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Diseñemos las acciones de atención educativa Materia: Matemáticas Grado: Primero A y B

Tema y Fecha opcional de

entrega

Actividades Elementos de Evaluación

Envió de actividades al correo: [email protected] Dudas, aclaraciones y retroalimentación al WhatsApp: 33 2794 5168

Classroom:

1A 5vnvpuo 1B bim3j45

Video clase para trabajar las actividades 01, 02 y 03

09 de Noviembre (Actividad 01)

De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 16 Expresiones algebraicas y ecuaciones De las pág. 46 y 47 Anexas al presente documento

Registro de actividad para evaluación continua


De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 17 Balanzas en equilibrio y ecuaciones De las pág. 48 y 49 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 18 Otras propiedades de la igualdad De las pág. 50 y 51 Anexas al presente documento




De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 19 Dibujos a escala De las pág. 52 y 53 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 20 Más del doble, pero menos del triple De las pág. 54 y 55 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 21 Mas dibujos a escala De las pág. 56 y 57 Anexas al presente documento




De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 22 Reglas de correspondencia I De las pág. 58 y 59 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 23 Reglas de correspondencia II De las pág. 60 y 61 Anexas al presente documento


mailto:[email protected]


De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 24 Puntos en el plano De las pág. 62 y 63 Anexas al presente documento




De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 25 La grafica también informa De las pág. 64 y 65 Anexas al presente documento


02 de Diciembre (Actividad 11)

De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 26 No cuanto, sino que parte De las pág. 66 y 67 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 27 Terrenos sembrados De las pág. 68 y 69 Anexas al presente documento




De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 28 1% y 10% De las pág. 70 y 71 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 29 IV A y otros porcentajes De las pág. 72 y 73 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 30 Problemas de porcentaje De las pág. 74 y 75 Anexas al presente documento




De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 31 Estructuras con triángulos De las pág. 76 y 77 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 32 Triángulos posibles o imposibles De las pág. 78 y 79 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 33 Tiempo frente al televisor De las pág. 80 y 81 Anexas al presente documento



11 de Enero De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 34 Registro de

(Actividad 19) Niveles de contaminación por ozono De las pág. 82 y 83 Anexas al presente documento

actividad para evaluación continua

13 de Enero (Actividad 20)

De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 35 Temperaturas máxima y mínima De las pág. 84 y 85 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 36 Multiplicar y dividir entre 10, 100, 1 000 ... De las pág. 86 y 87 Anexas al presente documento




De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 37 Técnicas para multiplicar decimales De las pág. 88 y 89 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 38 La incógnita en un solo miembro De las pág. 90 y 91 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 39 La incógnita en ambos miembros De las pág. 92 y 93 Anexas al presente documento




De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 40 Problemas diversos De las pág. 94 y 95 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 41 Copias de copias De las pág. 96 y 97 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 42 Bicicleta con cambios de velocidad De las pág. 98 y 99 Anexas al presente documento



01 de Febrero (Actividad 28)

De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 43 Otros engranajes De las pág. 100 y 101 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 44 Costos de producci6n De las pág. 102 y 103 Anexas al presente documento


05 de Febrero De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 45 Registro de

(Actividad 30) Autom6viles en carretera De las pág. 104 y 105 Anexas al presente documento

actividad para evaluación continua



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 46 Recipientes con agua De las pág. 106 y 107 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 47 ¡Vámonos de excursión! De las pág. 108 y 109 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 48 Mosaicos De las pág. 110 y 111 Anexas al presente documento




De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 49 Símbolos en lugar de palabras De las pág. 112 y 113 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 50 Construcción de sucesiones De las pág. 114 y 115 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 51 Diferentes pero equivalentes De las pág. 116 y 117 Anexas al presente documento




De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 52 El barandal I De las pág. 118 y 119 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 53 El barandal II De las pág. 120 y 121 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 54 ¿Cuánto suman? De las pág. 122 y 123 Anexas al presente documento



01 de Marzo (Actividad 40)

De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 55 ¿Posible o imposible? De las pág. 124 y 125 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 56 Medidas de rectángulos De las pág. 126 y 127 Anexas al presente documento



De tu libro de texto, leer, desarrollar y contestar la lección 57 Unas formulas surgen de otras I De las pág. 128 y 129 Anexas al presente documento


Fin de segundo bloque

DESCUBRO MAS La ecuaci 6n que planteaste al final de Ia actividad 2 sirve para encontrar cuanto vale n, es decir, cu:il es el numero que va en Ia cas ilia roja. M:is adelante aprender:is a resolver este tipo de ecuaciones.

ME COMPROMETO

Au nq ue no conozca un

metoda para resolver J un problema, siempre i ntento descu brir Ia so luci6n.

. 46

Secuencia 5

Leccion 16. Expresiones algebraicas y ecuaciones

~· 1. Analiza la informacion y responde o haz lo que se pide.

a) Expresa, en lenguaje algebraico, el perimetro del rectangulo (x representa la medida de uno de los !ados).

b) Considera que el triangulo es equil:hero y expresa algebraicamente su perimetro.

c) ,:Como se expresa algebraicamente que el perimetro del triangulo es igual al del rectangulo?

6

X

2. En la piramide, cada numero de una casilla corresponde a la suma de los dos de arriba.

Sin representa el numero en la casilla roja ...

a) ,:cual es la expresi6n algebraica del numero

en la casilla azul (p)? ________ _

b) ,:y Ia expresi6n algebraica del numero en Ia

casilla verde ('!)? __________ _

c) ,:Que ecuaci6n relaciona las dos expresiones anteriores con el n\imero de la casilla inferior (182)?

3. De nuevo, cada numero de una casilla corresponde ala suma de los dos de arriba.

a) Representa algebraicamente el numero en la casilla roja. _______ _

b) ,:Cual es Ia expresi6n algebraica del numero en la

casilla azul? --------------

c) ,:Y Ia expresi6n algebraica del numero en Ia casilla

verde? ________________ _

d) ,:Que ecuaci6n relaciona las dos expresiones anteriores con el numero de la casilla inferior (137)?

43 ? 24

137

NWnero, algebra y variaci6n • Ecuaciones

4. Anota lo que falta en la segunda columna de la tabla.

Expresi6n c:n lenguajc: comun Expresi6n en lc:nguajc: algebraico

El doble de un numero

El triple de u n n umero, mas cinco

La mitad de un numero

Un tercio de un numero, menos ocho

El doble de un numero, m:is el mismo numero

Un numero mas su mitad

El costo de un libro, menos veinte pesos

El costo de una camisa, menos 20% del costo

5. Completa la tabla. Anota, en la primera columna, las expresiones algebraicas de Ia actividad anterior. Para obtener la ecuaci6n de la segunda columna, iguala la expresi6n a alg\in valor que tU inventes. Finalmente, resuelve cada ecuaci6n para obtener las soluciones de la tercera columna. El primer rengl6n esta resuelto.

Expresi6n algebraica Ecuaci6n Soluci6n

2n 2n = 20 n = 10

En grupo y con ayuda del profesor, valida tus resultados. Si sucede que dos o mas compafleros formularon la misma ecuaci6n, deben tener la misma soluci6n (sino se equivocaron al resolverla).

DESCUBRO MAS (.Entre cu:into debo dividir un nil mero para obtener su 50%?, i.Y para obtener su 20%?

MAS IDEAS En el ejemplo resu elto, Ia expresi6n algebra ica (2n) representa el doble de un numero (n); Ia ecuaci6n indica que el doble del n umero es 20 y

Ia soluci6n de Ia ecuaci6n nos dice que el numero es 10.

47 •

masa: cantidad de materia que tiene un cuerpo (medida

en kilogramos).

MAS IDEAS En el habla cotidiana, llamamos "peso· a Ia masa de un objeto, aunque en realidad son conceptos fisicos distintos; por ejemplo, una persona tiene Ia misma mas a en Ia Tierra que en Marte, pero pesa menos en el planeta ro jo.

• 48

Secuencia 5

Leccion 17. Balanzas en equilibria y ecuaciones

1. Trabaja en equipo. En cada balanza, averigtien y anoten Ia masa del objeto que tiene forma de pentagono de tal forma que la balanza este en equilibrio.

Balanza A Balanza B

Balanza C Balanza D

Balanza E Balanza F

2. Escriban, para cada balanza de la actividad anterior, una ecuaci6n que represente la relaci6n entre ambos platillos. Uamen x a la masa del objeto que tiene forma de pentagono.

Balanza A: __________ _ Balanza B: _________ _

Balanza C: __________ _ Balanza D: __________ _

Balanza E: __________ _ Balanza F: __________ _

Con sus compafieros y con ayuda del profesor, validen las ecuaciones que plantearon. Asimismo, revisen cuales se pueden simplificar y expliquen la forma en que pueden hacerlo. Despues, comenten Ia siguiente informacion .


Se Haman tenninos de una ecuaci6n a las expresiones que van separadas por el signo de suma (+) o el de resta (- ); mientras que los miembros de una ecuaci6n son las dos expresiones separadas por el signo de igual (=).

Por ejemplo, Ia ecuaci6n x + 1 + 10 = 1 + 15 tiene en total cinco terminos (x, 1, 10, 1, 15). Los tres que estan a Ia izquierda del signo = constituyen el primer miembro de Ia ecuaci6n; los que estan a Ia derecha, el segundo miembro.

Una manera de simplificar Ia ecuaci6n anterior consiste en sumar algebraicamente los terminos en cada miembro: x + 1 + 10 = 1 + 15; x + 11 = 16.

Otra manera de simplificar es restando un mismo numero en ambos miembros (es equivalente a quitar Ia misma masa en ambos platillos de una balanza). En Ia ecuaci6n x + 11 = 16, podemos restar 11 en ambos miembros y quedaria asi: X + 11 - 11 = 16 - 11; X = 5.

3. Trabaja en equipo. Contesten o hagan lo que se indica.

Balanza G Balanza H

a) ,:Que pasa si quitas una x de cada plati11o de Ia balanza?

b) ,:Que pasa si quitas 10 kg de cada platillo?

c) ,:Cual es Ia masa (x) de cada objeto pentagonal en Ia balanza G? ____ _

d) ,:Cual es Ia masa (n) de cada objeto pentagonal en Ia balanza H? ____ _

e) En su cuaderno ...

• escriban Ia ecuaci6n que representa Ia relaci6n entre ambos platillos para cada balanza.

• simplifiquen las ecuaciones hasta que descubran cuanto vale Ia incognita (x on).

f) ,:Coinciden los valores de x y n del inciso anterior con sus respuestas de los

incisos c) y d)? -----------------------

En grupo y con ayuda del profesor, validen sus respuestas. En particular comenten si coinciden las respuestas de a) y b) con las de c); si no es asi, averigtien en que se equivocaron y corrijan.

MAS IDEAS Si se quitan (o agregan) masas ig ual es en ambos plat i llos de una bala nza equ il ibrada, el equilibria se mantiene.

DESCUBRO MAS Si se restan (o suman) numeros iguales en ambos miembros de una ecuaci6n, Ia igualdad no se altera. iOue sucede con Ia igualdad si se multiplican o dividen por e I mismo numero ambos mi em bros? LTampoco se altera?

49 •

ME COMPROMETO

AI a prender una teen ica nueva para resolver un problema, no me limite a memorizarla, sino que me esfuerzo por com prender por que funciona.

Secuencia 5

Leccion 1s. Otras propiedades de la igualdad

(• 1. Completa Ia tabla con base en Ia informacion de las balanzas.

X

A

B

c

D

Balanza A

Balanza C

Ecuacion

X+ X+ X= 15

Ecuacion simplificada

3X= 15

Balanza B

~ ,.L. lOkg 1 kg 1 kg

Balanza D

Comprobacion

X=5 3(5) = 15

Con tus compaiieros y con ayuda del profesor, revisa los resultados de Ia tabla. Vean si simplificaron correctamente las ecuaciones y comenten que hicieron para encontrar Ia solucion. Despues, analicen Ia informacion del recuadro.

I La ecuacion 3x = 15 significa "tres veces xes igual a 15" o "tres por xes igual a 15". Para encontrar el valor de Ia incognita, se dividen ambos miembros de Ia ecuacion entre tres: 3; = 1i. TI:es por x entre tres es igual a x, 15 entre 3 es igual a 5; por tanto, Ia solucion es x = 5.

(• 2. Aneta en los recuadros lo que corresponde; despues, haz lo que se indica.

Y = X + 4 I L-------.-----'Ecuaci6n 1

a) Asigna valores a x y y en Ia ecuacion 1 para que se cumpla Ia igualdad. Anotalos aqui:

Sumar 3 en ambos miembros de Ia ecuaci6n y simplificar

..

L------,.f-----'' Ecuaci6n 2

• so

Multiplicar por 2 ambos miembros

'--------.----.....1' Ecuaci6n 4 • Restar 10 en ambos miembros

•I I Ecuaci6n 3

X= __ ; y= __

b) Verifica que los valores que asignaste en Ia ecuacion 1 tambien son solucion de las ecuaciones 2, 3 y4.


1. Responde con base en la figura. Considera que los triangulos son equilateros.

a) (Que expresi6n algebraica corresponde al

peri metro del cuadrado? ------

b) Representa algebraicamente el peri metro de

uno de los triangulos. -------

c) (Que expresi6n algebraica representa el pe-

rimetro de los cuatro triangulos? ___ _

d) Expresa algebraicamente el perimetro de la

figura completa. ________ _

2. Resuelve los siguientes problemas.

a) El doble de un numero mas el mismo numero es igual a 543. <.Cual es ese numero?

b) Por el costo de una mesa, mas el costo del traslado, me cobran $872.00. El mueb le cuesta el triple que el traslado. <.Cuanto cuesta la mesa y cuanto, el traslado?

3. Analiza la informacion y responde.

Niza pag6 $435.00 por imprimir un libro. Los costos de la impresi6n se muestran en el a nuncio.

a) Escribe una ecuaci6n que sirva para saber cuantas paginas tiene el libro de Niza.

b) Resuelve la ecuaci6n que escribiste.

Costo por impresi6n

$3.00 por pagina

$75.00 por las cubiertas

c) <.Cuantas paginas tiene ellibro? ____ _

DESCUBRO MAS (Como expresarias en lenguaje comun Ia ecuaci6n 2x + x = 30?,(y Ia ecuaci 6n 2(x + x) = 30?

51 •

SECUENCIA

6 Aprendizaje esperado:

Calcu Ia val ores fa ltantes en problem as de

proporcionalidad directa.

<Para que se usan los I dibujos a escala?

DESCUBRO MAS Ellado 8 de Ia copia 5 m ide 3 u n idades mas que el I ado 8 de I orig ina I (9 contra 6).£Esto significa que las medidas de Ia copia 5 se obtienen sumando 3 a las de Ia orig ina I?

DESCUBRO MAS En Ia figura original, D mide lo doble que C. <Sucede lo mismo en las demas capias?

• 52

Proporcionalidad directa Leccion 19. Dibujos a escala

~ 1. Luis hara seis copias a diferente escala del croquis que se muestra.

Considera la tabla para contestar las preguntas, perc no calcules todavia las medidas faltantes.

a) ,:Que copias seran mas grandes que el dibujo original?

b) De esas, .:cual sera la copia mas grande?

c

B

A Ar~as verdes D

Estacionamiento

Centra commial

E

@ Valida las respuestas con un compaiiero. Comenten como identificaron la copia mas grande.

~ 2. Calcula las medidas de los lades de las copias 1 y 5, y an6talas en la tabla.

3. Dibuja, en papel cuadriculado,las copias 1 y 5 a partir de las medidas que calculaste en la actividad anterior.

a) En el dibujo original, E es igual ala suma de A y B . .:Esto sucede en tus copias?

b) En el dibujo original, C + D = A + B . .:Ocurre lo mismo en tus dos copias?

Situs copias 1 y 5 no cumplen con las caracteristicas anteriores, en grupo averigua d6nde esta el error y corrigelo.

NWnero, algebra y variaci6n • Proporcionalidad

( • ) 4. Una manera de calcular Ia medida de C en Ia copia 5 es Ia siguiente. Primero se calcula a cuanto corresponde en Ia copia una unidad de Ia figura original y luego se +multiplica ese numero por el factor adecuado.

a) Completa el diagrama y las dos oraciones.

• Ellado B rnide 6 unidades en

el dibujo original y __ uni

dades en Ia copia 5.

• Ellado C mide unida-

des en el dibujo original y __

unidades en Ia copia 5.

Dibujo original Copia 5

r-~---- · 6 4 -r/JI>" 9 -................ ..

+ 6 : ' '"----·

--· r .........

' x 4 :

1

"' ---- ~ 4

: +6 '

~o~:---· --....... '

D : x 4

-+ · ----4

5. Anota, en la tabla, a cuanto corresponde en cada copia una unidad del dibujo original.

2

6. Anota, en Ia tabla de Ia actividad 1,las medidas de las copias 2, 3, 4 y 6. Dibuja las copias en papel cuadriculado.

A partir de las copias que dibujaste en esta actividad, valida tus respuestas considerando las preguntas de la actividad 1 (que copias serian mas grandes que la original y cual seria la mayor de todas). Si hay discrepancias, aseg\irate de entender en que te equivocaste y corregir el error.

7. Los arnigos de Luis le tomaron una fotografia mientras estaba parado al pie de Ia estatua de un importante personaje de su comunidad.

a) Aproximadamente, ,;cuantas veces es mas grande Ia estatua que Luis?

b) Si Luis tiene 13 aiios de edad yes de estatura media, ni muy alto ni muy bajo, ,;cuanto estimas que puede medir?

c) ,;Cual es Ia altura aproximada de la estatua?

DESCUBRO MAS Saber a cuanto corresponde en Ia copia una un idad de Ia figu ra original facilita ca lcu lar todas las medidas de Ia copia.

53 •

factor de escala: n u mero que al multiplicarse por una medida de Ia fig ura

original, arroja Ia medida correspondiente de Ia copia.

