da seguinte forma:

O deslocamento axial em um elemento de viga ocorre sempre que existe movim vertical ou horizontal dos nós uy .

A deformação especí ca associada à exão lateral do eixo é dada por:

εzz = ∂uz = -y ∂2uy = B = -yN”

Para materiais do eixo lineares, a relação tensão/deformação é dada por:

σzz = Eεzz = E(∂uz/∂z) = -Ey(∂2uγ/∂z2 ) = -E[B]

A energia de deformação lateral do eixo no plano XY é dada por:

→



128

A Figura 5.7A abaixo representam diferentes momentos da dedução sobre esse estudo:

Figura 5.7A: Estudo sobre K de viga em balanço

Figura 5.7B: Estudo sobre K de viga em balanço



129

As seguintes simpli cações são feitas na teoria de exão de viga (eixo), proposta por Euler-B

• O material do eixo é homogêneo e isotrópico, (aplica-se a lei de Hooke);• As de exões laterais são pequenas, para valer a teoria linear;• O diâmetro do eixo/viga é pequeno se comparado ao seu comprimento (teoria de viga deEuler-Bernoulli);

• Cisalhamento transversal e inércia de rotação serão desconsiderados;• Seções planas permanecem planas após de exão;• Deformação inicial causada pelo peso próprio é desprezível;• As curvas tensão x deformação em tração e compressão são idênticas;• O carregamento (forças e momentos) age no plano que contêm o centro de gravidade daseção transversal e em consequência as deformações também estarão contidas neste plano(característica geométrica do eixo).

Aplicando a teoria de Euler-Bernoulli à viga biapoiada (rotor), teremos:

Figura 5.8A: Estudo sobre K de viga bi-apoiada

A equação teórica da elástica é:

F(Z) = Z D Z C Z B Z A ∂+∂++ coshsenhcossen ε ε

F(Z) = Curva Elástica Aproximada



130

Figura 5.8B: Estudo sobre K de viga bi-apoiada

Figura 5.8C: Estudo sobre K de viga bi-apoiada

Como é do nosso conhecimento, as turbomáquinas estão sempre sujeitas às vibrações. Neste s

as frequências naturais e os modos naturais de vibração do rotor são duas importantes questões assoprojeto destes equipamentos.Esta mesma idéia pode ser aplicada na Figura 5.9. Modelo massa mola biapoiado, onde rep

uma simpli cação de um rotor real em seu primeiro modo de vibração. Nele temos uma massa m suma viga cilíndrica.



131

Neste modelo, o deslocamento X do CG do rotor é dado por:

X = Pl3 / 48EI(Resistência dos Materiais)

Figura 5.9: Modelo massa mola bi-apoiado

Continuando em nosso esforço de aproximar um rotor real, vamos discutir de forma simpli caspectos.



132

5.1.2 Comportamento elástico de mancais hidrodinâmicos

Os eixos das máquinas são suportados por mancais, que normalmente são de rolamento ou dohidrodinâmico.

Nas turbomáquinas de grande porte, os mancais hidrodinâmicos são preferidos por sua elevadcon abilidade e capacidade de incorporar amortecimento ao sistema.

Na rotodinâmica, os mancais destas máquinas são representados por um conjunto de molas e

amortecedores criteriosamente escolhidos e que conferem ao modelo matemático uma representaçãrealidade, conforme Figura 5.10 Sistema de suportação do rotor.

Figura 5.10: Sistema de suportação do rotor

O princípio de funcionamento dos mancais está associado às propriedades intrínsecas dos óleminerais, que são capazes de construir lmes lubri cantes extremamente resistentes ao movimento submetendo-o a um poderoso campo de forças que impede que o rotor se choque com as paredes da

Na Figura 5.11 é apresentado um desenho esquemático no qual mostramos de forma simpli cprincípio de funcionamento. A espessura mínima do lme de óleo e o ângulo de atitude associado aequilíbrio estático do centro do eixo podem ser deduzidos resolvendo-se a equação de Reynolds, emreduzida.

Determina-se para a distribuição de pressão do lubri cante e subsequentemente, integra-se edistribuição de pressão ao longo da superfície interna do mancal. A força resultante desta integraçãobalancear a carga estática do rotor (peso).

Na Figura 5.12 é mostrado um rotor real de um compressor e um desenho esquemático que ro modelo rotodinâmico deste rotor.

Imaginando o rotor como uma massa suspensa pelos mancais, podemos discutir o movimento ma

simples executado por um eixo.



133

Figura 5.11: Suportação do rotor

O mapa das críticas do rotor real é mostrado naFigura 5.14 tem a nalidade de apresentar o conjuntdas frequências naturais do rotor, quando o mesmo trabalha com diferentes valores de rigidez provodiferentes rotações do rotor.

Figura 5.12: Rotor do C5302 U-1530/REDUC



134

Figura 5.13: Rotor do C-5302 esquemático

Figura 5.14: Mapa das críticas de um rotor real

A massa representativa de um rotor, como mostrado naFigura 5.13, é facilmente obtida do peso dorotor.

m = Peso(N)/9.8(m/seg 2 )

Logo no caso de um rotor real, mostrado na Figura 5.12, a massa a ser usada é a massa mo valor é de nido em complexos códigos sendo aproximadamente metade da massa do rotor:

m = m/2

A rigidez do mancal medida na vertical K yy é dada por:Kyy = 1200000 lbf/in = 175 x 1200000 N/mm = 210.000 N/mm

A massa do rotor m é dada por:

m = 3062 lb = 3062 x 4.45 N ≈ 13652

A primeira frequência natural deste sistema é dada por:



135

A Figura 5.15 apresenta o primeiro modo de corpo rígido do rotor e as distorções provocadas variação da rigidez dos mancais. A linha em preto é uma representação simpli cada de como varia mancais quando se varia a rotação de uma máquina.

Figura 5.15: Mapa das críticas do C-5302

Figura 5.16: Primeira crítica do rotor do C-530



136

Vamos, a título de exercício, tentar uma representação do rotor real, seguindo o modelo da Fi

Figura 5.17: Modelo massa-mola exível

Rigidez elástica equivalente do rotor na posição central

Massa/Peso Modal

erro de estimativa referido à Figura 5.15 .



137

5.1.3 Dinâmica de movimento em sistemas amortecidos

Figura 5.18: Sistema amortecido

A equação diferencial do movimento de um eixo amortecido é apresentada a seguir:0... =++ X k X c X m

Uma solução mais geral para esta equação é da forma:

( ) t se At X ..=Substituindo esta expressão na equação diferencial teremos:

As raízes S1 e S2 são os valores característicos da equação de movimento

Sendo duas as Raízes a solução completa da equação diferencial assume a forma

Nos casos em que a constante de amortecimento c é su cientemente grande, o sistema não oafastado do repouso, decaindo exponencialmente.

Já nos casos em que a constante de amortecimento c é su cientemente pequena, o sistema ouma trajetória exponencialmente decrescente, quando afastado de sua posição de equilíbrio.

Figura 5.19: Decremento logarítmico (envoltórias)



138

5.1.4 Conceito - Amortecimento crítico e Frequência natural amortecida

Denominaremos de amortecimento crítico Cc o valor de C limítrofe, capaz de anular o descriminantda solução da equação de movimento 0.. 2 =++ k sc sm

02

2

=

−

=∆

m K

mc → Amortecimento Crítico nc mm

k mc ω 22 ==

→ Frequência natural do sistema não amortecido.

−

=

m

K

m

cd

2

2ω → Frequência natural amortecida.

Para valores de nc mmk mcc ω 22 ==< o sistema assume característica oscilatória

Neste caso como

<

m K

mc

2

2 as raízes da equação acima tem os seguintes valores:

−

±−=

m K

mc

imc

S 2

2,1 2.

2

Onde

−

=

m K

mc

d 2

2ω é a Frequência natural amortecida.

Solução:

5.1.5 Conceito - Fator de amortecimento

O conceito de fator de amortecimentoξ surge para tornar esta análise vibratória amortecidaadimensional. Podemos desta forma, dizer que os valores característicos do sistema são:

Raízes da Equação Característica

Frequência natural amortecida



139

Quanto ao amortecimento, os sistemas podem ser:

• Hiper críticos

• Críticos• Subcríticos

Figura 5.20: Envoltórias de amortecimento

Em máquinas, um valor típico para fator de amortecimento dos mancais é da ordem de 0.05

do amortecimento crítico, conforme .

PRODONOFF, V. CASTILHO, A., 1990,” Instabilidade em Turbomáquinas – Uma Visão Glo

Problema das Vibrações Autoexcitadas”, 4 - Congresso Brasileiro de Petróleo, Rio de Janeiro, R. J.,

Figura 5.21: Envoltórias de fatores de amortecimento



140

5.1.6 Conceito – Decremento logarítmico

O conceito de decremento logarítmico torna-se importante no universo das turbomáquinas, namedida em que está associado ao comportamento anormal apresentado por algumas máquinas, denomininstabilidade rotodinâmica.

O decremento logarítmicoδ , que pode ser medido no campo, é de nido como o logaritmo nepeda razão entre duas amplitudes consecutivas do sinal de vibração da máquina.

an j

j

X

X τ ω ξ η δ ..

1

==+

, sendo o período da vibração amortecida

π τ ω 2. =aa

22

1

1

+

=

δ π

ξ

Para sistemas fracamente amortecidos ξ π δ .2= ; 1<<ξ

Em turbomáquinas onde δ < 0.2 existe o risco de instabilidade rotodinâmica.

5.1.7 Conceito – Instabilidade dinâmica

Procuraremos exempli car o aparecimento da instabilidade dinâmica através de modelos matsimpli cados, de um grau de liberdade.

A equação diferencial homogênea de movimento é apresentada a seguir:

0... =++ X k X c X m

Tem como solução:

Ou:

( ) t mc

d d et Bsent C t X 2)cos(−

+= ω ω



141

Se c > O, o movimento vibratório é dito estável e consiste em uma oscilação harmônica amoextinguirá ao longo do tempo, devido a sua parte real e-(C/2M)t, conforme mostrado na Figura 5.22.

Se, no entanto, tivermos c < O, o movimento vibratório é instável, visto que a amplitude da vuma tendência ao crescimento com o tempo.

Desta forma a simulação matemática simpli cada do fenômeno de vibração auto-excitada, esao amortecimento negativo.

Figura 5.22: Sistema estável/instável

Existe amortecimento negativo? Existe mola negativa?

Figura 5.23: Grá co do sistema estável/instável

Existe Amortecimento negativo?

5.1.8 Vibração forçada em sistemas de 1 GDL

Figura 5.24: Resposta dinâmica para 1 GDL

Fazendo



142

Trata-se de uma equação diferencial não homogênea, sendo a sua solução a soma da solução com a solução particular.

Solução Particular:

Logo: F0/k = X estatico

de exão estática por ação de F0

Ampli cação dinâmica

A Solução Particular:

Figura 5.25: Resposta dinâmica 1GDL (domínio da Frequência)



143

Figura 5.26: Resposta dinâmica no domínio do tempo para 1GDL

A Solução Geral será a soma da equação particular com a homogênea.

Substituindo X(t) = Aes.t na equação diferencial homogênea teremos:

Cujas raízes S1 e S2 são os valores característicos da equação homogênea de movimento:

±=±=m K

iwi s ...2,1

Se existem duas raízes deve haver duas soluções

X(t) = Aei.ω.t + Be-i.ω.t ; sendo A e B arbitrários.

Isto é o mesmo que

X(t) = Csenωnt + DsenωntOnde C e D podem ser zero, dependendo das condições iniciais

( )

iee

t sent it i

.2.

.... ω ω

ω −−=



144

5.1.9 Resposta dinâmica em modelos de 1 GDL

Desbalanceamento em RotoresUm rotor é dito desbalanceado quando não existe coincidência entre o seu eixo geométrico e

inercial.O desbalanceamento é dito estático, quando o rotor procura uma posição de equilíbrio (menor ene

quando submetido ao teste do trilho.

Figura 5.27A: Desbalanceamento em rotores

O desbalanceamento é dito dinâmico quando o rotor está estaticamente balanceado por massalocalizadas fora do mesmo plano.

Figura 5.27B: Desbalanceamento em rotores

Quando o rotor está dinamicamente desbalanceado ele se deforma ao rodar.

Figura 5.27C: Desbalanceamento em rotores



145

5.1.10 Conceito - Desbalanceamento de rotores em balanço

Figura 5.28: Desbalanceamento em rotores rígidos

Fazendo que é uma equação diferencial não homogênsendo a sua solução a soma da solução da homogênea com a solução particular.

Solução Particular, onde:

Logo:



146

A Solução Particular:

Figura 5.29: FRF – Função de resposta em Frequência

A solução geral da equação diferencial não homogênea assume a forma:

Figura 5.30: Desbalanceamento em rotores



147

Vibração forçada amortecida em 1 G.D.L.

Figura 5.31: Vibração forçada amortecida

Sendo esta uma equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem e coe cientconstantes, a sua solução será a soma da solução da equação homogênea com a solução da equação

iwt st e F e F 00 ≈ e iwt st et X et X )()( ≈

Fazendo

Solução Particular será obtida a partir de:

( ) ( )22220 . cwwmk F +−=

Figura 5.32: Vibração forçada amortecida (plano complexo)

de exão estática por F0



148

A Solução Particular

sendo Fase

Frequência amortecida; Raízes da Equação Característica

Frequência natural amortecida:

Igualando a derivada de X(t) a zero na equação seguinte, podemos obter a amplitude máximmovimento e a sua Frequência.

Frequência do pico para sistemas fracamente amortecidos1<<ξ ; ξ π δ .2= ;

( ) 0.

. =

nd

t X d

ω ω

212 ξ ξ −= e

A pico

,221 ξ

ω ω

−= n

pico



149

Figura 5.33: Vibração forçada amortecida (FRF)

A Solução Geral será a soma da particular com a homogênea.Substituindo X(t) = Aes.t na equação diferencial homogênea teremos

Cujas raízes S1 e S2 são os valores característicos da equação homogênea de movimento.

−

±−=

m K

mc

mc

s2

2,1 22

A solução da equação diferencial homogênea assume a forma:X(t) = Aes.t + Bes.t

Supondo B=0 teremos como solução uma função senoidal amortecida

Figura 5.34: Vibração forçada amortecida (domínio de tempo)



150

5.1.11 Conceito - Desbalanceamento de rotor amortecido

O eixo bi-apoiado se deforma ao girar, conforme mostrado abaixo.Este movimento denominado precessão (que pode ser igual ou não a rotação) é in uenciado p

amortecimento, como veremos a seguir:

Figura 5.35: Desbalanceamento de rotor amortecido

Equação diferenciada do rotor desbalanceado:t ieem xk xc xm ..2.... ω ω =++

Sendo a solução do tipo t ie x X ..0

ω = , a equação assume a forma:

( ) 20

2 .... ω ω ω em xk cim =++− →

ω ω ω

cimk em x

....2

2

0 +−= Amplitude da Vibração

Fazendo e

A amplitude será

Ângulo de fase



151


Derivando a FRF e igualando a zero teremos:

Figura 5.37: Desbalanceamento amortecido (diagrama de “BODE”)



152

O API-617 sexta edição estabelece que:

Se o Fator de Ampli cação (FA ou AF) é menor que 2.5, o sistema rotodinâmico é criticamenamortecido e o rotor pode operar com a sua crítica dentro da faixa operacional. (Não existe margemseparação).


Se o Fator de Ampli cação (AF) está entre 2.5 e 3.55, deverá atender a margem de separaçãabaixo da MCS e 5% acima da mínima rotação do governador da turbina.

Se o Fator de Ampli cação (AF) é > 3.55 deverá atender a:

acima da Mínima do Governador

abaixo da MCS

A identi cação do desbalanceamento de uma máquina pode ser facilmente documentada comdiagrama de cascata, como mostrado abaixo na Figura 5.39

Figura 5.39: Desbalanceamento de rotor amortecido (“cascata”)



153

5.1.12 Resposta dinâmica - Transmissibilidade

Conceito – Isolamento de vibrações (1 G.D.L. )

É comum encontrarmos situações onde precisamos colocar uma máquina desbalanceada em uestrutura onde a vibração é indesejável. O que devemos fazer para que a vibração da máquina não stransmitida para a estrutura?

A solução normalmente usada é a suspensão do sistema desbalanceado sobre molas, que sãodenominadas isoladores.

Figura 5.40: Transmissividade das vibrações

A força transmitida através das molas e do amortecedor é dada por:

Substituindo o valor de X temos:

O Fator de transmissibilidade do sistemaη é mostrado Figura 5.41

A curva mostra que a transmissibilidade é menor que 1 (um), para valores de



154

Nesta faixa, a gura mostra também que uma mola não amortecida tem desempenho melhor mola amortecida, na redução da transmissibilidade.

O amortecimento deverá ser usado para redução da força transmitida nos casos em que seja impeoperar-se o sistema próximo de suas críticas, e sempre produzirá forças com amplitudes superiores excitação.

Figura 5.41: Transmissibilidade das vibrações (frequência)

Quando o amortecimento for desprezível, a expressão da força transmitida se reduz à:



155

5.1.13 Modelo matemático de um acelerômetro (1 G.D.L )

Podemos encontrar diversos tipos de acelerômetros na indústria, sendo os mais comuns mostradoFigura 5:42.

Figura 5.42: Tipos de acelerômetro

A Figura 5.43 simboliza um acelerômetro, sendo y o movimento a ser medido (movimento dasuperfície) e z movimento da massa interna.

z = (x - y)Figura 5.43: Modelo matemático do acelerômetro

A equação do movimento é



156

Soluções possíveis:

Logo:

Z torna-se proporcional à aceleração no limite. O movimento relativo Z = X-Y é geralmente cnuma voltagem.

2222

21

1

.

+

−

=

nnn

Y

Z

ω

ω ξ

ω

ω ω

ω

Figura 5.44: Modelo para acelerômetro



157

Os acelerômetros são instrumentos de frequência natural elevada e a sua faixa útil de utilizaç0<(ω/ωn )2; como pode ser visto abaixo:

Figura 5.45: Faixa de utilização do acelerômetro

Os acelerômetros piezelétricos têm Frequência natural elevada e podem ser usados para Frequsuperiores à 1000Hz. O erro de amplitude de um acelerômetro, dentro da faixa, será menor que 1%amortecimento do sistema estiver entre 0,65<ξ < 0,70.

Caso o amortecimento seja nulo, a faixa de utilização do acelerômetro será menor, conforme na Figura 5.45.

Erro do acelerometro em função da frequencia e de ζFigura 5.46: Erro do acelerômetro

A curva mostra a variação ou com

A maioria dos acelerômetros usaξ = 0,70, o que alem de garantir erro menor que 1% ainda evitadistorção de fase.



158

5.2 MODELO DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE (EXEMPLOS)

Um sistema é dito de dois graus de liberdade quando requer duas coordenadas independentes pardescrever o seu movimento. Estes sistemas fornecem a introdução simples/objetiva ao modelo de Nliberdade.

5.2.1 Conceito - Modo normal de vibração

(Exemplo massa-mola discreto com dois graus de liberdade)

Um sistema de dois graus de liberdade possui duas Frequências naturais. Quando estão em vilivre sobre qualquer uma destas duas Frequências naturais, existe uma relação de nida entre as amduas coordenadas. Esta con guração é o modo normal de vibração. A vibração livre iniciada sob condição será a superposição dos dois modos normais, já a vibração forçada ocorrerá na Frequência(sistemas lineares sempre respondem na Frequência de excitação).

Para um sistema sem amortecimento:

Figura 5.47: Modelo de dois graus de liberdade (2GDL)



159

As equações diferenciais do movimento são: ë m F ..∑ =

Escrito na forma matricial (acoplamento, simétrica, de nida, positiva):

Fazendo

e substituindo nas Equações Diferenciais

Resolvendo o sistema algébrico:

Resolvendo a equação característica e fazendoλ ω =2

Substituindo os valores de

=mk

634.0.1λ ,

=mk

.366.22λ na equação teremos os modos normais de

vibração 731.0)1(

2

1 =

A A e

Figura 5.48: Modelo de dois graus de liberdade (modos de vibrar)



160

Imaginando um rotor como uma sucessão de molas e massas concentradas, podemos introduzir oconceito de modos naturais de vibração de um rotor.

A Figura 5.49 apresenta os modos de vibração de um rotor rígido.

Figura 5.49: Modos de vibrar de um rotor

A Figura 5.50 apresenta os modos de vibrar de um rotor real e a Figura 5.51 apresenta o seu críticas.

O mapa das críticas tem a nalidade de apresentar o conjunto das Frequências naturais do rot(simpli cado), quando o mesmo trabalha com diferentes mancais/rigidez. As diversas Frequências ligadas aos diversos modos de vibrar do sistema rotodiâmico.

A linha em preto é uma representação simpli cada de como varia a rigidez dos mancais quana rotação de uma máquina. A Figura 5.51 também apresenta a Frequência natural do primeiro modrígido deste rotor.

Figura 5.50: Modos de vibrar de um rotor real



161

Figura 5.51: Mapa das críticas do C-5302

5.2.2 Resposta dinâmica no modelo massa-mola 2GDL

Para discutir a equação de Frequência, vamos resolver o “mesmo problema” apresentado antequando é submetido a uma excitação externa (solução da equação particular):

Figura 5.52: Modelo de dois graus de liberdade (vibração forçada)

As equações diferenciais do movimento são: 1.. xm F ∑ =

Escrito na forma matricial (acoplamento, simétrica, de nida, positiva):

k k k 22211 == , k k k −== 2112 ,

==mk

12

)1( .λ ω e

==mk

.322

)2( λ ω



162

Fazendo ( ) t ie At x ..11

ω = e ( ) t ie At x ..22

ω = , e resolvendo o sistema para a sua solução particularteremos:

Trabalhando algebricamente teremos:

−

+

−

=2

1.

2

1

11

3

1

.1

1

.2

ω

ω

ω

ω k

F A

−

−

−

= 2

1.

2

1

12

3

1

.1

1.2

ω ω

ω ω k

F A

Figura 5.53: Modelo de dois graus de liberdade (FRF)

In uência do amortecimento

Colocando-se um amortecedor em uma das extremidades teremos:

As equações diferenciais de movimento, escritas na forma matricial, são:

Sendo k k k 22211 == , k k k −== 2112 , cc =22 , == mk 1

2)1( .λ ω e = mk 322 )2( λ ω



163

Fazendo e , e resolvendo o sistema para a suasolução particular teremos a variação da amplitude em função da Frequência e do fator de amortecmodal, conforme mostrado na Figura 5.54.

Figura 5.54: Modelo de dois graus de liberdade

5.2.3 Vibração forçada em sistemas de 2 GDL

Conceito - Desbalanceamento de rotores amortecidos 2 GDL

A rotação síncrona do eixo é discutida a seguir (JEFFCOTT-LAVAL):

Figura 5.55: Modelo de Je cott-Laval para rotores

O modelo com um grau de liberdade permite à massa executar um movimento de translação em uma direção. Entretanto, um rotor pode executar movimentos orbitais de precessão.

Desta forma, seu movimento é melhor descrito por um modelo de dois graus de liberdade. O rotor descreve trajetória em um plano perpendicular à linha dos mancais.

Quando a velocidade angular Ω é constante, podemos deduzir a equação diferencial do movima ajuda da Lei de Newton:



164

Reescrevendo:

( )e x x t em x K xC xm φ +ΩΩ=++ .cos.... 2

( )e y y t senem y K yC ym φ +ΩΩ=++ ..... 2

Escrito na forma matricial (desacoplado, simétrica, de nida, positiva):

( )( )

2....0

0.cos.

0

0.

0

0.

0

0 Ω+Ω+Ω=++ em

t sen

t

y

x K

K

y

xC

C

y

x

m

m

e

e

y

x

y

x

φ

φ

Resolvendo:

m K x

xn =Ω .

; xn

x x m

C

.. 2 Ω

=ξ ;

2., 1 x xnd x ξ −Ω=Ω

m

K y yn =Ω . ;

yn

y y m

C

.2 Ω=ξ ;

2., 1 y ynd y ξ −Ω=Ω

Podemos observar que neste modelo simpli cado, as frequências naturais nas direções x e y independentes entre si e da frequência de rotação da máquina. O mapa das críticas apresentado a sepermite de nir o conceito de rotação crítica e diferenciá-lo da frequência natural.

Figura 5.56: Modelo de Je cott-Laval (mapa das críticas)

A solução particular será:

( ) ( )222

2

.

..

Ω+Ω−Ω=

x x C m K

em x

( ) ( )222

2

.

..

Ω+Ω−Ω=

y y C m K

em y

Ω−Ω−=

y

y y

C

m K arctg

2.φ



165

A resposta ao desbalanceamento quando o amortecimento for baixo, será:

Figura 5.57: Modelo de Je cott-Laval (diagrama de “BODE”)

GUNTER, E. J., WEN, J.C., 2005,Trafford Publishing Ltd, Interprise House, Wistaston Poad Center, Introduction to Dynamics of Rotor-Bearing Systems ,Vitoria, B.C., Canada.

A resposta ao desbalanceamento quando o amortecimento for signi cativo, será da forma:



167

Figura 5.60: Órbitas elípticas de um rotor real

O segundo efeito indesejável em mancais ortotrópicos é a instabilidade rotodinâmica. Este fetorna-se muito mais importante do que o primeiro, por ser extremamente prejudicial ao funcionameturbomáquinas.

A instabilidade rotodinâmica produzida pelos mancais está associada fundamentalmente ao acruzado, que tem sua principal origem nos termos cruzados de rigidez dos mancais.

A matriz de rigidez de um mancal tem a forma abaixo:

5.2.5 Discussão sobre o amortecimento dos mancais

O amortecimento da vibração das turbomáquinas é um tópico da maior importância no projetmesmas, sendo esta uma das principais razões que tornam os mancais hidrodinâmicos a solução idesuspensão dos rotores de máquinas.

A matriz de amortecimento, utilizada na simulação dos mancais hidrodinâmicos, é normalmeassimétrica. Por este motivo ela se torna em um dos tópicos responsáveis pela complicação da soluç

problema de autovalor.O acoplamento físico introduzido pelo amortecimento permite que a vibração de um modo sesuperponha a vibração, do outro modo a solução da elástica cará projetada fora do plano.

Objetivando a apresentação didática, são apresentadas algumas hipóteses para a simpli caçãodo problema geral:

1) Amortecimento muito pequeno (de ordem inferior). Nestes casos o sistema é consideradesacoplado. Assume-se que os elementos fora da diagonal são pequenos (segunda ord

podem ser ignorados.2) Na hipótese de amortecimento viscoso proporcional, ambos os sistemas (amortecido eamortecido) possuem os mesmos autovetores. Na prática esta hipótese aplica-se a estrutusuporte de rotores Crr = ([αM + βK])



168

A parcela de amortecimento da equação de movimento do eixo será:

[C] q(t) = ([αM + βK]) q(t)

O amortecimento toma a forma acima, sendo M e K simétricas. O amortecimento viscosoproporcional pode também tomar a forma de amortecimento modal.

3) Em alguns casos, onde o amortecimento dos mancais é su cientemente pequeno, o propode ser resolvido pelo método da superposição modal. Nestes casos tiramos vantagem dde amortecimento proporcional, que torna simétrica a matriz de amortecimento, (Crr =2ξrr.Mrr ).

Na prática esta hipótese aplica-se a mancais de rolamento.Fazendo β = 0 e α = 2ξrr

; a equação de movimento será:02 =++

r r rr rr r M η η ξ η

, r = 1,2,..,N.O fator de amortecimento modal -ξrr - representa o percentual do amortecimento crítico contido emcada modo diferente, e seu valor é:

(amortecimento modal onde r =1,2....N).

O amortecimento crítico -Cc- de cada modo do rotor pode ser calculado por:

onde FA é o fator de ampli cação (fator qualidade).O fator de amortecimento modal pode ser calculado a partir do conceito do decremento loga

π δ

δ π

δ ξ

24 22≈

+=

,onde

é o decremento logarítmico. O decremento logarítmico representa o logaritmo da taxa da redução do valor do pico de amp

máxima modal, decorrido um período de oscilação do sistema vibratório. Pode ser calculado a parautovalor de cada modo.

Sendo

e

Frequência natural amortecida.



169

Frequência natural amortecida em cpm

Figura 5.61: Desbalanceamento de rotor – “fator de ampli cação”

4) No caso geral, entretanto, o amortecimento impede a solução simpli cada. Nestes cadesacoplamento pode ser alcançado com a ajuda da transformação bi-ortogonal. (MEIROL.,1997).

A matriz de amortecimento do mancal tem a forma seguinte:

5.2.6 Frequências naturais em rotores 2 GDL

Conceito - Efeito giroscópico de rotor em balanço

(Exemplo: massa, disco, mola, inércia, discreto).

Frequências naturais de um rotor em balanço

O modelo matemático simpli cado, sugerido por THOMSON (1977) para solução do probleapresentado na Figura 5.62, será apresentado de forma simpli cada.

Figura 5.62: Coordenadas (X,q) modelo discreto 2GDL

Através deste modelo serão apresentadas algumas idéias e conceitos inerentes aos fenômenosmais simples quando abordados desta forma.



170

Na abordagem discreta, são admitidas as seguintes simpli cações:

• O eixo contém rigidez elástica distribuída, embora não possua massa;• As extremidades possuem pequenos trechos rígidos, simulando os comprimentos pertencmancais e volante; o sistema é analisado com apenas dois graus de liberdade, X e q, confoFigura 5.62.

• O disco é considerado rígido e perfeitamente balanceado. Esta última hipótese tem a nageneralizar o estudo rotação x precessão, uma vez que o desbalanceamento gera precessão

5.2.6.1 Equações básicas de equilíbrio do rotor

A análise dinâmica do rotor é feita através do equilíbrio de uma viga, com as seguintes condicontorno:

• suspensão elástica linear e rotacional, em uma extremidade;• força e momento induzidos pelo disco.

Como incógnitas são consideradas a de exão e a rotação da extremidade que contém o disco.de equilíbrio nas variáveis (X,q) é :

[ ] Μ×= F X

α θ ;

[ ]=2221

1211

α α

α α α

• (X, θ) - deslocamento do CG do disco e ângulo de rotação do disco;• F, M - carregamento dinâmico (força e momento);• [α] - matriz de exibilidade do eixo;• αi,j- coe cientes de in uência da matriz de exibilidade do eixo.

Dos coe cientes de in uência - αi,j- “CASTILHO, A.”, 1983, “Tese de MsC., Programa deEngenharia Mecânica, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro,R.J., Brasil”, têm-se:

O carregamento imposto à extremidade do eixo pelo disco tem duas naturezas. Uma força decentrífuga F e um momento giroscópio M, com as expressões:

F = Mω2X;

M = Idω2(aΩ/ω-1 )θ

• ω - rotação do eixo; w -precessão do eixo;• M - massa do disco;• Id -momento de inércia diametral do disco;

• a -razão entre os momentos de inércia de massa, polar e diametral.



171

Figura 5.63: Efeito giroscópico (variação da espessura)

Figura 5.64: Efeito giroscópico em cilindros

Substituindo as expressões na equação matricial, chegamos ao sistema homogêneo de equaçalgébricas nas variáveis X e θ (DEN HARTOG, 1972), mostrado a seguir:

Tal sistema terá como solução os valores X = 0 e θ = 0 (o sistema estará permanentemente emquaisquer que sejam os valores de rotação Ω e precessão w), à menos que Ω e w sejam tais que an valor do determinante da matriz dos coe cientes de X e θ.

Os pares de valores (Ω e ω) capazes de anular o determinante referido, caracterizarão uma coequilíbrio na qual o sistema sairá do repouso (X ≠0,Θ ≠ 0 ), assumindo uma con guração especí ca de relaconstante entre X e θ.



172

5.2.6.2 Equação de Frequência

Para generalizar o estudo, considerem-se os seguintes parâmetros adimensionais, relacionadoequação. A introdução destes parâmetros na equação fornece o novo sistema homogêneo:

• M F 11α ω = , Fator de Precessão;

• M S 11α Ω= , Fator de Rotação;

• M I

D d

11

22

α α = , Fator de Inércia;

• M I

E d

11

22

α α = , Fator Elástico.

Equação de movimento do rotor em balanço:

=

+−−

−−−

0

0

1)1(

)1()1(

2212

2

12

112

θ α

α α

X

F S

a DF F

F

S a EDF F

Anulando o determinante da matriz apresentada na equação e explicitando o fator de rotação,

equação de frequência:

Cuja solução é:



173

5.2.6.3 Análise das curvas de Frequência

A equação acima fornece o conjunto de pontos (S, F) capazes de anular o determinante da eqFrequência. Tais pontos, arranjados sob a forma de curva (S X F), caracterizam as Frequências natuem função da variação da rotação, conforme Figura 5.65.

Por ser este modelo simpli cado, com apenas dois graus de liberdade, a curva superior da Figapresenta uma distorção muito grande, pois está substituindo uma in nidade de curvas de Frequênccurva inferior, entretanto, pode ser considerada como uma boa aproximação da primeira Frequência

Neste ponto, pode-se visualizar o parâmetro de nido anteriormente como velocidade crítica.

Conceito - Velocidade crítica

Basta que se imagine uma reta inclinada de 45o, a partir da origem e no primeiro quadrante daFigura 5.65. Tal reta terá a propriedade de conter os pontos de velocidade de rotação igual velocidade de precessão.

Observando a Figura 5.66, vê-se que as velocidades críticas são aquelas em que odesbalanceamento excita as Frequências naturais e são fornecidas pela intercessão das cude Frequência natural com a reta inclinada de 45º.

Figura 5.65: Frequências naturais do modelo

Figura 5.66: Diagrama de Campbell



174

Em CASTILHO (1983) é discutido este mesmo problema, permitindo algumas análises compleme

Figura 5.67: Variação da 1ª freq. nat. c/ massa do eixo

Figura 5.68: Variação da 2ª freq. natural c/ massa do disco



175

Figura 5.69: Variação da 1ª freq. nat. c/ diamt.do eixo

Figura 5.70: Variação da 1ª freq. nat. c/ tamanho do eixo

Figura 5.71: Como variam os modos naturais do rotor



176

Conceito - Efeito giroscópico para rotor bi-apoiado

Frequências naturais de um rotor bi-apoiado - Modelação matemática

Figura 5.72: Je cott com efeito giroscópico

O centro do rotor descreve trajetória em um plano perpendicular à linha dos mancais. Quando a velocidade angular Ω é constante, podemos deduzir a equação diferencial do movimento com a aju

de Newton. Escrita em forma matricial (acoplado, antissimétrica), ela tem a expressão, quando não amortecimento.

=+−Ω+0

0.

0

0.

0

0..

0

0 y

x

K

K

y

x

a

a

y

x

m

m

No caso de haver amortecimento a expressão se modi ca para:

=+ΩΩ−

+ 0

0

.0

0

..0

0

y

x

K

K

y

x

C a

aC

y

x

m

m

y

x

y

x

Fazendo X(t) = A1ei.w.t e Y(t) = A2ei.w.t, e resolvendo o sistema sem amortecimento para a sua soluçãoparticular, teremos a equação de frequência mostrada a seguir:

logo,

Nos casos onde Ω = 0 as raízes coincidem com:Nos casos onde Ω ≠ 0 as raízes serão B e F

e



177

Figura 5.73: Diagrama de Campbell

Colocando o amortecimento teremos:

Figura 5.74: Je cott com efeito giroscópico (detalhe)

Equação de movimento:

=+ΩΩ−

+0

0.

0

0..

0

0 y

x K

K

y

xC a

aC

y

x

m

m

y

x

y

x

Simpli cando( ) t ie At x ..1

ω = , ( ) t ie At y ..2

ω = , K K K y x == , C C C y x == , e resolvendo osistema para a sua solução particular, teremos a equação de frequência a seguir:

Resolvendo o sistema original, a equação de frequência será:( ) 0.

. 2222

2

22

234 =+

++

Ω++++++

mk k

mck

mck

ma

mcc

mk

mk

mcc y x y x x y y x y x y x ω ω ω ω

Vemos que a equação acima vai se tornando mais difícil de resolver.



178

Exercício:

Resolver a equação abaixo, colocando as Frequências naturais do sistema giroscópico, usandoprograma Matemática, localizado na página da web: www.wolframalpha.com

( )0

.. 222

22

22

234 =+

++

Ω++++++

mk k

mck

mck

ma

mcc

mk

mk

mcc y x y x x y y x y x y x ω ω ω ω

Sendo:M = 14,29Kg, k x = 1,345x106 N/m e K y = 1,570x106 N/m

a = 287kg/m2, Cx = 37,5x104 e Cy = 37,5x104 N/m/s

Fazendo β = 0.0002 fator de conversão do amortecimento e Ω = 0.0

Solução usando o programa Matemática:

0 RPM Input: Mathematic form



179

Complex solutions:

Roots in the complex plane:

Fazendoβ = 0.0002 eΩ = 1000.0

Input: Mathematic form

Alternate form:Complex solutions:

Roots in the complex plane:Fazendo β = 0.0002 e Ω = 5000.0

Input: Mathematic form

Alternate form:Complex solutions:



180

Roots in the complex plane: As curvas a seguir mostram a deterioração do comportamento esperado do diagrama de Cam

quando o valor do fator de amortecimento cresce.

Figura 5.75: Frequências naturais de rotores bi-apoiados



181

São apresentados a seguir alguns exemplos de autovalores/vetores típicos (modos normais depara diferentes con gurações da geometria de um rotor bi-apoiado.

Figura 5.76: Variação da 1ª freq. natural c/ massa do disco

Figura 5.77: Variação da 2ª freq. nat. c/ massa do disco



182

Figura 5.78: Variação da 1ª freq. nat. c/ a posição do disco

Figura 5.79: Variação da 2ª freq. natural c/ posição do disco



183

Figura 5.80: Variação da 3ª freq. nat.l c/ a posição do disco

Figura 5.81: Variação da 1ª crítica com o k de mola



184

Figura 5.82: Variação da 1ª freq. natural c/ 2 discos



185

5.2.7 Autovalores de um rotor bi-apoiado - Modelação matemática

Conceito – Instabilidade de rotodinâmica 2 GDL.

Mecanismos de Precessão.

O mecanismo de excitação é uma força tangencial xa ao rotor. Esta força propulsora do mo

precessão possui características bem de nidas.

Figura 5.83: Força propulsora da precessão

A força propulsora é uma força tangencial à trajetória descrita pelo centro de gravidade do roforça tem a característica de ser proporcional à de exão do eixo, relativamente à linha de centro dos

Este mecanismo consiste em que, havendo deslocamento do eixo em uma certa direção (X, poexemplo), o mesmo eixo experimenta uma força de reação com componentes nas direções X e Y.Consequentemente, há outro deslocamento não esperado que surge na direção perpendicular à diredeslocamento previsto.

Esta força tangencial tem sua origem em diversos mecanismos físicos diferentes, que são aprseguir:

• instabilidade hidrodinâmica;• folga da selagem no topo da palheta;• precessão devido ao atrito seco);• uido aprisionado no rotor;• instabilidade de compressores de alta pressão.

O acoplamento cruzado é o denominador comum deste tipo de instabilidade.



187

O modelo matemático que permite a análise deste tipo de fenômeno (instabilidade) é apresentadoFigura 5.86

Figura 5.86: Modelação para estudo de instabilidade

Modelação Matemática para instabilidade 2GDL

Equação de movimento conforme a Figura 5.87b:

0.0

0.

0

0.

0

0 =++ y

x K

K

y

xC

C

y

x

m

m

y

x

y

x

Figura 5.87: Je cott com efeito instabilidade

Equação de movimento conforme a Figura 5.87c:

Vimos anteriormente que as instabilidades que produzem a precessão são causadas por uma forçatangencial, como consequência de um deslocamento radial do eixo. Generalizando, denominamos dacoplamento cruzado aquelas que aparecem devido ao deslocamento da massa na direção ortogon

Uma simpli cação deste modelo que em nada reduz a sua abrangência é:

K xy = ciΩ ; K yx = -ciΩ

onde (Ci) é o coe ciente de amortecimento e (Ω) é a velocidade de rotação do eixo ( spin ), sendo nulos oscoe cientes: Cxy e Cyx = 0



188

A solução geral é da forma X = A1est; Y =A2est, e só existe para alguns valores especí cos dosparâmetros, que devem satisfazer a:

A equação característica será:(Ms2 + Cs + K)2 + K 2x = 0cujas raízes podem abreviadamente, ser escritas como: s = λ ± iωd.

Solução:

No computador fazemos “s” variar de ( ∞− ) a ( ∞+ ) em números reais e procuramos quatro valoresde “s” onde y = f(s) = 0 .

Caso não exista y = f(s)= 0 todas as raízes serão complexas.

Solução Algébrica K x - acoplamento cruzado

ou

Complexos conjugados

e



189

Esta equação apresenta quatro raízes:

As raízes podem ser reagrupadas de forma simétrica:S1 x S3 = S2 x S4.

E como:

Sendo a Frequência natural amortecida sem acoplamento cruzado.



190

Quando colocamos o acoplamento cruzado K x e vamos para o limite da instabilidade:

Logo, conforme John Vance apresenta em seu Livro de Vibrações ( VANCE, J. M., 1987),

= variação da frequência natural:

Sabemos que:

( )t isent e At X d d t ω ω λ += cos)( 1 ; ( )t isent e At Y d d

t ω ω λ += cos)( 2 e para λ>0 o movimentocresce exponencialmente com o tempo, que caracteriza um movimento instável.

O sinal algébrico de λ depende do valor relativo entre a frequência de precessão ω2d, e a frequência

natural M k n /=ω . Já a frequência natural com acoplamento cruzado é maior e depende do coede acoplamento cruzado K x.

Esta observação ajuda a entender porque em máquinas instáveis a frequência medida de preceusualmente maior que a crítica.