• 54

Secuencia 6

Leccion2o. Mas del doble, pero menos del triple

(• 1. En Ia tabla, escribe las medidas que calculaste en Ia lecci6n anterior y contesta las preguntas que aparecen despues. Por el memento, deja vacia Ia columna de Ia co pia 7.

a) ,:En que copia los !ados miden el doble que los del dibujo original? ___ _

_____ ,:Cual es el factor de escalade esta copia? ___ _

b) ,:En que copia los !ados miden el triple que los del modele original? ___ _

,:Cual es su factor de escala? ____ _

c) ,:Que copia esta entre las dos anteriores, es decir, es mayor que una de elias,

pero menor que Ia otra? _____ _

d) Los !ados de Ia copia 2 miden mas del doble que los del dibujo original, pero menos del triple. Por tanto, a partir de esto se deduce que el factor de escala agranda mas del doble, pero menos del triple.

,:Cual es ese factor de escala?

Con base en Ia informacion del recuadro, valida tu respuesta anterior. Verifica que todas las medidas de Ia copia 2 se obtienen a partir de ese factor de escala (puedes usar calculadora).

I En Ia copia 2, a cada unidad del dibujo originalle corresponden 2 j unidades. Es decir, el factor de escala de Ia copia es 2 j o 2.5.

NWnero, algebra y variacion • Proporcionalidad

2. Anota, en Ia tabla de Ia actividad 1,los factores de escala de las copias 2 a 6.

3. El factor de escalade una nueva copia ~a 7) es 0.25. Anota dicho factor en Ia tabla de Ia actividad 1.

a) Indica si Ia copia 7 es mayor, menor o igual que el dibujo original y explica como lo averiguaste.

b) Completa los siguientes metodos para calcular cuanto mide en la copia 7 el lado que en la figura original mide 6 unidades.

Metodo 1

Como el factor de escala es ___ ,a cada unidad de la figura originalle correspon-

den 0.25 unidades en la copia. Entonces, a 6 unidades de la originalle corresponden

___ veces 0.25 unidades en la copia, es decir, 6 x ___ = ___ .

Metodo 2

Como el factor de escala es 0.25, todas las medidas de la copia son 100

de las

originales. Por tanto, ellado original de 6 unidades debe medir 100 de 6 en la

copia, o bien, simplificando, __ de 6, es decir, __ .

c) Calcula las demas medidas de la copia 7 y anotalas en la tabla de la actividad 1.

li En grupo y con ayuda del profesor, valida los resultados de las actividades 2 y 3. Com en ten la siguiente informacion.

Si un factor de esc ala es ~. entonces ...

• a cada unidad de la figura originalle corresponden ide unidad en la copia;

• cualquier medida de la copia equivale a ~de la medida original.

r.) 4. Ordena los factores de escala, desde el de la copia mas pequefia hasta el de la mas grande.

X 1.2 X 1.19 X 0.8 X 0.75 x2 x3 x£ 3

xi 4

DESCUBRO MAS lCu:into calculas que mide el pescado?

55 •

MAS IDEAS Un dibujo a escala debe tener Ia m ism a forma que el original. Por ejemplo, si en Ia figura original una medida es el doble de otra, lo m ismo debe suceder en las capias. Esta propiedad permite detectar cal cu los 0 trazos mal hechos en los dibujos a escala.

• 56

Secuencia 6

Leccion 21. Mas dibujos a esc ala

1. Se haran cinco copias a escala del dibujo que se muestra. En la tabla 1 se indican varias medidas del original y una medida de cada copia. Antes de calcular las medidas que faltan en la tabla, responde las preguntas.

a) ,;Que copia sera lamas pequeiia? ---------

2C6molosabes? ______________ __

b) 2Que copia sera lamas grande? ---------

2C6molosabes? _______________ __

c) Dos copias saldran del mismo tamaiio. ,;Cu:iles son?

----- 2Porque? ____________ _

Tabla 1

2. En parejas, propongan una forma de calcular todas las medidas de la copia 1. An6tenlas con lapiz en la tabla 1.

a) Las medidas del dibujo original cumplen las siguientes tres relaciones. Verifiquen si sucede lo mismo con las medidas que ustedes calcularon.

• ,;Ellado A mide lo doble que ella doD? --------------

• ,;Ellado C mide lo triple que ellado D? -------------

• ,;Ellado B mide lo doble que ellado E? -------------

b) En la siguiente pagina, se explican dos metodos para calcular las medidas de la copia 1. Completenlos.


Metodo del factor de escala

Metodo del valor unitario

Dado que 4 es t de 3, el factor de esca-Ia es t· Este factor se a plica a todas las medidas.

Consiste en calcular Lado A 4 3

cuanto corresponde a una unidad de la figura original en la Lado B 10

copia 1. Si a 4 unida- Lado C 6 des le corresponden 3, ,:cuanto corres- Lado D 2

ponde a una? Lado E 5

c) Verifiquen que las medidas que se obtienen con los dos metodos sean las mismas. Vean tambien si coinciden con las que ustedes encontraron. En caso de que no sea asi, busquen el error.

d) Calculen las medidas de las demas copias y an6tenlas en la tabla 1. Verifiquen que se cumplan las tres relaciones del inciso a). Anoten tambien todos los factores de escala en la tabla 1.

Validen con sus compaii.eros las medidas y los factores que anotaron en la j tabla 1. Comenten si acertaron cuales serian la menor y la mayor copia.

Taller de matematicas

('!: 1. En la tabla 2 se indican las medidas del dibujo y algunas medidas de cinco copias a escala. Responde sin llenar la tabla.

a) (Que copia sera lamas pequeiia? __ _

b) <.Y la mas grande? __ _

c) Dos copias saldran del mismo tamaiio. <.Cuales son? __

d) Calcula y anota los datos que faltan en la tabla 2.

Tabla 2

Dibujo original Copia 1 Copia 2

Factor de c:scala

Lado A 3 4

Lado 8 5 6

Lado C

Lado 0 4

Lado E 2

Copia 3

2

Lado A 4

Lado B 10

Lado C 6

Lado D 2

Lado E 5

ME COMPROMETO

AI validar mis respuestas, no me limito a correg ir lo que respond i mal, sino tam bien analiza d6nde estuvo mi error para no repetirlo en el futuro.

Copia 4 Copia 5

6

3

57 •

Aprendizaje esperado: Analiza y compara

situaciones de variac ion lineal a partir de sus

representaci ones tabu lar, gr.lfica y a lgebraica. lnterpreta y resuelve

problemas que se modelan con estos tipos de variac ion.

6

7

36

Tabla 1

MAS IDEAS

12

20

Para comprobar las reg las de correspondencia que eleg iste, sustituye en elias alguno de los va I ores de Ia primera fila y verifica si obtienes el valor de I correspondiente de Ia segunda fila.

• 58

Variaci6n lineal I Leccion 22. Reg las de correspondencia I

~ 1. Haz lo que se pide. Despues, analiza la informacion del recuadro.

a) Completa la tabla 1, que muestra las edades de dos personas a lo largo de varies aiios.

b) Indica con una tl' que afirrnaciones se cumplen siempre, es decir, son verdaderas sin importar la edad de Jose.

• La edad de Ana es igual ala de Jose multiplicada por 2. • La edad de Ana es igual a la de Jose mas 6. • La edad de Jose es igual a la de Ana mas 6.

Reunete con un compaiiero. Comparen sus respuestas y comenten como determinaron los valores faltantes de la tabla 1.

I En la tabla 1 todos los valores de la segunda columna se pueden obtener sumando 6 a los de la primera. Esto se expresa con la siguiente regla de correspondencia: "La edad de Ana es igual ala edad de Jose mas 6''; o bien, si se usan letras: "A = ]+ 6".

2. Cada tabla muestra una relacion entre dos conjuntos de cantidades.

a) Aneta las cantidades que faltan en las tablas.

b) Debajo de cada una hay tres reglas de correspondencia para las variables involucradas. Subraya la correcta para cada tabla.

Tabla 2

Circunferencia (c)

c = 3.14d

Tabla 3

Juegos visitados (n)

Costo total (c)

c = 40n

Tabla 4


c = 248 + n

2

6.29

c = 4.28 + d

3

9.42

Medidas del circulo

5 36

15.70 31.40

c = 3d+ 0.28

Parque de diversiones, plan A: $50.00 Ia entrada mas $15.00 por juego

2

$90.00

5

$125.00

c = n + 120

7

$155.00

10

c = 15n + 50

15

Parque de diversiones, plan B: $250.00 Ia entrada (incluye numero ilimitado de juegos)

2

$250.00

c = SOn

5

$250.00

7 10 15

c = 250

NWnero, algebra y variaci6n • Funciones

Tabla 5


Cos to total (c)

c = n + 48

Tabla 6

Cantidad prestada (c)

lnteres anual (11

i = 0.2c

Tabla 7

Vdocidad (v)

Tiempo (t)

t = v.;. 50

Tabla 8

Metros cubicos de agua adicionalc:s a Ia cuota

asignada (rn)

Costo (c)

c = 56.13 + m

Parque de: diversiones, plan C: entrada gratuita, $25.00 por juego

2

$50.00

c = 25n

$2500.00

$500.00

5

$125.00

7

$175.00

c = 25

Prestamo bancario

10

$3990.00 $24624.00

$776.00 $4924.90

i = c - 2 000 i = 500

100 km/h

2h

t = 200.;. v

Un vehiculo recorre 200 km

50 km/h

4h

25 km/h

9h

t =V

15

$36240.00

10 km/h

Tarifa bimestral por el consumo domestico de agua en Ia zona B

0 2 3

$56.13 $59.45 $66.09

c = 56.13 + 3.32m c = 56.13

En grupo y con ayuda del profesor, efectua lo siguiente.

• Comparen sus resultados. Si dudan de alguna regia, sustituyan las letras por los valores de la tabla y verifiquen que obtengan igualdades.

• Identifiquen en que tabla las cantidades de un conjunto no dependen de las del otro.

~ 3. Trabaja con un compaiiero y completen las tablas.

Tabla 9 Tabla 10 Tabla 11

y = 5x + 1 y= 5x y= ~ ---- ---- ----5 5 5

10 10 10

MAS IDEAS Las reglas de correspondencia se su elen esc rib ir usa ndo Ia letra x para los valores del primer con junto y Ia y para los del segundo.

59 •

MAS IDEAS En las relaciones de proporciona lidad, al aumentar dos, tres o n veces Ia cantidad de u n conj unto, Ia correspondiente del otro aumenta de igual manera.

• 60

Secuencia 7

Leccion 23. Reglas de correspondencia II

(• 1. Considera las relaciones entre dos conjuntos de cantidades que trabajaste en la lecci6n anterior.

a) Indica, en la segunda columna de la tabla que se muestra, que relaciones son de proporcionalidad y cu:Hes no; justifica en la tercera columna cad a respuesta.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Lla relaci6n es de proporcionalidad

directa? PorquL.

S En grupo y con ayuda del profesor, lleva a cabo lo siguiente.

• Comparen sus respuestas y comenten como determinaron que relaciones son de proporcionalidad directa.

• Analicen en que son semejantes las reglas de correspondencia de las relaciones que son de proporcionalidad directa.

• Comenten la informacion del recuadro.

Cuando una relaci6n entre dos conjuntos de cantidades es de proporcionalidad directa, hay un numero (siempre el mismo) que multiplicado por cualquier valor de un conjunto da el valor correspondiente en el otro conjunto. Ese n1lmero es la constante de proporcionalidad.

La regia de correspondencia de una relaci6n de proporcionalidad directa suele escribirse en la forma y = kx; las literales x, y representan cantidades de los dos conjuntos y k es la constante de proporcionalidad. Por ejemplo: y = 3.14x; y = 0.2x; y = Sx .


(e) 2. A continuaci6n se presentan reglas de correspondencia de varias relaciones.

a) Coloca una V si Ia relaci6n es de proporcionalidad y un X si nolo es.

y=2X n=0.1m d = 2t + 1

u = O.Sv z = 100w + 15 h =0.14g p= 33d -100

b) Selecciona una de las relaciones que marcaste con una V y una de las que tienen un X y haz, en tu cuademo, las tablas correspondientes para verificar tus respuestas.

~· 3. Reunete con un compaii.ero y anoten lo que falta en Ia tabla. Vean el ejemplo.

Descripci6n de Ia relaci6n

Cada articulo cuesta $8.00; por tanto, por x articulos se pagan Bx pesos.

Cada litro de gasolina alcanza para recorrer 12 km; por tanto, con x litros se recorren 12x

kil6metros.

En un bano de 5 minutes se usan 40 L de agua; por tanto, para un

bano de x min utos se requ ieren _ I itros de agua.

Por medio costal de cementa hay que agregar 14 L de agua a Ia

mezcla; por tanto, si se usan x costales se requieren _ x litros.

Regia de correspondencia

Y= Bx

Y= 12x

Y= Gx

Y= 2.54x

x representa ...

numero

de articulos

medida de u n I ado de un hex:igono

distancia en pulgadas

du raci6n del bal'\o (minutes)

y representa ...

precio que se paga

distancia en centimetres

consumo de ag ua (litros)

~ En grupo y con ayuda del profesor, validen sus respuestas. Comenten como hallaron Ia expresi6n algebraica que relaciona la duraci6n del baii.o con Ia cantidad de agua utilizada. tEn que otro caso de Ia tabla anterior puede usarse una estrategia similar?

ME COMPROMETO

Cuido el agua y no consu m o m:is de Ia necesaria.

61 •

MAS IDEAS El plano cartesiano se II a rna asi en honor a Rene Descartes, matem:itico y

fil6sofo del sig lo xvu, quien tuvo una idea genia 1: representar puntas, lineas y figuras mediante coordenadas y ecuaciones.

• 62

Secuencia 7

Leccion 24. Puntos en el plano

( • 1. Analiza la informacion y responde.

Se han localizado varios puntos en el plano.

Punto A: coordenadas (4,3)

Punto B: coordenadas (2,5)

Punto C: coordenadas (5,8}

8

7

6

~ 5 c

~ 4

2

0

y

D

c

B ~ ~ A •

2 3 4 5

Eje de las abscisas

a) tCuales son las coordenadas del pun toE? __ _

b) tY las coordenadas del pun to D? __ _

c) tY las de F? __ _

d) Localiza un pun to en las coordenadas (6, 1) y marcalo como G.

F._

-6

e) Considera que los puntos A, By C son tres vertices de un rectangulo.

tCuales son las coordenadas del cuarto vertice? __ _

E

X

7 8

f) Considera que los puntos B y C son dos vertices de un triangulo isosceles. Anota las coordenadas de cuatro puntos que podrian ser el vertice faltante.

Compara tus resultados con los de tus compaiieros; si hay diferencias, averigtien a que se debe. Comenten, en grupo,la siguiente informacion.

El plano de la actividad 1 es un plano cartesiano. Tiene dos ejes perpendiculares: el horizontal, llamado eje de las abscisas o eje x, y el vertical, denominado eje de las ordenadas o eje y. El pun to en el que se cortan los ejes se denornina origen; sus coordenadas son (0,0}.

Las coordenadas de un punto sirven para localizarlo en el plano cartesiano. Por ejemplo, las coordenadas del pun toG son (6,1}, el primer nfunero corresponde al eje de las abscisas y el segundo, al eje de las ordenadas. Se dice que 6 es la abscisa del punto y 1, su ordenada .


(! 1. Localiza, en el plano cartesiano, los puntos A, B y C.

Coordenadas

A (1, 2)

B (3, 6)

c (4, B)

D

E

F 0 3 4 6 8 X

Eje de las abscisas o eje x

a) Traza una linea recta que pase por los tres puntos y prol6ngala.

b) En la tabla, a nota las coordenadas de tres puntos que tambien esten sobre la recta que trazaste. Llama a los puntos 0, E y F.

c) Si el plano estuviera mas grande y pudieras trazar el punto G de coordenadas {10, 20),

;.estaria en la misma recta? __

;_C6molosabes? ____________________________________________ __

d) El punto {15, 25), ;.estaria en la misma recta?

;_C6molosabes? ____________________________________________ __

e) Completa las coordenadas de los siguientes puntos para que tambien esten sobre la misma recta.

• (1.5, _ ) • {_ , 4.4) • {7, _ )

• (_ , 1) • (0, _ ) . (_, ~)

f) Completa la regla de correspondencia que a cada abscisa (x) de un punto de la recta anterior le asocia su ordenada (y).

y = __

g) En tu cuaderno, traza un plano cartesiano y ubica tres puntos cuyas coordenadas cumplan con la regla y = 3x. Verifica que hay una recta que pasa por los tres puntos. Elige otros puntos de esa recta y cerci6rate de que tambien cumplen con la regla y = 3x.

DESCUBRO MAS (Que recta est:i mas inclinada hacia el eje de las ordenadas: y = 2x o Y= 3x?

63 •

. 64

Secuencia 7

Leccion 2s. La gnHica tambh~n informa

~ 1. Trabaja con un companero. Anoten, en cada tabla,los datos que faltan y la regla de correspondencia entre am bas cantidades.

Festival de cine China-Japon Abo no A: $60.00 la entrada mas $40.00 por pelicula

Peliculas vistas (x) 0

Coste total (y)

1

$100.00

2 3 5

$260.00

Regia de correspondencia: y = -------------------

Abono B: $300.00 la entrada sin limite de peliculas

Peliculas vistas (x) 0 2 3 5

Coste total (y) $300.00

Regla de correspondencia: y = -------------------

Abo no C: entrada gratuita, $60.00 por pelicula

Peliculas vistas (x) 0 2 3

Coste total (y)

5

$300.00

Regla de correspondencia: y = -------------------

a) En el plano cartesiano se trazaron cuatro puntos; comprueben que sus coordenadas corresponden ala tarifa del abono A. Por ejemplo, el punto (5, 260) indica que por ver cinco peliculas hay que pagar $260.00.