Vemos que tenderá para a instabilidade com valores altos de K x/K.Se lembrarmos que K

xé proporcional a rotação K

x = K

xy= K

yx= c

iΩ do eixo e que portanto cresce com

ela, veri camos que a partir de uma velocidade bem de nida do rotor estarão formadas as condiçõeinstabilidade.

Aumentando a rotação (Ω), o valor de K xirá crescendo, até que tenhamos a condição de instabilidadEsta rotação é a velocidade limite da estabilidade ( threshold limit ).

A Figura 5.88 apresenta a variação da parte real 2Mλ/C com a razão ωd/ωn, para um típico coe cienterelativo de amortecimento interno. ξi



191

.Figura 5.88: Variação da parte real do primeiro autovalor

Como existe instabilidade sempre que λ>0, veri camos que, para um amortecimento relativode ξ = 0,05, o limite de estabilidade (threshold limit ) será no entorno de duas vezes o da Frequência natural(Ωlim = 2ωn ) não amortecida.

Vemos também pela mesma Figura 5.88 que, mantido constante o amortecimento interno ξi = 0,025,o aumento do amortecimento externo (mancais) eleva a velocidade limite de estabilidade, podendocolocá-la fora da faixa de operação da máquina.

Resumindo:

• as forças de efeito cruzado K x = K xy = K yx = ciΩ são funções da velocidade de rotação;• aumentando-se a rotação, ela pode atingir um valor limite acima da qual haverá tendênciainstabilidade;

• nos casos comuns de material do rotor, esta instabilidade se dará para rotações próximas da frequência natural.



192

5.3 MODELO COM N GRAUS DE LIBERDADE (EXEMPLOS)

Um sistema é dito de N graus de liberdade quando requer N coordenadas independentes para desco seu movimento.

Um sistema de N graus de liberdade possui N Frequências naturais.Quando estão em vibração livre sob qualquer uma destas N Frequências naturais, existe uma

de nida entre as amplitudes das N coordenadas. Esta con guração é o modo normal de vibração.

A vibração livre, iniciada sob qualquer condição inicial, será a superposição dos N modos noa vibração forçada ocorrerá na frequência de excitação (sistemas lineares sempre respondem na freqexcitação).

Para um sistema sem amortecimento um exemplo é mostrado na Figura 5.89

Figura 5.89: Modelo com N GDL

5.3.1 Sistema discreto de abordagem matricial

A equação de movimento escrita na forma matricial é:

A solução genérica deste problema requer uma revisão dos conceitos da álgebra linear, associado

propriedades das matrizes.

Propriedades dos sistemas lineares

Antes de prosseguirmos no processo de cálculo dos sistemas lineares, torna-se imperativo aimplementação de novas ferramentas matemáticas, para o desenvolvimento da solução dos sistemas

Propriedades da matriz: real simétrica de nida positiva

A matriz de massa [M] de um sistema elástico, como um (rotor) ] é invariante com a rotaçãoreal, simétrica, de nida positiva. Isto equivale a dizer que:

Mij é Real

Os coe cientes da matriz são simétricos em relação à diagonal principal [Mij ] = [Mij ]

O traço de [Mij ] (soma da diagonal de [M]) é invariante:[Mij ] =TR [Mij ] ≥ 0



193

A matriz de massa [K], de um sistema elástico como um rotor, é sempre real, simétrica, de nIsto equivale a dizer que [K] do eixo é invariante com a rotação, (porém a matriz de rigidez dos mahidrodinâmicos não é). Os autovalores de [K] serão reais e positivos.

K ij é real

Os coe cientes da matriz são simétricos em relação à diagonal principal:[K ij ] = [K ij ]; Traço de [K ij ] = TR [K ij ] ≥ 0

Se [Mij ] e [K ij ] são reais simétricas de nidas positivas demonstra-se que o inverso de [K ij ] e [Mij ]existesendo diferente de zero (≠0) e portanto [K ij ]/[Mij ] existe.

Através da análise modal podemos escrever que em sistemas conservativos:

[ ][ ]

[ ][ ]

r

r r

r

r

ijT

ijT

M K

M K

M K

r =⇒== ω ω φ φ

φ φ 2

onder = 1,2,…...nSe uma transformação linear Ф é tal que Фt[M]Ф, diagonaliza a matriz real simétrica de nida positiv

[M] e tem módulo 1, podemos dizer que Ф é uma transformação ortonormal e que a matriz Ф tempropriedades:

[ ] r T

r r M M φ φ = r M ⇒ transformação ortonormal de diagonalização. I r

T r =φ φ

T r r φ φ =−1

Transformações ortonormais não alteram o determinante característico de uma matriz e,consequentemente, os autovalores da matriz são os mesmos (mesmo Traço):

para i=j=r=1,2,3,…n. Uma matriz [A] real e simétrica será positiva de nida se todos os seus autovalores forem po

Todos os autovalores de [A] real e simétrica positiva de nida serão reais e positivos.Se [Mij ] é matriz real simétrica de nida positiva, e [K ij ] é real simétrica, a matriz [A] = [K ij ] /

[Mij ] existe, entretanto não é geralmente simétrica.Demonstra-se, neste caso, que o problema de autovalor [K ij ]u = λMij ]u com autovalores λ = ω2 pode

ser reapresentado, após transformação linear, sob a forma:

([A] - λI)v = 0, ou ainda: [A]v = λv; sendo [A] matriz simétrica e real.

Propriedade das matrizes reais e simétricas

• os autovalores de uma matriz [A] real e simétrica são reais;• os autovetores de uma matriz [A] real e simétrica são reais;• os autovetores de uma matriz [A] real e simétrica, pertencentes a autovalores diferentes, sãomutuamente ortogonais e são também simétricos em relação a matriz[ ] A ; caracterizando portantouma Base Modal.

Sendo Фr uma base para a matriz [A] real simétrica, podemos dizer que:

rs sT

r δ φ φ = ; rsr sT

r A δ λ φ φ = ; r,s = 1,2,3,…,n



194

Matriz de autovalores, rsr sT

r A δ λ φ φ =

[ ] nφ φ φ ,.., 21=Φ Matriz de autovetores.

Onde: [ ] [ ]Λ

ΛΛ

=ΦΦn

T A1

é uma matriz diagonal

Esta propriedade sugere um método de cálculo para solução de problemas de autovalores de reais simétricas, através de transformações ortogonais.

Solução das equações de movimento (Problema de autovalor):

O processo de solução das equações diferenciais de movimento passa pela determinação das naturais de vibração e de seus modos normais, o que caracteriza a solução do problema de autovalor

Solução das equações diferenciais lineares ordinárias:

Esta discussão sobre a solução da equação de movimento pode ter início com a apresentação tradicional dos sistemas elásticos, não amortecidos e sem efeito giroscópico.

; as matrizes do elemento [Me ] e [K e ] são do tipo real simétrica.

Aplicando a solução harmônica usual q(t) = Qeiωt à equação de movimento, revela-se o problema deautovalor:

Calculando os autovalores e os autovetores com a ajuda de algum “resolvedor” de problemasautovalor (eigensolvers) teremos:

- Matriz de autovalores

- Matriz de autovetor Toda vez que um problema de vibração puder ser equacionado (apresentado) na forma mostrada a

onde [K] e [M] são matrizes reais e simétricas de nidas positivas, estamos diante de um problema dno seu estado padrão, (standard state), e poderá ser resolvido seguindo-se a metodologia usualmente emna solução de problemas de vibração, conforme mostrado a seguir.

A solução usual passa pela separação das variáveis z e t, em seguida temos que resolver o probleapresentado e de nir seus autovalores e seus autovetores para uma rotação constante com a ajuda dde computador (eigensolvers).



195

Fazendo Q(t) = Qeiωt

e substituindo, teremos:Pré-multiplicando porT Φ , projetando o sistema em sua base modal, ou seja, trocando de sistema de

coordenadas, teremos:

T Φ [ ] M η Φ + T Φ [ ] K η Φ 0=

Onde [M] e [K] foram diagonalizados.Equacionado o problema de autovalor ou solução da equação homogênea, podemos resolver a

associada ao problema de resposta dinâmica (particular):

[ ] M η Φ + [ ] K η Φ = )(t P

Pré-multiplicando porT Φ :

T Φ [ ] M η Φ + T Φ [ ] K η Φ = T Φ )(t P è T Φ )(t P = )(t F F r r = (harmônica/não)

Obtemos desta forma a equação da resposta dinâmica sem amortecimento

[ ] F =Λ+ η η

Se o sistema de equações torna-se desacoplado, isto equivale dizer que [M] e [K] podem serdiagonalizadas e possuem inversa (simétrica de nida positiva).O sistema de equações diferenciais será, portanto, constituído de equações diferenciais ordiná

segunda ordem independentes, que podem ser resolvidas uma a uma, explicitando desta forma as frnaturais e a resposta dinâmica associadas a cada modo de vibrar.

Sistema de equações diferenciais modais:

r r r r F .2 =+ η ω η , [ ] P F T Φ=

)(.1

.1

)(.1 22 t F

K F

M t P

M r r

r r r r

T

r r r

r

=

=Φ

=+ ω η ω η

Sendo:t sent F r Ω= .1)( .

t senr r r ω η ω η .12 =+



196

Solução do sistema modal:

Em concordância com o CRAIGJr., R. R., 1981, e considerando r = 1, 2, N, a função de respfrequência (FRF) de regime é dada por:

• [M]- Matriz de massa modal,r M = ][ M T r φ r φ r M ⇒ ;

• [K]- Matriz de rigidez modal, [ ] r T

r r K K φ φ = r r M 2ω ⇒ ;• P- Carregamento modal, T Φ )(t P r F ⇒ ;

Figura 5.90: Solução particular



197

Figura 5.91: Soma das soluções particulares

5.3.2 Exemplo ilustrado com três graus de liberdade

A título de exercício, vamos resolver um problema clássico associado a um sistema com três liberdade:

Figura 5.92: Modelo com 3 GDL

Fazendo m-=1 e k=1

[M] e [K] são simétricas de nidas positivas, logo seus autovetores [U] são:



198

Figura 5.92A: Modos normais do modelo com 3 GDL

Estes modos de vibrar (autovetores) correspondem aos autovalores (frequências naturais):λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = √3; e são ortogonais entre si, constituindo uma base.

A equação de movimento inercial, escrita na forma matricial é:

Sendo x = [U]n e pré-multiplicando a equação por [U]t teremos:

(Mudança de Coordenadas)

Operação da transformação linear:

[ ] [ ][ ] 0.. =η U M U T

=−

−−

−3

2

1

.

111

201

111

.

00

00

00

.

121

101

111

η

η

η

m

m

m

=3

2

1

.

600

020

003

.

η

η

η

m

m

m

[ ] [ ][ ] 0.. =η U K U T

O sistema desacoplado será:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] 0.... =+ η η U K U U M U T T



199

O sistema de equações diferenciais será, portanto, constituído de equações diferenciais ordinásegunda ordem independentes, que podem ser resolvidas uma a uma.

Retornando ao sistema de coordenadas cartesianas (inercial) teremos:

[ ] η U x =



Capítulo 6

MODULAÇÃO ROTODINÂMICASISTEMAS CONTÍNUOS



204

Lista de Símbolos para estabelecimento das equações:

a → Razão Entre os Momentos de Inércia de Massa Polar e DiametralD → Adimensional de InérciaE → Adimensional Elástico, Modulo de Young

z y x eee ,, → Vetores Unitários do Referencial Móvel x,y,z EC → Energia Cinética EP → Energia PotencialF → Adimensional de PrecessãoG → Centro de gravidade do disco H → Vetor Momento Cinético

x H → Derivada no Tempo do Momento Cinético na Direção x

xyz H → Derivada Momento Cinético no Referencial Principal do disco(i, j , k) → Vetores Unitários do Referencial Inercial.

p I → Momento Polar de Inércia do Disco.

d I → Momento de Inércia da Massa Transversal do DiscoI → Momento de Inércia Transversal. K → Rigidez de Mola Linear do Mancalk → Rigidez de Mola Angular do MancalLM/LC → Linha dos Mancais / Linha de Centro do Discol → Comprimento do Eixo em BalançoM → Massa do Disco(P,T) → Carregamento Dinâmico do Disco (Força e Torque)S → Adimensional de RotaçãoXYZ → Referencial Inercialxyz → Referencial Móvel solidário ao eixo, não gira com o eixo(X, θ) → Deslocamento do CG do Disco e Ângulo de Rotação do Disco[ ]α → Matriz de Flexibilidade do Eixo

ijα → Coe cientes de In uência da Matriz de Flexibilidade do Eixo.

F Z

t Z F ′=∂

∂ ),( → Derivada Parcial da função F em relação a Z, ou ordinária

F t

t Z F =∂

∂ ),( → Derivada Parcial da função F em relação a t

λ → Espessura do Discoφ → Velocidade angular na direção X∏ → Tensor de Inércia do Discoθ → Velocidade angular na direção Y (θ,ψ, Φ) → Ângulos de Eulerω → Frequência de Precessão do Eixo ( rotational speed ), rad/sec.ω → Velocidade Total de Rotação do Eixo

v xyz ω → Velocidade Total do Volante no Referencial Móvel

Ω → Frequência de Rotação do Eixo ( spin ), rad/sec



205

Precessão e Rotação

Imaginemos inicialmente um rotor em balanço dotado de movimentos angulares de rotação eprecessão W e w, conforme indicado na Figura 6.1 abaixo. Tais movimentos podem ser originaddesbalanceamento.

Figura 6.1: Sistemas de coordenadas XYZ, xyz

Imaginemos o primeiro movimento angular w, denominado de precessão ( “whirl” ), que é ummovimento orbital, de nido como a velocidade angular de um plano contido pela linha dos mancais de gravidade do disco (G), girando em torno de LM.

O segundo movimento angular W, de rotação (“spin ”), é a velocidade angular com que o eixo gira em torde sua linha de centros (LC).

Dada a necessidade de caracterizá-lo rigorosamente, podemos de ni-lo, tendo ainda em vista a acima, como a velocidade angular relativa do disco, em relação ao sistema móvel x y z, descrito poste

Na prática, pode ocorrer que as velocidades angulares descritas acima, sejam iguais ou não. Senestaremos em presença de precessão síncrona, caso contrário precessão assíncrona.

6.2 FREQUÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA

Nos modelos apresentados neste estudo, o termo Frequência natural se refere à velocidade anprecessão ω , na qual o rotor se mantém em oscilação harmônica. O movimento se processa unicama ação das forças e torquês de inércia e forças elásticas de restauração, sem nenhuma ação de forçasperturbadoras do equilíbrio, como o desbalanceamento. Será mostrado posteriormente que a Frequdepende da rotação Ω do eixo, sendo portanto, ω= f ( Ω ).

Historicamente, o termo velocidade crítica tem sido usado para de nir aquelas velocidades dnas quais se desenvolvem grandes de exões no eixo. Tal de nição, no entanto, não é precisa. Velocserá aqui de nida como aquela Frequência natural em que a rotação Ω coincide com a precessão sín

6.3 COORDENADAS GLOBAIS DE UM VOLANTE

Para descrever a posição de um volante no espaço, faremos uso de dois sistemas de coordenadas, xo e um móvel. Seja XYZ um sistema xo, global de coordenadas.

Para o nosso rotor exível, a origem deste sistema estará normalmente xada a um mancal. coincidente com a linha de centro dos mancais, e o eixo Y normalmente vertical enquanto o eixo Xtriedro direto.

O sistema móvel x y z tem as seguintes características:

a) A origem pertence ao centro de gravidade do volante;b) O eixo z é tangente a elástica do eixo exível do rotor;c) O plano x y coincide com o plano do disco, sendo que, na posição de

repouso, x é paralelo a X, e y é paralelo a Y.



206

Da de nição acima, vê-se que o sistema x y z possui todos os movimentos angulares do discoda rotação Ω em torno do eixo z. Em outras palavras, possui os movimentos do disco montado em (fatia do rotor).

A posição genérica do disco no espaço, considerado como corpo rígido, envolve três coordencartesianas do centro de massa (X, Y, Z) e três coordenadas generalizadas de ângulos de orientação em relação ao seu CG, de nidas pêlos ângulos de Euler (ψ, θ, Φ).

Embora no caso geral sejam necessários 6 coordenadas, esta formulação usará apenas 4 (X, assumindo as simpli cações seguintes:

a) O CG se desloca em plano paralelo a XY, (pequenos deslocamentos);b) Devido à simetria radial do disco, não há necessidade de indicar a posição especí ca dedo mesmo.

A primeira destas simpli cações é perfeitamente válida para o caso de pequenas deformaçõesegunda indica ser a orientação do disco a mesma do sistema móvel x y z, que coincide com os eixode inércia do volante.

6.4 ORIENTAÇÃO ANGULAR DO DISCO EM TERMOS DA ELÁSTICA

Foi mostrado acima que a posição angular do volante pode ser descrita como sendo idêntica ado referencial móvel x y z.

Tomando, inicialmente, um sistema (x0, y 0, z0 ), paralelo a X Y Z, e procedendo-se três rotações de seixos, podemos fazê-lo coincidir com uma posição qualquer genérica de x y z.

As três rotações referidas são de nidas a seguir com a ajuda da Figura 6.2ABC.

1) Rotação do angulo y em torno do eixo zo, produzindo o sistema x y’z’ nesse problemax y’ z’ ≠ (x0, y 0, z0 ).2) Rotação do ângulo θ em torno de y’ = y o produzindo x’ y’ z’’.

3) Rotação do ângulo f em torno de x’’, produzindo nalmente o sistema x y z.

Figura 6.2A: rodar x do angulo (Θ), x, y’, z’



207

Figura 6.2B: rodar y’ do angulo (q), x’, y’, z’’

Figura 6.2C: rodar z’’ do angulo (y), x’’, y’’, z’’

Figura 6.3: Ângulos de Euler

1) Rotação do angulo y em torno do eixo zo , produzindo o sistema x’y’z’ nesse probleme x’y’z’ = (x

0, y

0, z

0 ).

2) Rotação do ângulo θ em torno de y’ = y o produzindo x’’ y’’ z’’.3) Rotação do ângulo Φ em torno de x’’, produzindo nalmente o sistema x y z.



208

Usando as funções descritivas da linha elástica do eixo do rotor, X = X (Z,t) e Y = Y e os ângulos y,Θ e f conforme de nidos acima, podemos dizer que, para pequenas deformações:

A última expressão, é aproximada e já leva em conta que o eixo sofre pequenas deformaçõesseção do eixo, ou do volante, pode ser de nida no espaço pelas quatro coordenadas:

X = X (Z,t); Y = Y (Z,t); θ = ∂X (Z,t)/∂Z; Φ = ∂ (Z,t)/∂Z

6.5 VELOCIDADES E ACELERAÇÕES ANGULARES DO DISCO

A velocidade angular absoluta do referencial móvel x y z pode ser escrita como:

Usando as equações acima no domínio das pequenas deformações, ca-se com a seguinte expa velocidade angular do sistema móvel, escrita no referencial dos eixos principais de inércia.

Nas expressões acima (ēx, ēy , ēz ) são os vetores unitários do referencial xyz.

Tendo em vista que o sistema móvel x y z não é solidário ao volante, a velocidade angular abmesmo é:

O momento cinético do volante tem as seguintes componentes absolutas, escritas no referenci

onde :H = vetor momento cinético do volante;Id = momento de inércia de massa, diametral, do volante;Ip = momento de inércia de massa, polar, do volante.



209

Tomando agora a derivada total do vetor momento cinético H temos:

Substituindo as expressões (6.10), (6.11) e (6.12) em (6.9)

Usando mais uma vez da simpli cação, baseado nas pequenas deformações do eixo, ser escrito,

sendo ( i, j, k ) os vetores unitários de XYZ (referencial inercial), embora se

Considerando ainda que a massa do disco se distribui apenas sobre o seu plano médio, parale(volante considerado sem espessura), pode-se dizer que: Ip = 2 Id

Substituindo:

Como a derivada do momento cinético é igual ao momento das forças externas relativamentcentro de gravidade, pode-se escrever , e pode-se então concluir,

onde e são as componentes do somatório dos momentos aplicados ao volante nasdireções X e Y . As equações acima fornecem a velocidade angular e a resultante dos momentosaplicados ao disco que serão usadas nos capítulos seguintes.