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

Peliculas vistas


b) Observen que los cuatro puntos estan alineados. Onanlos con una linea recta y prol6nguenla hasta el punto que corresponde a nueve pelfculas. Usen Ia recta que trazaron y respondan.

• ,:Cuanto hay que pagar por ver siete peliculas con el a bono A? ____ _

• ,:A cuantas peliculas corresponde un pago total de $220.00? ------

En grupo y con ayuda del profesor, comenten Ia informacion del recuadro. l

I Los pares de valores (x, y) que se generan con Ia regia de correspondencia y = 40x + 60 pertenecen a puntos que estan alineados, es decir, se puede trazar una recta que pase por todos. Las relaciones como esta, cuya grafica es una linea recta, se Haman relaciones lineales.

2. Traza, en el plano cartesiano de Ia actividad anterior, las rectas que pertenecen a Ia relaci6n entre el nu.mero de peliculas y el costo correspondiente para los abonos By C. Usa las rectas para responder, en tu cuademo,lo siguiente.

a) (Cuanto se debe pagar con cada abono por ver seis pelfculas?

b) Los puntos del abono B estan alineados horizontalmente. (Por que?

c) (Cuanto debe pagar alguien que va a! festival, pero no ve ninguna pelicula? Haz el calculo con cada abono.

d) Una de las graf1cas pasa por el origen, es decir, por el pun to donde se cortan los dos ejes. (Que grafica es?

En grupo y con ayuda del profesor, comenten lo siguiente.

La grafica de una relaci6n de proporcionalidad es un conjunto de puntos sobre una recta que pasa por el origen. Por ejemplo, de las tres graficas anteriores, solo Ia del abono C corresponde a una relaci6n de proporcionalidad. Es Ia unica en Ia que por el doble de peliculas se paga el doble de dinero; porIa mitad de peliculas, Ia mitad de dinero, etcetera.

Las relaciones de proporcionalidad son un tipo de relaci6n lineal.


(! 1. Usa las rectas que trazaste en el plano cartesiano y responde.

a) ;,A partir de cuantas peliculas conviene mas el a bono A que el C?

b) ;,A partir de cuantas peliculas conviene mas el abono B que cualquiera de los otros

dos? __________________________ __

DESCUBRO MAS Observa que el punto (1.5, 120) pertenece a Ia recta que trazaron; sin embargo, no tiene sentido decir •por ver 1.5 peliculas se pagan $120.00~ Es decir, cua lquier pareja (cantidad de peliculas, costo correspondiente) est:i en Ia recta que trazaron, pero no todos los pu ntos de esa recta tienen sentido en este contexte. Da otro ejemp lo de puntos de Ia recta que no tienen sentido en el contexte del problema.

ncl MAs Abre una hoja de

c:i leu lo electron ica e investi ga como usa ria para hacer Ia gr:ifica que corresponde al abono C, a partir de los val ores nu mericos que escribas en dos co lum nas de Ia ho ja.

65 •

SECUENCIA

8 Aprendizaje esperado: Resuelve problemas de

c:i lculo de porcentaj es, de tanto por ciento y de Ia

cant idad base.

MAS IDEAS Un porcentaje como 300/o se expresa de varias maneras, ademas de con el simbolo de porcentaje:

f .. 30. con una racc10n, 100, con un decimal, 0.3; y como una relaci6n entre dos numeros, 30 de cada 100.

DESCUBRO MAS En Ia naranjada de Luisa, l que porcentaje de Ia bebida corresponde al jugo: menos de 50%, 50% exacto o mas de 50%?

. 66

Porcentajes Lecci6n26. No cuanto, sino que parte

!} 1. Analiza la informacion y responde.

En la Cuenca del Valle de Mexico se desperdician aproximadamente 3 de cada 10 L de agua, debido a fugas en la red hidraulica; en el campo, la perdida es aproximadamente de 1 L por cada 2 L, a causa de la evaporacion y Ia infraestructura de riego ineficiente.

https # ag ua.o rg.mx/c ua ntll -<~g ua -tie ne-m exl co/

a} Explica donde se desperdicia mas agua: ten las ciudades o en el campo?

b) tCuantos litros de cada 100 se desperdician en las ciudades? _____ _

g tYenel campo? _________________________________________ __

d) tQue porcentaje de agua se desperdicia en el campo? ________ _

e} tYen lasciudades? ______________________ _

2. Lee la informacion y responde o haz lo que se pide.

Para preparar una naranjada, Luisa pone dos vases de agua por cada tres de jugo. Ana, en cambio, pone tres vases de agua por cada cuatro de jugo.

a} tAlguna de las naranjadas sa be mas a naranja o saben igual? _____ _

b) tCuantos vases de jugo debe poner Luisa para preparar 35 vases de naranjada?

---tY Ana? __ _

c) Considerando lo anterior, tque naranjada sabe mas a naranja? _____ _

En grupo, valida los resultados de las actividades 1 y 2. Comenten Ia siguiente informacion.

El saber a naranja depende de la cantidad de jugo, pero tambien de la de agua; es decir, depende de la relacion entre ambas cantidades. Esta relacion se llama raz6n y se puede expresar de varias maneras, por ejemplo, "de cada 5 vases de naranjada, 3 son de jugo" o tambien "~de la naranjada es jugo".

Las razones tambien se expresan como tantos por ciento, por ejemplo: larazon "de cada cinco vases de naranjada, tres son de jugo" se puede expresar como "de cada 100 vases de naranjada, 60 son de jugo", o bien, "60% de la naranjada es jugo".


(~ 3. 1rabaja con un compafiero. Analicen Ia informacion y respondan.

Para comprar a credito (por un afio) un refrigerador, Maria pregunt6 en diferentes lugares cuanto le cobraban de interes. En Ia tabla se muestra lo que averigu6: en algunas tiendas le informaron el inten!s que tendria que pagar (columna izquierda); en otras, Ia cantidad total por pagar, formada por el costo de lo comprado mas el in teres (columna derecha). En Ia tienda Ale dieron ambos datos.

a) Completen Ia tabla.

lnt(res qu( se cobra por el credito

$1.00 por cada $4.00 de compra

t del costa de Ia mercancia

20% del costo de Ia mercancia

$8.00 por cada $100.00

de compra

Cantidad total por pagar (n 1 ai\o

Por cada $4.00 de com pra, hay que pagar $5.00 en tota I.

AI final, se debe pagar $125.00 por cad a $100.00 de compra.

Por cada $3.00 de com pra, se debe pagar $5.00 en tota I.

b) lEn que tienda le conviene comprar? ---------------

c) Consideren que el refrigerador que Maria quiere comprar cuesta $10200.00. Calculen, en su cuademo, cuanto tendria que pagar de in teres en cada tienda y usen los resultados para verificar su respuesta a Ia pregunta anterior.

4. En cada fila de Ia tabla esta expresada Ia misma raz6n de tres formas distintas. Completen los textos y comparen sus respuestas con las de otra pareja de compafieros.

Con dos num(ros

Tres de cada cinco autom6vi les son particulares.

__ de cada __ viajes se hacen en transporte publico.

de cada est:in asegu rados.

autos

Con una fracci6n

de los autom6viles son particu lares.

J0 de los viajes se hacen en transporte publico.

de los autos est:in asegu rados.

Con un tanto por ci(nto

de los autom6viles son particu lares.

__ de los viajes se hacen en tra nsporte pub I ico.

30% de los autos est:in asegurados.

compra a credito: que se va pagando poco a poco; por ejemplo, mensual mente a lo largo de un aiio.

interes: cantidad de dinero extra que se paga por un prestamo o un credito.

MAS IDEAS Los porcentajes, como las de mas razones, ayu dan a ver que tan grande o pequena es una cantidad en com paraci6n con otra. Por ejemplo, u n in teres de 3 pesos por cada 5 es mucho mayor que uno de 8 pesos por cada 100, pues e I primer interes equ ivai e a 60% del precio, mientras que el segundo equivale a So/o.

67 •

MAS IDEAS Parn calcu lar 5<\b de una ca ntidad, basta con dividirla entre 20. Usa este procedimiento para verificar tus resultados en Ia fila de Ia variedad C de maiz •

• 68

Secuencia 8

Leccion 27. Terrenos sembrados

( • 1. Analiza la informacion y responde o haz lo que se pide.

Julian, Arnulfo y Catalina sembraron en sus terrenos distintas variedades de maiz. Cada uno destin6 35% de Ia superficie de su terreno ala variedad A, 15% a laB, 5% a la C, y lo demas al maiz tradicional.

a) Los siguientes rectangulos representan los terrenos. Marca Ia parte que se destin6 a cada tipo de maiz.

;

1 1 I 1 ; 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1

i i i i i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 I I 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1

:- L ! ~--:. 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 ' 1

1 1 1 1 1 1 1 I ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1

I 1 1 1 : 1 :

Juli~n Arnulfo Catalina

b) ,:Quien destin6 mas superficie a Ia variedad A? ___________ _

c) ,:Quien destin6 ala variedad A una fraccion mas grande de su terreno?

d) Anota los datos que faltan en la tabla. Los terrenos de Julian, Arnulfo y Catalina miden 2700 m2, 7200 m2 y 16200 m2, respectivamente.

Superficie sembrada

-Miji.lllli.MM$11,FM-Tradicional (45<\b)

Va riedad A (35%)

Va riedad B ( 15<\b)

Variedad C (5%)

Total ( 100\b) 2700 m' 7200 m' 16200 m' 26100 m'

e) Explica, en tu cuademo, como calcular ...

• 5% de una cantidad. • 15% de una cantidad.

• 35% de una cantidad. • 45% de una cantidad.

Compara tus resultados con los de tus compafieros. Comenten por que para calcular 5% de una cantidad basta dividirla entre 20.


(•) 2. Otros agricultores sembraron Ia variedad C de mafz en una parte de sus terrenos. Los siguientes rectangulos representan sus terrenos; las partes coloreadas, lo sembrado con mafz C. Anota el porcentaje al que corresponde cada parte sombre ada.

Juan

Jacinto

Gregorio

3. Las superficies coloreadas corresponden a las partes en las que se sembr6 mafz C en tres terrenos mas. Debajo de cada una se indica el porcentaje del terreno que se sembr6 con ese mafz.

Andr~s

Antonio Manuela

20% 25% 750fo

a) 2Queterrenoeselmaspequeno? ________________________________ __

b) 2Yelmasgrande? __________________________________________ _

c) Traza en tu cuademo los tres terrenos completos y verifica tus anticipaciones.

1. La tabla contiene datos de los terrenos de otros cinco agricultores que decidieron sembrar la variedad C de maiz. Completa los datos que faltan.

Arta total

Area scmbrada

Tanto por ciento del arta total que esta

scmbrada

5400 m2

3200 m2

20%

9400 m2

1200 m2 2100 m2 BOO m2

25% 10%

DESCUBRO MAS En una fotoeopiadora se haee una red ueci6n de un dibujo de Ia siguiente manera: se da Ia orden ·copia a 75%", se obtiene Ia eopia y se indica de nuevo Ia m ism a orden. lCuanto medira al final un lado que en el dibujo original mide 16 em? lOue orden hay que dar a Ia fotoeopiadora para que un segmento de 20 em mida 16 em en Ia eopia?

69 •

ME COMPROMETO

AI tra bajar en pareja, cu mp lo con mi parte de Ia tarea y ayudo a mi compa nero cuando lo requ iere.

• 70

Secuencia 8

Lecci6n28. 1% y 10%

(1 1. Calcula los porcentajes que se indican en Ia tabla. Puedes usar calculadora.

$270.00 $1800.00 $60.00 $12453.00 $180.36

a} En tu cuademo, explica como obtener sin calculadora 1% y 10% de cualquier cantidad.

b) Completa el procedirniento.

Para calcular 32% de 270 se puede hacer lo siguiente:

• 30% de una cantidad es tres veces 10%; en este ejemplo, 30% de 270 es

tres veces ___ , es decir, ___ .

• 2% de una cantidad es dos veces 1 %; por tanto, 2% de 270 es dos veces

___ , es decir, ___ .

• 32% de una cantidad es igual a 30% mas 2%; asi, 32% de 270 es

81 + 5.4 = __

re Valida tus resultados con el grupo. Redacten un metodo para calcular cualquier porcentaje usando 1% y 10% de la cantidad.

~ 2. Reunete con un compaiiero. Por tumos, alguien calcule mentalmente uno de los porcentajes de la tabla y an6telo; el otro verifique el resultado con calculadora. Tenninen una fila antes de pasar a otra.

$1000.00 $500.00 $200.00 $50.00 $140.00


Una man era de calcular 115% de 140 es Ia siguiente.

• 100"/o de 140 = 140

• 10% de 140 = 14

• 5% de 140 = 7

• Finalmente: 115% de 140 = 140 + 14 + 7 = 161

( • ) 3. Una familia, cuyo ingreso anual fue de $332 640.00, gast6 en el ailo $116 424.00 en comida. ,:Que tanto por ciento de su ingreso total gastaron en alimentos?

a) A continuaci6n se muestra un procedimiento para resolver el problema anterior. Completalo. Puedes usar calculadora.

Cantidad

$332640.00

$332 640 + 100 = $3 326.40

$116424.00

Tanto por ci(nto qu( Ia c:antidad r(presenta

del ingreso anual

100%

1%

4. Completa Ia tabla. En esta hay otros gastos de la familia y los tantos por ciento que representan de su ingreso.

Alim(ntaci6n

8% 100%

116424 106444.8 24000 332 640

5. Explica por que es incorrecta Ia siguiente afirrnaci6n.

Si el porcentaje del ingreso que una familia A gasta en alimentos es mayor que el porcentaje que gasta una familia B, significa que Ia familia A gasta mas dinero encomida.

DESCUBRO MAS Una familia gast6 35% de su ingreso en al imentos. (Que parte del ingreso no se gast6 en com ida?

n •

<Sueles ahorrar para I comprar las cosas que

quieres?

DESCUBRO MAS En Ia actividad 2, len que se parecen los datos de Ia primera y Ia ultima fila de Ia tab la? Anota una conclusion en tu cuaderno.

Como porcenta jc:

Secuencia 8

Leccion 29. IV A y otros porcentajes

1. Trabaja en equipo. Lean Ia informacion y hagan lo que se pide.

Los miembros de una banda de rock ahorran 8% del dinero obtenido en las presentaciones de cada mes para comprar instrumentos.

a} Anoten, en Ia segunda fila de Ia tabla, el ahorro de los meses de enero a junio.

b) Dividan, para cada mes, Ia cantidad ahorrada entre el ingreso de ese mes, y anoten los cocientes en Ia Ultima fila.

c) Cerci6rense de que todos los cocientes anteriores dan 0.08. Asimismo, verifiquen con calculadora que al multiplicar el ingreso de cada mes por ese factor, se obtiene el ahorro mensual.

I Para calcular 8% de una cantidad, basta con multiplicarla por 1~ o por 0.08. En general, n% de una cantidad A es igual a 1~ x A.

d) En julio, Ia banda no pudo ahorrar 8%. Obtuvo un ingreso de $16800.00 y guard6

$1176.00. Calculen que porcentaje del ingreso ahorr6 el grupo ese mes. __ _

I Para saber que porcentaje es una cantidad B de otra cantidad A, basta con dividir B entre A y anotar el cociente como fracci6n de denominador 100.

® 2. Completa Ia tabla con las distintas maneras de expresar un tanto por ciento.

75<\b 40<\b 2<\b 33%

Como tantos de cada 100

5 de cada 100

Como fraccion

Como dc:cimal 0.75 0.4 O.D2 0.33

• n


3. Al comprar una mercanda o contra tar un servicio, en muchos casos debemos pagar, ademas del precio, un impuesto llamado impuesto al valor agregado (IVA), de 16% del total.

a) Determina, para cada producto, el precio con IVA y an6talo en Ia tabla.

Reproductor d~ Blu-ray

2400.00

2784.00

9000.00

Bocina Bluetooth

1600.00

R~productor de MP3

4000.00

b) En el recuadro se explican dos maneras de calcular los precios con IVA. Analiza la informacion y haz lo que se pide despues.

Metodo 1 Se calcula 16% del precio sin IVA y se suma, por ejemplo, $2400.00 del reproductor de Blu-ray mas $384.00 de impuesto da $2 784.00.

Metodo 2 Se calcula directamente 116% del valor del producto, por ejemplo, 116% de $2400.00 = 2400 x 1.16 = $2784.00.

c) Vuelve a calcular el precio con IVA de cada producto usando un metodo que no hayas us ado la primera vez y verifica que se obtengan los mismos resultados.

d) Explica cual de los metodos del recuadro anterior te parece mas facil para calcular el IVA de un producto.

4. Completa la tabla.

Precio sin IVA($)

rvA (16<vo)

Prccio con IVA($)

Sal a

16000.00

Com~dor

10800.00

Recamara Cocina

900.00 1600.00

Escritorio

1856.00

Bario completo

6032.00

* En grupo, completa el siguiente metodo para calcular el precio sin IVA del escritorio. Comenten si es similar al que ustedes usaron.

• Llamamos x al precio sin IVA. Entonces x + 16%x = $1856.00

• x + 0.16x = $1856.00; 1.16x = ___ _

• Despejamos: x =----

DESCUBRO MAS A u n cliente le dicen ·Este escritorio tiene una rebaja de 20%, pero si lo paga en efedivo, le hago otra rebaja de 15%". Hay dos formas de interpretar lo que dice el vendedor, una conviene mas al cliente que Ia otra. (Cu:iles son esas dos maneras?

73 •

DESCUBRO MAS Si el precio del pan sube de $5.00 a $6.00, £CU:il es el porcentaj e de au mento? Si baja de $6.00 a $5.00, len que porcentaje se reduce el precio?

• 74

Secuencia 8

Leccion3o. Problemas de porcentaje

~ 1. Trabaja con un compaftero.

a) Expliquen cu:Hes de las siguientes tres afirmaciones no pueden ser ciertas yporque.