210

6.6 ENERGIA CINÉTICA DO DISCO

TRANSLAÇÃO

ROTAÇÃO ;

A expressão da energia cinética de um disco elementar é :

6.6.1 Energia Cinética do Impelidor EC

É apresentada a expressão da energia cinética dos impelidores, a qual é : EC= ( )∑=

+b

i

iY i X Mi1

22

21

EC = ∑=

∂∂

∂∂Ω−

∂∂b

i

idi Z

Xi Z

iY Z Y

I 1

2

221

2

1

2

1 21

221 Ω+

∂∂

∂∂Ω+

∂∂+ ∑∑

==

b

i pi

ib

idi I

Z

Yi

Z

i X

Z

X I

6.6.2 Energia Potencial do Eixo EP

Sabemos da resistência dos Materiais que a energia potencial elástica de uma viga deformada n

EP = , sendo j Z Y i Z X Z j Z Y i Z X Z )()()()()()( +=⇒+= η η



211

EP =

6.6.3 Energia Potencial das Molas EP

Sabemos que energia potencial elástica de uma mola linear e de torção é:

EP = ++++ 24

23

202

201 2

121

21

21

L L Y K X K Y K X K

2

4

2

3

20

2

20

1 21

21

21

21

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

Z Y

k Z

X k

Z Y

k Z

X k L L

A energia total armazenada no rotor em rotação é dada por: ET = EC + EP ,

6.7 OBTENÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO

Obtidas as parcelas de energia que participam do balanço dinâmico, várias são as formas depara a obtenção das equações de movimento. As duas formas mais comumente empregadas são:

Princípio Variacional de Hamilton e a Equações deLagrange .O princípio de Hamilton é utilizado para a dedução da equação diferencial de movimento do

modelação contínua.

Princípio Variacional de Hamiltom

Princípio Hamiltom (Sistemas Conservativos)

Quando se fala em elementos nitos, torna-se mais adequado a utilização do princípio variacassociado à equação de Lagrange .

Lagrangiano,

onde j=1,2,6..J

energia cinética do eixo

energia potencial do eixo R = função de dissipação

jq deslocamento nodal: jq , Þ → Velocidade Nodal;j → J ésima coordenada generalizada

O princípio de Lagrange por envolver um processo de minimização das energias reinantes épara introdução da metodologia de Elementos Finitos.



212

6.7.1 Dedução da Equação Diferencial

A aplicação do principio variacional nos conduz a um sistema de duas equações nas variáveis(referencial inercial), amplitudes das coordenadas do eixo etido. Estas equações são acopladas pelefeito giroscópico, uma vez que uma exão no plano YZ, produz um carregamento dinâmico na dplano XZ.

Para chegarmos à equação diferencial do movimento, faremos a integração por partes das e

até que apareça a variação elementar das variáveis deslocamento X δ e Y δ . ∫

∆T

vu δ . = vu. - ∫∆T

uv δ . Integração por partes

A utilização da variável complexa auxiliar n = X +i Y, permite junto com a separação de variáveis,reduzir as duas equações diferenciais parciais de movimento, para uma única equação diferencial ode quarta ordem.

6.7.1.1 Energia Cinética de Translação do Eixo

Integrando por partes a energia cinética de translação do eixo e aplicando o Princípio de Haenergia, temos:

EQUAÇÃO DIFERENCIAL

Integrando por parte a energia cinética de rotação do eixo e aplicando Hamilton temos:

Esta parcela de energia irá compor o termo da equação diferencial mostrada aseguir:



213

d I ∫ ∫

∂∂2

1 02

2t

t

L

Y Z

Y δ + t Z X

Z

X δ δ ∂

∂∂

2

2

EQUAÇÃO DIFERENCIAL.

t Z Y Z

X X

Z

Y I

t

t

L L

d ∫ ∫ ∫ ∂

∂

∂∂−∂

∂∂Ω

2

1 0 02

2

2

2

2 δ EQUAÇÃO DIFERENCIAL

6.7.1.2 Energia Cinética do Impelidor

Integrando por partes a energia cinética de translação do impelidor e aplicando Hamilton a etemos:


Integrando por parte a energia cinética de rotação do impelidor e aplicando Hamilton à energ

Esta parcela de energia irá compor o termo da equação diferencialmostrada a seguir :

Procedendo a integração por partes:

t Z Z Y

Z X

I t

t

b

i

iidi

∂∂

Ω+

∂∂+

∂∂∫ ∑

=

2

11

2

22

221

δ

∑ ∫∫=

∂∂

∂∂−∆′+

∂∂−∆′

b

i

t

t

L

iidi t zY Z Y

Z Z X Z X

Z Z I 1

2

1 0

)()( δ δ EQUAÇÃO DIFERENCIAL



214

Procedendo a integração por partes:

t Z Z X

Z Y

Z Y

Z X

I t

t

b

i

iiiidi

∂∂

∂∂

∂∂Ω−

∂∂

∂∂Ω∫ ∑

=

2

1 1

2221

δ

t Z Y Z

X Z Z I X

Z

Y Z Z I

t

t

L

idiidi δ δ δ ∂

∂

∂−∆′Ω−∂

∂−∆′Ω

∫∫

2

1 0

..)()(2 EQUAÇÃO DIFERENCIAL

6.7.1.3 Energia Potencial do Eixo

Aplicando o princípio Hamilton (integrando por parte a energia potencial do eixo) temos:


6.7.1.4 Energia Potencial das Molas

Aplicando o princípio de Hamilton e integrando por parte a energia potencial do eixo temos:

EP = ++++ 24

23

202

201 2

121

21

21

L L Y K X K Y K X K

2

4

2

3

2

02

2

01 2

1

2

1

2

1

2

1

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

+ Z

Y k Z

X k Z

Y k Z

X k L L

; onde → 4321 ; K K K K == e 4321 ; k k k k ==



215

Equação Diferencial do Rotor em YZ:

Figura 6.4: Rotor esquemático suportado por mola

Equação diferencial do movimento em Y.

Equação diferencial do movimento no espaço complexo



216

força de reação elástica;

η m força centrífuga devida à precessão do eixo;

)( C Z M −∆η força centrífuga da precessão do disco;

inércia de rotação de um elemento de eixo;

)( iC Z

d Z Z Z

I i

−∆′∂∂

=

η inércia de rotação do disco;

efeito giroscópico devido ao elemento de eixo;

C Z d

i Z

i I =∂

∂Ω⋅ )2 η

)( i Z Z −∆′ efeito giroscópico devido ao disco.

6.8 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIALPreparação das Equações (Transformação de coordenadas)

Em se tratando de um problema conservativo de vibração natural, devido à ausência de forçadevemos tentar uma solução harmônica. Supomos, portanto, a forma complexa, com separação daZ e t ; iY X +=η ; t ie Z Qt Z ω η ⋅= )(),( ; considerando que Q(Z) pode ser complexa (não plana)

Q(Z) = 1q (Z)+i 2q (Z).

A substituição det ie Z Qt Z ω η ⋅= )(),( , elimina a variável tempo t, o que indica que o movimento é

realmente oscilatório, como suposto anteriormente.

, etc.



217

Sendoω a precessão “whirl ” do rotor e Q(Z) a equação da elástica do eixo.Introduzindo os parâmetros a dimensionais deduzidos abaixo: Z Þ 0 < z <1,

Fazendol

Z z = ; sendo 10 ≤≤ z ;

l Z

z ii = e

suprimindo,“*” em )(* i z z −∆ e ( )i z z −∆′* . Os coe cientes de Q(z) são reais.Logo a elástica Q(Z) = q 1(Z)+iq 2(Z) está no plano e os auto-vetores são linearmente independentesReescrevendo a equação obtemos a equação diferencial do movimento após transformação Q

Q(z):

Q z z QQ z z QQb

ii

b

iiiv ∑∑ −∆−−′−∆′+′′+

1

44

1

)()( β β α α = 0

Este problema já foi resolvido para condições de contorno simpli cadas.

η (0) = 0 ;0

2

2

=∂∂

z Z η = 0 ; η (l) = 0 ;

l z Z =∂∂

2

2η = 0

6.8.1 Condições de contorno com Mola

Para determinar o cortante na extremidade com mola, usamos as equações

Aplicando a separação de variáveis e a admensionalização podemos reescrever a equação com sucondições de contorno.



218

Para simular o comportamento dinâmico do rotor, temos que resolver a equação diferencialsuas condições de contorno.

6.8.2 Solução da Equação Diferencial de Movimento

A solução da equação diferencial é desenvolvida a seguir :

Adimensionais:

Esta equação de movimento simula o rotor mostrado na Figura 6.5:

Figura 6.5: Rotor esquemático suportado por mola

As Frequências e os modos naturais de vibração do rotor bi-apoiado são obtidos da solução dacima. A equação não é de solução imediata, pois os coe cientes não são constantes em O < z < l

Tratando-se de uma equação diferencial ordinária linear de quarta ordem, a solução será obtida coauxílio da transformada de Laplace, conforme NOWACKI, (1963).

∫∞ − ==∂=0

)()()( GS G Z S Ge Z G L SZ

Multiplicando-se cada termo da equação por e-SZ ∂Z e integrando-se de 0 a∞ passamos a ter:



220

Aplicando Laplace inversa, à equação anterior e simpli cando, vem:

Obersavação:δ

- parâmetros adimensionais;ε - parâmetros adimensionais;)( c z −µ - “função” degrau unitário.

Objetivando a simpli cação da equação:

)(1

22 ε ε

δ δ

δ ε z sen z senh

E −+

=

)cos(cosh1

22 z z F E ε δ

δ ε

−+

==′

)(1

22 z sen z senhG F ε ε δ δ δ ε

++

==′

)coscosh(1 22

22 z z H G ε ε δ δ δ ε

++

==′

)(1 33

22 z sen z senh H ε ε δ δ δ ε

++

=′

Substituindo estes valores teremos a equação:

Esta é a forma mais geral da curva elástica do eixo, para quaisquer condições de contorno. Eplana, pois tem coe cientes reais.



221

6.8.3 Cálculo dos Coefcientes a determinar

É necessário calcularmos coe cientes da equação diferencial

)(),(),(),(),0(),0(),0(),0( 2211 z Q z Q z Q z QQQQQ ′′′′′′′′ .

O sistema para cálculo das Frequências naturais da elástica será constituído por:

- 4 quatro condições de contorno que fornecem 4 equações;- )( i z Q cada disco fornece uma equação;- )( i z Q ′ cada disco fornece uma equação.

No total serão utilizadas 2 n + 4 equações que comporão um sistema de equações algébricaexigirão a solução de um determinante de mesma ordem (pesquisa por valores singulares).

As derivadas da função )( i z Q têm as seguintes expressões:

Sendo I=H’ ; J=I’=H’’ ; L= J’=I’’=H’’’ e aplicando as condições de contorno, para montar de equações homogêneo abaixo.

Matriz M dos coe cientes 8x8 - problema autovalorQ(0) Q’(0) Q’’(0) Q’’’(0) Q(z1) Q’(z1) Q(z2) Q’(z2)

Eqc. 1 A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 1,4 0 0 0 0Eqc. 2 A 2,1 A 2,2 A 2,3 A 2,4 0 0 0 0Eqc. 3 A 3,1 A 3,2 A 3,3 A 3,4 A 3,5 A 3,6 A 3,7 A 3,8

Eqc. 4 A 4,1 A 4,2 A 4,3 A 4,4 A 4,5 A 4,6 A 4,7 A 4,8

Eqc. 5 A 5,1 A 5,2 A 5,3 A 5,4 1 0 0 0Eqc. 6 A 6,1 A 6,2 A 6,3 A 6,4 0 1 0 0Eqc. 7 A 7,1 A 7,2 A 7,3 A 7,4 A 7,5 A 7,6 1 0Eqc. 8 A 8,1 A 8,2 A 8,3 A 8,4 A 8,5 A 8,6 0 1



223

Tabela 6.1: Valores da Frequência Naturalω para diferentes valores de Ω

Ω ω 1 ω 2 ω 3

-2000 ω 1 - 2000 ω 2 - 2000 ω 3 - 2000

-1000 ω 1 - 1000 ω 2 - 1000 ω 3 - 1000

0 ω 1,0 ω 2,0 ω 3,0

1000 ω 1,1000 ω 2,1000 ω 3,1000

2000 ω 1,2000 ω 2,2000 ω 3,2000

6.8.4 Defnição da Elástica : Auto-VetorReescrevendo a equação.

Calculando-se os valores de Q(0), Q’(0), Q’’(0), Q”’(0), Q(z1), Q’(z1), Q(z2), -Q’(z2) que equação teremos a elástica de nida,para cada valor de Frequência natural.

Para calcular os valores de Q(0), Q’(0), Q’’(0), Q”’(0), Q(z1), Q’(z1), Q(z2), -Q’(z2) arbitramusando CRAMER resolvemos o sistema algébrico.

REGRA de CRAMER:

;)0(

)0(;)0(

)0(;)0(

)0(∆′′∆=′′

∆′∆=′

∆∆= Q

QQ

QQ

Q

;)1(

)1(;)1(

)1(;)0(

)0(∆′∆=′

∆∆=

∆′′′∆=′′′ z Q

z Q z Q

z QQ

Q ;)2(

)2(;)2(

)2(∆′∆=′

∆∆= z Q

z Q z Q

z Q

Matriz =∆ 11α ∆ , obtida pela eliminação linha 1 e coluna 1 da Matriz anterior.

A 2,2 A 2,3 A 2,4 0 0 0 0

A 3,2 A 3,3 A 3,4 A 3,5 A 3,6 A 3,7 A 3,8

A 4,2 A 4,3 A 4,4 A 4,5 A 4,6 A 4,7 A 4,8

A 5,2 A 5,3 A 5,4 1 0 0 0

A 6,2 A 6,3 A 6,4 0 1 0 0

A7,2

A7,3

A7,4

A 7,5

A7,6

1 0A 8,2 A 8,3 A 8,4 A 8,5 A 8,6 0 1



224

)0(Q ′∆ = 12α ∆− , )0(Q ′′∆ = - 13α ∆ ,)( ijα ∆ DET– sétima ordem, determinante gerado pela eliminação da linha i e da coluna j.

equação da elástica pode então ser reescrita :

6.8.5 Equação da elástica

onde n representa o n-ésimo autovetor linearmente independente da série in nita.

O efeito giroscópio não acopla os modos de vibração do rotor. (autovetores giroscópicos sãolinearmente independentes).

Isto ocorre porque os modos naturais de vibração de um sistema mecânico representado por uequação diferencial ordinária linear de quarta ordem e de coe cientes constantes são matematicamedesacoplados.

6.9 RESULTADOS OBTIDOS DOS CÁLCULOS DE COMPUTADOR

O programa foi rodado para um rotor com as características seguintes :Rotor bi-apoiadoDiâmetro do eixo = 0,05 mComprimento do eixo = 1,0 mMaterial do eixo = açodisco localizado no centro do eixo. A Figura 6.7 mostra, para um disco, como varia a primeira Frequência natural do rotor com o

do disco.



225

Figura 6.7: Variação primeira freq. nat. com o diâmetro disco



226

A Figura 6.8 mostra como varia a segunda Frequência natural do rotor com o diâmetro do dilocalizado no centro do eixo. Mostra também a mudança do modo de vibrar causada pelo efeito giroque este efeito produz os seus resultados no plano de deformação do eixo. O efeito giroscópico tamo eixo neste caso.

Figura 6.8: Variação segunda freq. nat. com o diâmetro do disco



227

A Figura 6.9 apresenta a primeira Frequência natural do mesmo rotor, apenas com o disco codiferentes posições fora do centro. Como nestas posições o disco experimenta rotação transversal oscilante.Há uma variação acentuada das Frequências naturais do eixo com a rotação e com a posição do discexemplo mostra ainda a elástica deformada no plano.

Figura 6.9: Variação primeira freq. nat, com a posição do disco



229

A Figura 6.11 apresenta as curvas de variação da terceira Frequência natural do rotor, com o colocado em diferentes posições fora do centro. Há uma variação acentuada das terceiras Frequêndo eixo com a rotação e com a posição do disco. A elástica deformada esta no plano.

Figura 6.11: Variação terceira freq. nat. com a posição do disco



230

A Figura 6.12 apresenta as variações das curvas de Frequência natural do rotor em um cenárelevada rigidez do mancal K≈109. Mostra a variação da primeira e da segunda Frequências naturais. Sãomostradas também as velocidades críticas, em quewhirl é igual aspin .

Figura 6.12: Variação 1 e 2 freq. nat. com a rotação para variaçãoK≈109



231

A Figura 6.13 apresenta as variações das curvas de Frequência natural do rotor em um cenárelevada rigidez do mancal K≈109 e com o rotor deslocado do centro. Mostra a variação da primeira e dasegunda, Frequências naturais. São Mostradas também as velocidades críticas, em quewhirl é igual aspin .

Figura 6.13: Variação 1 e 2 freq. nat. com K≈109e disco excêntrico



232

A Figura 6.14 apresenta as variações das curvas de primeira Frequência natural do rotor para valores de K do mancal: K = 2x106, K = 4x106, K = 109 e com o rotor deslocado do centro. São mostradastambém as velocidades críticas A, B, C para diferentes valores de K.

Figura 6.14: Variação 1 critica com a rigidez do mancal K



233

A Figura 6.15 apresenta as variações da primeira e da segunda críticas do rotor com a colocdois rotores no eixo e para K do mancal rígido.

Figura 6.15: Variação 1 e 2 criticas com mancal rígido e dois rotores

6.10 CONCLUSÕES SOBRE A PERTINÊNCIA DO MÉTODO

O método discutido permite o cálculo das Frequências naturais de rotores com múltiplos disa representação da rigidez dos mancais, conforme resultados apresentados. É, todavia limitado pela

cálculos numéricos, na medida em que estamos tratando de soluções analíticas.O método não permite a simulação de rotores reais, os quais possuem uma geometria bem maiscomplexa.

No capítulo seguinte este mesmo problema será apresentado através do método de elementoscomo veremos, possui ilimitadas possibilidades de representação de um rotor real.

Não é do conhecimento do autor que esta solução tenha sido publicada anteriormente em algumsendo este um desenvolvimento próprio.



Capítulo 7

ELEMENTOS FINITOS



237

7 ELEMENTOS FINITOS

No capítulo 6 discutimos as possibilidades de representação da ciência rotodinâmica dentro dmodelação do contínuo. Esta abordagem é rica em signi cado físico apesar do elevado nível de absttem complexidade matemática crescente na solução da equação diferencial de movimento.

Neste contexto, surge a possibilidade do tratamento destes modelos físicos com o uso de técndiscretas de modelação. Dentre as técnicas discretas de modelação matemática dos rotores reais, de

elementos nitos, a qual tem se mostrado a mais adequada para o tratamento global das questões roPodemos complementar esta idéia dizendo que a experiência tem provado que a técnica de elementomelhor forma de se resolver complicados sistemas de equações de movimentos: axial, torsional e la

Como indica o próprio nome, o método consiste em dividir a estrutura em pequenas partes nchamadas de elementos. A deformação no interior do elemento é arbitrada através de uma função pIsto permite que a deformação no interior do elemento seja expressa em termos do deslocamento dextremidades, que serão as incógnitas denominadas variáveis nodais.

Considerando a superposição de todos os elementos da estrutura, dizemos que energia total éem função das variáveis nodais. As equações diferenciais são obtidas através da aplicação das equaçLagrange.

Uma vez determinados os deslocamentos nodais, a con guração no interior de cada elementode nida pela função de interpolação polinomial. A Figura 7.1 mostra esquematicamente o modelo real.

Figura 7.1: Desenho esquemático do rotor

7.1 ELEMENTOS FINITOS NA VIBRAÇÃO TORSIONAL

Sendo a técnica de elementos nitos muito abstrata, ela não requer uma grande discussão teóprocesso de implementação.

Neste capítulo pularemos inicialmente esta fase e passaremos direto para a discussão da aplicaçãoMétodo de Elementos Finitos, no caso particular do cálculo das frequências naturais torsionais.

A equação de elementos nitos pode ser montada de diferentes formas. Em cada caso o rotordiscretizado em nós e então conectado por elementos.

Figura 7.2: Desenho dos elementos de um rotor



238

Umapproach simpli cado da equação de movimento de cada um dos nós é apresentado a seguirforma matricial. A solução desta equação pode trazer problemas computacionais que reduzem a suaNo modelo de vibração torsional, podemos escrever a equação de movimento abaixo:

[ ] [ ] [ ] T K C M =++ θ θ θ

O lado esquerdo representa o modelo do eixo, enquanto o lado direito representa a função de

As coordenadas generalizadas θ são os deslocamentos angulares nodais, enquanto θ θ e são as

acelerações e as velocidades nodais, respectivamente.No método de solução modal tiramos vantagem das propriedades lineares que são associadas a es

sistemas, as quais permitem o uso dos autovalores e dos autovetores para a de nição das equações d(coordenadas modais). O truncamento dos modos menos importantes reduz o esforço computaciono modelo mais efetivo.

Modelo de Finitos Finitos - Torsional

O modelo do rotor é discretizado em elementos de eixo que agem como molas entre nós. Osimpelidores do rotor são assumidos como pontos de inércia que são concentrados nos nós. A Figurseguir mostra massas concentradas conectadas por elementos de eixo.

Figura 7.3: Modelo de um elemento do rotor

Função de Interpolação

Para representar o movimento do eixo entre os nós, uma função de interpolação é aplicada coFigura 7.4 abaixo. O rotor é representado por um elemento de seção constante.