• El pan cuesta ahora 120% de lo que costaba el afto pasado.

• En un afto, considerando los intereses, hay que pagar al banco 120% de lo que presto originalmente.

• De los trabajadores de una fabrica, 120% son hombres.

b) Escriban, en su cuaderno, mas ejemplos de situaciones en las que un porcentaje puede ser mayor que 100% y cases en que es irnposible.

2. Analicen la informacion y respondan en su cuaderno.

En el plano de una casa heche a escala 1 a 50, la superficie que ocupa la cocina representa 28.5% de la superficie de la planta baja.

a) ,:Que porcentaje de la superficie de la planta baja representa la cocina en la casa real?

b) En el plano de una casa, las medidas de las longitudes son distintas a las reales, perc hay otros valores numericos que son los mismos en el plano y en la casa real. Da un ejemplo de uno de esos valores.

(." 3. Resuelve los problemas. En cada case, argumenta y justifica tus respuestas. Puedes usar calculadora.

a) Se hace un descuento de 15% en los productos de un almacen. El ultimo dia, el gerente pone un letrero que dice: "10% adicional al15%". El joven que atiende no sabe si debe restar prirnero 15% del precio y a lo que resulte restarle 10%, o bien, si debe restar de entrada 25% del precio.

Averigua silas dos formas de interpretar lo que dice elletrero son equivalentes

o si hay una con la que el descuento es mayor.Anota y justifica tu conclusion .


b) Por el precio de un reloj mas 16% de IVA se pagaron $1424.48.lCuanto cuesta

el reloj sin IVA?-----------------------

• Si se ofrece 10% de descuento sobre el precio del reloj sin IVA, lcual sera

Ia cantidad que se pagara con IVA? ______________ _

c) AI comprar una camara fotograf1ca, un cliente pag6 $560.00 de IVA.

leu an to cuesta Ia camara sin IVA? ----------------

d) En una escuela secundaria hay 700 alumnos, de los cuales 30% cursan primer grado; de estos, 40% son niiias.

• lQue porcentaje de los alumnos de Ia escuela representan las niiias de

primergrado? ______________________ _

• lQue porcentaje de Ia poblaci6n total de Ia escuela corresponde a los

niiios de primer grado? --------------------

e) Para un estudio, Laura visit6 un estanque y separ6 36 especimenes de un an

fibio, que corresponden a 8% de Ia poblaci6n total en el estanque. lCual es Ia

poblaci6n total de anfibios? -------------------

En grupo y con ayuda del profesor, comenta y valida tus respuestas de Ia actividad 3. Hagan lo siguiente.

• Para el problema a), usen las dos interpretaciones con un precio, el que ustedes quieran, para que comprueben silo que resulta no contradice su propuesta.

• Para el inciso b), discutan por que es incorrecto restar 16% a $1424.48 para calcular el precio del reloj sin IVA.

• Para el c), apliquen 16% de IVA a! costo que encontraron y vean si obtienen $560.00.

• En el caso del d), analicen si alguno de los siguientes razonamientos es correcto, si ninguno lo es o si ambos lo son.

» El numero total de alumnas en primer grado es igual a 0.4 x (0.3 x

700).

» El numero total de alumnas en primer grado es igual a 0.12 x 700.

• Escriban, en una cartulina, un resumen de las tecnicas que aprendieron en Ia secuencia. Peguenla en un Iugar visible del salon.

MAS IDEAS 5i para calcular 116<\b de una cantidad x se multi plica por 1.16,(con que operaci6n se regresa a Ia ca ntidad orig ina I?

75 •

Trazo de triangulos Lecci6n31. Estructuras con triangulos

Aprendizaje esperado: ~ 1. Trabaja en tu cuademo. Responde las preguntas o haz lo que se pide. Analiza Ia existencia y

unicidad en Ia construcci6n a) ,:Que es un triangulo? de tri:ingu los.

cercha: estructura que si rve de so porte para Ia construcci6n de techos,

a rcos y b6vedas.

lConoces techos triangu- ~ lares como el de imagen?

• 76

b) ,:Como construirias un triangulo ...

• con cortes a partir una hoja de papel? • con tres tiras de diferente tamaiio?

c) Reproduce con tu regia el triangulo que se muestra.

2. Se usaran barras de madera de varias medidas para hacer una cercha triangular como la que se muestra. a) Sin hacer calculos ni trazos, estima si siempre es posible formar un triangulo

si se eligen tres tipos de barra cualesquiera (por ejemplo, dos barras tipo A y una tipo C).

A .------- 7m

B - 2m -

c 9m

D Sm

E - 3m -

b) Corta tiras de papel que simulen las barras (representa cada metro con un centimetro) y usalas para formar triangulos. Completa la siguiente tabla.

Con las barras ...

A, ByC

A. Cy D

A, ByE

B,CyD

C. DyE

A,AyB

B, By C

£$e puede formar un triangulo?

Forma, espacio y medida • Figuras y cuerpos geometricos

Valida los resultados con tus compaiieros. Entre todos comenten que distingue a las temas de medidas con las que si se puede construir triangulos (aun no es necesario que lleguen a una conclusion).

( •J 3. Se desea construir un triangulo, pero solo se tienen dos barras: una de 6 my otra de 4 m. Asi que una de las barras se cortara en dos.

a) (Que barra no conviene partir en dos y por que? __________ _

b) Matias dice que si eliges la barra grande, no importa d6nde la cortes, pues siempre se podra forrnar un triangulo con la barra de 4 my las dos que resulten de la partici6n. Muestra, con un contraejemplo, que Matias esta equivocado.

-, 4. Trabaja en equipo. En cada fila de la tabla hay tres medidas de segmentos con los que se quiere formar triangulos. Discutan y anoten si consideran posible o imposible trazar el triangulo.

Triangulo cuyos lados miden ... iEs posible o imposible trazarlo?

5 em, 5 em y 5 em

6 em, 4 em y 7 em

B em, 3 em y 3 em

9 em, 5 em y 4 em

3 em, 7 em y 6 em

2 em, 4 em y 10 em

3 em, 4 em y 15 em

5. En grupo, establezcan un criterio para determinar cuando es posible formar un triangulo con medidas especificas de sus tres lados. Anoten sus conclusiones.

S Validen su criterio proponiendo algunas ternas de medidas con las que si se pueda trazar un triangulo y otras con las que no.

MAS IDEAS En matem:itieas, un contraejemplo es un reeurso para mostrar que una afirmaci 6n de tipo genera I es falsa. Por ejemplo, para Ia afirmaci6n ·cualqu ier nu mero siempre es mas pequeno que su doble", el numero o es un contraejemplo (pues el doble de o es 0).

n •

DESCUBRO MAS lPodrias haber empezado trazando el seg menlo de 3 em? iCua les serfan las instruccfones para este caso?

TIC I MAS Descarga

el programa GeoGebra en www.redir. mx/SCM M 1-078a y descubre como usarlo para trazar triangu los con el metodo de Ia actividad 1.

• 78

Secuencia 9

Leccion32. Triangulos posibles o imposibles

1. Sigue las indicaciones para trazar, en tu cuademo, un triangulo cuyos !ados midan 4 em, 2 em y 3 em.

Paso 1. Marca un segmento de 4 em. I Despues, abre el compas a 2 em y, apoyandolo en un extreme del segmento, traza una circunferencia .

..... -...... ,' .....

2

' '• ..... _ ......

' '

4

Paso 3. Ubica un punto donde se corten ambas circunferencias.

I Paso 2. Traza, con centro en el otro extreme del segmento, una circunferencia de 3 em de radio.

2

..... , ___ ...

Paso 4. Une ese punto con los dos extremes del segmento original.

Has construido un triangulo cuyos !ados miden 4 em, 2 em y 3 em.

Analiza con tus compaiieros el metodo y, entre todos, propongan una tema de medidas para las que no funcione. Verifiquen que con las medidas que propusieron no es posible construir un triangulo si se siguen los pasos del metodo anterior.

(_e 2. Traza, en tu cuaderno y con el metodo de la actividad anterior, un triangulo que tenga tres !ados iguales, otro condos !ados iguales y uno mas con tres !ados diferentes. Despues, lean en grupo Ia siguiente informacion.

I Los triangulos que tienen ...

los tres !ados desiguales se Haman triangulos escalenos. dos !ados iguales se conocen como triangulos isosceles. tres !ados iguales se Haman tricingulos equilateros.


• 3. Trabaja en equipo. Anoten, en cada fila de la tabla, una posible medida del tercer lado, de manera que se pueda trazar el tipo de triangulo que se indica.

Tipo de triangulo Medida de dos lados Medida del tercer lado

Isosceles 10 em, 3 em

Escaleno 11 em, 8 em,

Isosceles 2.5 em, 1.5 em

Escaleno 3 1 4m,2m

1. Traza en, tu cuaderno lo que se indica en la primera columna de la tabla. Despues, responde las preguntas de la segunda columna y argumenta tus respuestas en la tercera columna.

Traza un triangulo ...

isosceles que tenga un I ado de 6 em y otro de 4 em (til elige Ia

medida del tercer lado).

escaleno que tenga un lado de 3 em y otro de 4cm (til elige Ia

medida del tercer lado).

equilatero cuyo lado mida 5

em.

con un lado de 6 em (til elige Ia medida de los otros dos

lados).

.[Todos los triangulos con estas medidas son identicos

o pueden ser diferentes?

Argumenta tu respuesta

2. Explica por que el diagrama muestra que es imposible construir un triangulo cuyos lados midan 9, 5 y 3 unidades .

.... ,. /

/ -- .... I

~ ' .~ I

9 ; I

I I \ I /

' / .... "'

, __ ' / .... ,.

.... ....

ME COMPROMETO

AI trabajar en equ ipo, no tengo miedo de expresar mi opinion y preguntar lo que no entiendo.

MAs Usa GeoGebra ncl para intentar

traza r u n triangu lo en el que un lado mida menos que Ia su ma de los otros dos. Anota en tu cuaderno tus conclusiones.

79 •

Aprendizaje esperado: Usa e interpreta las medidas de tendencia centra I (moda,

media aritmetica y mediana) y el ra ngo de u n conj unto de

datos.

En tu familia, lCUantas I horas al dfa ven

televisi6n?

MAS LIBROS Para entender las recurrentes bromas matematicas que aparecen en una conocida serie de television, lee Los Simpson y las matemdticas, de Simon Singh.

TIC I MAS llnvestiga como se

calcula Ia media aritmetica en una hoja electr6ni ca de c:il cu loy usa Ia herram ienta para calcu lar el promedio de tiempo de television que ven las familias A, By C.

• so

Datos estadisticos I Leccion 33. Tiempo frente al televisor

~ 1. En Ia tabla se muestra el tiempo diario que ven television los integrantes de tres familias. Analiza los datos y argumenta, en tu cuaderno, que familia consideras que ve mas television.

Familia A

Francisco: 70 min Rosalia: 90 min Julian: 150 min Matias: 1 50 mf n

Familia B

Carlos: 140 mf n

Fernando: 70 min Teresa: 150 min Daniel: so min Luisa: 140 min

Familia C Juan: o min Paulina: o min Marfa Luisa: 120 min Pedro: 70 min Adriana: 70 min Luz Marfa: 140 min Guillermo: 400 min

.!. 2. Para resolver el problema anterior, algunos alumnos calcularon una medida de tiempo representativa de cada familia. Completa Ia tabla anotando las medidas de tiempo que calculo cada alumno.

Matias

Teresa

Daniel

lOut hizo?

Usar el dato que mas se repfte en

cada familia.

Su mar los datos en cad a familia y dfvfdfr el resultado entre el numero

de datos.

Ordenar de mayor a menor los datos y elegir al que quede en medio. Si

quedan dos datos en medio, se suman y se divide entre dos.

150 min

116 min

so min

a) Explica, en tu cuaderno, que familia ve mas television seg\in cada uno de estos alumnos y con quien estas de acuerdo (o en desacuerdo).

Valida tus respuestas y argumentos con tus compaiieros. Comenten Ia informacion del recuadro e identifiquen que valor representative uso cada alumno.

Un conjunto de datos numericos tiene distintos valores representatives, como los siguientes.

• La media aritmetica o promedio: se obtiene al sumar los datos y dividir el resultado entre Ia cantidad de estos.

• La mediana: es el valor de en medio cuando los datos estan ordenados (si hay dos valores centrales, se obtiene Ia media de ambos para calcular Ia mediana).

• La moda: es el dato que mas veces se repite, es decir, el de mayor frecuencia.

Amilisis de datos • Estadistica

3. En el mapa se muestra el tiempo promedio diario que ven television los ciudadanos de 15 paises.

"''

1 :235 000 000 c==

,.,.

Oc4•no P~cffl'co I.

, ..

Elabo.,.clon propia con datos de •https:f/www.ofcom.org.u~_data/assets/pdf_file/0002/26969/icmr_3.pdf•, fecha de consult'" 13 de septlembre de 2017.

a) Calcula Ia media aritmetica,la mediana y Ia moda de los datos.

Media: ------ Mediana: ------ Moda: ------

b) 2Que paises ven mucha o poca television de acuerdo con esos parametros; es decir, se alejan mucho de Ia media, Ia moda y Ia mediana?

Ven mucha television:

Ven poca television:

En grupo, valida tus respuestas. Comenten que medida de tendencia centralles parece mas uti! para representar Ia cantidad de television que se ve en esos 15 paises.

4. Trabaja en grupo. Jnvestiguen cuanto tiempo diario ve el televisor cada uno.

•

a) Calculen Ia media, Ia mediana y Ia moda, y comparenlas con las de Ia actividad anterior.

b) 2Consideran que ven mucha o poca television comparado con esos 15 paises?

MAS IDEAS Cuando hay mas de u n dato que se repite Ia mayor ca ntidad de veces, hay mas de una m oda; es decir, un con junto de datos puede tener dos o mas modas.

parametro: dato que se tiene en cuenta para analizar o va lorar una situaci6n.

ME COMPROMETO

No abuso de Ia te levisi 6n ni de los videoju egos. Mas bien, los com bi no con estudio, actividades fisicas y Ia bores domesticas.

81 •

laue puedes hacer para I mejorar Ia calidad del aire

en tu localidad?

MAS IDEAS El ozono en Ia capa mas baja de Ia atmosfera es un contam inante peligroso para Ia vida, pues, entre otros aspectos, es factor de riesgo para diversas enfermedades respiratorias.

• 82

Secuencia 10

Leccion34. Niveles de contaminaci6n por ozone

(• 1. Analiza la informacion y responde o haz lo que se pide.

El fndice Metropolitano de la Calidad del Aire (JMECA) mide, como su nombre lo indica, la calidad del aire a partir de la cantidad de ciertos contaminantes (por ejemplo, el ozono) en la atmosfera.

Interpretacion del IMECA

51- 100

Regu lar Mala Muy ma la

IMECA, Ciudad de Mexico, 1 de febrero de 2016

77 105 78 40

74 106 80 40

74 107 80 40

76 108 81 41

74 109 84 41

78 110 87 47

83 110 88 71

90 110 103 103

106 110 111 107

108 112 107 102

91 110 94 82

93 111 96 51

Extremadamente mala

Sureste

61

63

65

67

70

73

74

92

88

78

61

59


"' c: ~

a) Calcula los datos que faltan en Ia tabla.

Valores representativos deiiMECA entre las 7-sx:J y las 18:00, Ciudad de M~xico, 1 de febrero de 2016

Valor representativo

Media Mediana

Noroeste

Noreste

Centro

Suroeste

Sureste

b) Ordena, de mejor a peor calidad del aire, las cinco zonas de Ia tabla anterior. Considera los tres valores representativos de cada una.

c) ,;Que dato usarias (media, mediana o moda) si tuvieras que informar sobre la calidad del aire en las cinco zonas de la tabla anterior?

d) Imagina que los siguientes textos son tres encabezados de peri6dicos. Anota, debajo de cada uno, que medida de tendencia central (media, mediana o moda) se utilize en cada caso.

El 1 de febrero, la zona suroeste de la Ciudad de Mexico tuvo un IMECA representativo de 49.

El 1 de febrero, la zona suroeste de la Ciudad de Mexico tuvo un IMECA representativo de 40.

El 1 de febrero, la zona suroeste de Ia

Ciudad de Mexico tuvo un IMECA

representativo de 63.75.

~ Compara tus respuestas con las de tus compaiieros. Comenten la importancia de conocer los niveles de contarninaci6n en su localidad.

Uso e I tra nsporte publico y Ia bicicleta para trasladarme a lug a res

83 •

<Cual es Ia temperatura I de un dla normal en tu localidad?

rango: diferencia (resta) entre el va lor mas grande

y el mas peque no de un conjunto

de datos numericos.

DESCUBRO MAS lC6mo se nota en Ia grafica si el rango de temperatura de una ciudad es pequeno?

. 84

Secuencia 10

Lecci6n35. Temperaturas maxima y minima

1. Analiza Ia informacion y haz lo que se pide.

La gra£1ca muestra las temperaturas de un dia en cinco ciudades de Ia Republica Mexicana.

Temperaturas dd 7 de septiembre de 2017

35

30

19 ~

25 e! = ~ 1!:! 19 20 ~

e! = c: " e! :::1

15

~ " a. 10 E ~

5

0 1:00 4:00 7:00 10:00 13:00 16:00 19:00 22:00

Hora

-o- CDMX -&- Saltillo -o- Chihuahua ~ Monterrey ~ Veracruz

a) Responde sin hacer c:Uculos (solo viendo Ia grafica).

• lQue ciudad estimas que tiene mayor rango en Ia variaci6n de temperatura?

• ly cual tiene un rango menor? -----------------

b) Para comprobar tus respuestas, anota las temperaturas minima y maxima de cada ciudad, y calcula los rangos respectivos.