Figura 7.4: Funções de interpolação



239

Usaremos funções de interpolação lineares da forma abaixo:

Identi cando a equação de energia e aplicando o princípio de Lagrange obtemos a equação d

do movimento torsional do rotor.Energia de deformação interna é:

Onde:

( )40

4

21

r r J −= π e

Q N N Q X

T T ′′=

∂∂ 2

θ

A matriz de rigidez será:

Aplicando Lagrange à equação de energia anterior teremos:

Onde:

A energia cinética é:

Onde:

( )40

4

21 r r J −= π

eQ N N Q

t T T = ∂∂

2

θ

Aplicando Lagrange à equação de energia anterior, a matriz de inércia do elemento de eixo se

Onde:

6.. l J

me ρ =



240

As matrizes globais de inércia e rigidez serão:

Figura 7.5: Modelo de elementos nitos do rotor

Temos agora as matrizes globais de massa[ ] [ ]ee K M / . rigidez

A Equação de movimento será:

A equação de movimento é linear, matrizes simétricas de nidas positivas.

A matrizes de inércia e rigidez para 2 eixos será:

Figura 7.6: Modelo de elementos nitos para 2 eixos

Energia de deformação interna é:



241

Aplicando Lagrange teremos:

Energia cinética

Aplicando Lagrange teremos:

A equação de movimento será:

A equação é linear e as matrizes são simétricas de nidas positivas. Escrevendo a equação de[ ] θ K [ ] M λ θ e resolvendo o problema de autovalor teremos:2ω λ −=



242

Resolvendo a equação de movimento[ ] θ M + [ ]C θ + [ ] K θ = 0.

A solução é obtida pela redução da ordem da equação diferencial.• conforme o Meirovitch:[ ] [ ] q M q M −

Reescrevendo:

ou

Substituindo o novo vetor:

→ Problema de autovalor;

[ ] h M

nnX

22 h K

nnX 22

H

; h

q

q

; h H

Q

0

→ Desbalanceamento Agora temos um sistema de 2n equações diferenciais de primeira ordem.

→ Problema de autovalor

Considerando que o amortecimento estrutural [C]é proporcional a massa, e que as matrizes

e são SDP, a solução do problema de autovalor será da forma: h = t eh .0

λ

Nós identi camos: w - autovalores,[ ]φ - autovetores, do sistema.

A base modal será praticamente igual para um baixo amortecimento.



243

Resolvendo:

[ ] )(t q M + [ ]( )C )(t q + [ ] )(t q K = 0 , de forma análoga

[ ] [ ]θ θ I I − = 0

Reescrevendo a equação de movimento:

[ ] I )(t q + [ ] [ ] )()( t qC t q M + -[ ] I )(t q + [ ] )(t q K = 0 ou

Este sistema é comum em controle e resolve-se por integração no tempo:

X = variável de estado;μ = variável de entrada.

As saídas deste sistema podem ser escritas com variáveis de estado. Com a ajuda da teoria depodemos resolver o sistema de I/O.

As variáveis de saída (de estado) são obtidas por integração no tempo. Uma vez de nidas as de estado como função do tempo, podemos de nir uma nova transformação que determine a resposinstante das coordenadas globais do sistema.



244

7.2 ELEMENTOS FINITOS NA VIBRAÇÃO LATERAL

7.2.1 Diferentes formas de energia

São apresentadas a seguir as diferentes formas de energia, normalmente encontradas em um rotorconforme apresentado no Capítulo 5, objetivando a construção das matrizes de elementos nitos. Atotal é a soma de todas estas energias.

• energia cinética do eixo

EC = ( ) Z Y X m L

O

∂+∫ 22

21

EC =∫

∂∂

∂∂Ω−

∂∂ L

e Z X

Z Y

Z Y

I 0

2

221

+ Z I

Z Y

Z X

Z X

I pe ∂Ω+

∂∂

∂∂Ω+

∂∂ 2

2

2

Sendo momento inércia polar.

Considerando o caso de um sistema discreto com “n” graus de liberdade, a expressão da encinética, (em coordenadas generalizadas) pode ser apresentada da forma seguinte:

EC = T2 + T1 + T0

Onde: T2 = o termo quadrático da velocidade generalizada, dada por:

T1 = o termo linear da velocidade generalizada e está ligado ao efeito giroscópico, dado por:

T0 = o termo linear das coordenadas generalizadas e está ligado à força centrífuga, como s



245• energia cinética do impelidor

EC =

EC =• energia potencial do eixo

A energia potencial de deformação em vigas é modi cada no caso de se considerar o efeito dcisalhamento e a carga axial.

Sendo y y Z

X θ β +=

∂∂

, onde θy é o angulo de exão eβy é o angulo de distorção devido aocisalhamento, obtém-se:

Onde:E = módulo de elasticidade;Ixx = I = Iyy = (L4) = momento de inércia transversal de área; v = coe ciente de Poisson; A = área;k = fator de forma;P = carga axial;G = módulo de cisalhamento.

A energia potencial de deformação (com o cisalhamento e carga axial) é dada por, e podemos

EP =q K K K q Axial toCisalhamen Flexão

T )(2

1 ++

Usualmente, nos cálculos rotodinâmicos, somente a energia potencial elástica de deformaçãolevada em conta.



246

•energia potencial das molas dos mancais

Embora outras formas de energia possam ocorrer no rotor, estas são as mais importantes.

Aplicação da Teoria de vigas para eixo

Aqui o deslocamento lateral será dado por:

ux(z,t), uy (z,t), K,k

Onde:(L) = deslocamento lateral horizontal/vertical;(F/L, torque /Φ) = coe cientes de mola linear e de torção.

Os dois deslocamentos angulares serão fornecidos por:

z u x

y ∂∂+=φ deslocamento angular no plano xz (Gr)

z

u y x ∂

∂−=φ deslocamento angular no plano yz (Gr)

A convenção de sinais de momentos etores/cortantes, está na Figura 7.7

Figura 7.7: Convenção do etor positivo em YZ

Propriedades da vigaBernoulli-Euler :

2

2

Z u

EI M X XX Y ∂

∂= momento etor na direção X

2

2

Z u

EI M Y YY X ∂

∂= momento etor na direção Y



247

Y X

XX X M Z Z

u EI

Z F

∂∂=

∂∂

∂∂=

2

2

força de cisalhamento na direção X

X Y

YY Y M Z Z

u EI

Z F

∂∂=

∂∂

∂∂=

2

2

força de cisalhamento na direção Y

Aplicando-se a Lei de Newton, podemos reescrever a equação diferencial de movimento paracoordenadas cartesianas, através da teoria do contínuo, conforme foi mostrado no Capítulo 5.

Onde:m = massa por unidade de comprimento;

= momento de inércia transversal de área;

= momento polar de inércia;

iYX +=η = variável complexa auxiliar.

GASH, R., (1976) propõe outros termos para esta equação, como por exemplo, a combinaçãocisalhamento com a inércia de rotação. Entretanto, conforme já foi dito anteriormente, o efeito do cé desprezível em rotores de turbomáquinas, portanto, o termo da combinação do cisalhamento e inércia rotação não será considerado.

7.2.2 Discretização do eixo em elementos fnitos

Com propósito de discretizar o rotor, precisamos dividir o rotor em pequenos elementos (elemnitos) modelados como viga, conforme Figura 7.8.

A forma geral do deslocamento lateral dos pontos, dentro da teoria de elementos nitos para apresentada abaixo:

Deslocamentos generalizados:

Figura 7.8 : Partição plana do rotor



248

Toda a energia do sistema conservativo pode ser apresentada sob a forma de energia cinética A energia potencial se relaciona com a de exão do eixo e com o efeito de cisalhamento no rotor, enenergia cinética se relaciona com os efeitos provocados pela inércia lateral e de rotação do eixo.

A Transformada de Lagrange é, então, aplicada ao conteúdo de energia para obter a equação movimento do elemento eixo, como a seguir:

Neste Capítulo será discutida a vibração lateral 3D, juntamente com o efeito giroscópico do eeixo e do impelidor.

7.2.3 Estabelecimento das matrizes de elementos fnitos

Serão apresentadas matrizes de rigidez, massa, amortecimento e giroscópica de cada elemenSimultaneamente, também estaremos construindo progressivamente a equação diferencial de movimenteixo, na medida em que cada nova matriz esteja sendo incorporada ao modelo matemático.

7.2.4 Matriz de rigidez do rotor

A matriz do elemento é similar nos planos XZ eYZ, sendo que os sinais são diferentes, na meque YZ está no sentido direto e XZ está no sentido inverso. Na teoria de exão do eixo de Euler-Bernoulli , aenergia de deformação pode ser determinada da seguinte forma:

O deslocamento axial z u

yu Y Z ∂

∂−= em um elemento de viga ocorre sempre que existe movimento

(vertical ou horizontal ) dos nós uy . A deformação especí ca associada a este movimento é dada por:

N y B z u

y z u Y Z

ZZ ′′−==∂∂−=

∂∂= 2

2

ε (associada à exão lateral do eixo).

Para materiais do eixo lineares, a relação tensão/deformação é dada por:

• energia de deformação lateral do eixo (Plano YZ)

A energia potencial total da viga é dada pela expressão:



249

A função de interpolação lateral [N] do elemento de eixo é:

Onde Ne é a função cúbica de interpolação, também chamada de função Hermitiana.Essa função foi descrita por Euller-Bernoulli:

Variáveis nodais:

Valores entre nós

A função Hermitiana interpola, simultaneamente, valores intermediários do deslocamento u(das quatro coordenadas generalizadas que de nem a posição dos pontos de um elemento de eixo.

• matriz de rigidez lateral (Plano YZ)

Reescrevendo a equação:

A energia elástica de um elemento de viga deformada em q 1 é dada por:

No Capítulo 5, o princípio de Hamilton foi utilizado para a dedução da equação de moviment

se trata elementos nitos, a melhor utilização do princípio variacional é a Equação de Lagrange, (RA

Lagrangiano



250

Onde:j = 1,2,3..J

= energia cinética do eixo;

= energia potencial do eixo;

R = função de dissipação.

jq deslocamento nodal: jq → Þ Velocidade Nodal; j → é coordenada do elemento

Aplicando Lagrange à parcela de energia potencial do sistema obtém-se:

Usando a mesma análise realizada na seção anterior, podemos estabelecer a matriz de rigidez no pXZ.

•matriz de rigidez lateral tridimensional

Figura 7.9 Modelo de partição plana do rotor 3D

Procedendo de forma semelhante às seções anteriores, levando-se em conta que existe movimem dois planos independentes, XZ e YZ, e que o número de graus de liberdade dos elementos (coorgeneralizadas) é agora 8, podemos equacionar o rotor. Os planos XZ e YZ contêm os eixos principinércia da seção transversal.

O movimento e as forças nestes dois planos podem ser considerados independentes. Podemoque, se a matriz de rigidez do rotor é 8 X 8, é possível escrever esta matriz pela superposição de du

4 X 4.O deslocamento no plano XZ ( 8541 ,,, qquqqu yj xj yi xi

==== φ φ ) é independente do deslocamentoem YZ

matriz de rigidezlateral (Plano XZ)



251

O referencial móvel - XYZ - coincide com o sistema inercial no repouso (eixos principais de portanto os deslocamentos podem ser separados em dois grupos independentes de coordenadas generalido elemento, são eles:

Dessa forma podemos escrever a matriz 8X8, representativa da rigidez do rotor, no espaço 3D

É importante registrar que no universo da rotodinâmica, a matriz de rigidez é real simétrica epositiva. A matriz de rigidez admite os autovetores de corpo rígido, podendo ser semipositiva de ni

Os modos de corpo rígido, entretanto, não interferem na solução do problema de vibração.

7.2.5 Matrizes de massa/inerciais/giroscópica do rotor em YZ

• energia cinética de translação (Plano YZ)

Conforme equação anteriormente mostrada, pode-se escrever:

(translação);

(coordenadas cartesianas no plano).

Em coordenadas generalizadas podemos dizer que para um elemento:

A energia cinética do eixo em coordenadas generalizadas é:



252

A função de interpolação da velocidade é dada por:

Aplicando-se Lagrange a

Onde:

ρ = massa / unidade de volume; A = área da seção transversal;l = comprimento do elemento.

• matriz 3D de massa em translação

A matriz 3D abaixo é a matriz consistente de massa em translação sendo sempre simétrica e pde nida. Aqui também os dois planos são desacoplados.

Após a aplicação da Transformação de Lagrange às parcelas de energia potencial e cinética, ctomar forma a equação diferencial do rotor:

[ ] )(t q M eeT + [ ]( ) )(t q K ee = 0 (usada no problema de autovalor)

e → eixo; eT→ eixo/Translação; e → eixo



253

A mesma equação de movimento é escrita em 3D, para um sistema contínuo:

(problema de autovalor)

[ ] )(t q M eeT + [ ]( ) )(t q K ee = Q (problema de resposta dinâmica)

• matriz 3D de inércia rotatória do eixo (Plano YZ)

Conforme discutido, a energia cinética rotativa total de um eixo é:

EC= (coordenadas cartesianas)

Em coordenadas generalizadas podemos dizer que, para um elemento, a energia cinética rotatassociada é dada por T2:

aplicando a Transformada de Lagrange

• matriz 3D de inércia de rotação

A matriz 3D abaixo é a matriz consistente de inércia rotatória, e também simétrica e positiva Também aqui os dois planos são desacoplados.

Após a aplicação da Transformada de Lagrange à energia potencial e cinética, a equação hommovimento do rotor toma a forma:

e → eixo; eT→ eixo/Translação; eR→ eixo/Rotação



254

A mesma equação de movimento é escrita abaixo, em 3D (coordenadas cartesianas), que paracontínuo será:

• energia cinética de rotação do eixo (giroscópica)

A energia cinética associada ao efeito giroscópico é dada por T1:

Em coordenadas generalizadas, podemos dizer que para um elemento de eixo:

Aplicando-se Lagrange a esta energia cinética T1 surge a matriz giroscópica:

A notação mostrada nos permite a pronta montagem da matriz giroscópica 3D a partir da mainércia de rotação 3D.

Aplicando-se Lagrange a energia cinética W, surge a matriz giroscópica:

• matriz 3D giroscópica

A matriz 3D abaixo é a matriz giroscópica consistente, sendo anti-simétrica.Nesta expressão matricial vemos o vetor velocidade nodal multiplicando a matrizgiroscópica. No caso da matriz de inércia de rotação, a mesma está multiplicada pelo vetor a

nodal.

Após a aplicação da Transformada de Lagrange às parcelas de energia potencial e cinética, a homogênea de movimento do rotor ca deprimida.



Capítulo 8

MANCAIS HIDRODINÂMICOS



257

8 MANCAIS HIDRODINÂMICOS

Os eixos das máquinas são suportados por mancais, que normalmente são de rolamento ou dohidrodinâmico.

Nas turbomáquinas de grande porte os mancais hidrodinâmicos são preferidos por sua elevadcon abilidade e capacidade de incorporar amortecimento ao sistema.

Na rotodinâmica, os mancais destas máquinas são representados por um conjunto de molas e

amortecedores criteriosamente escolhidos e que conferem ao modelo matemático uma representaçãrealidade, conforme Figura 8.1a

Figura 8.1A: Sistema de Suportação do Rotor Amortecido

O princípio de funcionamento deste componente está associado às propriedades intrínsecas dminerais, que são capazes de construir lmes lubri cantes extremamente resistentes ao movimento Submete o eixo a um poderoso campo de forças que impede que o rotor se choque com as paredes

Na Figura 8.1b abaixo é apresentado um desenho esquemático, no qual mostramos de formasimpli cada este princípio de funcionamento. A espessura mínima do lme de óleo e o ângulo de associado ao ponto de equilíbrio estático do centro do eixo, podem ser deduzidos resolvendo-se a eqReynolds, em sua forma reduzida. Ela fornece a distribuição de pressão do lubri cante, que integrda superfície interna do mancal fornece a força resultante que deverá balancear a carga estática do

Na Figura 8.2A e 8.2B são mostrados um rotor real de um compressor e um desenho esquem

representa o modelo rotodinâmico deste rotor. Imaginando o rotor como uma massa suspensa pelospodemos discutir o movimento mais simples executado por um eixo.

Figura 8.1B: Suportação do Rotor no Campo de Pressão

O mapa das críticas do rotor real é mostrado na Figura 8.3 e tem a nalidade de apresentar odas Frequências naturais do rotor, quando o mesmo trabalha com diferentes mancais/rigidez dos ma



258

Figura 8.2A: Rotor do C5302 U-1530/REDUC

Figura 8.2B: Rotor do C-5302 Esquemático

A Figura 8.3 apresenta o primeiro modos de corpo rígido do rotor, e as distorções provocada variação da rigidez dos mancais. A linha em preto é uma representação simpli cada de como variamancais quando se varia a rotação de uma máquina.

Figura 8.3: Mapa das Críticas do C-5302



259

Figura 8.4: Primeira crítica do rotor do C-5302

8.1 PROPRIEDADES DOS LUBRIFICANTES

Um uido se deforma continuamente quando sujeito à tensão de cisalhamento. Newton foi oa propor que a taxa de deformação de um uido lubri cante é proporcional à esta tensão de cisalha(Fluidos Newtonianos).

Figura 8.5: Cisalhamento do Elemento de Fluido



260

8.1.1 Viscosidade absoluta e gradiente de velocidade

O gradiente de velocidade no elemento de uido lubri cante tem a direção do movimento.

Diversos lubri cantes como água, óleos minerais, ar e emulsões de petróleo são Newtonianos. lubri cantes não Newtonianos, frequentemente são considerados Newtonianos em pequenas faixas de

Figura 8.6: Tensão de Cisalhamento do Fluido

Caso o uido seja não Newtonianos, como em alguns lubri cantes, a inclinação não é constandepende da tensão de cisalhamento.



261

8.1.2 Viscosidade cinemática e densidade

Outra expressão da viscosidade é a viscosidade cinemática, de nida por:

Viscosidade absoluta (dinâmica) dividida pela densidade (no sistema S.I.).

8.1.3 Sistemas de unidades para viscosidade dos lubrifcantes

As unidades de viscosidade mais comumente empregadas estão no sistema internacional (S.Ioutros sistemas também sejam empregados como o CGS ou unidades inglesas.

A viscosidade absoluta é normalmente expressa em pascal-seg

A viscosidade cinemática pode ser expressa no sistema S.I. :

Em unidades Inglesas a viscosidade absoluta é normalmente expressa em:

O reyn vem do nome Oswald Reynolds porém na prática usamos o microreyn para a viscosidabsoluta dos lubri cantes.

A viscosidade cinemática pode ser expressa em unidades inglesas:

No sistema CGS a viscosidade absoluta é normalmente expressa em poise por causa de J.M.estudioso de uidos viscosos

Na prática se usa o centpoise (cp)

A viscosidade absoluta da água é

A viscosidade cinemática em CGS é expressa em Stokes, em lembrança de G.G. Stokes, gruido-dinamicista:



262

8.1.4 Conversão de unidades

Tabela 8.1: Conversão de unidades

Parameter SI Units (N-m-sec)

CGS Units (dyne-cm-sec)

British Units (lbf-in-sec)

Shear Stress Txy

N/m2 = Pa dyne/cm2 lbf/in2

Velocity Grad

du/dt

1/sec 1/sec 1/sec

Absolute Viscosity μ N-sec/m2 = Pa - sec MPa - sec = 106 Pa - sec

dyne - sec/cm2 = poisecP = 10-2 poise

reyn = lbf - sec/in2

μreyn = 10-6 reynDensity p N - sec2/m 3 dyne-sec2/cm4 lbf-sec2/in 4

Kinematic Viscosityv = μ/p

m2/sec stoke = cm2/seccS = 10-2 stokes

in2/sec



263

8.1.5 Medição da Viscosidade

a) A medição da viscosidade é feita com a ajuda de viscosímetros que podem ser do tipocapilaridade ou cilindro rotativo. Uma discussão rápida sobre estes métodos é importante

Viscosímetros de capilaridade ( saybolt ). O uido é forçado a escoar através de orifício calibrado emregime laminar, com pressão estática dada por altura pré-de nida e com controle de temperatura. Aé dada por:

O resultado nal é uma viscosidade cinemática em unidades CGS. Temperaturas típicas paraleituras são:

Figura 8.7 A e B: Viscosímetro Saybolt

O tempo de escoamento é chamado de Segundo Saybolt Universal (SSU) A gura 8.7b relaciona o Segundo Saybolt Universal com a viscosidade cinemática, sendo qu

verdadeira viscosidade cinemática é dada pela linha pontilhada. Abaixo de 40 SSU este método nãempregado.



264

b) Viscosímetro cilíndrico. Consiste de dois cilíndricos concêntricos completados com uos cilindros interno e externo, conforme Figura 8.8. O dispositivo trabalha submetendo o estado de cisalhamento puro e permite calcular a viscosidade absoluta.

O torque no cilindro interno é dado por:

Esta fórmula aplica-se a uidos em cisalhamento puro. Como no caso anterior, o controle detemperatura se faz necessário bem como o uso de correções nos resultados.