CDMX

Monterrey

Saltillo

Veracruz

Chihuahua

Temperatura minima

Temperatura maxima

Rango

19-13 = G·c


2. Anota los datos faltantes en Ia tabla (temperaturas, temperaturas medias y rangos de temperatura).

·c 14 ·c ·c 17'C ·c

22 ·c ·c 21 ·c 22 ·c 26'C 28 ·c 27'C

·c 14 ·c 14 ·c ·c ·c ·c 21 ·c

2s ·c ·c 26 ' C 27'C 28 ·c ·c 28 ·c

19 ·c 18 ·c ·c 2s ·c 3o ·c 27 ·c ·c

a) Determina silas afirmaciones son falsas (F) o verdaderas M·

• La ciudad donde se registr6 Ia temperatura mas alta es tambien Ia de

mayor temperatura media. __ _

• Las ciudades con rangos de temperatura similares tienen temperaturas

medias similares.

• La ciudad con el rango de temperatura mas pequefio es Ia que presenta

menor varia cion de temperatura. __ _

En grupo y con ayuda del profesor, validen sus respuestas. Comenten por que en los pron6sticos del tiempo en los medios de comunicaci6n normalmente se informa cuales seran las temperaturas maxima y minima de un dia, pero no se notifica sobre Ia temperatura media.

@ 1. Investiga las temperaturas maxima y minima de un dia en tu localidad, durante cinco dias consecutivos. Usa los datos para llenar La tabla.

·c ·c

·c ·c ·c

·c ·c ·c

27 ·c ·c ·c

21 ·c ·c ·c

DESCUBRO MAS lPara que puede servir conocer Ia temperatura media o el rango de temperatu ra dura nte varios d ias consecutivos?

85 •

SECUENCIA

11 Aprendizaje esperado: Resuelve problemas de

multiplicaci6n con fracciones y decimales, y de division con

decimales.

DESCUBRO MAS lPor que para multiplicar un numero natura l por 10 se pone el mismo numero y se anade un o a Ia derecha?

. 86

Problemas multiplicativos con decimales Lecci6n36. Multiplicar y dividir entre 10, 100, 1 000 ...

~ 1. Haz lo que se pide.

a) Encuentra el numero que multiplicado por ...

• 10 da 400: • 100 da 2000:

• 10 da 2400: • 1000 da 25000:

b) Resuelve.

• 250x10 = __ _ • 35x100 = ___ _

• 120x 1000 = ___ _ • 18 X 10000 = ----

2. Completa, a partir de los resultados anteriores, las tecnicas del recuadro para multiplicar de manera rapida numeros naturales por 10, 100 y 1000.

I• Para multiplicar un numero por 10 se agrega un 0 ala derecha del numero.

• Para multiplicar un numero por 100 .. .

• Para multiplicar un numero por 1 000 .. .

Compara las tecnicas que anotaste con las de tus compaiieros; si hay diferencias, averiguen a que se debe. Despues, aporten juntos respuestas ala pregunta de la capsula "Descubro mas".

3. Utiliza las tecnicas que anotaste para resolver las actividades. Verifica los resultados con la calculadora.

a) Un paquete grande de papeleria se forma con diez chicos. Aneta los datos que faltan.

25 gomas

300 plum ones

so lapices

b) Encuentra y aneta los numeros que faltan.

• 37 X 100 =--- • 20x10 = __ _

500 hojas

1 000 clips

• 110 X 1000 = ---

• ___ X 1000 = 42000 • ___ x100 = 67000 • ___ x10 = 450000

• 25x ___ - 250000 • 40x ___ - 4000 • 200 X ---- 2000

4. Haz lo que se pide.

a) En tu cuademo, aneta una forma de resolver el siguiente problema sin usar la multiplicaci6n. Escribe aqui el resultado.

El precio de un plum6n es de $12.75. (Cuanto cuestan diez plumones? __ _

NWnero, algebra y variaci6n • Multiplicaci6n y division

b) Resuelve con calculadora.

X 100

7.75

21.5

0.415

5. Trabaja en equipo. Completen, en su cuademo, las tecnicas para multiplicar numeros con punto decimal por 10,100 y 1000.

• Para multiplicar por 10 un numero con pun to decimal, por ejemplo, 3.75, se .. .

• Para multiplicar por 100 un numero con punto decimal, por ejemplo, 12.3, se .. .

• Para multiplicar por 1000 un numero con pun to decimal, por ejemplo, 47.69, se .. .

6. Resuelvan con las tecnicas anteriores. AI terminar, verifiquen los resultados con calculadora.

X 100 X 1000

2.45

0.025

1.0055

(• ) 7. Escribe los numeros que faltan. Puedes usar calculadora.

a) __ x10 = 70

d) __ X 100 = 250

b) __ x 10 = 7

e) __ x 100 = 25

c) __ x10 = 0.7

f) __ X 100 = 2.5

(!! Valida tus respuestas con un compaflero. En su cuademo, expliquen como encontrar, con una sola operaci6n, el numero que multiplicado por 100 da 250.

8. Resuelvan con calculadora las divisiones. Despues, busquen una tecnica para solucionarlas sin ella.

+10 .;. 100 .;. 1000

7.25

Reunanse con el resto del grupo y entre todos redacten tecnicas para dividir numeros con punto decimal entre 10,100 y 1000.

DESCUBRO MAS (Que numero multiplicado por 10 da 1? (Que nil mero m ultipli cado por 100 da 1? (Que numero multiplicado por 1000 da 1?

87 •

MAS IDEAS AI trabaja r en equ ipo, se dispone de mas informacion e ideas que las que t iene cada integrante por sepa rado. Asi es mas probable que resuelvan con ex ito las tareas propuestas.

• ss

Secuencia 11

Leccion 37. Tecnicas para multiplicar decimales

(• 1. Con un companero, resuelvan con calculadora, los siguientes productos. Despues, analicen los resultados y redacten una tecnica para multiplicar dos m:imeros decimales.

3x15 = __ _ 0.3 x15 = __ _ 0.03 X 15 = --- 3 x1.5 =---

3 x0.15 =--- 3 X 0.015 = __ _ 0.3 X 1.5 = __ _ 0.3 X 0.15 =

Para multiplicar dos n\imeros con pun to decimal sin usar la calculadora, se puede hacer lo siguiente:

Comparen la tecnica que ustedes redactaron las de otras parejas. Despues vean las dos tecnicas que se describen a continuaci6n, analicen si se parecen a las que ustedes propusieron.

Para multiplicar dos numeros con punto decimal, como 0.3 y 0.15, se efectua lo siguiente.

Tecnica 1

• Escribir los numeros como fracciones decirnales: 0.3 = {0

y 0.15 = 1~0 .

Mul . 1' f . . 3 15 4 5 • t1p 1car esas racc10nes. 10 x 100 = 1 000.

• Escribir el resultado con pun to decimal: 1~0 = 0.045.

Tecnica 2

• Multiplicar los numeros como si no tuvieran punto decimal: 3 x 15 = 45.

• Contar el numero de cifras ala derecha del pun to decimal que tienen los factores: 0.3 tiene una y 0.15 tiene dos, es decir, son tres en total.

• Escribir el pun to decimal en el resultado, de manera que tenga la cantidad anterior de cifras decimales (en el ejemplo son tres cifras). Si es necesario, aiiadir ceres para que despues del pun to haya esa cantidad de cifras: 0.045.

~ 2. Reunete con un companero. Utilicen las tecnicas anteriores para resolver las siguientes multiplicaciones, como en los ejemplos. Verifiquen sus resultados con calculadora.

Con la tecnica 1:

a) 0.5 x 0.3 = {0 x 1~ = 1~ ~ io = 1~0 = 0.15

b) 3.25 X 1.2 = ---- c) 0.05 x 1.02 = ___ _ d) 0.125 X 0.8 = __ _

Con la tecnica 2:

e) 0.5 x 0.12 = 0.060 = 0.06, pues 5 x 12 = 60 y en total hay tres cifras decimales.

f} 5.2 X 0.02 = -------

h) 10.52 X 2.05 = -------

g) 7.65 X 0.7 = -------

i) 0.125 X 0.5 = --------

NWnero, algebra y variaci6n • Multiplicaci6n y division

3. Las dos tecnicas anteriores estan relacionadas. Analiza, en grupo, el caso del recuadro y encuentra esa relaci6n.

Para multiplicar 0.7 x 0.08 ...

Tecnica 1 Tecnica 2

.-----------•.,.. • Se multiplican los numeros como si no tuvieran punto decimal:

56 1000 = 0.056

7 X 8 =56

'---c=--------1~ • Se cuentan las cifras despues del pun to de los factores y ese nu.mero de cifras se pone en el producto: 0.056

1. Resuelve los problemas. Utiliza la tecnica para multiplicar que te resulte mejor.

a) La escala 0.6 a 1 significa que a cada unidad de la figura originalle corresponden 0.6 unidades en la copia.

• Con esa escala, ;.la copia es mayor o menor que la

original? ___ _

• ;.Cual es el factor de escala? ___ _

• ;.Cuanto mide en la copia un lado que en la figura

original mide 25.5 em? ____ _

b) Una atleta gan6 la carrera despues de correr diez vueltas en una pista. Recorri6 23.3 km.

• ;.Cuanto mide una vuelta de la pista? ---------------

• ;.Que distancia se recorre con 110 de vuelta? -------------

c) Por cada peso que le presta el banco a Jose, dentro de tres afios debera pagar $2.25.

• ;.Pagara mas del doble o menos del doble de lo que le prestaron? ____ _

• ;.Cuanto debera devolver en tres afios por un prestamo de $508.50? -----

d) Un autom6vil consume 8.24 L de gasolina por cada 100 km que recorre.

• ;.Cuanto combustible gastara en un recorrido de 250 km? _______ _

• ;.Cuantos kilometres recorrera con 65.92 L? -------------

DESCUBRO MAS Si por cada peso que presta el banco se deben pagar $2.25, sign ifica que es necesario pagar el doble de Ia cantidad prestada, mast· lCuanto se debe pagar al banco por presta m os de $400.00, de $500.00

y de $1 000.00?

89 •

SECUENCIA


Resuelve problemas mediante Ia formulation y soluci6n algebraica de ecuaciones

lineales.

DESCUBRO MAS Six representa el costo de las medicinas,lque expresi6n corresponde al costo de los honorarios medicos?

MAS IDEAS En Ia actividad 1, Ia suma de ambos costos es 750 y uno de ellos es cinco veces el otro.

IVA: impuesto al va lor agregado.

. 90

Ecuaciones II Leccion 38. La incognita en un solo miembro

1. Trabaja en equipo. Analicen la informacion y respondan.

En una visita al medico, Hugo debe pagar $750.00. El monto incluye los honorarios medicos y el costo de las medicinas.

a) Si los honorarios medicos valen cinco veces lo de las medicinas, ,:que ecuaci6n tiene como soluci6n el costo de estas? Subrayenla.

X+~ = 750 5

X - 5x = 750

X+ 5x = 750

X +X+ 5 = 750

b) Resuelvan la ecuaci6n que subrayaron y anoten el costo de las medicinas.

c) Anoten el costo de los honorarios medicos.-------------

2. Respondan con base en Ia figura.

a) ,:Que ecuaci6n sirve para saber cuanto miden los !ados del rectangulo?

3x

Perimetro = 24 em

b) Resuelvan la ecuaci6n anterior y anoten las medidas de Ia figura.

Ancho: ____ _ Largo: ____ _

c) Verifiquen que, con las medidas que anotaron, el perimetro es 24 em.

3. El costo de un telefono celular, con el IVA de 16% incluido, es $4500.00.

a) Subrayen la ecuaci6n que sirve para calcular el costo sin NA.

x- 0.16x = 4500 x + 16x =4500

x + 0.16x = 4500 x -16x =4 500

b) Resuelvan la ecuaci6n que subrayaron y anoten lo que se pide.

Costo sin IVA: ______ _ NA: _____ _

Total: ------

t

NWnero, algebra y variacion • Ecuaciones

Comparen sus resultados con los de otro equipo. Verifiquen si eligieron Ia misma ecuacion en los problemas 1 y 3 y como hicieron para resolverlas. Despues, comenten Ia informacion del recuadro.

Una ecuacion puede sirnplificarse al agrupar terminos de un mismo !ado del signo igual o al efectuar Ia misma operacion en ambos miembros.

Por ejemplo, en Ia ecuacion x + 0.15x = 828, al agrupar los terminos en el primer miembro, se suman los coeficientes, 1 + 0.15, y se obtiene 1.15x = 828; al dividir entre 1.15 ambos miembros, se obtiene x = 720.

{e) 4. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno.

a) x + 4x = 235 b) 184 = Sy - y c) z + 0.05z = 45.15

d) a - 0.15a = 850 e) 43 + n + 24 + n = 137

5. Para cada problema, contesta las preguntas y haz lo que se indica.

a) La escuela A tiene 52 alumnos mas que la escuela B, y ambas escuelas juntas tienen 520 alumnos. Considera que xes la cantidad de alumnos de Ia escuela B.

• Anota, en terminos de x, la expresion algebraica que corresponde ala

cantidad de alumnos de A: ------------------

• Escribe una ecuacion que sirva para calcular cuantas alurnnos hay en cada escuela.

• Resuelve la ecuacion anterior y completa los textos.

La escuela A tiene fresas. La escuela B tiene alumnos.

b) De los tres angulos de un triangulo, el angulo B mide 30° mas que el A y el angulo C mide 12° menos que el B.

• Anota las expresiones algebraicas que corresponden a las medidas de los angulos A, By C. Considera que xes Ia medida del angulo A.

Angulo A: __ _ Angulo B: __ _ Angulo C: __ _

• Escribe una ecuacion para calcular las medidas de los angulos y resuelvela.

• ,:Cuanto mide cada angulo?

Angulo A: __ _ Angulo B: __ _ Angulo C: __ _

MAS IDEAS En Ia actividad 3, el costo sin IVA. mas el IVA, da el costo tota I.

DESCUBRO MAS (Por que x + 0.15x es igual a 1.15x? (Cuanto esx- 0.15x?

MAS IDEAS Si no aparece ni ngu n coeficiente junto a las literales es porque el valor del coeficiente es 1.

DESCUBRO MAS Si xes Ia cantidad de f resas de Ia canasta A, (cual es, en terminos de x, Ia expresi6n que indica Ia cantidad de fresas de 8?

91 •

MAS IDEAS El signo igual no solo si rve para expresar u n resu ltado, tam bien se usa para relacionar dos expresiones que val en lo mismo.

. 92

Secuencia 12

Leccion39. La incognita en ambos miembros

1. Trabaja en equipo. En cada problema, respondan o hagan lo que se indica.

a) Con base en !a informacion del esquema, hay que encontrar un valor de s con el que se llegue a! mismo resultado (m) por cualquiera de las dos rutas.

• ,:Que expresi6n algebraica representa !a ruta anaranjada?

• ,:Que expresi6n algebraica corresponde a !a ruta azul?

• ,:Que ecuaci6n expresa la igualdad entre las dos rutas?

• Resuelvan !a ecuaci6n anterior y escriban aqui !a soluci6n. _____ _

• Verifiquen que con el valor des que encontraron se llega a! mismo resultado (m) con am bas rutas.

Ruta anaranjada: --------Ruta azul: ---------

b) Si un numero se multiplica por 2 y luego se resta 5, se obtiene el mismo resultado que si ese numero se resta de 22.

• Subrayen la ecuaci6n que sirve para hallar dicho n\imero.

2x - 5 =x- 22 2(x - 5) = x - 22

2x - 5 = 22 - x 2(x - 5) = 22 - x

• ,:Cualeselnumerobuscado? ________________ ___

• Verifiquen que el numero encontrado cumple con las condiciones del problema.

( • 2. Resuelve las ecuaciones.

a) 3x + 2 = 2x + 5

b) 5z - 7 = 13 - 3z


Con ayuda del profesor, validen sus respuestas de las actividades 1 y 2. Comenten si usaron las mismas ecuaciones para resolver los problemas y si hicieron lo mismo para simplificarlas y encontrar Ia soluci6n.

(e) 3. En el siguiente esquema se muestra una tecnica para resolver ecuaciones. Anota lo que falta.

6(n + 1) = 4(n + 3)

Res tar 4n en ambos miembros

Efectuar multiplicaciones para eliminar parentesis

Reducir terminos semejantes

Reducir terminos semejantes

! Res tar 6 en ambos miembros

6n + 6- 6 = 4n + 12- 6

L.. __________________ _Jr·~----------------t._ ________ 22_n _=_-2s ______ ~

. Efectuar divisiones

4. Resuelve el problema completando los textos.

Las edades de una mama y su hija suman 70 aftos. Dentro de 5 ailos,la edad de Ia mama sera el triple que Ia de la hija. ,:Cu:H es Ia edad actual de Ia hija?

Expresiones algebraicas de las edades actuales: hija: x; mama: 70- x.

Expresiones algebraicas de las edades en 5 aftos: hija: _____ ;mama: _____ _

Ecuaci6n que relaciona los datos del problema:-------------

Edades actuales: hija: ______ ; mama: _____ _

5. Responde para resolver el problema. Trabaja en tu cuaderno.

Hilda y Jorge tenian $2 500.00 entre los dos, pero Jorge le dio $500.00 a Hilda y ahora ella tiene cuatro veces lo que tiene el. ,:Cuanto dinero tenia Jorge inicialmente?

a) Si en un principio Jorge tenia x pesos, ,:cuanto tenia Hilda en terminos de x?

b) Si Jorge le dio $500.00 a Hilda, ahora tiene x- 500. ,:Cuanto tiene Hilda?

c) El dinero actual de Hilda es cuatro veces lo que tiene Jorge. ,:Que ecuaci6n expresa esta relaci6n?

d) ,:Cual es Ia soluci6n de Ia ecuaci6n anterior?

e) ,:Cuanto dinero tenia Jorge al inicio?

f) ,:Cuanto tenia Hilda originalmente?