Seguem grá cos para avaliação da viscosidade absoluta e da viscosidade cinemática com a te

Figura 8.8: Viscosímetro Cilíndrico



265

Seguem grá cos para avaliação da viscosidade absoluta e da viscosidade cinemática com a te



266

8.2 TEORIA BÁSICA DE LUBRIFICAÇÃO

Discutiremos brevemente a teoria básica de lubri cação a partir da equação de Reynolds e eos mecanismos de formação da pressão de levitação do eixo, determinando sua rigidez e amortecim

É conveniente lembrar que se trata de uma abordagem teórica e que desejamos interpor um

lubri cante entre as superfícies que se movem para reduzir o atrito e evitar desgaste.O importante papel da viscosidade é percebido considerando-se duas placas paralelas, sendo outra deslocando-se sob aplicação da força P. As placas estão separadas por uma espessura de pelíc

As partículas de óleo aderem às superfícies. O cisalhamento das partículas através da películprovocado pela força P e a tensão cisalhante é τ = P/A, sendo Aa área molhada das placas

A tensão é proporcional à velocidade U da placa móvel e inversa à espessura h.

Figura 8.9: Cisalhamento do Fluido

τ = P/A A viscosidade dinâmica é a constante de proporcionalidade entre a tensão cisalhante e o grad

velocidade.

hU

A P =µ



267

Se a sapata xa for paralela à móvel, como na Figura 8.9 não existe sustentação.Se a sapata xa for inclinada como na Figura 8.10, o gradiente de velocidades varia ao long

seus diagramas não serão mais triangulares, todavia terão a mesma área (sem fuga).Surgirá então um impulso perpendicular ao movimento, gerado pela variação do gradiente de velo

do lme de óleo, conforme Figura 8.10.

Figura 8.10: Cisalhamento do Fluido em Planos Inclinados

8.2.1 Equação de Reynolds

A equação de Reynolds é deduzida do equilíbrio das forças no elemento in nitesimal confor8.11 abaixo, sendo adotadas as hipóteses simpli cadoras:

- Lubri cante Newtoniano;- Fluxo laminar;

- Viscosidade do lme invariante para carga e velocidades constantes;

- Inércia do uido desprezada;

- Campos externos desprezado (gravidade, magnético);

- Pressão do óleo constante (dimensão o,o1 mm);- Grandes curvaturas da superfície do mancal (paralelas);

- Deslocamento zero na interface uido sólido.



268

Figura 8.11: Equilíbrio do Elemento In nitesimal

Equação da continuidade:

o Z q

Y q

X q Z Y X

=∂∂

+∂∂

+∂∂

Z Y X qqq ,, Fluxo nas direções, X,Y,ZChegamos à equação de Reynolds 3D:

- U Velocidade em X - V Velocidade em Y - W Velocidade em Z

Fazendo W=0 (não existe movimento em Z) e

022 == V U (parados)

Derivando a multiplicação da última parcela obtemos:

Em um mancal V= 0 (peso próprio se anula no equilíbrio)

Fazendo o mancal curto, largura menor que o diâmetro, o pico de pressão atinge a pressão at(direção Z) antes da (direção X) e portanto ∂p/∂z é maior do que ∂p/∂z do primeiro termo, que desprezado e para carga estátic V = 0 teremos:



269

Figura 8.12 Per l de Pressão no Mancal

Como h é função apenas de x:

Após integração:

Para p = pa = 0 e a origem do sistema na metade de B (largura do mancal) , z varia de -B/2

Se dh/dx = 0 a capacidade de carga do mancal é zero A capacidade de carga do mancal (força de sustentação) é dada por:



270

8.2.2 Cálculo das pressões nos mancais (raio R e largura B)

Seja um eixo circular de raio R e velocidade angularΩ, girando em mancal de raios (R+f ) e largura Bna direção Z+.

As coordenadas do centro C do eixo, no referencial inercial centrado no centro O do mancal sc e Y z. A distância entre C e O é a excentricidade e.

Figura 8.13: Geometria do Mancal Radial

A equação exata de esmagamento do lme de óleo (redução da espessura do lme de óleo qusendo bombeado através da cunha) é obtida da Figura 8.13 acima e sua expressão é dada por:

( ) θ θ 222cos. sene f R Rehext −++−=Podemos escrevê-la a partir do triângulo acima:

Simpli cando esta expressão e desprezando os termos de segunda ordem f 2; e2; h2; ehteremos aaproximação plenamente aplicável:

( )θ ε θ cos.1cos. +=+= f e f h ,

Admencionalizando a equação completa: f e=ε (razão de excentricidade) e

R f f = :

( ) ( )

+

−−+= θ

θ cos.

11.

222

e f

sene f f f h ext

Na Figura 8.14 a cunha de lme de óleo azul é plani cada em função da coordenada θ na fuesmagamento (cor de terra), descrita pela equação:

( )θ ε θ cos.1cos. +=+= f e f h



271

Figura 8.14: Desenvolvimento do Filme de Óleo

Reescrevendo a equação de Reynolds em coordenadas cilíndricas, sendo X = Rθ e simpli cachegamos à equação:

∂∂+∂

∂+=

∂∂

∂∂

θ θ µ U Rhh

RU

V Z ph Z 2.6. 3

A partir do referencial cilíndrico xado no eixo, calculamos os vetores U e V, componente velocidade do ponto A no referencial cilíndrico:

Efetuando a derivação:

θ θ

sen f h

.−=∂∂

θ φ ε θ ε θ

sen f f U +=∂∂ cos

∂∂+∂

∂+=

∂∂

∂∂

θ θ µ U R

hh R

U V Z

ph Z 2.6. 3

Efetuando, considerando que h independe de z e desprezando f 2/R

( )[ ]3

2cos2..6

. h

sen f Z

p Z

θ φ ε θ ε µ Ω−+=

∂∂

∂∂



272

Integrando e aplicando as condições de contorno: (raio R e largura B)

−==

2 B

Z p p a ; ;

2

== B Z p p a

( ) ( )[ ]( )

a p B

Z f

sen f Z p +

−

+

Ω−+=4cos1

2cos2..3,

22

33θ ε

θ φ ε θ ε µ θ

Considerando-se uma carga estática0=ε e 0=φ a solução será:

( ) ( ) a p B

Z f

sen Z p +

−

+Ω−=

4cos1

...3,

22

32 θ ε

θ ε µ θ se π θ <<0

( ) o Z p =,θ (CAVITAÇÂO) se π θ π .2<<

Figura 8.15 A e B: Per l de pressão do Óleo no Mancal

8.2.3 Cálculo das Forças nos Mancais (raio R e largura B)

As forças calculadas no sistema móvel Fr e Ft podem ser transportadas para o sistema xo Fx e Fy .

∫ ∫−= π

θ θ 0

2

2

...cos. B

Br d Rdz p F e ∫ ∫−=

π θ θ

02

2

.... B

Bt d Rdz sen p F

Estas integrais foram calculadas por Sumerfeld, considerando-se a carga estática, ou seja,excentricidade constante e ângulo da força constante.

0=ε e 0=φ Nesta condições as forças no mancal serão:



273

Figura 8.16A: Forças sobre o eixo no Referencial Cilíndrico

O sinal negativo diz que a força radial está apontada na direção oposta da excentricidade.

Sendo: θ cos.w F r = e θ senw F t .= obtemos

O ponto de operação do centro do eixo dentro do círculo de folga C do mancal é fornecido peinterseção da trajetória de excentricidade com a linha do ângulo de atitude.

Caso a carga não seja estática, a posição do centro do eixo descreverá uma órbita em torno deposição de equilíbrio. Rearrumando a equação acima teremos do lado esquerdo o adimensional concomoNúmero S de Sommerfeld, que retrata características geométricas e operacionais do mancal .

A Figura 8.16B mostra com a excentricidade de um mancal cilíndrico varia com oNúmero deSommerfeld S:



274

Figura 8.16B:ε X Diagrama de Sommerfeld

Pode-se mostrar “teoricamente” que a posição do centro do eixo descreve uma trajetória circudo círculo de folga do mancal.

Figura 8.17: Lugar de Equilíbrio do Centro da Órbita

Precisamos explicar a divergência entre o modelo teórico e o comportamento real anteriormapresentado para um mancal cilíndrico.



275

Figura 8.18 A e B: Posição do Centro da Órbita teórica/real

8.2.4 Cálculo dos Coefcientes dos Mancais (raio R e largura B)

Para cálculo do coe ciente de rigidez e amortecimento aplica-se perturbação em torno do ponequilíbrio, no sistema cilíndrico, conforme mostrado na Figura 8.19 abaixo:

Figura 8.19: Pequena perturbações em torno do equilíbrio

Pequenas vibrações ),,,( φ ε φ ε em torno do equilíbrio ),( 00 φ ε produzem uma força

t t r r e F e F F .. +==

, em torno de ),( 00 φ ε :

X C KX F F −−= 0 (unidimensional)



276

(Plana)

Na gura anterior F’ é uma rotação de F.

Para pequenas perturbações 0≅∆φ , 1cos =∆φ e φ φ ∆=∆ sen

Procedendo algebricamente:



277

Logo,

.

Para obtermos estes coe cientes em coordenadas cartesianas aplicamos a seguinte transform



278



Capítulo 9

MANUTENÇÃO PREDITIVA



283

9 MANUTENÇÃO PREDITIVA

Introdução

Os custos de manutenção de uma planta são uma parte importante dos custos de produção.Dependendo do tipo de indústria, os custos de manutenção podem variar de 15% (indústria aliment(indústria pesada) dos custos totais de produção.

Pesquisas realizadas mostram que um terço de cada dólar pago em manutenção é desnecessárfrutos de procedimentos impróprios. A indústria americana gasta mais de US$ 200.000.000,00 em e este desperdício reduz a competitividade dos produtos americanos no mercado mundial.

Métodos de manutenção empregados na indústria

A prática tradicional de manutenção de máquinas na indústria pode ser agrupada, grosseiramentecategorias: corretiva , preventiva e preditiva manutenção corretiva (rodar até quebrar): em indústriamuitas máquinas baratas e com os processos críticos de fabricação duplicados, as máquinas normalmentfuncionam até quebrar. A perda de produção não é signi cativa e as máquinas reservas podem imed

dar continuidade à produção. Nesta situação, a medida de vibração não será de muita ajuda, visto qu vantagens econômicas ou de segurança em saber quando uma falha irá ocorrer.Existem, entretanto, casos de máquinas não duplicadas, ou processos não duplicados, ou aind

equipamentos de alto custo de reposição e críticos para o processo de fabricação. Nesses casos, é deimportância saber o que está indo mal e quando a falha está para ocorrer. Esta informação pode ser avaliação do grá co de tendência dos níveis de vibração, construído a partir de medidas regulares d

• Manutenção preventiva: onde máquinas importantes não são totalmente duplicadas ou onparadas inesperadas de produção podem resultar em grandes perdas, as operações de mansão frequentemente realizadas em intervalos de tempo xos. Este sistema é conhecido pomanutenção preventiva, ou mais corretamente, manutenção preventiva baseada no tempo.intervalos de serviço são determinados estatisticamente pelo período medido a partir do instaque as máquinas estão novas ou em condições normais de serviço, até o ponto crítico estapela equipe de manutenção (nível máximo de recurso humano e material para intervenção Trabalhando nesses intervalos, geralmente, acredita-se que a maior parte das máquinas devemsobreviver ao período do trabalho, entre intervenções. Nesse caso, espera-se que as falhasocasionalmente.

A experiência tem mostrado que na grande maioria dos casos, a manutenção preventiva baseatempo é antieconômica e não elimina a possibilidade de ocorrência de falhas inesperadas no períoda taxa de falha de muitas máquinas não é melhorada com a substituição regular de partes gastas. Pelfrequentemente a con ança nas máquinas recém-trabalhadas é reduzida, temporariamente, devido àhumana.

Como o padrão de falha real para cada máquina não pode ser predita, a manutenção preventivno tempo não pode ser e cientemente aplicada. Torna-se necessário, então, um método que particulmáquina, e esta é a tendência moderna aplicada à manutenção de máquinas, que é conhecida como mpela condição.

• Manutenção pela condição ou preditiva: este método considera cada máquina individualmsubstituindo a manutenção em intervalos xos pelo intervalo xo de medidas de vibraComo visto anteriormente, a vibração mecânica é um bom indicador do estado de funcion

(saúde) da máquina, e esta é a razão pela qual a medida de vibração é o principal parâmetutilizado em manutenção pela condição. A premissa instituída é a de que somente é recoma manutenção, quando as medidas indicarem que é necessária. Isto também está de acordoinstinto da maioria dos engenheiros que sabem que não é inteligente interferir em máquinas qestão funcionando suavemente.



284

Por meio de medidas regulares de vibração, falhas incipientes podem ser detectadas e seudesenvolvimento acompanhado. As medidas podem ser extrapoladas para predizer quando os níveisatingirão valores inaceitáveis e quando a máquina deve ser parada para manutenção. Isto é chamadoda tendência, e permite ao engenheiro planejar os reparos com antecedência. A manutenção pela c(preditiva) baseia-se na crença de que a monitoração regular da condição mecânica de um equipamesua e ciência operacional, garantirá um intervalo máximo entre paradas, reduzindo o número e o cuintervenções desnecessárias ampliando a con abilidade total da planta. O desenvolvimento de instbaseados em microprocessadores viabilizou o monitoramento das condições operacionais dos equipmecânicos. Com isso é possível a eliminação de reparos desnecessários e previsão de falhas catastró

Pesquisas feitas em 500 plantas americanas que implementaram a manutenção preditiva, apouma grande melhoria da con abilidade , disponibilidade e nos custos operacionais . Baseado nestaos custos normalmente associados à manutenção podem ser reduzidos em mais de 50%. A monitoradas condições de operação, podem reduzir as falhas catastró cas ou inesperadas em 55%. Reduçõesdestas falhas podem ser obtidas com um plano criterioso. A manutenção preditiva pode ainda reduzde reparo ou reconstrução dos equipamentos. A capacidade de predizer a falha da máquina e o modmesma permite reduzir o inventário de peças sobressalentes em mais de 30 %.

Companhias de seguro oferecem reduções importantes no prêmio do seguro de plantas que pprograma de manutenção preditiva baseados na condição de operação do equipamento.

A chave da manutenção preditiva é a análise de vibração e pode ser também usada para o recebimmáquinas novas, ou para a aceitação das mesmas após reparos, já que identi ca as anormalidades pr

9.1 BENEFÍCIOS DA MANUTENÇÃO PREDITIVA

9.1.1 Redução dos custos de manutenção 50 a 80%

O levantamento indicou que os custos reais normalmente associados com a manutenção foramreduzidos em mais de 50%. A comparação dos custos de manutenção incluía a mão de obra real eoverhead dodepartamento de manutenção, bem como o custo real de materiais de peças de reparo, ferramentas, e outequipamentos requeridos para manter o equipamento. A análise não incluía tempo de produção perd variâncias na mão de obra direta, ou outros custos que podem ser diretamente atribuídos a práticas de manutenção.

9.1.2 Redução de falhas nas máquinas 50 a 60%

A implementação de monitoramento regular das condições reais das máquinas e sistemas de reduziu o número de falhas inesperadas e catastró cas da máquina, em uma média de 55%. A compusou a frequência de falhas inesperadas das máquinas, isto é, em número e intervalo, antes da impledo programa de manutenção preditiva e a taxa de falha durante o período de dois anos após a introdmonitoramento de condições ao programa. As projeções dos resultados do levantamento indicam quobter reduções de até 90% nas falhas catastró cas usando-se monitoramento regular das condições máquina.

9.1.3 Redução do tempo de parada das máquinas 50 a 80%

Mostrou-se que a manutenção preditiva reduz o tempo real necessário para reparar ou recondos equipamentos da fábrica. A melhoria média em tempo médio para reparo, TMR, foi uma reduçãoPara determinar a melhoria média, os tempos reais de reparo, antes do programa de manutenção preditivforam comparados com o tempo real para reparo após um ano de operação usando técnicas de gerênde manutenção preditiva. Veri cou-se que o monitoramento regular e a análise das condições da máidenti caram o(s) componente(s) especí co(s) com falha em cada máquina, e habilitou o pessoal dea planejar cada reparo.



285

9.1.4 Redução de estoque de sobressalentes 20 a 30%

A capacidade em predeterminar as peças defeituosas para reparo, ferramentas, e as habilidades dede obra requeridas, garantiram a redução tanto em tempo de reparo quanto em custos. Os custos queestoque de partes sobressalentes foram reduzidos em mais de 30%. Ao invés de adquirir todas as pereparo para estoque, as plantas industriais pesquisadas tinham tempo marginal su ciente para encomas peças de reparo ou de substituição, conforme necessário. A comparação incluía o custo real de pe

sobressalentes, e os custos de realização dos estoques.9.1.5 Aumento na vida das máquinas 20 a 40%

A prevenção de falhas catastró cas e a detecção antecipada de problemas incipientes da máqde sistemas aumentaram a vida operacional útil do maquinário da planta industrial em uma média daumento da vida da máquina foi uma projeção baseada em cinco anos de operação, após implementprograma de manutenção preditiva.

O cálculo incluiu:

• frequência de reparos;• severidade dos danos da máquina;• condição real do maquinário após reparo.

Um programa de manutenção preditiva baseado na condição, evita danos sérios as máquinas e ousistemas da planta. Esta redução na severidade dos danos aumenta a vida operacional do equipamenevitando também a propagação de defeitos. Um benefício colateral da manutenção preditiva é a capautomática de estimar o tempo médio entre falhas, TMF. Esta estatística fornece os meios para se deo tempo mais efetivo em termos de custo para substituir maquinário, ao invés de continuar a absorver alcustos de manutenção. O TMF do equipamento da planta é reduzido cada vez que ocorre um grandeou recondicionamento. A manutenção preditiva reduzirá automaticamente o TMF sobre a vida da mQuando o TMF atinge o ponto que os custos de manutenção e de operação continuada excedem os substituição, a máquina deve ser substituída.

9.1.6 Aumento da produtividade 20 a 30%

Em cada uma das plantas pesquisadas, a disponibilidade de sistemas de processo foi aumentaimplementação de um programa de manutenção preditiva baseado em condição. A média de aumen

plantas foi de 30%. A melhoria relatada se baseou estritamente na disponibilidade da máquina, e nãrendimento melhorado do processo. Entretanto, um programa preditivo completo, que inclui monitoparâmetros de processo, também pode melhorar o rendimento operativo e, portanto, a produtividadede manufatura e de processo.

Um exemplo deste tipo de melhoria é uma indústria alimentícia, que teria tomado a decisão dfábricas adicionais para atender as demandas de pico. Usando várias técnicas de manutenção preditium aumento de 50% em sua produção, não necessitando, portanto, da construção de novas fábricas.

9.1.7 Melhoria na segurança do operador

O levantamento determinou que o aviso antecipado dos problemas da máquina e sistemas reduziurisco de falha destrutiva, que poderia causar danos pessoais ou morte. A determinação se baseou emcatastró cas, onde danos pessoais poderiam possivelmente ocorrer. Este benefício tem sido apoiadoempresas de seguro, que tem oferecido reduções em benefícios para fábricas que possuam, em andaprograma de manutenção preditiva baseada em condição.



286

9.1.8 Verifcação das condições do equipamento novo

As técnicas de manutenção preditiva podem ser usadas durante teste de aceite no local (comissionde máquinas novas) para determinar a condição de instalação do maquinário, equipamento, e sistemas dfábrica. Elas fornecem os meios para veri car a condição do equipamento novo comprado, antes deOs problemas detectados, antes do aceite, podem ser resolvidos enquanto o sistema está na garantia (ou antes da fatura ser paga) para corrigir quaisquer de ciências.

Muitas indústrias hoje exigem que todo equipamento novo inclua uma assinatura de vibraçãoreferência com a compra. Esta assinatura de referência é, então, comparada com a linha base tomado teste de aceite no local. Qualquer desvio anormal da assinatura de referência é base para rejeição. acordo, requer-se do vendedor corrigir ou substituir o equipamento rejeitado.

9.1.9 Verifcação dos reparos

A análise de vibração também pode ser usada para determinar se os reparos no maquinário exfábrica corrigiram ou não os problemas identi cados e/ou criaram comportamento anormal adicionsistema partir novamente. Isto elimina a necessidade de uma segunda parada, que muitas vezes é necorrigir reparos inadequados ou incompletos.Os dados coletados como parte de um programa de manutenção preditiva, podem ser usados paraprogramar paradas da fábrica. Muitas indústrias tentam corrigir maiores problemas ou programar rede manutenção preventiva durante as paradas anuais de manutenção. Os dados preditivos podem forinformações requeridas para planejar os reparos especí cos, e outras atividades durante a parada.