MAs Practica Ia ncl

resol uci6n de ecuaciones en www.redir.mx/SCMM1-093.

DESCUBRO MAS lCu:into es x + (70 - x)? lA que datos del problema corresponde esa su ma?

93 •

Secuencia 12

Lecci6n4o. Problemas diversos

MAS IDEAS (?' 1. Une, mediante lineas, cada problema con la ecuaci6n que lo resuelve.

En Ia lecci6n 17, pagina 49, revisaste algunas propiedades de las igua ldades; por ejemplo, que al sumar lo mismo en ambos miembros de una ecuaci6n, Ia ig ualdad no se altera.

MAS IDEAS 1201o puede expresarse

12 b" como 100, o 1en, como 0.12.

II a)

b)

c)

d)

. 94

Expresiones algebraicas de los datos

Largo:

Ancho:

Parte corta:

Parte media:

Parte larga:

Costo del juguete:

Cos to del envio:

Costo original de Ia chamarra:

Ganancia:

Problemas a) El peri metro de un rect:ingulo es 1 500 m. Si el largo

excede al ancho en 1.5 m,(cuanto miden los lados de Ia figura?

b) Una 'milia de 16.5 em se dividi6 en tres partes, de manera que cada una excede en 1.5 em a Ia anterior. (Cuanto mide cada parte?

c) El costo de un juguete mas el envio es 16.50 d61ares. El envio cuesta 20% del costo del juguete.(Cuanto vale el juguete?

d) Un comercia nte vende una chama rra en $750.00 y obtiene una ganancia de 20% sobre el costo orig ina I. (Cual es el costo original de Ia chamarra?

Ecuacioncs

x + 0.20x = 16.50

X + X + 1.5 + X + 3 = 16.5

2X+ 2x+3 = 1500

X + X + 0.20 = 16.50

x + 0.20x = 750

X + X + 0.20 = 7 50

2. A partir de la actividad anterior, aneta los datos que faltan en la tabla. Resuelve las ecuaciones en tu cuaderno.

Ecuacion Solucion Comprobacion

Largo:

Ancho:

Corta:

Media:

Larga:

Costo del juguete:

Envio:

Costo origina l:

Ganancia:


1. Resuelve los problemas.

a) La suma de tres numeros es 128. El segundo numero es el doble del primero y el tercero supera en tres unidades al segundo. ,:Cu:Hes son los numeros?

Exprtsionts algebraicas Ecuaci6n y soluci6n

b) Despues de aplicar un descuento de 30%, el precio de venta de una camisa es $350.00. ;,Cual es el precio sin descuento de la prenda?

Expresionts algebraicas Ecuaci6n y soluci6n

c) Un lado de un triangulo mide el doble de otro, el tercer lado mide 6 em y el peri metro es 18 em. ,:Cuanto mide cada lado de la figura?

Expresiones algebraicas Ecuaci6n y soluci6n

2. En el primer diagrama, encuentra el va lor de x y los numeros de las casillas vacias. En el segundo diagrama, halla el valor de x y los va lores de A y B. Usa ecuaciones para resolver los acertijos.

a) El numero que falta en cada casilla vacia corresponde a la suma de los dos que tiene arriba.

b) Cada numero sobre un lado del triangulo corresponde a la suma de los numeros en los vertices que forman ese lado.

A

DESCUBRO MAS lPor que x- 0.30x es igual a 0.70x?

Resputsta

Respuesta

Respuesta

X

34 B

95 •

SECUENCIA


Calcu Ia val ores fa ltantes en problem as de

proporcionalidad directa.

zConoces a alguien que I sepa dibujar pianos como

el de Ia ilustraci6n?

MAS IDEAS Aplicar el factor de escala x 2 a una figu ra y asignarle a Ia figura resu ltante el factor x 3 equivale a utilizar desde el princi pio el factor x 6 .

• 96

Factores de proporcionalidad Leccion 41. Copias de copias

a

Medida a

Medida b

Medida c

Medida d

Medida e

Medida f

f

• 1. Se han\n tres copias del plano que se muestra: las medidas de Ia copia A seran el triple de las del dibujo original; las medidas deB, el doble de las de Ia copia A; las de C, el doble de las de B.

a) ,:Cuantas veces seran mas grandes las medidas de B que las originales?

b) ,:Y las de Ia copia C? ____ _

c) Aneta las medidas que faltan en Ia tabla.

Plano original Copia A Copia B Copia C

7

2

3

d) En el esquema, los nfuneros de los 6valos indican por cuanto se deben multiplicar las medidas de un dibujo para obtener las de otto (son los factores de escala). Encuentra y aneta los que faltan.

Medida a

Medida b

Plano original Copia A

7

2

Copia B Copia C

Valida tus resultados con el grupo.Analicen Ia informacion de Ia capsula "Descubro mas" y comenten si alguno us6 un metodo similar para llenar las tablas.


(e) 2. Considera otras dos copias: las medidas de D son ~de las originales, es decir, cuatro veces menores; las medidas de E son tres veces mayores que las de D.

a) En Ia tabla, calcula y a nota las medidas de las copias D y E. Tambien escribe, en el6valo superior, el factor de escala que, a plica do a las medidas originales, produce las de E.

Plano original Copia D Copia E Copia F

Medida a 7

Medida b 2

Medida c 3

Medida d

Medida e

Medida f

b) Las medidas de Ia copia F son~ de las del dibujo original. Calcula sus medidas y an6talas en Ia tabla anterior.

I Aplicar el factor de escala x t equivale a producir primero una reducci6n con factor x ~ y despues una ampliaci6n con factor x 3.

.-------~~~------,

lr-GD--.~ 1 c) Si se aplican los factores en otro orden, es decir, si primero se amplia x 3 y

despues se reduce x {-. ,:se obtiene una copia igual o diferente a Ia anterior? Calculalo.

Plano original

Medida a

Medida b

3. Anota los factores que faltan.

DESCUBRO MAS Se a plica el factor de esca Ia my despues el n. lEs posible obtener lo mismo usando un solo factor?,(cual?

DESCUBRO MAS La co pia F debe ser ig ual a Ia E. £Por que?

DESCUBRO MAS Se a plica a una figu ra el factor de esca Ia x 4. Enseguida, a Ia copia obten ida se I e apli ca el factor de escala x -}. (La figura finales mayor, men or o igua I que Ia inicial?

97 •

lOue bicidetas son mas I comunes en tu localidad:

con o sin velocidades?

DESCUBRO MAS Un engrane X tiene el tri pie de dientes que u n engrane Y. Cua ndo el engrane X da una vuelta, (cuantas da el engrane Y?

. 98

(•

Secuencia 13

Leccion42. Bicicleta con cambios de velocidad

1. Para que te familiarices con los engranajes, organizate con tu grupo para llevar una bicicleta al salon. Comenten lo siguiente.

a) Las bicicletas sin velocidades tienen una rueda dentada (plato) en la que se coloca el pedal y otra mas pequefia (pifi6n) fija ala rueda trasera.

• Cuando el pedal da una vuelta, el plato tambien da una y el pifi6n da ... ,;mas de una vuelta o menos?

b) Las bicicletas de velocidades tienen pinones de distinto tamafio.

• ,;Cuando cuesta mas trabajo girar el pedal: en el momento en que la cadena esta sobre el engranaje mas pequefio o cuando esta sobre el mas grande?

• ,;Por que piensas que sucede eso? ----------------

• Si se quiere que con cada vuelta del pedalla llanta trasera avance lomas

posible, ,;que pifi6n se debe usar? ----------------

2. Las ruedas A y B estan engranadas (giran juntas). A tiene 24 dientes; B, 12. A

a) Cuando Ada una vuelta, ,;cuantas da B? __ _

b) Completa la tabla.

0 Vueltas

que da A

Vudtas que daB

3 6 B

30

B

0

32 40 60

c) El numero de vueltas de B es proporcional al de A. ,;Que significa esto?

d) ,;Que factor, al multiplicar las vueltas de A, da el numero de vueltas deB? __


I El factor de proporcionalidad es el nu.mero que a! multiplicar (o a! dividir) el numero de vueltas de una rueda, arroja el numero de vueltas correspondientes de otra rueda.

e) Anota, en el ovalo junto a Ia tabla anterior, el factor de proporcionalidad correspondiente. c

B 3. La rueda B tiene doce dientes; Ia C, 36.

a) Cuando B da una vuelta, ,:C da menos o mas de una?

b) ,:Cuantas vueltas da C cuando B da tres? __ _

c) ,:Que fracci6n de vuelta da C cuando B da una vuelta? ---------

d) Completa Ia tabla.

II Vueltas

que: da B

Vueltas que: da C

3 6

2 4 5 10

e) Verifica que el numero de vueltas de C es t del de B. Esa fracci6n es un factor de proporcionalidad. An6talo en el6valo correspondiente.

4. En este engranaje, A tiene 24 dientes; B, 12; yC,36.

a) Si Ada tres vueltas, ,:cuantas daB? __ _

,:Y cuantas da C? ____ _

b) Completa Ia tabla y verifica que ...

• al multiplicar las vueltas de A por 2 se obtienen las de B.

• al multiplicar las vueltas de B port (o al dividirlas entre 3) se obtienen las de C.

c) Los dos numeros del inciso anterior son factores de proporcionalidad. An6talos en los 6valos correspondientes.

d) ,:Que factor aplicado a las vueltas de A arroja las de C? Escnoelo en el6valo que corresponde.

3

2

3

4

5

6

7

B

c

5 "3

7 3

MAS IDEAS Multiplicar una cantidad por my el resu Ita do por ~ equivale a multiplicar di rectamente por It;.

99 •

Secuencia 13

Lecci6n43. Otros engranajes

lConoces alguna maquina I (• 1. Las ruedas A, By C estan engranadas. A tiene 120 dientes; B, 60; y C, 12. que tenga engranes?

ME COMPROMETO

Cua ndo de tecto que mi compa nero se equ ivoc6, se lo hago notar de manera respetuosa y constructiva. Cua ndo me hac en ver m is errores, me esfuerzo por aprender de ellos.

• 100

a) Si Ada una vuelta, ,:cuantas daB? ___ _

,:Y cuantas da C? ___ _

b) Completa la tabla.

c) Aneta, en los 6valos,los factores de proporcionalidad.

2. En otro engranaje, cuando D completa tres vueltas, E da una.

a) ,:Que rueda es mas grande? __

5

6

b) ,:Cuantos dientes podria tener cada una? Encuentra al menos dos soluciones.

• Primera soluci6n. D: _ , E: __

lr0?--8)- 1 • Segunda soluci6n. D: __ , E: __ ------3. Las ruedas D, E y F estan engranadas. Cuando D da tres vueltas, E completa una; si E da dos vueltas, F da una.

a) ,:Que rueda es la mayor? __

,:Cual es la menor? __

3

2

12

6

4

b) Completa la tabla y anota, en los 6valos,los factores de proporcionalidad.

c) ,:Cuantos dientes podria tener cada rueda? Halla al menos dos soluciones.

• Primera soluci6n. D: __ , E: __ , F: __

• Segunda soluci6n. D: __ , E: __ , F: __

Compara tus resultados con los de tus compaiieros. Si hay diferencias, averigtien a que se de ben y corrijan lo necesario .

NWnero, algebra y variacion • Proporcionalidad

(e) 4. Las ruedas G, H e I estan engranadas. Cuando G da cuatro vueltas, H completa una e I, tres.

a) ,;Que rueda es la mayor? __ ;_Y Ia menor? __ ;_Como lo sabes?

b) Completa la tabla y anota los factores de proporcionalidad.

c) ;_Cuantos dientes podria tener cada rueda? Encuentra al menos dos soluciones.

• Primera solucion. G: __ , H: __ , I: __

• Segunda solucion. G: __ , H: __ ,I: __

I 0@~---0 r r , ---4 3

Valida tus respuestas con el resto del grupo. Comenten la informacion del siguiente recuadro.

I Aplicar el factor de proporcionalidad x ~ equivale a aplicar sucesivamente los factores X a Y X t (este ultimo equivale a dividir entre b).


(! 1. En cada tabla se indican las vueltas de tres ruedas engranadas. Completalas y anota los

DESCUBRO MAS En un reloj, el engranaje de Ia maneci II a de las horas avanza

112

de vuelta cuando el de los minutos, 1 vuelta. iCuantos dientes pod ria tener cada engranaje?

factores de proporcionalidad.

0 ol-----,

I G . Od I!OtrO tl ------ ------3 6 12 15 5

2

l,o9ol ------6 2 12 2 10 3 12 3

3 4

101 •

SECUENCIA


Analiza y compara situaciones de variac ion

lineal a partir de sus representaci ones tabular,

gr.lfica y a lgebraica. lnterpreta y resuelve

problemas que se modelan con estos tipos de variac ion.

<Tu escuela cuenta con un I buen botiqufn?

DESCUBRO MAS lA partir de que cantidad de cajas el proyecto de Marcela es siempre m:is ba rato que los otros dos?

• 102

Variaci6n lineal II Lecci6n44. Costos de producci6n

€) 1. Analiza la informacion y haz lo que se pide o responde.

Los alumnos de una escuela haran cajitas de carton para regale y las venderan entre familiares y amigos; el dinero recaudado se usara para renovar el botiquin escolar. Tres alumnos presentaron proyectos con los costos de produccion que se muestran a continuacion.

Proyecto de Leticia Se requiere una inversion inicial de $30.00 y cada caja tiene un coste de produccion de $3.00.

Numero de cajas

Coste de produccion ($)

0

30

2 3 4 5 10 20

33 36

Proyecto de Martin El coste de producci6n por caja es de $4.00. No se requiere inversion inicial.

Numero de cajas

Coste de produccion ($)

0 2 3 4

4

Proyecto de Marcela

5 10 20

20 40

Se requieren $100.00 para la inversion inicial; fabricar cada caja cuesta $2.00.

Numero de cajas

Coste d( produccion ($)

0 2

100 102

a} Completa las tablas anteriores.

3 4 5 10 20

50

50

50

b) Si se requiere fabricar 60 cajas, tque proyecto tiene menor coste de produc-

cion? ------- tCual es ese coste? ______ _

c) tCon que proyecto es mas barato fabricar 100 cajas? _______ _

Valida tus respuestas y procedimientos con otros compaiieros. Identifiquen en que proyecto hay una relaci6n de proporcionalidad entre la cantidad de cajas y el coste de produccion. Para los proyectos en los que la relacion noes de proporcionalidad, argurnenten como lo determinaron .

NWnero, algebra y variacion • Funciones

(e) 2. Considera que x es el numero de cajas producidas y c, el costo de produccion. Subraya Ia regia de correspondencia de cada proyecto.

Proyecto de Lety:

x = 30 + 3c C= 3X+30 x = 3 + 30c c = 30x+3

Proyecto de Martin:

C = 4X C= X+ 4 x = 4c X= C+ 4

Proyecto de Marcela:

x = 100 + 2c c = 100x + 2 X = 2 + 100c c = 2x + 100

3. Completa las tablas. Los datos provienen de los proyectos de otros cinco alumnos.


C = 1.5X+ 200

C = 5x

C = 2.5X+ 75

Costo de produccion de cada caja ($)

3.5

1.2

Inversion inicial ($)

20

500

4. Las tablas son de los proyectos de otros tres alurnnos. Anota debajo de cada una su regia de correspondencia.

0 10 0 25 0 0

15 29 4.5

2 20 2 33 2 9

3 25 3 37 3 13.5

4 30 4 41 4 18

5 35 5 45 5 22.5

Compara tus respuestas y procedimientos con los de tus compafieros. Comenten como encontraron Ia regia de correspondencia a partir de cada tabla y como pueden verificar que es la correcta.

DESCUBRO MAS A partir de cierta cantidad de cajas hay un proyecto que siempre es m:is barato que I os dem:is, l cu:il es su reg Ia de correspondencia?

103 •

DESCUBRO MAS Si Ia regia de correspondencia es d = 60t + 60, len cuanto tiempo llega el vehiculo al kilometre 300?

MAS IDEAS Una manera de comprobar si u n pun to pertenece a una recta es sustituir las coordenadas del punto en Ia regia de correspondencia y verificar si se cumple Ia igualdad.

• 104

Secuencia 14

Leccion4s. Autom6viles en carretera

1. Trabaja en equipo. Consideren las siguientes situaciones de tres automoviles en una carretera.

Automovil A: inicia en el kilometre 0 y avanza a una velocidad promedio de 60km/h.

Automovil B: inicia en el kilometre 60 y avanza a una velocidad promedio de 60km/h.

Automovil C: se encuentra detenido en el kilometre 60.

a) Junto a cada recta, anoten A, B o C, seg1ln el automovil al que corresponde.

y 250 --

200

E ~ ~ ·;:; 1§ 150 ~

Ci

100

50

0 2 3 Tiempo (h)

X

b) Anoten A, B o C debajo de cada expresion algebraica, seg1ln el automovil al que corresponde. Consideren que t es el tiempo (en horas } y d, la distancia (en kilometres).

d=60t+60 d = 60 d = 60t

c) Escriban A, B o C debajo de cada pareja de coordenadas para indicar a que recta pertenece cada punto. Pueden asignar mas de una letra a cada pareja.

(0,0) (0,60} (1,60) (1,120) (2,60) (2,120}

Comparen sus respuestas con las de otro equipo y comenten como identificaron las graficas y las reglas de correspondencia. Para cada punto del incise c), expliquen como se interpretan las coordenadas; por ejemplo, ,;que seitala el 2 en el punto (2,60}?, ,;que indica el60?, ,;como se interpretan ambas coordenadas juntas?

NWnero, algebra y variacion • Funciones

2. Las graf1cas muestran Ia relacion entre Ia distancia recorrida y el tiempo transcurrido para tres automoviles que avanzan a distinta velocidad promedio.

y 250

~ ·~ ]3 150 ·"' 0

50

0 Tiempo(h)

2 X

a) Describan la situacion de cada automovil, es decir, en que kilometro se encuentran cuando inician el con teo de tiempo y a que velocidad avanzan.

D: ______________________________________________ __

E: ______________________________________________ __

F: __________________________________________________ ___

b) Completen Ia tabla. Cada regia de correspondencia asocia a Ia cantidad de tiempo trascurrido (x) y la distancia recorrida por el vehiculo (y).

Vdocidad a Ia que avanza (km/h)

Regia de corrcspondencia

Y= 120x

c) A continuaci6n se muestran las coordenadas de varios puntos; algunos de ellos no estan en Ia grafica anterior, pero es posible saber de que recta son. Anoten D, Eo F debajo de cada pareja de coordenadas para indicar a que recta pertenece cada pun to.

(1, 120) (1.5, 180) (2, 90) (5, 90) (8, 960) (10, 750)

Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Comenten como identificar en las rectas el kil6metro en el que esta cada autom6vil y como calcular Ia velocidad a Ia que va. Platiquen tambien como se puede saber si un punto de ciertas coordenadas pertenece o no a una recta a partir de Ia regia de correspondencia.

MAS IDEAS La reg ia de correspondencia indica Ia relaci6n que hay entre las coordenadas de I os puntas de una gr:ifica. Por ejempl o, si Ia regia es Y= 20x + 30, significa que en las coordenadas de cad a pu nto el valor de yes 20 veces e I val or de x, mas 30.

MAS IDEAS Una recta puede prolonga rse tanto como se quiera; por ejemplo, las rectas de Ia actividad 2 podrian extenderse hasta saber cu:i ntos kil6m etros ha recorrido cad a autom6vi I despu es de 10 horas.

105 •

MAS IDEAS En Ia regia de correspondencia y = 2x + 5, el 2 es el coeficiente de Ia x. En Ia g r:ifica, este numero se obtiene al analizar cuanto aumenta (o disminuye) Ia ycuando Ia xaumenta una unidad.

• 106

Secuencia 14

Lecci6n46. Recipientes con agua

1. Trabaja en equipo. Analicen la informacion y respondan o hagan lo que se pide.

A un recipiente vado se le agrega cierta cantidad de agua y se pesa el contenedor: la bascula marca 50 g. Despues se agrega otra porci6n de agua identica a la anterior: ahora el recipiente y elliquido pesan 70 g.

a) Imaginen que se continuan agregando cantidades identicas de agua. Com pieten la tabla.

Porcionts de agua

Peso del rtcipiente (gramos)

0

b) Tracen la grafi.ca correspondiente. y

150

100

-f

0 2 3 Porciones de agua

2 3 4 5

4 5 6 X

c) .:Cual es la regla de correspondencia que relaciona el numero de porciones de agua (x) con el peso del recipiente (y)?

Com para tus respuestas con las de tus compafieros. Comenten, para la regla de correspondencia que encontraron, .:que numero representa el peso del recipiente vado?, .:cual representa el peso de cada porci6n de agua?, .:d6nde se observan estas cantidades en Ia grafica?


(!) 2. Completa Ia tabla. Esta indica situaciones similares a las de la actividad 1, con otros recipientes a los que se les agrega porciones identicas de agua.


Y= 30X + 50

Y= 25X + 30

Y= 35X + 50

Peso de cada porci6n de agua (g)

35

50

Peso del recipiente vacio (g)

50

100

3. La grafica corresponde a otros recipientes a los que se les agrega porciones iguales de agua.

0

a) Completa Ia tabla.

Peso del reci piente vacio

Peso de cada porci6n de agua


2 3 4 5 6 Porciones de agua

Recta verde Recta azul

Com paratus respuestas con las de dos o tres compaiieros. Comenten como encontraron el peso de cada porci6n de agua a partir de la grafica.

DESCUBRO MAS Una regia de correspondencia es y = sox + 200. Si el peso del recipiente con agua es BOO g, lcu:intas porciones de agua ti ene?

107 •

MAS IDEAS En cada linea de

autobuses, el a umento en

Ia tarifa por cada 20 km

se ma ntiene constante.

• 108

Secuencia 14

Leccion47. jVamonos de excursion!

(• 1. Los alumnos del grupo 1 o A planean ir de excursion y necesitan rentar un autobus. Han consultado los precios que ofrecen tres lineas de autobuses de acuerdo con la distancia del viaje.

Linea A Linea 8 linea C

20 2200 20 3000 20 1600

40 3400 40 4000 40 3200

60 4600 60 5000 60 4800

80 5800 80 6000 80 6400

100 7000 100 7000 100 8000

a) Si van a un Iugar que esta a 20 km de la escuela, ,;que lineales conviene rentar?

b) ,;Y si van a un Iugar a 60 km de la escuela? -------------

c) ,;Y para un Iugar a 120 km? ------------------

d) ,;Cuanto se paga en cada linea por un viaje de 200 km?

UneaA: _________ _ Linea B: ------ Linea C: ------

Compara tus resultados con los de otros compaileros. Comenten si el coste de un viaje de 200 km es el doble del coste de un viaje de 100 km en cada linea de autobuses.

2. Trabaja en equipo.

a) Anoten la regla de correspondencia que relaciona la cantidad de kilometres (x) con el coste (y) para cada linea de autobuses.

Unea A: _____ _ Linea B: _____ _ Linea C: _____ _

b) Tracen las gra£1cas correspondientes en su cuademo. Analicenlas y respondan.

• ,;Para que distancias conviene contra tar la linea A? ---------

• ,;YlalineaB? ______________________ _

• ,;YlaC? _________________________ _


& Comparen sus respuestas con las de otros equipos. Comenten como encontraron las reglas de correspondencia y que significa cada uno de los numeros de dichas expresiones.


(! 1. Con la longitud del femur se puede calcular la estatura aproximada de una persona.

a) Representa algebraicamente las relaciones de los recuadros; expresa la medida del femur con x y La estatura cony.

Mujer: _______ _

Hombre: -------

b) En las expresiones anteriores, ;.que significa el numero que multiplica a la variable x?

c) ;.Cuat es la estatura de una mujer cuyo femur mide 45 em?

i.Y para el caso de un hombre?

d) <.Cuanto mide el femur de un hombre de 1. 7 9 m de estatura?

... Femur

I Estatura aproximada de una mujer: 47 em mas 2.6 veces Ia longitud del femur

I Estatura aproximada de un hombre: 64 em mas 2.3 veces Ia longitud del femur

i.Y el de una mujer de 1.51 m de estatura? --------------

e) <.Cual es tu estatura? ----------------------

Segun la expresi6n algebraica del primer inciso, <.cuanto mide tu femur? ___ _

f) Traza, en tu cuaderno, las graficas correspondientes a las expresiones que hallaste en el inciso a).

DESCUBRO MAS Si y = 7 x + 9, entonces (X = ... ?

109 •

SECUENCIA

15 Aprendizaje esperado: Formula

expresiones algebraicas de primer grado a partir

de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de Ia sucesi6n que representan.

Figura 1

• • DESCUBRO MAS Si Ia sucesi6n A continua, {alguna figura tendr:i 9999 mosaicos? LC6mo lo sabes?

Figura 1

• ..

Figura 1

sucesi6n: conjunto ordenado de objetos

matem:iticos (numeros, figuras, lineas ... ) que

siguen una regia o patron.

• 110

Sucesiones Leccion 48. Mosaicos

~ 1. Trabaja en parejas. Para cada sucesi6n de figuras, dibujen la quinta figura y completen la tabla.

Figura 2

•• •• Numero

de figura

Cantidad de

mosaicos

Figura 2

• Numero

de figura

Cantidad de mosaicos

Figura 2

••• • • ••• Numero de figura


Figura 3

••• ••• 2

Succsi6n 8

Figura 3

• 2

Succsi6n C

Figura 3

•••• • • • • • ••• 2

3

3

3

Figura 4

•••• • ••• 4

Figura 4

4

Figura 4

• •••• • • • • • • ••••• 4

Figura 5

5 50 100

Figura 5

5 50 100

Figura 5

5 50 100

NWnero, algebra y variaci6n • Patrones, figuras geometricas y expresiones equivalentes

Sucesi6n 0

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

•• ••• •••• • •••• • • • • • • ••• • • • • • • •••• • • • • • •••• Numero

de figura


Figura 1

•

2

Figura 2

• •••

3 4 5

Sucesi6n E

Figura 3

•

50

• 100

Figura 4

• • •

•

• ••••• • •••••• Numero

de figura


2 3 4 5 so 100

2. Escriban una regla para calcular Ia cantidad de mosaicos a partir del numero de figura de las sucesiones de Ia actividad anterior. Observen el ejemplo.

A: Se multiplica el numero de figura por 2.

B: ____________________________________________________ ___

C: -------------------------------------------------------0: ____________________________________________________ ___

E: ________________________________________________ __

j) Con el resto del grupo, validen sus respuestas de las actividades 1 y 2. Comenten si las reglas para calcular Ia cantidad de mosaicos son las mismos para cada sucesi6n o hay algunas que, aunque sean diferentes, arrojan los mismos resultados.

Figura 5

MAS IDEAS La su cesi6n D es muy parecida a Ia C. Esto ayuda a completar una tabla a partir de Ia otra.

Figura 5

DESCUBRO MAS Una figura de Ia sucesi6n D tiene 3 998 mosaicos, l que numero de figura es?

111 •

Figura 1

DESCUBRO MAS Si n vale l,lcu:into valen las siguientes expresiones? Sn 5n + 1

Sn - 4 lYsin va le 2?

• 112

Secuencia 15

Leccion49. Simbolos en Iugar de palabras

(• 1. Considera Ia siguiente sucesi6n de figuras formadas con palillos.

Sucesion F Figura 2 Figura 3

a) Dibuja Ia cuarta figura y completa Ia tabla.

Numero

de figura

Cantidad de palillos

2 3 4

Figura 4

5 50

b) ,:Como se calcula Ia cantidad de palillos a partir del numero de figura?

c) Completa el siguiente texto.

100

La figura 8 tendra 3 x 8 palillos; Ia figura 17, 3 x 17 palillos; Ia 1000,

______ palillos; Ia figura n, __ palillos.

I Cuando se usan letras, como n, para representar n1lmeros, nose emplea el signo x para indicar multiplicaci6n porque puede confundirse con Ia letra equis (x}. En Iugar de escribir 3 x n, se aneta 3n, que significa "tres por n• o "tres veces n•.

2. A partir de las reglas que propusiste en Ia actividad 2 de Ia lecci6n anterior, escribe expresiones para Ia cantidad de mosaicos que se emplearan para Ia figura n de cada sucesi6n. Observa el ejemplo.

Sucesi6n A: 2n

Sucesi6n B: ---------------------------Sucesi6nC: ____________________________________________________ _

Sucesi6nD: _________________________________________________ _

Sucesi6n E: -----------------------------------------------------Sucesi6nF: ____________________________________________________ _

11 En grupo y con ayuda del profesor, valida las respuestas de Ia actividad 2. Comenten si hay expresiones que se escriben de manera diferente a pesar de que son equivalentes, es decir, arrojan siempre el mismo resultado


1. Completa la tabla para cada sucesi6n y responde.

Figura 1

Numero dt figura

Cantidad de rombos

Cantidad de triangulos

Total de poligonos

Figura 1

••• •••

Numtro dt figura

Cantidad dt htxagonos

Cantidad de triangulos

Cantidad de cuadrados

Total de poligonos

Sucesi6n G

Figura 2

2 3 4

Succsi6n H

Figura 2

••••• •••••

2 3 4

Figura 3

5 50 100 n

Figura 3

••••••• • ••••••

5 50 100 n

a) Una figura de la sucesi6n H tiene 38 cuadrados. ,:Cuantos hexagonos tiene esa figu ra?

__ i.Y cuantos triangulos? __

b) Una figura de la sucesi6n G tiene en total 101 poligonos. ,:Cuantos rombos tiene?

__ ,:Y triangulos? __

c) ,:Que figura de la sucesi6n H tiene 178 poligonos en total? ___ ,:Cuantos cuadra-

dos tiene dicha figura? __ i.Y hexagonos? __

MAS IDEAS La cantidad de rombos en Ia sucesicin G es Ia m is rna que Ia del numero de figu ra, es decir, Ia figura 1 tiene un rombo; Ia 2, dos rombos; Ia n, n rombos.

MAS IDEAS La expresi6n para n del tota I de pol igonos corresponde a Ia suma de las expresiones anteriores en esa columna.

113 •

DESCUBRO MAS La regia de una sucesi6n es "mult iplicar por 5 el I ugar que ocu pa el termi no y

sumar 6 al resu ltado~

lC6mo lo expresas algebraicamente? lY si Ia regia fuera "restar 3 al cu:idruple del Iugar que ocupa el termino"?

• 114

Secuencia 15

Leccion so. Construcci6n de sucesiones

® 1. Trabaja en pareja. Consideren la sucesion de n\imeros.

2, 8, 14, 20, 26, ...

Como se observa en el diagrama, cada n\imero ocupa un lugar en la sucesion; los puntos suspensivos ondocan que la sucesi6n continua.

Numero

Lugar

a) Completen la tabla.

Numc:ro

Lugar que ocupa c:n Ia sucesi6n

2, 8,

2

62

10

14, 20, 26, ...

+ 3 4 5

98

50 n

(• 2. Para cada una de las sucesiones, a nota el n\imero que ocupa el lugar indicado.

Lugar --------=---2, 4, 6, 8, 10, ...

1, 3, 5,7, 9, ...

7, 14, 21 , 28, 35, ...

8, 15, 22, 29, 36, ...

2, 6, 10, 14, 18, ...

Com paratus resultados con los de tus compaiieros. Comenten como calcularon los numeros para completar las tablas; en particular, los n\imeros en el lugar n. Despues, analicen la informacion del recuadro.

Una sucesion de numeros es un conjunto ordenado de numeros, formados de acuerdo con una regia (siguen un patron), por ejemplo: 4, 9, 14, 19, 24, 29, ...

Cada uno de los elementos de la sucesi6n se llama termino. Cada termino ocupa un lugar definido en la sucesion: el4 ocupa ellugar 1; el9, ellugar 2; el14, ellugar 3, y asi sucesivamente.

La expresion para obtener el numero que esta en ellugar n es la regia general de Ia sucesi6n, que en este caso es Sn -1.

NWnero, algebra y variacion • Patrones, figuras geometricas y expresiones equivalentes

(• ) 3. Responde o haz lo que se indica.

a) Explica como puedes comprobar que Ia regia general de Ia sucesion del recuadro anterior es 5n - 1.

b) ,;Que nu.mero ocupa ellugar 100 de Ia sucesion? __________ _

c) ,;En que lugarva el numero 349? En ellugar ____________ _

d) ,;El numero 502 pertenece a Ia sucesion? --------------

,;Comolosabes? ______________________ ___

e) Calcula y anota los primeros cinco terminos de Ia sucesion cuya regia es ?n-1.

Compara con otros compaiieros tus respuestas. Comenten como calcular los terminos de una sucesi6n si se conoce su regia general y analicen Ia siguiente

L informacion.

En las reglas generales de las sucesiones, los valores que toma Ia variable n son los numeros naturales 1, 2, 3, ... ,que representan ellugar de cada termino de Ia sucesion.

Si Ia regia general de una sucesion es 3n + 5, el termino que ocupa ellugar 20 es

3(20) + 5 = 60 + 5 = 65

4. Completen Ia tabla para generar sucesiones de numeros. El rengl6n de Ia expresi6n 7n ya esta resuelto.

Valores den

MAs Usa una hoja ncl

de c:ilculo para generar sucesiones.

115 •

MAS IDEAS La expresi6n

3n - (n - 1) equivale a

3n - n + 1

MAS IDEAS Una forma de com pro bar que dos reg las de una sucesi6n son equ ivalentes es dar va lores any comprobar que se generan los mismos numeros con cada regIa.

• 116

Secuencia 15

Leccionsl. Diferentes pero equivalentes

S 1. Trabaja en grupo. Analicen los tres diferentes razonamientos con los que se puede obtener la regia de la sucesi6n mostrada y completen la tabla. En los tres cases, n es el numero de fi.gura.

Figura 1

n Razonamiento

Se considera Ia herradu ra de Ia fi gura 1

formada por 3 palillos. El n umero de herradu ras es ig ual a n, pero hay que resta r los palillos que se cuentan doble (rojos).

El numero de palillos rojos es igual a n. El numero de palillos azules es igual an+ 1.

Se consideran las esquinas que se forman

condos palillos. El n umero de estas es igual a n. Luego hay

que sumar un palillo (el de color cafe).

Figura 2 Figura 3

Ayuda visual

Figura 1 Figura 2 Figura 3

3n - (n - 1)



Con ayuda del profesor, validen las reglas que escribieron. Si respondieron bien, las expresiones de la tercera columna de ben ser equivalentes.

2. Trabaja en equipo. En la tabla se muestran dos reglas para la sucesi6n mostrada. Comenten como se obtuvieron ambas reglas y verifiquen que sean equivalentes.


:z:


Figura 1

•• • • Figura 1

••• •••

Ayuda visual

Figura 2 .. -•• • •

Figura 2

••••• •••••


Figura 3 -·••• • •• Figura 3

••••••• -·····

Regia

2(2n+ 1) + 1

1. Completa la tabla a partir de La sucesi6n. Despues, responde o haz lo que se pide.

Figura 1

Numrro dr figura

Cantidad dr hrxagonos

Cantidad dr triangulos

Cantidad dr rombos

Cantidad de traprcios

Total dr poligonos

Figura 2 Figura 3

b) Una figura de La sucesi6n anterior tiene 44 triangulos, i.Que numero de figura es? __

c) otra figura de La sucesi6n tiene 22 triangulos, i.Cuantos hexagonos tiene? __ i.Y

cuantos rombos?

d) i.Hay una figura de La sucesi6n que tenga 100 poligonos en total? __ i.C6mo lo

sabes? _______________________ _

DESCUBRO MAS lnventa una sucesi6n de figuras en Ia que cada una tenga distintos tipos de po ligonos y encuentra Ia expresi6n algebra ica para e I total de poligonos de Ia figura n.