Um exemplo deste benefício foi uma parada de manutenção programada para consertar um “de bolas” em uma fundição de alumínio. Antes das técnicas de manutenção preditiva serem implemna planta, a parada normal necessária para revisar e consertar completamente o moinho era de três se o custo do reparo era, em média, de US$300.000. A adição de técnicas de manutenção preditiva coferramenta de programação de parada, reduziu a parada para cinco dias, e resultou numa economia total

US$200.000 (o custo passou para US$100.000).Os dados de manutenção preditiva eliminaram a necessidade de muitos dos reparos que, normalmteriam sido incluídos na parada de manutenção. Com base na condição real do “moinho de bolas”, enão foram necessários. A capacidade adicional de se programar os reparos necessários, juntar ferramrequeridas, e planejar o trabalho reduziu o tempo necessário de três semanas para cinco dias.

A manutenção preditiva tem melhorado substancialmente à operação global de ambas as fábrmanufatura e de processo. Em todos os casos pesquisados, os benefícios derivados do uso da gerêncem condição, tem compensado o custo de capital do equipamento necessário para implementar o progradentro dos três primeiros meses. O uso de técnicas de manutenção preditiva, baseadas em coletores tem reduzido ainda mais o custo operacional anual dos métodos de manutenção preditiva. Desta forqualquer fábrica pode obter implementação efetiva em custo, adotando este tipo de programa de gemanutenção.



287

9.2 TÉCNICAS USUAIS NA MANUTENÇÃO PREDITIVA

Embora a monitoração de vibração seja a técnica mais e caz empregada na manutenção prednão disponibiliza todas as informações necessárias a um bem sucedido programa. Outras técnicas taprecisam ser utilizadas.

Principais técnicas de manutenção preditiva:

• monitoração de vibração;• termogra a;• tribologia;• acompanhamento dos parâmetros de processo;• inspeção visual;• ultrassonogra a.

9.2.1 Monitoração de vibração

Esta técnica não é nova e usa a vibração gerada pelo equipamento para caracterizar a sua condDesde os anos 60, as petroquímicas e as plantas nucleares vem investindo pesadamente no

desenvolvimento de técnicas de identi cação de problemas incipientes em máquinas críticas.No início dos anos 80, a instrumentação e o ferramental analítico já estavam desenvolvidos. E

técnicas se mostraram extremamente acuradas e con áveis para detectar comportamentos anormaisturbomáquinas. Entretanto, nesta época, o custo destes equipamentos era demasiadamente elevado ejusti cava nas máquinas críticas.

Recentes avanços na fabricação de microprocessadores, aliado ao desenvolvimento da capacidiagnóstico dos instrumentos, permitiu a aplicação destas técnicas a todos os equipamentos com ba Atualmente a coleta é simpli cada, bem como o gerenciamento e a necessidade de especialistas já nmais.

Sistemas comercialmente disponíveis e de baixo custo fazem praticamente todo o trabalho emturbomáquinas. Qualquer deterioração em um equipamento mecânico pode ser facilmente veri cade documentada.

A vibração de nível total registra de forma simpli cada a “soma” do mau funcionamento de tcomponentes das máquinas.

A análise de espectro e a sua comparação com a assinatura da mesma (espectro básico para reidenti ca quais os componentes que se deterioraram e qual o grau de deterioração dos mesmos.

Treinamento é fundamental para que se tenham bons resultados na aplicação da manutenção Uma análise completa exige completo domínio de dinâmica das máquinas e de seus modos de falha

Medida de vibração como uma ferramenta para a manutenção

Uma máquina ideal não produz vibração elevada, pois toda a energia é canalizada para a exetrabalho a ser realizado. Na prática, entretanto, os elementos que compõem as máquinas, em geral, ientre si e devido à presença de atrito, ação de forças cíclicas etc., dissipam energia na forma de calo vibrações.

Um bom projeto deve apresentar bom rendimento, ou seja, baixo nível de dissipação de calorde ruído e baixo nível de vibração. De uma forma geral, as máquinas novas, quando bem projetadasesses requisitos. Entretanto, com o desgaste, acomodação de fundações, má utilização, falta de manas máquinas têm suas propriedades dinâmicas alteradas. Dessa forma, os eixos tornam-se desalinhacomeçam a se desgastar, os rotores tornam-se desbalanceados, as folgas aumentam. Todos esses fatre etidos na diminuição de rendimento e consequentemente, no aumento do nível de vibração. Essasão dissipadas pela estrutura da máquina e no seu caminho, excitam ressonâncias e provocam esforçmancais. Causa e efeito se realimentam, e a máquina progride em direção a sucessivas falhas.



288

No passado, os engenheiros de manutenção eram capazes de reconhecer, pelo toque ou audição, suma máquina estava funcionando suavemente ou se estava caminhando para uma falha. Atualmentepossível por, no mínimo, três motivos:

• a relação pessoal entre o homem e a máquina não é mais economicamente viável;• as máquinas são construídas para funcionar automaticamente com o mínimo de intervenção h• a grande maioria das máquinas modernas operam em velocidades tão elevadas, que são necessári

instrumentos apropriados para detectar e medir as vibrações e suas frequências.

O nível de vibração como indicador da saúde da máquina

Como já vimos, vibração é normalmente um subproduto destrutivo da força cíclica transmitidde uma máquina, que provoca desgastes e aceleração da ocorrência de falhas. Os elementos de máqresistem a essas forças, por exemplo, os mancais, são normalmente acessíveis pelo lado externo da monde a vibração resultante pode ser medida.

Enquanto as forças de excitação permanecerem constantes, ou variarem dentro de limites, o n

vibração medido, também permanecerá constante ou dentro de limites similares. Para a maioria dasa vibração tem um nível típico e seu espectro de frequência tem um formato característico, quando aestá em boas condições. Este espectro de frequência, que é um grá co da amplitude em função da fré conhecido como “assinatura” da máquina e é obtido analisando-se em frequência o sinal de vibraçmáquina.

Quando as falhas começam a se desenvolver, o processo dinâmico na máquina sofre alteraçãomodi cações no quadro de forças presentes, in uenciando, assim, o nível de vibração e a forma dofrequência.

O fato de que os sinais de vibração carregam muita informação, relativa à condição da máquina, épara o uso regular da medida e análise de vibração, como um indicador da tendência da saúde da má

necessidade de manutenção.Sistemas de instrumentação baseados em medidas de vibração

Os sistemas de instrumentação para a monitoração periódica de vibração podem ser classi ca3 níveis: medidor de vibração de nível global (sem ltro), medidor de vibração com análise de frequ

ltro) e analisadores de frequência por Transformada de Fourier.

Medidor de vibração de nível global (sem ltro)

O medidor de vibração de nível global é um instrumento capaz de medir o valor global de vibraçã(pico ou RMS), em uma extensa faixa de frequência, que depende das normas e padrões aplicáveis. funcionamento, este instrumento mede a vibração total resultante da ação de todas as frequências prsinal de vibração, dentro da faixa considerada. As medições são comparadas com padrões gerais (n valores de referências estabelecidos para cada máquina. A condição da máquina é assim avaliada noo mínimo de dados.

Este tipo de medidor deve ter a capacidade de medir o valor RMS ou valor de pico de velociddeslocamento e, em alguns casos, aceleração, sobre uma faixa de frequência de 5 Hz a 5.000 Hz. Emde falta de valores de referência, as leituras de velocidade em RMS podem ser diretamente comparacritérios de severidade de vibração normalizados, que podem indicar a necessidade de manutenção.

O medidor de vibração de nível global é um instrumento com grande capacidade de detecção de mfuncionamento de máquinas, porém possui capacidade limitada para a identi cação e diagnóstico, testas que devem ser realizadas por medidores de vibração com análise de frequência ou analisadore Transformada de Fourier.



290

A utilização desse tipo de instrumento permite que seja levantado o espectro de frequência depara cada ponto de medida denominadaassinatura da máquina ou baseline . Dessa forma é possível compararespectros de frequência de máquinas sob suspeita com seus espectros de referência, identi car as alrelacioná-las com as frequências características de falhas dos diversos elementos de máquinas, e assao diagnóstico.

Transdutores de vibração e parâmetros de medida.

Os sinais de vibração são captados através de sensores denominados transdutores. Os principtransdutores utilizados em Programas de Manutenção pela Condição são:

• transdutores de deslocamento;•transdutores sísmicosPick-ups de velocidade e acelerômetros piezelétricos.

Enquanto os transdutores de deslocamento relativos são melhores para algumas aplicações escomo monitoração de vibração de eixos, os transdutores sísmicos, que medem a vibração absoluta, ttornado bastante popular na monitoração da condição de máquinas em geral. Os transdutores de des

relativo, tais como os sensores deedgy current ou de proximidade, embora tenham uma faixa de frequência qupode ser estendida até 10.000 Hz. Na verdade, somente podem ser efetivamente utilizados em baixa visto que os harmônicos mais elevados normalmente apresentam amplitudes de deslocamento tão reduzpraticamente não podem ser detectadas por esse tipo de transdutores.

Entre os transdutores sísmicos, os acelerômetros piezelétricos tem se tornado, recentemente, utilizados para a medida de vibração de máquinas por apresentarem uma curva de resposta em frequmuito superior do que os pick-ups de velocidade combinadas com dimensões razoavelmente reduzidas. Aldisso, esses transdutores são robustos e apresentam uma maior durabilidade (não possuem partes mos torna indicado para o rigor do trabalho diário de coleta de dados. Como em muita situação de motornam-se necessárias medições de frequências bem acima de 1000 Hz, combinadas com amplitudeextremamente elevadas, o acelerômetro piezelétrico é a única escolha.

Com uma instrumentação baseada no uso de acelerômetros, o usuário ca livre para escolheraceleração, velocidade ou deslocamento, com parâmetro de medida, bastando para isso que o medid vibração possua circuitos integradores, que transformam sinais proporcionais à aceleração do movimen vibratório em sinais proporcionais à velocidade e ao deslocamento. Com essa liberdade de aplicaçãengenheiros tem por hábito, diferentes preferências na escolha do parâmetro mais adequado para a de vibração. Vamos, entretanto, analisar a questão a partir de um ponto de vista puramente técnico.

Existe de fato uma relação matemática muito simples entre as curvas de aceleração, velocidaddeslocamento, tal que, o valor da amplitude, a qualquer frequência, em cada uma das curvas, é realiintegração eletrônica nos medidores de vibração.

Isto também signi ca que componentes de frequência nesta curva necessitam uma alteração rmenor para que comece a in uenciar nos níveis de vibração global. A maioria dos componentes dacurvas precisam sofrer uma alteração muito grande para conseguir in uenciar o nível de vibração g A conclusão é que, de uma maneira geral (e especialmente quando utilizando instrumentos simples quefornecem leituras simples sobre uma faixa de frequência), o espectro mais plano é o parâmetro que detecções de falhas mais cedo. Este parâmetro é tipicamente velocidade. Mas pode, em alguns casoaceleração, especialmente onde vibrações de alta frequência são particularmente interessantes, comexemplo, em mancais de rolamento e redutores. Por outro lado, se é sabido que as falhas a serem moocorrem principalmente em baixa frequência, como é o caso de turbomáquinas, deve-se escolher o deslocamento.

Em sistemas de medição baseados em acelerômetros, o medidor de vibração ou pré-ampli ca

associado, normalmente, já inclui circuitos de integração, tal que os parâmetros de medida, tanto ac velocidade ou deslocamento, possam ser escolhidos simplesmente através de acionamento de uma s



291

Critérios de severidade e avaliação dos níveis de vibração

Muitos engenheiros começam usando um dos critérios de vibração padronizados (norma) compara julgamento da condição de máquinas. Algumas Normas, como ISO 2372, especi cam limites dque dependem apenas da potência da máquina e do tipo de fundação. Muitos critérios de aplicação baseados na medida do valor RMS da velocidade de vibração, sobre um faixa de 10 a 1000 Hz, embmostre que é possível encontrar muitas componentes importantes em frequências mais elevadas.

Embora os valores absolutos sugeridos por esses critérios não sejam sempre relevantes, eles súteis por indicarem o signi cado de vários graus de aumento dos níveis de vibração. Por exemplo, a2372, mencionada previamente, indica que um aumento da ordem de 2,5 vezes (8 dB) no nível de vuma alteração signi cativa no estado de funcionamento da máquina. Esse aumento, na verdade, corlargura de uma classe de qualidade. Por outro lado, o aumento de um fator de 10 vezes (20 dB) é gramáquina com essa alteração pode passar da classi cação “não permissível”.

Esses fatores de aumento de vibração, como especi cado pelo critério mencionado, aplicam-sàs medidas em nível RMS, mas muitos anos de experiência têm provado que eles também podem separa a avaliação de componentes individuais de frequência, obtidas pela análise de frequência.

As medidas de vibração na superfície do elemento de máquina re etem as forças cíclicas quesendo transmitidas naquele ponto. A medida da velocidade real de vibração é proporcional não apenenvolvidas, mas também à mobilidade da estrutura naquele ponto.

Mobilidade é a medida da tendência da estrutura em ser colocada em movimento (inverso da mecânica). O espectro de frequência resultante é resultado da multiplicação, ponto a ponto, do espede excitação pelo espectro da mobilidade.

Não é, portanto, recomendável olhar apenas para os picos de nível mais elevado. No espectro vibração, valores reduzidos também contêm informações sobre alterações de forças. As característimobilidade das máquinas normalmente não se alteram signi cativamente com o tempo, tal que, podque, se o nível de vibração num ponto, numa determinada frequência, dobrar, o nível de força tambédobrado naquele ponto e naquela frequência.

A mobilidade pode diferir signi cativamente de uma máquina para outra, de maneira que ummais con ável da condição da máquina é obtida por alterações relativas, isto é, especi cando abaseline dereferência ou nível de referência e permitindo um fator xo de alteração para representar uma modiestado de funcionamento.

Muitos anos de experiência têm con rmado que este método pode ser utilizado para a maiorimáquinas. A prática tem mostrado que para componentes de frequência até 1000 Hz, um aumento d(8 dB) deve ser considerado uma alteração signi cativa na condição necessitando de investigação, ede 10 vezes ( 20 dB) a partir da condição de referência signi ca a necessidade de reparo imediato cpela Norma ISO e outros critérios. Para componentes de frequência acima de 4000 Hz, esses fatorecautelosamente ser aumentados para 6 vezes ( 16 dB) e 100 (40 dB).

Comentários sobre a diagnose de falha

Tendo reconhecido que o aumento do nível de vibração normalmente indica o desenvolvimento duma falha, o engenheiro da planta precisa então localizar a falha num elemento particular da máquide vibração de nível global fornecem muito pouca informação que ajude a identi car as falhas. A mfator de crista mencionada anteriormente pode isolar a falha em um mancal de rolamentos de bolas Entretanto, somente com o espectro de frequência será possível obter o diagnóstico preciso da falhadesenvolvimento.

Procurar falhas em máquinas, em geral, envolve um trabalho de detetive. O espectro de frequconstitui a pista principal, que é o aumento do nível de vibração em uma ou mais frequências conhe

é análogo a uma impressão digital na cena do crime, tudo que é necessário agora é que o detetive compaimpressão digital com as impressões dos criminosos conhecidos. Na diagnose de falhas de máquinaequivalente a conhecer as frequências de vibração características de uma possível falha, e encontrarcoincidem com as frequências que sofreram aumento nas componentes.



292

Isto implica no estudo inicial das especi cações e desenhos de engenharia para cada máquinaum plano esquemático e registrar nele as características geométricas e dinâmicas do equipamento, tanúmero de pólos do motor, as velocidades de rotação, número de dentes das engrenagens, os dados rolos do mancal de rolamento etc. Através de cálculos simples, estes dados são convertidos nas freqcaracterísticas que compõem o espectro de frequência esperado no caso de desenvolvimento de falh

As tabelas de identi cação de falhas, apresentadas na página seguinte, listam as falhas mais csuas frequências características em função da velocidade de rotação.

Monitoramento permanente de vibração em máquinas

Todos os sistemas de monitoração de vibração de máquinas discutidos anteriormente neste artigotêm sido baseados em cheques periódicos da condição. Entretanto, uma técnica muito parecida, monpermanente de vibração, também constitui um papel signi cativo na e ciência do controle de manuplanta. Como o nome sugere, este tipo de sistema de monitoração de vibração é permanente e é empem máquinas especí cas. A monitoração permanente é empregada principalmente para dar avisos ide uma alteração repentina na condição de máquinas de custos elevados e não duplicadas, cuja continuid

operação é vital para o processo de produção. As falhas são detectadas imediatamente, ou dentro deda ocorrência e dispara alerta ou um sinal de alarme na sala de controle da planta, tal que medidas apossam ser tomadas antes que falhas catastró cas ocorram. Esses sistemas são largamente empregaindústrias de geração de energia, petroquímica e usinas nucleares, em turbinas, bombas de alimentação dcaldeiras, compressores de gás, bombas de refrigeração do núcleo de reatores etc.

Um requisito principal de todos os sistemas de monitoração permanente é a con ança operacextremamente alta, a estabilidade e imunidade à condições ambientais adversas e irregulares que pofalsos alarmes. Projetos mecânicos rigorosos, capazes de operar em condições de umidade e poeira,com testes ambientais de acordo com a norma MIL, geralmente satisfazem a esses requisitos. Instrurobustos, tais como acelerômetros, cabos e caixas de junção que podem também trabalhar em tempeelevadas, são disponíveis para essas aplicações. Esses sistemas tipicamente incluem sistemas de testtal que o operador da planta pode imediatamente veri car se uma instrumentação como um todo e oalarme está funcionando corretamente. Normalmente, esses sistemas devem ser intrinsecamente segserem aplicados em áreas sujeitas a explosão ou incêndio.

No caso da existência de muitos pontos de medidas, por economia, tornam-se necessários, a ade módulos multiplexadores conectados em um único módulo medidor. Nesse caso, o multiplexadocontinuamente pelos canais escolhidos, parando em cada canal por um período de tempo antes de passarautomaticamente para o próximo. Atualmente, muitos desses sistemas estão disponíveis com comunmicrocomputadores compatíveis IBM, tal que os pontos de medida são continuamente monitoradosos dados registrados automaticamente em disquetes, para serem analisados quando necessário. Alémmicrocomputadores, quando devidamente programados, podem realizar diversos tipos de análise de vibrdependendo do tipo de equipamento ou do sintoma que este equipamento vem apresentando.



293

9.2.2 Termografa

Termogra a é uma técnica de manutenção preditiva que pode ser usada no monitoramento deturbomáquinas.

Embora o per l de temperatura de cada equipamento tenha a sua dinâmica própria (é in uenctemperatura ambiente, pela temperatura da água e pelas condições de processo) é sempre possível ado estado de deterioração de um equipamento a limites máximos de temperatura em alguns de seus

termogra a oferece os meios para identi cação destes pontos.Em muitos casos estes limites cam encobertos e não podem ser plenamente caracterizados,encontrarem dentro da faixa normal de operação do equipamento. Nestes casos, teremos a falha antpossamos identi car algum alarme por temperatura elevada.

Em turbomáquinas a monitoração de temperatura de algumas de suas partes, como os mancaié muito útil na determinação do estado de saúde destes componentes.

A termogra a tem larga margem de aplicação em equipamentos como: chaves elétricas, subeelétricas e sistemas de refrigeração de equipamentos.



294 Tabela 9.1: Tabela de identi cação de falhas

Tipo de defeito Freq. predominante ObservaçõesDesbalanceamento 1 x N Causa mais comum de

problemas de vibração emmáquinas. (Predominante nadireção radial)

Desalinhamento 1 x N Sempre

2 x N Comumente3&4 x N Raramente

Segunda principal causa devibração em máquinas.(Direção radial e axial)

Defeitos em rolamentos (Bolas, rolos, etc.) N = número de elementosrodantesfr = rotc. relat. entre pistas int. eexterna.PD = diâm. primitivo BD = diâm. da pista

Frequência de impactos doselementos do rolamento.Vibração, também em altasfrequências (2 a 60 khz)relacionadas com ressonânciadas pistas dos rolamentos.

Níveis de vibração aleatórios,com características de choques.Frequência de impactos (Hz):Defeito na Pista Externa (BPFO): Defeito na Pista Interna (BPFI):Defeito nos elementosrodantes.

Folga entre mancais ealojamento

Sub-harmônicos exatos darotação do eixo: (1/2 ou 1/3 x N)

“Oil Whril” Aproximadamente metade darotação do eixo (42% a 48% x N)

Aplicável apenas a mancais dedeslizamento, em máquinas dealta rotação.

“Oil Whip” Frequências de engrenamentodos dentes (N x N) e harmônicosNd = Número de dentes

Aplicável apenas a mancais dedeslizamento em máquinas comvelocidade de rotação superiora duas vezes a velocidade críticado eixo.

Defeitos em Engrenagens Frequências de engrenamentodos dentes (Nd x N) eharmônicos Nd = Número dedentes

Bandas laterais em torno dafrquência de engrenamentoindica modulação nafrquência correspondenteao espaçamento entre asfrequências das bandas laterais.

Folgas mecânicas Múltiplos da velocidade derotação do eixo

Sub-harmônicos, em algunscasos.

Vibração devido a correias Múltiplos da velocidade

de rotação da correia eharmônicos.Máquinas alternativas Múltiplos da velocidade de

rotação do eixoVibração em motores elétricos 1 x Nel

1 x Nrot 60 e 120 Hz

Vibração com característicade batimento, devido àproximidade entre a velocidadede rotação do eixo e avelocidade de rotação do campomagnético.