117 •

Aprendizaje esperado: Analiza Ia existencia y

unicidad en Ia construcci6n de tri:ing ulos y cuad ril:iteros.

<C6mo influye Ia I inclinaci6n de una

escalera en su seguridad y facilidad de uso?

MAS IDEAS El simbolo 4A se lee •Medida del :ingulo A·.

DESCUBRO MAS Si dos :ing ul os adyacentes forman una media vuelta y por tanto suman 1ao•, (c6mo se puede obtener Ia medida de uno a partir de Ia del otro?

B =sa·

A+B=180'

• 118

Angulos, trhingulos y cuadrilateros Leccion s2. El barandal I

(- 1. Trabaja en pareja. Respondan sin medir los angulos (mas adelante podran comprobar si sus respuestas son correctas).

a) Marquen con rojo cinco angulos que midan lo mismo que el angulo A y con azul cinco angulos que midan lo mismo que el B.

b) Consideren que el angulo Amide 75• y anoten las medidas de los siguientes angulos.

4B= __ _ 4C= __ _ 4D= __ _

c) Expliquen como deterrninaron la medida de cada angulo.

4B: ____________________________________________ _

4C: ______________________ _

40: __________________________________________ ___

Comparen sus respuestas y explicaciones con sus compaiieros de grupo y mencionen como supieron la medida del angulo C. Despues, lean y comenten la siguiente informacion.

Los angulos opuestos por el vertice son aquellos que comparten el mismo vertice y los !ados de uno son prolongacion de los !ados del otro. Por ejemplo, los angulos N y M son opuestos por el vertice.


(•) 2. Considera el barandal de Ia actividad 1.

a) Anota tres parejas de angulos opuestos por el vertice .

• __ y __ • __ y __ • __ y __

b) Para averiguar como se relacionan las medidas de los angulos opuestos por el vertice, completa el siguiente razonamiento.

• El angulo A mas el B suman 180° porque forman un angulo de media vuelta.

• El angulo C mas el B suman __ porque forman un angulo de media vuelta.

• Como A y C suman __ con el angulo __ , entonces A y C -----

3. Calcula Ia medida de los angulos que se indican.

/ M

so·

a) l(.M = __

l(.N = __

R

d) l(.R = _

l(.S = --

b) l(.A = __

l(.B = __

e) l(.C = __

l(.D = --

c) l(.P = __

l(.Q = __

t X + 15'

f) l(.G = _

l(.H = --

Valida con tus compafteros las respuestas. En particular, comenten como son entre sf las medidas de dos angulos opuestos por el vertice y que ecuaciones plantearon en los casos que aparece Ia literal x.

MAS IDEAS En estos casos, Ia I iteral x representa una medida en grados; por ejemplo, uno de los :ing ul os m ide xgrados.

DESCUBRO MAS Si X + 10' + X = 180', (cual es el valor de x?

119 •

rectas paralelas: aquellas que, por mas que

se prolonguen, nunca se co rtan; es deci r, sie mpre

conservan Ia misma distancia entre si.

MAS IDEAS El simbolo LAse lee •Angulo A~

• 120

Leccion 53. El barandal II

(4e 1. Trabaja en pareja. Ahora el angulo mide 60 grades.

a) ,:Cuanto miden los angulos B, C y D?

~B = __

~C = __

~D = __

b) ,:Y los otros cuatro angulos?

~! = __

Secuencia 16

~] = __

~K = __ ~L = __

2. Analicen Ia informacion y completen Ia tabla que aparece despues.

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman parejas de angulos que tienen nombres espedficos; por ejemplo, en Ia figura, A y E son cingulos correspondientes, mientras que A y G son cingulos alternos internos.

Parejas de angulos ~-----~~

Angulos correspondientes Caracteristicas

(Estan del mismo lado de Ia transversal ode distinto lado?

(los dos angulos estan entre

las dos rectas para lei as o fuera de elias?

(Tienen el mismo o diferente

vert ice?

(Como son entre si sus

medidas?

!..A y !..E;

LC y LG

Uno dentro y otro fuera

Angulos alternos internes LAy LG;

LD y LF

De distinto


(• ) 3. Para averiguar como se relacionan las medidas de los angulos correspondientes, calca el dibujo que se muestra, corta por la linea punteada y pon encima del angulo E su angulo correspondiente A.

a) (Los angulos E y A tienen Ia mis-

ma o diferente medida? ___ _

b) Escribe dos parejas de angulos co

rrespondientes que no esten en la

tabla anterior. _______ _

B A

4. Para averiguar como se relacionan las medidas de los angulos altemos internes, completa el siguiente razonamiento.

Los angulos AyE miden lo mismo por ser angulos -----------

Los angulos G y E miden lo mismo por ser ---------------

Como los angulos A y G miden lo mismo que el _ , entonces A y G

Compara las respuestas con las de tus compaiieros. Hagan un razonamiento similar al anterior para justificar que los angulos D y F del barandal tienen la misma medida. Lean y comenten la informacion del recuadro.

I Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman angulos correspondientes iguales y angulos altemos internes iguales.

1. Calcula las medidas de los angulos que se indican.

G

DESCUBRO MAS Traza, en tu cuaderno, un sistema de rectas que no sean para lelas y que las corte una transversa I. i. Los ang ulos correspondientes son igua les?

ME COMPROMETO

Ante un problema nuevo, echo mano de lo que ya se; por ejemplo, en Ia ventana y en Ia pu erta hay sistemas de paralelas y transversales que las cortan.

)M= 125' P

Z.A= __ Z.B = __ Z.G= __

Z.H = __

Z.N = __

121 •

DESCUBRO MAS iCuanto mide cada angu lo de un triangu lo equilatero? iCuanto suman los :ingu los agudos de u n tria ngu lo rectangu lo?

MAS LIBROS Si qu ieres a prender mas sobre angu los y rectas en u n contexte ludico, lee El bill or noes de vagos. Ciencia, juego y diversion, de Carlos Bosch.

• 122

Leccion s4. ~Cuanto suman?

( • 1. Haz lo que se indica.

a) Traza en una hoja un triangulo cualquiera y rec6rtalo. Despues, marca sus angulos y n6mbralos X, Y y Z.

Secuencia 16

Finalmente, corta sus tres angulos y reacom6dalos para formar uno solo.

,:Cuanto es 2(.X + 4Y + "t,.Z? ___ _

b) Traza y recorta otro triangulo cualquiera, marca sus angulos y n6mbralos A, B y C. Haz los dobleces que marcan las lineas punteadas.

,:Cuanto es 4A + "t,.B + "t,.C? ___ _

(-e 2. Trabaja en pareja. Las rectas anaranjadas son paralelas entre si.

A B

c D E

a) Marquen con color azul un par de angulos alternos internes y con verde uno de angulos correspondientes.

b) ,:Cuanto suman los angulos A, By C? ---------------


c) Para comprobar su respuesta anterior, completen el siguiente razonamiento.

Los angulos D, C y E suman __ porque forman un angulo de media vuelta.

El angulo A es igual al angulo D porque son------------

El angulo B es igual al angulo E porque son------------

Entonces, A + C + B = _ + C + _ = 180•; es decir, los tres angulos interiores

del triangulo ABC suman ____ vuelta.

Verifiquen si llegaron a la siguiente conclusion; sino fue asi, comenten por que.

I Las medidas de los angulos interiores de cualquier triangulo siempre surnan 1so• (media vuelta).

(e) 3. Considera los siguientes cuadril:heros.

a) iSupones que la suma de los angulos interiores de cualquier cuadrilatero es

siempre la misma? ------------------------

b) Situ respuesta anterior fue afirmativa, ,:cuanto consideras que es esa suma?

c) Para comprobar tus respuestas anteriores, haz y responde lo siguiente.

Traza una diagonal en cada cuadrilatero.

iEn cuantos triangulos se dividio cada cuadrilatero? _________ _

iCuanto suman los angulos interiores de cada triangulo? _______ _

Entonces, ,:cuanto suman los angulos interiores de cada cuadrilatero? __ _

& Compara tus respuestas con las de tus compaiieros. Redacten una conclusion grupal acerca de la suma de los angulos interiores de los cuadrilateros e ilustrenla con tres cuadrilateros diferentes.

diagonal: segmento que une dos vertices no consecutivos de un poligono; por eje mplo, en Ia figura que se muestra, Ia linea punteada es una diagonal.

123 •

MAS IDEAS Recuerda que Ia suma de I OS :ingu los i nternos de cualqu ier triangulo es 180°

angulo agudo: aquel que mide me nos de 90 grados.

angulo recto: el que mide 90 grados.

angulo obtuse: aquel que mide mas de 90 grados, pero me nos de 180 grados.

• 124

Secuencia 16

Leccion 55. ~Posible o imposible?

(• 1. Responde y haz lo que se pide.

a) Si en un triangulo un angulo mide 30° y otto 70•, ,:cuanto mide el tercer

angulo? __ _

b) Con base en las indicaciones, traza en tu cuaderno un triangulo que tenga un angulo de 30° y otro de 70•. Verifica que el tercer angulo mide lo que respondiste en Ia pregunta anterior.

• Se traza un segmento que sera uno de los !ados del triangulo.

• Se coloca el transportador en el otto extreme del segmento y se traza un angulo de 70 grades.

• Se coloca el transportador en un extreme del segmento y se traza un angulo de 30 grades.

• Se verifica que el otro angulo mida 80 grades.

Valida las respuestas con tus compaiieros. Comenten Ia siguiente informacion.

I Los triangulos que tienen ... • un angulo recto se Haman tricingulos rectangulos. • un angulo obtuso se denominan tricingulos obtuscingulos. • tres angulos agudos se Haman tricingulos acutangulos.

2. Trabaja en equipo. Determinen y anoten si es posible o imposible construir un triangulo que sea al mismo tiempo ...

a) isosceles y acutangulo: ---------------------

b) equilatero y rectangulo: -------------------


c) rectangulo e isosceles:---------------------

d) rectangulo y obtusangulo: -------------------

r. Com en ten sus respuestas con el grupo. Para los triangulos que se pueden construir, tracen ejemplos; para los que no, argumenten por que es imposible la construcci6n.

1. Responde o haz to que se indica.

a) Dos rectas se cortan formando cuatro angulos iguales, ~cuanto mide cada uno? __

b) Si las rectas anaranjadas son para lelas ...

• ;.cuanto mide el angulo M? __

• i.Y el N? _______ _

c) ;.Cuanto mide cada uno de los angu-

los agudos de un triangulo rectangu-

lo isosceles? _______ _

d) Los angulos interiores de un cuadrilatero miden x, 2x, 3x y 4x.

;.Cuantos grados mide cada uno? -------------------

2. Completa La tabla indicando si es posible o imposible construir cada figu ra y argumenta por que.

Caracteristicas de Ia figura

Un rom bo con dos ang ulos de 30' y dos de 100'.

Un cuad rilatero con dos an gu los rectos y dos obtusos.

Un triang ulo con ang ulos de 1, 2 y 177 grados.

Un cuad rilatero con angul os de 110, 70, 100 y BO grados.

['Es posible o imposible? ['Por que? DESCUBRO MAS En cierto triangulo is6sceles un angu lo m ide 10' mas que cualq ui era de los otros dos.lCuanto mide cada angulo?

125 •

SECUENCIA

17 Aprendizaje esperado: Calcu Ia el perimetro de

pol igonos y areas de triang ulos y cuad rilateros, desarrollando y aplicando

formulas.

explicito: que se expresa de manera clara y evidente,

es decir, sin informacion oculta o Iugar para dobles

interpretaciones.

DESCUBRO MAS Expl ica por que el area de I recta ngu lo verde no es seis cuadrados.

• 126

Perimetro y area I Leccion sG. Medidas de rectangulos

!) 1. Imagina rectangulos diferentes (pequeiios, grandes, angostos ... ) y objetos con forma de rectangulo (losetas, ventanas, mesas, canchas deportivas ... ). Describe

que medidas son necesarias y que procedimiento utilizarias para calcular su pe

rimetro y su area.

2. Determina el area y el perimetro de cada rectangulo. Considera que en algunos

cases Ia medida de los !ados nose da explicitamente.

a) Rectangulos trazados en una cuadricula. La unidad de area es un cuadrado

pequeiio y Ia unidad de longitudes un !ado de ese cuadrado.

A=--------- A=---------

P= ____ _ P= ____ _

b) Rectangulo con medidas reales. Usa tu juego de geometria para medir lo ne

cesario y responder.

A= __ _ P= __ _

Forma, espacio y medida • Magnitudes y medida

c) Rectangulos con medidas ocultas. E, G, H e I son los puntos medios de los lados del rectangulo. E

A= __ _

P= __ _ G

El radio del drculo pequefio mide 3 unidades y el radio del drculo grande, 5 unidades.

A= __ _

P= __ _

12.5m

d) Rectangulo con medidas representadas con literales. Ellargo mide m y elancho mide n.

m A= __ _

P= ----

n

l._ _ _.. & En grupo, analiza cada respuesta. En caso de haber diferencias, averigtien a que

se deben (tengan en cuenta que puede haber mas de una respuesta correcta). Analicen la informacion del recuadro y comenten por que es importante usar literales en el ejemplo que ahi se menciona.

El primer resultado del inciso d) es la expresion general del area de cualquier rectangulo y, al mismo tiempo, la formula con que se calcula.

La expresion con palabras es "area (del rectangulo) es igual a largo por ancho".

En este caso, la expresion con literales es A = mn, aunque norrnalmente se utilizan las literales b (base) y h (altura), de manera que la formula mas conocida es A = bh, pero ambas expresiones dicen lo mismo.

DESCUBRO MAS (Que relaci6n hay entre las medidas de los radios y las de los !ados del rectangulo?

DESCUBRO MAS (Por que se suele escribir A= bh en Iugar de A= bx h?

127 •

romboide: cuadrilatero sin angulos rectos, condos pares de lados opuestos de

igual medida y paralelos entre si, y con I ados

adyacentes desiguales.

DESCUBRO MAS Las dos fig uras de Ia actividad 1 tienen Ia misma area. Explica por que.

trapecio: cuadrilatero con un solo par

de lados para le los.

TIC ' MAS Convierte

rom boides en rectangu los en www.redi r.mx/SCMM 1-

128.

• 128

Secuencia 17

Leccions?. Unas formulas surgen de otras I

(!" 1. Analiza la informacion y responde o haz lo que se indica.

El romboide ABCD se transform6 en el rectangulo EFGH, mediante el corte y el reacomodo que se muestran con linea punteada.

D C H G

r-----------7/i · I r-------------;21 L A B E F 1---

b

a} Anota,junto a Ia figura, las medidas (ancho y largo} del rectangulo a partir de las del romboide.

b) ,:Cual es el area del cuadrilatero EFGH? ____ ,:Y lade ABCD? ___ _

c) Completa el texto.

Cualquier romboide puede transformarse en un ----- con Ia misma

base y la misma ______ . Por tanto, Ia formula del area del romboide

tambien es ___ _

2. El romboide MNOP se form6 con dos trapecios CDEF. Contesta o haz lo que se indica.

b

~~·I S C D ~M------------------~~--~N

0 'i

/ 1

8

a} Con base en las medidas del trapecio (B, b, h), anota las medidas del romboide.

Base del romboide: ______ _ Altura del romboide: _____ _

b) ,:Cual es el area del romboide? ------------------

c) ,:Y la del trapecio? ----------------------

d) Completa el texto.

La base del romboide MNOP es B + by su altura es ___ . Por tanto, su area

es _____ .Como la superfi.cie del trapecio CDEF es la mitad de la super-

fide del romboide, el area del trapecio es ____ _

Forma, espacio y medida • Magnitudes y medida

5 Con ayuda del profesor, valida tus respuestas. Comenten si todos expresaron de Ia misma manera las areas del romboide MNOP y el trapecio CDEF. Despues, analicen Ia siguiente informacion.

I En un trapecio se distinguen tres dimensiones: Ia base mayor (B), Ia base menor (b) y Ia altura (h). La formula del area del trapecio expresada con palabras es "base mayor mas base menor por altura entre dos".

( • ) 3. Otra manera de transformar el trapecio en un romboide consiste en hacer un corte paralelo a las bases y a Ia mitad de Ia altura y despues reacomodar las piezas.

b 1--- ---1

r --------=::::::::;:::::=---~) B ==:.........

a) Anota las medidas del romboide a partir de las del trapecio.

Base del romboide: _____ _ Altura del romboide: _____ _

b) (Cual es el area del romboide? -----------------

c) (Cual es el area del trapecio? -------------------

d) Considera que B = 9, b = 2 y h = 4. Verifica que {B ~ b)h = (B +b)~).

4. Observa Ia figura y responde.

a) (Que formula conoces para calcular el

area de un CUadrado? ------

b) Si Ia unidad de medida es Ia superfi-

cie de un cuadrito, (Cual es el area del

cuadrado central? -----

c) (Y Ia del cuadrado exterior? __ _

d) (Que relacion hay entre las areas de ambas figuras?

e) Verifica que un !ado del cuadrado exterior mide lo mismo que Ia diagonal del central.

f) (Como calcularias el area de un cuadrado usando Ia medida de su diagonal?

MAS IDEAS Un trapecio es isosceles si los lados no parale los son del m ism o tamano. En un trapecio escaleno, los cuatro lados tienen distinta medida. Un trapecio rectangulo es a que I que tiene u n ang ulo recto.

diagonal: seg me nto que une dos vertices no consecutivos de un polfgono. Un ejemplo en un cuadrilatero es el siguiente:

129 •

diseñemos las acciones de atención educativa...diseñemos las acciones de atención educativa...

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