.



295

As ferramentas de termogra a mais comumente usadas são:

• termômetro infravermelho

Capaz de caracterizar temperaturas de superfícies, e tem custo inferior a US$ 1000.00. É muialimentar/complementar programas de manutenção preditiva baseado em vibração.

• scanners infravermelho.Úteis na identi cação de distorções não usuais em sistemas em geral, sendo seu custo aproxim

US$ 8.000.00.

• fotogra as infravermelho

Mais adequados para painéis elétricos e são capazes de fazer uma leitura ampla em uma únicacusto aproximado é de US$ 60.000,00.

9.2.3 Tribologia

Este é um termo genérico que faz referência a problemas de projeto ou de operação em sistemfricção e, particularmente em nosso caso, em sistemas de suspensão de rotores (mancais e lubri caç

Diversas técnicas de tribologia são úteis na manutenção preditiva:

• análise do óleo lubri cante, espectogra a, ferrogra a e análise de partículas de desgaste

Até recentemente as análises de tribologia eram lentas e caras, eram feitas em laboratórios co

exigindo grande especialização dos analistas.Sistemas microprocessados são hoje disponíveis e podem fazer automaticamente a maioria das ando óleo e análises espectrográ cas, reduzindo o esforço e a habilidade necessárias e o custo das aná

As principais consequências da aplicação da espectrogra a do óleo são:

• redução dos inventários de óleo;• ampliação do tempo de troca do óleo;• controle da qualidade do equipamento através da manutenção pela condição.

Os óleos empregados em sistemas dielétricos, sistemas hidráulicos ou em sistemas de lubri cser periodicamente analisados para caracterização de sua condição e para de nição, quanto a atenderequisitos necessários para continuar o serviço.

Com os resultados destas análises podemos colocar aditivos no óleo, de forma a permitir quecontinuem em operação aumentando o tempo entre trocas de óleo, racionalizando os estoques de ólbaixando os custos de manutenção.

Os resultados econômicos só serão expressivos se um criterioso programa de acompanhamenamostragens de óleo for implementado para cada equipamento. Tipicamente 12 testes são realizadoamostragens periodicamente recolhidas:

• A propriedade mais importante é a viscosidade, e a mesma é comparada com a viscosida virgem. Baixas viscosidades reduzem a espessura do lme de óleo, criando condições parmetal/metal. Viscosidade muito elevada impede que o óleo alimente completamente o matambém criando condições para falha;

• A contaminação com a água ou outros uidos de arrefecimento é outro item de grande imna preservação do equipamento, e exige uma elevada resolução na capacidade de análise;



296

• A diluição de combustível ou qualquer outro uido utilizado no processo, também precisacompanhada, já que reduz a e cácia da lubri cação. A diluição máxima aceitável precisde nida;

• Contaminantes sólidos são medidos em percentagem de massa ou volume, e são semprecausa de grande preocupação, principalmente quando apresentam algum salto em seu valo

• A presença de cinzas do combustível no óleo é um importante indicador da e ciência dequeima, e pode ser caracterizado através da análise de infravermelho;

• A oxidação do óleo produzirá corrosão das partes internas do equipamento e deve ser connão ocorrerá enquanto existir aditivo antioxidante no óleo;

• Compostos de nitrogênio provenientes da queima aumentam a acidez do óleo e favoreceoxidação. Devem, portanto, ser mantidas abaixo de determinados níveis aceitáveis;

• TAN - Total Acid Number é usado para identi car a acidez do óleo e deve ser monitoradfrequentes pela comparação com o óleo novo;

• TBN - Total Basic Number indica a habilidade que o óleo tem para neutralizar a sua acid TBN baixo indica óleo inadequado, tempo demasiado entre trocas de óleo ou muito enxofcombustível/produto;

• Contagem das partículas é diferente da análise de desgaste das partículas, e é particularmaplicável em sistemas hidráulicos. Caso este número esteja elevado, signi ca que estamosdesgaste anormal, que pode estar sendo gerado por orifícios entupidos. Não tem nenhumapreocupação com o tamanho ou formato das partículas;

• A análise espectrográ ca permite conhecer os elementos estranhos que estão sendo incorao óleo com o uso. Só é capaz de tratar partículas menores que 10 micra, para partículas moutra técnica deve ser utilizada;

• A análise de desgaste das partículas sólidas pode revelar o componente que está sendo dee a severidade do desgaste. Uma máquina em bom estado terá baixo nível de sólidos com inferior a 10 micra. A deterioração do equipamento aumenta este número bem como o tadas partículas.

A análise da partícula permite determinar se ela é resultado de:• Roçamento, corte, resultado de fadiga por rolamento, combinação rolamento e deslizamedeslizamento severo.

Somente roçamento e fadiga de rolamento podem produzir partículas de tamanho predominanteminferior a 15 micra. Podemos diagnosticar o tipo do problema pelo aspecto da partícula encontrada

Roçamento em mancais

Ocorre quando o óleo está muito contaminado ou quando o funcionamento do equipamento eprejudicado. O salto do número de partículas de roçamento é um bom indicativo de falha eminente.

Cavacos

Ocorrem porque alguma coisa anormal está produzindo arrancamento de material, ocorre emdeslizamentos severos, com contaminantes abrasivos. São indicadores fortes de falha eminente.

Fadiga de rolamento

Pode produzir três tipos de partículas distintas: partículas esféricas, pedaços ou partículas lamPartículas esféricas precedem os pedaços, e as laminares são aquelas que foram esmagadas pelo rola



297

Desgaste combinado por roçamento e deslizamento

Ocorre nos casos de sobrecarga em dentes de engrenagens. Grandes pedaços de superfície deefeito de fadiga. Não há partículas esféricas em redutores.

Severo deslizamento

É causado por sobrecargas em sistemas de engrenagens. Nestes casos são encontradas partícumaiores no óleo. Para a análise de partículas com tamanho superior a 10 micra devemos usar a ferro

9.2.4 Ferrografa

É uma técnica de análise de resíduos sólidos, obtidos a partir de uma amostra de óleo e partícde tamanho superior a 10 micra, e que usa um campo magnético para separar os sólidos do óleo ( nespectrogra a a separação é obtida por queima). Por causa do uso de campo magnético a ferrograpara partículas ferrosas ou magnéticas.

A ferrogra a pode tratar particulados de 10 a 100 micra e pode prover/tratar o óleo de forma representativa quanto à contaminação total do óleo por partículas sólidas.

Um programa de manutenção preditiva completamente suportado pela análise tribológica tempontos cruciais, o custo do equipamento, capacidade de produção de amostras de óleo representativsubjetividade da interpretação dos dados coletados.

Custo do equipamento

O capital investido para a análise espectrográ ca é elevado e não se justi ca a aquisição de umespectrógrafo pela planta. Um sistema de espectrogra a simpli cado pode custar de US$ 30.000,060.000,00 e por isso geralmente ocorre a terceirização desta atividade.

Uma análise de óleo simpli cada pode custar de US$ 30,00 a US$ 50,00 e contempla: viscos fash point , insolúveis totais, TAN, TBN, contaminação combustível/ uido, contaminação com água.

Uma análise mais completa que inclua a técnica de ferrogra a /espectrogra a, contemplandodistribuição de partículas, pode custar US$ 150,00.

Capacidade de produção de amostras de óleo representativas

A amostragem é crítica para o sucesso do programa, tanto na frequência quanto na escolha doamostragem a qual deve car no retorno do sistema de óleo. Geralmente uma amostragem por mês para turbomáquinas.

9.2.5 Acompahamento dos parâmetros de processo

Na maioria das plantas a e ciência dos equipamentos não é considerada uma responsabilidadmanutenção. Entretanto, equipamentos que não estejam operando com e ciência aceitável limitam a produtividade da planta. Portanto, um programa de manutenção preditiva completo não pode deixcontemplar estes fatores.

É plenamente possível que em um cenário de processo uma bomba esteja operando com suasdentro de seus limites aceitáveis, com a temperatura do motor e dos mancais dentro dos limites aceitáveseu rendimento reduzido a metade, sem que a preditiva possa identi car o problema. Ine ciências dcomo essa são sérias limitações para o fator operacional das plantas; seu impacto negativo na produe na lucratividade da planta geralmente é superior ao custo total da manutenção. Sem um acompanhcuidadoso destes parâmetros, a maioria das plantas é incapaz de detectar estas anormalidades tão fr



299

A grande maioria dos monitores ultrassônicos não permite o armazenamento de dados, eles apenaa capacidade de indicar o nível total do ruído dentro de uma banda de frequência, sendo seu custo bUS$1000,00 a US$ 8000,00), usado na detecção de vazamentos com pouco treinamento.

Considerando-se o baixo custo do equipamento e sua facilidade de uso, e ainda que os vazamsão potencialmente danosos para a produção, podemos perceber a importância destes instrumentos programa de manutenção preditiva.

Muitos equipamentos ultrassom são vendidos como elementos de monitoração de mancais dee esta não costuma ser uma boa aplicação para os monitores ultrassônicos.

Embora as frequências naturais das esferas de um rolamento caiam dentro da faixa ultrassônié considerada uma técnica válida para a determinação do estado do rolamento. Em uma máquina tíoutros elementos das máquinas também gerarão ruído dentro da faixa ultrassônica.Geer mech frequence , blade pass

frequence e ainda outros componentes irão criar energia e ruído, que não poderão ser separados do rest

O único método realmente válido e comprovado para determinar a condição especí cade um componente de uma máquina é a análise de vibração.

Muitas outras técnicas não destrutivas podem ser usadas para a identi cação de problemas inem equipamentos. Estas técnicas são usadas na con rmação de modos de falha identi cados pelas tusuais de manutenção preditva. Entre elas podemos citar: emissões acústicas,edgy-current , partículas magnéticas emuitos outros métodos.

9.3 ESCOLHENDO O SISTEMA DE PREDITIVA

Neste momento precisamos escolher o software e o hardware que melhor se adequam ao nossoprograma de manutenção preditiva. As plantas exigem uma combinação de vibração termogra a eo sistema deverá suportar a implementação de todas estas técnicas.

Não existe tal sistema e deveremos, portanto, decidir quais as técnicas que serão implementadNa prática, normalmente são empregados mais de um sistema, de tal forma que permitam a monitoração

de vibração, de performance, termogra a em bases limitadas e possivelmente as inspeções visuais.plantas com muitos trocadores de calor e com grandes números de equipamentos elétricos, um programacompanhamento da imagem térmica pode ser desejável.

Os recursos necessários para estabelecimento de um programa deste tipo consiste de quatro homecoletor de dados, um servidor e alguns programas de computador.

O sistema a ser usado deverá ter no mínimo os requisitos abaixo:

• Usar softwares e hardwares simples e amigáveis, já que na maioria dos casos o pessoal disponão possui habilidades especiais na áreas de informática. Sistemas complexos e com grancapacidade de diagnóstico devem ser evitados, já que correm o risco de não aceitação pelacom sérias consequências para a e cácia do projeto;

• A aquisição automática de dados é fundamental para eliminar o risco de erro humano eautomatização da coleta de dados de vibração, performance e outros. Deverá ser capaz dee coletar dados sem a ação humana ou limitando a sua ação ao menor número de operaçõpossíveis;

• O gerenciamento automático é importante já que a quantidade de dados é grande e precisa po acompanhamento das variáveis sobre a forma detrend , store e recallde dados de muitas formasdiferentes para permitir a análise dos equipamentos cobertos pelo programa. Alguns sislimitam muito as análises de trend e isto não é bom para o programa;



300

• Flexibilidade é necessária, já que as máquinas são diferentes e é preciso muita criatividaque todas elas possam ser incluídas no mesmo programa. Como um mínimo deverá ser caapresentar e armazenar amigavelmente dados de vibração e performance para múltiplas aDeverá performar a análise do sinal, análise de banda estreita, assinatura de alta resolução partransdutores comerciais. Sistemas com transdutores cativos são pouco adequados.A habilcálculo associada a coleta é uma característica extremamente desejada, permitindo a moda e ciência do equipamento;

• Con abilidade é uma propriedade fundamental para o sucesso do programa, já que a codos resultados só faz sentido se forem todos toados na mesma base;

• A precisão dos dados coletados pelo sistema é vital para o bom funcionamento do programa,as tomadas de decisão precisam ser feitas em bases precisas minimizando o risco de erro, e tanto a acurácia e a repetibilidade dos dados é fundamental.

O treinamento e o suporte técnico serão muito importantes para permitir o sucesso do prograO treinamento deverá contemplar a habilitação no uso do sistema, e o aperfeiçoamento nos conhecimenespecí cos inerentes em cada uma das técnicas utilizadas no programa. Na prática, poucos terão esconhecimento e nenhum conhecerá o sistema que será comprado para viabilizar a preditiva.

Muitos dos fabricantes destes sistemas são especializados em software e hardware e tem popossibilidade de fornecer treinamento e suporte técnico, e sem isso será difícil a obtenção de bons resno programa.

A comparação técnica dos sistemas precede a decisão de custos, já que ele se propõe a coisasOs sistemas de vibração são relativamente equivalentes em preço, porém alguns permitem uma análise mcompleta com avaliação de performance, termogra a, inspeção visual e ainda outras facilidades, ennão.

O principal custo associado ao sistema é o custo operacional do programa, o qual exclui o custode manutenção da equipe durante longos períodos além de seus custos de treinamento e aperfeiçoamento seu custo de aquisição. Um programa de coleta totalmente automatizado tende a baixar os custos o

A especialização requerida para operação do sistema pode ser reduzida com o uso de

equipamentos automáticos de aquisição, todavia a atividade de análise requer pessoal altamente quabem treinado como pré-requisito para o sucesso do programa. A precisão do equipamento de coleta de dados é uma característica particular que independe do

operador. A eliminação das decisões necessárias na coleta de dados é outra característica que aumendo programa. Sistemas automáticos deverão trabalhar com médias para evitar a inclusão de dadoO sistema deverá identi car os dados espúrios e rejeitá-los.

Alarmes e alertas. O sistema deverá avisar ao usuário de forma clara toda vez que ocorrer algumalarme. Deverá ser capaz de identi car as mudanças inerentes ao processo e não caracterizá-las commuito útil a monitoração despectros de vibração neste sentido, já que ele separa de forma clara o que é problee o que é consequência de variação operacional.

Memória de dados. Deverá ser su cientemente grande para permitir uma análise em bases lotempo, para todas as suas variáveis armazenadas. Deverá possuir pilhas de dados para dados recentebanco de dados de longa duração.

A capacidade de comunicação do sistema com o servidor deverá ser rápida e de alta con abilDeverá ainda permitir acesso remoto a partir de vários terminais. Muitos sistemas apresentam constdi culdades de comunicação através das redes corporativas das empresas, inviabilizando o acesso dinteressados. É muito importante que todos os sistemas integrados possam ser gerenciados a partir dplataforma universal, como os PCs / WINDOWS, sem restrições.



301

9.4 PLANEJANDO O PROGRAMA DE PREDITIVA

Muitos programas de manutenção preditiva são abortados nos três primeiros anos, porque os não são muito bem estabelecidos. Para ser bem sucedido o programa precisa ser quanti cado e podeo seu custo benefício. Um programa de manutenção preditiva não deve ser considerado com desculaquisição de sistemas caros e so sticados, ou para se manter em ocupação parte do pessoal da plan

O sucesso de um programa de manutenção preditiva está ligado ao desenvolvimento de uma equip

seja plenamente a nada com os objetivos pretendidos, esteja bem treinada e funcione como um acuexperiência pretendida.

A priorização das tarefas que agregam maior efetividade ao programa deve ser um dos objetivospretendidos pela equipe, sendo este um dos pontos mais importantes do trabalho.

Monitorando apenas o nível global ou fator de crista, um homem pode monitorar até 1500 pomês. Realizando a análise de espectro apenas nos casos em que os grá cos de tendência indicarem acondição normal, um homem pode cobrir várias centenas de pontos monitorados por mês.

Os equipamentos monitorados pelo programa de manutenção preditiva deverão ter a sua criticidade nida a partir de critérios de nidos como:

CLASS I - São aqueles equipamentos que param a produção em caso de falha e nestes casosmonitoraçãoon-line é recomendada;

CLASS II - São aqueles equipamentos que reduzem a produção em mais de 30 % nos casos dnestes casos a monitoraçãoon-line também pode ser recomendada;

CLASS III- São aqueles equipamentos que não representam risco para a produção em caso destando, entretanto, associados a perdas importantes (reduz a produção ou custo elevado de manutençãonestes casos a monitoraçãooff-line é recomendada;

CLASS IV - São aqueles equipamentos que não representam risco para a produção nem perdimportantes. Nestes casos deve-se conviver com a falha.

Uma vez selecionadas as máquinas a serem monitoradas, os pontos de medida são identi cadpreparados para a xação fácil do transdutor de vibração. Nas máquinas que necessitam análise de fnuma faixa maior do que o habitual, tais como redutores, compressores de parafuso e alguns casos dde rolamentos, os pontos de xação devem ser preparados para uma xação adequada dos transdutofunção da resposta dos sensores em alta frequência.

O tempo médio normal de operação entre falhas para uma máquina indicará os intervalos permedida. Pelo menos seis medidas devem ser planejadas para este período, para dar uma capacidade razoável. Em média, um intervalo entre medidas da ordem de um mês é bastante razoável. Entretantde equipamentos críticos para a operação ou equipamentos com velocidade de rotação muito alta, o inteentre medições deve ser reduzido. Existem, inclusive, equipamentos que devem ser monitorados coa partir de monitores de vibração permanentemente instalados. Normalmente inicia-se o programa intervalos reduzidos e conservativos. Após a implantação, esses intervalos são modi cados, conform

experiência adquirida com as medições.É recomendável que, ao implantar-se o programa, ou cada vez que uma máquina seja reparada, selevantado o espectro de frequência para todos os pontos pertencentes à máquina, para servirem de rpara as medidas futuras.

Estabelecimento da base de dados

Como ponto de partida, todas as assinaturas de vibração deverão ser colhidas para cada equipNum segundo momento, novas leituras deverão ser feitas com grande

frequência até o estabelecimento de um volume razoável de informações dentro da base de da

o estabelecimento desta base a frequência de coleta de cada máquina dependerá de sua classi cação



302

Caso algum equipamento apresente alta taxa de deterioração durante o acompanhamento, a mdeverá decidir entre o reparo imediato ou o aumento da frequência de medição, objetivando a eliminfalhas catastró cas. Taxas elevadas de medição reduzem o risco de falha catastró ca e elevam as chsucesso da preditiva.

O programa pode aumentar a sua e cácia com a introdução de parâmetros auxiliares, tal com gap,temperatura, parâmetros de processo amostragem de óleo, inspeção visual. A amostragem de óleo equipamentos deverá ser feita em bases mensais, e a análise de partículas do óleo, sempre que for ne

O passo seguinte é o desenvolvimento, através da observação dos parâmetros que são mais sido processo de deterioração do equipamento. Com a observação será possível estabelecer os limitedo sistema.

Sensores de deslocamento são muito úteis para de nição da posição do eixo, sua faixa de freq vai de 600 a 60000 rpm. São caros e podem custar mais de US $ 100,00 por ponto e só devem ser umáquinas Class I.

Sensores de velocidade são projetados para medições na carcaça e são adequados para espessperdida com a vibração indesejável são, porém, pouco acessíveis a danos mecânicos.

Os detalhes das características dinâmicas de cada máquina, tais como velocidade de rotação d velocidades críticas dos eixos, ressonâncias, número de elementos rotativos dos mancais e suas dimnúmero dos dentes das engrenagens etc., devem ser registrados.

Isto possibilita que seja levantado um quadro de diagnóstico de referência para cada máquinadevem ser relacionadas às principais componentes de frequência que devem ser pesquisadas durantede vibração, assim como os níveis admissíveis globais ou por componentes. Essas informações podarmazenadas em disquetes para que sejam consultadas, sempre que necessário.

)/(8.9)( 2 seg m N Pesom =

Razão para falha do programa

Todas as 500 fábricas pesquisadas possuíam programas de manutenção preditiva com sucessocentenas de outras empresas que não tem obtido sucesso. Muito embora a manutenção preditiva seja

loso a comprovada, muitos programas falham. A razão predominante é a falta de planejamento e gerência que são críticos para um programa bem sucedido.

Tem-se recomendado também um treinamento das pessoas envolvidas no programa, por empresade treinamento que possuam instrutores com experiência comprovada. Muitas vezes, este treinamenpor vendedores de equipamentos que tem como objetivo principal vender o equipamento; e não, enstécnicas preditivas. Existem bons cursos de Manutenção Preditiva, Análise de Vibrações envolvenddiagnósticos, e também cursos especí cos como Vibrações em Motores Elétricos, Balanceamento dIsolação e Controle de Vibração.

Um bom investimento em treinamento reduzirá substancialmente o risco de falha de um programmanutenção preditiva.



Referências



305

REFERÊNCIAS

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